Kolmogorov widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$
We find the exact order estimates of the Kolmogorov widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$ and certain limitations on the rate of decrease of the function $\psi$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/269 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552769848606720 |
|---|---|
| author | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. |
| author_facet | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. М. Власик",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Vlasyk, H. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We find the exact order estimates of the Kolmogorov widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$ and certain limitations on the rate of decrease of the function $\psi$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 76–92
УДК 517.5
Г.М. Власик
Iнститут математики НАН України, Київ;
annawlasik@gmail.com
Колмогоровськi поперечники
класiв Lψβ,p перiодичних функцiй у
просторi Lq
We find the exact order estimates of the Kolmogorov widths of the
classes Lψβ,p in the space Lq for some relations between the parameters
p and q and certain limitations on the rate of decrease of the functi-
on ψ.
Знайдено точнi за порядком оцiнки колмогоровських поперечни-
кiв класiв Lψβ,p у просторi Lq для деяких спiввiдношень мiж пара-
метрами p i q за певних обмежень на швидкiсть спадання функцiї
ψ.
1. Вступ
У роботi дослiджуються колмогоровськi поперечники класiв Lψβ,p
2π–перiодичних функцiй у просторi Lq для деяких спiввiдношень
мiж параметрами p та q i при певних обмеженнях на швидкiсть
спадання функцiї ψ. Бiльш детально про це буде йти мова нижче,
а спочатку наведемо необхiднi позначення та означення.
c© Г. М. Власик, 2017
Колмогоровськi поперечники класiв Lψβ,p перiодичних функцiй... 77
Нехай Lq — простiр 2π–перiодичних i сумовних у степенi q,
1 ≤ q <∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при q = ∞), на вiд-
рiзку [−π, π] функцiй f . Норма в цьому просторi визначається
таким чином:
‖f‖Lq = ‖f‖q =
(
1
2π
π∫
−π
|f(x)|qdx
) 1
q
, 1 ≤ q <∞,
ess sup
x
|f(x)| , q =∞.
Для функцiї f ∈ L1 розглянемо її ряд Фур’є∑
k∈Z
f̂(k)eikx,
де f̂(k) = 1
2π
π∫
−π
f(t)e−iktdt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Скрiзь нижче будемо вважати, що для f ∈ L1 виконується умова
π∫
−π
f(t)dt = 0.
Далi, нехай ψ(τ) 6= 0, τ ∈ N, — довiльна функцiя натурального
аргументу, β — довiльне фiксоване дiйсне число. Якщо ряд
∑
k∈Z\{0}
f̂(k)
ψ(|k|)
ei(kx+
βπ
2
signk)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї, то її, наслiдуючи
О. I. Степанця [1, с. 25] (див. також [2, с. 132]), назвемо (ψ, β)–
похiдною функцiї f i позначимо fψβ . Множину функцiй f , що
задовольняють таку умову, позначатимемо Lψβ . Надалi будемо
вважати, що функцiя f належить класу Lψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, якщо
f ∈ Lψβ i f
ψ
β ∈ Up = {ϕ : ϕ ∈ Lp, ‖ϕ‖p ≤ 1}.
78 Г.М. Власик
Зауважимо, що при ψ(|k|) = |k|−r, r > 0, k ∈ Z \ {0}, класи
Lψβ,p спiвпадають з класами Вейля – Надя W r
p,β (див., напри-
клад, [1, с. 25]). Далi, у випадку β = r замiсть позначення W r
p,r
будемо використовувати W r
p .
Позначимо через Ψ множину функцiй ψ, що задовольняють
наступнi умови:
1) ψ — додатнi i незростаючi;
2) iснує стала C > 0 така, що
ψ(τ)
ψ(2τ)
≤ C, ∀τ ∈ N.
Зазначимо, що до множини Ψ належать, наприклад, функцiї: 1
τr ,
r > 0; lnγ(τ+1)
τr , γ ∈ R, r > 0 та iн.
Надалi, для величин A i B запис A � B означає, що iснують
додатнi сталi C1 та C2 такi, що C1A ≤ B ≤ C2A. Якщо тiльки
B ≤ C2A (B ≥ C1A), то пишемо B � A (B � A). Всi константи
Ci, i = 1, 2, ..., якi будуть зустрiчатися у роботi, можуть зале-
жати лише вiд тих параметрiв, що входять в означення класу та
метрики, у якiй вимiрюється похибка наближення.
Тепер перейдемо до означення апроксимативної характери-
стики, яка буде дослiджуватися.
У 1936 р. А. М. Колмогоров [3] для центрально–симетричної
множини F у банаховому просторi X розглянув величину
dm(F,X) = inf
Lm∈Linm(X)
sup
f∈F
inf
u∈Lm
‖f − u‖X ,
де iнфiмум шукається по всiх лiнiйних пiдпросторах Lm просто-
руX, розмiрностi не бiльшої, нiжm. Згодом ця величина отрима-
ла назву колмогоровського поперечника множини F у просторi
X.
Першi точнi за порядком оцiнки колмогоровського попере-
чника класiв W r
p у просторi Lq при p = q = 2 було отримано
А. М. Колмогоровим [3]. Згодом для p = 1, q = 2 i p = q =∞ по-
рядки dm(W r
p , Lq) знайдено С. Б. Стєчкiним [4], а при p = q =∞
Колмогоровськi поперечники класiв Lψβ,p перiодичних функцiй... 79
точне значення вiдповiдної величини встановлено В. М. Тихо-
мировим [5]. Пiзнiше порядки колмогоровських поперечникiв
dm(W r
p , Lq) встановлювалися для наступних спiввiдношень мiж
параметрами p i q: 1 ≤ p = q < ∞ — С. Б. Бабаджановим i
В. М. Тихомировим [6]; 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ — Ю. I. Маковозом [7];
1 = p < q ≤ 2 — М. З. Соломяком i В. М. Тихомировим [8];
1 ≤ p ≤ q ≤ 2 — Р. С. Iсмагiловим [9, 10]; p = 1, q > 2 —
Є. Д. Глускiним [11].
Узагальнюючи методи дискретизацiї в оцiнках поперечникiв
(див. роботи [4, 10, 12]), В. Є. Майоров показав [13], що в деяких
ситуацiях для отримання порядкових оцiнок поперечникiв фун-
кцiональних класiв достатньо оцiнити поперечники скiнченнови-
мiрних множин dm(Bn
p , l
n
q ), де Bn
p = {x : ‖x‖lnp ≤ 1} — одинична
куля в n–вимiрному банаховому просторi з нормою
‖x‖lp =
( n∑
i=1
|xi|p
) 1
p
, 1 ≤ p <∞.
Згодом Б. С. Кашин [14, 15], використовуючи знайденi ним
оцiнки для поперечникiв dm(Bn
2 , l
n
∞) в поєднаннi з методом
дискретизацiї, завершив встановлення порядкiв поперечникiв
dm(W r
p , Lq), 2 < p < q < ∞, p ≤ 2 < q < ∞, у випадку, коли
клас W r
p вкладений у простiр неперервних функцiй, тобто при
rp > 1. Серед тих значень параметрiв r, p, q, при яких величина
dm(W r
p , Lq) має сенс, її порядки залишалися невiдомими тiльки
для малих r, точнiше для таких r, p, q, що
(r, p, q) ∈ Ω, Ω = {(r, p, q) : 0 < rp ≤ 1, 1 ≤ p < q <∞, q > 2}.
У роботi [16] показано, що при 1
2 < r < 1 i 2 < q < 1
1−r
справедлива оцiнка
dm(W r
1 , Lq) � m
− q
2
(r−1+ 1
q
)
.
Iз цього результату видно, що поведiнка колмогоровського по-
перечника dm(W r
1 , Lq) при 1
2 < r < 1 суттєво вiдрiзняється вiд
80 Г.М. Власик
випадку r > 1, оскiльки [14]
dm(W r
1 , Lq) � m−r+
1
2 , r > 1, 2 < q <∞.
Iншими словами, у випадку 1
2 < r < 1 i 2 < q < 1
1−r Б. С. Каши-
ним було виявлено ефект малої гладкостi.
Пiзнiше у роботах [17, 18] були встановленi точнi за порядком
оцiнки величин dm(W r
p , Lq) при (r, p, q) ∈ Ω, тобто для малих
гладкостей r, а також двостороннi оцiнки для критичних пока-
зникiв гладкостi, якi вiдрiзняються логарифмiчним множником.
Таким чином, метою нашої роботи є встановлення точних за
порядком оцiнок величини
dm(Lψβ,p, Lq) = inf
Lm⊂Lq
sup
f∈Lψβ,p
inf
ϕ∈Lm
‖f − ϕ‖q
для деяких параметрiв p i q та при певних обмеженнях на пове-
дiнку послiдовностей ψ(τ), τ ∈ N, якi характеризують гладкiсть
функцiй, що належать класу Lψβ,p. Точнiше, розглядаються такi
обмеження на поведiнку послiдовностей ψ(τ), τ ∈ N, якi визна-
чають функцiональнi класи Lψβ,p малої гладкостi.
Зазначимо, що колмогоровськi поперечники dm(Lψβ,p, Lq) за iн-
ших обмежень на ψ(τ), τ ∈ N, (велика гладкiсть) та вiдповiднi
значення параметрiв p i q дослiджувались у роботах [19, 20].
2. Допомiжнi твердження
У цьому пунктi сформулюємо декiлька вiдомих тверджень, якi
будуть нами використовуватися.
Нехай s ∈ N i
ρ(s) =
{
k ∈ Z : 2s−1 ≤ |k| < 2s
}
.
Тодi для f ∈ L1 покладемо
δs(f) := δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)eikx.
Колмогоровськi поперечники класiв Lψβ,p перiодичних функцiй... 81
Лема А [21]. Нехай ψ(τ) ∈ Ψ, τ ∈ N, i β ∈ R. Тодi при 1 < q <∞
справедливе спiввiдношення
‖δs(fψβ )‖q � ‖ψ−1(2s)δs(f)‖q.
Нехай lnp означає простiр всеможливих упорядкованих систем
з n дiйсних чисел, норма в якому означається таким чином:
‖x‖lp =
(
n∑
i=1
|xi|p
) 1
p
, 1 ≤ p <∞,
max
1≤i≤n
|xi| , p =∞.
i Bn
p = {x : ‖x‖lnp ≤ 1} — одинична куля в цьому просторi.
Наступне твердження є вiдомою теоремою Марцинкевича–
Зiгмунда (див., наприклад, [22, с. 46]), яка адаптована до наших
позначень i в багатовимiрному випадку наведена в роботi [23].
Теорема А. Нехай 1 < p < ∞ i s ∈ N. Тодi мiж простором
тригонометричних полiномiв вигляду
δs(f) =
∑
k∈ρ(s)
cke
ikx
i простором R2s можна встановити iзоморфiзм шляхом спiв-
ставлення полiному δs(f) чисел
δsf
j =
{
fn
(
2πj
2s
)}
∈ R2s , fn(t) =
∑
sign k=sign n
cke
ikt,
n = ±1, j = 1, ..., 2s−1,
i при цьому буде справедливе порядкове спiввiдношення
‖δs(f)‖p �
2−s
2s∑
j=1
|δsf j |p
1/p
.
82 Г.М. Власик
Лема Б. Нехай X — банаховий простiр, W,W1, ...,Wl, ... — пiд-
множини простору X i Nl ∈ Z+. Тодi якщо∑
l
Nl ≤ N i W ⊂
⋃
l
Wl,
то
dN (W,X) ≤
∑
l
dNl(Wl, X).
Дана лема випливає безпосередньо iз означення колмого-
ровського поперечника. Її формулювання наводиться в роботах
В. Є. Майорова [24], В. М. Тихомирова [25], i потiм вона неодно-
разово використовувалася в роботах багатьох авторiв.
Для n ∈ N покладемо
T (n) =
{
t : t(x) =
∑
k∈ρ(n)
cke
ikx
}
.
Лема В [21]. Нехай t ∈ T (n), ψ(τ) ∈ Ψ, τ ∈ N. Тодi для β ∈ R i
1 < p < q <∞ справедливе спiввiдношення
‖t‖q ≤ C3(p, q)2
n(1/p−1/q)ψ(2s)‖tψβ‖p,
де C3(p, q) — константа, залежна вiд p i q.
Лема Г [14]. Нехай m < n i α =
(
1
p −
1
q
)
/
(
1− 2
q
)
. Тодi
dm(Bn
p , l
n
q ) �
�
min{1, n
2α/qm−α}, 2 ≤ p < q <∞,
max
{
n1/q−1/p,min{1, n1/qm−1/2}
√
1− m
n
}
, 1 ≤ p < 2 ≤ q <∞.
Лема Д [21]. Нехай 1 < p, q <∞ i b = (1/p− 1/q)+. Тодi
Lψβ,p ⊂ C4(p, q)L
ψ̃
β,q,
Колмогоровськi поперечники класiв Lψβ,p перiодичних функцiй... 83
де ψ̃(k) = ψ(k)kb, c+ = max{c, 0} i C4(p, q) — константа, зале-
жна вiд p i q.
Наступне твердження є вiдомою теоремою Лiттлвуда – Пелi
(див., наприклад, [22, с. 349]), яка адаптована до наших позна-
чень.
Теорема Б. Нехай задано 1 < q < ∞. Тодi iснують додатнi
сталi C5(q), C6(q) такi, що для кожної функцiї f ∈ Lq має мiсце
оцiнка
C5(q)‖f‖q ≤
∥∥∥∥∥
∑
s∈Z+
|δs(f)|2
1/2 ∥∥∥∥∥
q
≤ C6(q)‖f‖q.
3. Основний результат
Нехай 1 < p < q < ∞. Тодi через Ψε,p,q позначимо множину
функцiй ψ(τ), τ ∈ N, якi задовольняють умови
1) ψ(τ) ∈ Ψ;
2) iснує ε > 0 таке, що ψ(τ)τ1/p−1/q+ε не зростають.
Справедливе твердження.
Теорема 1. Нехай функцiї ψ(τ), τ ∈ N, задовольняють умови:
а) при 2 ≤ p < q < ∞ ψ ∈ Ψε,p,q i, крiм того, iснує ε1 > 0
таке, що ψ(τ)τ
[( 1
p
− 1
q
)/(1− 2
q
)]−ε1не спадають;
б) при 1 < p ≤ 2 < q <∞ ψ ∈ Ψε,p,q i, крiм того, iснує ε2 > 0
таке, що ψ(τ)τ1/p−ε2 не спадають.
Тодi для будь–якого β ∈ R
dm(Lψβ,p, Lq) � ψ([m
q
2 ])m
q
2
( 1
p
− 1
q
)
. (1)
Доведення. Доведення будемо проводити методом дискретизацiї,
тобто зведемо задачу про колмогоровський поперечник функцiо-
нального класу Lψβ,p до оцiнок поперечникiв вiдповiдних дискре-
тних множин.
84 Г.М. Власик
Спочатку отримаємо оцiнку зверху для випадку а). За зада-
ним m виберемо n так, щоб 2n � mq/2, i для l ∈ N покладемо
ml =
{
m2−(n−l)γ , l ≤ n,
0, l > n,
де γ > 0 — деяке число, яке буде вказано нижче. Очевидно, що
n∑
l=1
ml ≤ C7m.
Далi, для l ∈ N покладемо
T (l) = {t : t(x) = δl(f, x)}.
Тодi в силу леми А та теореми А ∀ f ∈ Lψβ,p ∩ T (l) маємо
1 ≥ ‖fψβ ‖p � ‖ψ
−1(2l)δl(f)‖p = ψ−1(2l)‖δl(f)‖p �
� ψ−1(2l)
(
2−l
2l∑
j=1
|δlf j |p
)1/p
�
� ψ−1(2l)2−l/p
( 2l∑
j=1
|δlf j |p
)1/p
. (2)
Таким чином, згiдно з (2) для f ∈ Lψβ,p ∩ T (l) справедливе спiв-
вiдношення ( 2l∑
j=1
|δlf j |p
)1/p
≤ C8(p)ψ(2l)2l/p,
де C8(p) — константа, залежна вiд p.
Далi, в силу леми А, для g ∈ Lq ∩ T (l) справедлива оцiнка
‖g‖q = ‖δl(g)‖q �
(
2−l
2l∑
j=1
|δlgj |q
)1/q
�
Колмогоровськi поперечники класiв Lψβ,p перiодичних функцiй... 85
� 2−l/q
( 2l∑
j=1
|δlgj |q
)1/q
. (3)
Тепер, скориставшись лемою Б, можемо записати
dm(Lψβ,p, Lq)�
∑
l
dml(L
ψ
β,p ∩ T (l), Lq ∩ T (l)) =
=
∑
l≤n
dml(L
ψ
β,p ∩ T (l), Lq ∩ T (l))+
+
∑
l>n
dml(L
ψ
β,p ∩ T (l), Lq ∩ T (l)) = I1 + I2. (4)
Оцiнимо отриманi доданки. Для I2 в силу вибору чисел ml
маємо
I2 =
∑
l>n
‖δl(f)‖q. (5)
Враховуючи, що f ∈ Lψβ,p, i використовуючи лему В, можемо
записати
‖δl(f)‖q � ψ(2l)2l(1/p−1/q)‖δl(fψβ )‖p �
� ψ(2l)2l(1/p−1/q)‖fψβ ‖p ≤ ψ(2l)2l(1/p−1/q). (6)
Пiдставивши (6) в (5), отримаємо
I2 �
∑
l>n
ψ(2l)2l(1/p−1/q).
Оскiльки за умовою теореми ψ(τ)τ1/p−1/q+ε1 не зростає, то
оцiнка величини I2 продовжується наступним чином:
I2 �
∑
l>n
ψ(2l)2l(1/p−1/q) =
∑
l>n
ψ(2l)2l(1/p−1/q+ε1)2−lε1 ≤
≤ ψ(2n)2n(1/p−1/q+ε1)
∑
l>n
2−lε1 �
86 Г.М. Власик
� ψ(2n)2n(1/p−1/q+ε1)2−nε1 = ψ(2n)2n(1/p−1/q). (7)
Оцiнимо тепер I1. В силу зазначеного вище iзоморфiзму мiж
простором полiномiв T (l) i скiнченновимiрним простором R2l ,
згiдно з оцiнками (2) i (3), можемо записати
I1 �
∑
l≤n
ψ(2l)2l(1/p−1/q)dml(B
2l
p , l
2l
q ). (8)
Далi, скориставшись лемою Г, будемо мати
dml(B
2l
p , l
2l
q )� 22lα/qm−αl ,
де α =
(
1
p −
1
q
)
/
(
1− 2
q
)
.
Тепер, враховуючи вибiр чисел ml, згiдно з (8) одержимо
I1 �
∑
l≤n
ψ(2l)2l(1/p−1/q)22lα/qm−αl =
=
∑
l≤n
ψ(2l)2l(1/p−1/q+2α/q)m−αl =
=
∑
l≤n
ψ(2l)2l(1/p−1/q+2α/q)m−α2(n−l)γα =
=
∑
l≤n
ψ(2l)2l(1/p−1/q−γα+2α/q)m−α2nγα.
Оскiльки за умовою теореми ψ(τ)τα−ε2 не спадає, то при пев-
ному виборi γ послiдовнiсть ψ(2l)2l(α−γα) теж не спадає i тому
I1 �
∑
l≤n
ψ(2l)2l(α−γα)m−α2nγα �
� ψ(2n)2n(α−γα)m−α2nγα = ψ(2n)2nαm−α.
Далi, враховуючи, що 2n � mq/2, для I1 можемо записати
I1 � ψ(2n)2nαm−α � ψ(2n)2nα2−2nα/q =
Колмогоровськi поперечники класiв Lψβ,p перiодичних функцiй... 87
= ψ(2n)2n(α−2α/q) = ψ(2n)2n(1/p−1/q). (9)
Таким чином, пiдставляючи (7) i (9) в (4), приходимо до шу-
каної оцiнки зверху у випадку а):
dm(Lψβ,p, Lq)�
� ψ(2n)2n(1/p−1/q) + ψ(2n)2n(1/p−1/q) �
� ψ(2n)2n(1/p−1/q) � ψ([m
q
2 ])m
q
2
( 1
p
− 1
q
)
.
Тепер отримаємо оцiнку зверху у випадку б).
В силу леми Д при 1 < p ≤ 2 має мiсце вкладення Lψβ,p ⊂ L
ψ̃
β,2,
де ψ̃(τ) = ψ(τ)τ1/p−1/2, i вiдповiдно
dm(Lψβ,p, Lq)� dm(Lψ̃β,2, Lq)�
� ψ̃([m
q
2 ])m
q
2
( 1
2
− 1
q
)
= ψ([m
q
2 ])m
q
2
( 1
p
− 1
2
)
m
q
2
( 1
2
− 1
q
)
=
= ψ([m
q
2 ])m
q
2
( 1
p
− 1
q
)
.
Оцiнки зверху в обох випадках одержанi.
Переходячи до встановлення вiдповiдних оцiнок знизу, роз-
глянемо спочатку випадок б). За заданим m виберемо n так, щоб
2n � mq/2. Безпосередньо iз означення колмогоровського попере-
чника можемо записати:
dm(Lψβ,p, Lq) ≥ dm(Lψβ,p ∩ T (n), Lq), (10)
де Lψβ,p ∩ T (n) — множина функцiй iз множини Lψβ,p, якi є полi-
номами iз T (n).
Далi, нехай Pn — оператор ортогонального проектування на
T (n). В силу теореми Б справедлива оцiнка
‖Pnf‖q ≤ C9(q)‖f‖q, 1 < q <∞,
88 Г.М. Власик
i тому ∀ f ∈ Lq, t ∈ T (n) маємо
‖t− f‖q ≥ C10(q)‖Pn(t− f)‖q = C10(q)‖t− Pnf‖q. (11)
Таким чином згiдно з (10) i (11)
dm(Lψβ,p, Lq) ≥ dm(Lψβ,p ∩ T (n), Lq)�
� dm(Lψβ,p ∩ T (n), Lq ∩ T (n)). (12)
Далi розглянемо полiном
t(x) = δn(f, x) ∈ Lψβ,p.
З одного боку, в силу леми А i теореми А можемо записати
‖tψβ‖p � ψ
−1(2n)‖δn(f)‖p �
� ψ−1(2n)2−n/p
( 2n∑
j=1
|δlf j |p
)1/p
. (13)
Тому, згiдно з (13), робимо висновок, що одиничнiй кулi iз
Lψβ,p∩T (n) можемо спiвставити кулю радiуса C11(p)ψ
−1(2n)2−n/p,
C11(p) > 0, iз простору l2np .
З iншого боку,
‖f‖q � ‖δn(f)‖q � 2−n/q
( 2n∑
j=1
|δlf j |q
)1/q
. (14)
Iз (14) робимо висновок, що для норм функцiй iз Lq∩T (n) i норм
вiдповiдних елементiв iз l2nq справедливе спiввiдношення
‖ · ‖q � 2−n/q‖ · ‖l2nq .
Таким чином, спiвставляючи оцiнки (10) — (14), можемо за-
писати
dm(Lψβ,p, Lq)� dm(Lψβ,p ∩ T (n), Lq ∩ T (n))�
Колмогоровськi поперечники класiв Lψβ,p перiодичних функцiй... 89
� ψ(2n)2n(1/p−1/q)dm(B2n
p , l2
n
q ). (15)
Далi, використовуючи лему Г i враховуючи, що 2n � mq/2, з (15)
будемо мати
dm(Lψβ,p, Lq)� ψ(2n)2n(1/p−1/q) � ψ([m
q
2 ])m
q
2
( 1
p
− 1
q
)
.
Оцiнку знизу у випадку а) отримаємо, використовуючи вкла-
дення
Lψ̃β,2 ⊂ C12(p)L
ψ
β,p, p ≤ 2,
де ψ̃(τ) = ψ(τ)τ1/p−1/2, в силу якого
dm(Lψβ,p, Lq) ≥ C13(p)dm(Lψ̃β,p, Lq) ≥
≥ ψ̃(2n)2n(1/2−1/q),
звiдки
dm(Lψβ,p, Lq)� ψ(2n)2n(1/p−1/q) � ψ([m
q
2 ])m
q
2
( 1
p
− 1
q
)
.
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему, доведено.
Прокоментуємо одержаний результат.
Якщо ψ(τ) = τ−r, то з доведеної теореми одержуємо наступне
твердження [17].
Теорема В. Якщо 1/p − 1/q < r < (1p −
1
q )/(1 − 2
q ) при 2 ≤ p <
< q <∞ або 1/p− 1/q < r < 1/p при 1 < p ≤ 2 < q <∞, то
dm(W r
p,β, Lq) � m
q
2
(−r+1/p−1/q).
Зауваження 1. При виконаннi умов теореми 1 пiдпростiр
тригонометричних полiномiв вигляду T (m) не реалiзує порядок
колмогоровського поперечника dm(Lψβ,p, Lq) [26].
90 Г.М. Власик
Зауваження 2. Одержане спiввiдношення (1) доповнює то-
чнi за порядком оцiнки величин dm(Lψβ,p, Lq) при 2 ≤ p < q <∞
i 1 < p ≤ 2 < q <∞, якi були одержанi в роботi [20] за iнших
умов на послiдовнiсть ψ(τ), τ ∈ N. Для зручностi порiвнянь
наведемо вiдповiдний результат.
Теорема Г. Нехай ψ(τ) ∈ Ψ, τ ∈ N, i β ∈ R. Тодi якщо
а) при 1 < p ≤ 2 < p <∞ iснує ε3 > 0 таке, що ψ(τ)τ
1
p
+ε3 не
зростає, то
dm(Lψβ,p, Lq) � ψ(m)m
1
p
− 1
2 ;
б) при 2 ≤ p < p < ∞ iснує ε4 > 0 таке, що
ψ(τ)τ
( 1
p
− 1
q
)/(1− 2
q
)+ε4 не зростає, то
dm(Lψβ,p, Lq) � ψ(m).
Таким чином, спiвставивши (1) з результатами теореми Г, ба-
чимо, що оцiнки величин dm(Lψβ,p, Lq) вiдрiзняються за поряд-
ком.
Лiтература
[1] Степанец А. И. Классификация и приближение периодических
функций. — К.: Наук. думка, 1987. — 268 с.
[2] Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. — К.: Ин–т
математики НАН Украины, 2002. — 40. — Ч. I. — 427 с.
[3] Kolmogoroff A. Über die beste annäherung von Funktionen einer
gegebenen Funktionenklasse // Ann. of Math. –– 1936. –– Vol. 37,
no. 1. –– P. 107 – 111.
[4] Стечкин С. Б. О наилучших приближениях заданных классов лю-
быми полиномами // Успехи мат. наук. — 1954. — 9, №1. — С. 133 –
134.
Колмогоровськi поперечники класiв Lψβ,p перiодичних функцiй... 91
[5] Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных про-
странствах и теория наилучших приближений // Успехи мат. на-
ук. — 1960. — 15, №3. — С. 81 – 120.
[6] Бабаджанов С. Б., Тихомиров В. М. О поперечниках одного клас-
са в пространствах Lp // Изв. АН Узб. ССР. Сер. физ.–мат. —
1967. — 2. — С. 24 – 30.
[7] Маковоз Ю. И. Об одном приеме оценки снизу поперечников мно-
жеств в банаховом пространстве // Мат. сб. — 1972. — 87, №1. —
С. 136 – 142.
[8] Соломяк М. З., Тихомиров В. М. О геометрических характеристи-
ках вложения классов Wp в C // Изв. вузов. Сер. мат. — 1967. —
№10. — С. 76 – 82.
[9] Исмагилов Р. С. Об n–мерных поперечниках компактов в гильбер-
товом пространстве // Функ. анализ и его приложения. — 1968. —
2, №2. — С. 32 – 39.
[10] Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормирован-
ных пространствах и приближение функций тригонометрически-
ми полиномами // Успехи мат. наук. — 1974. — 29, №3. — С. 161 –
178.
[11] Глускин Е. Д. Об оценках норм некоторых p–абсолютно сумми-
рующих операторов // Функ. анализ. — 1978. — 12, №2. — С. 23 –
31.
[12] Глускин Е. Д. Об одной задаче о поперечниках // Докл. АН СС-
СР. — 1974. — 219, №3. — С. 527 – 530.
[13] Майоров В. Е. Дискретизация задачи о поперечниках // Успехи
мат. наук. — 1975. — 30, №6. — С. 179 – 180.
[14] Кашин Б. С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и
классов гладких функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1977. —
41, №2. — С. 334 – 351.
[15] Кашин Б. С. Общие ортонормированные системы и некоторые
вопросы теории приближений (автореф. докт. дис.) // Мат. заме-
тки. — 1979. — 26, №2. — С. 292 – 315.
[16] Кашин Б. С. О поперечниках классов Соболева малой гладкости
// Вест. МГУ. Сер. мат. — 1981. — №5. — С. 50 – 54.
92 Г.М. Власик
[17] Куланин Е. Д. Оценки поперечников классов Соболева малой
гладкости // Вест. МГУ. Сер. мат. — 1983. — №2. — С. 24 – 30.
[18] Галеев Э. М. Поперечники по Колмогорову классов периодиче-
ских функций одной и нескольких переменных // Изв. АН СССР.
Сер. мат. — 1990. — 54, №2. — С. 418 – 430.
[19] Степанец А. И., Кушпель А. К. Наилучшие приближения и попе-
речники классов периодических функций— Киев, 1984. — 41 с. —
(Препр./ АН УССР. Ин–т матем.; 84.15).
[20] Кушпель А. К. Поперечники классов гладких функций в про-
странстве Lq — Киев, 1987. — 54 с. — (Препр./ АН УССР. Ин–т
матем.; 87.44).
[21] Романюк А. С. Оценки наилучших приближений и поперечников
классов Lψβ,p периодических функций многих переменных. — Ки-
ев, 1988. — С. 29 – 59. — (Препр./ АН УССР. Ин–т матем.; 88.14).
[22] Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. — М.: Мир, 1965. —
Т. II. — 538 с.
[23] Галеев Э. М. Поперечники по Колмогорову классов периодиче-
ских функций многих переменных W̃ ᾱ
p и H̃ ᾱ
p в пространстве L̃p //
Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1985. — 49, №5. — С. 916 – 934.
[24] Майоров В. Е. О наилучшем приближении классов W r
1 (Is) в про-
странстве L∞(Is) // Мат. заметки. — 1976. — 19, №5. — С. 699 –
706.
[25] Тихомиров В. М. А. Н. Колмогоров и теория приближений //
Успехи мат. наук. — 1989. — 44, №1. — С. 83 – 122.
[26] Степанец А. И., Кушпель А. К. Скорость сходимости рядов Фу-
рье и наилучшие приближения в пространстве Lq // Укр. мат.
журн. — 1987. — 39, №5. — С. 483 – 492.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-269 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:42Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/16/47698628d16fe8556ea757620ebad216.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2692018-02-13T13:12:44Z Kolmogorov widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ Колмогоровські поперечники класів $L_{\beta, p}^\psi$ періодичних функцій у просторі $L_q$ Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. We find the exact order estimates of the Kolmogorov widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$ and certain limitations on the rate of decrease of the function $\psi$. Знайдено точні за порядком оцінки колмогоровських поперечників класів $L_{\beta, p}^\psi$ у просторі $L_q$ для деяких співвідношень між параметрами $p$ і $q$ за певних обмежень на швидкість спадання функції $\psi$. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/269 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 76-92 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 76-92 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 76-92 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/269/295 Авторське право (c) 2017 Г. М. Власик |
| spellingShingle | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. Kolmogorov widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title | Kolmogorov widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title_alt | Колмогоровські поперечники класів $L_{\beta, p}^\psi$ періодичних функцій у просторі $L_q$ |
| title_full | Kolmogorov widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title_fullStr | Kolmogorov widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title_full_unstemmed | Kolmogorov widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title_short | Kolmogorov widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title_sort | kolmogorov widths of the classes $l_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $l_q$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/269 |
| work_keys_str_mv | AT vlasykhm kolmogorovwidthsoftheclasseslbetappsiofperiodicfunctionsinthespacelq AT vlasikgm kolmogorovwidthsoftheclasseslbetappsiofperiodicfunctionsinthespacelq AT vlasykhm kolmogorovsʹkípoperečnikiklasívlbetappsiperíodičnihfunkcíjuprostorílq AT vlasikgm kolmogorovsʹkípoperečnikiklasívlbetappsiperíodičnihfunkcíjuprostorílq |