A superconvergence of an FD-method for a spectral problem in the Banach space
In this work we obtaine necessary conditions for the FD-method’s super-exponential convergence with respect to eigenvectors. The mentionedmethod is targeted to solve spectral problems for linear operators in Banachspace wich can contain eigenvalues of arbitrary multiplicity.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/26 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552547535814656 |
|---|---|
| author | Макаров, В. Л. Романюк, Н. М. Макаров, В. Л. Романюк, Н. М. |
| author_facet | Макаров, В. Л. Романюк, Н. М. Макаров, В. Л. Романюк, Н. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. Л. Макаров",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
},
{
"author": "Н. М. Романюк",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Макаров, В. Л. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | In this work we obtaine necessary conditions for the FD-method’s super-exponential convergence with respect to eigenvectors. The mentionedmethod is targeted to solve spectral problems for linear operators in Banachspace wich can contain eigenvalues of arbitrary multiplicity. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 109–131
УДК 519.624:517.984
Суперекспоненцiальна збiжнiсть
FD-методу для спектральної задачi
в банаховому просторi
В.Л. Макаров, Н.М. Романюк
Iнститут математики НАН України, Київ;
makarov@imath.kiev.ua, romaniuknm@gmail.com
In this work we obtaine necessary conditions for the FD-method’s super-
exponential convergence with respect to eigenvectors. The mentioned
method is targeted to solve spectral problems for linear operators in Banach
space wich can contain eigenvalues of arbitrary multiplicity.
В работе получены достаточные условия супер-экспоненциальной схо-
димости относительно собственных векторов предложенного ранее ав-
торами алгоритма FD-метода для решения спектральных задач для
линейных операторов с дискретным спектром, действующих в бана-
ховом пространстве. При этом, как исходная задача, так и операторы
промежуточных задач FD-метода могут иметь кратные собственные
значения.
1. Вступ
Найбiльш економiчними серед наближених методiв розв’язання за-
дач на власнi значення з точки зору обчислювальних ресурсiв, а зна-
чить, i бiльш ефективними при їх програмнiй реалiзацiї є дискретнi
методи. Проте, дискретнi методи мають ряд недолiкiв, якi на даний
момент вдалось подолати тiльки частково. Це, наприклад, погiрше-
ння точностi iз зростанням номера власного значення, використання
згенерованої на початку чисельного процесу сiтки, насичення точно-
стi, обмежена кiлькiсть обчислюваних (надiйних) власних значень,
яка залежить вiд кроку сiтки.
c© В.Л. Макаров, Н. М. Романюк, 2015
110 В. Л. Макаров, Н. М. Романюк
Недолiки класичних дискретних та спектральних методiв, зокре-
ма, методу скiнченних рiзниць (FDM), методу Нумерова (MN) та ме-
тоду скiнченних елементiв (FEM), пiдкреслює заключне зауваження
iз [19] про те, що «хоча число надiйних власних значень i зростає зi
збiльшенням обчислювального масштабу N , вiдсоток надiйних вла-
сних значень (в порiвняннi з ненадiйними власними значеннями) бу-
де прямувати до нуля, коли N прямує до нескiнченностi». Тут N –
кiлькiсть вузлових точок розбиття. За допомогою асимптотичної
корекцiї в поєднаннi з FDM, MN та FEM частково вдалось подолати
проблему погiршення точностi iз зростанням номера власного значе-
ння, адже ця технiка є ефективною для дуже низьких за номером
власних значень (див., напр., монографiю [16] та вiдповiднi посила-
ння в нiй). Водночас iснують задачi, якi вимагають обчислення ве-
ликої кiлькостi (тисяч) власних значень та вiдповiдних нормованих
власних функцiй, наприклад, при обчисленнi функцiї спектральної
щiльностi (див., напр., [16, p.273]).
Протягом останнiх рокiв для наближеного розв’язування задач на
власнi значення широко застосовуються аналiтичнi (функцiональнi)
методи, якi базуються на iдеї методу гомотопiї або, що те ж са-
ме, методу продовження за параметром (див., напр., [1, 2]) i дозво-
ляють знаходити розв’язки у виглядi швидкозбiжних функцiональ-
них рядiв. Це, наприклад, запропонований у 80-х роках ХХ столiт-
тя американським фiзиком Дж. Адомяном метод декомпозицiї Адо-
мяна (ADM) (див. посилання в [17]), запропонований у 1992 роцi
в [14] китайським математиком Shijun Liao метод гомотопного ана-
лiзу (HAM), запропонований китайським математиком JI-Huan He у
1999 роцi в [13] метод гомотопного збурення (HPM).
Спорiдненим за iдеологiєю iз згаданими методами HPM, HAM та
ADM є функцiонально-дискретний метод (FD-метод), який на вiд-
мiну вiд них мiстить в собi дискретну складову, за допомогою якої
можна досягати збiжностi у випадках, коли HPM, HAM, ADM є роз-
бiжними. Наявнiсть дискретної складової робить FD-метод спорiдне-
ним також iз методами, якi використовують апроксимацiю коефiцi-
єнтiв диференцiального рiвняння та зарекомендували себе як висо-
коточнi та ефективнi. Варiанти цього методу були у використаннi
з початку XX-го столiття, а для кусково-сталого наближення ко-
ефiцiєнтiв метод був вперше теоретично обґрунтований М. М. Бо-
голюбовим i М. М. Криловим у 1928 роцi для лiнiйних звичайних
диференцiальних рiвнянь другого порядку та названий «metodo dei
Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної ... 111
tronconi» [4]. Пiзнiше в 1969 роцi в [12] R. G. Gordon запропонував ме-
тод кусково-полiномiального наближення коефiцiєнтiв системи лiнiй-
них диференцiальних рiвнянь другого порядку. Варто також згадати
роботи J. Dähnn, наприклад, у [5] для задач Штурма-Лiувiлля дру-
гого порядку використано кусково-сталу апроксимацiю коефiцiєнтiв
рiвняння. Методи такого типу вiдомi у лiтературi пiд назвою мето-
ди Прюса (див., напр., [16, Ch.6]) та названi на честь S. Pruess, який
у 1973 роцi в [15] довiв умови строгої збiжностi та здiйснив аналiз
похибок методу при використаннi кусково-полiномiальної апроксима-
цiї. До методiв апроксимацiї коефiцiєнтiв диференцiального рiвняння
також належать експоненцiально зважений Тау метод Лежандра-
Гауса [6, 7] та методи кускового збурення («Piecewise Perturbation
Methods» – PPM) (див., напр., [18]).
Вперше запропонований у 1991 роцi В. Л. Макаровим в [22] FD-
метод дає змогу подолати перерахованi вище недолiки дискретних
методiв та може бути застосований до розв’язування операторних
рiвнянь загального вигляду (див., напр., [21]), а для ряду конкре-
тних випадкiв було доведено, що швидкiсть його збiжностi є супе-
рекспоненцiальною. Для широкого класу одновимiрних задач на вла-
снi значення було доведено, що FD-метод збiгається iз швидкiстю не
повiльнiшою, нiж геометрична прогресiя, знаменник якої прямо про-
порцiйний параметру дискретизацiї та обернено пропорцiйний поряд-
ковому номеру вiдповiдного власного значення, тобто iз збiльшенням
порядкового номера власного значення зростає швидкiсть збiжностi
FD-методу.
Серед особливостей, якi спричиняють труднощi при чисельному
розв’язуваннi задач на власнi значення за допомогою дискретних ме-
тодiв, слiд вiдмiтити наявнiсть кратних та щiльно згрупованих в
кластери близьких власних значень. Такi особливостi притаманнi,
наприклад, скалярним задачам Штурма-Лiувiлля другого порядку
з рiвняннями Матьє i Кофi-Еванса та з рiвняннями Хiлла i Ламе з
перiодичними та антиперiодичними крайовими умовами, скалярним
задачам типу Штурма-Лiувiлля четвертого порядку з вiдповiдними
крайовими умовами, задачам типу Штурма-Лiувiлля з матричними
коефiцiєнтами. Як зазначено у [8], при недостатньо малому кроцi роз-
биття вiдрiзку отриманi згiдно з дискретними методами наближення
до близьких i, водночас, простих власних значень на деякому кроцi
методу починають спiвпадати.
В роботах В. Л. Макарова та його учнiв [3, 9, 10, 20] FD-метод об-
112 В. Л. Макаров, Н. М. Романюк
ґрунтовано та застосовано для розв’язування задач типу Штурма-
Лiувiлля з близькими щiльно згрупованими в двiйки власними зна-
ченнями. При цьому вже на етапi базової задачi, з якої починається
чисельний процес, виникають двократнi власнi значення, що зумов-
лює модифiкацiю традицiйного алгоритму FD-методу для кожної iз
задач, а в [9] здiйснено узагальнення на випадок абстрактної поста-
новки задачi на власнi значення для самоспряжених операторiв з
дискретним спектром, що дiють у гiльбертовому просторi. Пiзнiше
в роботах [25,26] обґрунтовано нову схему алгоритму FD-методу для
задач на власнi значення в абстрактному формулюваннi для само-
спряжених операторiв з дискретним спектром, що дiють у гiльбер-
товому просторi, у випадку базової задачi з власними значеннями
довiльної (скiнченної) кратностi.
Дана робота є доповненням до результатiв роботи [11] щодо сут-
тєвого уточнення швидкостi збiжностi вiдносно власних векторiв за-
пропонованого в нiй алгоритму FD-методу для задач на власнi зна-
чення в абстрактному формулюваннi для лiнiйних операторiв з дис-
кретним спектром, що дiють у банаховому просторi, у випадку базо-
вої задачi з власними значеннями довiльної (скiнченної) кратностi.
Слiд зауважити, що розробленi пiдходи FD-методу у згаданих робо-
тах [11, 25, 26] можуть бути застосованi до спектральних задач типу
Штурма-Лiувiлля як на скiнченному, так i на нескiнченному iнтерва-
лi, якi можуть мати кратнi власнi значення як у вихiднiй постановцi,
так i в процесi їх розв’язування, причому, не тiльки на етапi базової
задачi.
2. Абстрактна постановка задачi
Розглянемо задачу на власнi значення в банаховому просторi X з
нульовим елементом θ
(A+B)un − λnun = θ (1)
в припущеннi, що спектр оператора A + B є дискретним. Шукаємо
власну пару {λn, un} iз заданим фiксованим iндексом n. Нехай X∗
є дуальним банаховим простором лiнiйних функцiоналiв на X i (·, ·)
є бiлiнiйним вiдношенням. Апроксимуємо оператор B оператором B̄
таким, щоб базова задача
(A+B)u(0)n − λ(0)n u(0)n = θ (2)
Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної ... 113
була «простiшою», нiж задача (1), тобто так, щоб (2) мала явний
аналiтичний (точний) розв’язок.
Визначимо формально гомотопiю мiж двома задачами P1 та P2
iз розв’язками u1 та u2 з топологiчного простору X як параметри-
чну задачу PH(t) iз розв’язком u(t), який неперервно залежить вiд
параметра t ∈ [0, 1] i u(0) = u1, u(1) = u2 (див., напр., [1, 2]). Згi-
дно з iдеєю гомотопiї для деякого фiксованого номера n власної пари
«занурюємо» (2) в сiмейство параметричних задач
(A+W (t))un(t)− λn(t)un(t) = θ, t ∈ [0, 1] (3)
з W (t) = B + t(B −B), яке мiстить обидвi задачi (1) i (2). Очевидно,
що un(0) = u
(0)
n , λn(0) = λ
(0)
n , un(1) = un, λn(1) = λn. Розв’язок (3)
шукаємо у виглядi степеневих рядiв по змiннiй t:
λn(t) =
∞∑
j=0
λ(j)n tj , un(t) =
∞∑
j=0
u(j)n tj , (4)
де формально λ(j)n = 1
j!
djλn(t)
dtj
∣∣∣
t=0
, u
(j)
n = 1
j!
djun(t)
dtj
∣∣∣
t=0
. При t = 1 в
(4) отримуємо
λn =
∞∑
j=0
λ(j)n , un =
∞∑
j=0
u(j)n (5)
за умови, що ряди (4) збiгаються для всiх t ∈ [0, 1]. Зрiзанi ряди
N
λn =
N∑
j=0
λ(j)n ,
N
un =
N∑
j=0
u(j)n (6)
є наближеннями рангу N до власних значень i власних векторiв за-
дачi (1) i разом з отриманими в [11] та наведеними нижче формулами
для λ(j)n , u
(j)
n становлять алгоритм для їх обчислення.
3. Алгоритм FD-методу
Для того, щоб знайти члени рядiв (5), (6) пiдставимо (4) в (3) i при-
рiвняємо коефiцiєнти при однакових степенях t. Отримаємо наступну
рекурентну послiдовнiсть рiвнянь:
(A+B)u(j+1)
n − λ(0)n u(j+1)
n = F (j+1)
n , j = −1, 0, 1, ... (7)
114 В. Л. Макаров, Н. М. Романюк
з F (0)
n = 0 та
F (j+1)
n = F (j+1)
n (λ(0)n , ..., λ(j+1)
n ;u(0)n , ..., u(j)n ) =
= λ(j+1)
n u(0)n − ϕ(B)u(j)n +
j∑
p=1
λ(j+1−p)
n u(p)n , ϕ(B) = B −B.
(8)
Початковi значення λ(0)n , u
(0)
n для задач (7), (8) є розв’язками базової
задачi (2), яка є «простiшою», нiж задача (1). Нехай базова задача
має дiйснi власнi значення, впорядкованi в неспадному порядку, тоб-
то 0 ≤ λ
(0)
1 ≤ λ
(0)
2 ≤ ... ≤ λ
(0)
n ≤ ..., куди кожне власне значення λ(0)n
входить kn разiв вiдповiдно до його кратностi. Нехай en,p, p = 1, kn,
n = 1, 2, ... є власними векторами, якi вiдповiдають λ(0)n , n = 1, 2, ...,
i утворюють базис в X . Позначимо через ~en = [en,1, en,2, ..., en,kn ]
T
та через fn,p, p = 1, kn, n = 1, 2, ... вiдповiдну бiортогональну систе-
му функцiоналiв в X∗ до en,p, p = 1, kn, тобто (em,i, fn,j) = δn,jδm,i,
n,m = 1, 2, ..., i = 1, 2, ..., km, j = 1, 2, .., kn, яка утворює базис в X∗.
Тут i надалi позначатимемо через δn,j символ Кронекера.
Рекурентнi рiвняння згiдно з нашим методом мають вигляд:
Ãu− λ(0)n u = g, (9)
де λ(0)n є власним значенням оператора Ã = A+B, тобто оператор Ã+
λ
(0)
n E з тотожним оператором E є сингулярним. Частковий розв’язок
будемо шукати у такiй формi:
û =
∞∑
p=1
kp∑
i=1
cp,iep,i. (10)
Пiсля пiдстановки (10) в рiвняння (9) з використанням бiортогональ-
ностi систем {ep,i} та {fp,i} одержимо
cn,i = 0, cp,i =
(g, fp,i)
λ
(0)
p − λ
(0)
n
, (11)
тобто
û = Γ+
n g =
∞∑
p=1,p6=n
1
λ
(0)
p − λ
(0)
n
kp∑
i=1
(g, fp,i)ep,i, (12)
Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної ... 115
де через Γ+
n позначено псевдообернений оператор Мура-Пенроуза до
оператора Ã+ λ
(0)
n E.
Загальний розв’язок рiвняння (2) має вигляд
u(0)n =
kn∑
p=1
C(0)
n,pen,p, (13)
де сталi C(0)
n,p p = 1, kn будуть визначенi нижче.
Використовуючи умови розв’язностi
(F (j+1)
n , fn,p) = 0, p = 1, kn, (14)
розв’язок (7) можна записати у виглядi
u(j+1)
n =
kn∑
p=1
C(j+1)
n,p en,p + û(j+1)
n , (15)
де перший доданок є загальним розв’язком однорiдного рiвняння i
û(j+1)
n = Γ+
n
(
j∑
p=1
λ(j+1−p)
n u(p)n − ϕ(B)u(j)n
)
(16)
є частковим розв’язком неоднорiдного рiвняння. Причому, пiдсумову-
вання за p в (16) здiйснюється вiд 1, а не вiд 0, внаслiдок властивостi
оператора Γ+
n , яку сформульовано в лемi 3.1.
Лема 3.1. Справедливими є такi рiвностi: Γ+
n en,p=0, p=1, kn.
Доведення леми 3.1 слiдує iз зображення (12).
Умова (14) приводить до системи рiвнянь
kn∑
s=1
C(j)
s
(
(ϕ(B)− λ(1)n E)en,s, fn,m
)
=
= −
(
ϕ(B)û(j)n , fn,m
)
+
j−1∑
p=0
λ(j+1−p)
n C(p)
m , m = 1, kn.
(17)
Тут через λ(1)n позначено одне з власних значень λ(1)n = λ
(1)
n,i, i = 1, kn
матрицi [(ϕ(B)en,s, fn,m)]s,m=1,kn
, що вiдповiдають впорядкуванню:
116 В. Л. Макаров, Н. М. Романюк
λ
(1)
n,1 ≤ λ
(1)
n,2 ≤ ... ≤ λ
(1)
n,kn
, в яке кожне власне значення входить вiдпо-
вiдну до його кратностi кiлькiсть разiв. Введемо вектор ~C(j) iз ком-
понентами C(j)
s , s = 1, ..., kn та матрицю
D[ν] = [d[ν]s,m]s,m=1,kn
,
d[ν]s,m =
(
(ϕ(B) − λ(1)n,νE)en,s, fn,m
)
, 1 ≤ ν ≤ kn
(18)
i перепишемо рiвняння (17) у векторно-матричнiй формi
D[ν] ~C(j) =
j−1∑
p=0
λ(j+1−p)
n
~C(p) − 〈ϕ(B)û(j), ~f〉, j = 0, 1, ..., (19)
де ~f = [f1, f2, ..., fkn ]
T , 〈v, ~f〉 = [(v, f1), (v, f2), ..., (v, fkn)]
T . Iз (19) при
j = 0, враховуючи умову û(0) = 0, отримуємо
D[ν] ~C(0) = ~0. (20)
Тут вектори ~C
(0)
i , i = 1, µν , 1 ≤ µν < kn, (~C
(0)
i , ~C
(0)
t )R = δi,t є
розв’язками системи (20), тобто λ
(1)
ν є власним значенням матрицi
[(ϕ(B)en,s, fn,m)]s,m=1,kn
кратностi µν , де (·, ·)R є скалярним добутком
в Rkn . Вимагатимемо, щоб коефiцiєнти C(j+1)
n,p , p = 1, k задовольняли
умову:
(u(j+1)
n , f (0)
n ) =
(
u(j+1)
n ,
kn∑
i=1
C
(0)
n,ifn,i
)
= 0, (21)
де f (0)
n =
∑kn
i=1 C
(0)
n,ifn,i є спряженим вектором до u(0)n . Звiдси слiдує
(~C
(j+1)
i , ~C
(0)
i )R =
kn∑
p=1
C(j+1)
n,p C(0)
n,p = 0, j = 0, 1, ... . (22)
Помножимо (17) на C(0)
m та пiдсумуємо за m вiд 1 до kn. Отрима-
ємо наступне спiввiдношення:
λ(j+1)
n =
(
ϕ(B)û(j)n , f (0)
n
)
, (23)
звiдки отримаємо оцiнку
||λ(j+1)
n || ≤ ||ϕ(B)û(j)n || ||f (0)
n ||∗, (24)
Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної ... 117
де || · ||∗ – норма в X∗.
Враховуючи (23), видно, що права частина (19) ортогональна до
векторiв ~C
(0)
i , i = 1, µν , тобто необхiднi i достатнi умови її розв’язно-
стi виконуються.
Розглянемо наступний розв’язок системи (19) (цей розв’язок є не-
однозначним):
~C
(j)
i = (D[ν])+
(
j−1∑
p=0
λ
(j+1−p)
i
~C
(p)
i − 〈ϕ(B)û
(j)
i , ~f〉
)
, (25)
де (D[ν])+ – псевдообернена матриця Мура-Пенроуза до матрицi D[ν].
Зауважимо, що в даному роздiлi при детальному записi замiсть iн-
дексу i або n слiд писати трiйку n, ν, i. Використання у викладках
одного iз вказаних iндексiв здiйснено з метою їх спрощення та у ви-
падках, коли це не призводить до непорозумiнь.
Легко показати, що
(D[ν])+ ~C
(0)
i = ~0, (26)
тобто виконуються умови ортогональностi (22), що обумовлює вибiр
розв’язку системи (19) у формi (25).
4. Збiжнiсть FD-методу
Перейдемо до вiдшукання оцiнок похибок методу. Беручи до уваги
(23), (26), iз (25) отримаємо
||~C(j)
i ||R ≤ w ·
j−1∑
p=0
||û(j−p)i || ||~C(p)
i ||R, (27)
де
w = ||ϕ(B)|| ||(D[ν])+||R
(
||f (0)
n ||∗ + |〈~f〉|
)
,
∣∣∣
〈
~f
〉∣∣∣ =
(
kn∑
s=1
||fs||2∗
) 1
2
, ||~a||R = (~a,~a)R .
118 В. Л. Макаров, Н. М. Романюк
Iз (15), (16) одержуємо оцiнки
||ũ(j+1)
n || ≤Mn
{
j∑
s=0
||ũ(j−s)n || ||ũ(s)n ||+ ||~C(j)
n ||R
}
,
||ϕ(B)ũ(j+1)
n || ≤ Nn
{
j∑
s=0
||ũ(j−s)n || ||ũ(s)n ||+ ||~C(j)
n ||R
}
,
(28)
де
Mn = max
{
||ϕ(B)|| ||Γ+
n || ||f (0)
n ||∗ , ||Γ+
nϕ(B)||kn
}
,
Nn = max
{
||ϕ(B)|| ||ϕ(B)Γ+
n || ||f (0)
n ||∗, ||ϕ(B)Γ+
nϕ(B)||kn
}
,
ũ
(s)
i =
{
û
(s)
i , s ≥ 1,
u
(0)
i , s = 0.
Тут використано оцiнку
||u(j+1)
i || ≤ ||û(j+1)
i || + ||~C(j+1)
i ||R, j = 0, 1, ... (29)
Ввiвши позначення
uj+1= ||ũ(j+1)
n ||, vj+1=||ϕ(B)ũ(j+1)
n ||, cj+1= ||~C(j+1)
n ||R, j=0, 1, ...,
c0=1, u0= ||u(0)n ||,
(30)
перепишемо рекурентну систему нерiвностей (27), (28) у формi
cj+1 ≤ w
j∑
p=0
uj−pcp,
uj+1 ≤Mn
{
j∑
s=0
uj−sus + cj
}
,
vj+1 ≤ Nn
{
j∑
s=0
uj−sus + cj
}
, j = 0, 1, ...
(31)
Далi замiнимо знаки нерiвностей на рiвностi i одержимо мажорантну
Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної ... 119
для (31) систему рекурентних рiвнянь
Cj+1=w
j∑
p=0
Uj−pCp,
Uj+1=Mn
{
j∑
s=0
Uj−sUs + Cj
}
,
Vj+1=Nn
{
j∑
s=0
Uj−sUs + Cj
}
, j = 0, 1, ...,
C0 = 1, U0 =
∥∥∥u(0)n
∥∥∥ ,
тобто cj ≤ Cj , uj ≤ Uj , vj ≤ Vj , j = 0, 1, ... Враховуючи спiввiдноше-
ння
NnUj+1 =MnVj+1, (32)
з першого та другого рiвнянь отримуємо
Cj+1 = w
j∑
p=0
Uj−pCp, Uj+1 =Mn
{
j∑
s=0
Uj−sUs + Cj
}
, j = 0, 1, ...,
C0 = 1, U0 = ||u(0)n ||.
Ввiвши новi змiннi та новi мажорантнi змiннi
M−j
n Uj = Ũj, M−j
n Cj = C̃j , (33)
перейдемо до нової мажорантної системи
C̃j+1 = w
j∑
p=0
Ũj−pC̃p, Ũj+1 =
j∑
s=0
Ũj−sŨs + C̃j , j = 0, 1, ...,
C̃0 = 1, Ũ0 = ||u(0)n ||.
(34)
Для того, щоб розв’язати (34), введемо такi твiрнi функцiї:
f(z) =
∞∑
j=0
zjŨj , g(z) =
∞∑
j=0
zjC̃j .
Виходячи з (34), отримаємо систему рiвнянь
f(z)− U0 = z
[
f2(z) + g(z)
]
, g(z)− 1 = w [f(z)− U0] g(z). (35)
120 В. Л. Макаров, Н. М. Романюк
Виразивши з другого рiвняння g(z) = 1/ {1− w [f(z)− U0]} та пiд-
ставивши цей вираз в перше, отримаємо
− zwf3(z) + (w + z + zwU0)f
2(z)− (zwU0 + 1)f(z)+
+ (wU2
0 + U0 + z) = 0. (36)
Помiняємо у рiвняннi (36) мiсцями залежну i незалежну змiннi, тобто
будемо розглядати z як функцiю вiд f :
z(f) =
w(f − U0)
(
f − wU0+1
w
)
w f2
(
f − wU0+1
w
)
− 1
. (37)
Аналiз функцiї (37) показує, що
z(U0) = z
(
wU0 + 1
w
)
= 0; z(f) > 0 ∀f ∈
(
U0,
wU0 + 1
w
)
;
z′(U0) =
1
(U0)2 + 1
> 0, z′
(
wU0 + 1
w
)
= −1 < 0.
Звiдси робимо висновок про те, що iснує таке zmax = z(fmax), fmax ∈(
U0,
wU0+1
w
)
, яке є радiусом збiжностi ряду f(z), а отже, iснують такi
додатнi сталi L, ε, якi не залежать вiд j, n, що виконується наступне:
(zmax)
j Ũj ≤
L
j1+ε
, j = 1, 2, ... (38)
Враховуючи (38), для z ≥ 0 отримуємо
∞∑
j=0
zj ||ũ(j)i || ≤
∞∑
j=0
(
z
zmax
Mn
)j
Ũj (zmax)
j ≤
≤ 1 +
∞∑
j=1
(
z
zmax
Mn
)j
L
j1+ε
. (39)
Нехай виконується умова
qn =
Mn
zmax
< 1, (40)
тодi нерiвнiсть (39) буде вiрною ∀z ∈ [0, 1], а отже, буде вiрною нерiв-
нiсть
||ũ(j)i || ≤ L [qn]
j
j1+ε
, j = 1, 2, ... (41)
Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної ... 121
Iз (27) та (41) отримуємо наступну рекурентну систему нерiвностей:
||~C(j)
n ||R ≤ wL
j−1∑
p=0
[qn]
j−p ||~C(p)
n ||R, j = 1, 2, ...,
розв’язок якої мажорується розв’язком такої системи рiвнянь:
Cj = wL
j−1∑
p=0
[qn]
j−p
Cp, j = 1, 2, ..., C0 = 1, ||~C(j)
n ||R ≤ Cj .
Використовуючи метод твiрних функцiй, отримуємо
g(z) =
1
1− 2wL(f̃(z)− 1)
, f̃(z) =
∞∑
j=0
zj [qn]
j
.
Iз розкладу функцiї g(z) в ряд Тейлора g̃(z) =
∑∞
j=0 z
jC̃j , Cj ≤ C̃j
випливає, що
C̃j =
wL
1 + wL
[qn(1 + wL)]
j
.
Цей ряд збiгається ∀z ∈ [0, 1] за умови, що
qn(1 + wL) < 1. (42)
Теорема 4.1 ( [11]). Нехай виконуються умови (40), (42). Тодi
FD-метод для задачi (1) є експоненцiально збiжним для власних
векторiв та суперекспоненцiально збiжним для власних значень з
такими оцiнками його точностi:
‖un,i −
N
un,i‖ ≤ L [wkn + 1]
[qn(1 + wL)]
N+1
1− qn(1 + wL)
, (43)
|λn,i −
N
λn,i| ≤
L ‖ϕ(B)‖ ‖f (0)
n ‖∗ [qn]N
(N + 1)1+ε(1− qn)
. (44)
Тут i = 1, kn.
Оцiнка для власних векторiв (43) в теоремi 4.1 може бути покра-
щена. З цiєю метою подiбно до (36) записуємо рiвняння для твiрної
функцiї g(z) =
∑∞
j=0 z
jC̃j
g(z) =
1
1− wz
(
(g(z)(U0w+1)−1)2
w2g2(z) + g(z)
) , (45)
122 В. Л. Макаров, Н. М. Романюк
де cj = ||~C(j)
n ||R ≤ Cj = M j
nC̃j , j = 0, 1, 2, ..., c0 = C0 = C̃0 = 1, i
розв’язуємо вiдносно z, тобто запишемо z як функцiю вiд g
z(g) =
wg (g − 1)
g3w2 + (g (U0w + 1)− 1)2
. (46)
Для дослiдження функцiї z(g) знаходимо
z′(g) = −w(w
2g2((g − 1)2 − 1− (U0)
2) + (g − 1)2)
[g3w2 + (g(U0w + 1)− 1)2]2
. (47)
З аналiзу (46), (47) робимо висновок, що
z(g) > 0 ∀ g ∈ (1,∞); z(1) = 0, z(∞) = 0; z′(1) =
1
w((U0)2 + 1)
> 0,
z′
(
1 +
√
(U0)2 + 1
)
=
= − w((U0)
2+1)
[(
1+
√
(U0)2+1
)3
w2+
(
(1+
√
(U0)2+1)(U0w+1)− 1
)2]2 < 0,
i, отже, iснує таке gmax ∈
(
1, 1 +
√
(U0)2 + 1
)
, при якому функцiя
z(g) досягає свого максимума
z1,max = max
g∈
[
1,1+
√
(U0)2+1
] z(g) = z(gmax),
який є радiусом збiжностi ряду g(z) i який спiвпадає iз радiусом збi-
жностi ряду f(z), тобто z1,max = zmax. Тодi при виконаннi умови (40)
iснують такi додатнi сталi L1, ε1, якi не залежать вiд j, n, що викону-
ється нерiвнiсть
(zmax)
j C̃j ≤
L1
j1+ε1
, j = 1, 2, ... (48)
Враховуючи (48), введенi вище позначення та замiни (30), (33), для
z ≥ 0 отримуємо
∞∑
j=0
zj‖ ~C(j)
n ‖R≤
∞∑
j=0
(
z
zmax
Mn
)j
C̃j(zmax)
j≤1+
∞∑
j=1
(
z
zmax
Mn
)j
L1
j1+ε1
,
Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної ... 123
яка буде вiрною ∀z ∈ [0, 1] при виконаннi умови (40), а отже, буде
вiрною нерiвнiсть
‖ ~C(j)
n ‖R ≤ L1 [qn]
j
j1+ε1
, j = 1, 2, ... (49)
З нерiвностей (29), (41) та (49) випливає оцiнка
||u(j)n,i|| ≤
2L̄[qn]
j
j1+ε̄
, j = 1, 2, ..., L̄ = max(L,L1), ε̄ = min(ε, ε1). (50)
Таким чином, посилено оцiнку (43) та доведено наступну теорему,
яка є головним результатом даної роботи.
Теорема 4.2. Нехай виконується умова (40). Тодi FD-метод для
задачi (1) є суперекспоненцiально збiжним як для власних значень
з оцiнкою його точностi (44), так i для власних векторiв з насту-
пною оцiнкою його точностi:
‖un,i −
N
un,i‖ ≤ 2L̄
[qn]
N+1
(N + 1)1+ε̄(1 − qn)
, i = 1, kn. (51)
5. Застосування FD-методу до задач Штурма-
Лiувiлля з матричним потенцiалом
В роботах [23, 24] для скалярних задач Штурма-Лiувiлля з рiвнян-
ням Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом q(x) у гiльбертовому
просторi та крайовими умовами Дiрiхле (53) i Дiрiхле-Неймана (54)
d2u(x)
dx2
+ (λ− q(x)) u(x) = 0, q(x) =
r∑
l=0
clx
l, x ∈ (0, 1), (52)
u(0) = u(1) = 0, (53)
u(0) = u′(1) = 0 (54)
доведено теореми, якi об’єднано в наступнiй теоремi.
124 В. Л. Макаров, Н. М. Романюк
Теорема 5.3 (див. [23, 24]). Справедливими є такi структурнi
зображення розв’язкiв рекурентних задач згiдно з FD-методом (з
вибором q̄(x) ≡ 0) для задач (52), (53) та (52), (54)
u(0)n (x) =
√
2 sin
(√
λ
(0)
n x
)
, a
(0)
0 =
√
2, (55)
u(2j−1)
n (x) =
(2j−1)(r+1)∑
p=1
b(2j−1)
p xp cos
(√
λ
(0)
n x
)
+
+
(2j−1)(r+1)−1∑
p=0
a(2j−1)
p xp sin
(√
λ
(0)
n x
)
,
(56)
u(2j)n (x) =
2j(r+1)−1∑
p=1
b(2j)p xp cos
(√
λ
(0)
n x
)
+
+
2j(r+1)∑
p=0
a(2j)p xp sin
(√
λ
(0)
n x
)
,
(57)
j = 1, 2, ...,
де (55) з λ
(0)
n = (πn)2 або (55) з λ
(0)
n = π2(n − 1/2)2 – розв’язки
базових задач для (52), (53) та (52), (54) вiдповiдно, коефiцiєнти
b
(2j−1)
p , (p = 1, (2j − 1)(r + 1)), a
(2j−1)
p , (p = 1, (2j − 1)(r + 1)− 1),
b
(2j)
p , (p = 1, 2j(r + 1)− 1), a
(2j)
p , (p = 1, 2j(r + 1)), j = 1, 2, ... за-
лежать вiд r, cl (l = 0, r), j, λ
(0)
n .
Цi теореми природнiм чином узагальнюються на випадок задачi
Штурма-Лiувiлля iз симетричним матричним потенцiалом, в якому
кожен елемент є полiномом деякого степеня. Проiлюструємо це на на-
ступному прикладi, в якому також наведено результати обчислень,
якi стосуються суперекспоненцiальної збiжностi (згiдно з теорема-
ми 4.1, 4.2) запропонованого в [11] алгоритму FD-методу .
Приклад 5.1. Розглянемо одновимiрну по простору векторно-
матричну задачу Штурма-Лiувiлля з крайовими умовами Дiрiхле на
вiдрiзку (0, 1), тобто задачу (1), в якiй оператори A, B визначенi на-
ступним чином:
D (A) =
{
v ∈ C2 [0, 1] : v (0) = v (1) = 0
}
, Av =
d2v (x)
dx2
∀v ∈ D (A) ,
Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної ... 125
D (B) = L2 (0, 1) , Bv = Q (x) v (x) ,
Q (x) = (1/2− x) ·
1 1 (1/2− x)2
1 1 1
(1/2− x)
2
1 1
, x ∈ (0, 1).
В таблицi 1 наведено трiйки власних значень λexn,l, l = 1, 3, n =
1, 4, 8, отриманi за допомогою методу стрiльби з використанням ме-
тоду Гiра для iнтегрування вiдповiдних задач Кошi. Обчислення здiй-
сненi за допомогою системи комп’ютерної алгебри Maple 17 (з Digi-
ts=128, maxord=11, abserr=10−36, relerr=10−24).
За допомогою реалiзованого в пакетi MATSCS в Matlab методу
CPM{10, 8} (див. [18]) знайдено власнi значення Ek в режимi обчи-
слень з подвiйною точнiстю та допустимим вiдхиленням tol = 10−15.
Деякi з них при k = 0, 11 та k = 21, 23 разом з похибками обчислень
∆Ek наведенi в таблицi 1. Кiлькiсть iнтервалiв розбиття «основної»
сiтки nint = 25. Як видно з таблицi 1, вже при невеликих номерах
k власнi значення в трiйках спiвпадають, а саме E3 = E4, E6 = E7,
E3t = E3t+1 = E3t+2, t >= 3. Це зумовлено близькiстю власних зна-
чень в трiйках та використанням розбиття вiдрiзку, яке генерується
на початку виконання алгоритму CPM-методу, для обчислення всiх
власних значень.
Застосуємо найпростiший варiант FD-методу, коли B̄=0. Псевдо-
обернений оператор Мура-Пенроуза Γ+ має вигляд:
Γ+v = (gn(x, ·), vn(·)) =
∫ 1
0
gn(x, ξ)vn(ξ)dξ,
gn(x, ξ)=
1
4π2n2
(cos(nπ(x+ξ))−cos(nπ(x−ξ)))− 1
2πn
(sin(nπ(x+ξ))×
× (1− x− ξ)−sin(nπ|x − ξ|)(1− |x− ξ|)),
де gn(x, ξ) – узагальнена функцiя Грiна. В цьому випадку кожне вла-
сне значення λ
(0)
n = (nπ)2 базової задачi є трикратним i йому вiд-
повiдає система власних векторiв en,m(x) =
√
2 sin(nπx)|[δm,s]|s=1,3 ,
m = 1, 3. Загальними розв’язками базової задачi є власнi вектори
u
(0)
n,p(x) =
∑3
m=1 C
(0)
n,p,men,m(x), p = 1, 3. FD-метод в даному прикладi
є таким, що точно реалiзується. При цьому λ
(2j−1)
n,l = 0, l = 1, 3,
j = 1, 2, ... Поправки λ
(2j)
n,l , l = 1, 3, j = 1, 3 та u
(1)
n,l(x), u
(2j)
n,l (x),
u
(2j+1)
n,l (x), l = 1, 3, j = 1, 2 знайдено в аналiтичнiй формi, яка дає
126 В. Л. Макаров, Н. М. Романюк
Таблиця 1. Власнi значення λex
n,l, l = 1, 3, n = 1, 4, 8 та Ek, k = 0, 11, 21, 23,
обчисленi за допомогою методу стрiльби та методу CPM{10, 8} вiдповiдно.
n l λex
n,l
k Ek ∆Ek
1 1 9.863005897991451947257214 0 9.86300589799145 +3.55e-015
2 9.868665687828881068818954 1 9.86866568782887 +2.19e-015
3 9.869448153557578352854274 2 9.86944815355757 +2.19e-015
2 1 39.47847505309593329887386 3 39.4784750530959 +8.77e-015
2 39.47875905307639709887213 4 39.4784750530959 +8.77e-015
3 39.48029773815411128857833 5 39.4802977381541 -1.42e-014
3 1 88.82646667897491171279617 6 88.8264666789749 +1.97e-014
2 88.82660431609601029718887 7 88.8264666789749 +1.97e-014
3 88.82761296473985512606048 8 88.8276129647398 +2.84e-014
4 1 157.9136858376700168133047 9 157.913685837670 +3.51e-014
2 157.9137647274037242550664 10 157.913685837670 +3.51e-014
3 157.9143992106911288540809 11 157.913685837670 +3.51e-014
8 1 631.6546855642199543269033 21 631.654685564219 +1.40e-013
2 631.6547055560593258633251 22 631.654685564219 +1.40e-013
3 631.6548807432349298044469 23 631.654685564219 +1.40e-013
можливiсть проаналiзувати їх залежнiсть вiд номера n трiйки вла-
сних значень. Завдяки цьому при використаннi FD-методу вдається
уникнути наведених вище труднощiв, якi виникають при обчисленнях
за допомогою методу CPM{10, 8}. Для прикладу наведемо декiлька
перших поправок до власних значень з номером l = 2 в трiйцi
λ
(2)
n,2 =
407
26880π2n2
− 41
1280n4π4
− 69
64π6n6
− 621
64π8n8
,
λ
(4)
n,2 =
1
2048π6n6
(
3505027
10090080
− 175217
13200π2n2
− 1780713
1400π4n4
− 1058901
20π6n6
−
−1315017
π8n8
− 10777887
π10n10
+
298392093
π12n12
)
,
λ
(6)
n,2=
1
262144π10n10
(
1667581358327
1140683544000
− 12287385727
51979200π2n2
− 152354952053
3234000π4n4
− 12586852796619
2802800π6n6
− 8906760196623
30800π8n8
− 31079098729737
2800π10n10
+
4638985272207
140π12n12
+
627884964879723
20π14n14
+
1232333454333699
π16n16
− 15115583818323711
π18n18
)
Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної ... 127
Таблиця 2. Збiжнiсть FD-методу вiдносно власних значень λn,l, l = 1, 3 з
номерами n = 1, 4, 8.
n j |λ
(j)
n,1| ∆n,1(j) |λ
(j)
n,2| ∆n,2(j) |λ
(j)
n,3| ∆n,3(j)
1 0 9.870 6.6e-3 9.870 9.4e-4 9.870 1.6e-4
2 6.599e-3 7.8e-7 9.387e-4 1.8e-8 1.562e-4 5.0e-10
4 7.877e-7 2.3e-10 1.778e-8 7.9e-13 4.995e-10 3.7e-15
6 2.301e-10 8.7e-14 7.916e-13 4.9e-17 3.746e-15 1.4e-18
2 0 39.48 5.7e-5 39.48 3.4e-4 39.48 1.9e-3
2 5.745e-5 6.8e-10 3.415e-4 1.7e-8 1.881e-3 7.6e-7
4 6.796e-10 2.2e-14 1.778e-8 8.0e-13 7.567e-7 2.3e-10
6 2.125e-14 1.2e-15 8.050e-13 4.5e-17 2.329e-10 4.4e-14
3 0 88.83 2.7e-5 88.83 1.6e-4 88.83 1.2e-3
2 2.707e-5 3.5e-12 1.647e-4 4.3e-11 1.173e-3 3.0e-8
4 3.477e-12 3.1e-16 4.269e-11 1.3e-14 2.968e-8 2.7e-12
6 3.314e-16 2.4e-17 1.322e-14 8.5e-20 2.710e-12 9.2e-16
4 0 157.9 1.5e-5 157.9 9.4e-5 157.9 7.3e-4
2 1.542e-5 3.3e-12 9.431e-5 2.4e-11 7.288e-4 1.6e-9
4 3.334e-12 5.9e-17 2.438e-11 1.4e-16 1.604e-9 1.6e-13
6 6.218e-17 2.8e-18 1.408e-16 1.2e-19 1.635e-13 5.9e-17
8 0 631.8 3.9e-6 631.8 2.4e-5 631.8 2.0e-4
2 3.895e-6 2.4e-13 2.389e-5 6.3e-13 1.991e-4 4.4e-11
4 2.373e-13 8.5e-19 6.257e-13 2.8e-20 4.364e-11 2.1e-17
6 8.430e-19 1.1e-20 3.603e-20 7.7e-21 2.111e-17 1.2e-19
та декiлька перших вiдповiдних поправок до власних векторiв, якi
iлюструють узагальнення наведеної вище теореми 5.3 на випадок ма-
тричного потенцiалу
u
(j)
n,2(x) =
[
u
(j)
n,2[1](x), 0, −u(j)n,2[1](x)
]T
, j = 0, 5,
де
u
(0)
n,2[1](x) = − sin (πnx) ,
u
(1)
n,2[1](x) =
(
−x3+3
2
x2+
(
1
4
+
3
2π2n2
)
x− 3
8
− 3
4π2n2
)
sin (πnx)
4π2n2
+
+
(
1
2
x4−x3−
(
1
4
+
3
2n2π2
)
x2+
(
3
4
+
3
2n2π2
)
x
)
cos (πnx)
4πn
,
u
(2)
n,2[1](x)=
(
1
4
x8−x7+
(
3
4
− 13
2π2n2
)
x6+
(
5
4
+
39
2π2n2
)
x5−
(
23
16
+
128 В. Л. Макаров, Н. М. Романюк
Таблиця 3. Збiжнiсть FD-методу вiдносно власних векторiв un,l(x), l =
1, 3 з номерами n = 1, 4, 8.
n j ||u
(2j)
n,1 || ||u
(2j+1)
n,1 || ||u
(2j)
n,2 || ||u
(2j+1)
n,2 || ||u
(2j)
n,3 || ||u
(2j+1)
n,3 ||
1 0 0.9866 1.470e-2 1 5.627e-3 1.013 2.321e-3
1 9.206e-5 1.901e-6 1.238e-5 1.109e-7 2.047e-6 7.881e-9
2 1.669e-8 5.421e-10 3.551e-10 4.859e-12 1.193e-11 5.882e-14
2 0 0.9931 4.284e-3 1 9.082e-3 1.007 2.399e-2
1 3.174e-6 8.340e-8 4.930e-6 7.680e-8 4.432e-5 1.210e-6
2 5.267e-10 1.193e-11 8.545e-11 3.647e-12 5.531e-9 3.866e-10
3 0 1.013 2.257e-3 1 5.196e-3 0.9865 1.431e-2
1 1.215e-6 4.844e-9 9.786e-6 2.256e-8 6.936e-5 4.525e-7
2 5.890e-11 3.679e-13 2.922-11 8.743e-14 1.448e-9 1.288e-11
4 0 1.019 1.825e-3 1 4.399e-3 0.9803 1.205e-2
1 1.007e-6 4.799e-9 3.731e-6 1.145e-8 2.845e-5 2.509e-7
2 2.246e-11 1.203e-13 1.245-11 3.626e-14 7.380e-10 6.149e-12
8 0 1.025 8.794e-4 1 2.182e-3 0.9746 6.028e-3
1 2.565e-7 6.189e-10 1.142e-6 1.301e-9 9.103e-6 3.037e-8
2 1.674e-12 3.470e-15 1.041-12 1.076e-15 4.756e-11 2.131e-13
+
11
π2n2
− 207
4π4n4
)
x4−
(
3
8
+
21
2π2n2
+
207
2π4n4
)
x3+
(
9
16
+
121
16π2n2
+
+
69
2π4n4
− 621
4π6n6
)
x2+
(
15
16π2n2
+
69
4π4n4
+
621
4π6n6
)
x− 247
10080
−
− 1633
3360π2n2
− 931
160π4n4
− 501
8π6n6
− 3879
8π8n8
)
sin (πnx)
32π2n2
+
(
11
7
x7− 11
2
x6+
+
(
73
20
− 207
10π2n2
)
x5+
(
37
8
+
207
4π2n2
)
x4−
(
103
24
+
23
π2n2
− 207
2π4n4
)
x3−
−
(
15
16
+
69
4π2n2
+
621
4π4n4
)
x2+
(
1483
1680
+
46
5π2n2
+
207
4π4n4
)
x
)
cos (πnx)
32π3n3
.
Аналiтичнi перетворення та чисельнi розрахунки згiдно з FD-
методом здiйснювались за допомогою системи комп’ютерної алгебри
Maple 17 (з Digits=128). Поправки до власних значень по абсолю-
тнiй величинi та абсолютнi похибки наближень FD-методу ∆n,l(N) =
|λexn,l −
N
λn,l| рангу N = 0, 2, 4, 6 до власних значень λexn,l, l = 1, 3 з но-
мерами n = 1, 4, 8 наведенi в таблицi 2. В таблицi 3 наведено норми
поправок до власних векторiв u(j)n,l(x), l = 1, 2, 3, j = 0, 5 з номерами
Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної ... 129
n = 1, 4, 8:
||u(j)n,l|| = max
{
max
x∈[0,1]
|u(j)n,l[1](x)|, max
x∈[0,1]
|u(j)n,l[2](x)|, max
x∈[0,1]
|u(j)n,l[3](x)|
}
.
Як видно з таблиць 2, 3, чисельнi розрахунки iлюструють доведенi
теореми 4.1, 4.2 (див. оцiнки (44), (51)) щодо суперекспоненцiальної
швидкостi збiжностi запропонованого алгоритму FD-методу як вiд-
носно власних значень, так i вiдносно власних векторiв.
[1] Allgower E. L., Georg K. Introduction to Numerical Continuation
Methods. – Colorado State University, Colorado, 1990. – P. 397.
[2] Armstrong M. A. Basic Topology. – Springer-Verlag New York Inc., 1983. –
P. XII+251.
[3] Bandyrskii B. I., Gavrilyuk I. P., Lazurchak I. I., Makarov V. L.
Functional-discrete method (FD-method) for matrix Sturm-Liouville
problems // CMAM. – 2005. – 5, 4. – P. 362–386.
[4] Bogoliouboff N. N., Kryloff N. M. Sopra il metodo dei coefficienti constanti
(metodo dei tronconi) per l’integrazione approssimata delle equazioni di-
fferenziali della fisica matematica // Boll. Unione mat. ital. – 1928. – 7,
2. – P. 72–77.
[5] Dähnn J. Anwendung eines direkten Verfahrens zur numerischen
Behandlung von selbstadjungierten, positiv definiten Eigenwertaufgaben
bei linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit stückweise stetigen
Koeffizientenfunktionen // ZAMM – J. Appl. Math. & Mech. — 1982. —
62, 12. — P. 687–695.
[6] El-Daou M.K. Exponentially weighted Legendre–Gauss Tau methods for
linear second-order differential equations // Comp. & Math. Appl. — July
2011. — 62, 1. — P. 51-–64.
[7] El-Daou M. K., Al-Matar N. R. An improved Tau method for a class of
Sturm–Liouville problems // Appl. Math. & Comp. — June 2010. — 216,
7. — P. 1923–1937.
[8] Dwyer H. I., Zettl A. Eigenvalue Computations for Regular Matrix
Sturm-Liouville Problems [Електронний ресурс] // El. J. Di-
ff. Eq. — 1995. — 1995, 05. — P. 1–13. — Режим доступу:
http://ejde.math.txstate.edu/Volumes/1995/05/Dwyer.pdf (дата зверне-
ння: 05.09.15).
130 В. Л. Макаров, Н. М. Романюк
[9] Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. Super-exponentially convergent parallel
algorithm for eigenvalue problems in Hilbert spaces // Intern. conf. «Di-
ff. eq. & appl. (DETA 2009)» [ed. V. Kleiza, S. Rutkauskas, A. Sti-
konas], September 10-12, 2009, Panevezys, Lithuania, Kaunas university of
technology Panevezys institute, Vilnius university, Institute of mathemati-
cs and informatics. – Kaunas, Technologija, 2009. — P. 86–92.
[10] Gavrilyuk I. P., Makarov V. L., Popov A. M. Super-exponentially
convergent parallel algorithm for eigenvalue problems for the fourth order
ODE’s // J. Numer. & Appl. Math. — 2010. — 100, 1. — P. 60–81.
[11] Gavrilyuk I. P., Makarov V. L., Romaniuk N. M. Super-exponentially
convergent algorithm for an abstract eigenvalue problem with applications
to ODEs // Nonl. Osc. — 2015. — 18, 3. — P. 332–356.
[12] Gordon R. G. New Method for Constructing Wave functions for Bound
States and Scattering // J. Chem. Phys.— May 1969. — 51, 1. — P. 14–25.
[13] He J.-H. Homotopy perturbation technique // Comp. Methods Appl.
Mech. & Eng. — August 1999. — 178, 3–4. — P. 257—262.
[14] Liao Sh. The proposed homotopy analysis technique for the solution of
nonlinear problems: Ph.D. Thesis; Shanghai Jiao Tong Univ., 1992.
[15] Pruess S. Estimating the eigenvalues of Sturm-Liouville problems by
approximating the differential equation // SIAM J. Numer. Anal. —
1973. — 10, 1. — P. 55–68.
[16] Pryce J. D. Numerical Solution of Sturm-Liouville Problems. — Oxford,
New York, Tokyo: Clarendon Press, 1993. — P. 323.
[17] Rach R. A bibliography of the theory and applications of the Adomian
decomposition method, 1961–2011 [Електронний ресурс]. — Kybernetes,
2012. — 41, 7/8. — Режим доступу: http://www.emeraldinsight.com/doi/
abs/10.1108/k.2012.06741gaa.007 (дата звернення: 31.08.2015), DOI:
10.1108/k.2012.06741gaa.007.
[18] Universiteit Gent. Vakgroep Toegepaste Wiskunde, Informatica en
Statistiek. Onderzoek. Numerical Mathematics. The numerical soluti-
ons of Sturm-Liouville and Schrödinger equations. [Електронний ре-
сурс]. — Режим доступу: http://www.twist.ugent.be/index.php?page=
onderzoek&ot=SLsoftware (дата звернення: 05.09.15).
[19] Zhang Zhimin. How Many Numerical Eigenvalues Can We Trust? // Spri-
nger US, J. Sci. Comp. — 2015, First online: 23 December 2014. — 65,
2. — P. 455–466.
[20] Бандирський Б. Й., Макаров В. Л., Уханьов О. Л. FD-метод для за-
дач Штурма-Лiувiлля. Експоненцiйна швидкiсть збiжностi // Ж. обч.
прикл. матем. — 2000. — 1, 85. — C. 1–60.
Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної ... 131
[21] Василик В. Б., Драгунов Д. В., Ситник Д. О. Функцiонально-
дискретний метод розв’язування операторних рiвнянь та його засто-
сування. – К.: Наук. думка, 2011. — С. 176.
[22] Макаров В. Л. О функционально-разностном методе произвольно-
го порядка точности решения задачи Штурма-Лиувилля с кусочно-
гладкими коэффициентами // ДАН СССР.— 1991.— 320, 1. — С. 34-
39.
[23] Макаров В. Л., Романюк Н. М. Новi властивостi FD-методу при його
застосуваннях до задач Штурма-Лiувiлля // Доп. НАН України. —
2014. — № 2. — С. 26—31.
[24] Макаров В. Л., Романюк Н. Н. Новая реализация FD-метода для
случая задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле-
Неймана // Тр. Ин-та матем. НАН Белар. — 2014. — 22, 1. — C. 98–106.
[25] Макаров В. Л., Романюк Н. М. FD-метод для задачi на власнi значен-
ня в гiльбертовому просторi з кратними власними значеннями базової
задачi в особливому випадку // Доп. НАН України. — 2015. — № 5. —
С. 26–35.
[26] Макаров В. Л., Романюк Н. М., Лазурчак I. I. FD-метод для задачi
на власнi значення з кратними власними значеннями базової задачi //
Зб. пр. Iн-ту матем. НАН України, 2014. — 11, 4. — C. 239–265.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-26 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:10Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2b/a5b8ff455acaa6729d563276d7cb0d2b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-262018-01-23T12:01:13Z A superconvergence of an FD-method for a spectral problem in the Banach space Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної задачi в банаховому просторi Макаров, В. Л. Романюк, Н. М. Макаров, В. Л. Романюк, Н. М. In this work we obtaine necessary conditions for the FD-method’s super-exponential convergence with respect to eigenvectors. The mentionedmethod is targeted to solve spectral problems for linear operators in Banachspace wich can contain eigenvalues of arbitrary multiplicity. В работе получены достаточные условия супер-экспоненциальной схо-димости относительно собственных векторов предложенного ранее ав-торами алгоритма FD-метода для решения спектральных задач длялинейных операторов с дискретным спектром, действующих в бана-ховом пространстве. При этом, как исходная задача, так и операторыпромежуточных задач FD-метода могут иметь кратные собственныезначения. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/26 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 109-131 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 109-131 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 109-131 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/26/26 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Макаров, В. Л. Романюк, Н. М. Макаров, В. Л. Романюк, Н. М. A superconvergence of an FD-method for a spectral problem in the Banach space |
| title | A superconvergence of an FD-method for a spectral problem in the Banach space |
| title_alt | Суперекспоненцiальна збiжнiсть FD-методу для спектральної задачi в банаховому просторi |
| title_full | A superconvergence of an FD-method for a spectral problem in the Banach space |
| title_fullStr | A superconvergence of an FD-method for a spectral problem in the Banach space |
| title_full_unstemmed | A superconvergence of an FD-method for a spectral problem in the Banach space |
| title_short | A superconvergence of an FD-method for a spectral problem in the Banach space |
| title_sort | superconvergence of an fd-method for a spectral problem in the banach space |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/26 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl asuperconvergenceofanfdmethodforaspectralprobleminthebanachspace AT romanûknm asuperconvergenceofanfdmethodforaspectralprobleminthebanachspace AT makarovvl asuperconvergenceofanfdmethodforaspectralprobleminthebanachspace AT romanûknm asuperconvergenceofanfdmethodforaspectralprobleminthebanachspace AT makarovvl supereksponencialʹnazbižnistʹfdmetodudlâspektralʹnoízadačivbanahovomuprostori AT romanûknm supereksponencialʹnazbižnistʹfdmetodudlâspektralʹnoízadačivbanahovomuprostori AT makarovvl supereksponencialʹnazbižnistʹfdmetodudlâspektralʹnoízadačivbanahovomuprostori AT romanûknm supereksponencialʹnazbižnistʹfdmetodudlâspektralʹnoízadačivbanahovomuprostori AT makarovvl superconvergenceofanfdmethodforaspectralprobleminthebanachspace AT romanûknm superconvergenceofanfdmethodforaspectralprobleminthebanachspace AT makarovvl superconvergenceofanfdmethodforaspectralprobleminthebanachspace AT romanûknm superconvergenceofanfdmethodforaspectralprobleminthebanachspace |