The Lyapunov numbers in semigroup systems
We study the Lyapunov numbers - the quantitative measures of sensitive dependence on initial conditions of dynamical systems. Some properties of the Lyapunov numbers for dynamical systems given by continuous maps are generalized for semigroup actions.
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/263 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552762851459072 |
|---|---|
| author | Rybak, O. V. Рибак, О. В. |
| author_facet | Rybak, O. V. Рибак, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. В. Рибак",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Rybak, O. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T23:34:28Z |
| description | We study the Lyapunov numbers - the quantitative measures of sensitive dependence on initial conditions of dynamical systems. Some properties of the Lyapunov numbers for dynamical systems given by continuous maps are generalized for semigroup actions. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 255–266
УДК 517.956.223
О. В. Рибак
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Числа Ляпунова у напiвгрупових
системах
semperfi@ukr.net
We study the Lyapunov numbers — the quantitative measures of
sensitive dependence on initial conditions of dynamical systems. Some
properties of the Lyapunov numbers for dynamical systems given by
continuous maps are generalized for semigroup actions.
Вивчаються числа Ляпунова — кiлькiснi показники чутливостi
динамiчної системи до початкових умов. Твердження для дина-
мiчних систем, що задаються неперервними вiдображеннями, уза-
гальненi на випадок дiї напiвгрупи.
1. Вступ
У роботi розглядаються кiлькiснi показники чутливостi динамi-
чних систем вигляду (X,G), де X — метричний простiр, а G —
деяка напiвгрупа його вiдображень у себе. Такий об’єкт узагаль-
нює динамiчнi системи (X, f), де f — вiдображення простору X
у себе. В системi, де дiє певна напiвгрупа, замiсть одного вiд-
ображення може бути довiльна їх множина, якщо вона замкнена
вiдносно операцiї композицiї функцiй.
c© О. В. Рибак, 2016
256 О. В. Рибак
Багато означень, що мають вiдношення до звичайних дина-
мiчних систем, можна розповсюдити i на напiвгруповi системи.
Наприклад, це можна зробити з означеннями транзитивностi,
слабкої змiшуваностi або мiнiмальностi. Подiбнi узагальнення
можливi i для деяких тверджень. Наприклад, як i у випадку
(X, f), транзитивна система (X,G) з компактним X мiститиме
точку, орбiта якої є всюди щiльною. Або з того, що система тран-
зитивна, нескiнченна та має щiльну множину мiнiмальних точок,
слiдує її чутливiсть як у звичайному, так i в напiвгруповому ви-
падку [5]. Але деякi властивостi систем вигляду (X, f) не пере-
носяться на загальний випадок. Наприклад, для системи (X, f)
вiрним є твердження, що зi слабкої змiшуваностi слiдує k-кратна
транзитивнiсть для довiльного натурального k. Для напiвгрупо-
вих систем це не завжди вiрно: множина монотонних неперерв-
них вiдображень вiдрiзка утворює слабко змiшуючу, але не 3-
кратно транзитивну систему [2]. Тому вивчення напiвгрупових
систем ставить багато цiкавих питань.
У данiй роботi проаналiзованi питання, що стосуються спiв-
вiдношень мiж числами Ляпунова – рiзними кiлькiсними пока-
зниками чутливостi системи. Поняття, пов’язанi з чутливiстю,
перенесенi з випадку (X, f) на напiвгруповi динамiчнi системи.
Дослiджено, якi властивостi зберiгаються при такому узагаль-
неннi.
Одними з перших статей, де вивчається чутливiсть систем до
початкових умов, є [1] та [3]. У цих роботах було запропоноване
таке означення.
Означення 1. Систему (X, f) називають чутливою (або чутли-
вою до початкових умов), якщо iснує таке ε > 0, що для будь-
якої точки x ∈ X та довiльного її вiдкритого околу U знайдуться
y ∈ U та n ∈ N0, для яких d(fn(x), fn(y)) > ε.
У роботi [4] описувалися способи кiлькiсної оцiнки чутливостi.
Для даної цiлi були запропонованi означення спецiальних кон-
стант, названих числами Ляпунова. В системах вигляду (X, f)
виконуються певнi рiвностi чи нерiвностi мiж зазначеними чи-
Числа Ляпунова у напiвгрупових системах 257
слами. Однi спiввiдношення є унiверсальними, iншi мають мiсце
в динамiчних системах окремих типiв. Тут здiйснено дослiдже-
ння аналогiчних спiввiдношень для випадку системи (X,G), де
X — метричний простiр, а G — деяка напiвгрупа його неперерв-
них вiдображень.
2. Основнi поняття
Введемо умовнi позначення, якi часто будуть використовуватися
далi.
Нехай N0 означає множину всiх цiлих невiд’ємних чисел.
Для кожного n ∈ N0 за допомогою запису fn(x) позначатиме-
мо вираз f(f(...f︸ ︷︷ ︸
n разiв
(x)...)). Вiдображення f0(x) є тотожним, тобто
для всiх x вiрна рiвнiсть f0(x) = x.
Якщо U — деяка пiдмножина простору X, то для позначення
замикання U в просторi X буде використовуватися запис U .
У багатьох роботах в якостi динамiчної системи розглядає-
ться пара (X, f), де X — метричний простiр, а f — вiдображення
цього простору в себе. Зазвичай додатково припускалося, що f
неперервне вiдносно метрики простору X, а сам X є компактним
або принаймнi повним. Система (X, f) називається динамiчною
тому, що можна розглядати послiдовностi (x, f(x), f2(x), ...), де
x — довiльна точка множини X. Наведенi послiдовностi iтерацiй
можна сприймати як рухи точки при багатократнiй дiї вiдобра-
ження f .
Поняття динамiчної системи можна узагальнити наступним
чином. В системi (X, f) дiють вiдображення fn, де n ∈ N0. Тобто
кожному елементу n з N0 поставлено у вiдповiднiсть вiдобра-
ження fn. Множина N0 є напiвгрупою вiдносно додавання. На-
ведена вiдповiднiсть узгоджує операцiї додавання та композицiї
функцiй. Тобто для будь-яких m,n ∈ N0 сумi m + n вiдповiдає
композицiя fm(fn) в той час, як елементам m та n вiдповiдають
258 О. В. Рибак
fm та fn. За аналогiєю можна розглянути довiльну напiвгрупу
G i спiвставити кожному g ∈ G деяку функцiю fg : X → X. Да-
на вiдповiднiсть має бути узгоджена зi структурою напiвгрупи.
А саме: для будь-яких g, h ∈ G повинна справджуватись умо-
ва fgh = fg(fh), а якщо G мiстить нейтральний елемент e, то
має виконуватися тотожнiсть fe(x) = x. У цьому випадку пару
(X,G) розглядатимемо як динамiчну систему. Будемо казати, що
напiвгрупа G дiє на просторi X. Далi замiсть fg(x) будемо пи-
сати просто g(x), бо можна вважати, що самi елементи g ∈ G є
вiдображеннями X у себе.
Наведемо декiлька прикладiв напiвгрупових динамiчних си-
стем.
Приклад 1. Нехай простiр X є декартовим добутком X1 ×
... ×Xk, тобто його точки – це набори елементiв (x1, ..., xk),
де xi ∈ Xi (i = 1, ..., k). Для кожного Xi нехай iснує вiдображе-
ння fi : Xi → Xi. Множина Nk0 = {(n1, ..., nk)|n1, ..., nk ∈ N0}
є напiвгрупою вiдносно операцiї покоординатного додавання. За-
дамо її дiю на X: нехай для довiльного вектора ~n = (n1, ..., nk)
та всiх точок x = (x1, ..., xn) виконується спiввiдношен-
ня ~n(x) = (fn1
1 (x1), ..., fnk
k (xk)). Маємо динамiчну систему
(X1 × ...×Xk,Nk0).
На просторi з наведеного прикладу часто розглядається дiя
меншої напiвгрупи {(n, ..., n)|n ∈ N0}. Тодi вiдповiдну систему
називають декартовим добутком систем (X1, f1), ..., (Xk, fk).
Приклад 2. Нехай простiр X є колом S1. Розглянемо множину
дiйсних чисел R з операцiєю додавання. Нехай для кожного α ∈
R функцiя fα є поворотом на кут α (вважатимемо, що поворот
здiйснюється проти годинникової стрiлки). Тодi (S1,R) є ще
одним прикладом дiї напiвгрупи.
Приклад 3. Розглянемо одиничний вiдрiзок I = [0, 1]. Нехай G
складається з неперервних монотонних функцiй g : I → I. Мно-
жина G є напiвгрупою вiдносно композицiї, тому що композицiя
Числа Ляпунова у напiвгрупових системах 259
двох неперервних монотонних функцiй теж неперервна та мо-
нотонна. Елементи g ∈ G дiятимуть на I природним чином: у
якостi fg береться сама функцiя g. Пара (I,G) є напiвгруповою
динамiчною системою.
Дiя довiльної напiвгрупи G може бути не комутативною: не
для всiх вiдображень f, g буде виконуватися рiвнiсть f(g) = g(f).
Таке явище спостерiгається у прикладi 3.
Для напiвгрупових систем (X,G) також можна ввести поня-
ття чутливостi за аналогiєю з означенням 1.
Означення 2. Систему (X,G) називають чутливою (або чутли-
вою до початкових умов), якщо iснує таке ε > 0, що для будь-якої
точки x ∈ X i довiльного її вiдкритого околу U знайдуться y ∈ U
та g ∈ G, для яких d(g(x), g(y)) > ε.
Як правило, розглядаються дiї напiвгруп, де вiдображення є
неперервними вiдносно метрики просторуX. Неперервнi функцiї
особливо цiкавi у дослiдженнi чутливостi, адже у цьому випад-
ку чутливiсть може бути досягнута лише завдяки нескiнченнiй
множинi вiдображень. Ми теж використовуватимемо дане обме-
ження.
У [4] були запропонованi означення чисел Ляпунова. Цi числа
на кiлькiсному рiвнi характеризують чутливiсть певної системи.
Тут ми наведемо означення для випадку системи (X,G).
Означення 3. Першим числом Ляпунова системи (X,G) нази-
вається найбiльше таке L1, що для будь-якого ε < L1 та будь-якої
вiдкритої непорожньої множини U ⊂ X знайдуться такi x, y ∈ U
та g ∈ G, що d(g(x), g(y)) > ε.
Означення 4. Другим числом Ляпунова системи (X,G) нази-
вається найбiльше таке L2, що для будь-якого ε < L2 та будь-якої
вiдкритої непорожньої U ⊂ X знайдуться такi x, y ∈ U , що не-
рiвнiсть d(g(x), g(y)) > ε виконується для нескiнченної множини
елементiв g ∈ G.
Означення 5. Третiм числом Ляпунова системи (X,G) нази-
вається найбiльше таке L3, що для будь-якого ε < L3, будь-якої
260 О. В. Рибак
x ∈ X та довiльної вiдкритої U ⊂ X, що мiстить x, знайдуться
такi y ∈ U та g ∈ G, що d(g(x), g(y)) > ε.
Означення 6. Четвертим числом Ляпунова системи (X,G) на-
зивається найбiльше таке L4, що для будь-якого ε < L4, будь-якої
x ∈ X та довiльної вiдкритої U ⊂ X, що мiстить x, знайдуться
такi x, y ∈ U , що нерiвнiсть d(g(x), g(y)) > ε виконується для
нескiнченної множини елементiв g ∈ G.
Iншими словами, числа L1, L2, L3 та L4 – це точнi верхнi
гранi тих ε, для яких виконуються певнi властивостi, пов’язанi
зi взаємним вiддаленням точок простору пiд дiєю напiвгрупи.
3. Спiввiдношення мiж числами Ляпунова
Далi ми будемо припускати, що X – компактний простiр з ме-
трикою d, а всi вiдображення fg, вiдповiднi елементам g ∈ G,
неперервнi вiдносно цiєї метрики. Тому ми не будемо окремо зга-
дувати про це у формулюваннi кожної теореми.
З означень 3-6 одразу слiдує, що L1 ≥ L2 ≥ L4 та L1 ≥ L3 ≥
L4. Також у [4] було доведено менш очевидну нерiвнiсть 2L4 ≥ L1
для системи (X, f) iз компактним X та неперервним f . Доведемо
аналогiчне твердження для напiвгрупової дiї.
Теорема 1. Для системи (X,G) виконується нерiвнiсть 2L4 ≥
L1.
Доведення. Будемо аналiзувати лише випадок L1 > 0, бо для
L1 = 0 потрiбна нерiвнiсть отримується очевидним чином з не-
вiд’ємностi чисел Ляпунова. Розглянемо деяку точку x ∈ X.
Покажемо, що для довiльного δ > 0 та будь-якого вiдкрито-
го околу U точки x знайдеться y ∈ U , для якої нерiвнiсть
d(g(x), g(y)) > L1/2− δ справджується при нескiнченно багатьох
g ∈ G.
За означенням першого числа Ляпунова, знайдуться точки
z1, z2 ∈ U та вiдображення g1 ∈ G, для яких вiрна умова
Числа Ляпунова у напiвгрупових системах 261
d(g1(z1), g1(z2)) > ε1 − δ. За нерiвнiстю трикутника, для однiєї
з цих двох точок (позначимо її y1) виконується d(g1(x), g1(y1)) >
(ε1−δ)/2. Оберемо вiдкритий окiл U1 точки y1, для якого справ-
джуються умови diam(U1) < 1, diam(g1(U1)) < δ/2 i U1 ⊂ U .
Потрiбний окiл iснує завдяки неперервностi вiдображення g1.
Побудуємо послiдовнiсть точок {yn}, а разом з нею – по-
слiдовностi вiдображень {gn} та вiдкритих околiв {Un}. Зга-
дана {yn} має збiгатися до такої точки y, що спiввiдношення
d(g(x), g(y)) > L1/2− δ вiрне за нескiнченно багатьох g ∈ G.
Будуватимемо зазначенi послiдовностi iндуктивно. Елементи
y1, g1 та U1 вже обранi. Тому достатньо задати yk+1, gk+1, Uk+1
(k ∈ N) у припущеннi, що вiдповiднi члени yk, gk та Uk вже є.
За означенням числа L1, знайдеться така gk+1 ∈ G, що
diam(gk+1(Uk)) > L1 − δ. Тодi, за нерiвнiстю трикутника, iснує
точка yk+1, для якої d(gk+1(x), gk+1(yk+1)) > (L1− δ)/2. Оберемо
згаданi yk+1 та gk+1 в якостi наступних елементiв вiдповiдних
послiдовностей. Нарештi, вiзьмемо такий окiл Uk+1 точки yk+1,
що diam(Uk+1) < 1/(k+1), diam(gk+1(Uk+1)) < δ/2 та Uk+1 ⊂ Uk.
Згiдно з правилами побудови наших послiдовностей, для ко-
жного натурального k виконана умова Uk+1 ⊂ Uk, звiдки маємо
Uk+1 ⊂ Uk. Множина X компактна, тому будь-яка її замкне-
на пiдмножина теж буде компактною. Отже, {Un} — це послi-
довнiсть вкладених компактiв, а такi множини завжди мають
спiльну точку y. Оскiльки U1 ⊂ U , точка y теж належить U .
Для кожного натурального k точки y та yk належать множинi
Uk. За вибором Uk та gk, виконуються умови d(gk(x), gk(yk)) >
(L1− δ)/2 та d(gk(yk), gk(y)) ≤ diam(gk(Uk)) < δ/2. Тому з нерiв-
ностi трикутника маємо, що d(gk(x), gk(y)) ≥ d(gk(x), gk(yk)) −
d(gk(yk), gk(y)) < L1/2− δ.
Покажемо, що для довiльного δ < 2L1/3 всi вiдображення
{gk} рiзнi. Розглянемо деякi gi та gj , де i < j. За вибором множи-
ни Uj маємо diam(gi(Ui)) < δ/2. З iншого боку, Ui мiстить Uj−1
(можливо, Ui = Uj−1), тому diam(gj(Ui)) ≥ diam(gj(Uj−1)) >
L1− δ. Якщо δ/2 < L1− δ, множини gi(Ui) та gj(Ui) мають рiзнi
262 О. В. Рибак
дiаметри. Отже, у випадку δ < 2L1/3 вiдображення gi та gj вiд-
рiзняються одне вiд одного. Тому для 0 < δ < 2L1/3 виконується
L4 ≥ L1/2− δ.
Беручи як завгодно малi δ > 0, отримуємо 2L4 ≥ L1. Теорему
1 доведено. �
З доведеної теореми та очевидних нерiвностей L1 ≥ L2 ≥ L4
i L1 ≥ L3 ≥ L4 слiдує, що для будь-яких i, j ∈ {1, 2, 3, 4} справ-
джується 2Li ≥ Lj .
Теорема 1 в певному сенсi є точною. Тобто можна навести
приклади чутливих систем, у яких нерiвнiсть 2Li ≥ Lj пере-
творюється на рiвнiсть для деяких i та j. Зокрема, систему
(X, f) з виконанням рiвностi 2L3 = L1 можна побудувати таким
чином. Розглянемо вiдрiзок I = [0, 1] зi звичайною метрикою
d(x, y) = |x − y|. У якостi f вiзьмемо кусково-лiнiйну функцiю,
для якої f(x) = 3x при 0 ≤ x ≤ 1
3 , f(x) = 2 − 3x при 1
3 ≤ x ≤ 1
2
та f(x) = 1− x при 1
2 ≤ x ≤ 1. Система (X, f) є топологiчно то-
чною, тобто для будь-якого вiдкритого околу U знайдеться таке
n, що fn(U) = I. Тому, за означенням 3, L1 = 1. З iншого боку,
точка 1
2 є нерухомою точкою функцiї f , отже для всiх n ∈ N0 та
x ∈ I вiрно d(fn(12), f
n(x)) = d(12 , f
n(x)) ≤ 1
2 . Звiдси L3 ≤
1
2 . За
теоремою 1, це можливо лише у випадку L3 = 1
2 .
В [4] показано, що для деяких класiв динамiчних систем ви-
гляду (X, f) мiж певними числами Ляпунова спостерiгається рiв-
нiсть. Наприклад, було доведено, що для транзитивних систем
виконується рiвнiсть мiж першими двома числами. Для мiнi-
мальних систем, якi є частковим випадком транзитивних, до-
ведено, що окрiм L1 = L2 виконується L3 = L4.
Далi будуть виведенi такi ж самi рiвностi для випадку дiї ко-
мутативної напiвгрупи.
Наведемо деякi означення.
Означення 7. Транзитивною системою називається така
(X,G), що для будь-яких вiдкритих непорожнiх пiдмножин
U, V ⊂ X знайдеться g ∈ G, для якої g(U) ∩ V 6= ∅.
Числа Ляпунова у напiвгрупових системах 263
Як вiдомо, множина M ⊂ X називається щiльною в точцi x,
якщо для будь-якого ε > 0 знайдеться така y ∈M , що d(x, y) < ε.
Множина M ⊂ X називається всюди щiльною, якщо вона щiль-
на в будь-якiй точцi x ∈ X. Множина M ⊂ X нiде не щiльна,
якщо для довiльної непорожньої вiдкритої множини U ⊂ X iснує
точка z ∈ U , де M не щiльна. (Пiдкреслимо, що нiде не щiльна
множина може бути щiльною в деяких точках, якщо множина
цих точок не мiстить вiдкритої непорожньої пiдмножини). Якщо
розглянути замикання, щiльнiсть можна розумiти наступним чи-
ном. Множина M щiльна в точцi x, якщо x ∈M , всюди щiльна,
якщо X = M , i нiде не щiльна, якщо M не мiстить вiдкритих
непорожнiх пiдмножин простору X.
Можна дати означення мiнiмальної та транзитивної точки,
виходячи з поняття щiльностi.
Означення 8. Точка x ∈ X називається транзитивною точкою
системи (X,G), якщо множина {g(x)|g ∈ G} щiльна в X.
Означення 9.Мiнiмальною системою називається така (X,G),
що для довiльної точки x ∈ X множина {g(x)|g ∈ G} щiльна в
X. Тобто система мiнiмальна тодi i лише тодi, коли будь-яка її
точка транзитивна.
Для подальших доведень будемо використовувати таку лему.
Лема 1. Якщо система (X,G) транзитивна, X – компактний,
а G складається з неперервних вiдображень, то будь-яка не-
порожня вiдкрита пiдмножина простору X мiстить транзи-
тивну точку.
Доведення. Як вiдомо, якщо X – компактний, то в ньому iснує
злiченна база, тобто така сiм’я непорожнiх вiдкритих множин
Bi|i ∈ N, що для будь-якої вiдкритої непорожньої U ⊂ X знайде-
ться Bi, яка повнiстю лежить в U .
Точка x не є транзитивною тодi i тiльки тодi, коли зами-
кання її орбiти {g(x)|g ∈ G} не спiвпадає з усiм X. Оскiльки
{g(x)|g ∈ G} є замкненою множиною, її доповнення до X вiд-
крите. За вибором системи Bi|i ∈ N, знайдеться Bj , яка не має
264 О. В. Рибак
спiльних точок iз {g(x)|g ∈ G}, а тим бiльше – з самою орбiтою
{g(x)|g ∈ G}. Отже, точка не є транзитивною тодi i лише тодi,
коли її орбiта не перетинається з деякою Bj .
Покажемо, що для кожної Bj (j ∈ N) множина Cj тих точок,
орбiти яких не перетинаються з Bj , є нiде не щiльною в X. Не-
хай це не так. Тодi для деякої j знайдеться непорожня вiдкрита
множина U , що належить Cj . Але, за означенням транзитивної
системи, знайдеться g ∈ G, для якої g(U) ∩ Bj 6= ∅. Оскiльки g
неперервна i Cj щiльна в U , знайдеться точка z ∈ U ∩ Cj , для
якої g(z) ∈ Bj . Але це суперечить означенню Cj . Тому Cj нiде
не щiльна.
Отже, множина не транзитивних точок є об’єднанням злiчен-
ної сiм’ї нiде не щiльних множин Cj . За теоремою Бера, непоро-
жня вiдкрита пiдмножина компактного простору не може бути
об’єднанням злiченної кiлькостi нiде не щiльних множин. Тому
для довiльної непорожньої вiдкритої U ⊂ X iснує точка z ∈ U ,
яка не належить жоднiй Cj (j ∈ N). Вона є транзитивною. Лему
1 доведено. �
Завдяки наведенiй лемi можна показати рiвнiсть мiж перши-
ми двома числами Ляпунова для транзитивної системи, що ми
сформулюємо у виглядi окремої теореми.
Теорема 2. Для транзитивної системи (X,G) з комутатив-
ною напiвгрупою G вiрна рiвнiсть L1 = L2.
Доведення. Як i в доведеннi теореми 1, розглянемо лише випа-
док L1 > 0. Розглянемо довiльну вiдкриту непорожню множину
U ⊂ X та деяке δ > 0. За означенням L1, знайдуться такi x, y ∈ U
та g ∈ G, що d(g(x), g(y)) > L1 − δ.
За лемою 1, у як завгодно малому вiдкритому околi x знайде-
ться транзитивна точка. Функцiя g неперервна, тому iснує такий
окiл V точки x, що для всiх v ∈ V вiрно d(g(x), g(v)) < δ. Мно-
жина U ∩V вiдкрита та непорожня, бо мiстить точку x. Оберемо
транзитивну точку z всерединi цiєї множини. Оскiльки z тран-
зитивна, знайдеться таке вiдображення h ∈ G, що точка h(z) до-
Числа Ляпунова у напiвгрупових системах 265
статньо близька до y для виконання умови d(g(h(z)), g(y)) < δ.
Тодi за нерiвнiстю трикутника справджується спiввiдношення
d(g(z), g(h(z))) ≥ d(g(x), g(y)) − d(g(x), g(z)) − d(g(h(z)), g(y)) <
L1 − 3δ.
З комутативностi напiвгрупи G маємо g(h(z)) = h(g(z)). Тому
d(g(z), h(g(z))) < L1 − 3δ. Точка g(z) не може бути iзольованою,
iнакше виконуватиметься рiвнiсть L1 = 0. Отже, в довiльному
околi g(z) є нескiнченно багато точок вигляду f(z), де f ∈ G.
Точка z не iзольована. Дiйсно, якби iснував вiдкритий окiл
V точки z, що мiстить лише її, то в цьому околi не знайшло-
ся б двох точок x та y, якi для деякої f ∈ G задовольня-
ли б умову d(f(x), f(y)) > 0. А це суперечило би припущен-
ню про L1 > 0. Розглянемо настiльки малий вiдкритий окiл
W точки z, що для довiльної p ∈ W виконуються нерiвностi
d(p, z) < δ та d(h(p), h(z)) < δ. Iз транзитивностi та не iзольо-
ваностi z випливає, що всерединi W iснує безлiч точок вигля-
ду fi(z), де fi ∈ G. За вибором множини W , для таких точок
виконуються нерiвностi d(z, fi(z)) < δ та d(h(z), h(fi(z))) < δ.
Тому за нерiвнiстю трикутника отримуємо d(fi(z), fi(h(z))) >
d(z, h(z))− d(z, fi(z))− d(h(z), h(fi(z))) > L1 − 5δ.
Отже, для даної системи L2 ≥ L1 − 5δ. З довiльностi δ > 0
маємо L1 = L2. Теорему 2 доведено. �
Можна довести схожу теорему для мiнiмальних систем. У цьо-
му випадку вiрними виявляються двi рiвностi у рiзних парах чи-
сел Ляпунова.
Теорема 3. Для мiнiмальної системи (X,G) з комутативною
напiвгрупою G вiрнi рiвностi L1 = L2 та L3 = L4.
Доведення. Оскiльки мiнiмальна система завжди є транзитив-
ною, рiвнiсть L1 = L2 слiдує з попередньої теореми.
Для доведення рiвностi L3 = L4 розглянемо довiльну точку z
та її довiльний окiл U . За означенням числа L3, для довiльного
δ > 0 знайдуться такi y ∈ U та g ∈ G, що d(g(z), g(y)) > L3 − δ.
Нехай V ⊂ U – вiдкритий окiл точки y, для якого diam(g(V )) <
266 О. В. Рибак
δ. Точка z є транзитивною, тому iснує така h ∈ G, що h(z) ∈
V . За нерiвнiстю трикутника, d(g(z), h(g(z))) > d(g(z), g(y)) −
d(g(y), h(g(z))) > L3 − 2δ. Далi можна застосувати тi ж самi
мiркування, що i в доведеннi теореми 2, звiдки отримаємо L3 =
L4. Теорему 3 доведено. �
4. Висновки
Твердження статтi [4] узагальнюються на випадок системи
(X,G) з комутативною G. Вiдкритим залишається питання, чи
обов’язкова комутативнiсть зазначеної напiвгрупи вiдображень.
Для теореми 1 ця властивiсть G не використовувалася. Автор
припускає, що i в iнших теоремах можна обiйтися без цього обме-
ження.
Лiтература
[1] Auslander J., Yorke J. Interval maps, factors of maps and chaos //
Tohoku Mathematical Journal. – 1980. – С. 177–188.
[2] Cairns G., Kolganova A., Nielsen A. Topological transitivity and
mixing notions for group actions // Rocky Mountain Journal of
Mathematics. – 2007. – № 2. – С. 371–397.
[3] Guckenheimer J. Sensitive dependence to initial conditions for one-
dimensional maps // Comm. Math. Phys. – 1979. – С. 133–160.
[4] Kolyada S., Rybak O. On the Lyapunov numbers // Colloquium
Mathematicum. – 2013. – № 2. – С. 209–218.
[5] Kontorovich E., Megrelishvili M. A note on sensitivity of semigroup
actions // Semigroup Forum. – 2008. – № 1. – С. 133–141.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-263 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:36Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/84/443b75c454703a3c788e2718863fe484.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2632018-01-29T23:34:28Z The Lyapunov numbers in semigroup systems Числа Ляпунова у напівгрупових системах Rybak, O. V. Рибак, О. В. We study the Lyapunov numbers - the quantitative measures of sensitive dependence on initial conditions of dynamical systems. Some properties of the Lyapunov numbers for dynamical systems given by continuous maps are generalized for semigroup actions. Вивчаються числа Ляпунова - кількісні показники чутливості динамічної системи до початкових умов. Твердження для динамічних систем, що задаються неперервними відображеннями, узагальнені на випадок дії напівгрупи. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/263 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 255-266 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 255-266 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 255-266 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/263/237 Авторське право (c) 2016 О. В. Рибак |
| spellingShingle | Rybak, O. V. Рибак, О. В. The Lyapunov numbers in semigroup systems |
| title | The Lyapunov numbers in semigroup systems |
| title_alt | Числа Ляпунова у напівгрупових системах |
| title_full | The Lyapunov numbers in semigroup systems |
| title_fullStr | The Lyapunov numbers in semigroup systems |
| title_full_unstemmed | The Lyapunov numbers in semigroup systems |
| title_short | The Lyapunov numbers in semigroup systems |
| title_sort | lyapunov numbers in semigroup systems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/263 |
| work_keys_str_mv | AT rybakov thelyapunovnumbersinsemigroupsystems AT ribakov thelyapunovnumbersinsemigroupsystems AT rybakov čislalâpunovaunapívgrupovihsistemah AT ribakov čislalâpunovaunapívgrupovihsistemah AT rybakov lyapunovnumbersinsemigroupsystems AT ribakov lyapunovnumbersinsemigroupsystems |