On convergence of solutions of multipoint boundary-value problems
We establish new sufficient conditions for continuous dependence on the parameter of solutions of multipoint linear boundary-value problems for systems of differential equations of order $r\geq1$ in the norms of spaces of continuously differentiable functions $C^{(r-1)}$.
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/262 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552759185637376 |
|---|---|
| author | Pelekhata, O. B. Пелехата, О. Б. |
| author_facet | Pelekhata, O. B. Пелехата, О. Б. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Б. Пелехата",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
}
] |
| author_sort | Pelekhata, O. B. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:13:23Z |
| description | We establish new sufficient conditions for continuous dependence on the parameter of solutions of multipoint linear boundary-value problems for systems of differential equations of order $r\geq1$ in the norms of spaces of continuously differentiable functions $C^{(r-1)}$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 242–254
УДК 517.927
О. Б. Пелехата
(Нацiональний технiчний унiверситет України "КПI", Київ)
Про збiжнiсть розв’язкiв
багатоточкових крайових задач
o.pelekhata@kpi.ua
We establish new sufficient conditions for continuous dependence
on the parameter of solutions of multipoint linear boundary-value
problems for systems of differential equations of order r ≥ 1 in the
norms of spaces of continuously differentiable functions C(r−1).
Знайдено новi достатнi умови неперервної залежностi за пара-
метром розв’язкiв багатоточкових лiнiйних класичних крайових
задач для систем диференцiальних рiвнянь порядку r ≥ 1 за нор-
мами просторiв неперервно диференцiйовних функцiй C(r−1).
1. Вступ
Питання граничного переходу в системах диференцiальних рiв-
нянь виникають в багатьох задачах аналiзу i дослiджувалися рi-
зними математиками. Найкраще їх дослiджено стосовно задач
Кошi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь першо-
го порядку. Бiльш складний випадок загальних лiнiйних кра-
йових задач вивчався I. Т. Кiгурадзе [1 – 3] та його послiдовни-
ками. Суттєвi узагальнення цих результатiв отримано у роботах
c© О. Б. Пелехата, 2016
Про збiжнiсть розв’язкiв багатоточкових крайових задач 243
Т. I. Кодлюк, В. А. Михайлеця i Н. В. Реви [4 – 6]. Вони сто-
суються рiвномiрної неперервностi за параметром розв’язкiв си-
стем лiнiйних диференцiальних рiвнянь першого порядку. Для
систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь вищих порядкiв цi пи-
тання дослiджено В. А. Михайлецем i Г. О. Чехановою [7]. Цi
результати були узагальненi на досить широкий клас лiнiйних
крайових задач — тотальних щодо просторiв Соболєва [8 – 10] та
просторiв неперервно диференцiйовних функцiй [11 – 14]. Дове-
дено фредгольмовiсть таких задач, знайдено достатнi умови їх
коректної розв’язностi та неперервної залежностi за параметром
їх розв’язкiв у вказаних просторах.
В роботах В. А. Михайлеця та його учнiв цi результати перене-
сено на важливий клас багатоточкових крайових задач щодо со-
болєвських просторiв та просторiв C(n)[a, b] для рiвнянь i систем
як першого [15 – 17], так i високих порядкiв [13, 18, 19]. В цих ро-
ботах припускається, що кожна точка (в якiй розглядаються кра-
йовi умови) або не залежить вiд малого параметра ε > 0 [15, 17 –
19], або має граничне значення при ε→ 0+ [13, 16]. Окрiм того,
допускається iснування додаткових точок, що входять у крайо-
вий вираз, нехтуваний при ε→ 0+. У роботi В. О. Солдатова [20]
знайденi достатнi умови неперервностi за параметром розв’язкiв
багатоточкових лiнiйних крайових задач на вiдрiзку [a, b] дiйсної
осi для системи диференцiальних рiвнянь довiльного порядку
у нормованих просторах C(n+r)[a, b], бiльш конструктивнi, нiж
в [13, 18]. Результат встановлений завдяки тому, що умови на
коефiцiєнти при похiдних шуканої функцiї у крайових операто-
рах ставляться окремо для цiлої серiї точок, якi залежать вiд
ε > 0 i мають спiльну граничну точку при ε→ 0+.
Наша мета — знайти достатнi умови неперервностi розв’язкiв
за малим параметром класичних багатоточкових крайових за-
дач, застосувавши вказаний вище пiдхiд. Зауважимо, що у цiй
роботi ми вимагатимемо, щоб коефiцiєнти системи, а також пра-
вi частини були сумовними функцiями, на вiдмiну вiд [20], де
накладенi бiльш жорсткi умови, а саме — неперервної диферен-
244 О. Б. Пелехата
цiйовностi.
2. Постановка задачi
Нехай задано скiнченний вiдрiзок [a, b] ⊂ R. Для довiльних цi-
лих чисел l ≥ 0 i m ≥ 1 позначимо L1 := L1([a, b],C), Lm
1 :=
L1([a, b],Cm) i Lm×m
1 := L1([a, b],Cm×m). Таким чином, L1 є про-
стiр усiх вимiрних комплекснозначних функцiй, сумовних на вiд-
рiзку [a, b], надiлений нормою
‖y‖1 :=
∫ b
a
|y(t)|dt.
Аналогiчно, Lm
1 i Lm×m
1 є простори усiх вимiрних комплексно-
значних вектор-функцiй f(t) : [a, b]→ Cm i квадратних матриць-
функцiй A(t) : [a, b] → Cm×m з сумовними на вiдрiзку [a,b] еле-
ментами. Норми у цих просторах позначаємо також через ‖·‖1 —
вони є сумами норм у L1 усiх компонент функцiї y(t) або A(t). З
контексту завжди буде зрозумiло, про норму у якому саме про-
сторi (скалярних функцiй, вектор-функцiй чи матриць-функцiй)
йде мова. Звiсно, якщо m = 1, то усi цi простори збiгаються.
Позначимо C(l) := C(l)([a, b],C), (C(l))m := C(l)([a, b],Cm). Та-
ким чином, C(l) є банахiв простiр усiх l разiв неперервно дифе-
ренцiйовних функцiй x : [a, b]→ C, надiлений нормою
‖x‖(l) :=
l∑
j=0
max
{
|x(j)(t)| : t ∈ [a, b]
}
.
Аналогiчно, (C(l))m є банахiв простiр усiх l разiв неперервно ди-
ференцiйовних вектор-функцiй z : [a, b] → Cm. Норма у цьому
просторi є сумою норм у C(l) усiх компонент функцiї z.
Нехай задано цiлi числа r ≥ 1, m ≥ 1 i p ≥ 1. На вiдрiзку
[a, b] розглянемо систему m лiнiйних диференцiальних рiвнянь
Про збiжнiсть розв’язкiв багатоточкових крайових задач 245
порядку r, залежних вiд числового параметра ε ∈ [0, ε0):
y(r)(t, ε) +Ar−1(t, ε)y
(r−1)(t, ε) + . . .+A0(t, ε)y(t, ε) = f(t, ε),
(1)
Тут число ε0 > 0 фiксоване, вектор-функцiя y(·, ε) ∈ (C(r−1))m
шукана, а усi матрицi-функцiї An−1(·, ε) ∈ Lm×m
1 i вектор-
функцiя f(·, ε) ∈ Lm
1 вважаються вiдомими. У роботi вектори
i вектор-функцiї подано у виглядi стовпцiв.
Для кожного ε ∈ (0, ε0) пов’яжемо з системою (1) багатото-
чкову крайову умову
B(ε)y(·; ε) =
p∑
j=0
qj(ε)∑
k=1
r−1∑
l=0
α
(l)
j,k(ε)y(l)(tj,k(ε), ε) = c(ε). (2)
Тут числа qj(ε) залежать вiд ε, матрицi α(l)
j,k(ε) ∈ Cm×m, точки
tj,k(ε) ∈ [a, b] та вектор c(ε) ∈ Cm є заданими.
Використання у крайовiй умовi повторної суми за iндексами j
i k зумовлене подальшими припущеннями щодо поведiнки точок
tj,k(ε) при ε → 0+ у залежностi вiд значень параметра j. Ви-
магатиметься, щоб для кожного фiксованого j ∈ 1, p усi точки
tj,k(ε) мали спiльну границю при ε→ 0+, а для точок t0,k(ε) така
вимога не висуватиметься.
З огляду на це, у граничному випадку ε = 0 розглядається
така крайова задача:
y(r)(t, 0) +Ar−1(t, 0)y(r−1)(t, 0)+
+ . . .+A0(t, 0)y(t, 0) = f(t, 0), a ≤ t ≤ b,
(3)
B(0)y(·; 0) =
p∑
j=1
r−1∑
l=0
α
(l)
j (0)y(l)(tj(0), 0) = c(0). (4)
Тут усi матрицi α(l)
j (0) ∈ Cm×m, точки tj(0) ∈ [a, b] та вектор
c(0) ∈ Cm є заданими.
246 О. Б. Пелехата
Для кожного ε ∈ [0, ε0) лiнiйне вiдображення y(·; ε) 7→
B(ε)y(·; ε) є обмеженим оператором
B(ε) : (C(r−1))m → Cm.
Оскiльки крайова задача (1)-(2) залежить вiд параметра ε, то
природним чином виникає питання про неперервнiсть розв’яз-
кiв y(·; ε) такої задачi за параметром ε в банаховому просто-
рi (C(r−1))m. Мета цiєї роботи полягає у знаходженнi достатнiх
умов для виконання граничної рiвностi
‖y(·; ε)− y(·; 0)‖(r−1) → 0, ε→ 0 + .
3. Результат
Крайовiй задачi (1)-(2) при кожному ε ∈ (0; ε0) вiдповiдає лiнiй-
ний обмежений оператор
(L(ε), B(ε)) : (C(r−1))m → (L1)
m × Cm.
У граничному випадку ε = 0 цей обмежений оператор вiдпо-
вiдає крайовiй задачi (3),(4). Як було доведено в [21], вiн є фре-
дгольмовим, а тому для однозначної розв’язностi задачi (1)-(2)
необхiдно i достатньо, щоб однорiдна гранична крайова задача
y(r)(t, 0) +Ar−1(t, 0)y(r−1)(t, 0) + . . .+A0(t, 0)y(t, 0) = 0, (5)
B(0)y(·; 0) =
p∑
j=1
r−1∑
l=0
α
(l)
j (0)y(l)(tj(0), 0) = 0. (6)
мала лише тривiальний розв’язок. Виразимо умови, за яких це
виконується.
Нехай R(t, a) резольвента рiвняння (3), тобто розв’язок, який
набуває значення Irm у точцi t = a. У нашому випадку R(t, a) —
блочна матриця розмiрностi rm× rm. Позначимо через
R0(t, a), R1(t, a), ..., R(r−1)(t, a)
Про збiжнiсть розв’язкiв багатоточкових крайових задач 247
елементи її першого рядка. Як вiдомо [22], розв’язок рiвняння
(3), який приймає значення Ya = (y(a), y′(a), ..., y(r−1)(a)) при
t = a задається формулою
y(t) =
r−1∑
i=0
Ri(tj , a)y(i)(a). (7)
Пiдставивши (7) у (6), отримаємо
C · Ya = 0,
де
C =
(
Σp
j=1Σ
(r−1)
i=0 α
(i)
j R
(i)
0 (tj , a) . . . Σp
j=1Σ
(r−1)
i=0 α
(i)
j R
(i)
r−1(tj , a)
)
.
Звiдси
Твердження. Гранична однорiдна крайова задача
L(0)y(t, 0) = 0, a ≤ t ≤ b, B(0)y(·, 0) = 0
має лише тривiальний розв’язок, якщо
detC 6= 0.
Введемо такi позначення:
Rn−1(·, ε) = An−1(·, ε)−An−1(·, 0),
R∨n−1(t, ε) =
∫ t
a
Rn−1(s, ε)ds, f∨(t, ε) =
∫ t
a
f(s, ε)ds.
Сформулюємо теорему про неперервну залежнiсть розв’язку
крайової задачi (1), (2) за малим параметром ε ≥ 0 у просторi
(C(r−1))m.
Теорема. Нехай при ε→ 0+ i n ∈ [r] виконуються умови на
(a) коефiцiєнти
248 О. Б. Пелехата
(1) ‖R∨n−1(·, ε)‖∞ → 0;
(2) ‖Rr−1(·, ε)R∨n−1(·, ε)‖(1) → 0;
(b) правi частини рiвнянь
(3) ‖f(·, ε)‖1 = O(1), ‖f∨(·, ε)− f∨(·, 0)‖∞ → 0;
(c) граничнi оператори
(4) c(ε)→ c(0);
(5) tj,k(ε)→ tj(0) для усiх j ∈ 1, p, k ∈ 1, qj ;
(6)
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)→ α
(l)
j (0) для усiх j ∈ 1, p, l ∈ 0, r − 1;
(7)
qj(ε)∑
k=1
‖α(l)
j,k(ε)‖ · |tj,k(ε)− tj(0)| → 0
для усiх j ∈ 1, p, k ∈ 1, qj, l ∈ 0, r − 1;
(8)
qj(ε)∑
k=1
‖α(l)
0,k(ε)‖ → 0, для усiх k ∈ 1, q0, l ∈ 0, r − 1.
Тодi для достатньо малих ε > 0 задача (1), (2) має єдиний
розв’язок i вiн задовольняє граничне спiввiдношення
‖y(·, ε)− y(·, 0)‖(r−1) → 0 при ε→ 0+, (8)
де ‖ · ‖∞− sup-норма, ‖ · ‖1 та ‖ · ‖(r−1) — норми у просторах
Lm
1 та C(r−1) вiдповiдно. Пiд нормою числової матрицi (зокрема,
вектора) розумiємо суму модулiв усiх її елементiв.
Про збiжнiсть розв’язкiв багатоточкових крайових задач 249
4. Доведення.
Дослiджувана нами задача з крайовою умовою (2) є частковим
випадком загальних крайових задач
y(r)(t, ε) +Ar−1(t, ε)y
(r−1)(t, ε) + . . .+A0(t, ε)y(t, ε) = f(t, ε),
(9)
Bl(ε)y(·; ε) = c(ε), l ∈ 1, r. (10)
Для них в роботi [7] було встановлене
Твердження. Нехай при ε→ 0+ i n ∈ [r] виконуються умови
теореми на коефiцiєнти та правi частини рiвнянь, а також
умова на граничнi оператори
(f) Bn(ε)y → Bn(0)y, y ∈ C(r−1) ([a, b];Cm) , n ∈ [r].
Тодi для достатньо малих ε > 0 задача (9)-(10) має єдиний
розв’язок i вiн задовольняє граничне спiввiдношення (8). Для
доведення основної теореми достатньо показати, що умова (f)
твердження є наслiдком умов (6) – (9) теореми.
У припущеннi, що умови (6) – (9) виконуються, доведемо вла-
стивiсть (f). Для довiльної функцiї y ∈ (C(r−1))m i достатньо
малого ε > 0 запишемо:
‖B(ε)y −B(0)y‖ =
=
∥∥∥∥∥∥
p∑
j=0
qj(ε)∑
k=1
r−1∑
l=0
α
(l)
j,k(ε)y(l)(tj,k(ε))−
p∑
j=1
r−1∑
l=0
α
(l)
j (0)y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
q0(ε)∑
k=1
r−1∑
l=0
‖α(l)
0,k(ε)‖ · ‖y(l)(t0,k(ε))‖+
+
p∑
j=1
r−1∑
l=0
∥∥∥∥∥∥
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)y(l)(tj,k(ε))− α(l)
j (0)y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥∥ (11)
250 О. Б. Пелехата
Тут на пiдставi умови (6) маємо:
q0(ε)∑
k=1
r−1∑
l=0
‖α(l)
0,k(ε)‖ · ‖y(l)(t0,k(ε))‖ ≤
q0(ε)∑
k=1
r · ‖α(l)
0,k(ε)‖ · ‖y‖(r) → 0
(12)
для усiх допустимих значень iндексiв k i l. Ця i всi iншi грани-
цi у доведеннi розглядаються за умови, що ε → 0+. Дослiдимо
останнiй доданок в (11). Запишемо:∥∥∥∥∥∥
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)y(l)(tj,k(ε))− α(l)
j (0)y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥∥ =
=
∥∥∥∥∥∥
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)y(l)(tj,k(ε))−
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)y(l)(tj(0)) +
+
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)y(l)(tj(0))− α(l)
j (0)y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥∥∥∥
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε) ·
(
y(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj(0))
)∥∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥∥
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)− α(l)
j (0)
· y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
qj(ε)∑
k=1
‖α(l)
j,k(ε)‖ · ‖y(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj(0))‖+
+
∥∥∥∥∥∥
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)− α(l)
j (0)
∥∥∥∥∥∥ · ‖y‖(r).
Про збiжнiсть розв’язкiв багатоточкових крайових задач 251
Тут на пiдставi умови (7) маємо:∥∥∥∥∥∥
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)− α(l)
j (0)
∥∥∥∥∥∥ · ‖y‖(r) → 0. (13)
Окрiм того,
qj(ε)∑
k=1
‖α(l)
j,k(ε)‖ · ‖y(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj(0)) ‖ → 0. (14)
Це випливає з теореми Лагранжа i умови (8):
qj(ε)∑
k=1
‖α(l)
j,k(ε)‖ · ‖y(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj(0)) ‖ ≤
≤ ‖y‖(r)
qj(ε)∑
k=1
‖α(l)
j,k(ε)‖ · |tj,k(ε)− tj(0)| → 0.
Iз формул (4.), (13), (14) негайно випливає, що∥∥∥∥∥∥
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)y(l)(tj,k(ε))− α(l)
j (0)y(l)(tj(0))
∥∥∥∥∥∥→ 0. (15)
Тепер властивiсть (f) є прямим наслiдком формул (11), (12) i
(15).
Теорему доведено.
Зауваження. Якщо числа qj не залежать вiд ε, то умови
на граничнi оператори мають вигляд:
(4) c(ε)→ c(0);
(5) tj,k(ε)→ tj(0) для усiх j ∈ 1, p, k ∈ 1, qj ;
(6)
qj(ε)∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)→ α
(l)
j (0) для усiх j ∈ 1, p, l ∈ 0, r − 1;
252 О. Б. Пелехата
(7) ‖α(l)
j,k(ε)‖ · |tj,k(ε)− tj(0)| → 0
для усiх j ∈ 1, p, k ∈ 1, qj , l ∈ 0, r − 1;
(8) ‖α(l)
0,k(ε)‖ → 0, для усiх k ∈ 1, q0, l ∈ 0, r − 1.
5. Висновки.
У статтi дослiджена параметризована числом ε ∈ [0, ε0] сiм’я
багатоточкових лiнiйних крайових задач для систем диференцi-
альних рiвнянь порядку r ≥ 1, коефiцiєнти та правi частини яких
сумовнi на вiдрiзку [a, b]. Знайдено умови неперервностi розв’яз-
кiв за малим параметром класичних багатоточкових крайових
задач. При цьому умови на коефiцiєнти при похiдних шуканої
функцiї у крайових операторах ставляться окремо для цiлої се-
рiї точок, якi залежать вiд ε > 0 i мають спiльну граничну точку
при ε→ 0+. Дослiджений випадок, коли кожна точка граничної
задачi має скiнченну серiю збiжних до неї точок розглянутої за-
дачi, а всi iншi точки, що не збiгаються до граничних, об’єдну-
ються в нульову серiю. Кiлькiсть точок у кожнiй серiї залежить
вiд параметра ε. Встановлений результат узагальнює тверджен-
ня, одержане в [7], зокрема, умови на граничнi оператори.
Автор вдячна В. А. Михайлецю за постановку задачi та ке-
рiвництво роботою.
Лiтература
[1] Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений // Итоги науки и те-
хники. Совр. пробл. математики. Новейшие достижения /
ВИНИТИ – 1987. – 30. – С. 3 – 103.
[2] Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений. – Тбилиси: Изд-во
Тбилисского ун-та, 1975. – 352 с.
Про збiжнiсть розв’язкiв багатоточкових крайових задач 253
[3] Кигурадзе И. Т. О краевых задачах для линейных дифференци-
альных систем с сингулярностями // Диф. уравнения. – 2003. –
39, № 2. – С. 198 – 209.
[4] Михайлец В. А., Рева Н. В. Непрерывность по параметру реше-
ний общих краевых задач // Теорiя наближення функцiй та сумi-
жнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2008. –
5, № 1. – С. 227 – 239.
[5] Михайлец В. А., Рева Н. В. Обобщения теоремы Кигурадзе о
корректности линейных краевых задач // Доп. НАН України. –
2008. – № 9. – С. 23 – 27.
[6] Kodliuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-
dimensional boundary-value problems // Ukr. Math. J. – 2013. – 65,
№ 1. – P. 77 – 90.
[7] Mikhailets V. A. Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-
dimensional boundary-value problems // J. Math. Sciences. – 2015.
– 204, № 3.
[8] Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельный переход в системах ли-
нейных дифференциальных уравнений // Доп. НАН України. –
2008. – № 8. – С. 28 – 30.
[9] Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional
boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces //
J. Math. Sciences. – 2013. – 190, № 4. – P. 589 – 599.
[10] Кодлюк Т. И. Матрицы Грина одномерных краевых задач с па-
раметром в пространствах Соболева // Диференцiальнi рiвняння
i сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2014. – 11, № 2. – С. 191 – 199.
[11] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Некоторые классы фредгольмо-
вых краевых задач на отрезке // Диференцiальнi рiвняння i сумi-
жнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. –
11, № 2. – С. 268 – 273.
[12] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Фредгольмовые краевые задачи
с параметром на пространствах C(n)[a; b] // Доп. НАН України. –
2014. – № 7. – С. 24 – 28.
254 О. Б. Пелехата
[13] Чеханова Г. О. Граничний перехiд в одновимiрних лiнiй-
них крайових задачах з параметром: Дис. ... канд. фiз.-мат.
наук. – Київ, 2014. – 122 с.
[14] Солдатов В. О. Про неперервнiсть за параметром розв’язкiв кра-
йових задач, тотальних щодо просторiв C(n+r)[a, b] // Укр. мат.
журн. — 2015. — 67, № 5. — С. 692 –700.
[15] Рева Н. В. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв лiнiйних кра-
йових задач: Дис. ... канд. фiз.-мат. наук. – Київ, 2009. – 148 с.
[16] Кодлюк Т. И. Предельный переход в классе многоточечных кра-
евых задач //Аналiз i застосування: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2012. – 9, № 2. – С. 203 – 216.
[17] Кодлюк Т. И. Многоточечные краевые задачи с параметром в про-
странствах Соболева // Доп. НАН України. – 2012. — № 11. –
С. 15 – 19.
[18] Чеханова Г. Непрерывность по параметру решений многоточе-
чных краевых задач // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi пита-
ння аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. –
10, № 2. – С. 260 – 279.
[19] Чеханова Г. А. Непрерывность по параметру функций Грина мно-
готочечных краевых задач //Комплексний аналiз, теорiя потен-
цiалу i застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України.
– 2013. – 10, № 4–5. – С. 532 – 541.
[20] Солдатов В. О. Багатоточковi задачi для систем диференцiаль-
них рiвнянь вищих порядкiв // Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2015. – 12, № 2. – С. 302 – 312.
[21] Гнып Е. В. Фредгольмовые краевые задачи с параметром в про-
странствах Соболева // Зб. праць Iн-ту математики НАН Укра-
їни. – 2015. – 12, № 2. – С. 302 – 312.
[22] Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные
формы. – М.: Мир, 1971. – 392 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-262 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:32Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/39/d63d867cc02c0038671cc43f9c768c39.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2622018-01-23T09:13:23Z On convergence of solutions of multipoint boundary-value problems Про збіжність розв'язків багатоточкових крайових задач Pelekhata, O. B. Пелехата, О. Б. We establish new sufficient conditions for continuous dependence on the parameter of solutions of multipoint linear boundary-value problems for systems of differential equations of order $r\geq1$ in the norms of spaces of continuously differentiable functions $C^{(r-1)}$. Знайдено нові достатні умови неперервної залежності за параметром розв'язків багатоточкових лінійних класичних крайових задач для систем диференціальних рівнянь порядку $r\geq1$ за нормами просторів неперервно диференційовних функцій $C^{(r-1)}$. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/262 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 242-254 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 242-254 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 242-254 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/262/236 Авторське право (c) 2016 O. Б. Пелехата |
| spellingShingle | Pelekhata, O. B. Пелехата, О. Б. On convergence of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title | On convergence of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title_alt | Про збіжність розв'язків багатоточкових крайових задач |
| title_full | On convergence of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title_fullStr | On convergence of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title_full_unstemmed | On convergence of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title_short | On convergence of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title_sort | on convergence of solutions of multipoint boundary-value problems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/262 |
| work_keys_str_mv | AT pelekhataob onconvergenceofsolutionsofmultipointboundaryvalueproblems AT pelehataob onconvergenceofsolutionsofmultipointboundaryvalueproblems AT pelekhataob prozbížnístʹrozv039âzkívbagatotočkovihkrajovihzadač AT pelehataob prozbížnístʹrozv039âzkívbagatotočkovihkrajovihzadač |