Necessary conditions for convergence for one class of two-dimensional continuous fractions with complex elements
The necessary conditions of convergence for two-dimensional continued fractions which elements belong to some angular sets of right half-plane have been established.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/276 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552775668203520 |
|---|---|
| author | Antonova, T. M. Sus, O. M. Антонова, Т. М. Сусь, О. М. |
| author_facet | Antonova, T. M. Sus, O. M. Антонова, Т. М. Сусь, О. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Т. М. Антонова",
"institution": "Національний університет «Львівська політехніка»"
},
{
"author": "О. М. Сусь",
"institution": "Інститут прикладних проблем механіки і математики НАН україни імені Я.С. Підстригача, Львів"
}
] |
| author_sort | Antonova, T. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-01T10:35:50Z |
| description | The necessary conditions of convergence for two-dimensional continued fractions which elements belong to some angular sets of right half-plane have been established. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 8–28
УДК 517.524
Т. М. Антонова (Нацiональний урiверситет “Львiвська полiтехнiка”,
Львiв)
О. М. Сусь (Iнститут прикладних проблем механiки i математики НАН
україни iменi Пiдстригача, Львiв)
НЕОБХIДНI УМОВИ ЗБIЖНОСТI ДЛЯ ОДНОГО
КЛАСУ ДВОВИМIРНИХ НЕПЕРЕРВНИХ ДРОБIВ
З КОМПЛЕКСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ
The necessary conditions of convergence for two-dimensional continued
fractions which elements belong to some angular sets of right half-plane have
been established.
Встановлено необхiднi умови збiжностi двовимiрних неперервних дробiв,
елементи яких належать кутовим множинам правої пiвплощини.
Двовимiрнi неперервнi дроби (ДНД) є одним iз методiв рацiо-
нальної апроксимацiї функцiй вiд двох змiнних. Аналiтична тео-
рiя ДНД розвинута в працях Х. Кучмiнської [1], Д. Боднара [2],
J. A. Murphy, M. R. O’Donohoe [3], A. Cuyt, B. Verdonk [4],
W. Siemaszko [5], О. Сусь [6], Т. Антонової [7]. Вiдомо, що при вив-
ченнi властивостей ДНД використовують рiзнi типи наближень. Їх
розглянуто в роботi [8].
У данiй роботi об’єктом дослiдження є ДНД вигляду
b0 +
∞
D
j=1
1
bj,0
+
∞
D
j=1
1
b0,j
+
∞
D
k=1
1
bk,k +
∞
D
j=1
1
bj+k,k
+
∞
D
j=1
1
bk,j+k
, (1)
де всi частиннi знаменники bk,j , k, j = 0, 1, . . . , k + j 6= 0, – ком-
плекснi числа, якi належать множинi
Gβ =
{
z ∈ C : z 6= 0, | arg z| ≤ β < π
2
}
, (2)
та його наближення
c© Т. М. Антонова, О. М. Сусь, 2015
Необхiднi умови збiжностi одного класу ДНД . . . 9
.
fn = b0 +
n
D
j=1
1
bj,0
+
n
D
j=1
1
b0,j
+
n
D
k=1
1
bk,k +
n−k
D
j=1
1
bj+k,k
+
n−k
D
j=1
1
bk,j+k
, (3)
n = 1, 2, . . . ,
f̂n = b0 +
[
√
n]
D
j=1
1
bj,0
+
[
√
n−1]
D
j=1
1
b0,j
+ (4)
+
[
√
n+1]−1
D
k=1
1
bk,k +
[
√
n−2k]−k
D
j=1
1
bj+k,k
+
[
√
n−2k−1]−k
D
j=1
1
bk,j+k
, n = 1, 2, . . . .
Наближення вигляду (3) називаються звичайними n-ми набли-
женнями ДНД (1), а скiнченнi ДНД вигляду (4) — n-ми фiгурними
наближеннями ДНД (1). Властивостi таких наближень розглядають-
ся у роботi [8] . Зокрема,
f̂n2+2n = fn,
тобто послiдовнiсть {fn} є пiдпослiдовнiстю послiдовностi {f̂n}.
За аналогiєю з неперервними дробами [9], ДНД (1), всi частин-
нi знаменники якого належать кутовiй множинi правої пiвплощини
вигляду (2), називаємо правильними ДНД типу Ван Флека.
Однiєю з важливих задач аналiтичної теорiї неперервних дробiв
та їх багатовимiрних узагальнень, зокрема i ДНД, є дослiдження
їх збiжностi. Деякi достатнi умови збiжностi для правильних ДНД
типу Ван Флека встановлено в роботах [10]–[12]. Що стосується необ-
хiдних умов збiжностi, то в роботi [13] встановлено аналог теореми
Штерна-Штольца для ДНД вигляду (1) з комплексними елемента-
ми.
У данiй роботi встановимо необхiднi умови збiжностi та фiгур-
ної збiжностi для правильних ДНД типу Ван Флека, дiючи за схе-
мою, запропонованою Д.Боднаром при доведеннi теорем про необхiд-
10 Т.М. Антонова, О.М. Сусь
нi умови збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв з додатними елемен-
тами [2, т. 3.2, т. 3.3], та використаною Т.Антоновою [14] при дослiд-
женнi необхiдних умов збiжностi одного класу гiллястих ланцюгових
дробiв з комплексними елементами.
Означення 1. ДНД (1) називається збiжним (фiгурно збiж-
ним), якщо iснує скiнченна границя послiдовностi його пiдхiдних
дробiв f = lim
n→∞
fn (фiгурних пiдхiдних дробiв f̂ = lim
n→∞
f̂n).
Означення 2. ДНД (1) називається розбiжним (фiгурно роз-
бiжним), якщо не iснує границi послiдовностi його наближень aбо
lim
n→∞
fn =∞ ( lim
n→∞
f̂n =∞).
Вирази вигляду
Q
(0)
j = bj,j , Q
(p+1)
k = bk,k +
p+1
D
j=1
1
bj+k,k
+
p+1
D
j=1
1
bk,j+k
+
1
Q
(p)
k+1
,
j, k = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . ,
називаються двовимiрними залишками звичайних наближень (3), а
вирази
Q
(p+1)
k+j,k = bk+j,k +
1
Q
(p)
k+j,k
, Q
(p+1)
k,k+j = bk,k+j +
1
Q
(p)
k,k+j+1
,
Q
(0)
k+j,k = bk+j,k, Q
(0)
k,k+j = bk,k+j , j = 1, 2, . . . , k, p = 0, 1, . . . ,
— їх одновимiрними залишками.
Двовимiрнi залишки фiгурних наближень вигляду (4) означимо
у такий спосiб:
Q̂
(0)
j = bj,j , Q̂
(1)
j = bj,j +
1
bj+1,j
Q̂
(2)
j = bj,j +
1
bj+1,j
+
1
bj,j+1
,
Q̂
(p)
k = bk,k +
[
√
p]
D
j=1
1
bk+j,k
+
[
√
p−1]
D
j=1
1
bk,j+k
+
1
Q̂
α(p)
k+1
,
k, j = 1, 2, . . . , p = 3, 4, . . . ,
Необхiднi умови збiжностi одного класу ДНД . . . 11
де
α(p) =
{
l2 − 1, якщо l2 + 2l ≤ p ≤ l2 + 2l + 2,
p− 3− 2l, якщо l2 + 2l + 3 ≤ p ≤ l2 + 4l + 2,
l — цiле додатне число.
Для дослiдження властивостей послiдовностей звичайних та фi-
гурних наближень ДНД (1) використовуються формули рiзницi двох
наближень, зокрема, для звичайних наближень така формула має
вигляд
fn − fm =
m∑
k=0
(−1)k
(
ϕ
(n−k)
k,1 − ϕ(m−k)
k,1 + ϕ
(n−k)
k,2 − ϕ(m−k)
k,2
)
k∏
j=1
Q
(n−j)
j Q
(m−j)
j
+
+
(−1)m
m∏
j=1
Qm−jj
m+1∏
j=1
Qn−jj
, n > m, (5)
де
ϕ
(p)
i,1 =
p
D
j=1
1
bi+j,i
=
1
Q
(p−1)
i+1,i
, ϕ
(p)
i,2 =
p
D
j=1
1
bi,i+j
=
1
Q
(p−1)
i,i+1
, (6)
ϕ
(0)
i,1 = ϕ
(0)
i,2 = 0, i = 0, 1, . . . , p = 1, 2, . . . .
Формула рiзницi f̂s+1 − f̂s, s =≥ 3, розглянута у роботi [8]:
для s = k2 + 4k + 2, k = 1, 2, . . . ,
f̂s+1 − f̂s = (−1)k
1
k+1∏
j=1
Q̂
(αj(s+1))
j
k∏
j=1
Q̂
(αj(s))
j
, (7)
для s = k2 + 2k + 2r, k = 1, 2, . . . , 0 ≤ r ≤ k,
f̂s+1 − f̂s = (−1)k
r∏
j=1
1
Q̂
(αj(s+1))
j Q̂
(αj(s))
j
(
ϕ
(k−r+1)
r,1 − ϕ(k−r)
r,1
)
, (8)
12 Т.М. Антонова, О.М. Сусь
для s = k2 + 2k + 2r + 1, k = 1, 2, . . . , 0 ≤ r ≤ k,
f̂s+1 − f̂s = (−1)k
r∏
j=1
1
Q̂
(αj(s+1))
j Q̂
(αj(s))
j
(
ϕ
(k−r+1)
r,2 − ϕ(k−r)
r,2
)
, (9)
де
α0(p) = p, αk(p) = α(αk−1(p)), k = 1, 2, . . . .
Введемо позначення
Φ
(0)
i = bi,i, Φ
(p)
i = bi,i +ϕ
(p)
i,1 +ϕ
(p)
i,2 = bi,i +
1
Q
(p−1)
i+1,i
+
1
Q
(p−1)
i,i+1
, (10)
i = 0, 1, . . . , p = 1, 2, . . . ,
Φ̂
(0)
i = bi,i, Φ̂
(1)
i = bi,i+
1
Q
(0)
i+1,i
, Φ̂
(p)
i = bi,i+
1
Q
([
√
p]−1)
i+1,i
+
1
Q
([
√
p−1]−1)
i,i+1
,
(11)
i = 0, 1, . . . , p = 2, 3, . . . .
βp,j = arg bp,j , βj,p = arg bj,p, β
(p)
i = arg Φ
(p)
i , β̂
(p)
i = arg Φ̂
(p)
i , (12)
i = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . .
Тодi двовимiрнi залишки звичайних та фiгурних наближень
ДНД (1) подамо у виглядi
Q
(0)
i = Φ
(0)
i , Q
(p)
i = Φ
(p)
i +
1
Q
(p−1)
i+1
, i, p = 1, 2, . . . , (13)
Q̂
(r)
i = Φ̂
(r)
i , Q̂
(p)
i = Φ̂
(p)
i +
1
Q̂
(α(p))
i+1
, (14)
i = 1, 2, . . . , r = 0, 1, 2, p = 3, 4, . . . ,
а їх дiйснi частини — у виглядi
<Q(0)
i = <Φ
(0)
i , <Q(p)
i = <Φ
(p)
i +
cos argQ
(p−1)
i+1∣∣∣Q(p−1)
i+1
∣∣∣ , i, p = 1, 2, . . . ,
Необхiднi умови збiжностi одного класу ДНД . . . 13
<Q̂(r)
i = <Φ̂
(r)
i , <Q̂(p)
i = <Φ̂
(p)
i +
cos arg Q̂
(α(p))
i+1∣∣∣Q̂(α(p))
i+1
∣∣∣ ,
i = 1, 2, . . . , r = 0, 1, 2, p = 3, 4, . . . .
Зауважимо, що з умови bi,j ∈ Gβ i, j = 0, 1, . . . , i+ j 6= 0, випли-
ває, що
1
bi,j
∈ Gβ , bi,i +
1
bi+1,j
∈ Gβ , . . . . Тому
Φ̂
(p)
i ∈ Gβ , Q̂
(p)
i ∈ Gβ , i = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . .
Враховуючи позначення (11), (12), формули (14), отримаємо:
|bi,i| cosβi,i ≤ <Φ̂
(p)
i ≤
∣∣∣Φ̂(p)
i
∣∣∣ ≤ |bi,i|+ 1
|bi+1,i| cosβ
+
1
|bi+1,i| cosβ
, (15)
i = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . ,
<Φ̂
(p)
i +
cosβ∣∣∣Q̂(α(p))
i+1
∣∣∣ ≤ <Q̂(p)
i ≤
∣∣∣Q̂(p)
i
∣∣∣ ≤ ∣∣∣Φ̂(p)
i
∣∣∣+
1
<Q̂(α(p))
i+1
, (16)
i = 1, 2, . . . , p = 3, 4, . . . .
З означення (14) двовимiрних залишкiв ДНД (1) i оцiнок (15),
(16) випливає, що
|bi,i| cosβi,i ≤
∣∣∣Q̂(p)
i
∣∣∣ ≤
≤ |bi,i|+
1
|bi+1,i+1| cosβi,i
+
1
|bi+1,i| cosβ
+
1
|bi,i+1| cosβ
, (17)
i = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . .
Теорема 1. ДНД (1), всi частиннi знаменники якого належать
областi (2), фiгурно розбiгається, якщо виконується хоча б одна з
умов:
(A)
lim
m→∞
2m+1∑
j=2
d̂j−1,0
d̂j,0 +
2m−2[j/2]
D
r=1
ĉj,r
d̂j,r
<∞, (18)
14 Т.М. Антонова, О.М. Сусь
де
0
D
r=1
ĉj,r
d̂j,r
= 0,
d̂p,2l−1 = |bp+2l−1,p+2l−1| cosβp+2l−1,p+2l−1,
ĉp,2l−1 = 1, l, p = 1, 2, . . . , (19)
d̂p,2l = |bp+2l,p+2l|+
1
|bp+2l+1,p+2l| cosβ
+
1
|bp+2l,p+2l+1| cosβ
,
ĉp,2l = cosβ, p = 1, 2, . . . , l = 0, 1, . . . ; (20)
(B) збiгається хоча б один з рядiв
∞∑
j=1
|bi+j,i|,
∞∑
j=1
|bi,i+j |, i = 0, 1, . . . .
Доведення. (A) Якщо у формулi (7) покласти k = 2m, отримає-
мо∣∣∣f̂k2+4k+3 − f̂k2+4k+2
∣∣∣ =
1
2m+1∏
j=1
∣∣∣Q̂(αj(k2+4k+3))
j
∣∣∣ 2m∏
j=1
∣∣∣Q̂(αj(k2+4k+2))
j
∣∣∣ =
=
1∣∣∣Q̂(α1(k2+4k+3))
1
∣∣∣
m∏
j=1
1∣∣∣Q̂(α2j−1(k2+4k+2))
2j−1 Q̂
(α2j(k2+4k+2))
2j
∣∣∣ ·
·
m∏
j=1
1∣∣∣Q̂(α2j+1(k2+4k+3))
2j Q̂
(α2j(k2+4k+3))
2j+1
∣∣∣ .
Оцiнимо вирази
1∣∣∣Q̂(α2j−1(k2+4k+2))
2j−1 Q̂
(α2j(k2+4k+2))
2j
∣∣∣ , 1∣∣∣Q̂(α2j+1(k2+4k+3))
2j Q̂
(α2j(k2+4k+3))
2j+1
∣∣∣ .
Враховуючи формулу (14) для фiгурних двовимiрних залишкiв,
маємо
1∣∣∣Q̂(α2j−1(k2+4k+2))
2j−1 Q̂
(α2j(k2+4k+2))
2j
∣∣∣ =
Необхiднi умови збiжностi одного класу ДНД . . . 15
=
1∣∣∣∣∣Φ̂(α2j−1(k2+4k+2))
2j−1 +
1
Q̂
(α2j(k2+4k+2))
2j
∣∣∣∣∣ ∣∣∣Q̂(α2j(k2+4k+2))
2j
∣∣∣ ≥
≥ 1∣∣∣Φ̂(α2j−1(k2+4k+2))
2j−1
∣∣∣ ∣∣∣Q̂(α2j(k2+4k+2))
2j
∣∣∣+ 1
.
Встановимо оцiнку зверху для
∣∣∣Q̂(α2j(p))
2j
∣∣∣, де p = k2 + 4k + 2,
j = 1, 2, . . . , m. Cпочатку зауважимо, що∣∣∣Q̂(α2m(p))
2m
∣∣∣ =
∣∣∣Q̂(2)
2m
∣∣∣ =
∣∣∣Φ̂(2)
2m
∣∣∣ ≤ |b2m,2m|+ 1
|b2m+1,2m|
+
1
|b2m,2m+1|
.
Далi, використовуючи нерiвностi (16), одержимо для j < m:∣∣∣Q̂(α2j(p))
2j
∣∣∣ ≤ ∣∣∣Φ̂(α2j(p))
2j
∣∣∣+
1∣∣∣Q̂(α2j+1(p))
2j+1
∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣Φ̂(α2j(p))
2j
∣∣∣+
1
<Φ̂
(α2j+1(p))
2j+1 +
cosβ∣∣∣Q̂(α2j+2(p))
2j+2
∣∣∣
≤
∣∣∣Φ̂(α2j(p))
2j
∣∣∣+
+
1
<Φ̂
(α2j+1(p))
2j+1 +
cosβ∣∣∣Φ̂(α2j+2(p))
2j+2
∣∣∣+
1
<Φ̂
(α2j+3(p))
2j+3 +
cosβ∣∣∣Q̂(α2j+4(p))
2j+4
∣∣∣
≤ · · · ≤
≤
∣∣∣Φ̂(α2j(p))
2j
∣∣∣+
2m−2j
D
r=1
P̂2j,r
R̂2j,r
,
де
P̂2j,2l−1 = 1, R̂2j,2l−1 = <Φ̂
(α2j+2l−1(p))
2j+2l−1 , 1 ≤ l ≤ m− j,
P̂2j,2l = cosβ, R̂2j,2l =
∣∣∣Φ̂(α2j+2l(k
2+4k+2))
2j+2l
∣∣∣ , 1 ≤ l ≤ m− j.
16 Т.М. Антонова, О.М. Сусь
Беручи до уваги ще й нерiвностi (15), робимо виснов, що∣∣∣Q̂(α2j(p))
2j
∣∣∣ ≤ d̂2j,0 +
2m−2j
D
r=1
ĉ2j,r
d̂2j,r
,
де коефiцiєнти неперервного дробу визначаються за формулами (19),
(20) i
1∣∣∣Q̂(α2j−1(k2+4k+2))
2j−1 Q̂
(α2j(k2+4k+2))
2j
∣∣∣ ≥ 1
M̂
(2m−2j)
2j + 1
, 1 ≤ j ≤ m, (21)
Дiючи аналогiчно, покажемо, що
1∣∣∣Q̂(α2j(k2+4k+3))
2j Q̂
(α2j+1(k2+4k+3))
2j+1
∣∣∣ ≥ 1
M̂
(2m−2j)
2j+1 + 1
, 1 ≤ j ≤ m.
(22)
У нерiвностях (21), (22) M̂ (2m−2j)
2j , M̂ (2m−2j)
2j+1 — вирази вигляду
M̂
(2m−2j)
2j = d̂2j−1,0
(
d̂2j,0 +
2m−2j
D
r=1
ĉ2j,r
d̂2j,r
)
,
M̂
(2m−2j)
2j+1 = d̂2j,0
(
d̂2j+1,0 +
2m−2j
D
r=1
ĉ2j+1,r
d̂2j+1,r
)
,
елементи d̂p,0, ĉp,l, d̂p,l, p, l = 1, 2, . . . , визначаються за формулами
(19), (20).
Крiм того, враховуючи оцiнку (17), одержимо
1∣∣∣Q̂(α1(k2+4k+3))
1
∣∣∣ ≥
≥ 1
|b1,1|+
1
|b2,1| cosβ
+
1
|b1,2| cosβ
+
1
|b2,2| cosβ2,2
= C.
Таким чином, ∣∣∣f̂k2+4k+3 − f̂k2+4k+2
∣∣∣ ≥
Необхiднi умови збiжностi одного класу ДНД . . . 17
≥ C
m∏
j=1
1
1 + M̂
(2m−2j)
2j
m∏
j=1
1
1 + M̂
(2m−2j)
2j+1
= C
2m+1∏
j=2
1
1 + M̂
(2m−2[j/2])
j
,
звiдки з урахуванням умови (18) випливає фiгурна розбiжнiсть
ДНД (1).
(B) Припустимо, що для деякого значення i = r ряд
∞∑
j=1
|bi+j,i|
збiгається. Це означає, що дрiб ϕ
(∞)
r,1 розбiгається (за теоремою
Штерна–Штольца [15, т. 4.19]), причому
lim
l→∞
ϕ
(2l−1)
r,1 <∞, lim
l→∞
ϕ
(2l)
r,1 <∞, lim
l→∞
ϕ
(2l−1)
r,1 6= lim
l→∞
ϕ
(2l)
r,1 . (23)
Використовуючи формулу (8) i оцiнку (17), розглянемо рiзницю∣∣∣f̂(p+r)2+2(p+r)+2r+1 − f̂(p+r)2+2(p+r)+2r
∣∣∣ =
=
∣∣∣ϕ(p+1)
r,1 − ϕ(p)
r,1
∣∣∣
r∏
j=1
∣∣∣Q̂(αj((p+r)2+2(p+r)+2r+1))
j Q̂
(αj((p+r)2+2(p+r)+2r))
j
∣∣∣ ≥
≥
∣∣∣ϕ(p+1)
r,1 − ϕ(p)
r,1
∣∣∣
r∏
j=1
(
|bj,j |+
1
|bj+1,j+1| cosβ
+
1
|bj+1,j | cosβ
+
1
|bj,j+1| cosβ
)2 .
Спрямовуючи p→∞, отримаємо
lim
p→∞
∣∣∣f̂(p+r)2+2(p+r)+2r+1 − f̂(p+r)2+2(p+r)+2r
∣∣∣ ≥
≥
lim
p→∞
∣∣∣ϕ(p+1)
r,1 − ϕ(p)
r,1
∣∣∣
r∏
j=1
(
|bj,j |+
1
|bj+1,j+1| cosβ
+
1
|bj+1,j | cosβ
+
1
|bj,j+1| cosβ
)2 ,
отже, ДНД (1) фiгурно розбiгається.
18 Т.М. Антонова, О.М. Сусь
Якщо для деякого значення i = r ряд
∞∑
j=1
|bi,i+j | збiгається, то
дiючи аналогiчно з урахуванням формули (9), доходимо висновку,
що
lim
p→∞
∣∣∣f̂(p+r)2+2(p+r)+2r+2 − f̂(p+r)2+2(p+r)+2r+1
∣∣∣ ≥
≥
lim
p→∞
∣∣∣ϕ(p+1)
r,2 − ϕ(p)
r,2
∣∣∣
r∏
j=1
(
|bj,j |+
1
|bj+1,j+1| cosβ
+
1
|bj+1,j | cosβ
+
1
|bj,j+1| cosβ
)2 .
Теорема доведена.
Припустимо тепер, що для елементiв ДНД (1) справджуються
наступнi умови
|β0,1| ≥ |β0,2| ≥ . . . , |β1,0| ≥ |β2,0| ≥ . . . ,
∞∑
j=1
|β0,j | <
π
4
,
∞∑
j=1
|βj,0| <
π
4
, (24)
bk,k ∈ Gk, bj+k,j ∈ Gk+j , bj,k+j ∈ Gk+j , j = 0, 1, . . . , k = 1, 2, . . . ,
(25)
де
Gk = {z ∈ C, z 6= 0, | arg z| ≤ θk} , k = 1, 2, . . . , (26)
θk, k = 1, 2, . . . , — такi невiд’ємнi сталi, що
θ1 ≥ θ2 ≥ . . . ≥ θk ≥ . . . , k = 1, 2, . . . ,
∞∑
k=1
θk <
π
4
. (27)
Тодi
Φ
(p)
k ∈ Gk, Q
(p)
k ∈ Gk, Q
(p)
k+j,k ∈ Gk+j , Q
(p)
k,k+j ∈ Gk+j , (28)
j, k = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . ,
Q
(p)
0,k ∈ G0,k = {z ∈ C, z 6= 0, | arg z| ≤ β0,k} ,
Q
(p)
k,0 ∈ Gk,0 = {z ∈ C, z 6= 0, | arg z| ≤ βk,0} ,
k = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . ,
(29)
Необхiднi умови збiжностi одного класу ДНД . . . 19
i
|bi,i| cosβi,i ≤ <Φ
(p)
i +
cos θi+1∣∣∣Q(p−1)
i+1
∣∣∣ ≤ <Q(p)
i ≤
∣∣∣Q(p)
i
∣∣∣ ≤ (30)
≤
∣∣∣Φ(p)
i
∣∣∣+
1
<Q(p−1)
i+1
, i, p = 1, 2, . . . .
Надалi використовуватимемо такi позначення:
ψ
(p)
k+j,k = argQ
(p)
k+j,k, ψ
(p)
k,k+j, = argQ
(p)
k,k+j , ψ
(p)
j = argQ
(p)
j , (31)
j = 1, 2, . . . , k, p = 0, 1, . . . ,
Ψ
(p)
k,1 =
p∑
j=1
ψ
(p−j)
k+j,k, Ψ
(p)
k,2 =
p∑
j=1
ψ
(p−j)
k,k+j , Ψ
(p)
i =
i∑
j=1
ψ
(p−j)
j , (32)
k = 0, 1, . . . , i, p = 1, 2, . . . .
Зауважимо, що∣∣∣Q(p)
i+j,j
∣∣∣ =
∣∣∣Q(p)
i+j,j exp (−βi+j,j)
∣∣∣ ≥ <(Q(p)
i+j,j exp (−βi+j,j)
)
=
= |bi+j,j |+
cos
(
βi+j,j + ψ
(p−1)
i+j+1,j
)
∣∣∣Q(p−1)
i+j+1,j
∣∣∣ ≥ |bi+j,j |+
cos (2θi+j)∣∣∣Q(p−1)
i+j+1,j
∣∣∣ ,∣∣∣Q(p)
j,i+j
∣∣∣ ≥ <(Q(p)
j,i+j exp (−βj,i+j)
)
≥ |bj,i+j |+
cos (2θi+j)∣∣∣Q(p−1)
j,i+j+1
∣∣∣ ,
i, p = 1, 2, . . . , j = 0, 1, . . . ,
тому∣∣∣Φ(p)
j
∣∣∣ ≤ |bj,j |+ 1
|bj+1,j |
+
1
|bj,j+1|
, j = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . . (33)
Крiм того,
∣∣∣Q(p)
j
∣∣∣ ≥ <(Q(p)
j exp (−βj,j)
)
= |bj,j |+ <
exp
(
−βj,j − ψ(p−1)
j+1,j
)
∣∣∣Q(p−1)
j+1,j
∣∣∣ +
20 Т.М. Антонова, О.М. Сусь
+<
exp
(
−βj,j − ψ(p−1)
j,j+1
)
∣∣∣Q(p−1)
j,j+1
∣∣∣ + <
exp
(
−βj,j − ψ(p−1)
j+1,j+1
)
∣∣∣Q(p−1)
j+1,j+1
∣∣∣ = |bj,j |+
+
cos
(
βj,j + ψ
(p−1)
j+1,j
)
∣∣∣Q(p−1)
j+1,j
∣∣∣ +
cos
(
βj,j + ψ
(p−1)
j,j+1
)
∣∣∣Q(p−1)
j,j+1
∣∣∣ +
cos
(
βj,j + ψ
(p−1)
j+1,j+1
)
∣∣∣Q(p−1)
j+1
∣∣∣ ≥
≥ |bj,j |+
cos (2θj)∣∣∣Q(p−1)
j+1,j
∣∣∣ +
cos (2θj)∣∣∣Q(p−1)
j,j+1
∣∣∣ +
cos (2θj)∣∣∣Q(p−1)
j+1
∣∣∣ , j, p = 1, 2, . . . ,
отже,
|bi,i| ≤
∣∣∣Q(p)
i
∣∣∣ ≤ |bi,i|+ 1
|bi+1,i+1|
+
1
|bi+1,i|
+
1
|bi,i+1|
, (34)
i = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . . .
Теорема 2. ДНД (1), елементи якого задовольняють умови
(24)–(27), розбiгається, якщо виконується хоча б одна з умов
(A)
lim
m→∞
2m+1∑
j=2
dj−1,0
dj,0 +
2m−2[j/2]
D
r=1
cj,r
dj,r
<∞, (35)
де
dp,2l−1 = |bp+2l−1,p+2l−1| cosβp+2l−1,p+2l−1,
cp,2l−1 = 1, l, p = 1, 2, . . . , (36)
dp,2l = |bp+2l,p+2l|+
1
|bp+2l+1,p+2l|
+
1
|bp+2lp+2l+1|
,
cp,2l = cos θp+2l, p = 1, 2, . . . , l = 0, 1, . . . .
(37)
(B) збiгається хоча б один з рядiв
∞∑
j=1
|bi+j,i|,
∞∑
j=1
|bi,i+j |, i = 0, 1, . . .
.
Необхiднi умови збiжностi одного класу ДНД . . . 21
Доведення. Використовуючи формулу (5) рiзницi двох звичай-
них наближень, позначення (6), (10), (31)–(32), спiввiдношення (13),
(28)–(30), одержимо
< (f2m+1 − f2m) = <
(
ϕ
(2m+1)
0,1 − ϕ(2m)
0,1 + ϕ
(2m+1)
0,2 − ϕ(2m)
0,2
)
+
+<
2m∑
k=1
(−1)k
(
ϕ
(2m+1−k)
k,1 − ϕ(2m−k)
k,1 + ϕ
(2m+1−k)
k,2 − ϕ(2m−k)
k,2
)
exp
(
iΨ
(2m+1)
k + iΨ
(2m)
k
) k∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j
∣∣∣ ∣∣∣Q(2m−j)
j
∣∣∣ +
+< 1
exp
(
iΨ
(2m+1)
2m+1 + iΨ
(2m)
2m
) 2m∏
j=1
∣∣∣Q(2m−j)
j
∣∣∣ 2m+1∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j
∣∣∣ =
=
cos
(
Ψ
(2m+1)
0,1 + Ψ
(2m)
0,1
)
2m∏
j=1
∣∣∣Q(2m−j)
j,0
∣∣∣ 2m+1∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j,0
∣∣∣ +
cos
(
Ψ
(2m+1)
0,2 + Ψ
(2m)
0,2
)
)
2m∏
j=1
∣∣∣Q(2m−j)
0,j
∣∣∣ 2m+1∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
0,j
∣∣∣+
+
cos
(
Ψ
(2m+1)
2m+1 + Ψ
(2m)
2m
)
2m∏
j=1
∣∣∣Q(2m−j)
j
∣∣∣ 2m+1∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j
∣∣∣ +
2m∑
k=1
1
k∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j Q
(2m−j)
j
∣∣∣×
×
cos
(
Ψ
(2m+1)
k,1 + Ψ
(2m)
k,1 + Ψ
(2m+1)
k + Ψ
(2m)
k
)
2m+1−k∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−k−j)
k+j,k
∣∣∣ 2m−k∏
j=1
∣∣∣Q(2m−k−j)
k+j,k
∣∣∣ +
+
cos
(
Ψ
(2m+1)
k,2 + Ψ
(2m)
k,2 + Ψ
(2m+1)
k + Ψ
(2m)
k
)
2m+1−k∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−k−j)
k,k+j
∣∣∣ 2m−k∏
j=1
∣∣∣Q(2m−k−j)
k,k+j
∣∣∣
.
22 Т.М. Антонова, О.М. Сусь
Використовуючи позначення (31), (32), умови (24)–(27), зауважи-
мо, що
Ψ
(2m+1)
0,1 + Ψ
(2m)
0,1 ≤
2m+1∑
j=1
βj,0 +
2m∑
j=1
βj,0 <
π
2
,
Ψ
(2m+1)
0,2 + Ψ
(2m)
0,2 ≤
2m+1∑
j=1
β0,j +
2m∑
j=1
β0,j <
π
2
,
Ψ
(2m+1)
k,1 + Ψ
(2m)
k,1 + Ψ
(2m+1)
k + Ψ
(2m)
k ≤
≤
2m+1−k∑
j=1
θk+j +
2m−k∑
j=1
θk+j + 2
k∑
j=1
θj ≤
2m+1∑
j=1
θj +
2m∑
j=1
θj <
π
2
,
Ψ
(2m+1)
k,2 + Ψ
(2m)
k,2 + Ψ
(2m+1)
k + Ψ
(2m)
k ≤
2m+1∑
j=1
θj +
2m∑
j=1
θj ,
Ψ
(2m+1)
2m+1 + Ψ
(2m)
2m ≤
2m+1∑
j=1
θj +
2m∑
j=1
θj ,
тому
<
(
ϕ
(2m+1)
0,1 − ϕ(2m)
0,1
)
≥
cos
(
2m+1∑
j=1
βj,0 +
2m∑
j=1
βj,0
)
2m∏
j=1
∣∣∣Q(2m−j)
j,0
∣∣∣ 2m+1∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j,0
∣∣∣ =
= cos
2m+1∑
j=1
βj,0 +
2m∑
j=1
βj,0
∣∣∣ϕ(2m+1)
0,1 − ϕ(2m)
0,1
∣∣∣ ,
<
(
ϕ
(2m+1)
0,2 − ϕ(2m)
0,2
)
≥ cos
2m+1∑
j=1
β0,j +
2m∑
j=1
β0,j
∣∣∣ϕ(2m+1)
0,2 − ϕ(2m)
0,2
∣∣∣ ,
Необхiднi умови збiжностi одного класу ДНД . . . 23
<
(−1)k
(
ϕ
(2m+1−k)
k,1 − ϕ(2m−k)
k,1
)
exp
(
iΨ
(2m+1)
k + iΨ
(2m)
k
) k∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j
∣∣∣ ∣∣∣Q(2m−j)
j
∣∣∣ ≥
≥
cos
(
2m+1∑
j=1
θj +
2m∑
j=1
θj
)∣∣∣ϕ(2m+1−k)
k,1 − ϕ(2m−k)
k,1
∣∣∣
k∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j Q
(2m−j)
j
∣∣∣ > 0, 1 ≤ k ≤ 2m,
<
(−1)k
(
ϕ
(2m+1−k)
k,2 − ϕ(2m−k)
k,2
)
exp
(
iΨ
(2m+1)
k + iΨ
(2m)
k
) k∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j
∣∣∣ ∣∣∣Q(2m−j)
j
∣∣∣ ≥
≥
cos
(
2m+1∑
j=1
θj +
2m∑
j=1
θj
)∣∣∣ϕ(2m+1−k)
k,2 − ϕ(2m−k)
k,2
∣∣∣
k∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j Q
(2m−j)
j
∣∣∣ > 0, 1 ≤ k ≤ 2m,
< 1
exp
(
iΨ
(2m+1)
2m+1 + iΨ
(2m)
2m
) 2m∏
j=1
∣∣∣Q(2m−j)
j
∣∣∣ 2m+1∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j
∣∣∣ ≥
≥ 1
2m∏
j=1
∣∣∣Q(2m−j)
j
∣∣∣ 2m+1∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j
∣∣∣ cos
2m+1∑
j=1
θj +
2m∑
j=1
θj
.
Отже,
< (f2m+1 − f2m) ≥ cos
2m+1∑
j=1
βj,0 +
2m∑
j=1
βj,0
∣∣∣ϕ(2m+1)
0,1 − ϕ(2m)
0,1
∣∣∣+
24 Т.М. Антонова, О.М. Сусь
+cos
2m+1∑
j=1
β0,j +
2m∑
j=1
β0,j
∣∣∣ϕ(2m+1)
0,2 − ϕ(2m)
0,2
∣∣∣+
+
2m∑
k=1
∣∣∣ϕ(2m+1−k)
k,1 − ϕ(2m−k)
k,1
∣∣∣+
∣∣∣ϕ(2m+1−k)
k,2 − ϕ(2m−k)
k,2
∣∣∣
k∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j Q
(2m−j)
j
∣∣∣ +
+
1
2m∏
j=1
∣∣∣Q(2m−j)
j
∣∣∣ 2m+1∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j
∣∣∣
cos
2m+1∑
j=1
θj +
2m∑
j=1
θj
. (38)
Далi застосовуємо методику доведення теореми 1, використову-
ючи нерiвностi (38) i оцiнки (30), (33), (34).
(A) З нерiвностi (38) маємо, що
< (f2m+1 − f2m) ≥
cos
(
2m+1∑
j=1
θj +
2m∑
j=1
θj
)
2m∏
j=1
∣∣∣Q(2m−j)
j
∣∣∣ 2m+1∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−j)
j
∣∣∣ =
1∣∣∣Q(2m)
1
∣∣∣
cos
(
2m+1∑
j=1
θj +
2m∑
j=1
θj
)
m∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−2j)
2j−1 Q
(2m−2j)
2j
∣∣∣ m∏
j=1
∣∣∣Q(2m+1−2j)
2j Q
(2m−2j)
2j+1
∣∣∣ .
З формули (13) випливає, що для
1∣∣∣Q(2m−2j+1)
2j−1 Q
(2m−2j)
2j
∣∣∣ справд-
жується нерiвнiсть
1∣∣∣Q(2m−2j+1)
2j−1 Q
(2m−2j)
2j
∣∣∣ ≥ 1∣∣∣Φ(2m−2j+1)
2j−1
∣∣∣ ∣∣∣Q(2m−2j))
2j
∣∣∣+ 1
,
Необхiднi умови збiжностi одного класу ДНД . . . 25
а для
1∣∣∣Q(2m−2j+1)
2j−1 Q
(2m−2j)
2j
∣∣∣ — нерiвнiсть
1∣∣∣Q(2m−2j+1)
2j Q
(2m−2j)
2j+1
∣∣∣ ≥ 1∣∣∣Φ(2m−2j+1)
2j
∣∣∣ ∣∣∣Q(2m−2j))
2j+1
∣∣∣+ 1
.
Враховуючи рiвностi
∣∣∣Q(0))
2m
∣∣∣ =
∣∣∣Φ(0))
2m
∣∣∣ , ∣∣∣Q(0))
2m+1
∣∣∣ =
∣∣∣Φ(0))
2m+1
∣∣∣ i
нерiвнiсть (30), отримаємо:
∣∣∣Q(2m−2j)
2j
∣∣∣ ≤ ∣∣∣Φ(2m−2j)
2j
∣∣∣+
2m
D
r=1
P2j,r
R2j,r
,
∣∣∣Q(2m−2j)
2j+1
∣∣∣ ≤ ∣∣∣Φ(2m−2j)
2j+1
∣∣∣+
2m
D
r=1
P2j+1,r
R2j+1,r
,
де
P2j,2l−1 = P2j+1,2l−1 = 1, P2j,2l = cos θ2j+2l, P2j+1,2l = cos θ2j+2l+1,
R2j,2l−1 = <Φ
(2m−2j−2l+1)
2j+2l−1 , R2j+1,2l−1 = <Φ
(2m−2j−2l+1)
2j+2l ,
R2j,2l =
∣∣∣Φ(2m−2j−2l))
2j+2l
∣∣∣ , R2j+1,2l =
∣∣∣Φ(2m−2j−2l))
2j+2l+1
∣∣∣ , 1 ≤ l ≤ m− j.
Використвуючи для оцiнки частинних знаменникiв неперервних
дробiв нерiвностi (30), (33), доходимо висновку, що
1∣∣∣Φ(2m−2j+1))
2j−1
∣∣∣ ∣∣∣Q(2m−2j))
2j
∣∣∣+ 1
≥ 1
M
(2m−2j)
2j + 1
, 1 ≤ j ≤ m,
1∣∣∣Φ(2m+1−2j)
2j
∣∣∣ ∣∣∣Q(2m−2j)
2j+1
∣∣∣+ 1
≥ 1
M
(2m−2j)
2j+1 + 1
, 1 ≤ j ≤ m,
де
M
(2m−2j)
2j = d2j−1,0
(
d2j,0 +
2m−2j
D
r=1
c2j,r
d2j,r
)
,
26 Т.М. Антонова, О.М. Сусь
M
(2m−2j)
2j+1 = d2j,0
(
d2j+1,0 +
2m−2j
D
r=1
ĉ2j+1,r
d̂2j+1,r
)
,
елементи dp,0, cp,l, dp,l, p, l = 1, 2, . . . , визначаються згiдно з фор-
мулами (36), (37).
Таким чином,
|f2m+1 − f2m| ≥ C
2m+1∏
j=2
1
1 +M
(2m−2[j/2])
j
,
де
C =
1
|b1,1|+
1
|b2,1|
+
1
|b1,2|
+
1
|b2,2|
,
звiдки з урахуванням умови (35) випливає фiгурна розбiжнiсть
ДНД (1).
(B) З нерiвностей (38), (34) випливає, що
< (f2m+1 − f2m) > cos
2
∞∑
j=1
βj,0
∣∣∣ϕ(2m+1)
0,1 − ϕ(2m)
0,1
∣∣∣ , (39)
< (f2m+1 − f2m) > cos
2
∞∑
j=1
β0,j
∣∣∣ϕ(2m+1)
0,2 − ϕ(2m)
0,2
∣∣∣ , (40)
< (f2m+1 − f2m) >
cos
(
2
∞∑
j=1
θj
)∣∣∣ϕ(2m+1−k)
k,1 − ϕ(2m−k)
k,1
∣∣∣
k∏
j=1
(
|bj,j |+
1
|bj+1,j+1|
+
1
|bj+1,j |
+
1
|bj,j+1|
)2 ,
(41)
< (f2m+1 − f2m) >
cos
(
2
∞∑
j=1
θj
)∣∣∣ϕ(2m+1−k)
k,2 − ϕ(2m−k)
k,2
∣∣∣
k∏
j=1
(
|bj,j |+
1
|bj+1,j+1|
+
1
|bj+1,j |
+
1
|bj,j+1|
)2 .
(42)
Необхiднi умови збiжностi одного класу ДНД . . . 27
Якщо ряд
∞∑
j=1
|bj,0| збiгається, то, з урахуванням нерiвностей (23),
(39), отримаємо
lim
m→∞
< (f2m+1 − f2m) ≥ cos
2
∞∑
j=1
βj,0
lim
m→∞
∣∣∣ϕ(2m+1)
0,1 − ϕ(2m)
0,1
∣∣∣ > 0.
З нерiвностей (23), (40) i збiжностi ряду
∞∑
j=1
|b0,j | випливає, що
lim
m→∞
< (f2m+1 − f2m) ≥ cos
2
∞∑
j=1
β0,j
lim
m→∞
∣∣∣ϕ(2m+1)
0,2 − ϕ(2m)
0,2
∣∣∣ > 0.
У випадку збiжностi ряду
∞∑
j=1
|bi+j,i|, i > 0, використовуємо
нерiвностi (23), (41):
lim
m→∞
< (f2m+1 − f2m) ≥
cos
(
2
∞∑
j=1
θj
)
lim
m→∞
∣∣∣ϕ(2m+1−k)
k,1 − ϕ(2m−k)
k,1
∣∣∣
k∏
j=1
(
|bj,j |+
1
|bj+1,j+1|
+
1
|bj+1,j |
+
1
|bj,j+1|
)2 ,
збiжностi ряду
∞∑
j=1
|bi,i+j |, i > 0 — нерiвностi (23), (42):
lim
m→∞
< (f2m+1 − f2m) ≥
cos
(
2
∞∑
j=1
θj
)
lim
m→∞
∣∣∣ϕ(2m+1−k)
k,2 − ϕ(2m−k)
k,2
∣∣∣
k∏
j=1
(
|bj,j |+
1
|bj+1,j+1|
+
1
|bj,j+1|
+
1
|bj,j+1|
)2 ,
чим завершуємо доведення.
Зауважимо, що необхiднi умови збiжностi для наближень вигля-
ду (4) встановлено вперше, а для наближень вигляду (3) узгоджу-
ються з отриманими ранiше результатами [10, c. 22], [13].
28 Т.М. Антонова, О.М. Сусь
1. Кучмiнська Х. Двовимiрнi неперервнi дроби. — Львiв: Iнститут приклад-
них проблем механiки i математики iм. Я. С. Пiдстригача НАН України,
2010. — 218 c.
2. Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби. — Київ: Наук. думка, 1986. —
176 c.
3. Murphy J. A., O’Donohoe M. R. A two-variable generalization of the Stieltjes-
type continued fractions// J. Comput. Appl. Math. — 1978. — №4. — P. 181 –
190.
4. Cuyt A., Verdonk B. Different techniques for the construction of multivariate
rational interpolants and Pade approximants. —Antwerpen: Universiteit
Antwerpen. — 1988. – 158 p.
5. Siemaszko W. Branched continued fraction for double power series // J.
Comput. Appl. Math. — 1980. —6, № 2. — P. 121 – 125.
6. Сусь О. М. Деякi питання аналiтичної теорiї двовимiрних ланцюгових
дробiв: Дис. ... канд. фiз.-мат. наук. — Львiв, 1996. —123 c.
7. Антонова Т. М., Сусь О. М. Деякi достатнi умови збiжностi послiдовно-
стей фiгурних наближень парного i непарного порядкiв для двовимiрних
неперервних дробiв з дiйсними елементами // Вiсник НУ "Львiвська полi-
технiка". Фiз.-мат. науки. — 2009. — № 660. — С. 49 – 55.
8. Антонова Т. М., Сусь О. М. Формула рiзницi для одного з фiгурних
наближень двовимiрних неперервних дробiв // Мат. методи та фiз.-мех.
поля. — 2012. —55, № 1. — C. 7 – 18.
9. Gragg W. B., Warner D. D. Two constructive results in continued fractions //
SIAM J.Numer. Anal. 1983. —20, № 3. — P. 1187 — 1197.
10. Боднар Д. I., Кучмiнська Х. Й. Аналог теореми Ван Флека для двовимiр-
них неперервних дробiв // Мат. методи та фiз.- мех. поля. — 1999. —42,
№ 4. — C. 55 — 61.
11. Сусь О. М. Про один з аналогiв методу фундаментальних нерiвностей
для двовимiрних неперервних дробiв // Прикл. проблеми механiки i ма-
тематики. — 2007. —Вип. 5. — C. 71 – 76.
12. Сусь О. М. Про оцiнку швидкостi збiжностi двовимiрних неперервних
дробiв з комплексними елементами // Прикл. проблеми механiки i мате-
матики. — 2008. — Вип. 6. — C. 115 — 123.
13. Сусь О. М. Аналог теореми Штерна–Штольца для двовимiрних непе-
рервних дробiв // Мат. методи та фiз.-мех. поля. — 2002. — 45, № 4. —
C. 119 – 123.
14. Антонова Т. М. Необхiднi умови збiжностi одного класу гiллястих ланц-
югових дробiв з комплексними елементами // Вiсник ДУ "Львiвська полi-
технiка". Прикладна математика. — 1999. — N 364. — С. 173 – 176.
15. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и при-
ложения: Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 414 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-276 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:48Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e4/39186e44c74fa07cefff8b00b301c4e4.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2762018-02-01T10:35:50Z Necessary conditions for convergence for one class of two-dimensional continuous fractions with complex elements Необхідні умови збіжності для одного класу двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами Antonova, T. M. Sus, O. M. Антонова, Т. М. Сусь, О. М. The necessary conditions of convergence for two-dimensional continued fractions which elements belong to some angular sets of right half-plane have been established. Встановлено необхідні умови збіжності двовимірних неперервних дробів, елементи яких належать кутовим множинам правої півплощини. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/276 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 8 - 28 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 8 - 28 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 8 - 28 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/276/311 |
| spellingShingle | Antonova, T. M. Sus, O. M. Антонова, Т. М. Сусь, О. М. Necessary conditions for convergence for one class of two-dimensional continuous fractions with complex elements |
| title | Necessary conditions for convergence for one class of two-dimensional continuous fractions with complex elements |
| title_alt | Необхідні умови збіжності для одного класу двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами |
| title_full | Necessary conditions for convergence for one class of two-dimensional continuous fractions with complex elements |
| title_fullStr | Necessary conditions for convergence for one class of two-dimensional continuous fractions with complex elements |
| title_full_unstemmed | Necessary conditions for convergence for one class of two-dimensional continuous fractions with complex elements |
| title_short | Necessary conditions for convergence for one class of two-dimensional continuous fractions with complex elements |
| title_sort | necessary conditions for convergence for one class of two-dimensional continuous fractions with complex elements |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/276 |
| work_keys_str_mv | AT antonovatm necessaryconditionsforconvergenceforoneclassoftwodimensionalcontinuousfractionswithcomplexelements AT susom necessaryconditionsforconvergenceforoneclassoftwodimensionalcontinuousfractionswithcomplexelements AT antonovatm necessaryconditionsforconvergenceforoneclassoftwodimensionalcontinuousfractionswithcomplexelements AT susʹom necessaryconditionsforconvergenceforoneclassoftwodimensionalcontinuousfractionswithcomplexelements AT antonovatm neobhídníumovizbížnostídlâodnogoklasudvovimírnihneperervnihdrobívzkompleksnimielementami AT susom neobhídníumovizbížnostídlâodnogoklasudvovimírnihneperervnihdrobívzkompleksnimielementami AT antonovatm neobhídníumovizbížnostídlâodnogoklasudvovimírnihneperervnihdrobívzkompleksnimielementami AT susʹom neobhídníumovizbížnostídlâodnogoklasudvovimírnihneperervnihdrobívzkompleksnimielementami |