The Lions-Magenes type theorems for Lawruk elliptic boundary-value problems
We investigate elliptic boundary-value problems with additional unknown functions in boundary-conditions introduced by Lawruk. We prove that these problems are Fredholm in some Sobolev spaces of order $s<2q$, where $2q$ is the order of the corresponding elliptic equation. Thus, we establi...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/265 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552764099264512 |
|---|---|
| author | Chepurukhina, I. S. Чепурухіна, І. С. |
| author_facet | Chepurukhina, I. S. Чепурухіна, І. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. С. Чепурухіна",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Chepurukhina, I. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-30T00:28:39Z |
| description | We investigate elliptic boundary-value problems with additional unknown functions in boundary-conditions introduced by Lawruk. We prove that these problems are Fredholm in some Sobolev spaces of order $s<2q$, where $2q$ is the order of the corresponding elliptic equation. Thus, we establish certain versions of the Lions-Magenes theorems for these problems. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 281–300
УДК 517.956.223
I. С. Чепурухiна
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Теореми типу Лiнса-Мадженеса
для елiптичних за Лавруком
крайових задач
Chepuruhina@mail.ru
We investigate elliptic boundary-value problems with additional
unknown functions in boundary-conditions introduced by Lawruk.
We prove that these problems are Fredholm in some Sobolev spaces
of order s < 2q, where 2q is the order of the corresponding elliptic
equation. Thus, we establish certain versions of the Lions-Magenes
theorems for these problems.
Дослiджено елiптичнi крайовi задачi з додатковими невiдомими
функцiями у крайових умовах, введенi Лавруком. Доведено, що цi
задачi є нетеровими у деяких просторах Соболєва порядку s < 2q,
де 2q — порядок вiдповiдного елiптичного рiвняння. Тим самим
встановлено деякi версiї теорем Лiонса-Мадженеса для цих задач.
1. Вступ
У 1963 роцi Б. Лавруком [1–3] був введений важливий клас елi-
птичних крайових задач з додатковими невiдомими функцiями
у крайових умовах. Цей клас природно виникає при переходi
c© I. С. Чепурухiна, 2016
282 I. С. Чепурухiна
вiд загальної (нерегулярної) елiптичної крайової до формально
спряженої задачi i є замкненим вiдносно такого переходу. Як
з’ясувалося, до цього класу належать рiзнi крайовi задачi, якi
виникають у теорiї пружностi i гiдродинамiцi [4–6].
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком були дослiдженi у со-
болєвських просторах В. О. Козловим, В. Г. Маз’єю, Й. Россма-
ном [7, розд. 3] та I. Я. Ройтберг [8,9] (див. також монографiю [10,
розд. 2]). Ключовим результатом цих дослiджень є теорема про
нетеровiсть обмежених операторiв, що вiдповiдають зазначеним
задачам на двобiчнiй шкалi просторiв, введених Я. А. Ройтбер-
гом [11–13]. Для показника регулярностi s ≥ 2q, де 2q — поря-
док елiптичного рiвняння, цi простори збiгаються з просторами
Соболєва у евклiдовiй областi, для iнших значень s вони вiдрi-
зняються вiд соболєвських просторiв i складаються з елементiв,
якi, взагалi кажучи, не є розподiлами.
Мета цiєї статтi — довести теореми про нетеровiсть елiпти-
чних за Лавруком крайових задач у просторах Соболєва з пока-
зником регулярностi s < 2q. Для цього буде використано пiдхiд,
запропонований Ж.-Л. Лiонсом i Е. Мадженесом [14–17] i роз-
винутий у роботах [18–21]. Тому цi теореми природно називати
теоремами типу Лiонса-Мадженеса. У них областю визначення
оператора задачi служить частина простору Соболєва порядку
s < 2q, яка переводиться елiптичним диференцiальним операто-
ром у деякiй спецiально вибраний функцiональний простiр.
Вiдмiтимо [22–26], що елiптичнi за Лавруком крайовi задачi
були дослiдженi також у iнших класах функцiональних просто-
рiв, нiж простори Соболєва-Ройтберга.
2. Постановка задачi
Нехай Ω є довiльна обмежена область в Rn, де цiле n ≥ 2. При-
пускаємо, що її межа Γ := ∂Ω є замкненим (тобто компактним i
без краю) орiєнтовним i нескiнченно гладким многовидом вимiр-
ностi n−1 (при цьому C∞-структура на Γ породжена простором
Теореми типу Лiнса-Мадженеса... 283
Rn). Позначимо через ν(x) орт внутрiшньої нормалi до межi Γ
у точцi x ∈ Γ, а через ν нескiнченно гладке векторне поле цих
ортiв, задане на Γ.
Виберемо довiльно цiлi числа q ≥ 1, κ ≥ 1, m1, . . . ,mq+κ ≤
2q − 1 i r1, . . . , rκ. Розглянемо в областi Ω крайову задачу iз κ
додатковими невiдомими функцiями у крайових умовах:
Au = f в Ω, (1)
Bju+
κ∑
k=1
Cj,kvk = gj на Γ, j = 1, ..., q + κ. (2)
Тут A := A(x,D) — лiнiйний диференцiальний оператор на Ω
парного порядку 2q ≥ 2, кожне Bj := Bj(x,D) — крайовий лi-
нiйний диференцiальний оператор на Γ порядку mj , а кожне
Cj,k = Cj,k(x,Dτ ) — дотичний лiнiйний диференцiальний опе-
ратор на Γ порядку ordCj,k ≤ mj + rk. Усi коефiцiєнти цих ди-
ференцiальних операторiв є нескiнченно гладкими комплексно-
значними функцiями, заданими на Ω = Ω ∪ Γ i Γ вiдповiдно. Як
зазвичай, Bj = 0 при mj < 0 i Cj,k = 0 при mj + rk < 0.
У крайовiй задачi (1), (2) функцiя u на Ω, i κ функцiй
v1, . . . , vκ на Γ є шуканими. Усi функцiї та розподiли вважаємо
комплекснозначними.
У роботi припускаємо, що крайова задача (1), (2) є елiптичною
в областi Ω за Б. Лавруком [2, п. 1]. Слiдуючи [7, п. 3.1.3], подамо
означення елiптичностi цiєї задачi у такiй еквiвалентнiй формi.
Позначимо через A◦(x, ξ) i B◦j (x, ξ) головнi символи дифе-
ренцiальних операторiв A(x,D) i Bj(x,D) вiдповiдно, причому
останнi розглядаються як полiноми вiдносно частинних похi-
дних, помножених на уявну одиницю i. Для кожної точки x ∈ Ω
вони є однорiдними полiномами аргументу ξ ∈ Cn порядкiв
2q i mj вiдповiдно. Позначимо також через C◦j,k(x, τ) головний
символ дотичного диференцiального оператора Cj,k(x,Dτ ), якщо
ordCj,k = mj+rk. Для кожної точки x ∈ Γ вираз C◦j,k(x, τ) є одно-
рiдним полiномом порядку mj + rk змiнної τ , де τ— довiльний
284 I. С. Чепурухiна
дотичний вектор до межi Γ у точцi x. Якщо ordCj,k < mj + rk,
то покладаємо C◦j,k(x, τ) := 0.
Крайова задача (1), (2) називається елiптичною в областi Ω,
якщо виконуються такi три умови:
(i) Диференцiальний оператор A(x,D) є елiптичним у кожнiй
точцi x ∈ Ω, тобто A◦(x, ξ) 6= 0 для довiльного вектора
ξ ∈ Rn \ {0}.
(ii) Диференцiальний оператор A(x,D) є правильно елiпти-
чним у кожнiй точцi x ∈ Γ, тобто для довiльного ве-
ктора τ 6= 0, дотичного до межi Γ у точцi x, многочлен
A◦(x, τ + ζν(x)) комплексної змiнної ζ має q коренiв з до-
датною уявною частиною i стiльки ж коренiв з вiд’ємною
уявною частиною (пiдрахованих з урахуванням їх кратно-
стi).
(iii) Система крайових умов (2) накриває рiвняння (1) у кожнiй
точцi x ∈ Γ. Це значить, що для кожного вектора τ 6= 0,
дотичного до межi Γ у точцi x, крайова задача
A◦(x, τ +Dt ν(x))θ(t) = 0 при t > 0,
B◦j (x, τ +Dt ν(x))θ(t)
∣∣
t=0
+
κ∑
k=1
C◦j,k(x, τ)λk = 0,
j = 1, ..., q + κ,
має лише тривiальний (нульовий) розв’язок. Ця задача
розглядається вiдносно невiдомої функцiї θ ∈ C∞([0,∞)),
що задовольняє умову θ(t) → 0 при t → ∞, i невiдо-
мих комплексних чисел λ1, . . . , λκ. Тут A◦(x, τ + Dt ν(x))
i B◦j (x, τ + Dt ν(x)) є диференцiальнi оператори вiдносно
Dt := i∂/∂t, якi отримуємо, поклавши ζ := Dt у вiдповiдно
многочленах A◦(x, τ + ζν(x)) i B◦j (x, τ + ζν(x)) змiнної ζ.
Вiдмiтимо, що умова (ii) є наслiдком умови (i) у випадку, коли
n ≥ 3.
Теореми типу Лiнса-Мадженеса... 285
Приклад 1. Простим прикладом елiптичної крайової задачi (1),
(2), де n = 2 i κ = 1, служить така задача:
∆u = f в Ω,
u+ v = g1 на Γ,
∂νu+ ∂τv = g2 на Γ.
Тут i далi ∆ — оператор Лапласа, ∂ν := ∂/∂ν є похiдна вздовж
орта ν, а ∂τ := ∂/∂τ є похiдна вздовж кривої Γ, яку обходимо
так, щоб область Ω завжди була лiворуч.
Приклад 2. У випадку κ = 2 розглянемо таку крайову задачу
вигляду (1), (2):
Au = f в Ω,
u+ v1 = g1, ∂νu+ v2 = g2 на Γ,
∂2
νu+ ∆Γv1 = g3, ∂3
νu+ ∆Γv2 = g4 на Γ.
Тут диференцiальний оператор A, що задовольняє умови (i), (ii)
означення, має четвертий порядок, а ∆Γ є оператор Бельтрамi-
Лапласа на Γ, при цьому на Γ введена рiманова метрика, iн-
дукована простором Rn. Припустимо, що для довiльної точки
x ∈ Γ i вектора τ 6= 0, дотичного до Γ у точцi x, многочлен
A(0)(x, τ + ζν(x)) не має кратних ζ-коренiв. Це припущення ви-
конується, наприклад, якщо A = ∂4
ν + ∆2
Γ на Γ. Безпосередньо
перевiряється, що ця крайова задача є елiптичною за Лавруком
в областi Ω.
Пов’яжемо iз задачею (1), (2) лiнiйне вiдображення
Λ : (u, v1, ..., vκ) 7→
7→
(
Au, B1u+
κ∑
k=1
C1,kvk, ..., Bq+κu+
κ∑
k=1
Cq+κ,kvk
)
,
де u ∈ C∞(Ω), v1, . . . , vκ ∈ C∞(Γ).
(3)
286 I. С. Чепурухiна
Для опису областi значень оператора, породженого цим вiд-
ображенням, знадобиться спецiальна формула Грiна для задачi
(1), (2), отримана Б. Лавруком [1, п. 4] (див. також моногра-
фiю [7, теорема 3.1.2]):
(Au,w)Ω +
q+κ∑
j=1
(
Bju+
κ∑
k=1
Cj,kvk, hj
)
Γ
= (u,A+w)Ω+
+
2q∑
j=1
(
Dj−1
ν u,Kjw +
q+κ∑
k=1
Q+
k,jhk
)
Γ
+
κ∑
j=1
(
vj ,
q+κ∑
k=1
C+
k,jhk
)
Γ
.
Тут функцiї u,w ∈ C∞(Ω) i v1, . . . , vκ, h1, . . . , hq+κ ∈ C∞(Γ) до-
вiльнi, а (·, ·)Ω i (·, ·)Γ є скалярнi добутки у гiльбертових про-
сторах L2(Ω) i L2(Γ) функцiй квадратично iнтегровних на Ω i Γ
вiдповiдно. Окрiм того, тут A+ є формально спряжений дифе-
ренцiальний оператор до A вiдносно скалярного добутку в L2(Ω),
а C+
k,j i Q
+
k,j є формально спряженi (дотичнi) диференцiальнi опе-
ратори до вiдповiдно Ck,j i Qk,j вiдносно скалярного добутку в
L2(Γ), причому дотичнi диференцiальнi оператори Qk,j узятi iз
зображення крайових операторiв Bj у виглядi
Bj(x,D) =
2q∑
k=1
Qj,k(x,Dτ )Dk−1
ν ,
де Dν := i∂/∂ν. (Звiсно, якщо k > mj , то Qj,k = 0). Нарештi,
Kj := Kj(x,D) є деякий крайовий лiнiйний диференцiальний
оператор на Γ порядку ordKj ≤ 2q − j.
З огляду на спецiальну формулу Грiна розглянемо в областi Ω
таку крайову задачу iз q+κ додатковими невiдомими функцiями
Теореми типу Лiнса-Мадженеса... 287
у крайових умовах:
A+w = ω в Ω, (4)
Kjw +
q+κ∑
k=1
Q+
k,jhk = χj на Γ, j = 1, ..., 2q, (5)
q+κ∑
k=1
C+
k,jhk = χ2q+j на Γ, j = 1, ...,κ. (6)
Ця задача формально спряжена до задачi (1), (2) вiдносно за-
значеної формули Грiна. Вiдмiтимо [7, теорема 3.1.2], що елiпти-
чнiсть задачi (1), (2) рiвносильна елiптичностi формально спря-
женої задачi (4), (5), (6).
Приклад 3. Запишемо спецiальну формулу Грiна для крайової
задачi з прикладу 1 i вiдповiдну формально спряжену задачу.
Використовуючи другу класичну формулу Грiна для оператора
Лапласа, напишемо таке:
(∆u,w)Ω + (u+ v, h1)Γ + (∂νu+ ∂τv, h2)Γ =
= (u,∆w)Ω − (∂νu,w)Γ + (u, ∂νw)Γ+
+(u+ v, h1)Γ + (∂νu+ ∂τv, h2)Γ =
= (u,∆w)Ω + (u, ∂νw + h1)Γ+
+(∂νu,−w + h2)Γ + (v, h1 − ∂τh2)Γ
для довiльних функцiй u,w ∈ C∞(Ω) i v, h1, h2 ∈ C∞(Γ). У ре-
зультатi отримали спецiальну формулу Грiна
(∆u,w)Ω + (u+ v, h1)Γ + (∂νu+ ∂τv, h2)Γ =
= (u,∆w)Ω + (u, ∂νw + h1)Γ+
+(Dνu,−iw + ih2)Γ + (v, h1 − ∂τh2)Γ.
Отже, для розглянутої крайової задачi формально спряжена за-
288 I. С. Чепурухiна
дача вiдносно цiєї формули набирає вигляду
∆w = ω в Ω,
∂νw + h1 = χ1 на Γ,
−iw + ih2 = χ2 на Γ,
h1 − ∂τh2 = χ3 на Γ.
Остання задача мiстить на одну крайову умову бiльше, нiж ви-
хiдна задача. Вiдмiтимо, що отримана формально спряжена за-
дача еквiвалентна елiптичнiй крайовiй задачi
∆w = ω в Ω, (∂ν + ∂τ )w = χ на Γ,
яка не мiстить додаткових невiдомих функцiй у крайовiй умовi.
Справдi, якщо вектор (w, h1, h2) є розв’язком формально спря-
женої задачi, то безпосередньо перевiряється, що функцiя w є
розв’язком останньої задачi, де χ := χ1 + i∂τχ2 − χ3. Зворотно,
якщо функцiя w є розв’язком цiєї задачi, то, наприклад, вектор
(w, h1, h2), де h1 := h2 := 0, є розв’язком формально спряженої
задачi з правими частинами
χ1 := χ− (∂τw)� Γ, χ2 := −iw � Γ, χ3 := 0.
Позначимо через N i N+ лiнiйнi простори усiх нескiнченно
гладких розв’язкiв вiдповiдно задач (1), (2) i (4)–(6) з нульовими
правими частинами. А саме, N складається з усiх розв’язкiв
(u, v1, . . . , vκ) ∈ C∞(Ω)× (C∞(Γ))κ
задачi (1), (2) у випадку, коли f = 0 в Ω i всi gj = 0 на Γ.
Аналогiчно, N+ складається з усiх розв’язкiв
(ω, h1, . . . , hq+κ) ∈ C∞(Ω)× (C∞(Γ))q+κ
задачi (4)–(6) у випадку, коли ω = 0 в Ω i всi χj = 0 та χ2q+j = 0
на Γ. Оскiльки задача елiптична в Ω, то простори N i N+ скiн-
ченновимiрнi [7, лема 3.4.2].
Теореми типу Лiнса-Мадженеса... 289
3. Результати
Слiдуючи [20] або [21, п. 4.4], введемо гiльбертовi функцiональнi
простори, потрiбнi для формулювання результатiв статтi. Нехай
s ∈ R. Позначимо через Hs(Rn) гiльбертiв простiр Соболєва по-
рядку s, заданий на Rn. Його елементами є повiльно зростаючи
розподiли на Rn, якi ми трактуємо як антилiнiйнi функцiонали
на просторi основних функцiй.
У теорiї функцiональних просторiв (див., наприклад, [27,
п. 4.2.1]), простiр Соболєва в областi Ω означається за форму-
лами
Hs(Ω) := {u := w �Ω : w ∈ Hs(Rn)
}
,
‖u‖Hs(Ω) := inf
{
‖w‖Hs(Rn) : w ∈ Hs(Rn), w = u на Ω
}
.
(7)
Ж.-Л. Лiонс i Е. Мадженес [14–17] використовують це означе-
ння лише при s ≥ 0, а для s < 0 як простiр Соболєва порядку s у
областi Ω беруть антидуальний простiр (H−s0 (Ω))′. ТутH−s0 (Ω) —
замикання множини C∞0 (Ω) в просторiH−s(Ω), а дуальнiсть про-
стору розглядається вiдносно скалярного добутку в L2(Ω).
У данiй статтi ми використовуємо означення простору Собо-
лєва в областi Ω, дане Ж.-Л. Лiонсом i Е. Мадженесом, тобто
покладаємо
Hs(Ω) :=
{
Hs(Ω) при s ≥ 0,
(H−s0 (Ω))′ при s < 0.
У лiвiй частинi цiєї формули використовується пряме написання
букви H, а не курсивне, як в означеннi (7).
Нехай s < 0. Функцiонали з простору Hs(Ω) однозначно ви-
значаються за своїми значеннями на пробних функцiях з про-
стору C∞0 (Ω). Тому коректно ототожнювати цi функцiонали з
розподiлами в областi Ω. При цьому
Hs(Ω) =
{
w �Ω : w ∈ Hs
Ω
(Rn)
}
,
‖u‖Hs(Ω) = inf
{
‖w‖Hs(Rn) : w ∈ Hs
Ω
(Rn), w = u в Ω
}
.
290 I. С. Чепурухiна
Тут Hs
Ω
(Rn) позначає простiр усiх розподiлiв w ∈ Hs(Rn) та-
ких, що suppu ⊂ Ω, причому Hs
Ω
(Rn) розглядається як пiдпро-
стiр простору Hs(Rn). Звiдси випливає неперервне вкладення
Hs(Ω) ↪→ Hs(Ω) i щiльнiсть множини C∞0 (Ω) в Hs(Ω). Вiдмiтимо,
що
Hs(Ω) = Hs(Ω)⇔ s ∈ R \ {−1/2,−3/2,−5/2, . . .}.
Отже, якщо s < 0 напiвцiле, то простiр Hs(Ω) вужчий, нiж про-
стiр Hs(Ω).
Для довiльних s ∈ R i ε > 0 виконується компактне i щiльне
вкладення Hs+ε ↪→ Hs(Ω).
На замкненому многовидi Γ класу C∞ гiльбертiв простiр Со-
болєва Hs(Γ) довiльного порядку s ∈ R означається у стандар-
тний спосiб за допомогою скiнченного набору локальних карт i
розбиття одиницi на Γ (див., наприклад, [27, п. 3.6.1])
Нехай s < 2q, а Xs−2q(Ω) є довiльний гiльбертiв простiр, непе-
рервно вкладений у D′(Ω). Як звичайно, D′(Ω) позначає лiнiйний
топологiчний простiр усiх розподiлiв в областi Ω. Покладемо
Hs
A,X(Ω) :=
{
u ∈ Hs(Ω) : Au ∈ Xs−2q(Ω)
}
. (8)
Тут i надалi образ Au для u ∈ D′(Ω) розумiється у сенсi теорiї
розподiлiв. Лiнiйний простiр (8) надiляємо нормою графiка
‖u‖HsA,X(Ω) :=
(
‖u‖2Hs(Ω) + ‖Au‖2Xs−2q(Ω)
)1/2
.
Цей простiр гiльбертiв i повний вiдносно введеної норми [21,
с. 291].
Умова Is−2q. Множина X∞(Ω) := Xs−2q(Ω) ∩ C∞(Ω) щiльна у
просторi Xs−2q(Ω) та iснує число c > 0 таке, що
‖Of‖Hs(Rn) ≤ c‖f‖Xs−2q(Ω) для довiльного f ∈ X∞(Ω).
Тут Of(x) = f(x) при x ∈ Ω i Of(x) = 0 при x ∈ Rn \ Ω.
Ця умова введена О. О. Мурачем [20] (див. також моногра-
фiю [21, п. 4.1.2]. Ранiше дещо бiльш сильну умову, нiж Is−2q
Теореми типу Лiнса-Мадженеса... 291
ввiв Я. А. Ройтберг [28], який додатково вимагав, щоб C∞(Ω) ⊂
Xs−2q(Ω). Вiдмiтимо, що чим менше s, тим слабша умова Is−2q
для одного i того ж простору Xs−2q(Ω).
Покладемо
C∞A,X(Ω) :=
{
u ∈ C∞(Ω) : Au ∈ Xs−2q(Ω)
}
.
Якщо простiр Xs−2q(Ω) задовольняє умову Is−2q, то множина
C∞A,X(Ω) щiльна у ньому (див. [20, теорема 1] або [21, теоре-
ма 4.25]).
Iз крайовою задачею (1), (2) пов’яжемо такi гiльбертовi про-
стори:
Ds
A,X(Ω,Γ) := Hs
A,X(Ω)⊕
κ⊕
k=1
Hs+rk−1/2(Γ),
Es−2q
X (Ω,Γ) := Xs−2q(Ω)⊕
q+κ⊕
j=1
Hs−mj−1/2(Γ).
Сформулюємо ключову теорему даної статтi.
Теорема 1. Нехай s < 2q, а Xs−2q(Ω) — довiльний гiльбер-
тiв простiр, який неперервно вкладається в D′(Ω) i задовольняє
умову Is−2q. Тодi вiдображення (3), де u ∈ C∞A,X(Ω) i v1, . . . , vκ ∈
C∞(Γ), продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до
обмеженого i нетерового оператора
Λ : Ds
A,X(Ω,Γ)→ Es−2q
X (Ω,Γ). (9)
Його ядро збiгається з простором N , а область значень скла-
дається з усiх векторiв
(f, g1, . . . , gq+κ) ∈ Es−2q
X (Ω,Γ),
якi задовольняють умову
(f, w)Ω +
q+κ∑
j=1
(gj , hj)Γ = 0
для усiх (w, h1, . . . , hq+κ) ∈ N+.
(10)
292 I. С. Чепурухiна
Якщо множина O(X∞(Ω)) щiльна у просторi Hs−2q
Ω
(Rn), то
iндекс оператора (9) дорiвнює dimN − dimN+.
Тут i далi через (·, ·)Ω i (·, ·)Γ позначено продовження за непе-
рервнiстю скалярних добуткiв у просторах L2(Ω) i L2(Γ) вiдпо-
вiдно.
Ця ключова теорема буде доведена у наступному роздiлi стат-
тi.
Розглянемо важливi приклади простору Xs−2q(Ω), який задо-
вольняє умову Is−2q. Дослiдимо окремо випадки, коли у якостi
простору Xs−2q(Ω) можна узяти простiр Соболєва або його ва-
говий аналог.
Як показано в [20, теорема 2] (див. також [21, теорема 4.26])
соболєвський простiр Xs−2q(Ω) := Hλ(Ω), де λ ∈ R, задовольняє
умову Is−2q тодi i тiльки тодi, коли
λ ≥ max{s− 2q,−1/2}. (11)
Для цього простору X∞(Ω) = C∞(Ω) i тому множина O(X∞(Ω))
щiльна у просторi Hs
Ω
(Rn). Отже, на пiдставi теореми 1 маємо
такий результат:
Теорема 2. Нехай дiйсне s < 2q. Припустимо, що число λ ∈ R
задовольняє умову (11). Тодi вiдображення (3) продовжується
за неперервнiстю до обмеженого i нетерового оператора
Λ :
{
(u, v1, . . . , vq) ∈ Hs(Ω)⊕
κ⊕
k=1
Hs+rk−1/2(Γ) :
Au ∈ Hλ(Ω)
}
→ Hλ(Ω)⊕
q+κ⊕
j=1
Hs−mj−1/2(Γ),
(12)
областю визначення якого є гiльбертiв простiр вiдносно норми(
‖u‖2Hs(Ω) + ‖Au‖2Hλ(Ω) +
κ∑
k=1
‖vk‖2Hs+rk−1/2(Γ)
)1/2
.
Теореми типу Лiнса-Мадженеса... 293
Iндекс оператора (12) дорiвнює dimN − dimN+ i не залежить
вiд s i λ.
Помiтимо, що Xs−2q(Ω) ⊆ H−1/2(Ω) за умови теореми 2.
Простiр Xs−2q(Ω), який мiстить широкий клас розподiлiв f /∈
H−1/2(Ω) i задовольняє умову Is−2q, можна отримати, викори-
стовуючи ваговi соболєвськi простори
%Hs−2q(Ω) :=
{
f = %v : v ∈ Hs−2q(Ω)
}
,
‖f‖%Hs−2q(Ω) := ‖%−1f‖Hs−2q(Ω).
Тут % — додатна функцiя класу C∞(Ω). Простiр %Hs−2q(Ω) гiль-
бертiв вiдносно уведеної у ньому норми.
Нехай s < 2q− 1/2. Як показано в [20, теорема 3] (див. також
[21, теорема 4.28]), простiр Xs−2q(Ω) := %Hs−2q(Ω) задовольняє
умову Is−2q тодi i тiльки тодi, коли вагова функцiя % задовольняє
таку умову:
Умова IIs−2q. Функцiя % є мультиплiкатором у просторi
H2q−s(Ω) i Dl
ν% = 0 на Γ для кожного l ∈ Z такого, що 0 ≤
l < 2q − s− 1/2.
Для простору Xs−2q(Ω) = %Hs−2q(Ω) множина O(X∞(Ω)) мi-
стить C∞0 (Ω) i тому щiльна в Hs−2q
Ω
(Rn). Отож на пiдставi тео-
реми 1 маємо такий результат:
Теорема 3. Нехай s < 2q − 1/2 i додатна функцiя % ∈ C∞(Ω)
задовольняє умову IIs−2q. Тодi вiдображення (3), де u ∈ C∞(Ω),
Au ∈ %Hs−2q(Ω) i v1, . . . , vκ ∈ C∞(Γ), продовжується єдиним
чином (за неперервнiстю) до обмеженого i нетерового операто-
ра
Λ :
{
(u, v1, . . . , vq) ∈ Hs(Ω)⊕
κ⊕
k=1
Hs+rk−1/2(Γ) :
Au ∈ %Hs−2q(Ω)
}
→ %Hs−2q(Ω)⊕
q+κ⊕
j=1
Hs−mj−1/2(Γ),
(13)
294 I. С. Чепурухiна
область визначення якого є гiльбертовим простором вiдносно
норми(
‖u‖2Hs(Ω) + ‖%−1Au‖2Hs−2q(Ω) +
κ∑
k=1
‖vk‖2Hs+rk−1/2(Γ)
)1/2
.
Iндекс оператора (13) дорiвнює dimN − dimN+ i не залежить
вiд s i %.
4. Доведення ключової теореми
Доведення теореми 1 спирається на результати В. А. Козлова,
В. Г. Маз’ї, Й. Россмана [7, теорема 3.4.1] i I. Я. Ройтберг [8, 9]
(див. також монографiю [10, розд. 2]), якi незалежно показали,
що оператор, який вiдповiдає елiптичнiй крайовiй задачi (1), (2),
є нетеровим на двобiчнiй шкалi соболевських просторiв, моди-
фiкованих за Я. А. Ройтбергом [11–13]. Нагадаємо означення
цих модифiкованих просторiв, якi позначаємо через Hs,(2q)(Ω),
де s ∈ Z.
Попередньо означимо простiр Hs,(0)(Ω). Якщо s ≥ 0, то
Hs,(0)(Ω) := Hs(Ω), а якщо s < 0, то Hs,(0)(Ω) є поповнення
множини C∞(Ω) вiдносно гiльбертової норми
‖u‖Hs,(0)(Ω) := sup
{
|(u,w)Ω|
‖w‖H−s(Ω)
: w ∈ H−s(Ω), w 6= 0
}
.
Якщо s < 0, то вiдображення u 7→ Ou, де u ∈ C∞(Ω), про-
довжується єдиним чином (за неперервнiстю) до iзометричного
iзоморфiзму
O : Hs,(0)(Ω)↔ Hs
Ω
(Rn).
Тепер можемо означити простiр Hs,ϕ,(2q)(Ω). Нехай E2q :=
{k − 1/2 : k = 1, . . . , 2q}. Якщо s ∈ R \E2q, то простiр Hs,(2q)(Ω),
Теореми типу Лiнса-Мадженеса... 295
за означенням, є поповненням множини C∞(Ω) вiдносно гiльбер-
тової норми
‖u‖Hs,(2q)(Ω) :=
:=
(
‖u‖2
Hs,(0)(Ω)
+
2q∑
l=1
‖(Dl−1
ν u)�Γ‖2
Hs−l+1/2,ϕ(Γ)
)1/2
.
Якщо s ∈ E2q, простiр Hs,ϕ,(2q)(Ω) означається за допомогою iн-
терполяцiї з функцiональним параметром гiльбертових просто-
рiв за формулою
Hs,(2q)(Ω) :=
[
Hs−ε,(2q)(Ω), Hs+ε,(2q)(Ω)
]
1/2
, де 0 < ε < 1.
Покладемо
Ds,(2q)(Ω,Γ) := Hs,(2q)(Ω)⊕
κ⊕
k=1
Hs+rk−1/2(Γ),
Es−2q,(0)(Ω,Γ) := Hs−2q,(0)(Ω)⊕
q+κ⊕
j=1
Hs−mj−1/2(Γ).
Згаданий результат В. А. Козлова, В. Г. Маз’ї, Й. Россмана i
I. Я. Ройтберг полягає у тому, що для довiльного s ∈ Z вiдобра-
ження (3) продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до
обмеженого i нетерового оператора
Λ : Ds,(2q)(Ω,Γ)↔ Es−2q,(0)(Ω,Γ). (14)
Ядро оператора (14) збiгається з N , а область значень складає-
ться з усiх векторiв
(f, g1, . . . , gq+κ) ∈ Es−2q,(0)(Ω,Γ),
якi задовольняють умову (10). Iндекс цього оператора дорiвнює
dimN − dimN+ i не залежить вiд s.
296 I. С. Чепурухiна
Нехай s < 2q. Розглянемо лiнiйний простiр
H
s,(2q)
A,X (Ω) :=
{
u ∈ Hs,(2q)(Ω) : Au ∈ Xs−2q(Ω)
}
,
надiлений нормою графiка
‖u‖
H
s,(2q)
A,X (Ω)
:=
(
‖u‖2
Hs,(2q)(Ω)
+ ‖Au‖2Xs−2q(Ω)
)1/2
. (15)
Вiдмiтимо, що тут образ Au ∈ Hs−2q,(0)(Ω) коректно означений
для кожного u ∈ Hs,(2q)(Ω) за замиканням [13, лема 2.3.1]. Про-
стiр Hs,(2q)
A,X (Ω) гiльбертiв вiдносно норми (15), а множина C∞(Ω)
щiльна в ньому [21, п. 4.4.2]. Як показано в [21, п. 4.4.2], норми
у просторах Hs,(2q)
A,X (Ω) i Hs
A,X(Ω) еквiвалентнi на C∞(Ω); тому цi
простори збiгаються як поповнення множини C∞(Ω) за еквiва-
лентними нормами.
Звуження обмеженого оператора (14) на простiр Hs,(2q)
A,X (Ω) є
обмеженим оператором
Λ : H
s,(2q)
A,X (Ω)⊕
κ⊕
k=1
Hs+rk−1/2(Γ)→
→ Xs−2q(Ω)⊕
q+κ⊕
j=1
Hs−mj−1/2(Γ).
(16)
Оскiльки C∞(Ω) щiльна в Hs,(2q)
A (Ω), цей оператор є розшире-
нням за неперервнiстю вiдображення (3). Через Λs,(2q) позна-
чимо оператор (14), а через Λs — оператор (16). Очевидно, що
ker Λs = ker Λs,(2q) i
Ran Λs =
{
(f, g1, . . . , gq+κ) ∈ Ran Λs,(2q) : f ∈ Xs−2q(Ω)
}
,
де через Ran позначена область значень вiдповiдного оператора.
Iз зазначених вище властивостей нетерового оператора Λs,(2q) ви-
Теореми типу Лiнса-Мадженеса... 297
пливає, що ker Λs = N i
Ran Λs = {(f, g1, . . . , gq+κ) ∈ Xs−2q(Ω)⊕
q+κ⊕
j=1
Hs−mj−1/2(Γ) :
виконується (10)}.
Отже, оператор Λs має скiнченновимiрне ядро i замкнену
область значень. Її ковимiрнiсть не перевищує числа dimN+ i
тому є скiнченною. Отже, оператор Λs нетерiв.
Якщо множина O(X∞(Ω)) щiльна у просторi Hs−2q
Ω
(Rn), то
ковимiрнiсть областi значень дорiвнює dimN+. Справдi, тодi не-
перервне вкладення
Xs−2q(Ω)⊕
q+κ⊕
j=1
Hs−mj−1/2(Γ) ↪→ Es−2q,(0)(Ω,Γ)
є щiльним. Тому ker Λ∗s ⊇ ker Λ∗s,(2q), де Λ∗s,(2q) i Λ∗s є оператори,
спряженi до Λs,(2q) i Λs вiдповiдно. Звiдси
dim cokerΛs = dim kerΛ∗s ≥
≥ dim kerΛ∗s,(2q) = dim cokerΛs,(2q) = dimN+.
Таким чином, iндекс оператора Λsдорiвнює dimN − dimN+,
якщо множина O(X∞(Ω)) щiльна у просторi Hs−2q
Ω
(Rn).
Теорема 1 доведена.
Лiтература
[1] Лаврук Б. О параметрических граничных задачах для эллиптиче-
ских систем линейных дифференциальных уравнений. I. Постро-
ение сопряженных задач // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math.
Astronom. Phys. – 1963. – 11, No 5. – P. 257–267.
298 I. С. Чепурухiна
[2] Лаврук Б. О параметрических граничных задачах для эллиптиче-
ских систем линейных дифференциальных уравнений. II. Грани-
чная задача для полупространства // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér.
Sci. Math. Astronom. Phys. – 1963. – 11, No 5. – P. 269–278.
[3] Лаврук Б. О параметрических граничных задачах для эллипти-
ческих систем линейных дифференциальных уравнений. III. Со-
пряженная граничная задача для полупространства // Bull. Acad.
Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. – 1965. – 13, No 2. – P.
105–110.
[4] Aslanyan A. G., Vassiliev D. G., Lidskii V. B. Frequences of free
oscillations of thin shell interacting with fluid // Functional Anal.
Appl. – 1981. – 15, No 3. – P. 157–164.
[5] Ciarlet P. G. Plates and junctions in ellastic multistructures. An
asymptotic analysis. – Paris: Mayson, 1990. – viii+218 p.
[6] Nazarov S., Pileckas K. On noncompact free boundary problems for
the plane stationary Navier–Stokes equations // J. Reine Angew.
Math. – 1993. – 438. – P. 103–141.
[7] Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Rossmann J. Elliptic boundary value
problems in domains with point singularities. – Providence: Amer.
Math. Soc., 1997. – 414 p.
[8] Ройтберг И. Я. Эллиптические граничные задачи для общих си-
стем уравнений в полных шкалах банаховых пространств // До-
клады Академии Наук. – 1997. – 354, № 1. – С. 25–29.
[9] Roitberg I. Ya. Elliptic boundary value problems for general elliptic
systems in complete scales of Banach spaces // Oper. Theory: Adv.
and Appl. – 1998. – 102. – P. 231–241.
[10] Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of
distributions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publisher, 1999. – x+276 p.
[11] Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными грани-
чными условиями и локальное повышение гладкости вплоть до
границы обобщенных решений // Доклады АН СССР. – 1964. –
157, № 4. – С. 798–801.
Теореми типу Лiнса-Мадженеса... 299
[12] Ройтберг Я. А. Теорема о гомеоморфизмах, осуществляемых в Lp
эллиптическими операторами, и локальное повышение гладкости
обобщенных решений // Укр. матем. журн. – 1965. – 17, № 5. –
С. 122–129.
[13] Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces
of distributions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publishers, 1996. —
xii+415 p.
[14] Lions J.-L., Magenes E. Problémes aux limites non homogénes, V //
Ann. Sci. Norm. Sup. Pisa. – 1962. – 16. – P. 1–44.
[15] Lions J.-L., Magenes E. Problémes aux limites non homogénes, VI //
J. d’Analyse Math. – 1963. – 11. – P. 165–188.
[16] Мадженес Э. Интерполяционные пространства и уравнения в ча-
стных производных // Успехи мат. наук. – 1966. – 21, № 2. – С.
169–218.
[17] Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и
их приложения. – Москва: Мир, 1971. – 372 p.
[18] Ройтберг Я. А. Теоремы о гомеоморфизмах, осуществляемых эл-
липтическими операторами // Доклады АН СССР. – 1968. – 180,
№ 3. – С. 542–545.
[19] Костарчук Ю. В., Ройтберг Я. А. Теореми про iзоморфiзми для
елiптичних граничних задач з граничними умовами, якi не є нор-
мальними // Укр. матем. журн. – 1973. – 25, № 2. – С. 271–277.
[20] Murach A. A. Extension of some Lions–Magenes theorems //
Methods Funct. Anal. Topology. – 2009. – 15, no. 2. – P. 152–167.
[21] Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интер-
поляция и эллиптические задачи. – Kиев: Институт математики
НАН Украины, 2010. – 372 с. (Доступно как arXiv:1106.3214.)
[22] Чепурухiна I. С. Про деякi класи елiптичних крайових задач у
просторах узагальненої гладкостi // Диференцiальнi рiвняння i
сумiжнi питання. Зб-к праць Iн-ту математики НАН України. –
Т. 11, № 2. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2014. – С. 284–
304.
300 I. С. Чепурухiна
[23] Chepurukhina I. S., Murach A. A. Elliptic problems in the sense of
B. Lawruk on two-sided refined scale of spaces. – Methods Funct.
Anal. Topology. – 2015. – 21, No 1. – P. 6–21.
[24] Chepurukhina I. S., Murach A. A. Elliptic boundary-value problems
in the sense of Lawruk on Sobolev and Hörmander spaces // Укр.
мат. журн. – 2015. – 67, № 5. – С. 672–691.
[25] Чепурухiна I. С. Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком у роз-
ширенiй соболєвськiй шкалi // Диференцiальнi рiвняння i сумi-
жнi питання. Зб-к праць Iн-ту математики НАН України. – Т. 12,
№ 2. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2015. – С. 338–374.
[26] Чепурухiна I. С. Напiводнорiдна елiптична задача з додаткови-
ми невiдомими функцiями у крайових умовах / I. С. Чепурухi-
на // Доповiдi НАН України. Матем. Природозн. Технiчнi нау-
ки. – 2015. – № 7. – C. 20 – 29.
[27] Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространс-
тва, дифференциальные операторы. – Москва: Мир, 1980. – 664 с.
[28] Ройтберг Я. А. О значениях на границе области обобщенных ре-
шений эллиптических уравнений // Матем. сборник. – 1971. – 86,
№ 2. – С. 248–267.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-265 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:37Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c7/dc7089194ff23225033d336728dedfc7.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2652018-01-30T00:28:39Z The Lions-Magenes type theorems for Lawruk elliptic boundary-value problems Теореми типу Ліонса-Мадженеса для еліптичних за Лавруком крайових задач Chepurukhina, I. S. Чепурухіна, І. С. We investigate elliptic boundary-value problems with additional unknown functions in boundary-conditions introduced by Lawruk. We prove that these problems are Fredholm in some Sobolev spaces of order $s&lt;2q$, where $2q$ is the order of the corresponding elliptic equation. Thus, we establish certain versions of the Lions-Magenes theorems for these problems. Досліджено еліптичні крайові задачі з додатковими невідомими функціями у крайових умовах, введені Лавруком. Доведено, що ці задачі є нетеровими у деяких просторах Соболєва порядку $s&lt;2q$, де $2q$ ~ порядок відповідного еліптичного рівняння. Тим самим встановлено деякі версії теорем Ліонса-Мадженеса для цих задач. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/265 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 281-300 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 281-300 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 281-300 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/265/239 Авторське право (c) 2016 І. С. Чепурухіна |
| spellingShingle | Chepurukhina, I. S. Чепурухіна, І. С. The Lions-Magenes type theorems for Lawruk elliptic boundary-value problems |
| title | The Lions-Magenes type theorems for Lawruk elliptic boundary-value problems |
| title_alt | Теореми типу Ліонса-Мадженеса для еліптичних за Лавруком крайових задач |
| title_full | The Lions-Magenes type theorems for Lawruk elliptic boundary-value problems |
| title_fullStr | The Lions-Magenes type theorems for Lawruk elliptic boundary-value problems |
| title_full_unstemmed | The Lions-Magenes type theorems for Lawruk elliptic boundary-value problems |
| title_short | The Lions-Magenes type theorems for Lawruk elliptic boundary-value problems |
| title_sort | lions-magenes type theorems for lawruk elliptic boundary-value problems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/265 |
| work_keys_str_mv | AT chepurukhinais thelionsmagenestypetheoremsforlawrukellipticboundaryvalueproblems AT čepuruhínaís thelionsmagenestypetheoremsforlawrukellipticboundaryvalueproblems AT chepurukhinais teoremitipulíonsamadženesadlâelíptičnihzalavrukomkrajovihzadač AT čepuruhínaís teoremitipulíonsamadženesadlâelíptičnihzalavrukomkrajovihzadač AT chepurukhinais lionsmagenestypetheoremsforlawrukellipticboundaryvalueproblems AT čepuruhínaís lionsmagenestypetheoremsforlawrukellipticboundaryvalueproblems |