Multipoint boundary-value problems for systems of first order differential equations in Hölder spaces
We investigate a broad class of parameter-dependent multipoint linear boundary-value problems for systems of first order ordinary differential equations. We prove a criterion for continuous dependence on the parameter of solutions to these problems in H\"older spaces.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/264 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552764645572608 |
|---|---|
| author | Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. |
| author_facet | Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. О. Солдатов",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Soldatov, V. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T09:13:23Z |
| description | We investigate a broad class of parameter-dependent multipoint linear boundary-value problems for systems of first order ordinary differential equations. We prove a criterion for continuous dependence on the parameter of solutions to these problems in H\"older spaces. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 267–280
УДК 517.927
В. О. Солдатов
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Багатоточковi крайовi задачi для
систем диференцiальних рiвнянь
першого порядку у просторах
Гельдера
soldatovvo@ukr.net
We investigate a broad class of parameter-dependent multipoint li-
near boundary-value problems for systems of first order ordinary di-
fferential equations. We prove a criterion for continuous dependence
on the parameter of solutions to these problems in Hölder spaces.
Дослiджено широкий клас залежних вiд параметра багатоточко-
вих лiнiйних крайових задач для систем звичайних диференцiаль-
них першого порядку. Доведено критерiй неперервної залежностi
за параметром розв’язкiв цих задач у просторах Гельдера.
1. Вступ
У сучаснiй математицi важливу роль вiдiграє граничний перехiд
у системах диференцiальних рiвнянь. Найкраще його властиво-
стi були дослiдженi у випадку задач Кошi для систем звичайних
диференцiальних рiвнянь першого порядку. Так, для нелiнiйних
c© В. О. Солдатов, 2016
268 В. О. Солдатов
систем фундаментальнi результати стосовно неперервностi за па-
раметром розв’язкiв задачi Кошi були одержанi I. I. Гiхманом [1],
М. А. Красносельським i С. Г. Крейном [2], Я. Курцвейлєм i
З. Ворелом [3]. Для лiнiйних же систем, цi результати були уто-
чненi i доповненi А. Ю. Левiним [4], З. Опялем [5], В. Т. Рей-
дом [6] та Нгуен Тхе Хоаном [7].
Крайовi задачi, залежнi вiд параметра, дослiджено значно гiр-
ше, нiж задачу Кошi. I. Т. Кiгурадзе [8 – 10] та М. Ашордiа [11]
ввели i дослiдили клас загальних лiнiйних крайових задач для
систем диференцiальних рiвнянь першого порядку. Розв’язки y
таких задач припускалися абсолютно неперервними на вiдрiзку
[a, b], а крайовi умови розглядалися у формi By = q, де B до-
вiльний лiнiйний неперервний оператор, що дiє з нормованого
простору C([a, b],Rm) у Rm (m — число диференцiальних рiв-
нянь системи). I. Т. Кiгурадзе та М. Ашордiа отримали умови,
за яких розв’язки задач з цього класу, що залежать вiд пара-
метра, є неперервними за параметром у просторi C([a, b],Rm).
Нещодавно цi результати було уточнено i узагальнено на компле-
кснозначнi функцiї та системи диференцiальних рiвнянь вищих
порядкiв [12 – 14].
У працях В. А. Михайлеця i його учнiв цi результати перене-
сено на важливий клас багатоточкових крайових задач щодо со-
болєвських просторiв та просторiв C(n)[a, b] для рiвнянь i систем
як першого [15, 16], так i високих порядкiв [17 – 19]. У цих робо-
тах припускається, що кожна точка, у якiй ставляться крайовi
умови, або не залежить вiд малого параметра ε > 0 [15, 18, 19],
або має граничне значення при ε → 0+ [16, 17]. Окрiм того,
допускається iснування додаткових точок, що входять у вираз,
нехтуваний при ε→ 0+.
У роботi [20] введено новий клас крайових задач для систем
звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь першого порядку.
На вiдмiну вiд звичайних крайових задач, цей клас пов’язаний
iз заданим функцiональним простором. Розглянуто системи, у
яких коефiцiєнти i правi частини належать простору (Cn,α)m :=
Багатоточковi крайовi задачi ... у просторах Гельдера 269
Cn,α([a, b],Cm), де 0 ≤ n ∈ Z. Враховуючи, що розв’язки z ко-
жної такої системи пробiгають увесь простiр (Cn+1,α)m, розгля-
дається найбiльш загальна крайова умова у формi Bz = q, де
B : (Cn+1,α)m → Cm є довiльний лiнiйний неперервний оператор.
Така умова може мiстити похiднi розв’язку z(l), де 1 ≤ l ≤ n+1.
Такi крайовi задачi названо тотальними щодо простору Cn+1,α.
Зауважимо, що зокрема i некласичнi багатоточковi задачi, якi
вивчаються у данiй роботi, належать до цього класу.
Вiдмiтимо, що класи тотальних крайових задач щодо просто-
рiв Соболєва та просторiв неперервно диференцiйовних функцiй
були введенi у роботах [21, 22] i [23, 24], де була встановлена
їх фредгольмовiсть та були наведенi достатнi умови неперерв-
ної залежностi їх розв’язкiв за параметром. Цi результати були
застосованi до дослiдження багатоточкових крайових задач [15],
матриць Грiна [13, 14] та використанi у спектральнiй теорiї дифе-
ренцiальних операторiв iз сингулярними коефiцiєнтами [25 – 27].
У данiй роботi дослiджується багатоточкова лiнiйна крайова
задача на вiдрiзку [a, b] дiйсної осi для системи диференцiальних
рiвнянь першого порядку у просторах Гельдера. Вiдмiтимо, що
використовується постановка, запропонована у роботi [28], яка
дає можливiсть отримати бiльш слабкi умови, нiж та, що ви-
користовувалася у бiльш раннiх роботах (див., напр., [15 – 19]).
Принципова вiдмiннiсть полягає у тому, що умови на коефiцiєнти
при похiдних шуканої функцiї у крайових операторах ставляться
окремо для цiлої серiї точок, якi залежать вiд ε i мають спiльну
граничну точку при ε→ 0+. У данiй роботi встановлено умови,
достатнi для неперервностi при ε → 0+ розв’язкiв дослiджува-
ної задачi. Окрiм того, для бiльш вузького класу задач, у яких
зазначений набiр точок є фiксованим, встановлено критерiй не-
перервної залежностi розв’язкiв за параметром.
Робота складається з п’яти роздiлiв. Перший роздiл — вступ.
У другому роздiлi наведено постановку дослiджуваної багато-
точкової крайової задачi, залежної вiд малого параметра ε > 0.
Основний результат роботи сформульовано у третьому її роздiлi.
270 В. О. Солдатов
Це — достатня умова неперервностi при ε→ 0+ розв’язку задачi
у нормованому просторi Гельдера. Основний результат доведено
у четвертому роздiлi. У заключному, п’ятому роздiлi, для бiльш
вузького класу багатоточкових крайових задач встановлено кри-
терiй зазначеної неперервностi.
2. Постановка задачi
Нехай довiльним чином вибрано (скiнченний) вiдрiзок [a, b] ⊂ R,
цiлi числа m ≥ 1, n ≥ 0 i дiйсне число α таке, що 0 ≤ α ≤ 1.
Використовуємо комплекснi простори Гельдера
(C l,α)m := C l,α([a, b],Cm),
(C l,α)m×m := C l,α([a, b],Cm×m),
(1)
де 0 ≤ l ∈ Z. Вони складаються вiдповiдно з усiх вектор-функцiй
та матриць-функцiй порядкуm, елементи яких належать до про-
стору C l,α := C l,α([a, b],C), i надiленi нормами, що є сумою норм
у C l,α усiх компонентiв цих функцiй. Означення простору Гель-
дера C l,α нагадаємо наприкiнцi цього пункту.
Розглядаємо систему m ≥ 1 лiнiйних диференцiальних рiв-
нянь першого порядку, залежних вiд числового параметра ε ∈
[0, ε0):
L(ε)y(t, ε) ≡ y′(t, ε) +A(t, ε)y(t, ε) = f(t, ε), a ≤ t ≤ b. (2)
Тут i далi число ε0 > 0 фiксоване, вектор-функцiя y(·, ε) ∈
(Cn+1,α)m є шуканою та довiльним чином задано матрицю-
функцiю A(·, ε) ∈ (Cn,α)m×m i вектор-функцiю f(·, ε) ∈ (Cn,α)m.
У роботi вектори i вектор-функцiї подано у виглядi стовпцiв.
Для кожного ε ∈ (0, ε0) пов’яжемо iз системою (2) багатото-
чкову крайову умову
B(ε)y(·, ε) ≡
p∑
j=0
ωj∑
k=1
n+1∑
l=0
α
(l)
j,k(ε) y
(l)(tj,k(ε), ε) = q(ε). (3)
Багатоточковi крайовi задачi ... у просторах Гельдера 271
Тут усi числа ωj ∈ N, числовi матрицi α(l)
j,k(ε) ∈ Cm×m, точки
tj,k(ε) ∈ [a, b] та вектор q(ε) ∈ Cm є заданими.
Використання у крайовiй умовi повторної суми за iндексами
j i k зумовлене подальшими припущеннями щодо поведiнки то-
чок tj,k(ε) при ε → 0+ у залежностi вiд значень параметра j.
Вимагатиметься, щоб для кожного фiксованого номера j ∈ 1, p
усi точки tj,k(ε) мали деяку спiльну границю tj при ε → 0+, а
для точок t0,k(ε) така вимога не висуватиметься.
З огляду на це, у граничному випадку ε = 0 розглядається
така крайова задача
L(0)y(t, 0) = f(t, 0), a ≤ t ≤ b, (4)
B(0)y(·, 0) ≡
p∑
j=1
n+1∑
l=0
α
(l)
j y(l)(tj , 0) = q(0). (5)
Тут усi матрицi α(l)
j ∈ Cm×m, точки tj ∈ [a, b] та вектор q(0) ∈ Cm
є заданими.
Звiсно, для кожного ε ∈ [0, ε0) лiнiйне вiдображення y(·, ε) 7→
B(ε)y(·, ε) є обмеженим оператором
B(ε) : (Cn+1,α)m → Cm. (6)
Зробленi нами припущення щодо системи (2) та обмеженiсть
оператора (6) означають згiдно з [20], що крайова задача (2), (3)
є тотальною щодо простору Гельдера для кожного ε ∈ [0, ε0), як
i задача (4), (5). Для таких крайових задач у цитованiй роботi
[20] обґрунтовано їх фредгольмовiсть з iндексом нуль i доведено
критерiй неперервностi за параметром їх розв’язкiв.
Зауважимо, що крайовi умови (3), (5) охоплюють як класи-
чнi багатоточковi задачi, так i некласичнi, що мiстять похiднi
шуканої функцiї.
Наприкiнцi цього пункту нагадаємо означення просторiв Гель-
дера на [a, b] й обговоримо деякi поняття i позначення, пов’язанi
з цими просторами. Нехай цiле число l ≥ 0. Надiлимо банахiв
272 В. О. Солдатов
простiр C(l) := C(l)([a, b],C) усiх l разiв неперервно диференцi-
йовних функцiй x : [a, b]→ C нормою
‖x‖l :=
l∑
j=0
max
{
|x(j)(t)| : t ∈ [a, b]
}
.
За означенням, простiр Гельдера C l,α := C l,α([a, b],C), де 0 <
α ≤ 1, складається з усiх функцiй x ∈ C(l) таких, що
‖x(l)‖′α := sup
{ |x(l)(t2)− x(l)(t1)|
|t2 − t1|α
: t1, t2 ∈ [a, b], t1 6= t2
}
<∞.
Цей простiр є банаховим вiдносно норми
‖x‖l,α := ‖x‖l + ‖x(l)‖′α.
Задля загальностi ми використовуємо позначення C l,0 := C(l) та
‖ · ‖l,0 := ‖ · ‖l.
Вiдмiтимо, що кожен простiр C l,α, де 0 ≤ α ≤ 1, є банаховою
алгеброю вiдносно деякої норми, еквiвалентної ‖ · ‖l,α. Норми у
просторах (1) також позначено як ‖·‖l,α. З контексту завжди буде
зрозумiло, у якому саме просторi Гельдера (скалярних, вектор-
чи матриць-функцiй) розглядається ця норма.
3. Основний результат
Для крайової задачi (2), (3) розглянемо такi чотири
Граничнi умови при ε→ 0+:
(I) A(·, ε)→ A(·, 0) в (Cn,α)m×m;
(d1) tj,k(ε)→ tj для усiх j ∈ 1, p i k ∈ 1, ωj ;
(d2)
ωj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)→ α
(l)
j для усiх j ∈ 1, p i l ∈ 0, n+ 1;
Багатоточковi крайовi задачi ... у просторах Гельдера 273
(d3) α(n+1)
j,k (ε) = O(1) для усiх j ∈ 1, p i k ∈ 1, ωj ;
(d4) ‖α(l)
j,k(ε)‖ · |tj,k(ε)− tj(0)| → 0 для усiх j ∈ 1, p, k ∈ 1, ωj
i l ∈ 0, n;
(d5) α(l)
0,k(ε)→ 0 для усiх k ∈ 1, ω0 i l ∈ 0, n+ 1.
(III) f(·, ε)→ f(·, 0) в (Cn,α)m;
(IV) q(ε)→ q(0) в Cm.
В умовi (d4) i надалi пiд нормою числової матрицi (зокрема,
вектора) розумiємо суму модулiв усiх її елементiв.
Розглянемо ще одну умову.
Умова (0). Гранична однорiдна крайова задача
L(0)y(t, 0) = 0, a ≤ t ≤ b, B(0)y(·, 0) = 0
має лише тривiальний розв’язок.
Тепер сформулюємо
Базове означення. Говоримо, що розв’язок крайової задачi (2),
(3) неперервно залежить вiд параметра ε при ε = 0, якщо вико-
нуються такi двi умови:
(∗) Iснує додатне число ε1 < ε0 таке, що для кожного ε ∈ [0, ε1)
i будь-яких правих частин f(·, ε) ∈ (Cn,α)m i q(ε) ∈ Cm ця
задача має єдиний розв’язок y(·, ε) ∈ (Cn+1,α)m.
(∗∗) Граничнi умови (III) i (IV) тягнуть за собою збiжнiсть
y(·, ε)→ y(·, 0) в (Cn+1,α)m при ε→ 0 + . (7)
Сформулюємо основний результат статтi.
Теорема 1. Розв’язок крайової задачi (2), (3) неперервно зале-
жить вiд параметра ε при ε = 0, якщо вона задовольняє умову
(0) i граничнi умови (I), (d1) – (d5).
274 В. О. Солдатов
4. Доведення основного результату
Крайова задача (2), (3), як окремий випадок тотальної крайової
задачi щодо простору Гельдера Cn+1,α, має згiдно з [20] таку
властивiсть.
Твердження 1. Розв’язок крайової задачi (2), (3) неперервно
залежить вiд параметра ε при ε = 0 тодi i тiльки тодi, коли
вона задовольняє умову (0) i граничнi умови (I) та
(II) B(ε)y → B(0)y в Cm для довiльного y ∈ (Cn+1,α)m.
Тому для доведення теореми 1 достатньо показати, що умови
(d1) – (d5) тягнуть за собою граничну умову (II). Припустимо,
що виконуються умови (d1) –(d5) i доведемо умову (II).
Для довiльної функцiї y ∈ (Cn+1,α)m i достатньо малого ε > 0
запишемо
‖B(ε)y −B(0)y‖ =
=
∥∥∥∥ p∑
j=0
ωj∑
k=1
n+1∑
l=0
α
(l)
j,k(ε) y
(l)(tj,k(ε))−
p∑
j=1
n+1∑
l=0
α
(l)
j y(l)(tj)
∥∥∥∥ ≤
≤
ω0∑
k=1
n+1∑
l=0
‖α(l)
0,k(ε)‖ · ‖y
(l)(t0,k(ε))‖+
+
p∑
j=1
n+1∑
l=0
∥∥∥∥ ωj∑
k=1
α
(l)
j,k (ε)y
(l)(tj,k(ε))− α
(l)
j y(l)(tj)
∥∥∥∥. (8)
Тут на пiдставi умови (d5) маємо:
‖α(l)
0,k(ε)‖ · ‖y
(l)(t0,k(ε))‖ ≤ ‖α
(l)
0,k(ε)‖ · ‖y‖n+1,α → 0 (9)
для усiх допустимих значень iндексiв k i l. Ця i всi iншi границi
у доведеннi розглядаються за умови, що ε→ 0+.
Багатоточковi крайовi задачi ... у просторах Гельдера 275
Дослiдимо другий доданок у правiй частинi формули (8). Ма-
ємо: ∥∥∥∥ ωj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε) y
(l)(tj,k(ε))− α
(l)
j y(l)(tj)
∥∥∥∥ =
=
∥∥∥∥ ωj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε) y
(l)(tj,k(ε))−
ωj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε) y
(l)(tj)+
+
ωj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε) y
(l)(tj)− α(l)
j y(l)(tj)
∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥∥ ωj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε) ·
(
y(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj)
) ∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥( ωj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)− α
(l)
j
)
· y(l)(tj)
∥∥∥∥ ≤
≤
ωj∑
k=1
∥∥α(l)
j,k(ε)
∥∥ · ∥∥y(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj)∥∥+
+
∥∥∥∥ ωj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)− α
(l)
j
∥∥∥∥ · ‖y‖n+1,α. (10)
Тут на пiдставi умови (d2) маємо:∥∥∥∥ ωj∑
k=1
α
(l)
j,k(ε)− α
(l)
j
∥∥∥∥ · ‖y‖n+1,α → 0. (11)
Окрiм того,
ωj∑
k=1
∥∥α(l)
j,k(ε)
∥∥ · ∥∥y(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj)∥∥→ 0. (12)
Справдi, якщо l = n + 1, то це є прямим наслiдком умов (d1),
(d3) i неперервностi функцiї y(l). Якщо l ≤ n, то це випливає з
276 В. О. Солдатов
теореми Лагранжа i умови (d4):
ωj∑
k=1
∥∥α(l)
j,k(ε)
∥∥ · ∥∥y(l)(tj,k(ε))− y(l)(tj)∥∥ ≤
≤ ‖y‖n+1,α
ωj∑
k=1
∥∥α(l)
j,k(ε)
∥∥ · |tj,k(ε)− tj | → 0.
Тепер iз формул (10), (11) i (12) негайно випливає, що∥∥∥∥ ωj∑
k=1
α
(l)
j,k (ε)y
(l)(tj,k(ε))− α
(l)
j y
(l)(tj)
∥∥∥∥→ 0. (13)
Тепер властивiсть (II) є прямим наслiдком формул (8), (9) i (13).
Теорему 1 доведено.
5. Окремий випадок
З огляду на теорему 1 природно поставити питання про необхi-
днiсть умов (d1) – (d5) для того, щоб розв’язок крайової задачi
(2), (3) неперервно залежав вiд параметра ε при ε = 0. Виявляє-
ться, що деякi з цих умов не є необхiдними. Зокрема, умова (d5)
не є необхiдною у випадку, коли
ω0∑
k=1
n+1∑
l=0
α
(l)
0,k(ε) = 0 при 0 < ε� 1.
Дослiдимо це питання у випадку, коли точки, у яких став-
ляться крайовi умови, не залежать вiд ε, тобто, коли крайовий
оператор набирає вигляду
B(ε)y(·, ε) ≡
p∑
j=1
n+1∑
l=0
α
(l)
j (ε)y(l)(tj , ε) = q(ε). (14)
Тут t1, . . . , tp — рiзнi точки вiдрiзка [a, b].
Багатоточковi крайовi задачi ... у просторах Гельдера 277
Теорема 2. Розв’язок крайової задачi (2), (14) неперервно зале-
жить вiд параметра ε при ε = 0 тодi i тiльки тодi, коли вона
задовольняє умову (0) i граничнi умови (I) та
(d) α(l)
j (ε)→ α
(l)
j (0) при ε→ 0+ для усiх j ∈ 1, p i l ∈ 0, n+ 1.
Доведення. З огляду на твердження 1, залишається показати,
що (II)⇔ (d).
Якщо виконується умова (d), то для будь-якої функцiї y ∈
(Cn+1,α)m маємо:
‖B(ε)y −B(0)y‖ =
=
∥∥∥∥ p∑
j=1
n+1∑
l=0
α
(l)
j (ε) y(l)(tj)−
p∑
j=1
n+1∑
l=0
α
(l)
j (0) y(l)(tj)
∥∥∥∥ ≤
≤
p∑
j=1
n+1∑
l=0
∥∥α(l)
j (ε) y(l)(tj)− α(l)
j (0) y(l)(tj)
∥∥ ≤
≤
p∑
j=1
n+1∑
l=0
∥∥α(l)
j (ε)− α(l)
j (0)
∥∥ · ‖y‖n+1,α → 0
при ε→ 0+. Отже, (d)⇒ (II).
Доведемо обернену iмплiкацiю. Припустимо, що виконується
умова (II). Довiльно виберемо номери j ∈ 1, p i l ∈ 0, n+ 1. Роз-
глянемо достатньо малий окiл U точки tj (у топологiї вiдрiзка
[a, b]) такий, що усi iншi точки tk, де k 6= j, знаходяться зовнi
замикання цього околу. Виберемо функцiю χ ∈ C∞([a, b]), яка
дорiвнює 1 в околi U i дорiвнює 0 у деякому околi множини усiх
точок tk, де k 6= j. Означимо функцiю y(t) := χ(t)(t − tj)l ар-
гументу t ∈ [a, b]. Для неї, вiдповiдно до нашого припущення,
маємо∥∥α(l)
j (ε)− α(l)
j (0)
∥∥= ‖B(ε)y −B(0)y‖ → 0 при ε→ 0+,
тобто виконується умова (d).
278 В. О. Солдатов
Теорему 2 доведено.
Автор вдячний В. А. Михайлецю i О. О. Мурачу за постановку
задачi i обговорення результатiв.
Лiтература
[1] Гихман И. И. По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова // Укр.
мат. журн. – 1952. – 4, № 2. – С. 215–219.
[2] Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в не-
линейной механике // Успехи мат. наук. – 1955. – 10, вып. 3. – С.
147–153.
[3] Курцвейль Я., Ворел З. О непрерывной зависимости решений
дифференциальных уравнений от параметра // Чех. мат. журн. –
1957. – 7, № 4. – С. 568–583.
[4] Левин А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем Ẋ =
An(t)X // Докл. АН СССР. – 1967. – 176, № 4. – С. 774–777.
[5] Opial Z. Continuous parameter dependence in linear systems of di-
fferential equations // J. Different. Equat. – 1967. – 3. – Р. 571–579.
[6] Reid W. T. Some limit theorems for ordinary differential systems //
J. Different. Equat. – 1967. – 3, № 3. – Р. 423–439.
[7] Nguyen The Hoan. On the dependence of a solution to a linear system
of differential equations on a parameter // Differ. Equa. – 29(1993).
– P. 830–835.
[8] Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Совр.
пробл. математики. Новейшие достижения / ВИНИТИ – 1987. –
30. – С. 3–103.
[9] Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений. – Тбилиси: Изд-во
Тбилисского ун-та, 1975. – 352 с.
[10] Кигурадзе И. Т. О краевых задачах для линейных дифференци-
альных систем с сингулярностями // Диф. уравнения. – 2003. –
39, № 2. – С. 198–209.
Багатоточковi крайовi задачi ... у просторах Гельдера 279
[11] Ashordia M. Criteria of correctness of linear boundary value
problems for systems of generalized ordinary differential equations //
Czechoslovak Math. J. – 1996. – 46. – P. 385–404.
[12] Михайлец В. А., Рева Н. В. Обобщения теоремы Кигурадзе о
корректности линейных краевых задач // Доп. НАН України. –
2008. – № 9. – С. 23–27.
[13] Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-
dimensional boundary-value problems // Ukr. Math. J. – 2013. – 65,
№ 1. – P. 77–90.
[14] Mikhailets V. A. Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-
dimensional boundary-value problems // J. Math. Sciences. – 2015. –
204, № 3. – P. 333–342.
[15] Кодлюк Т. И. Многоточечные краевые задачи с параметром в про-
странствах Соболева // Доп. НАН України. – 2012. — № 11. –
С. 15–19.
[16] Кодлюк Т. И. Предельный переход в классе многоточечных кра-
евых задач //Аналiз i застосування: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2012. – 9, № 2. – С. 203–216.
[17] Чеханова Г. О. Граничний перехiд в одновимiрних лiнiйних кра-
йових задачах з параметром: Дис. ... канд. фiз.-мат. наук. – Київ,
2014. – 122 с.
[18] Чеханова Г. Непрерывность по параметру решений многоточе-
чных краевых задач // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi пи-
тання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013.
– 10, № 2. – С. 260–279.
[19] Чеханова Г. А. Непрерывность по параметру функций Грина мно-
готочечных краевых задач //Комплексний аналiз, теорiя потен-
цiалу i застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України.
– 2013. – 10, № 4–5. – С. 532–541.
[20] Mikhailets V. A., Murach A. A., Soldatov V. Continuity in a
parameter of solutions to generic boundary-value problems //
Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. — 2016. arXiv:1604.07029
[math.CA].
280 В. О. Солдатов
[21] Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельный переход в системах ли-
нейных дифференциальных уравнений // Доп. НАН України. –
2008. – № 8. – С. 28–30.
[22] Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional
boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces //
J. Math. Sciences. – 2013. – 190, № 4. – P. 589–599.
[23] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Фредгольмовые краевые задачи
с параметром на пространствах C(n)[a; b] // Доп. НАН України. –
2014. – № 7. – С. 24–28.
[24] Soldatov V. O. On the Continuity in a Parameter for the Soluti-
ons of Boundary-Value Problems Total with Respect to the Spaces
C(n+r)[a, b] // Ukr. Math. J. – 2015. – 67, No. 5. – P. 785-794.
[25] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Resolvent convergence of
Sturm–Liouville operators with singular potentials // Math. Notes. –
2010. – 87, № 1–2. – P. 287–292.
[26] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of two-term
differential equations with singular coefficients by quasiderivati-
ves // Ukr. Math. J. – 2012. – 63, № 9. – P. 1361–1378.
[27] Goriunov A. S., Mikhailets V. A., Pankrashkin K. Formally self-ajoint
quasi-differential operators and boundary-value problems // Electron.
J. Differential Equations. – 2013, No. 101. – P. 1–16.
[28] Солдатов В. О. Багатоточковi крайовi задачi для систем дифе-
ренцiальних рiвнянь вищих порядкiв // Диференцiальнi рiвнян-
ня i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2015. – 12, № 2. – С. 327–337.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-264 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:37Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e8/b1fe18f3ba36eb603af4214a267598e8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2642018-01-23T09:13:23Z Multipoint boundary-value problems for systems of first order differential equations in Hölder spaces Багатоточкові крайові задачі для систем диференціальних рівнянь першого порядку у просторах Гельдера Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. We investigate a broad class of parameter-dependent multipoint linear boundary-value problems for systems of first order ordinary differential equations. We prove a criterion for continuous dependence on the parameter of solutions to these problems in H\"older spaces. Досліджено широкий клас залежних від параметра багатоточкових лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних першого порядку. Доведено критерій неперервної залежності за параметром розв'язків цих задач у просторах Гельдера. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/264 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 267-280 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 267-280 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 267-280 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/264/238 Авторське право (c) 2016 В. О. Солдатов |
| spellingShingle | Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. Multipoint boundary-value problems for systems of first order differential equations in Hölder spaces |
| title | Multipoint boundary-value problems for systems of first order differential equations in Hölder spaces |
| title_alt | Багатоточкові крайові задачі для систем диференціальних рівнянь першого порядку у просторах Гельдера |
| title_full | Multipoint boundary-value problems for systems of first order differential equations in Hölder spaces |
| title_fullStr | Multipoint boundary-value problems for systems of first order differential equations in Hölder spaces |
| title_full_unstemmed | Multipoint boundary-value problems for systems of first order differential equations in Hölder spaces |
| title_short | Multipoint boundary-value problems for systems of first order differential equations in Hölder spaces |
| title_sort | multipoint boundary-value problems for systems of first order differential equations in hölder spaces |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/264 |
| work_keys_str_mv | AT soldatovvo multipointboundaryvalueproblemsforsystemsoffirstorderdifferentialequationsinholderspaces AT soldatovvo multipointboundaryvalueproblemsforsystemsoffirstorderdifferentialequationsinholderspaces AT soldatovvo bagatotočkovíkrajovízadačídlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹperšogoporâdkuuprostorahgelʹdera AT soldatovvo bagatotočkovíkrajovízadačídlâsistemdiferencíalʹnihrívnânʹperšogoporâdkuuprostorahgelʹdera |