On some approximation properties of $q$-parametric Bernstein polynomials
In 1997 Phillips introduced generalized Bernstein polynomials ${{B}_{n}}(f,q;x)$ based on the $q$-integers and $q$-binomial coefficients for any $q>0$. For $q=1$, generalized Bernstein polynomials ${{B}_{n}}(f,q;x)$ coincide with the classical ones ${{B}_{n}}(f;x)$. For $q\ne 1$, one gets...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/260 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552758183198720 |
|---|---|
| author | Naiko, D. A. Найко, Д. А. |
| author_facet | Naiko, D. A. Найко, Д. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Д. А. Найко",
"institution": "ВІННИЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ"
}
] |
| author_sort | Naiko, D. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:13:23Z |
| description | In 1997 Phillips introduced generalized Bernstein polynomials ${{B}_{n}}(f,q;x)$ based on the $q$-integers and $q$-binomial coefficients for any $q>0$. For $q=1$, generalized Bernstein polynomials ${{B}_{n}}(f,q;x)$ coincide with the classical ones ${{B}_{n}}(f;x)$. For $q\ne 1$, one gets a new class of polynomials having many interesting properties. In this paper we obtain the asymptotic formulae on the approximation of function $f(t)={{t}^{i}}\,\,\,\,(i\in Z)$ by the generalized Bernstein polynomials ${{B}_{n}}(f,q;x)$ in the case $q$ is fixed as $n\to +\infty $. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 214–226
УДК 517.51
Д. А. Найко
(Вiнницький нацiональний аграрний унiверситет)
Про деякi апроксимацiйнi
властивостi q-параметричних
многочленiв Бернштейна
dmnaiko@ukr.net
In 1997 Phillips [1] introduced generalized Bernstein polynomials
Bn(f, q;x) based on the q–integers and q–binomial coefficients for
any q > 0. For q = 1, generalized Bernstein polynomials Bn(f, q;x)
coincide with the classical ones Bn(f ;x). For q 6= 1, one gets a
new class of polynomials having many interesting properties. In this
paper we obtain the asymptotic formulae on the approximation of
function f(t) = ti (i ∈ Z) by the generalized Bernstein polynomials
Bn(f, q;x) in the case q is fixed as n→ +∞.
У 1997 роцi Фiлiпс (Fhillips) ввiв узагальненi полiноми Бернштей-
на Bn(f, q;x), побудованi на q–бiномiальних коефiцiєнтах (q > 0).
При q = 1 полiноми Bn(f, q;x) збiгаються з класичними много-
членами Бернштейна Bn(f ;x), але у випадку q 6= 1 — це новий
клас полiномiв, що мають цiлий ряд цiкавих властивостей. Ми
встановлюємо асимптотичну формулу наближення q–полiномами
Бернштейна степеневої функцiї при фiксованому q.
Наведемо означення q–полiномiв Бернштейна, введених Фiлi-
псом [1], та деякi їхнi властивостi, пов’язанi в тiй чи iншiй мiрi з
c© Д. А. Найко, 2016
Про деякi апроксимацiйнi властивостi... 215
нашим дослiдженням. Деякi результати дослiджень цих опера-
торiв можна знайти, зокрема, в роботах [1–10].
Нехай q > 0. Для будь–якого n = 0, 1, 2, ... у виглядi
[n]q := 1 + q + ...+ qn−1 (n ∈ N), [0]q := 0,
визначається q–число [n]q. Вводимо q–факторiал [n]q! за допомо-
гою рiвностi
[n]q! = [1]q[2]q...[n]q (n ∈ N), [0]q! := 0.
q–бiномiальними коефiцiєнтами називаються числа[
n
k
]
q
:=
[n]q!
[k]q![n− k]q!
, 0 ≤ k ≤ n.
Означення. Нехай f ∈ C[0, 1]. Узагальненим полiномом Берн-
штейна, побудованим на q–числах, називається полiном
Bn(f, q;x) :=
n∑
k=0
f
(
[k]q
[n]q
)[
n
k
]
q
xk
n−1−k∏
s=0
(1− qsx), (1)
n = 1, 2, ... . (Вважаємо, що порожнiй добуток дорiвнює одини-
цi). Цi полiноми ввiв Фiлiпс [1] у 1997 роцi.
Оскiльки параметр q вводиться в номери членiв послiдовностi
{Bn(f, q;x)}, то змiна параметра q призводить до змiни швидко-
стi збiжностi цiєї послiдовностi. Якщо q = 1, то Bn(f, q;x) =
= Bn(f ;x) =
n
Σ
k=0
f
(
k
n
)(n
k
)
xk(1− x)n−k — класичний многочлен
Бернштейна.
З (1) випливає, що Bn(f, q; 0) = f(0), Bn(f, q; 1) = f(1) при
всiх q > 0 та n ∈ N.
В [1] показано, що
Bn(at+ b, q;x) = ax+ b (2)
для всiх q > 0 та n ∈ N i доведено таку теорему (див. також [2]).
216 Д. А. Найко
Теорема 1. Нехай послiдовнiсть {qn} така, що 0 < qn < 1 i
qn → 1 при n→∞. Тодi для будь–якої функцiї f ∈ C[0, 1]
lim
n→∞
Bn(f, qn;x) = f(x) рiвномiрно вiдносно x ∈ [0, 1].
Позначимо через pnk(q;x) :=
[
n
k
]
q
xk
n−1−k∏
s=0
(1− qsx), n ∈ N.
Очевидно, що pnk(q;x) ≥ 0 при q ∈ (0, 1) та x ∈ [0, 1]. З (2)
при a = 0, b = 1 одержуємо, що
n∑
k=0
pnk(q;x) = 1 ∀n ∈ N. Легко
бачити, що lim
n→∞
[k]q
[n]q
= 1− qk.
Позначимо через
p∞k(q;x) := lim
n→∞
pnk(q;x) =
xk
(1− q)k[k]q!
∞∏
s=0
(1− qsx).
Очевидно, що p∞k(q;x) ≥ 0 для x ∈ [0, 1], крiм того (див. [11])
∞∑
k=0
p∞k(q;x) = 1.
Нехай
B∞(f, q;x) :=
∞∑
k=0
f(1− qk)p∞k(q;x), x ∈ [0, 1);
f(1), x = 1.
(3)
О. Iльїнським та С. Островською [2] встановлено такi результати.
Теорема 2. Для будь–якої функцiї f ∈ C[0, 1]
lim
q→1−o
B∞(f, q;x) = f(x) рiвномiрно по x ∈ [0, 1].
Теорема 3. Якщо f — многочлен, то B∞(f, q;x) теж много-
член, причому
degB∞(f, q;x) = deg f.
Теорема 4. Нехай f є многочлен. У такому разi B∞(f, q;x) = 0
тодi i тiльки тодi, коли f = 0.
Про деякi апроксимацiйнi властивостi... 217
Теорема 5. Нехай f ∈ C[0, 1], фiксоване q ∈ (0, 1). То
B∞(f, q;x) = f(x) ∀x ∈ [0, 1] тодi i тiльки тодi, коли
f(x) = ax+ b, a, b ∈ R.
З (1) випливає, що при 0 < q ≤ 1 Bn(f, q;x) є лiнiйним дода-
тним оператором на [0, 1].
У випадку q ≥ 1 Фiлiпс [1] показав, що
Bn(t2, q;x) = x2 +
x(1− x)
[n]q
. (4)
Отже, lim
n→∞
Bn(t2, q;x) = x2 тодi i тiльки тодi, коли q ≥ 1.
Дослiдження операторiв Bn(f, q;x) у випадку q ≥ 1 можна
знайти, наприклад, в [3].
Теорема 6. Нехай q ≥ 1 — фiксоване дiйсне число. Тодi для
будь–якого многочлена p(x)
lim
n→∞
Bn(p, q;x) = p(x).
Теорема 7. Нехай q ∈ (1,∞), а функцiя f — аналiтична в де-
якому ε–околi з вiдрiзка [0, 1]. Тодi для будь–якої компактної
множини K ⊂ Dε := {z : |z| < ε}
lim
n→∞
Bn(f, q; z) = f(z), ∀z ∈ K.
Наступна теорема описує поведiнку оператора Bn(f, q;x) при
q → +∞ та достатнiй гладкостi функцiї f .
Теорема 8. Нехай f ∈ Cn−1[0, 1]. Тодi для будь–якої компактної
множини K ⊂ C
lim
q→+∞
Bn(f, q; z) = Bn(f,∞;x) :=
n−1∑
k=0
f (k)(0)
k!
+
+zn
{
f(1)−
n−1∑
k=0
f (k)(0)
k!
}
рiвномiрно по z ∈ K.
218 Д. А. Найко
Наслiдок 1. Якщо f аналiтична в крузi DR, R > 1, то
lim
n→∞
Bn(f,∞; z) = f(z), |z| ≤ 1, рiвномiрно по z.
Отже, взявши q нескiнченно великим, ми отримуємо послi-
довнiсть {Bn(f, q;x)} з хорошими аппроксимацiйними властиво-
стями.
Наслiдок 2. Якщо p — многочлен степеня ≤ n, то
Bn(p,∞; z) = p(z).
Встановимо теорему про асимптотичне подання Bn(ti, q;x),
i = 0, 1, 2, ... , за степенями [n]q.
В [5] показано, що
Bn(ti, q;x) =
i∑
j=0
αj(q, n)[n]j−iq Sq(i, j)x
j , (5)
де
αj = αj(q, n) =
j−1∏
r=0
(
1−
[r]q
[n]q
)
(6)
(вважаємо, що порожнiй добуток дорiвнює 1); функцiї Sq(i, j)
задовольняють рекурентне спiввiдношення
Sq(i+ 1, j) = Sq(i, j − 1) + [j]qSq(i, j),
де Sq(0, 0) := 1, Sq(i, 0) := 0 при i > 0, Sq(i, j) := 0 при i < j.
Теорема 9. При фiксованому i q–полiном Бернштейна
Bn(ti, q;x) має таке асимптотичне подання
Bn(ti, q;x) =
i∑
m=0
1
[n]mq
i∑
p=i−m
(−1)p+m−ixpSq(i, p)×
×
p−1∑
(s1, ... , sp+m−i)
[s1]q...[sp+m−i]q,
(7)
Про деякi апроксимацiйнi властивостi... 219
де сума
k∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q береться за всiма можливими ком-
бiнацiями (s1, ..., sr) з перших k чисел послiдовностi 1, 2, ... ,
i − 1 по r чисел; крiм того,
k∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q := 1, коли
k = −1, 0, 1, 2, ...;
k∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q := 0, коли r > k.
Доведення. Спочатку знайдемо асимптотичне подання за сте-
пенями [n]q чисел αj з (6). А саме, покажемо, що
αj(q, n) =
j−1∑
r=0
(−1)r
1
[n]rq
j−1∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q. (8)
Доведення цього факту проведемо iндукцiєю по j. Справдi, з (6)
маємо
α1(q, n) = 1, α2(q, n) = α1(q, n)
(
1−
[1]q
[n]q
)
= 1−
[1]q
[n]q
,
α3(q, n) = α2(q, n)
(
1−
[2]q
[n]q
)
=
(
1−
[1]q + [2]q
[n]q
+
[1]q[2]q
[n]2q
)
,
α4(q, n) = α3(q, n)
(
1−
[3]q
[n]q
)
=
(
1−
[1]q + [2]q + [3]q
[n]q
+
+
[1]q[2]q + [1]q[3]q + [2]q[3]q
[n]2q
−
[1]q[2]q[3]q
[n]3q
)
.
Припустимо, що рiвнiсть (8) виконується для j ∈ N i доведемо
її виконання для j + 1. Справдi,
220 Д. А. Найко
αj+1(q, n) = αj(q, n)
(
1−
[j]q
[n]q
)
=
j−1∑
r=0
(−1)r
1
[n]rq
×
×
j−1∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q +
j−1∑
r=0
(−1)r+1 1
[n]r+1
q
j−1∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q[j]q =
=
j−1∑
r=0
(−1)r
1
[n]rq
j−1∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q +
j∑
m=0
(−1)m
1
[n]mq
×
×
j∑
(s1, ... , sm)
[s1]q...[sm]q = (−1)0
1
[n]0q
j−1∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q+
+
j−1∑
r=1
(−1)r
1
[n]rq
j−1∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q +
j−1∑
m=1
(−1)m
1
[n]mq
×
×
j∑
(s1, ... , sm)
[s1]q...[sm]q+(−1)j
1
[n]jq
j∑
(s1, ... , sj)
[s1]q...[sj ]q =(−1)0
1
[n]0q
×
×
j∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q+
j−1∑
r=1
(−1)r
1
[n]rq
j−1∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q +
+
j∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q
+ (−1)j
1
[n]jq
j∑
(s1, ... , sj)
[s1]q...[sj ]q =
.
Про деякi апроксимацiйнi властивостi... 221
= (−1)0
1
[n]0q
j∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q+
j−1∑
r=1
(−1)r
1
[n]rq
j∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q+
+(−1)j
1
[n]jq
j∑
(s1, ... , sj)
[s1]q...[sj ]q =
j∑
r=0
(−1)r
1
[n]rq
j∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q.
Рiвнiсть (8) доведено.
З (5) та (8) маємо
Bn(ti, q;x) =
i∑
j=0
xjSq(i, j)
j∑
r=0
(−1)r
1
[n]i+r−j
q
×
×
j−1∑
(s1, ... , sr)
[s1]q...[sr]q.
(9)
Мiняючи в (9), де потрiбно, порядок сум, одержимо
Bn(ti, q;x) = x0Sq(i, 0){(−1)0
1
[n]iq
−1∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q}+
+x1Sq(i, 1){(−1)0
1
[n]i−1q
0∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q + (−1)1
1
[n]iq
×
×
0∑
(s1, ... , s1)
[s1]q...[s1]q}+x
2Sq(i, 2){(−1)0
1
[n]i−2q
1∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q+
+(−1)1
1
[n]i−1q
1∑
(s1, ... , s1)
[s1]q...[s1]q+(−1)2
1
[n]iq
1∑
(s1, ... , s2)
[s1]q...[s2]q}+
222 Д. А. Найко
+x3Sq(i, 3){(−1)0
1
[n]i−3q
2∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q+(−1)1
1
[n]i−2q
×
×
2∑
(s1, ... , s1)
[s1]q...[s1]q+(−1)2
1
[n]i−1q
2∑
(s1, ... , s2)
[s1]q...[s2]q+
+(−1)3
1
[n]iq
2∑
(s1, ... , s3)
[s1]q...[s3]q}+ . . .+ xiSq(i, i){(−1)0
1
[n]0q
×
×
i−1∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q+(−1)1
1
[n]q
i−1∑
(s1, ... , s1)
[s1]q...[s1]q+(−1)2
1
[n]2q
×
×
i−1∑
(s1, ... , s2)
[s1]q...[s2]q+...+ (−1)i
1
[n]iq
i−1∑
(s1, ... , si)
[s1]q...[si]q} =
=
1
[n]0q
{(−1)0xiSq(i, i)
i−1∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q}+
1
[n]q
{(−1)0xi−1×
×Sq(i, i−1)
i−2∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q+(−1)1xiSq(i, i)
i−1∑
(s1, ... , s1)
[s1]q...[s1]q}+
+
1
[n]2q
{(−1)0xi−2Sq(i, i− 2)
i−3∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q+
+(−1)1xi−1Sq(i, i− 1)
i−2∑
(s1, ... , s1)
[s1]q...[s1]q + (−1)2xiSq(i, i)×
Про деякi апроксимацiйнi властивостi... 223
×
i−1∑
(s1, ... , s2)
[s1]q...[s2]q}+...+
1
[n]iq
{(−1)0x0Sq(i, 0)
−1∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q+
+(−1)1x1Sq(i, 1)
0∑
(s1, ... , s1)
[s1]q...[s1]q + (−1)2x2Sq(i, 2)×
×
1∑
(s1, ... , s2)
[s1]q...[s2]q + ...+ (−1)ixiSq(i, i)
i−1∑
(s1, ... , si)
[s1]q...[si]q} =
=
i∑
m=0
1
[n]mq
m∑
k=0
(−1)kxi−m+kSq(i, i−m+ k)
i−m+k−1∑
(s1, ... , sk)
[s1]q...[sk]q =
= {p := i−m+ k ⇒ k = p+m− i; k = 0⇒ p = i−m;
k = m⇒ p = i} =
=
i∑
m=0
1
[n]mq
i∑
p=i−m
(−1)p+m−ixpSq(i, p)
p−1∑
(s1, ... , sp+m−i)
[s1]q...[sp+m−i]q.
Теорему доведено.
Оскiльки Sq(i, i) = 1,
i−1∑
(s1, ... , s0)
[s1]q...[s0]q = 1, то
Bn(ti, q;x) = xi +
i∑
m=1
1
[n]mq
i∑
p=i−m
(−1)p+m−ixpSq(i, p)×
×
p−1∑
(s1, ... , sp+m−i)
[s1]q...[sp+m−i]q.
(10)
224 Д. А. Найко
Позначимо
Am(i, q, x) :=
i∑
p=i−m
(−1)p+m−ixpSq(i, p)
p−1∑
(s1, ... , sp+m−i)
[s1]q...[sp+m−i]q.
Тодi рiвнiсть (10) набуває вигляду
Bn(ti, q;x) = xi +
i∑
m=1
Am(i, q, x)
[n]mq
, (11)
де Am(i, q, x) не залежать вiд n.
Наслiдок 1. При i = 2 з (10) та (11) одержуємо рiвнiсть (4).
Наслiдок 2. Оскiльки при фiксованому q ≥ 1 з умови n → ∞
випливає умова [n]q →∞, то з (11) одержуємо теорему 6.
Наслiдок 3. Якщо ϕ(x) — многочлен, то при фiксованих n та
q з (11) одержуємо, що
degBn(ϕ(t), q;x) = degϕ(x),
бо Am(i, q, x) є многочленом степеня i− 1 вiдносно x.
Зауваження. Рiвнiсть (11) може бути використана для встанов-
лення асимптотичних формул для центральних моментiв опера-
торiв Bn(·, q;x), як це робилось автором [16–18] у випадку лiнiй-
них додатних операторiв класу Волкова [12–15] та їх комбiнацiй.
Список лiтератури
[1] Phillips G. M. Bernstein polynomials based on the q–integers // Ann.
Numer. Math. — 1997. — 4. — P. 258–264.
[2] Il’inskii A. and Ostrovska S. Convergence of generalized Bernstein
polynomials // J. Approx. Theory. — 2002. — 116. — P. 100–112.
[3] Ostrovska S. q–Bernstein polynomials and their iterates // J. Approx.
Theory. — 2003. — 123, № 2. — P. 232–255.
Про деякi апроксимацiйнi властивостi... 225
[4] Ostrovska S. On the improvement of analytic properties under the
limit q–Bernstein operator // J. Approx. Theory. — 2006. — 138. —
P. 37–53.
[5] Goodman T. N. T., Oruc H. and Phillips G. M. Convexity and
generalized Bernstein polynomials // Proc. Edinburgh Math. Soc. —
1999. — 42, № 1. — P. 179–190.
[6] Heping Wong and Meng Fanjun. The rate of convergence of q–
Bernstein polynomials for 0 < q < 1 // J. Approx. Theory. — 2005. —
136. — P. 151–158.
[7] Heping Wong. Korovkin-type theorem and application // J. Approx.
Theory. — 2005. — 132, № 2. — P. 133–165.
[8] Oruc H. and Phillips G. M. A generalization of Bernstein polynomi-
als // Proc. Edinburgh Math. Soc. — 1999. — 42, № 2. — P. 403–413.
[9] Oruc H. and Tuncer N. On the convergence and iterates of q–
Bernstein polynomials // J. Approx. Theory. — 2002. — 117. —
P. 301–313.
[10] Tiberiu Trif. Meyer-König and Zeller operators based on the q–
integers // Rev. Anal. Numer. Theory Approx. — 2000. — 29, № 2. —
P. 221–229.
[11] Andrews G. E. The theory of partitions. — Addison-Wesley: Reading,
MA, 1976.
[12] Волков Ю. И. Об аппроксимационных операторах, порожденных
нетрицательными мерами // ДАН СССР. — 1982. — 263, № 2. —
С. 280–282.
[13] Волков Ю. И. Многомерные аппроксимационные операторы, по-
рожденные мерами Лебега-Стилтьеса // Изв. АН СССР. Сер.
мат. — 1983. — 47, № 3. — С. 435–454.
[14] Волков Ю. И. Новые примеры аппроксимационных линейных по-
ложительных операторов // Методы теории приближения и их
приложения. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. — С. 10–
19.
[15] Волков Ю. И. О некоторых линейных положительных операто-
рах // Мат. заметки. — 1978. — 23, № 5. — С. 659–669.
226 Д. А. Найко
[16] Найко Д. А. О приближении производных некоторыми комбина-
циями операторов класса В // Укр. мат. журн. — 1987. — 39,
№ 5. — С. 583–587.
[17] Найко Д. А. Прямые и обратные теоремы приближения функций
комбинациями операторов класса В. — Киев, 1987. — 52 с. — (Пре-
принт / АН УССР. Ин–т математики; 87. 19).
[18] Найко Д. А. Улучшение сходимости многомерных операторов ти-
па В // Приближение функций многих переменных операторами
типа В. — Киев, 1987. — С. 36–56. — (Препринт /АН УССР. Ин–т
математики, 87. 28).
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-260 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:31Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ad/7f57574e8c94a620c19934ba0be302ad.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2602018-01-23T09:13:23Z On some approximation properties of $q$-parametric Bernstein polynomials Про деякі апроксимаційні властивості $q$-параметричних многочленів Бернштейна Naiko, D. A. Найко, Д. А. In 1997 Phillips introduced generalized Bernstein polynomials ${{B}_{n}}(f,q;x)$ based on the $q$-integers and $q$-binomial coefficients for any $q&gt;0$. For $q=1$, generalized Bernstein polynomials ${{B}_{n}}(f,q;x)$ coincide with the classical ones ${{B}_{n}}(f;x)$. For $q\ne 1$, one gets a new class of polynomials having many interesting properties. In this paper we obtain the asymptotic formulae on the approximation of function $f(t)={{t}^{i}}\,\,\,\,(i\in Z)$ by the generalized Bernstein polynomials ${{B}_{n}}(f,q;x)$ in the case $q$ is fixed as $n\to +\infty $. У 1997 році Філіпс (Fhillips) ввів узагальнені поліноми Бернштейна ${{B}_{n}}(f,q;x)$, побудовані на $q$-біноміальних коефіцієнтах $(q&gt;0)$. При $q=1$ поліноми ${{B}_{n}}(f,q;x)$ збігаються з класичними многочленами Бернштейна ${{B}_{n}}(f;x)$, але у випадку $q\ne 1$ - це новий клас поліномів, що мають цілий ряд цікавих властивостей. Ми встановлюємо асимптотичну формулу наближення $q$-поліномами Бернштейна степеневої функції при фіксованому $q$. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/260 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 214-226 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 214-226 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 214-226 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/260/234 Авторське право (c) 2016 Д. А. Найко |
| spellingShingle | Naiko, D. A. Найко, Д. А. On some approximation properties of $q$-parametric Bernstein polynomials |
| title | On some approximation properties of $q$-parametric Bernstein polynomials |
| title_alt | Про деякі апроксимаційні властивості $q$-параметричних многочленів Бернштейна |
| title_full | On some approximation properties of $q$-parametric Bernstein polynomials |
| title_fullStr | On some approximation properties of $q$-parametric Bernstein polynomials |
| title_full_unstemmed | On some approximation properties of $q$-parametric Bernstein polynomials |
| title_short | On some approximation properties of $q$-parametric Bernstein polynomials |
| title_sort | on some approximation properties of $q$-parametric bernstein polynomials |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/260 |
| work_keys_str_mv | AT naikoda onsomeapproximationpropertiesofqparametricbernsteinpolynomials AT najkoda onsomeapproximationpropertiesofqparametricbernsteinpolynomials AT naikoda prodeâkíaproksimacíjnívlastivostíqparametričnihmnogočlenívbernštejna AT najkoda prodeâkíaproksimacíjnívlastivostíqparametričnihmnogočlenívbernštejna |