Traveling avalanche waves in reaction-diffusion lattices
We study traveling avalanche waves in one spatially discrete nonlinear reaction-diffusion lattices. Definition of avalanche waves are given and their existence is proved for the case of a cubic-like piece-wise linear interaction. Analytical expressions of velocities of the avalanche waves and profil...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/261 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552760123064320 |
|---|---|
| author | Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. |
| author_facet | Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Л. Нижник",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Nizhnik, I. L. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:13:23Z |
| description | We study traveling avalanche waves in one spatially discrete nonlinear reaction-diffusion lattices. Definition of avalanche waves are given and their existence is proved for the case of a cubic-like piece-wise linear interaction. Analytical expressions of velocities of the avalanche waves and profiles of these waves are obtained. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 227–241
УДК 517.9
I. Л. Нижник
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Бiжучi обвальнi хвилi
в дифузiйно–кiнетичних ланцюгах
irene@imath.kiev.ua
We study traveling avalanche waves in one spatially discrete nonlinear
reaction-diffusion lattices. Definition of avalanche waves are given and
their existence is proved for the case of a cubic-like piece-wise linear
interaction. Analytical expressions of velocities of the avalanche waves
and profiles of these waves are obtained.
Вивчаються бiжучi обвальнi хвилi в просторово–одновимiрних
нелiнiйних дифузiйно–кiнетичних ланцюгах. Дано означення
обвальних хвиль i доведено їх iснування для випадку бiстiй-
кої кусочно–лiнiйної взаємодiї. Наведено аналiтичнi вирази для
швидкостi та форми обвальних хвиль.
1. Вступ
Нелiнiйнi дифузiйно–кiнетичнi рiвняння є математичними мо-
делями при дослiдженнi багатьох явищ у фiзицi [6, 17, 26], хi-
мiї [27, 39], бiологiї [2, 3, 5, 11, 16, 18, 23, 24, 42, 43] та технi-
цi [4,12–14,30,31,35,36,39,40]. Значна увага придiляється вивчен-
ню просторово–дискретних рiвнянь, що описують дифузiйно по-
в’язанi бiстiйкi комiрки [1,7,8,10,15,19–22,25,28,29,37,38,41,44].
c© I. Л. Нижник, 2016
228 I. Л. Нижник
Саме для таких рiвнянь в нелiнiйнiй динамiцi було вiдкрито ряд
феноменiв, що не зустрiчаються у вiдповiдних рiвняннях в ча-
стинних похiдних другого порядку [1, 7, 9–12, 22, 28, 32, 33]. Так,
в роботi [32] описанi стiйкi стацiонарнi розв’язки одновимiрних
ланцюгiв дифузiйно пов’язаних комiрок з кубiчною бiстiйкою не-
лiнiйнiстю та її кусково–лiнiйним аналогом. Було показано, що
при малих значеннях дифузiйної константи кожна комiрка може
незалежно вiд iнших знаходитись в одному iз стiйких (або близь-
ких до стiйких) станiв. Для довiльних значень дифузiйної кон-
станти комiрки групуються в кластери, що призводить до iснува-
ння хаотичних розв’язкiв. Аналогiчно описанi стiйкi стацiонарнi
розв’язки у випадку m–стiйкої нелiнiйностi [34].
Добре вiдомо, що у випадку бiстiйких комiрок з несиметри-
чною кубiчною нелiнiйнiстю iснують розповсюджуючi кiнкопо-
дiбнi хвилi [29].
На вiдмiну вiд хвильових процесiв, що описуються гiперболi-
чними рiвняннями, для нелiнiйного дифузiйного рiвняння явище
розповсюдження хвиль iз скiнченною швидкiстю є чисто нелiнiй-
ним ефектом. Якщо у дифузiйному рiвняннi
∂u
∂t
= d∆u− f(u) (1)
нелiнiйнiсть f бiстiйка, наприклад, кубiчна f(u) = (u+q)(u2−1),
тодi iснування бiстiйких поширюючих кiнкiв для просторово–
неперервного рiвняння (1) є результатом асиметрiї нелiнiйностi
f . В такому випадку умова
I =
∫ u+
u−
f(v) dv 6= 0, (2)
де u− < u+ є стiйкими положеннями f(u±) = 0, f ′(u±) > 0, є не-
обхiдною та достатньою для iснування поширюючих кiнкiв [16].
У випадку, коли дифузiйне рiвняння (1) – просторово–дискретне,
тобто ∆ є просторово–дискретним оператором Лапласа, ситуа-
цiя аналогiчна, [29]. Основна вiдмiннiсть полягає в тому, що для
Бiжучi обвальнi хвилi ... 229
просторово–дискретних дифузiйних систем кiнки зовсiм не роз-
повсюджуються, коли iнтеграл I в (2) достатньо малий. Це добре
вiдомий ефект зупинки розповсюдження хвиль [22,29]. Якщо не-
лiнiйнiсть f бiстiйка та непарна функцiя, u− = −u+ та u = 0
– нестiйке положення, тодi типова ситуацiя для розв’язкiв ти-
пу бiстiйкого фронту є їх стацiонарнiсть. Винятком для цього
правила є випадки, коли перед хвильовим фронтом розв’язок
належить малому околу нестiйкого розв’язку u = 0. У такому
випадку виникає розповсюджуюча хвиля, хвостова частина якої
є стiйким стацiонарним розв’язком. Природа появи таких хвиль
зовсiм вiдмiнна вiд розповсюджуючих кiнкiв. Механiзм розпо-
всюдження цих хвиль подiбний до механiзму явища падаючого
домiно в їх близько вертикально поставленому ланцюжку. Та-
кi хвилi для дискретного просторово–двовимiрного нелiнiйного
дифузiйного рiвняння (1) з кубiчною або кусково–лiнiйною (ти-
пу кубiчної) нелiнiйностями вивченi у роботi [33]. В цiй роботi
автори назвали такi бi- та мета–стiйкi розповсюджуючi фронти
– обвальними хвилями, щоб пiдкреслити факт iснування станiв
близьких до нестiйких.
В данiй роботi детально розглянутi обвальнi хвилi для одно-
вимiрних ланцюгiв.
2. Просторово–одновимiрнi нелiнiйнi ди-
фузiйно–кiнетичнi ланцюги
Нелiнiйнi просторово–одновимiрнi дискретнi дифузiйно–
кiнетичнi рiвняння з бiстiйкою нелiнiйнiстю задаються не-
скiнченною системою звичайних диференцiальних рiвнянь на
ланцюгу Z1
∂un
∂t
= d(un+1 + un−1 − 2un)− f(un), n ∈ Z1, (3)
де константа d ≥ 0 – додатнiй параметр (константа зв’язку або
дифузiйна константа), що є множником при дискретному Лапла-
230 I. Л. Нижник
сiанi, f – бiстiйка нелiнiйнiсть, що задається кубiчною функцiєю
f(u) = u(u2 − 1), (4)
або кусочно–лiнiйною функцiєю
f(u) = u− signu =
u− 1, u > 0,
u+ 1, u < 0,
0, u = 0.
(5)
Рiвняння (3) має точнi стiйкi стацiонарнi розв’язки un ≡ 1 та
un ≡ −1. Ми називатимемо їх тривiальними розв’язками. Три-
вiальним нестiйким розв’язком є стацiонарний розв’язок un ≡ 0.
Нетривiальнi рiвномiрно обмеженi стацiонарнi розв’язки рiвнян-
ня (3) задовольняють умову |un| < 1. Це твердження леми 3.1 в
роботi [32]. Обмежений стацiонарний розв’язок un рiвняння (3)
з нелiнiйнiстю типу кубiчної вигляду (5) є l2 стiйким тодi i лише
тодi, коли un 6= 0 для всiх n ∈ Z1. Це твердження леми 3.2 в
роботi [32].
Нехай un – стiйкий стацiонарний розв’язок рiвняння (3). Си-
гнатурну функцiю ûn = signun називатимемо скелетом розв’язку
un. Стiйкий стацiонарний розв’язок un однозначно визначається
своїм скелетом ûn = signun, це твердження теореми 3.1 в робо-
тi [32].
Добре вiдомо, що обмеженi стацiонарнi розв’язки просторово–
неперервного одновимiрного аналогу рiвняння (3) з кубiчною не-
лiнiйнiстю (4) є перiодичними розв’язками, а їх границi – кiн-
ки [15]. У випадку, коли рiвняння (3) з нелiнiйностями (4) чи (5)
є просторово–одновимiрне та дискретне, множина стацiонарних
розв’язкiв iстотно бiльша, нiж у неперервному випадку. Дискре-
тне рiвняння може мати розв’язком дискретний солiтон та навiть
дискретнi хаотичнi розв’язки [32]. Для бiльш точного опису обме-
жених стацiонарних розв’язкiв одновимiрного ланцюга (3) засто-
совується поняття компоненти скелету таких розв’язкiв. Компо-
нента скелету за означенням – будь–яка максимальна множина
Бiжучi обвальнi хвилi ... 231
послiдовних точок з однаковими значеннями в них скелету. В
роботi [32] показано для випадку одновимiрних ланцюгiв, що до-
вiльна сигнатурна функцiя, всi компоненти якої мiстять не мен-
ше N(d) = 1/2 +
√
d ln(2
√
d) точок, є скелетом стiйкого стацiо-
нарного розв’язку рiвняння (3), i цей розв’язок однозначно ви-
значається своїм скелетом.
Прикладом 2τ–перiодичних розв’язкiв рiвняння (3) з нелiнiй-
нiстю (5) можуть слугувати наступнi вирази
un = (−1)n(1 + 4d)−1, τ = 1,
un = (−1)[n/2](1 + 2d)−1, τ = 2,
(6)
де [n/2]– цiла частина вiд числа n/2. Прикладом 2τ -перiодичних
стацiонарних розв’язкiв рiвняння (3) з нелiнiйнiстю (4) можуть
слугувати наступнi 2τ -перiодичнi розв’язки
un = (−1)n(1− 4d)
1
2 , d < 1
4 τ = 1,
un = (−1)[n/2](1− 2d)
1
2 , d < 1
2 τ = 2.
(7)
3. Бiжучi кiнкоподiбнi хвилi
Розв’язок одновимiрного рiвняння (1) називається кiнкоподi-
бним, якщо при x → ±∞, u(x, t) → u±, де u+ i u− стiйкi ста-
цiонарнi розв’язки. Як вже вказувалось у вступi, бiжучi кiнко-
подiбнi хвилi iснують лише у випадку несиметричної нелiнiйностi
f , коли iнтеграл (2) вiдмiнний вiд нуля. Розглянемо просторово–
одновимiрне рiвняння дифузiї вигляду
∂u
∂t
= d
∂2u
∂x2
− u+ Θ(u)− qΘ(−u), (8)
де q ≥ 1, а Θ – одинична функцiя Хевiсайда. Нелiнiйнiсть в (8)
кусково–лiнiйна з двома стiйкими положеннями u+ = 1 i u− =
−q. При q > 1 i довiльних d > 0 для рiвняння (8) iснує бiжуча
кiнкоподiбна хвиля вигляду
u(x, t) = a(x− ct), (9)
232 I. Л. Нижник
де
a(x) =
1− e−px, x ≥ 0,
−q(1− e
1
pd
x
), x ≤ 0,
(10)
а
p =
√
q
d
, c = (q − 1)
√
d
q
. (11)
Просторово–дискретним аналогом рiвняння (8) є рiвняння
∂un
∂t
= d(un+1 + un−1 − 2un)− un + Θ(un)− qΘ(−un). (12)
При великих значеннях дифузiйної константи d у рiвняннi (8)
iснує кiнкоподiбний хвильовий розв’язок, який має вигляд
un(t) = a(n− ct),
де функцiя a подiбна до вказаної в (10). Проте, при малих d, або
при q, близькому до 1, кiнкоподiбнi хвилi зупиняються, утворюю-
чи стацiонарний розв’язок рiвняння (12). Знайдемо умови, коли у
рiвняння (12) iснують стацiонарнi кiнки. Не порушуючи загаль-
ностi, можна вважати, що стацiонарний розв’язок рiвняння (12)
приймає додатнi значення при n > 0. Але такий стацiонарний
розв’язок задовольняє рiвняння
d(un+1 + un−1 − 2un)− un + 1 = 0, n ≥ 1,
d(un+1 + un−1 − 2un)− un − q = 0, n ≤ 0.
(13)
Якщо позначити u1 = α, а u0 = −β, де числа α i β додатнi, то
iз (13), враховуючи умови un → 1 при n → ∞, а un → −q при
n→ −∞, отримуємо
un =
{
1− (1 + β)e−pn, n ≥ 0,
−q + (q − β)epn, n ≤ 1,
(14)
Бiжучi обвальнi хвилi ... 233
де
p = 2 ln
1 +
√
1 + 4d
2
√
d
(15)
є додатнiм розв’язком рiвняння
2 sinh
p
2
=
1√
d
.
Умови, що розв’язок (14) при n = 0 – вiд’ємний, а при n = 1 – до-
датнiй, призводять до наступної умови iснування стацiонарного
кiнка
d <
q
(q − 1)2
. (16)
При умовi, коли d >
q
(q − 1)2
, виникає кiнкоподiбна бiжуча хви-
ля. Ця умова еквiвалентна умовi, що q > 1 +
1
2d
+
1
2d
√
1 + 4d.
4. Бiжучi обвальнi хвилi
Розглянемо задачу Кошi для одновимiрного дифузiйно–
кiнетичного ланцюга (3) iз бiстiйкою нелiнiйнiстю f i стiйкими
розв’язками un ≡ 1 та un ≡ −1.
Нехай початковi данi спiвпадають на додатнiй пiвосi зi стацiо-
нарним просторово–перiодичним розв’язком upern i з тривiальним
стiйким розв’язком un ≡ −1 на вiд’ємнiй пiвосi. При досить ма-
лих значеннях дифузiйної константи d еволюцiя в часi призво-
дить до певних незначних змiн початкових даних i прямування
розв’язку до стацiонарного при t→∞. Проте, при великих зна-
ченнях константи d, як показують числовi розрахунки, виникає
поступовий почерговий перехiд значень iз upern до -1. Цей про-
цес переходу значень upern iз околу нестiйкого положення в стiй-
кий стан un ≡ −1 нагадує ефект падаючого домiно, де падiння
з певною швидкiстю змiщується вздовж ланцюжка. Це спосте-
реження дає можливiсть привести наступне означення бiжучої
обвальної хвилi для рiвняння (3).
234 I. Л. Нижник
Означення 1. Розв’язок un(t) рiвняння (3) з бiстiйкою нелi-
нiйнiстю (4) або (5) будемо називати бiжучою обвальною хви-
лею, що рухається зi швидкiстю c по переходу стацiонарно-
го перiодичного розв’язку upern в стiйкий тривiальний розв’я-
зок un ≡ −1, якщо для довiльного ε > 0 iснує такий скiнчен-
ний iнтервал I0 = (N1, N2), що розв’язок un(t) зовнi iнтервалу
It = (N1 + ct,N2 + ct) вiдрiзняється менше, нiж на ε, вiд upern
при n > N2 + ct i вiд стiйкого тривiального розв’язку un ≡ −1
при n < N1 + ct.
Розглянемо випадок рiвняння (3)–(5) i стацiонарний 2–
перiодичний розв’язок upern = (−1)n(1+4d)−1. Iснування бiжучих
обвальних хвиль в цьому випадку випливає iз наступної теореми.
Теорема 1. Нехай upern = (−1)n(1 + 4d)−1 – стацiонарний 2–
перiодичний розв’язок рiвняння (3)–(5). Тодi iснує таке d0 =
1
2
(1 +
√
2), що для кожного значення дифузiйної константи
d > d0 в рiвняннi (3)–(5) iснує бiжуча обвальна хвиля з певною
швидкiстю c = c(d) по переходу розв’язку upern в тривiальний
розв’язок un ≡ −1. Цей розв’язок можна представити у вигля-
дi
un(t) =
{
a0(n− ct), n = 2k,
a1(n− ct), n = 2k − 1,
(17)
де функцiї a0 i a1 монотонно зростаючi i задовольняють грани-
чнi умови на нескiнченностi
ak(x)→ (−1)k(1 + 4d)−1, x→∞
ak(x)→ −1, x→ −∞, (k = 0, 1).
(18)
Доведення. Спочатку побудуємо в явному виглядi стiйкi ста-
цiонарнi розв’язки рiвняння (3)–(5), вважаючи, що розв’язок un
приймає додатнi значення лише при парних n ≥ 0. Нехай u0 > 0,
Бiжучi обвальнi хвилi ... 235
тодi
un = (−1)n(1 + 4d)−1(1− (−1)ne−pn) + u0e
−pn, n ≥ 0,
un = −1 + (1 + u0)e
pn, n ≤ 0,
(19)
де значення p визначено в (15), а u0 =
√
1 + 4d− 2d
1 + 4d
. Умова
u0 > 0 дає обмеження на коефiцiєнт дифузiї d < d0 =
1
2
(1 +
√
2),
при якiй iснує стацiонарний розв’язок. При d > d0 виникає бi-
жуча обвальна хвиля вигляду (17). Пiдставляючи вираз (17) у
рiвняння (3)–(5), отримуємо систему для функцiй a0 i a1:
−ca′0(x) = d[a1(x+ 1) + a1(x− 1)− 2a0(x)]− a0(x) + sign (a0),
−ca′1(x) = d[a0(x+ 1) + a0(x− 1)− 2a1(x)]− a1(x) + sign (a1).
(20)
Не порушуючи загальностi, можна вважати, що a1(x) < 0,
а функцiя a0(x) приймає додатнi значення лише при x > 0. В
системi (20) перейдемо до нових функцiй w(x) i v(x), поклавши
w(x) = a0(x) + a1(x), v(x) = a0(x)− a1(x). (21)
Тодi отримуємо окремi рiвняння для функцiй w(x) i v(x) :
−cw′(x) = d[w(x+ 1) + w(x− 1)− 2w(x)]− w(x)− 2Θ(−x),
cv′(x) = d[v(x+ 1) + v(x− 1) + 2v(x)] + v(x)− 2Θ(x),
(22)
де Θ(x) – одинична функцiя Хевiсайда. Граничнi умови (18)
трансформуються в граничнi умови для функцiй w(x) i v(x) :
w(x)→ 0, x→ +∞, w(x)→ −2, x→ −∞,
v(x)→ 2(1 + 4d)−1, x→ +∞, v(x)→ 0, x→ −∞,
w(0) = −v(0) = a1(0).
(23)
236 I. Л. Нижник
Система (23) є лiнiйною диференцiальною рiзницевою систе-
мою iз сталими коефiцiєнтами. Частковi розв’язки неоднорiдної
системи на додатнiй i вiд’ємнiй осi мають вигляд w̃(x) = 0 при
x > 0; w̃(x) = −2 при x < 0 ṽ(x) = 2(1 + 4π) при x > 0 ṽ(x) = 0
при x < 0. Однорiднi рiвняння (23) мають розв’язки w(x) = epx,
де число p є нулем характеристичного рiвняння
−cp+ 1 + 2d = 2d cosh p. (24)
Рiвняння (24) має два розв’язки p1 i p2. При великих d > d0
цi розв’язки наближено мають вигляд p1 = c−1 > 0 i p2 = − c
d .
Розв’язки однорiдного рiвняння для ṽ мають вигляд ṽ = epkx, де
pk нулi характеристичного рiвняння
−cp+ 1 + 2d = −2d cosh p. (25)
При великих значеннях d > d0 дiйсна частина p3 i p4 додатна.
Тому неперервний на всiй осi розв’язок системи (23) можна пред-
ставити у виглядi
w(x) =
{
−2(1 + 4d)−1ep2x, x ≥ 0,
−2 + 2(1− (1 + 4d)−1)ep1x, x ≤ 0,
(26)
та
v(x) =
2(1 + 4d)−1, x > 0,
−2(1 + 4d)e
4d
c
x, x < 0.
(27)
Умова, що розв’язок w(x) є неперервний в точцi x = 0, а стрибок
похiдної w(+0)− w(−0) =
2
c
дає такий вираз для швидкостi
c = 2
√
2d. (28)
Враховуючи замiну (21), отримуємо
a0(x) =
1
2
(w(x) + v(x)), a1(x) =
1
2
(w(x)− v(x)). (29)
Бiжучi обвальнi хвилi ... 237
Пiдставляючи вирази (26) та (27) для w(x) i v(x) у формули (21),
отримуємо в явнiй формi функцiї a0(x) та a1(x). Наближенi ви-
рази для цих функцiй при великих значеннях d мають наступний
вигляд:
a0(x) =
(1 + 4d)−1(1− e−
c
p
x
), x ≥ 0,
−1 + e
1
c
x, x ≤ 0,
(30)
a1(x) =
−(1 + 4d)−1(1 + e
− c
p
x
), x ≥ 0,
−1 + e
1
c
x − (1 + 4d)−1(e
1
c
x + e
4d
c
x), x ≤ 0.
(31)
Якщо розв’язок un(t) допускає представлення (17) з граничними
умовами (18), тодi вiн згiдно з Означенням 1 представляє бiжучу
обвальну хвилю. Теорема 1 доведена.
Лiтература
[1] Afraimovich V. S., Nekorkin V. I. Chaos of traveling waves in a di-
screte chain of diffusively coupled maps // Int. J Bifur. Chaos —
1994. — 4. — P. 631–637.
[2] Aronson D. G., Weinberger H. F. Multidimensional nonlinear diffusi-
on arising in population genetics // Adv. Math. — 1978. — 30. —
P. 33–76.
[3] Atkinson C., Reuter G. E. H. Deterministic epidemic
waves //Math. Proc. Camb. Phil. Soc. — 1976. — 80. — P. 315–330.
[4] Bates P. W., Fife P. C., Ren X., Wang. X. Traveling waves in a
convolution model for phase transitions // Arch. Rat. Mech. Anal. —
1997. — 138. — P. 105–136.
[5] Bell J., Cosner C. Threshold behavior and propagation for nonli-
near differential-difference systems motivated by modeling myelinated
axons // Q. Appl. Math. — 1984. — 42. — P. 1–14.
[6] Cahn J. W., Chow S-N., Van Vleck E. S. Spatially discrete nonlinear
diffusion equations // Rocky Mount. J. Math. — 1995. — 25. — P. 87–
118.
238 I. Л. Нижник
[7] Cahn J. W., Mallet-Paret J., Van Vleck E. S. Traveling wave soluti-
ons for systems of ODE’s on a two-dimensional lattice // SIAM
J. Appl. Math. — 1999. — 59. — P. 455–493.
[8] Chen X., Guo J-Sh., Wu Ch-Ch. Traveling waves in discrete periodic
media for bistable dynamics // Arch. Rat. Mech. Anal. — 2008. —
189. — P. 189–236.
[9] Chow S-N., Mallet–Paret J. Pattern formation and spatial chaos in
lattice dynamical systems - part I // IEEE Trans. Circuits Syst I —
1995. — CAS - 42(10). — P. 746–751.
[10] Chow S-N., Mallet–Paret J., Van Vleck E. S. Pattern formation and
spatial chaos in spatially discrete evolution equations // Random
Comput. Dynam. — 1996. — 4. — P. 109–178.
[11] Chow S-N., Shen W. Dynamics in a discrete Nagumo equation: spati-
al topological chaos // SIAM J. Appl. Math. — 1995. — 55(6). —
P. 1764-1781.
[12] Chua L. O., Hasler M., Moschytz G., Neirynck J. Autonomous
cellular neural networks: a unified paradigm for pattern formation and
active wave propagation // IEEE Trans. Circuits Syst. I. — 1995. —
CAS-42. — P. 559–577.
[13] Chua L. O., Yang L. Cellular neural networks: Theory and practice //
IEEE Trans. Circuits Syst. — 1988. — CAS-35(10). — P. 1257–1290.
[14] Crounse K. R., Chua L. O.Methods for image processing and pattern
formation in cellular neural networks: a tutorial // IEEE Trans. Ci-
rcuits Syst. I. — 1995. — CAS-42(10). — P. 583–601.
[15] Elmer C. E., Van Vleck E. S. Analysis and computation of traveling
wave solutions of bistable differential-difference equations // Nonli-
nearity. — 1999. — 12. — P. 771–798.
[16] Fife P. C. Mathematical aspects of reacting and diffusing systems
in Lectures Notes in Biomathematics.–Berlin: ed. Levin S., Springer-
Verlag, 1979.
[17] Fife P. C. Diffusive waves in inhomogeneous media // Proc. Edinburg
Math. Soc. — 1989. — 2, 32. — P. 291–315.
Бiжучi обвальнi хвилi ... 239
[18] Glass L., Hunter P., McCulloch. Theory of Heart.–Berlin: Springer-
Verlag, 1991.
[19] Guo J-Sh., Wu Ch-Ch. The existence of traveling wave solutions for
a bistable three-component lattice dynamical system // Journal of
Differential Equations — 2016. — 260. — P. 1445–1455.
[20] Hupkes H. J., Van Vleck E. S. Negative Diffusion and Traveling
Waves in High Dimensional Lattice Systems // SIAM J. Math.
Anal. — 2013. — 45. — P. 1068–1135.
[21] Hupkes H. J., Van Vleck E. S. Traveling Waves for Complete Di-
scretizations of Reaction Diffusion Systems // J. Dyn. Diff. Eqn. —
2015. — P. 1–52.
[22] Keener J. P. Propagation and its failure in coupled systems of discrete
excitable cells // SIAM J. Appl. Math. — 1987. — 47(3). — P. 556–
572.
[23] Keener J. P. The effects of discrete gap junction couplingon
propagation in myocardium // J. Theor. Biol. — 1991. — 148. —
P. 49–82.
[24] Keener J. P., Sneed J. Mathematical Physiology. — New York, 1988.
[25] Kohonen T. Self–organizing Maps. — Berlin: Springer-Verlag, 1995.
[26] Laplante J. P., Erneux T. Propagation failure and multiple steady
states in an array of diffusion couples flow reactors // Physica A —
1992. — 188. — P. 89–98.
[27] Laplante J. P., Erneux T. Propagation failure in arrays of coupled bi-
stable chemical reactors // J. Phys. Chem. — 1992. — 96. — P. 4931–
4934.
[28] Mallet–Paret J. Spatial patterns, spatial chaos, and traveling waves
in lattice differential equations in: Stochastic and Spatial Structures
of Dynamical Systems, eds. S.J. van Strien and S.M. Verduyn Lunel,
North-Holland. — 1996. — P. 105–129.
240 I. Л. Нижник
[29] Mallet–Paret J. The global structure of traveling waves in spatially
discrete dynamical systems // J. Dynam. Differential Equations. —
1999. — 11. — P. 49–128.
[30] Marquie P., Binczak J. C., Comte J. C., Michaux B., Bilbault J. M.
Diffusion effects in a nonlinear electrical lattice // Phys. Rev. E —
1998. — 57. — P. 6075.
[31] Nekorkin V. I., Kazantsev V. B., Rulkov N. F., Velarde M. G.,
Chua L. O. Homoclinic orbits and solitary waves in a one-dimensional
array of Chua’s circuits // IEEE Trans. Circuits Syst.I — 1995. —
CAS-42(10). — P. 785–801.
[32] Nizhnik L. P, Nizhnik I. L., Hasler M. Stable stationary solutions in
reaction-diffusion systems consisting of a 1-d array of bistable cells //
Int. J. of Bifurcation and Chaos. — 2002. — 2. — P. 261–279.
[33] Nizhnik L. P, Hasler M., Nizhnik I. L. Traveling avalanche waves
in spatially discrete bistable reaction-diffusion systems. — 2002. —
Preprint 03-05-115 BiBoS. 21 pp.
[34] Nizhnik I. L. Stable stationary solutions for a reaction–diffusion
equation with a multi-stable nonlinearity // Phys. Lett. A — 2006. —
357. — P. 319—322.
[35] Perez-Munuzuri V., Perez-Villar V., Chua L. O. Traveling wave front
and its failure in one-dimensional array of Chua’s circuits // J. Ci-
rcuits, Syst. Comput. — 1993. — 3. — P. 215–229.
[36] Roska T., Chua L. O. The CNN universal machine: an analogue array
computer // IEEE Trans. Circuits Syst. — 1993. —40. — P. 163–173.
[37] Shen W. Traveling waves in time almost periodic structures governed
by bistable nonlinearities. I. Stability and uniqueness // J. Differential
Equations. — 1999. — 159. — P. 1–54.
[38] Sheng W-J., Li W-T., Wang Z-C. Periodic pyramidal traveling fronts
of bistable reaction-diffusion equations with time-periodic nonlineari-
ty // Journal of Differential Equations. — 2012. — 252. — P. 2388–
2424.
Бiжучi обвальнi хвилi ... 241
[39] Thiran P. Dynamics and Self-Organization of Locally Coupled Neural
Networks. — Lausanne: Presses Polytechniques et Universitaires
Romandes, 1997. — 209 pp.
[40] Thiran P., Crounse K. R., Chua L. O., Hasler M. Pattern formati-
on properties of autonomous cellular neuralnetworks // IEEE Trans.
Circuits Syst. — 1995. — 42. — P. 757–774.
[41] Van Vleck E. S., Zhang A. Competing interactions and traveling wave
solutions in lattice differential equations // Communications on Pure
and Applied Analysis — 2016. — 15. — P. 457–475.
[42] Zinner B. Stability of traveling wavefronts for the discrete Nagumo
equation // SIAM J. Math. Anal. — 1991. — 22. — P. 1016–1020.
[43] Zinner B. Existence of traveling wavefront solutions for the discrete
Nagumo equation // J. Diff. Eq. — 1992. — 96. — P. 1–27.
[44] Zou W., Zhan M. Stationary patterns in a discrete bistable reaction-
diffusion system: mode analysis // Chin. Phys. B — 2010. — 19,
№ 10. — P. 100509–100519.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-261 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:33Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/20/d347200b978e7ddae04c34e3dad44a20.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2612018-01-23T09:13:23Z Traveling avalanche waves in reaction-diffusion lattices Біжучі обвальні хвилі в дифузійно-кінетичних ланцюгах Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. We study traveling avalanche waves in one spatially discrete nonlinear reaction-diffusion lattices. Definition of avalanche waves are given and their existence is proved for the case of a cubic-like piece-wise linear interaction. Analytical expressions of velocities of the avalanche waves and profiles of these waves are obtained. Вивчаються біжучі обвальні хвилі в просторово-одновимірних нелінійних дифузійно-кінетичних ланцюгах. Дано означення обвальних хвиль і доведено їх існування для випадку бістійкої кусочно-лінійної взаємодії. Наведено аналітичні вирази для швидкості та форми обвальних хвиль. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/261 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 227-241 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 227-241 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 227-241 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/261/235 Авторське право (c) 2016 І. Л. Нижник |
| spellingShingle | Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. Traveling avalanche waves in reaction-diffusion lattices |
| title | Traveling avalanche waves in reaction-diffusion lattices |
| title_alt | Біжучі обвальні хвилі в дифузійно-кінетичних ланцюгах |
| title_full | Traveling avalanche waves in reaction-diffusion lattices |
| title_fullStr | Traveling avalanche waves in reaction-diffusion lattices |
| title_full_unstemmed | Traveling avalanche waves in reaction-diffusion lattices |
| title_short | Traveling avalanche waves in reaction-diffusion lattices |
| title_sort | traveling avalanche waves in reaction-diffusion lattices |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/261 |
| work_keys_str_mv | AT nizhnikil travelingavalanchewavesinreactiondiffusionlattices AT nižnikíl travelingavalanchewavesinreactiondiffusionlattices AT nizhnikil bížučíobvalʹníhvilívdifuzíjnokínetičnihlancûgah AT nižnikíl bížučíobvalʹníhvilívdifuzíjnokínetičnihlancûgah |