Initial-boundary value problem for higher-order integro-differential elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity
The initial-boundary value problem for higher-order elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity is considered. Existence and uniqueness of weak solution of this problem are proved. An a priori estimates are obtained.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/267 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552765045080064 |
|---|---|
| author | Bokalo, M. M. Skira, I. V. Бокало, М. М. Скіра, І. В. |
| author_facet | Bokalo, M. M. Skira, I. V. Бокало, М. М. Скіра, І. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. М. Бокало",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
},
{
"author": "І. В. Скіра",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
}
] |
| author_sort | Bokalo, M. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | The initial-boundary value problem for higher-order elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity is considered. Existence and uniqueness of weak solution of this problem are proved. An a priori estimates are obtained. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 21–46
УДК 517.957
М. М. Бокало, I. В. Скiра
Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка,
Львiв; mm.bokalo@gmail.com, irusichka.skira@gmail.com
Мiшана задача для
iнтегро-диференцiальних
елiптично-параболiчних рiвнянь
вищих порядкiв зi змiнними
показниками нелiнiйностi
The initial-boundary value problem for higher-order elliptic-parabolic
equations with variable exponents of nonlinearity is considered. Exi-
stence and uniqueness of weak solution of this problem are proved.
An a priori estimates are obtained.
Дослiджено мiшану задачу для iнтегро-диференцiальних
елiптично-параболiчних рiвнянь вищих порядкiв зi змiнними
показниками нелiнiйностi. Доведено iснування та єдинiсть
узагальненого розв’язку цiєї задачi та отримано його апрiорнi
оцiнки.
1. Вступ
В данiй роботi розглядаються анiзотропнi iнтегро-
диференцiальнi елiптично-параболiчнi рiвняння вищих порядкiв
c© М. М. Бокало, I. В. Скiра, 2017
22 М. М. Бокало, I. В. Скiра
зi змiнними показниками нелiнiйностi, заданi в обмежених
цилiндричних областях. Для цих рiвнянь можливе нелiнiйне
входження невiдомої функцiї як в диференцiальну, так i в
iнтегральну частину рiвняння. Такi рiвняння виникають при
моделюваннi рiзних процесiв в природi, економiцi та iнших
сферах.
Нелiнiйнi елiптично-параболiчнi рiвняння зi сталими показни-
ками нелiнiйностi дослiджувалися в багатьох роботах, серед яких
[1] – [7]. В даний час активно розвивається теорiя нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь зi змiнними показниками нелiнiйностi.
Вiдмiтимо, що узагальненi розв’язки вiдповiдних задач для та-
ких рiвнянь беруться з узагальнених просторiв Лебега та Соболє-
ва. Бiльш повну iнформацiю про цi простори та їх використання
можна знайти в [8] – [20].
Iнтегро-диференцiальнi параболiчнi рiвняння широко викори-
стовуються при математичному моделюваннi складних явищ в
сучасному природознавствi, економiцi та технiцi (наприклад, в
теорiї ядерних реакцiй при вивченнi процесу уповiльнення ней-
тронiв в дифузiї заряджених частинок в плазмi та в iнших рi-
зноманiтних задачах). Зокрема, такi рiвняння дослiджувались в
[20] – [22].
У данiй роботi вивчається питання iснування та єдиностi уза-
гальнених розв’язкiв мiшаної задачi з крайовими умовами Дiрi-
хле для нелiнiйних елiптично-параболiчних рiвнянь вищих по-
рядкiв з iнтегральними членами. Для доведення iснування та-
ких розв’язкiв використана комбiнацiя методiв регуляризацiї та
Гальоркiна. Ранiше така задача не роглядалася. Робота складає-
ться з двох частин: в першiй частинi дається постановка задачi i
формулювання основного результату, а в другiй – обґрунтування
основного результату.
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 23
2. Постановка задачi i формулювання
основного результату
Нехай n,m – натуральнi числа, а M – пiдмножина множини
{0, 1, . . . , m} така, що {0,m} ⊂ M . Пiд Rn розумiємо лiнiйний
простiр, елементами якого є впорядкованi набори дiйсних чисел
x = (x1, . . . , xn), з нормою |x| = (|x1|2 + . . . + |xn|2)1/2. Через
N позначаємо кiлькiсть мультиiндексiв розмiрностi n (впоряд-
кованих наборiв α := (α1, . . . , αn) з цiлих невiд’ємних чисел),
довжини яких (|α| = α1 + . . . + αn) є елементами множини M,
а через RN – лiнiйний простiр впорядкованих наборiв з N дiй-
сних чисел ξ = (ξ0 , . . . , ξα, . . .) ≡ (ξα : |α| ∈ M), компоненти
яких пронумерованi мультиiндексами розмiрностi n, що мають
довжини з M i впорядкованi лексикографiчно (це означає, що
α = (α1, . . . , αn) передує β = (β1, . . . , βn), коли або |α| < |β|, або
|α| = |β| i αk > βk, де k = min
{
j : αj 6= βj
}
). Тут i далi 0 – число
нуль або мультиiндекс, складений з нулiв (це легко зрозумiти з
контексту). Покладемо |ξ| :=
( ∑
|α|∈M
|ξα|2
)1/2 для ξ ∈ RN .
Нехай Ω – обмежена область простору Rn. Вважатимемо, що
Γ := ∂Ω (межа областi Ω) є кусково-гладкою поверхнею i по-
значимо через ν одиничний вектор зовнiшньої нормалi до Γ.
Нехай T > 0 – яке-небудь фiксоване число, Q := Ω × (0, T ),
Σ := Γ× (0, T ).
Припустимо, що
(B) b : Ω → R – вимiрна функцiя така, що 0 ≤ b(x) ≤ 1 для
всiх x ∈ Ω,
i нехай Ω0 := {x ∈ Ω
∣∣ b(x) > 0}.
Розглянемо задачу : знайти функцiю u : Q→ R, яка задоволь-
няє (в певному сенсi) рiвняння
(b(x)u)t +
∑
|α|∈M
(−1)|α|Dαaα(x, t, δu) +
∫
Ω
c(x, y, t, u(y, t))dy =
24 М. М. Бокало, I. В. Скiра
=
∑
|α|∈M
(−1)|α|Dαfα(x, t), (x, t) ∈ Q, (1)
крайовi умови
∂ju
∂νj
∣∣∣
Σ
= 0 , j = 0,m− 1, (2)
та початкову умову
u(x, 0) = u0(x) , x ∈ Ω0, (3)
де aα : Q×RN → R, c : Ω×Ω× (0, T )×R→ R, fα : Q→ R (|α| ∈
M), u0 : Ω → R – заданi функцiї, якi задовольняють наведенi
нижче умови. Тут i далi через δu позначено впорядкований на-
бiр з похiдних Dαu ≡ ∂α1+...+αn
∂x
α1
1 ...∂xαnn
u функцiї u порядкiв |α| ∈ M
(правило впорядкування таке ж, як для компонентiв векторiв
ξ ∈ RN ).
Далi сформульовану вище мiшану задачу для рiвняння (1) з
крайовими умовами (2) i початковою умовою (3) коротко нази-
ватимемо задачею (1)–(3).
Ми вивчатимемо узагальненi розв’язки задачi (1)–(3), а для
цього введемо потрiбнi для цього позначення i зробимо вiдповiднi
припущення щодо вихiдних даних цiєї задачi.
Нехай r ∈ L∞(Ω), причому r(x) > 1 для майже всiх x ∈ Ω.
Припустимо, що або G = Ω, або G = Q. Позначимо через Lr(·)(G)
узагальнений простiр Лебега, який складається з функцiй v ∈
L1(G) таких, що %G,r(v) < ∞, де %G,r(v) :=
∫
Ω
|v(x)|r(x) dx, якщо
G = Ω, та %G,r(v) :=
∫∫
Q
|v(x, t)|r(x) dxdt, якщо G = Q. На цьому
просторi введемо норму ‖v‖Lr(·)(G) := inf{λ > 0 | %G,r(v/λ) ≤ 1},
з якою вiн є банаховим. Якщо ess inf
x∈Ω
r(x) > 1, то спряжений про-
стiр [Lr(·)(G)]′ може бути ототожненим з Lr′(·)(G), де r′ – фун-
кцiя, яка визначена рiвнiстю 1
r(x) + 1
r′(x) = 1 для майже всiх x ∈ Ω
(детальнiше див., наприклад, [8]).
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 25
Нехай p = (pα : |α| ∈ M) – впорядкований набiр вимiрних
функцiй pα : Ω → R (|α| ∈ M) (пронумерованих так само, як
елементи простору RN ), якi задовольняють умову
(P) p−α := ess inf
x∈Ω
pα(x) > 1, p+
α := ess sup
x∈Ω
pα(x) <
+∞ ∀α, |α| ∈M.
Через p′ = (p′α : |α| ∈M) позначатимемо впорядкований набiр
функцiй таких, що 1/pα(x)+1/p′α(x) = 1 (|α| ∈M) для м.в. x ∈ Ω.
Нехай Wm
p(·)(Ω) := {v ∈ L1(Ω)
∣∣Dαv ∈ Lpα(·)(Ω) ∀α, |α| ∈M} –
банахiв простiр з нормою ‖v‖Wm
p(·)(Ω) :=
∑
|α|∈M
‖Dαv‖Lpα(·)(Ω). Пiд
◦
Wm
p(·)(Ω) розумiємо замикання простору C∞c (Ω) в Wm
p(·)(Ω). Тут
i далi C∞c (Ω) – лiнiйний простiр нескiнченно диференцiйовних
фiнiтних функцiй ϕ : Ω→ R.
Розглянемо лiнiйний простiр Vp :=
◦
Wm
p(·)(Ω) ∩ L2(Ω) з нормою
‖v‖Vp := ‖v‖ ◦
Wm
p(·)(Ω)
+ ‖v‖L2(Ω), який є банаховим.
Введемо простiрWm,0
p(·) (Q) як пiдпростiр простору L1(Q), скла-
дений з тих функцiй h, для яких Dαh ∈ Lpα(·)(Q), коли |α| ∈M,
з нормою ‖h‖
Wm,0
p(·) (Q)
:=
∑
|α|∈M
‖Dαh‖Lpα(·)(Q). Через
◦
W
m,0
p(·) (Q) по-
значимо пiдпростiр простору Wm,0
p(·) (Q), складений з таких фун-
кцiй h, що h(·, t) ∈
◦
Wm
p(·)(Ω) для м.в. t ∈ (0, T ).
Нехай b̃(x) := b(x), якщо x ∈ Ω0, i b̃(x) := 1, якщо x ∈ Ω \ Ω0.
Позначимо через Hb(Ω) лiнiйний простiр, елементами якого є
функцiї w := b̃−1/2v, де v ∈ L2(Ω). Простiр Hb(Ω) з пiвнормою
‖w‖Hb(Ω) =
( ∫
Ω b(x)|w(x)|2dx
)1/2 є повним пiвнормованим про-
стором. Легко переконатися, що Hb(Ω) є поповненням лiнiйного
простору Vp за пiвнормою ‖ · ‖Hb(Ω) (див. [2, I.3.3]).
Введемо простiр C([0, T ];Hb(Ω)) як лiнiйний простiр функцiй
h : [0, T ] → Hb(Ω) таких, що b1/2h ∈ C([0, T ];L2(Ω)), i пiвнор-
му ‖h‖C([0,T ];Hb(Ω)) := max
t∈[0,T ]
‖h(·, t)‖Hb(Ω) на ньому, з якою вiн є
26 М. М. Бокало, I. В. Скiра
повним пiвнормованим простором.
Визначимо простiр
U b
p :=
◦
W
m,0
p(·) (Q) ∩ L2(Q) ∩ C([0, T ];Hb(Ω))
i норму ‖h‖U bp := ‖h‖
Wm,0
p(·) (Q)
+‖h‖L2(Q) +‖h‖C([0,T ];Hb(Ω)) на ньому,
з якою вiн є банаховим.
Пiд Ap розумiтимемо множину, елементами якої є впорядкова-
нi набори (aα : |α| ∈M) визначених на Q×RN ( i пронумерованих
так само, як компоненти елементiв простору RN ) дiйснозначних
функцiй, якi задовольняють такi чотири умови:
(A1) для кожного α (|α| ∈ M) функцiя aα(x, t, ξ), (x, t, ξ) ∈
Q× RN , є каратеодорiвською (тобто для майже всiх (x, t) ∈ Q
функцiя aα(x, t, · ) : RN → R є неперервною, а для всiх ξ ∈ RN
функцiя aα(·, · , ξ) : Q → R є вимiрною за Лебегом) i, крiм того,
aα(x, t, 0) = 0 для майже всiх (x, t) ∈ Q.
(A2) для кожного α (|α| ∈ M), майже всiх (x, t) ∈ Q та будь-
яких ξ ∈ RN маємо
|aα(x, t, ξ)| 6 hα(x, t)
∑
|β|∈M
|ξβ|pβ(x)/p′α(x) + gα(x, t),
де hα ∈ L∞(Q), gα ∈ Lp′α( · )(Q);
(A3) для майже всiх (x, t) ∈ Q та довiльних ξ, η ∈ RN викону-
ється нерiвнiсть∑
|α|∈M
(aα(x, t, ξ)− aα(x, t, η))(ξα − ηα) > K1|ξ0 − η0|2, (4)
де K1 > 0 – стала;
(A4) для майже всiх (x, t) ∈ Q та будь-яких ξ з RN виконує-
ться нерiвнiсть∑
|α|∈M
aα(x, t, ξ)ξα > K2
∑
|α|∈M
|ξα|pα(x) − g(x, t),
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 27
де K2 > 0 – стала, 0 6 g ∈ L1(Q).
Нехай C – множина функцiй c : Ω × Ω × (0, T ) × R → R, якi
задовольняють такi умови:
(C1) функцiя c(x, y, t, s), (x, y, t, s) ∈ Ω × Ω × (0, T ) × R, є ка-
ратеодорiвською (тобто для майже всiх (x, y, t) ∈ Ω × Ω × (0, T )
функцiя c(x, y, t, ·) : R→ R є неперервною, а для всiх s ∈ R фун-
кцiя c(·, ·, ·, s) : Ω×Ω× (0, T )→ R є вимiрною за Лебегом) i, крiм
того, c(x, y, t, 0) = 0 для майже всiх (x, y, t) ∈ Ω× Ω× (0, T );
(C2) для майже всiх (x, y, t) ∈ Ω × Q та довiльних s1, s2 ∈ R
виконується нерiвнiсть
|c(x, y, t, s1)− c(x, y, t, s2)| 6 L|s1 − s2|,
де L > 0 – стала.
Зауваження 1. З умов (C1) i (C2) випливає, що для майже всiх
(x, y, t) ∈ Ω× Ω× (0, T ) i будь-яких s ∈ R маємо нерiвнiсть
|c(x, t, y, s)| ≤ L|s|. (5)
Нехай Fp′ – множина, елементами якої є впорядкованi набори
(fα : |α| ∈M) з N визначених на Q (i пронумерованих так само,
як елементи простору RN ) дiйснозначних функцiй таких, що для
кожного α, |α| ∈M, функцiя fα належить простору Lp′α( · )(Q) .
Пiд C1
c (0, T ) розумiтимемо лiнiйний простiр неперервно дифе-
ренцiйовних фiнiтних функцiй ϕ : (0, T )→ R.
Означення 1. Нехай b i p задовольняють, вiдповiдно, умови
(B) та (P), (aα : |α| ∈ M) ∈ Ap, c ∈ C, (fα : |α| ∈ M) ∈ Fp′ ,
u0 ∈ Hb(Ω).
Узагальненим розв’язком задачi (1)–(3) називаємо функцiю
u ∈ U b
p , яка задовольняє початкову умову
‖u(·, 0)− u0(·)‖Hb(Ω) = 0 (6)
та iнтегральну тотожнiсть∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
aα(x, t, δu)Dαvϕ+
28 М. М. Бокало, I. В. Скiра
+vϕ
∫
Ω
c(x, y, t, u(y, t)) dy − buvϕ′
}
dxdt =
=
∫∫
Q
∑
|α|∈M
fαD
αvϕ dxdt ∀ v ∈ Vp, ∀ϕ ∈ C1
c (0, T ). (7)
Основним результатом нашої роботи є таке твердження.
Теорема 1. Нехай b i p задовольняють, вiдповiдно, умови (B)
та (P), (aα : |α| ∈ M) ∈ Ap, c ∈ C, (fα : |α| ∈ M) ∈ Fp′ ,
u0 ∈ Hb(Ω) i, крiм того, виконується нерiвнiсть
K1 > LmesnΩ. (8)
Тодi задача (1)–(3) має єдиний узагальнений розв’язок i для
нього виконується оцiнка
max
t∈[0,T ]
∫
Ω
b(x)|u(x, t)|2 dx+
+
∫∫
Q
( ∑
|α|∈M
|Dαu(x, t)|pα(x) + |u(x, t)|2
)
dxdt ≤
≤ C1
[ ∫∫
Q
( ∑
|α|∈M
|fα(x, t)|p′α(x) + g(x, t)
)
dxdt+
∫
Ω
b(x)|u0(x)|2 dx
]
(9)
де C1 > 0 – стала, яка залежить тiльки вiд K1,K2, L,mesnΩ i
p−α (|α| ∈M).
Тут i далi mesnΩ – мiра Лебега множини Ω.
3. Обґрунтувння основного результату
Спочатку сформулюємо потрiбне нам допомiжне твердження.
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 29
Лема 1. Нехай b i p задовольняють, вiдповiдно, умови (B) та
(P), а функцiя w ∈
◦
W
m,0
p(·) (Q) ∩ L2(Q) така, що виконується то-
тожнiсть∫∫
Q
{( ∑
|α|∈M
gαD
αv
)
ϕ−bwvϕ′
}
dxdt = 0 ∀v ∈ Vp, ∀ϕ ∈ C1
c (0, T ),
(10)
для деяких gα ∈ Lp′α(·)(Q) (|α| ∈ M). Тодi w ∈ C
(
[0, T ];Hb(Ω)
)
i для будь-яких θ ∈ C1([0, T ]), v ∈ Vp та t1, t2 ∈ [0, T ], t1 < t2,
маємо
θ(t2)
∫
Ω
b(x)w(x, t2)v(x) dx− θ(t1)
∫
Ω
b(x)w(x, t1)v(x) dx+
+
t2∫
t1
∫
Ω
{( ∑
|α|∈M
gαD
αv
)
θ − bwvθ′
}
dxdt = 0, (11)
1
2
θ(t2)‖w(·, t2)‖2Hb(Ω) −
1
2
θ(t1)‖w(·, t1)‖2Hb(Ω)−
−1
2
t2∫
t1
‖w(·, t)‖2Hb(Ω)θ
′(t) dt+
t2∫
t1
∫
Ω
( ∑
|α|∈M
gαD
αw
)
θ dxdt = 0. (12)
Доведення цiєї леми подiбне до доведення леми 1 працi [12] i
ми його опускаємо.
Далi для зручностi i скорочення записiв будемо використову-
вати такi позначення:
aα(w)(x, t) := aα(x, t, δw(x, t)), (x, t) ∈ Q, |α| ∈M ; (13)
c(w)(x, y, t) := c(x, y, t, w(y, t)), (x, y, t) ∈ Ω× Ω× (0, T ).
Доведення теореми 1. Проведемо доведення в три етапи. Спо-
чатку доведемо єдинiсть узагальненого розв’язку задачi (1)–(3),
потiм його iснування, а пiсля цього – правильнiсть оцiнки (9).
30 М. М. Бокало, I. В. Скiра
Перший етап (єдинiсть розв’язку). Припустимо супротивне.
Нехай u1 i u2 – два узагальненi розв’язки задачi (1)–(3). Вiднi-
мемо тотожнiсть (7) з u = u1 вiд тотожнiстi (7) з u = u2. У
результатi отримаємо∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
(aα(u1)− aα(u2))Dαvϕ+
+vϕ
∫
Ω
(c(u1)(x, y, t)−c(u2)(x, y, t)) dy−b(x)(u1−u2)vϕ′
}
dxdt = 0.
Звiдси на пiдставi леми 1 з w = u1 − u2, θ ≡ 1, t1 = 0, t2 = T
отримаємо (див. (12))
1
2
∫
Ω
b(x)|u1(x, T )− u2(x, T )|2dx+
+
∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
(
aα(u1)− aα(u2)
) (
Dαu1 −Dαu2
)}
dxdt+
+
∫∫
Q
(
u1 − u2
)( ∫
Ω
(
c(u1)(x, y, t)− c(u2)(x, y, t)
)
dy
)
dxdt = 0. (14)
З умови (A3) випливає, що∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
(
aα(u1)− aα(u2)
)(
Dαu1 −Dαu2
)}
dxdt >
> K1
∫∫
Q
|u1 − u2|2 dxdt. (15)
Використовуючи умову (C2), отримаємо таку оцiнку:∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Q
(
u1(x, t)− u2(x, t)
)(∫
Ω
(
c(u1)(x, y, t)− c(u2)(x, y, t)
)
dy
)
dxdt
∣∣∣∣∣∣∣ 6
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 31
6
∫∫
Q
|u1(x, t)− u2(x, t)|
(∫
Ω
|c(u1)(x, y, t)− c(u2)(x, y, t)| dy
)
dxdt6
6 L
∫∫
Q
|u1(x, t)− u2(x, t)|
(∫
Ω
|u1(y, t)− u2(y, t)| dy
)
dxdt =
= L
T∫
0
(∫
Ω
|u1(x, t)− u2(x, t)| dx
)2
dt 6
6 LmesnΩ
∫∫
Q
|u1 − u2|2 dxdt. (16)
Тодi з (14) на пiдставi (15) i (16) здобуваємо
(K1 − LmesnΩ)
∫∫
Q
|u1 − u2|2 dxdt 6 0.
Звiдси та умови (8) отримаємо рiвнiсть u1(x, t) − u2(x, t) = 0
для майже всiх (x, t) ∈ Q, а отже, u1 = u2 майже скрiзь на Q.
Отримане протирiччя доводить наше твердження.
Другий етап (iснування розв’язку). Доведемо iснування уза-
гальненого розв’язку задачi (1)–(3), використовуючи комбiнацiю
методiв регуляризацiї та Фаедо-Гальоркiна.
Нехай {wj}∞j=1 – повна лiнiйно незалежна система функцiй в
просторi Vp. Для довiльного k ∈ N позначимо Vk := {d1w1 + . . .+
dkwk
∣∣ d1, ..., dk ∈ R}. Очевидно, що множина
⋃
k∈N
Vk є щiльною в
просторах Vp та Hb(Ω).
Виберемо послiдовнiсть
{
u0,k
}∞
k=1
таку, що u0,k ∈ Vk i
‖u0 − u0,k‖Hb(Ω) =
∥∥b1/2u0 − b1/2u0,k
∥∥∥
L2(Ω)
−→
k→∞
0. (17)
Зауважимо, що для кожного k ∈ N, майже всiх x ∈ Ω i до-
вiльного η ∈ (0, 1] правильна нерiвнiсть∣∣∣b1/2(x)−
(
b(x) + η
)1/2∣∣∣2∣∣∣u0,k(x)
∣∣∣2 6 4(b(x) + 1)
∣∣∣u0,k(x)
∣∣∣2.
32 М. М. Бокало, I. В. Скiра
Отож, на пiдставi теореми Лебега про граничний перехiд пiд зна-
ком iнтеграла, для кожного фiксованого k ∈ N маємо∥∥∥b1/2u0,k −
(
b+ η
)1/2
u0,k
∥∥∥
L2(Ω)
−→
η→0+
0.
Звiдси випливає iснування послiдовностi додатних чисел
{
ηk
}∞
k=1
такої, що ηk −→
k→∞
0 i
∥∥b1/2u0,k −
(
b+ ηk
)1/2
u0,k
∥∥
L2(Ω)
−→
k→∞
0. (18)
Приймемо
bk(x) := b(x) + ηk, x ∈ Ω, k ∈ N. (19)
З (17) – (19) випливає, що∥∥b1/2u0 − b1/2k u0,k
∥∥∥
L2(Ω)
−→
k→∞
0. (20)
Для кожного k ∈ N шукаємо гальоркiнське наближення uk у
виглядi
uk(x, t) =
k∑
i=1
ck,i(t)wi(x), (x, t) ∈ Q, (21)
де ck,1, ck,2, . . . , ck,k – абсолютно неперервнi на [0, T ] функцiї такi,
що виконуються рiвностi∫
Ω
{
bk(x)uk,twj +
∑
|α|∈M
aα(uk)D
αwj + wj
∫
Ω
c(uk)(x, y, t)dy
}
dx =
=
∫
Ω
∑
|α|∈M
fαD
αwj dx, t ∈ [0, T ], j = 1, k, (22)
uk(x, 0) = u0,k(x), x ∈ Ω. (23)
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 33
Спiввiдношення (22), (23) можна трактувати як задачу Кошi
для системи звичайних диференцiальних рiвнянь з невiдомими
функцiями ck,1,. . . ,ck,k. Систему рiвнянь (22) можна звести до
нормальної форми. Тому на пiдставi теореми про iснування, єди-
нiсть та продовження розв’язку цiєї задачi (див., наприклад, [23])
iснує єдиний глобальний її розв’язок c1,k, . . . .., ck,k i вiн визна-
чений на деякому промiжку [0, Tk〉, де Tk 6 T . Тут i далi "〉"
означає ")" або "]". Отож, функцiя uk визначена на множинi
Ω× [0, Tk〉. Пiзнiше ми встановимо оцiнки, з яких буде виплива-
ти рiвнiсть [0, Tk〉 = [0, T ].
Тепер отримаємо вiдповiднi оцiнки членiв послiдовностi
{uk}∞k=1. Для кожного j ∈ {1, . . . , k} домножимо рiвнiсть з но-
мером j системи (22) на ck,j i пiдсумуємо отриманi рiвностi. Здо-
буту рiвнiсть проiнтегруємо за t ∈ [0, τ ] ⊂ [0, Tk〉 i використаємо
(21), (23) та формулу iнтегрування частинами. У результатi здо-
будемо
1
2
∫
Ω
bk(x)|uk(x, τ)|2 dx+
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
aα(uk)D
αuk
}
dxdt =
=
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
fαD
αuk
}
dxdt−
−
τ∫
0
∫
Ω
uk(x, t)
(∫
Ω
c(uk)(x, y, t)dy
)
dxdt+
1
2
∫
Ω
bk(x)|u0,k(x)|2 dx.
(24)
Далi нам буде потрiбна така нерiвнiсть, що випливає з нерiв-
ностi Юнга: для майже всiх x ∈ Ω
ad 6 ε|a|r(x) + ε
− 1
r−−1 |d|r′(x), a, d ∈ R, ε ∈ (0, 1), (25)
де r ∈ L∞(Ω), r− := ess inf
x∈Ω
r(x) > 1, r′(x) := r(x)/(r(x) − 1) для
майже всiх x ∈ Ω.
34 М. М. Бокало, I. В. Скiра
Для довiльного 0 < δ < 1, використовуючи умови (A1), (A3)
та (A4), отримуємо таку оцiнку:
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
aα(uk)D
αuk
}
dxdt =
= (δ + (1− δ))
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
aα(uk)D
αuk
}
dxdt >
> δK1
τ∫
0
∫
Ω
|uk|2 dxdt+ (1− δ)K2
τ∫
0
∫
Ω
∑
|α|∈M
|Dαuk|pα(x) dxdt−
−(1− δ)
τ∫
0
∫
Ω
g dxdt. (26)
Використавши (25), здобуваємо∣∣∣∣∣∣
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
fαD
αuk
}
dxdt
∣∣∣∣∣∣ 6
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
|fα||Dαuk|
}
dxdt 6
6 ε
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
|Dαuk|pα(x)
}
dxdt+
+
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
ε−1/(p−α−1)|fα|p
′
α(x)
}
dxdt, (27)
де ε ∈ (0, 1) – довiльне число.
Використовуючи нерiвнiсть (5) та нерiвнiсть Кошi–Буняков-
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 35
ського, отримаємо
∣∣∣ τ∫
0
∫
Ω
uk(x, t)
(∫
Ω
c(uk)(x, y, t) dy
)
dxdt
∣∣∣ 6
6
τ∫
0
∫
Ω
|uk(x, t)|
(∫
Ω
|c(uk)(x, y, t)| dy
)
dxdt 6
6 L
τ∫
0
∫
Ω
|uk(x, t)|
(∫
Ω
|uk(y, t)| dy
)
dxdt =
= L
τ∫
0
(∫
Ω
|uk(x, t)| dx
)2
dt 6 LmesnΩ
τ∫
0
∫
Ω
|uk(x, t)|2 dxdt. (28)
З рiвностi (24) на пiдставi (26) – (28) отримаємо
1
2
∫
Ω
bk(x)|uk(x, τ)|2 dx+
+ ((1− δ)K2 − ε)
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
|Dαuk|pα(x)
}
dxdt+
+ (δK1 − LmesnΩ)
τ∫
0
∫
Ω
|uk|2 dxdt 6
6
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
ε−1/(p−α−1)|fα|p
′
α(x)
}
dxdt+
+ (1− δ)
τ∫
0
∫
Ω
g dxdt+
1
2
∫
Ω
bk|u0,k|2 dx, τ ∈ (0, Tk〉.
(29)
36 М. М. Бокало, I. В. Скiра
В (29) вiзьмемо значення δ ∈ (0, 1) таким, щоби виконувалась
нерiвнiсть δK1−LmesnΩ > 0 (це можна зробити на пiдставi (8)),
а тодi виберемо значення ε ∈ (0, 1) таким, щоб виконувалась
нерiвнiсть (1 − δ)K2 − ε > 0, наприклад, ε = (1 − δ)K2/2. У
результатi отримаємо
∫
Ω
bk(x)|uk(x, τ)|2 dx+ C2
τ∫
0
∫
Ω
( ∑
|α|∈M
|Dαuk|pα(x) + |uk|2
)
dxdt 6
6 C3
τ∫
0
∫
Ω
( ∑
|α|∈M
|fα|p
′
α(x) + g
)
dxdt+
∫
Ω
bk|u0,k|2 dx, τ ∈ (0, Tk〉,
(30)
де C2, C3 – додатнi сталi, якi не залежать вiд k i τ .
З (20) випливає, що послiдовнiсть
{ ∫
Ω bk|u0,k|2 dx
}+∞
k=1
є обме-
женою. Звiдси та з (30) отримаємо такi оцiнки
∫
Ω
bk(x)|uk(x, τ)|2 dx 6 C4 ∀τ ∈ (0, Tk〉, (31)
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
|Dαuk|pα(x)
}
dxdt 6 C5 ∀τ ∈ (0, Tk〉, (32)
τ∫
0
∫
Ω
|uk(x, t)|2 dxdt 6 C6 ∀τ ∈ (0, Tk〉, (33)
де C4, C5, C6 – додатнi сталi, якi не залежать вiд k i τ .
На пiдставi (31) маємо, зокрема, що Tk = T i [0, Tk〉 = [0, T ], а
отже, оцiнки (31) – (33) правильнi при замiнi (0, Tk〉 на (0, T ].
З умови (A2), нерiвностi (5) та оцiнок (32), (33), використову-
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 37
ючи нерiвнiсть Гельдера, отримаємо оцiнки∫∫
Q
|aα(uk)|p
′
α(x) dxdt 6 C7, |α| ∈M, (34)
∫∫
Q
∣∣∣ ∫
Ω
c(uk) dy
∣∣∣2 dxdt 6 C8, (35)
де C7, C8 – сталi, якi не залежить вiд k.
Оскiльки простори Lpα(·)(Q), Lp′α(·)(Q) (|α| ∈ M) є рефле-
ксивними (див. [8, p. 600]), то з оцiнок (31) – (35) випливає
iснування пiдпослiдовностi послiдовностi {uk} (цю пiдпослiдов-
нiсть позначатимемо так само як i всю послiдовнiсть), фун-
кцiй u ∈
◦
W
m,0
p(·) (Q) ∩ L2(Q), ũ ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)), χα ∈ Lp′α(·)(Q)
(|α| ∈M), ζ ∈ L2(Q) таких, що
b
1/2
k uk −→
k→∞
ũ ∗ −слабко в L∞(0, T ;L2(Ω)), (36)
uk −→
k→∞
u слабко в L2(Q), (37)
uk −→
k→∞
u слабко в
◦
W
m,0
p(·) (Q), (38)
aα(uk) −→
k→∞
χα слабко в Lp′α(·)(Q), |α| ∈M, (39)
∫
Ω
c(uk)dy −→
k→∞
ζ слабко в L2(Q). (40)
Доведемо, що u є узагальненим розв’язком задачi (1)–(3). Для
цього спочатку вiдмiтимо, що
b
1/2
k −→
k→∞
b1/2 сильно в L2(Ω) i майже всюди на Ω. (41)
38 М. М. Бокало, I. В. Скiра
Тепер покажемо, що
ũ = b1/2u майже всюди на Q. (42)
Справдi, для довiльної функцiї ψ ∈ C(Q) на пiдставi (36) маємо∫∫
Q
b
1/2
k ukψ dxdt −→
k→∞
∫∫
Q
ũψ dxdt. (43)
Беручи до уваги (41), легко показати, що b
1/2
k ψ −→
k→∞
b1/2ψ в
Lp0′(·)(Q). Отож, на пiдставi (38), маємо∫∫
Q
ukb
1/2
k ψ dxdt −→
k→+∞
∫∫
Q
ub1/2ψ dxdt. (44)
Спiввiдношення (43), (44) дають пiдставу стверджувати, що
для будь-якої ψ ∈ C(Q) правильна рiвнiсть∫∫
Q
ũψ dxdt =
∫∫
Q
b1/2uψ dxdt,
звiдки випливає рiвнiсть (42).
Виберемо довiльним чином i зафiксуємо числа j, k ∈ N такi,
що k > j. Рiвнiсть системи (22) з номером j домножимо на фун-
кцiю θ ∈ C1([0, T ]) таку, що θ(T ) = 0, i проiнтегруємо за t вiд 0
до T , використовуючи формулу iнтегрування частинами. У ре-
зультатi здобудемо рiвнiсть, з якої, перейшовши до границi при
k →∞ i взявши до уваги (20), (23), (36)–(42), отримаємо
−θ(0)
∫
Ω
b(x)u0(x)wj(x) dx−
∫∫
Q
buwjθ
′ dxdt+
+
∫∫
Q
( ∑
|α|∈M
(χα − fα)Dαwj + ζwj
)
θ dxdt = 0. (45)
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 39
З цiєї рiвностi випливає, що для кожних v ∈ Vp i θ ∈ C1([0, T ]),
θ(T ) = 0, правильна рiвнiсть
−θ(0)
∫
Q
b(x)u0(x)v(x) dx−
∫∫
Q
buvθ′ dxdt+
+
∫∫
Q
( ∑
|α|∈M
(χα − fα)Dαv + ζv
)
θ dxdt = 0. (46)
Зауважимо, що коли взяти θ = ϕ ∈ C1
c (0, T ) в (46), то отри-
маємо рiвнiсть∫∫
Q
{( ∑
|α|∈M
(χα − fα)Dαv + vζ
)
ϕ− buvϕ′
}
dxdt = 0 (47)
для кожних v ∈ Vp i ϕ ∈ C1
c (0, T ).
З (47) на пiдставi леми 1 випливає, що
u ∈ C
(
[0, T ];Hb(Ω)
)
(48)
i для кожних v ∈ Vp i θ ∈ C1([0, T ]), θ(T ) = 0, правильна рiвнiсть
−θ(0)
∫
Ω
b(x)u(x, 0)v(x) dx−
∫∫
Q
buvθ′ dxdt+
+
∫∫
Q
( ∑
|α|∈M
(χα − fα)Dαv + ζv
)
θ dxdt = 0. (49)
З (46) i (49) отримуємо (6), а з (37), (38) i (48) випливає, що
u ∈ U b
p .
На пiдставi (47) для доведення тотожностi (7) достатньо по-
казати, що правильна рiвнiсть∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
χα(x, t)Dαv(x) + ζ(x, t)v(x)
}
dx =
=
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
aα(u)(x, t)Dαv(x) +
(∫
Ω
c(u)(x, y, t)dy
)
v(x)
}
dx (50)
40 М. М. Бокало, I. В. Скiра
для майже всiх t ∈ (0, T ) та будь-яких v ∈ Vp. Для цього вико-
ристаємо метод монотонностi (див. [24]).
Нехай w ∈Wm,0
p(·) (Q) – довiльна функцiя. Позначимо
Wk :=
∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
(aα(uk)− aα(w))(Dαuk −Dαw) +
+
(∫
Ω
[c(uk)− c(w)]dy
)(
uk − w
)}
θ dxdt, k ∈ N,
де θ(t) := 1− t/T, t ∈ R.
На пiдставi умови (A3) для кожного k ∈ N маємо
Wk >
∫∫
Q
{
K1|uk − w|2 + (uk − w)
∫
Ω
[
c(uk)− c(w)
]
dy
}
θ dxdt.(51)
Аналогiчно як ми отримали (16), можемо встановити нерiв-
нiсть ∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Q
(uk − w)
(∫
Ω
[c(uk)− c(w)] dy
)
θ dxdt
∣∣∣∣∣∣∣ 6
6 LmesnΩ
∫∫
Q
|uk − w|2 θ dxdt. (52)
З (51) i (52), врахувавши умову (C2), отримуємо
Wk > (K1 − LmesnΩ)
∫∫
Q
|uk − w|2θ dxdt > 0 ∀k ∈ N.
Маємо
Wk =
∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
aα(uk)D
αuk + uk
∫
Ω
c(uk)dy
}
θ dxdt−
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 41
−
∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
[
aα(uk)D
αw + aα(w)(Dαuk −Dαw)
]
−
−w
∫
Ω
c(uk)dy −
(
uk − w
) ∫
Ω
c(w)dy
}
θdxdt > 0. (53)
Для кожного j ∈ {1, . . . , k} помножимо рiвнiсть з номером j
системи (22) на ck,jθ i пiдсумуємо отриманi рiвностi за j. Резуль-
туючу рiвнiсть проiнтегруємо за t ∈ [0, T ] i використаємо форму-
лу iнтегрування частинами та (21) i (23). У результатi отримаємо∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
aα(uk)D
αuk + uk
∫
Ω
c(uk)dy
}
θ dxdt =
=
∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
fαD
αuk
}
θ dxdt−
− 1
2T
∫∫
Q
bk|uk|2 dxdt+
1
2
∫
Ω
bk|u0,k|2 dx, k ∈ N. (54)
На пiдставi (53) i (54) здобуваємо
Wk =
∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
fαD
αuk
}
θ dxdt−
− 1
2T
∫∫
Q
bk|uk|2 dxdt+
1
2
∫
Ω
bk|u0,k|2 dx−
−
∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
[
aα(uk)D
αw + aα(w)(Dαuk −Dαw)
]
−
− w
∫
Ω
c(uk)dy − (uk − w)
∫
Ω
c(w)dy
}
θ dxdt > 0. (55)
42 М. М. Бокало, I. В. Скiра
Iз спiввiдношень (36), (42) випливає
lim
k→∞
∫∫
Q
bk|uk|2 dxdt >
∫∫
Q
b|u|2 dxdt. (56)
На пiдставi (20), (38) – (40) i (56), з (55) отримаємо
0 6 lim
k→∞
Wk 6
∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
fαD
αu
}
θ dxdt−
− 1
2T
∫∫
Q
b|u|2 dxdt+
1
2
∫
Ω
b|u0|2 dx−
−
∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
[
χαD
αw + aα(w)(Dαu−Dαw)
]
−
−wζ −
(
u− w)
∫
Ω
c(w) dy
}
θ dxdt. (57)
З (47) i (6), використовуючи лему 1 (див. (12)), матимемо∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
χαD
αu+ uζ
}
θ dxdt =
∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
fαD
αu
}
θ dxdt−
− 1
2T
∫∫
Q
b|u|2 dxdt+
1
2
∫
Ω
b|u0|2 dx. (58)
На пiдставi (57) i (58) здобуваємо∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
(χα − aα(w))(Dαu−Dαw)+
+(u− w)
(
ζ −
∫
Ω
c(w)dy
)}
θ dxdt > 0. (59)
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 43
Взявши w = u − λvϕ в (59), де v ∈ Vp , ϕ ∈ C1
c (0, T ) ,
λ > 0 – довiльнi фiксованi, пiсля дiлення отриманої нерiвностi
на λ, матимемо∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
(χα − aα(u− λvϕ))Dαv+
+
(
ζ −
∫
Ω
c(u− λvϕ) dy
)
v
}
θϕ dxdt > 0. (60)
Переходячи в (60) до границi при λ → 0+ на пiдставi умов
(A1) i (A2) та теореми Лебега про граничний перехiд пiд знаком
iнтеграла (див. [25, с. 648]), здобуваємо∫∫
Q
{ ∑
|α|∈M
(χα − aα(u))Dαv +
(
ζ −
∫
Ω
c(u) dy
)
v
}
θϕ dxdt = 0,
де v ∈ Vp i ϕ ∈ C1
c (0, T ) є довiльними функцiями. Отож, рiвнiсть
(50) є правильною.
З (47), беручи до уваги (50), отримаємо (7). Отже, ми довели,
що u є узагальненим розв’язком задачi (1)–(3).
Третiй етап (апрiорна оцiнка розв’язку). Використовуючи
лему 1 з w = u, θ ≡ 1, t1 = 0, t2 = τ ∈ (0, T ], отримаємо (див.
(12))
1
2
∫
Ω
b(x)|u(x, τ)|2 dx+
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
aα(u)Dαu
}
dxdt =
=
τ∫
0
∫
Ω
{ ∑
|α|∈M
fαD
αu
}
dxdt−
τ∫
0
∫
Ω
u
(∫
Ω
c(u) dy
)
dxdt+
+
1
2
∫
Ω
b(x)|u0(x)|2 dx. (61)
44 М. М. Бокало, I. В. Скiра
Легко показати виконання нерiвностей подiбних до (26), (27) та
(28) з u замiсть uk. Отже, можна отримати нерiвнiсть аналогiчну
до (29), з якої легко випливає оцiнка (9) узагальненого розв’язку
задачi (1)–(3). Теорема 1 доведена.
Лiтература
[1] Showalter R. E. Degenerate evolution equations and applications //
Indiana University Mathematics Journal. – 1974. –23, No. 8. – P. 655-
677.
[2] Showalter R.E. Hilbert space methods for partial differential equati-
ons – Monographs and Studies in Mathematics (Monographs in
differential equations), Volume 1, Pitman, London-San Francisco,
Calif.-Melbourne, 1977, xii+196 p.
[3] Alt H. W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential
equations // Mathematische Zeitschrift. – 1983. – 183. – P. 311–341.
[4] Kuttler K.L. The Galerkin method and degenerate evolution equati-
ons // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 1985.
– 107. – P. 396-413.
[5] Showalter R.E. Monotone operators in Banach space and nonli-
near partial differential equations. – Mathematical surveys and
monographs, 49. – Amer. Math. Soc., Providence, 1997.
[6] Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces.
– New York etc.: Marcel Dekker, Inc., 1999.
[7] Andreu F, Igbida N., M. Mazón J., Toledo J. A degenerate elliptic-
parabolic problem with nonlinear dynamical boundary conditions //
Interfaces and Free Boundaries. – 2006. – 8, No. 4. – P. 447-479.
[8] Kovác̆ik O., Rákosńic J. On spaces Lp(x) andW k, p(x) // Czechoslovak
Mathematical Journal. 1991. – 41, No. 116. – P. 592-618.
[9] Kováčik O. Parabolic equations in generalized Sobolev spacesW k,p(x)
// Fasciculi Mathematici. – 1995. – 25. – P. 87-94.
[10] Ru̇žička M. Electrorheological fluids: modeling and mathematical
theory // Lecture Notes in Mathematics, 1748. – (Springer-Verlag,
Berlin, 2000).
Мiшана задача для iнтегро-диференцiальних... 45
[11] Buhrii O. M., Lavrenyuk S. P. On a parabolic variational inequality
that generalizes the equation of polytropic filtration // Ukrainian
Mathematical Journal. – 2001. – 53, No. 7. – P. 1027-1042 (Переклад
з Українського математичного журналу.– 2001. – 53, № 7. – С. 867–
878).
[12] Бокало М. М., Паучок I.Б. Коректнiсть задачi Фур’є для нелi-
нiйних параболiчних рiвнянь вищих порядкiв зi змiнними пока-
зниками нелiнiйностi // Математичнi студiї. – 2006. – 24, № 1. –
C. 25-48.
[13] Bokalo M., Domanska O. On well-posedness of boundary problems
for elliptic equations in general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces
// Математичнi студiї. – 2007. – 28, № 1. – C. 77-91.
[14] Антонцев С., Шмарев С. Затухание решений параболических
уравнений с переменными показателями нелинейности // На-
учные записки Математического института имени Стеклова. –
2008. – 261. – С. 11-21.
[15] Алхутов Ю., Антонцев С., Жиков В. Параболические уравнения
с переменными показателями нелинейности // Збiрник праць Iн-
ституту математики НАН України. – 2009. – 6. – С. 23–50.
[16] Fu Y., Pan N. Existence of solutions for nonlinear parabolic problem
with p(x)-growth // Journal of Mathematical Analysis and Applicati-
ons. – 2010. – 362. – P. 313-326.
[17] Mihailescu M., Radulescu V., Tersian S. Homoclinic solutions of di-
fference equations with variable exponents // Topological Methods in
Nonlinear Analysis. – 2011. – 38. – P. 277-289.
[18] Mashiyev R. A., Buhrii O. M. Existence of solutions of the parabolic
variational inequality with variable exponent of nonlinearity //
Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2011. – 377. –
P. 450-463.
[19] Бокало М. М. Мiшана задача для елiптично-параболiчних анi-
зотропних рiвнянь вищих порядкiв зi змiнними показниками не-
лiнiйностi // Вiсник Львiвського унiверситету. Серiя мех.-мат. –
2013. – Вип. 78. – С. 14-26.
46 М. М. Бокало, I. В. Скiра
[20] Бугрiй О., Бугрiй М. Про iснування в узагальнених просто-
рах Соболєва розв’язкiв мiшаних задач для нелiнiйних iнтегро-
диференцiальних рiвнянь, пов’язаних з європейський опцiоном //
Вiсник Львiвського унiверситету. Серiя мех.-мат. – 2016. – Вип.
81. – С. 61-84.
[21] Buhrii O., Buhrii N. On initial-boundary value problem for nonlinear
integro-differential equations with variable exponents of nonlinearity
// New Trends in Mathematical Sciences. – 2017. – 5, No. 3. – P. 128-
153.
[22] Buhrii O., Buhrii N. Integro-differential systems with variable
exponents of nonlinearity // Open Mathematics. – 2017. – 15. –
P. 859–883.
[23] Coddington E. A., Levinson N. Theory of ordinary differential equati-
ons. – McGraw-Hill book company, New York, Toronto, London, 1955.
[24] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых
задач. – M.: Мир, 1972.
[25] Evans L. C. Partial differential equations // Graduate Studies in
Mathematics, Vol. 19, Amer. Math. Soc.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-267 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:38Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/9d/383638ca461d7fc8a767bb018aeb289d.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2672018-02-13T13:12:44Z Initial-boundary value problem for higher-order integro-differential elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity Мішана задача для інтегро-диференціальних еліптично-параболічних рівнянь вищих порядків зі змінними показниками нелінійності Bokalo, M. M. Skira, I. V. Бокало, М. М. Скіра, І. В. The initial-boundary value problem for higher-order elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity is considered. Existence and uniqueness of weak solution of this problem are proved. An a priori estimates are obtained. Досліджено мішану задачу для інтегро-диференціальних еліптично-параболічних рівнянь вищих порядків зі змінними показниками нелінійності. Доведено існування та єдиність узагальненого розв'язку цієї задачі та отримано його апріорні оцінки. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/267 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 21-46 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 21-46 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 21-46 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/267/293 Авторське право (c) 2017 М. М. Бокало, І. В. Скіра |
| spellingShingle | Bokalo, M. M. Skira, I. V. Бокало, М. М. Скіра, І. В. Initial-boundary value problem for higher-order integro-differential elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity |
| title | Initial-boundary value problem for higher-order integro-differential elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity |
| title_alt | Мішана задача для інтегро-диференціальних еліптично-параболічних рівнянь вищих порядків зі змінними показниками нелінійності |
| title_full | Initial-boundary value problem for higher-order integro-differential elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity |
| title_fullStr | Initial-boundary value problem for higher-order integro-differential elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity |
| title_full_unstemmed | Initial-boundary value problem for higher-order integro-differential elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity |
| title_short | Initial-boundary value problem for higher-order integro-differential elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity |
| title_sort | initial-boundary value problem for higher-order integro-differential elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/267 |
| work_keys_str_mv | AT bokalomm initialboundaryvalueproblemforhigherorderintegrodifferentialellipticparabolicequationswithvariableexponentsofnonlinearity AT skiraiv initialboundaryvalueproblemforhigherorderintegrodifferentialellipticparabolicequationswithvariableexponentsofnonlinearity AT bokalomm initialboundaryvalueproblemforhigherorderintegrodifferentialellipticparabolicequationswithvariableexponentsofnonlinearity AT skíraív initialboundaryvalueproblemforhigherorderintegrodifferentialellipticparabolicequationswithvariableexponentsofnonlinearity AT bokalomm míšanazadačadlâíntegrodiferencíalʹnihelíptičnoparabolíčnihrívnânʹviŝihporâdkívzízmínnimipokaznikaminelíníjností AT skiraiv míšanazadačadlâíntegrodiferencíalʹnihelíptičnoparabolíčnihrívnânʹviŝihporâdkívzízmínnimipokaznikaminelíníjností AT bokalomm míšanazadačadlâíntegrodiferencíalʹnihelíptičnoparabolíčnihrívnânʹviŝihporâdkívzízmínnimipokaznikaminelíníjností AT skíraív míšanazadačadlâíntegrodiferencíalʹnihelíptičnoparabolíčnihrívnânʹviŝihporâdkívzízmínnimipokaznikaminelíníjností |