Exact estimates of products of internal radii of non-overlapping domains in the complex plane
Paper is devoted to extremal problems of geometric function theory of complex variableassociated with estimates of functionals defined on systems ofnon-overlapping domains
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/279 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552775713292288 |
|---|---|
| author | Bahtin, A. K. Dvorak, I. Y. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Дворак, И. Я. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Дворак, И. Я. Денага, И. В. |
| author_facet | Bahtin, A. K. Dvorak, I. Y. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Дворак, И. Я. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Дворак, И. Я. Денага, И. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. К. Бахтин",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
},
{
"author": "И. Я. Дворак",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
},
{
"author": "И. В. Денега",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Bahtin, A. K. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-01T10:42:44Z |
| description | Paper is devoted to extremal problems of geometric function theory of complex variableassociated with estimates of functionals defined on systems ofnon-overlapping domains |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 29–36
УДК 517.54
А. К. Бахтин, И. Я. Дворак, И. В. Денега (Институт математики
НАН Украины, Киев)
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ВНУТРЕННИХ
РАДИУСОВ ВЗАИМНО НЕПЕРЕСИКАЮЩИХСЯ ОБ-
ЛАСТЕЙ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
Paper is devoted to extremal problems of geometric function theory of complex
variable associated with estimates of functionals defined on systems of non-
overlapping domains.
Работа посвящена исследованию экстремальных задач геометрической
теории функций комплексного переменного, связанных с оценками функ-
ционалов, заданных на системах непересекающихся областей.
В настоящее время задачи об экстремальном разбиении занимают
значительное место в геометрической теории функций комплексного
переменного и имеют богатую историю (см., например, [1–14]). Мно-
гие задачи такого плана сводятся к определению максимума про-
изведения внутренних радиусов на системах попарно неналегающих
областей, удовлетворяющих определенным условиям. Подробнее с
историей данного вопроса можно ознакомиться в работах [1–14].
Пусть N, R – множество натуральных и вещественных чисел со-
ответственно, C – комплексная плоскость, C = C
⋃
{∞} – ее одното-
чечная компактификация, R+ = (0,∞). Пусть r(B, a) – внутренний
радиус области B ⊂ C, относительно точки a ∈ B (см., например, [5,
7, 8]).
Пусть n ∈ N, n > 2. Систему точек An :=
{
ak ∈ C : k = 1, n
}
назовем n-лучевой , если |ak| ∈ R+ при k = 1, n,
0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π.
Обозначим при этом Pk(An) := {w : arg ak < argw < arg ak+1},
an+1 := a1, αk := 1
π arg ak+1
ak
, αn+1 := α1, k = 1, n. Данная работа
базируется на применении кусочно-разделяющего преобразования,
развитого в работах [4, 5, 8].
c© А. К. Бахтин, И. Я. Дворак, И. В. Денега, 2015
30 А. К. Бахтин, И. Я. Дворак, И. В. Денега
Рассмотрим задачу: показать, что максимум функционала
Jn(γ) = [r (B0, 0) r (B∞,∞)]
γ
n∏
k=1
r (Bk, ak) , (1)
где γ ∈ R+, An = {ak}nk=1 – n-лучевая система точек, расположенная
на единичной окружности, B0, B∞, {Bk}nk=1 – совокупность ненале-
гающих областей, ak ∈ Bk, k = 0, n, a0 = 0,∞ ∈ B∞, достигается для
некоторой конфигурации из областей Bk, B∞ и точек ak, k = 0, n,
которые имеют n-кратную симметрию.
При γ = 1
2 и n > 2 оценка для функционала (1) для систем
непересекающихся областей была впервые получена в работе [4]. В
работе [6] результат [4] был усилен. Задача об оценке функционала
(1) при начальных значениях натурального параметра n также рас-
сматривалась в статьях [13, 14]. В данной работе получены оценки
функционала (1) при n ∈ {2, 3} на более широком, нежели в работах
[6,13,14], интервале значений параметра γ.
Теорема 1. Пусть 0 < γ 6 γ2, γ2 = 0, 71. Тогда для любой 2-
лучевой системы точек A2 = {ak}2k=1 такой, что |ak| = 1, k ∈ {1, 2}
и любого набора взаимно непересекающихся областей B0, B1, B2,
B∞ (a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, a1 ∈ B1 ⊂ C, a2 ∈ B2 ⊂ C ),
справедливо неравенство
[r (B0, 0) r (B∞,∞)]
γ
r (B1, a1) r (B2, a2) 6
6 [r (Λ0, 0) r (Λ∞,∞)]
γ
r (Λ1, λ1) r (Λ2, λ2) ,
где области Λ0, Λ∞, Λ1, Λ2 и точки 0,∞, λ1, λ2 — круговые области
и соответственно полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw
4 + (4− 2γ)w2 + γ
w2(w2 − 1)2
dw2.
Теорема 2. Пусть 0 < γ 6 γ3, γ3 = 1, 38. Тогда для любой 3-
лучевой системы точек A3 = {ak}3k=1 такой, что |ak| = 1, k ∈
{1, 2, 3} и любого набора взаимно непересекающихся областей B0,
B1, B2, B3, B∞ (a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C,
Точные оценки произведений внутренних радиусов . . . 31
k = 1, 3 ), справедливо неравенство
[r (B0, 0) r (B∞,∞)]
γ
3∏
k=1
r (Bk, ak) 6
6 [r (Λ0, 0) r (Λ∞,∞)]
γ
3∏
k=1
r (Λk, λk) ,
где области Λ0, Λ∞, Λ1, Λ2, Λ3 и точки 0, ∞, λ1, λ2, λ3 – круговые
области и соответственно полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw
6 + (9− 2γ)w3 + γ
w2(w3 − 1)2
dw2.
Доказательство теоремы 1. Доказательство основано на при-
менении разделяющего преобразования (см., например, [4, с. 48; 5,
с. 27 – 30; 8, с. 120 – 124; 7, с. 87 – 92]). Аналогично [7, с. 261], рассмот-
рим систему функций ζ = πk(w) = −i
(
e−iθkw
) 1
αk , k ∈ {1, 2}. Пусть
Ω
(1)
k , k ∈ {1, 2}, обозначает область плоскости ζ, полученную в ре-
зультате объединения связной компоненты множества πk(Bk
⋂
P k),
содержащей точку πk(ak), со своим симметричным отражением от-
носительно мнимой оси. В свою очередь, через Ω
(2)
k , k ∈ {1, 2}, обо-
значаем область плоскости Cζ , полученную в результате объедине-
ния связной компоненты множества πk(Bk+1
⋂
P k), содержащей точ-
ку πk(ak+1), со своим симметричным отражением относительно мни-
мой оси, Bn+1 := B1, πn(an+1) := πn(a1). Кроме того, Ω
(0)
k будет
обозначать область плоскости Cζ , полученную в результате объ-
единения связной компоненты множества πk(B0
⋂
P k), содержащей
точку ζ = 0, со своим симметричным отражением относительно мни-
мой оси. Семейство {Ω(∞)
k }2k=1 является результатом разделяющего
преобразования произвольной области B∞ относительно семейств
{Pk}2k=1 и {πk}2k=1 в точке ζ = ∞. πk(ak) := ω
(1)
k , πk(ak+1) := ω
(2)
k ,
k ∈ {1, 2}, πn(an+1) := ω
(2)
n . Из определения функций πk вытекает,
что
|πk(w) + i| ∼ 1
αk
· |w − ak|, w → ak, w ∈ Pk,
32 А. К. Бахтин, И. Я. Дворак, И. В. Денега
|πk(w)− i| ∼ 1
αk
· |w − ak+1|, w → ak+1, w ∈ Pk,
|πk(w)| ∼ |w|
1
αk , w → 0, w ∈ Pk,
|πk(w)| ∼ |w|
1
αk , w →∞, w ∈ Pk.
Используя соответствующие результаты работ [4, с. 54; 5, с. 29], име-
ем неравенства
r (Bk, ak) 6
[
(αk · αk−1)r
(
Ω
(1)
k ,−i
)
r
(
Ω
(2)
k−1, i
)] 1
2
, (2)
k = 1, 2, Ω
(2)
0 := Ω(2)
n , ω
(2)
0 := ω(2)
n ,
r (B0, 0) 6
[
2∏
k=1
rα
2
k
(
Ω
(0)
k , 0
)] 1
2
, (3)
r (B∞,∞) 6
[
2∏
k=1
rα
2
k
(
Ω
(∞)
k ,∞
)] 1
2
. (4)
На основании соотношений (2) — (4) получаем неравенство
J2(γ) 6
2∏
k=1
(
r
(
Ω
(0)
k , 0
)
r
(
Ω
(∞)
k ,∞
)) γα2
k
2 ×
×
(
α2
k · r
(
Ω
(1)
k ,−i
)
· r
(
Ω
(2)
k , i
)) 1
2
.
Далее, аналогично работам [7, с. 262; 9, с. 871], из последнего соот-
ношения имеем
J2(γ) 6 4
(
2∏
k=1
αk
)
×
×
2∏
k=1
(r (Ω
(0)
k , 0
)
r
(
Ω
(∞)
k ,∞
))γα2
k
·
r
(
Ω
(1)
k ,−i
)
r
(
Ω
(2)
k , i
)
4
1
2
.
Точные оценки произведений внутренних радиусов . . . 33
Каждое выражение, стоящее в фигурных скобках последнего нера-
венства, является значением функционала
Kτ = [r (B0, 0) r (B∞,∞)]
τ2
· r (B1, a1) r (B2, a2)
|a1 − a2|2
(5)
на системе неналегающих областей {Ω(0)
k ,Ω
(1)
k ,Ω
(2)
k ,Ω
(∞)
k }, и соответ-
ствующей системе точек {0,−i, i,∞} (k ∈ {1, 2}). На основании тео-
ремы 4.1.1 [7, с. 167] и инвариантности функционала (5) получаем
оценку
Kτ 6 Φ(τ), τ ≥ 0,
где Φ(τ) = τ2τ
2 · |1− τ |−(1−τ)2 · (1 + τ)−(1+τ)
2
. Тогда
J2(γ) 6 4 ·
(
2∏
k=1
αk
)[
2∏
k=1
Φ(τk)
]1/2
6
6
4
γ
·
[
2∏
k=1
(
τ
2τ2
k+2
k · |1− τk|−(1−τk)
2
· (1 + τk)−(1+τk)
2
)] 1
2
,
где τk =
√
γ · αk, k = 1, 2. Рассмотрим подробнее функцию
Ψ(x) = x2x
2+2 · |1− x|−(1−x)
2
· (1 + x)−(1+x)
2
.
Ψ(x) – логарифмически выпуклая на промежутке [0, x0], где x0 ≈
0, 88441, Ψ(x0) = 0, 07002. На промежутке (0, x1] (x1 ≈ 0, 58142 – точ-
ка максимума функции Ψ(x), Ψ(x1) ≈ 0, 08674) функция возрастает
от значения Ψ(0) = 0 до Ψ(x1), и убывает на промежутке (x1,∞). Да-
лее мы используем метод, предложенный в работе [12]. Рассмотрим
экстремальную задачу
2∏
k=1
Ψ(xk) −→ max,
2∑
k=1
xk = 2
√
γ, xk = αk
√
γ.
Пусть F (x) = ln (Ψ(x)) и
{
x
(0)
k
}2
k=1
— произвольный экстремальный
набор точек выше указанной задачи. Следуя работе [12] непосред-
ственно получаем
F ′(x
(0)
k ) = F ′(x
(0)
j ), k, j = 1, n, (6)
34 А. К. Бахтин, И. Я. Дворак, И. В. Денега
F ′(x) = 4x lnx− 2(x− 1) ln |1− x| − 2(x+ 1) ln(x+ 1) +
2
x
.
Легко показать, что функция F ′(x) убывает на интервале (0, x0] и
возрастает на (x0,∞). На основании соотношения (6) проводим до-
казательство нашей теоремы. Положим Φ(x) = F ′(x) = t, y0 6 t 6 0,
y0 ≈ −1, 06. Найдем решение уравнения Φ(x) = tk, k = 1, 11, где tk
пробегает множество t1 = −0, 1; t2 = −0, 2; t3 = −0, 3; t4 = −0, 4; t5 =
−0, 5; t6 = −0, 6; t7 = −0, 7; t8 = −0, 8; t9 = −0, 9; t10 = −1; t11 = y0.
Из свойств функции F ′(x) следует, что уравнение Φ(x) = tk имеет
два решения, первое из которых x1(tk) ∈ (0, x0], а второе x2(tk) ∈
[x0,∞). Непосредственные вычисления приводят нас к следующей
таблице значений функции F ′(x).
k tk x1(tk) x2(tk) x1(tk) + x2(tk+1) 2x1(tk) + x2(tk+1)
1 -0,1 0,595614 1,588941
2 -0,2 0,610729 1,310498 1,906112 2,501726
3 -0,3 0,626917 1,184045 1,794774 2,405503
4 -0,4 0,644375 1,110153 1,737070 2,363987
5 -0,5 0,663378 1,062338 1,706713 2,351088
6 -0,6 0,684325 1,030184 1,693562 2,356940
7 -0,7 0,707842 1,008999 1,693324 2,377640
8 -0,8 0,735017 0,997389 1,705231 2,413073
9 -0,9 0,768137 0,979982 1,714999 2,450016
10 -1 0,814378 0,947119 1,715256 2,483393
11 -1,06 0,884406 0,884406 1,698784 2,513162
Рассмотрим теперь x1(t) + x2(t), tk 6 t 6 tk+1, k = 1, 10. Из
свойств функции F ′(x) справедливо следующее неравенство
x1(t) + x2(t) > x1(tk) + x2(tk+1), tk 6 t 6 tk+1, k = 1, 10.
Используя выше указанную таблицу, получаем x1(t) + x2(t) >
1, 693324 для всех t ∈ (0, y0]. То есть, x1(t)+x2(t) > 2
√
γ2 = 1, 685229,
t ∈ (0, y0]. Далее, аналогично рассуждениям работы [12] имеем, что
для экстремального набора {x(0)1 , x
(0)
2 } возможен только случай, ко-
гда x(0)1 , x
(0)
2 ∈ (0, x0] и, следовательно, x(0)1 = x
(0)
2 . Для всех γ < γ2
все предыдущие рассуждения сохраняются. Утверждение о знаке ра-
венства проверяется непосредственно. Теорема 1 доказана.
Точные оценки произведений внутренних радиусов . . . 35
Доказательство теоремы 2 повторяет рассуждения, приведенные
при доказательстве теоремы 1, с учетом некоторых особенностей в
случае n = 3. А именно, на заключительном этапе доказательства
теоремы 2 рассмотрев серию решений уравнения Φ(x) = tk, k =
1, 11 на промежутке tk 6 t 6 tk+1, k = 1, 10, получаем следующую
цепочку неравенств
2x1(t) + x2(t) > 2x1(tk) + x2(tk+1) > 2, 351088 > 2, 349468 = 2
√
γ3.
Далее, делаем заключение, что для экстремального набора
{x(0)1 , x
(0)
2 , x
(0)
3 } возможен только случай, когда x(0)1 , x
(0)
2 , x
(0)
3 ∈ (0, x0]
и, следовательно, x(0)1 = x
(0)
2 = x
(0)
3 .
1. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений// Тр. Физ.-мат.
ин-та АН СССР. — 1934. — 5. — С. 159 — 245.
2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменно-
го. — М.: Наука, 1966. — 628 с.
3. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения.
— М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 256 с.
4. Дубинин В. Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экс-
тремальном разбиении// Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН
СССР. — 1988. — 168. — С. 48 — 66.
5. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций
комплексного переменного// Успехи мат. наук. — 1994. — 49, № 1(295). —
С. 3 — 76.
6. Кузьмина Г. В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы//
Зап. науч. сем. ПОМИ. — 2001. — 276. — С. 253 — 275.
7. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-алгебраические
структуры и геометрические методы в комплексном анализе// Працi Iн-ту
мат. НАН України. — 2008. — 73. — 308 с.
8. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической
теории функций комплексного переменного// Владивосток: "Дальнаука"
ДВО РАН, 2009. — 390 с.
9. Бахтин А. К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со сво-
бодными полюсами на окружности//Укр. мат. журн. — 2006. — 58, № 7.
— С. 867 — 886.
10. Кузьмина Г. В. Метод экстремальной метрики в задачах о максимуме
произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей при
наличии свободных параметров// Зап. науч. сем. ПОМИ. — 2003. — 302.
— С. 52 — 67.
36 А. К. Бахтин, И. Я. Дворак, И. В. Денега
11. Емельянов Е. Г. К задаче о максимуме произведения степеней конформ-
ных радиусов неналегающих областей// Зап. науч. сем. ПОМИ. — 2002.
— 286. — С. 103 — 114.
12. Ковалев Л. В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными по-
люсами на окружности// Дальневосточный матем. сборник. — 1996. — 2.
— С. 96 — 98.
13. Бахтин А. К., Денега И. В. Некоторые оценки функционалов для N -
лучевых систем точек // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання
/ Зб. праць Iн-ту мат. НАН України, 2011. — Т.8, №1. — C. 12 — 21.
14. Бахтiн А. К., В’юн В. Є. Про деякi нерiвностi в теорiї неперетинних
областей / Зб. праць Iн-ту матем. НАН України, 2014. — Т.11, №1. —
C. 141 — 152.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-279 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:48Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ea/0d2f4351d7a16ecae3655704b60068ea.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2792018-02-01T10:42:44Z Exact estimates of products of internal radii of non-overlapping domains in the complex plane Точные оценки произведений внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей в комплексной плоскости Точные оценки произведений внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей в комплексной плоскости Bahtin, A. K. Dvorak, I. Y. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Дворак, И. Я. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Дворак, И. Я. Денага, И. В. Paper is devoted to extremal problems of geometric function theory of complex variableassociated with estimates of functionals defined on systems ofnon-overlapping domains Работа посвящена исследованию экстремальных задач&nbsp;геометрической теории функций комплексного переменного, связанных с оценками функционалов, заданных на системах непересекающихся областей Работа посвящена исследованию экстремальных задач&nbsp;геометрической теории функций комплексного переменного, связанных с оценками функционалов, заданных на системах непересекающихся областей Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/279 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 29 - 36 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 29 - 36 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 29 - 36 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/279/313 |
| spellingShingle | Bahtin, A. K. Dvorak, I. Y. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Дворак, И. Я. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Дворак, И. Я. Денага, И. В. Exact estimates of products of internal radii of non-overlapping domains in the complex plane |
| title | Exact estimates of products of internal radii of non-overlapping domains in the complex plane |
| title_alt | Точные оценки произведений внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей в комплексной плоскости Точные оценки произведений внутренних радиусов взаимно непересекающихся областей в комплексной плоскости |
| title_full | Exact estimates of products of internal radii of non-overlapping domains in the complex plane |
| title_fullStr | Exact estimates of products of internal radii of non-overlapping domains in the complex plane |
| title_full_unstemmed | Exact estimates of products of internal radii of non-overlapping domains in the complex plane |
| title_short | Exact estimates of products of internal radii of non-overlapping domains in the complex plane |
| title_sort | exact estimates of products of internal radii of non-overlapping domains in the complex plane |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/279 |
| work_keys_str_mv | AT bahtinak exactestimatesofproductsofinternalradiiofnonoverlappingdomainsinthecomplexplane AT dvorakiy exactestimatesofproductsofinternalradiiofnonoverlappingdomainsinthecomplexplane AT denegaiv exactestimatesofproductsofinternalradiiofnonoverlappingdomainsinthecomplexplane AT bahtinak exactestimatesofproductsofinternalradiiofnonoverlappingdomainsinthecomplexplane AT dvorakiâ exactestimatesofproductsofinternalradiiofnonoverlappingdomainsinthecomplexplane AT denegaiv exactestimatesofproductsofinternalradiiofnonoverlappingdomainsinthecomplexplane AT bahtinak exactestimatesofproductsofinternalradiiofnonoverlappingdomainsinthecomplexplane AT dvorakiâ exactestimatesofproductsofinternalradiiofnonoverlappingdomainsinthecomplexplane AT denagaiv exactestimatesofproductsofinternalradiiofnonoverlappingdomainsinthecomplexplane AT bahtinak točnyeocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastejvkompleksnojploskosti AT dvorakiy točnyeocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastejvkompleksnojploskosti AT denegaiv točnyeocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastejvkompleksnojploskosti AT bahtinak točnyeocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastejvkompleksnojploskosti AT dvorakiâ točnyeocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastejvkompleksnojploskosti AT denegaiv točnyeocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastejvkompleksnojploskosti AT bahtinak točnyeocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastejvkompleksnojploskosti AT dvorakiâ točnyeocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastejvkompleksnojploskosti AT denagaiv točnyeocenkiproizvedenijvnutrennihradiusovvzaimnoneperesekaûŝihsâoblastejvkompleksnojploskosti |