Multipoint boundary-value problems with parameter for higher order differential equations on Hölder spaces
We establish sufficient conditions for continuous dependence on the parameter of solutions to multipoint linear boundary-value problems for systems of differential equations of order $r\geq2$ in the norms of H\"{o}lder spaces $C^{n+r,\alpha}([a,b])$.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/258 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552757341192192 |
|---|---|
| author | Masliuk, H. O. Маслюк, Г. О. |
| author_facet | Masliuk, H. O. Маслюк, Г. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. О. Маслюк",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
}
] |
| author_sort | Masliuk, H. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T22:30:44Z |
| description | We establish sufficient conditions for continuous dependence on the parameter of solutions to multipoint linear boundary-value problems for systems of differential equations of order $r\geq2$ in the norms of H\"{o}lder spaces $C^{n+r,\alpha}([a,b])$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 193–203
УДК 517.927
Г. О. Маслюк
(Нацiональний технiчний унiверситет України "КПI", Київ)
Багатоточковi крайовi задачi з
параметром для диференцiальних
рiвнянь високого порядку на
просторах Гельдера
masliukgo@ukr.net
We establish sufficient conditions for continuous dependence on the
parameter of solutions to multipoint linear boundary-value problems
for systems of differential equations of order r ≥ 2 in the norms of
Hölder spaces Cn+r,α([a, b]).
Знайдено достатнi умови неперервної залежностi за параметром
розв’язкiв багатоточкових лiнiйних крайових задач для систем
диференцiальних рiвнянь порядку r ≥ 2 за нормами просторiв
Гельдера Cn+r,α([a, b]).
1. Вступ
Питання, пов’язанi з граничним переходом у системах диферен-
цiальних рiвнянь, виникають у багатьох задачах. Цi питання най-
краще дослiджено стосовно задачi Кошi для систем звичайних
c© Г. О. Маслюк, 2016
194 Г. О. Маслюк
диференцiальних рiвнянь першого порядку. Бiльш складний ви-
падок загальних лiнiйних крайових задач вивчався I. Т. Кiгу-
радзе [1 – 3] та його послiдовниками. Суттєвi узагальнення цих
результатiв отримано у роботах Т. I. Кодлюк, В. А. Михайлеця
i Н. В. Реви [4 – 6]. Вони стосуються рiвномiрної неперервностi
за параметром розв’язкiв систем лiнiйних диференцiальних рiв-
нянь першого порядку. Для систем лiнiйних диференцiальних
рiвнянь вищих порядкiв цi питання дослiджено В. А. Михайле-
цем i Г. О. Чехановою [7].
Цi результати були узагальненi на досить широкий клас лiнiй-
них крайових задач — тотальних щодо просторiв Соболєва [8 – 11]
та просторiв неперервно диференцiйовних функцiй [12 – 15]. До-
ведено фредгольмовiсть таких задач, знайдено достатнi умови їх
коректної розв’язностi та неперервної залежностi за параметром
їх розв’язкiв у вказаних просторах.
Щодо комплексних просторiв Гельдера, найбiльш широкий
клас лiнiйних крайових задач введено i дослiджено В. А. Ми-
хайлецем, О. О. Мурачем та В. О. Солдатовим [16], для систем
звичайних диференцiальних рiвнянь порядку r = 1. У випадку
r ≥ 2 вказанi результати дослiджено у роботi [17].
У роботах В. А. Михайлеця та його учнiв цi результати пе-
ренесено на важливий клас багатоточкових крайових задач що-
до соболєвських просторiв та просторiв C(n)[a, b] для рiвнянь i
систем як першого [18 – 20], так i високих порядкiв [14, 21, 22].
У цих роботах припускається, що кожна точка (в якiй розгля-
даються крайовi умови) або не залежить вiд малого параметра
ε > 0 [18, 20 – 22], або має граничне значення при ε→ 0+ [14, 19].
Окрiм того, допускається iснування додаткових точок, що вхо-
дять у крайовий вираз, нехтуваний при ε→ 0+.
За нормами просторiв неперервно диференцiйовних функцiй
знайдено [23] достатнi умови неперервної залежностi за пара-
метром розв’язкiв багатоточкових лiнiйних крайових задач для
систем диференцiальних рiвнянь порядку r ≥ 1. Вiдмiтимо, що у
зазначенiй роботi запропоновано нову постановку багатоточкової
Багатоточковi крайовi задачi з параметром... 195
крайової задачi, де умови на коефiцiєнти при похiдних шуканої
функцiї у крайових операторах ставляться окремо для цiлої серiї
точок, якi залежать вiд ε > 0 i мають спiльну граничну точку
при ε→ 0+.
Мета даної роботи — перенести результати роботи [17] на клас
багатоточкових крайових задач для систем диференцiальних рiв-
нянь порядку r ≥ 2 щодо просторiв Гельдера Cn+r,α([a, b]).
2. Постановка задачi
Нехай задано скiнченний вiдрiзок [a, b] ⊂ R, цiлi числа
n ≥ 0, m ≥ 1 та дiйсне число α таке, що 0 <
α ≤ 1. Будемо використовувати комплекснi банаховi просто-
ри Гельдера (Cn,α)m := Cn,α([a, b],Cm) та (Cn,α)m×m :=
Cn,α([a, b],Cm×m). Вони складаються вiдповiдно з усiх вектор-
функцiй i матриць-функцiй порядкуm, елементи яких належать
до простору Cn,α := Cn,α([a, b],C) i надiленi нормами, що є су-
мою норм у Cn,α усiх компонентiв цих функцiй.
Банахiв простiр C(l) := C(l)([a, b],C) усiх l разiв неперервно
диференцiйовних функцiй x : [a, b]→ C, де цiле l ≥ 0, надiлений
нормою
‖x‖l :=
l∑
j=0
max{|x(j)(t)| : t ∈ [a, b]}.
Нагадаємо, що простором Гельдера називається наступний
клас комплекснозначних функцiй над [a, b]:
C l,α := {x ∈ C(l) : sup
t1,t2∈[a,b], t1 6=t2
|x(l)(t2)− x(l)(t1)|
|t2 − t1|α
< +∞,
де l ∈ {0} ∪ N}. Цей простiр є банаховим вiдносно норми
‖x‖l,α := ‖x‖l + ‖x(l)‖′α.
196 Г. О. Маслюк
Нехай задано цiлi числа r ≥ 2, m ≥ 1, n ≥ 0 i p ≥ 2. Розгля-
немо на вiдрiзку [a, b] сiм’ю лiнiйних багатоточкових крайових
задач для систем m диференцiальних рiвнянь порядку r, зале-
жних вiд числового параметра ε ∈ [0, ε0):
L(ε)y(t, ε) ≡ y(r)(t, ε) +
r∑
j=1
Ar−j(t, ε)y
(r−j)(t, ε) = f(t, ε),
t ∈ [a, b],
(1)
Bj(ε)y(·, ε) ≡
p∑
j=0
qj∑
k=1
n+r∑
l=0
β
(l)
j,k(ε)y
(l)(tj,k(ε), ε) = cj(ε), (2)
де число ε0 > 0 є фiксованим. Тут є невiдомою вектор-функцiя
y(·, ε) ∈ (Cn+r,α)m, а усi Ar−j(·, ε) ∈ (Cn,α)m×m, f(·, ε) ∈ (Cn,α)m,
вектор cj(ε) ∈ Crm та числа qj ∈ N, матрицi β(l)j,k(ε) ∈ Crm×rm,
точки tj,k(ε) ∈ [a, b] є заданими. Вектори i вектор-функцiї вва-
жаємо поданими у виглядi стовпцiв.
Використання у багатоточковiй крайовiй умовi (2) повторної
суми за iндексами j i k зумовлено подальшими припущеннями
щодо поведiнки точок tj,k(ε) при ε→ 0+ у залежностi вiд значень
параметра j. Вимагатиметься, щоб для кожного фiксованого j ∈
{1, ... , p} усi точки tj,k(ε) мали спiльну границю при ε → 0+, а
для точок t0,k(ε) така вимога не висуватиметься.
Зауважимо, що крайова умова (2) охоплює як класичнi бага-
тоточковi задачi, так i некласичнi, що мiстять похiднi шуканої
функцiї, порядок яких бiльший, нiж порядок рiвняння (1). За
аналогiєю з роботою [17] задачу (1), (2) називаємо тотальною
щодо простору Cn+r,α. (У цiй роботi поняття тотальної крайової
задачi введено щодо просторiв Гельдера для систем диференцi-
альних рiвнянь порядку r ≥ 2).
Враховуючи, що багатоточкова крайова задача (1), (2) зале-
жить вiд малого параметра ε ≥ 0, закономiрно виникає важливе
питання про неперервну залежнiсть розв’язку y = y(·, ε) такої
задачi за параметром ε у просторi (Cn+r,α)m.
Багатоточковi крайовi задачi з параметром... 197
Мета роботи полягає у знаходженнi достатнiх умов для одно-
значної розв’язностi цiєї задачi i виконання граничної властиво-
стi
‖y(·, ε)− y(·, 0)‖n+r,α → 0 при ε→ 0 + . (3)
3. Основний результат
Перейдемо до формулювання основного результату.
Надалi вважаємо, що виконується
Припущення. Однорiдна гранична крайова задача
y(r)(t, 0) +
r∑
j=1
Ar−j(t, 0)y
(r−j)(t, 0) = 0, t ∈ [a, b],
Bj(0)y(·, 0) = 0, j ∈ {1, ... , r}
має лише тривiальний розв’язок.
Умови, достатнi для однозначної розв’язностi багатоточкової
крайової задачi (1), (2) i неперервної залежностi її розв’язку за
малим параметром дає
Теорема. Нехай виконується припущення i при ε → 0+ та
j ∈ {1, ... , p} умови:
(a) ‖Ak(·, ε)−Ak(·, 0)‖n,α → 0 для кожного k ∈ {0, ... , r − 1};
(b1) tj,k(ε)→ tj(0) для усiх k ∈ {1, ... , qj};
(b2)
qj∑
k=1
β
(l)
j,k(ε)→ β
(l)
j (0) для усiх l ∈ {0, ... , n+ r};
(b3) β(n+r)j,k (ε) = O(1) для усiх k ∈ {1, ... , qj};
(b4) ‖β(l)j,k(ε)‖ · |tj,k(ε)− tj(0)| → 0 для усiх k ∈ {1, ... , qj},
l ∈ {0, ... , n+ r − 1};
198 Г. О. Маслюк
(b5) β(l)0,k(ε)→ 0 для усiх k ∈ {1, ... , q0}, l ∈ {0, ... , n+ r}.
Тодi для достатньо малих ε > 0 оператор (L(ε), B(ε)) оборо-
тний.
Якщо, окрiм цього,
(c) ‖f(·, ε)− f(·, 0)‖n,α → 0;
(d) cj(ε)→ cj(0),
то при малих ε єдиний розв’язок y(·, ε) крайової задачi (1), (2)
задовольняє граничну властивiсть (3).
В умовi (b4) i надалi пiд нормою числової матрицi (зокрема,
вектора) розумiємо суму модулiв усiх її елементiв.
4. Доведення
Розглянемо на скiнченному вiдрiзку [a, b] лiнiйну крайову задачу
для систем m диференцiальних рiвнянь r-го порядку
L(ε)y(t, ε) ≡ y(r)(t, ε) +
r∑
j=1
Ar−j(t, ε)y
(r−j)(t, ε) = f(t, ε),
t ∈ [a, b],
(4)
Bj(ε)y(·, ε) = cj(ε), j ∈ {1, ... , r}, (5)
де ε ∈ [0, ε0), а число ε0 > 0 є фiксованим. Тут є невi-
домою вектор-функцiя y(·, ε) ∈ (Cn+r,α)m, а усi Ar−j(·, ε) ∈
(Cn,α)m×m, f(·, ε) ∈ (Cn,α)m, лiнiйний неперервний оператор
Bj(ε) : (C
n+r,α)m → Crm i cj(ε) ∈ Crm є заданими.
Основний результат нашої роботи є прямим наслiдком насту-
пного твердження (див. [17], теорема 3).
Твердження. Нехай виконується припущення i при ε → 0+
та j ∈ {1, ... , r} умови (a) i
Багатоточковi крайовi задачi з параметром... 199
(b) Bj(ε)y → Bj(0)y для кожного y ∈ (Cn+r,α)m.
Тодi для достатньо малих ε > 0 оператор (L(ε), B(ε)) оборо-
тний. Якщо, окрiм цього, виконуються умови (c) i (d), то при
малих ε єдиний розв’язок y(·, ε) крайової задачi (4), (5) задоволь-
няє граничну властивiсть (3).
Для доведення основної теореми достатньо показати, що умо-
ва (b) твердження є наслiдком умов (b1) – (b5) теореми.
У припущеннi, що умови (b1) – (b5) виконуються, доведемо
властивiсть (b). Для довiльної функцiї y ∈ (Cn+r,α)m i достатньо
малого ε > 0 запишемо:
‖Bj(ε)y −Bj(0)y‖ =
=
∥∥∥∥∥∥
p∑
j=0
qj∑
k=1
n+r∑
l=0
β
(l)
j,k(ε)y
(l)(tj,k(ε))−
p∑
j=1
n+r∑
l=0
β
(l)
j (0)y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
q0∑
k=1
n+r∑
l=0
‖β(l)0,k(ε)‖ · ‖y
(l)(t0,k(ε))‖+
+
p∑
j=1
n+r∑
l=0
∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
β
(l)
j,k(ε)y
(l)(tj,k(ε))− β
(l)
j (0)y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥ (6)
Тут на пiдставi умови (b5) маємо:
‖β(l)0,k(ε)‖ · ‖y
(l)(t0,k(ε))‖ ≤ ‖β
(l)
0,k(ε)‖ · ‖y‖n+r,α → 0 (7)
для усiх допустимих значень iндексiв k i l. Ця i всi iншi границi
у доведеннi розглядаються за умови, що ε→ 0+.
Дослiдимо останнiй доданок в (6). Запишемо:∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
β
(l)
j,k(ε)y
(l)(tj,k(ε))− β
(l)
j (0)y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥ =
200 Г. О. Маслюк
=
∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
β
(l)
j,k(ε)y
(l)(tj,k(ε))−
qj∑
k=1
β
(l)
j,k(ε)y
(l)(tj(0)) +
+
qj∑
k=1
β
(l)
j,k(ε)y
(l)(tj(0))− β(l)j (0)y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
β
(l)
j,k(ε) ·
(
y(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj(0))
)∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥
( qj∑
k=1
β
(l)
j,k(ε)− β
(l)
j (0)
)
· y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥ ≤
≤
qj∑
k=1
‖β(l)j,k(ε)‖ · ‖y
(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj(0))‖+
+
∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
β
(l)
j,k(ε)− β
(l)
j (0)
∥∥∥∥∥ · ‖y‖n+r,α.
Тут на пiдставi умови (b2) маємо:∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
β
(l)
j,k(ε)− β
(l)
j (0)
∥∥∥∥∥ · ‖y‖n+r,α → 0. (8)
Окрiм того,
qj∑
k=1
‖β(l)j,k(ε)‖ · ‖y
(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj(0)) ‖ → 0. (9)
Справдi, якщо l = n+r, то це є прямим наслiдком умов (b1), (b3)
i неперервностi функцiї y(l). Якщо l ≤ n + r − 1, то це випливає
з теореми Лагранжа i умови (b4):
qj∑
k=1
‖β(l)j,k(ε)‖ · ‖y
(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj(0)) ‖ ≤
≤ ‖y‖n+r,α
qj∑
k=1
‖β(l)j,k(ε)‖ · |tj,k(ε)− tj(0)| → 0.
Багатоточковi крайовi задачi з параметром... 201
Iз формул (10), (8), (9) випливає, що∥∥∥∥∥
qj∑
k=1
β
(l)
j,k(ε)y
(l)(tj,k(ε))− β
(l)
j (0)y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥→ 0 (10)
Тепер властивiсть (b) є прямим наслiдком формул (6), (7) i (10).
Теорему доведено.
Лiтература
[1] Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений // Совр. пробл. мат. Новейшие дости-
жения. – Москва: ВИНИТИ – 1987. – 30. – С. 3–103.
[2] Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений. – Тбилиси: Изд-во
Тбилисского ун-та, 1975. – 352 с.
[3] Кигурадзе И. Т. О краевых задачах для линейных дифференци-
альных систем с сингулярностями // Диф. уравн. – 2003. – 39, №
2. – С. 198–209
[4] Михайлец В. А., Рева Н. В. Непрерывность по параметру реше-
ний общих краевых задач // Теорiя наближення функцiй та сумi-
жнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2008. –
5, № 1. – С. 227–239.
[5] Михайлец В. А., Рева Н. В. Обобщения теоремы Кигурадзе о кор-
ректности линейных краевых задач // Доп. НАН України. – 2008.
– № 9. – С. 23–27.
[6] Kodliuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-
dimensional boundary-value problems // Ukr. Math. J. – 2013. – 65,
№ 1. – P. 77–90.
[7] Mikhailets V. A. Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-
dimensional boundary-value problems // J. Math. Sciences. – 2015.
– 204, № 3.
202 Г. О. Маслюк
[8] Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельный переход в системах ли-
нейных дифференциальных уравнений // Доп. НАН України. –
2008. – № 8. – С. 28–30.
[9] Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional
boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces //
J. Math. Sciences. – 2013. – 190, № 4. – P. 589–599.
[10] Кодлюк Т. И. Матрицы Грина одномерных краевых задач с па-
раметром в пространствах Соболева // Диференцiальнi рiвняння
i сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2014. – 11, № 2. – С. 191–199.
[11] Gnyp E. V., Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Fredholm boundary-
value problems with parameter in Sobolev space // Ukrainian Math.
J. – 2015. – 67, № 5. – P. 658-667.
[12] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Некоторые классы фредгольмо-
вых краевых задач на отрезке // Диференцiальнi рiвняння i сумi-
жнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. –
11, № 2. – С. 268–273.
[13] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Фредгольмовые краевые задачи
с параметром на пространствах C(n)[a; b] // Доп. НАН України. –
2014. – № 7. – С. 24–28.
[14] Чеханова Г. О. Граничний перехiд в одновимiрних лiнiй-
них крайових задачах з параметром: Дис. ... канд. фiз.-мат.
наук. – Київ: 2014. – 122 с.
[15] Soldatov V. A. On the continuity in a parameter for the solutions of
boundary-value problems total with respect to the spaces C(n+r)[a, b]
// Ukrainian Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 785-794.
[16] Mikhailets V. A., Murach A. A., Soldatov V. A. Continuity in
a parameter of solutions to generic boundary-value problems,
arXiv:1604.07029.
[17] Маслюк Г. О. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв однови-
мiрних крайових задач у просторах Гельдера // Укр. мат. журн.
(прийнято до друку).
[18] Рева Н. В. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв лiнiйних кра-
йових задач: Дис. ... канд. фiз.-мат. наук. – Київ: 2009. – 148 с.
Багатоточковi крайовi задачi з параметром... 203
[19] Кодлюк Т. И. Предельный переход в классе многоточечных кра-
евых задач //Аналiз i застосування: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2012. – 9, № 2. – С. 203–216.
[20] Кодлюк Т. И. Многоточечные краевые задачи с параметром в про-
странствах Соболева // Доп. НАН України. – 2012. — № 11. –
С. 15–19.
[21] Чеханова Г. Непрерывность по параметру решений многоточе-
чных краевых задач // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi пита-
ння аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. –
10, № 2. – С. 260–279.
[22] Чеханова Г. А. Непрерывность по параметру функций Грина мно-
готочечных краевых задач //Комплексний аналiз, теорiя потен-
цiалу i застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України.
– 2013. – 10, № 4–5. – С. 532–541.
[23] Солдатов В. О. Багатоточковi крайовi задачi для систем дифе-
ренцiальних рiвнянь вищих порядкiв // Диференцiальнi рiвнян-
ня i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2015. – 12, № 2. – С. 327–337.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-258 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:30Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2a/dea8dba9488a4e7af9d444ee401efe2a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2582018-01-29T22:30:44Z Multipoint boundary-value problems with parameter for higher order differential equations on Hölder spaces Багатоточкові крайові задачі з параметром для диференціальних рівнянь високого порядку на просторах Гельдера Masliuk, H. O. Маслюк, Г. О. We establish sufficient conditions for continuous dependence on the parameter of solutions to multipoint linear boundary-value problems for systems of differential equations of order $r\geq2$ in the norms of H\"{o}lder spaces $C^{n+r,\alpha}([a,b])$. Знайдено достатні умови неперервної залежності за параметром розв'язків багатоточкових лінійних крайових задач для систем диференціальних рівнянь порядку $r\geq2$ за нормами просторів Гельдера $C^{n+r,\alpha}([a,b])$. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/258 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 193-203 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 193-203 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 193-203 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/258/243 Авторське право (c) 2016 Г. О. Маслюк |
| spellingShingle | Masliuk, H. O. Маслюк, Г. О. Multipoint boundary-value problems with parameter for higher order differential equations on Hölder spaces |
| title | Multipoint boundary-value problems with parameter for higher order differential equations on Hölder spaces |
| title_alt | Багатоточкові крайові задачі з параметром для диференціальних рівнянь високого порядку на просторах Гельдера |
| title_full | Multipoint boundary-value problems with parameter for higher order differential equations on Hölder spaces |
| title_fullStr | Multipoint boundary-value problems with parameter for higher order differential equations on Hölder spaces |
| title_full_unstemmed | Multipoint boundary-value problems with parameter for higher order differential equations on Hölder spaces |
| title_short | Multipoint boundary-value problems with parameter for higher order differential equations on Hölder spaces |
| title_sort | multipoint boundary-value problems with parameter for higher order differential equations on hölder spaces |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/258 |
| work_keys_str_mv | AT masliukho multipointboundaryvalueproblemswithparameterforhigherorderdifferentialequationsonholderspaces AT maslûkgo multipointboundaryvalueproblemswithparameterforhigherorderdifferentialequationsonholderspaces AT masliukho bagatotočkovíkrajovízadačízparametromdlâdiferencíalʹnihrívnânʹvisokogoporâdkunaprostorahgelʹdera AT maslûkgo bagatotočkovíkrajovízadačízparametromdlâdiferencíalʹnihrívnânʹvisokogoporâdkunaprostorahgelʹdera |