Signs of convergence of periodic branched chain shapes of a special form
The circle (multidimensional generalization of Worpitsky's Theorem) and the oval regions of the convergence were investigated for $\overrightarrow{p}$-periodic branched continued fractions of the special form. For 1-periodic these fractions the convergence was proved, the truncation error b...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Author Affiliations: |
|
| Keywords: | keywords |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/282 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |
|
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552782576222208 |
|---|---|
| author | Bubnyak, M. M. Бубняк, М. М. |
| author_facet | Bubnyak, M. M. Бубняк, М. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. М. Бубняк",
"institution": "Тернопільський національний економічний університет"
}
] |
| author_sort | Bubnyak, M. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T22:12:24Z |
| description | The circle (multidimensional generalization of Worpitsky's Theorem) and the oval regions of the convergence were investigated for $\overrightarrow{p}$-periodic branched continued fractions of the special form. For 1-periodic these fractions the convergence was proved, the truncation error bounds was researched in the angle regions; the necessary condition was established. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 54–66
УДК 517.51
М. М.Бубняк (Тернопiльський нацiональний економiчний унiверситет,
Тернопiль)
ОЗНАКИ ЗБIЖНОСТI ПЕРIОДИЧНИХ ГIЛЛЯСТИХ
ЛАНЦЮГОВИХ ДРОБIВ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ
The circle (multidimensional generalization of Worpitsky’s Theorem) and the
oval regions of the convergence were investigated for −→p -periodic branched
continued fractions of the special form. For 1-periodic these fractions the
convergence was proved, the truncation error bounds was researched in the
angle regions; the necessary condition was established.
Для −→p -перiодичного гiллястого ланцюгового дробу спецiального вигляду
дослiджено круговi (багатовимiрне узагальнення теореми Worpitsky) та
овальнi областi збiжностi. Для 1-перiодичного гiллястого ланцюгового
дробу спецiального вигляду доведена збiжнiсть та встановлена оцiнка
швидкостi збiжностi в кутових областях; встановлена необхiдна ознака
збiжностi.
1.Вступ. Неперервний дрiб
∞
D
n=1
an
bn
=
a1|
|b1
+
a2|
|b2
+ . . . , (1)
де an, bn ∈ C, n ∈ N, називають p-перiодичним, якщо викону-
ються умови: an+p = ap i bn+p = bp, p ≥ 1, n ∈ N. Перiодич-
нi дроби використовуються при дослiдженнi максимальностi обла-
стей збiжностi (кругових, параболiчних та iн.), при доведеннi непо-
кращенностi оцiнок швидкостi збiжностi неперервних дробiв. Як-
що елементи дробу (1) задовольняють умови: lim
n→∞
anp+m = ãm i
lim
n→∞
bnp+m = b̃m, m = 1, p, то цей дрiб називають гранично-p-
перiодичним. У гранично-перiодичнi дроби розвиваються багато еле-
ментарних та спецiальних функцiй. Огляд результатiв, присвячених
таким дробам, викладено у монографiї [11].
c© М. М. Бубняк, 2015
Ознаки збiжностi перiодичних гiллястих ланцюгових дробiв . . . 55
Одним iз багатовимiрних узагальнень неперервних дробiв (1) є гiл-
лястий ланцюговий дрiб (ГЛД) вигляду
a0
(
b0 +
∞
D
k=1
ik−1∑
ik=1
ai(k)
bi(k)
)−1
=
a0
b0 +
N∑
i1=1
ai(1)
bi(1) +
i1∑
i2=1
ai(2)
bi(2) + . . .
(2)
де ai(k), bi(k) ∈ C, i(k) ∈ I, I = {i1i2 . . . ik: 1 ≤ is ≤ is−1; s ≥ 1; s =
= 1, k; i0 = N}, N – фiксоване натуральне число. Їх дослiдженням
присвяченi роботи Д. I. Боднара, Х.Й. Кучмiнської, Т.М. Антонової,
Р. I. Дмитришина, О.Є. Баран та iн. [1-4].
Послiдовнiсть {Ωn}∞n=0 iз C2 називають послiдовнiстю множин
елементiв дробу (2) i {Vn}∞n=0 – послiдовнiстю множин значень, якi
вiдповiдають {Ωn}∞n=0, якщо виконуються умови: ai(k)/bi(k) ∈ Vi(k)
та ai(k)/(bi(k) +
∑ik
ik+1=1 Vi(k+1)) ⊂ Vi(k), i(k) ∈ I. Послiдовнiсть
{Ωi(k)}∞n=0, i(k) ∈ I, називаються послiдовнiстю множин збiжностi
ГЛД (2), якщо з умов (ai(k), bi(k)) ∈ Ωi(k), i(k) ∈ I, випливає збiж-
нiсть цього дробу.
Розглянемо −→p -перiодичний гiллястий ланцюговий дрiб вигляду(
1 +
∞
D
k=1
ik−1∑
ik=1
cik,s
1
)−1
, (3)
де −→p = (p1, p2, . . . , pN ), pj ∈ N, j = 1, N ; iндекс s, 1 ≤ s ≤ pik ,
елемента cik,s залежать вiд поверху k та перiоду pik i визначається
з наступного розкладу: k = pikn + s, якщо i1 = i2 = . . . = ik, або
k − m = pikn + s, якщо i1 ≥ i2 ≥ . . . ≥ im > im+1 = . . . = ik,
n ≥ 0. Якщо pj = 1, j = 1, N , то дрiб (3) назвемо 1-перiодичним
ГЛД спецiального вигляду i позначимо cq,j = cq, q = 1, N . Нехай r
елементiв 1-перiодичного ГЛД рiвнi нулю, тобто cj1 = . . . = cjr = 0.
Тодi перепозначимо елементи, якi вiдмiннi вiд нуля, i одержимо 1-
перiодичний гiллястий ланцюговий дрiб спецiального вигляду з (N−
r) вiтками галуження. Отже, умова cq = 0, q = 1, N не зменшує
загальностi.
56 М. М. Бубняк
Визначимо рекурентно величини R(q,j)
n
R(1,j)
n = 1 +
c1,j
R
(1,j+1)
n−1
, R(q,j)
n = 1 +
q−1∑
k=1
ck,1
R
(k,2)
n−1
+
cq,j
R
(q,j+1)
n−1
(4)
при початкових значеннях: R(q,j)
0 = 1, R(q,j)
−1 = 1, q = 1, N ; j ≥ 1.
Назвемо R(q,j)
n – j-м залишком q-ої вiтки n-го порядку. Для залишкiв
−→p -перiодичного ГЛД виконуються спiввiдношення:
R(q,m)
n = R(q,s)
n (m = rqpq + s; 1 ≤ s ≤ pq),
R(q,m)
n = R(q−1,1)
n +
cq,m
R
(q,m+1)
n−1
(m+ 1 ≤ pq).
(5)
Залишки 1-перiодичного ГЛД позначимо R(q)
n , q = 1, N ; n ≥ 1. Пiд-
хiдним дробом n-го порядку −→p -перiодичного дробу (3) називають
вираз Fn =
(
1 +
n
D
k=1
ik−1∑
ik=1
cik,s
1
)−1
, n ≥ 1, F0 = 1. Очевидно, що
Fn =
(
R
(N,1)
n
)−1
. Дрiб (3) збiгається, якщо iснує скiнченна границя
послiдовностi {Fn}∞n=1.
2. Багатовимiрнi узагальнення теореми Worpitsky та
овальної
У роботi [4] встановлено багатовимiрний аналог теореми
Worpitsky для гiллястого ланцюгового дробу спецiального вигля-
ду (2), де a0 = 1, b0 = 1, bi(k) = 1, i(k) ∈ I. Доведено, що якщо
|ai(k)| ≤ 1/(4ik−1), k ≥ 1, i0 = N , то дрiб (2) збiгається. Для 1-
перiодичного ГЛД цi умови запишуться у виглядi: |cq| ≤ 1/(4N),
q = 1, N , а для −→p -перiодичного – у виглядi: |cq,1| ≤ 1/(4N), |cq,j | ≤
1/(4q), q = 1, N ; j = 2, pq.
Теорема 1. Нехай iснує додатна стала C, 0 < C ≤ 1/4, така, що
для елементiв −→p -перiодичного ГЛД (3) виконуються умови:
|c1,j | ≤ C, j = 1, pq;
q−1∑
s=1
|cs,1|+ |cq,j | ≤ C, q = 2, N ; j = 1, pq. (6)
Ознаки збiжностi перiодичних гiллястих ланцюгових дробiв . . . 57
Тодi справджується оцiнка швидкостi збiжностi ГЛД (3):
|F − Fm| ≤
L · ξm, якщо 0 < C < 1/4;
4
m+ 1
, якщо C = 1/4.
(7)
де Fm – m-й пiдхiдний дрiб ГЛД (3), F – значення цього дробу,
L = 2
1 +
√
1− 4C
1− ξ
, ξ =
1−
√
1− 4C
1 +
√
1− 4C
.
Доведення. Для встановлення оцiнки швидкостi збiжностi дро-
бу (3) використаємо формулу рiзницi двох пiдхiдних дробiв ГЛД (2),
де n > m > 0, a0 = 1, b0 = 1 i bi(k) = 1
Fn − Fm =
(−1)m+1
Q
(n)
i(0)Q
(m)
i(0)
N∑
i1=1
i1∑
i2=1
. . .
im−1∑
im=1
∏m
k=1 ai(k)∏m
k=1Q
(n−1)
i(k) Q
(m−1)
i(k)
, (8)
де Q(r)
i(s) = 1, r = s− 1, s; Q(s)
i(k) = 1 +
ik∑
ik+1=1
ai(k+1)
Q
(s)
i(k+1)
, k = 1, s− 1, s ≥ 1
[4].
Нехай дрiб (2) є −→p -перiодичним i тотожним ГЛД (3), тодi Q(n)
i(k) =
= R
(ik,k)
n−k i ai(k) = cik,s, i(k) ∈ I, де iндекс s визначено вище. З умов
теореми випливає, що
∑ik−1
ik=1 |ai(k)| = |c1,1| + |c2,1| + . . . + |cik−2,1| +
|cik−1,k| ≤ C, ik = 1, N ; k ≥ 1.
Iз рекурентних спiввiдношень (5) випливає, що |R(q,j)
n | ≥ gn,
n ≥ 0, q = 1, N , j = 1, pq, де gn – n-ий пiдхiдний дрiб 1-перiодичного
неперервного дробу 1 +
− C|
|1
+
− C|
|1
+ . . ..
1. Нехай C < 1/4. В [11] показано, що gn =
xn+2 − yn+2
xn+1 − yn+1
, n ≥ 0,
де x = (1 +
√
1− 4C)/2, y = (1−
√
1− 4C)/2. Отже,
m∏
k=1
(
|R(ik,k)
n−k−1||R
(ik,k)
m−k−1|
)
≥
m∏
k=1
(gn−k−1gm−k−1) ≥ x2m
1− ξ
x
,
де ξ = y/x, g−1 = 1. Враховуючи, що C = x · y i
58 М. М. Бубняк
∑N
i1=1
∑i1
i2=1 . . .
∑im−1
im=1
∏m
r=1 |ai(r)| ≤ Cm, маємо оцiнку
|Fn − Fm| ≤
1
gn · gm
xCm
(1− ξ)x2m
≤
4x
1− ξ
(
y
x
)m
= L · ξm.
2. Якщо C = 1/4, то gn =
n+ 2
2(n+ 1)
i
∏m
k=1 (gn−k−1gm−k−1) =
4m(n−m+ 1)
(n+ 1)(m+ 1)
[6]. Крiм цього
∑N
i1=1
∑i1
i2=1 . . .
∑im−1
im=1
∏m
r=1 |ai(r)| ≤
≤ 1/4m. Отже,
|Fn − Fm| ≤
1
gn · gm
·
1
4m
·
4m(n−m+ 1)
(n+ 1)(m+ 1)
= 4
n−m+ 1
(n+ 1)(m+ 1)
.
Переходячи до границi при n → ∞, одержуємо оцiнку (7). Ця оцiн-
ка є точною для 1-перiодичного дробу (3) при C = 1/4. Доведення
завершено.
Позначимо через B(Γ; ρ) замкнений круг в C з центром у точцi
Γ та радiусом ρ. Нехай Γq,j ∈ C, ρq,j > 0 – заданi числа такi, що
|Γq,j | < ρq,j , ρ∗q,j =
∑q−1
j=1 ρj,1 + ρq,j i Γ∗q,j =
∑q−1
j=1 Γj,1 + Γq,j , ρ
∗
q,j <
|1 + Γ∗q,j |, q = 1, N ; j = 1, pq.
Теорема 2. Нехай елементи −→p -перiодичного ГЛД (3) належать
овальним областям Oq,j, тобто cq,j ∈ Oq,j, q = 1, N ; j = 1, pq,
Oq,j =
{
z ∈ C : |z − dq,j |+ |z|
ρ∗q,j+1
|1 + Γ
∗
q,j |
<
ρq,j
|Γq,j |
|dq,j |
}
, (9)
де dq,j = Γq,j(1+Γ∗q,j+1)
(
1−
ρ∗2q,j+1
|1 + Γ∗q,j+1|2
)
, Γq,pq+1 = Γq,1, ρq,pq+1 =
= ρq,1, q = 1, N ; j = 1, pq.
Тодi
1. Дрiб (3) та послiдовностi його залишкiв {R(q,1)
n }∞n=1, q = 1, N ,
збiгаються.
Ознаки збiжностi перiодичних гiллястих ланцюгових дробiв . . . 59
2. Залишки дробу (3) належать кругам: R(q,j)
n ∈ B
(
1 + Γ∗q,j ; ρ
∗
q,j
)
,
q = 1, N ; j = 1, pq, i n-нi пiдхiднi дроби Fn ∈ K, n ≥ 1, де
K = B
(
Γ
∗
N,1
|1 + Γ∗N,1|2 − ρ∗2N,1
;
ρ∗N,1
|1 + Γ∗N,1|2 − ρ∗2N,1
)
.
Доведення. Покажемо, що круги B(Γq,j , ρq,j) є множинами зна-
чень, а овальнi областi Oq,j – множинами елементiв дробу (3), тобто
мають мiсце включення
cq,j
B(1 + Γ∗q,j+1; ρ∗q,j+1)
⊂ B(Γq,j ; ρq,j) q = 1, N ; j = 1, pq. (10)
Очевидно, що 0∈B(1 + Γ∗q,j , ρ
∗
q,j). Позначимо через Cq,j та Rq,j
вiдповiдно центр та радiус круга
cq,j
B(1 + Γ∗q,j+1; ρ∗q,j+1)
. Вклю-
чення (10) еквiвалентне виконанню нерiвностi: |Cq,j − Γq,j |+
+Rq,j ≤ ρq,j , що рiвносильно умовi:
∣∣∣∣∣ cq,j(1 + Γ
∗
q,j+1)
|1 + Γ∗q,j+1|2 − ρ∗2q,j+1
− Γq,j
∣∣∣∣∣+
+
|cq,j |ρ∗q,j+1
|1 + Γ∗q,j+1|2 − ρ∗2q,j+1
≤ ρq,j або cq,j ∈ Oq,j . Враховуючи рекурентнi
спiввiдношення (5), маємо: R(q,j)
n ∈ B(1 + Γ∗q,j ; ρ
∗
q,j), n ≥ 1; q = 1, N ;
j = 1, pq.
Для доведення збiжностi дробу (3) використаємо багатовимiрне
узагальнення теореми Stieltjes-Vitali [6]. Для цього побудуємо функ-
цiональнi гiллястi ланцюговi дроби вигляду
1 +
∞
D
k=1
jk−1∑
jk=1
zjk,s
1
j0 = 1, N. (11)
Нехай R(q,1)
n (zσq ) – n-ий залишок дробу (11), де j0 = q, σq =
∑q
j=1 pj ,
z(σq) = (z1,1, z1,2, . . . , z1,p1 , . . . , zq,1, zq,2 . . . ; zq,pq ), q = 1, N . Доведемо,
що iснують границi lim
n→∞
R
(q,1)
n (zσq ).
60 М. М. Бубняк
Визначимо множину
O(q) = O1,1 × . . .×O1,p1 × . . .×Oq,1 × . . .×Oq,pq .
Нехай D = {z(σq) ∈ Cσq : |zk| ≤ r < rq, k = 1, σq} – замкнений
полiкруг, який мiститься у множинi O(q), де rq = min{1/(4N), |vs,m| :
s = 1, q;m = 1, pq} i vq,j– мала вiсь овалу Oq,j , яку знаходимо за
формулою vq,j = (|Γq,j | − ρq,j)(|1 + Γ∗q,j | − ρ∗q,j), q = 1, N , j = 1, pq.
Збiжнiсть R(q,1)
n (zσq ) на компактi D множини O(q) випливає з уза-
гальнення теореми Worpitsky для ГЛД спецiального вигляду [4]. Зо-
крема, одержуємо збiжнiсть послiдовностi залишкiв R
(N,1)
n (zσN ) в
точцi M ∈ O(N) з координатами zq,j = cq,j , q = 1, N , j = 1, pq.
Оскiльки Fn =
(
R
(N,1)
n
)−1
i |R(q,j)
n | > δ, де δ = min(|1+Γ∗q,j |−ρ∗q,j),
q = 1, N ; j = 1, pq, то iснує границя послiдовностi n-х пiдхiдних
дробiв {Fn}∞n=1. Враховуючи, що R(N,1)
n ∈ B(1 + Γ∗N,1, ρ
∗
N,1), маємо
Fn ∈ K, n ≥ 1. Доведення завершено.
Зауваження. Якщо Γq,j = 0, q = 1, N , j = 1, pq, то Oq,j =
B(0; ρq,j(1 − ρ∗q,j+1). Цi круги називають кругами Worpitsky. Позна-
чимо їх Wq,j .
Розглянемо 1-перiодичний ГЛД вигляду
1 +
∞
D
k=1
ik−1∑
ik=1
cik
1
, (12)
де cq ∈ C, q = 1, N . Чи можна пiдiбрати радiуси кругiв ρq, q = 1, N ,
у теоремi 2 так, щобWq ⊇ B(0; 1/(4N)). Виберемо числа αq так, щоб
система рiвнянь
ρq(1− ρ∗q) = αq q = 1, N. (13)
мала розв’язки i вони задовольняли умови: ρq > 0, ρ∗q < 1. Зокре-
ма, взявши αq = 1/(4N), q = 1, N − 1, виберемо ρN так, щоб вираз
ρN (1− ρ∗N ) досягав максимального значення.
При N = 2, поклавши α1 = 1/8, маємо: ρ1 = (2−
√
2)/4,
ρ2 = (2 +
√
2)/8. Тодi W1 = B(0; 1/8) i W2 = B(0; (3 + 2
√
2)/32) ⊃
B(0; 1/8).
Ознаки збiжностi перiодичних гiллястих ланцюгових дробiв . . . 61
При N = 3, поклавши α1 = 1/12, маємо: ρ1 = (3 −
√
6)/6, ρ2 =
= (3+
√
6−
√
3 + 6
√
6)/12, ρ3 = (3+
√
6+
√
3 + 6
√
6)/24. Отже, маємо:
W1 =W2 = B(0; 1/12) i W3 = B(0; 0.161881) ⊃ B(0; 1/12).
Якщо розглянемо аналогiчну задачу, але при умовах, що всi αq,
q = 1, N , досягають максимального значення, то одержимо Wq =
= B(0; 1/4q).
3. Кутовi областi збiжностi 1-перiодичного гiллястого
ланцюгового дробу спецiального вигляду
У статтi [2] встановлено, що кутовi областi Ei(k) = {zi(k) ∈ C :
|zi(k)| ≤ Mi(k), 0 ≤ arg zi(k) < π − δ, arg zi(k) ≥ arg zi(k)j , j = 1, ik},
i(k) ∈ I є областями збiжностi для ГЛД (2) спецiального вигляду
при a0 = 1, b0 = 1 i bi(k) = 1, i(k) ∈ I, якщо додатнi сталi Mi(k)
такi, що
∑∞
k=1
(
maxMi(k), i(k) ∈ I
)−1
=∞. Встановимо збiжнiсть 1-
перiодичного ГЛД у кутових областях.
Теорема 3. Нехай елементи 1-перiодичного ГЛД
1 +
∞
D
k=1
ik−1∑
ik=1
cik
1
, (14)
де cj ∈ C, j = 1, N , задовольняють умови:
0 ≤ arg cN ≤ . . . ≤ arg c1 ≤ π/2 (15)
або
−π/2 ≤ arg c1 ≤ . . . ≤ arg cN ≤ 0. (16)
Тодi дрiб (14) збiгається i має мiсце оцiнка:
|Fn+1 − Fn| ≤ L
(
N
N + n− 1
)
ξn, (17)
де n ≥ N + 1; L = max
j=1,N
{|cj |}; ξ =
L
√
1 + L2
.
Доведення. Для оцiнки швидкостi збiжностi 1-перiодичного
дробу (14) використаємо формулу (8) рiзницi двох пiдхiдних дробiв
62 М. М. Бубняк
ГЛД спецiального вигляду оберненого до дробу (2). Враховуючи йо-
го перiодичнiсть i те, що Q(n)
i(k) = R
(ik,k)
n−k i ai(k) = cik , i(k) ∈ I, маємо:
|Fn+1 − Fn| ≤
i0∑
i1=1
. . .
in∑
in+1=1
|cin+1
|
|R(in+1)
n+1 |
n∏
k=1
ω
(ik)
n−k,
де ω(q)
s =
|cq/R(q)
s−1|
|R(q)
s |
, q = 1, N ; 1 ≤ s ≤ n.
Позначимо u(q)n та v(q)n , вiдповiдно, дiйсну та уявну частину за-
лишку R
(q)
n , n ≥ 1, q = 1, N . Тодi, використовуючи рекурентнi
спiввiдношення (5), маємо:
u(q)n = 1 +
q∑
k=1
|ck|
(
u
(k)
n−1 cosαk + v
(k)
n−1 sinαk
)
/|R(k)
n−1|2,
v(q)n =
m∑
k=1
|ck|
(
u
(k)
n−1 sinαk − v(k)n−1 cosαk
)
/|R(k)
n−1|2.
Отже,
|R(q)
n |2 = 1 +
q∑
k=1
(
2Re
ck
R
(k)
n−1
+
|ck|2
|R(k)
n−1|2
)
+
q∑
k,j=1;
k<j
(
Re
ck
R
(k)
n−1
Re
cj
R
(j)
n−1
+ Im
ck
R
(k)
n−1
Im
cj
R
(j)
n−1
)
.
У роботi [1] встановлено формули для дiйсної та уявної частин за-
лишкiв ГЛД (2). Враховуючи цi формули i перiодичнiсть дробу (14),
отримаємо:
Re
cq
R
(q)
n
=
Recq
|R(q)
n |2
+
q∑
in=1
Recqcin
|R(q)
n |2|R(in)
n−1|2
+ . . .+
iq∑
in=1
in∑
in−1=1
. . .
i2∑
i1=1
Recqcincin−1 . . . c̃i1
|R(q)
n |2
∏n
r=1 |R
(in+1−r)
n−r |2
(18)
Ознаки збiжностi перiодичних гiллястих ланцюгових дробiв . . . 63
Im
cq
R
(q)
n
=
Imcq
|R(q)
n |2
+
q∑
in=1
Imcqcin
|R(q)
n |2|R(in)
n−1|2
+ . . .+
q∑
in=1
in∑
in−1=1
. . .
i2∑
i1=1
Imcqcincin−1 . . . c̃i1
|R(q)
n |2
∏n
r=1 |R
(in+1−r)
n−r |2
,
(19)
де q = 1, N ; c̃q = cq, якщо n-парне, або c̃q = cq, якщо n-непарне.
Пiсля еквiвалентних перетворень дрiб (14) запишемо у виглядi:
1 +
∞
D
k=1
ik−1∑
ik=1
1/di(k),
де елементами визначаються: di(k) =
∏k
p=1 c
(−1)k+p−1
ip
= |c(−1)
k
i1
|×
×|c(−1)
k+1
i2
| . . . |c(−1)
2k−1
ik
| exp
{∑k
p=1(−1)k+p−1αip
}
, αm = arg cm, m =
1, N .
Доведемо, що при виконаннi умов (15), справджуються нерiвно-
стi: Re
cq
R
(q)
n
≥ 0 i Im
cq
R
(q)
n
≥ 0, q = 1, N ; n ≥ 0. Умови (15) за-
пишемо у виглядi:
π
2
≥ αik ≥ αik+1
≥ . . . ≥ αik+n
≥ 0. Звiдси
0 ≤
∑n
p=0(−1)pαik+p
≤ π/2. Отже, виконуються нерiвностi:
Recikcik+1
cik+2
. . . c̃ik+n
≥ 0,
Imcikcik+1
cik+2
. . . c̃ik+n
≥ 0.
Згiдно з формулами (18)-(19) маємо: Re
cik
R
(ik)
n
≥ 0 та Im
cik
R
(ik)
n
≥ 0,
n ≥ 0.
З умов (16) маємо: −π/2 ≤ αik+n
≤ αik+n−1
≤ . . . ≤ αik ≤ 0.
Звiдки −π/2 ≤
∑n
p=0(−1)pαik+p
≤ 0 i
Recikcik+1
cik+2
. . . c̃ik+n
≥ 0,
Imcikcik+1
cik+2
. . . c̃ik+n
≤ 0.
З формул (18)-(19) випливає, що Re
cik
R
(ik)
n
≥ 0 i Im
cik
R
(ik)
n
≤ 0,
64 М. М. Бубняк
n ≥ 0. Оскiльки ReR(q)
n = 1 +
∑q
j=1Re
cj
R
(j)
n−1
≥ 1, q = 1, N ; n ≥ 0, то
справджуються оцiнки:
|cq|
|R(q)
n |
≤
|cq|
ReR
(q)
n
≤ L та
ω(q)
s =
|cq|/|R(q)
s−1|
|R(q)
s |
≤
|cq|/|R(q)
s−1|√
1 + |cq|2/|R(q)
s−1|2
≤
L
√
1 + L2
= ξ s = 1, n.
Тому, враховуючи, що |cn+1/R
(in+1)
n+1 | ≤ L, маємо оцiнку (17).
4. Необхiдна умова збiжностi 1-перiодичного гiллястого
ланцюгового дробу спецiального вигляду
Т.М. Антонова у [3] встановила необхiдну та достатню умову
збiжностi 1-перiодичного гiллястого ланцюгового дробу спецiально-
го дробу (2) з дiйними елементами, у якого cq = −R, q = 1, N при
певних додаткових обмеженях на R.
Теорема 4. Якщо 1-перiодичний ГЛД (14) з дiйсними елемен-
тами збiгається, тодi його елементи задовольняють умови: cq ≥
≥ −X2
q−1/4, де Xq = 1
2 (Xq−1 +
√
X2
q−1 + 4cq), X0 = 1, q = 1, N . Як-
що виконуються умови: cq > −X2
q−1/4, то цей 1-перiодичний дрiб
збiгається.
Доведення. У теоремi 2 [7] показано, що з умов: cq > −X2
q−1/4,
q = 1, N , випливає збiжнiсть дробу (14).
Нехай дрiб (14) збiгається, тобто iснує скiнченна границя
lim
n→∞
Fn = lim
n→∞
R
(N)
n = ZN . Розглянемо послiдовностi його залишкiв
{R(q)
n }∞n=1, q = 1, N . Покажемо, що якщо iснують границi цих послi-
довностей, тобто lim
n→∞
R
(q)
n = Zq, q = 1, N , то Zq 6= 0,∞. З означення
збiжностi дробу випливає, що ZN 6= ∞. Припустимо, що ZN = 0.
Тодi iз спiввiдношення
R(k)
n = R(k−1)
n +
ck
R
(k)
n−1
(20)
при k = N випливає, що ZN−1 = ∞. На основi таких самих мiр-
кувань маємо: Zq = ∞, q = 1, N − 1. Оскiльки R
(1)
n – n-ий пiдхiд-
Ознаки збiжностi перiодичних гiллястих ланцюгових дробiв . . . 65
ний дрiб 1-перiодичного неперервного дробу, то Z1 – нерухома точка
дробово-лiйнiйного вiдображення s1(ω) = 1 + c1/ω. Однак, Z1 = ∞
не є нерухомою точною дробово-лiнiйного вiдображення s1(ω). Отже,
ми прийшли до суперечностi. Тому ZN 6= 0 i Zq 6= ∞, q = 1, N − 1.
Повторюючи цi самi мiркування, маємо: Zq 6= 0, q = 1, N − 1.
Доведемо, що зi збiжностi послiдовностi {R(N)
n }∞n=1 випливає
збiжнiсть всiх послiдовностей {R(q)
n }∞n=1, q = 1, N − 1. Оскiльки
lim
n→∞
R
(N)
n = ZN i ZN 6= 0,∞, то lim
n→∞
R
(N−1)
n = lim
n→∞
R
(N)
n −
cN−1
R
(N)
n−1
=
ZN−1 i ZN−1 6= 0,∞. Повторюючи цi мiркування, маємо: lim
n→∞
R
(q)
n =
= Zq i Zq 6= 0,∞; 1 ≤ q ≤ N .
Знайдемо границi Zq (q = 1, N) i доведемо методом математичної
iндукцiї по q, що Zq > 0 i Zq = Xq, де Xq = 1
2 (Xq−1 +
√
X2
q−1 + 4cq),
q = 1, N . Нехай Z1 – границя збiжного 1-перiодичного неперервного
дробу 1 +
c1|
|1
+
c1|
|1
+ . . .. Вiдомо, що lim
n→∞
R
(1)
n = Z1, де Z1 = 1
2 (1 +
√
1 + 4c1) [11,12]. Оскiльки Z1 ∈ R, то Z1 > 0 i Z1 = X1.
Припустимо, що для деякого k виконуються спiввiдношення:
Zs = 1
2 (Zs−1 +
√
Z2
s−1 + 4cs), 2 ≤ s ≤ k, i Zs > 0. Розглянемо по-
слiдовнiсть залишкiв (k + 1)-ої гiлки {R(k+1)
n }∞n=1, де
R(k+1)
n = R(k)
n +
ck+1|
|R(k)
n−1
+
ck+1|
|R(k)
n−2
+ . . .+
ck+1|
|R(k)
0
— зворотний дрiб гранично-перiодичного неперервного дробу. Цiй
гiлцi вiдповiдає дробово-лiнiйне вiдображення tk+1(ω) = Zk+ck+1/ω.
З теореми 4.13 [11] маємо: якщо послiдовнiсть {R(k+1)
n }∞n=1 збiгаєть-
ся, то вона збiгається до нерухомої точки Zk+1, де Zk+1 = 1
2 (Zk +√
Z2
k + 4ck+1). Отже, Zk+1 = Xk+1. Бiльше того, Zk+1 > 0. Доведен-
ня завершено.
Зауваження. Перша частина доведення теореми 4 переносить-
ся на випадок, коли cq ∈ C, q = 1, N . Зокрема, iз збiжностi дро-
бу (14) з комплексними елементами випливає iснування i вiдмiн-
66 М. М. Бубняк
нiсть вiд нуля границь послiдовностей всiх залишкiв {R(q)
n }∞n=1, тобто
lim
n→∞
R
(q)
n = Zq, Zq 6= 0,∞, q = 1, N .
1. АнтоноваТ.М. Багатовимiрне узагальнення теореми про параболiчнi об-
ластi збiжностi неперервних дробiв // Мат. методи та фiз.-мех. поля.—
1999.— 42, № 4.— С. 7–12.
2. АнтоноваТ.М., БоднарД. I. Областi збiжностi гiллястих ланцюгових
дробiв спецiального вигляду // Теорiя наближення функцiй та її застосу-
вання. — Працi Iн-ту математики НАН України.— 2000.— 31. – С. 19–32.
3. АнтоноваТ.М. Про простi круговi множини абсолютної збiжностi гiлля-
стих ланцюгових дробiв спецiального вигляду // Карпат. мат. публiкацiї.—
2012.— 4, № 2.— С. 165–174.
4. БаранО.Є. Аналог ознаки збiжностi Ворпiцького для гiллястих ланцю-
гових дробiв спецiального вигляду // Мат. методи та фiз.-мех. поля.—
1996.— 39, № 2. – С. 35–38.
5. БаранО.Є. Деякi областi збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв спецiаль-
ного вигляду // Карпатськi мат. публiкацiї.— 2013.— 5, № 1.— С. 4–13.
6. БоднарД.И. Ветвящиеся цепные дроби / Д.И.Боднар— Киев : Наукова
думка, 1986.— 176 с.
7. БоднарД. I., БубнякМ.М. Про збiжнiсть 1-перiодичного гiллястого
ланцюгового дробу спецiального вигляду // Мат. вiсник НТШ.— 2011.—
8. — С. 5–16.
8. БоднарД. I., БубнякМ.М. Оцiнки швидкостi поточкової та рiвномiр-
ної збiжностi 1-перiодичного гiллястого ланцюгового дробу спецiального
вигляду // Мат. методи та фiз.-мех. поля.— 2013.— 56, № 4.— С. 24–32.
9. Кучмiнська Х.Й. Двовимiрнi неперервнi дроби / Х.Й.Кучмiнська—
Львiв : Iнститут прикладних проблем механiки i математики iм.
Я.С.Пiдстригача НАН України, 2010.— 218 с.
10. Jones W. B., Thron W. J. Continued Fractions // Analytic Theory and
Applications, Encyclopedia of Mathematics and its Applications. – New York:
Addison-Wesley Publishing Company, 1980. — 428 p.
11. Lorentzen L., Waadeland H. Continued Fractions. Atlantis Press – World
Scientific, Amsterdam-Paris: 2008. — 304 p.
12. Wall H. S. Analytic Theory of Continued Fractions. – New York:Van Nostrand,
1948. — 445 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-282 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:54Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/0a/4431a80de83cc55be560d2cc0b15f00a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2822018-02-02T22:12:24Z Signs of convergence of periodic branched chain shapes of a special form Ознаки збіжності періодичних гіллястих ланцюгових дробів спеціального вигляду Bubnyak, M. M. Бубняк, М. М. The circle (multidimensional generalization of Worpitsky's Theorem) and the oval regions of the convergence were investigated for $\overrightarrow{p}$-periodic branched continued fractions of the special form. For 1-periodic these fractions the convergence was proved, the truncation error bounds was researched in the angle regions; the necessary condition was established. Для $\overrightarrow{p}$-періодичного гіллястого ланцюгового дробу спеціального вигляду досліджено кругові (багатовимірне узагальнення теореми Worpitsky) та овальні області збіжності. Для 1-періодичного гіллястого ланцюгового дробу спеціального вигляду доведена збіжність та встановлена оцінка швидкості збіжності в кутових областях; встановлена необхідна ознака збіжності. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/282 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 54 - 66 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 54 - 66 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 54 - 66 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/282/315 |
| spellingShingle | Bubnyak, M. M. Бубняк, М. М. Signs of convergence of periodic branched chain shapes of a special form |
| title | Signs of convergence of periodic branched chain shapes of a special form |
| title_alt | Ознаки збіжності періодичних гіллястих ланцюгових дробів спеціального вигляду |
| title_full | Signs of convergence of periodic branched chain shapes of a special form |
| title_fullStr | Signs of convergence of periodic branched chain shapes of a special form |
| title_full_unstemmed | Signs of convergence of periodic branched chain shapes of a special form |
| title_short | Signs of convergence of periodic branched chain shapes of a special form |
| title_sort | signs of convergence of periodic branched chain shapes of a special form |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/282 |
| work_keys_str_mv | AT bubnyakmm signsofconvergenceofperiodicbranchedchainshapesofaspecialform AT bubnâkmm signsofconvergenceofperiodicbranchedchainshapesofaspecialform AT bubnyakmm oznakizbížnostíperíodičnihgíllâstihlancûgovihdrobívspecíalʹnogoviglâdu AT bubnâkmm oznakizbížnostíperíodičnihgíllâstihlancûgovihdrobívspecíalʹnogoviglâdu |