Best approximation by “angles” of analytic in the unit bidisk functions
Exact in some sense inequalities of the best approximation by ''angles'' $ $, have been obtained for the classes $\mathfrak{B}^{r_1,r_2}_2 (U^2), r_1, r_2 \in \mathbb{N}$, of two complex variables functions analytic in the unit bicircle $U^2$. These results are th...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/283 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552782869823488 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Днепропетровский университет имени Альфреда Нобеля"
},
{
"author": "",
"institution": "Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара"
}
] |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-01T13:41:20Z |
| description | Exact in some sense inequalities of the best approximation by ''angles'' $ $, have been obtained for the classes $\mathfrak{B}^{r_1,r_2}_2 (U^2), r_1, r_2 \in \mathbb{N}$, of two complex variables functions analytic in the unit bicircle $U^2$. These results are the application of Kolmogorov type inequalities for some problems of the approximation theory of functions. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 67–78
УДК 517.518
С. Б. Вакарчук (Днепропетровский университет имени Альфреда
Нобеля, Днепропетровск)
М. Б. Вакарчук (Днепропетровский национальный университет
имени Олеся Гончара, Днепропетровск)
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ”УГЛОМ” АНАЛИ-
ТИЧЕСКИХ В ЕДИНИЧНОМ БИКРУГЕ ФУНКЦИЙ
Exact in some sense inequalities of the best approximation by ”angles” , have
been obtained for the classes Br1,r2
2 (U2), r1, r2 ∈ N, of two complex variables
functions analytic in the unit bicircle U2. These results are the application of
Kolmogorov type inequalities for some problems of the approximation theory of
functions.
Для аналитических в единичном бикруге U2 функций двух комплексных
переменных, которые принадлежат классу Br1,r2
2 (U2), r1, r2 ∈ N, получе-
ны в определенном смысле точные неравенства, связанные с наилучшим
приближением ”углом”. Указанные результаты являются приложением
неравенств типа Колмогорова к некоторым задачам теории аппроксима-
ции функций.
Данную статью можно рассматривать как продолжение иссле-
дований авторов [1]–[5]. Пусть z = (z1, z2) = (ρ1e
it1 , ρ2e
it2), где
0 6 ρj <∞, 0 6 tj < 2π, j = 1, 2, — точка двумерного комплексного
пространства C2; U2 := {z ∈ C2 : |zj | < 1, j = 1, 2} — единичный би-
круг в C2; A(U2) — класс аналитических в U2 функций. Символом
B2(U
2) обозначим банахово пространство всех функций f ∈ A(U2),
имеющих конечную норму
‖f‖ := ‖f‖B2(U2) =
1
4π2
∫∫
U2
|f(z1, z2)|2dσz1dσz2
1/2
,
где dσzj := dxjdyj (zj = xj + iyj); xj , yj ∈ R, x2j + y2j < 1, j = 1, 2.
c© С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, 2015
68 С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук
Полагая
M2(f ; ρ1, ρ2) :=
1
4π2
2π∫
0
2π∫
0
|f(ρ1eit1 , ρ2eit2)|2dt1dt2
1/2
,
получаем
‖f‖ =
1∫
0
1∫
0
ρ1ρ2M
2
2 (f ; ρ1, ρ2)dρ1dρ2
1/2
. (1)
Для произвольной функции f ∈ B2(U
2), имеющей разложение в ряд
Тейлора
f(z1, z2) =
∞∑
j1=0
∞∑
j2=0
cj1,j2(f)z
j1
1 z
j2
2 ,
где cj1,j2(f), j1, j2 ∈ Z+, — коэффициенты Тейлора, используя фор-
мулу (1), имеем
‖f‖ =
∞∑
j1=0
∞∑
j2=0
1
4(j1 + 1)(j2 + 1)
|cj1,j2(f)|2
1/2
. (2)
Пусть Uzj , j = 1, 2, — круг единичного радиуса в комплексной
плоскости C переменной zj , т.е. Uzj := {zj ∈ C : |zj | < 1}, A(Uzj )
— множество функций, аналитических в Uzj . Через B2(Uzj ) обозна-
чим пространство Бергмана, состоящее из функций f ∈ A(Uzj ), для
которых конечная норма
‖f‖B2(Uzj
) :=
1
2π
∫
Uzj
|f(zj)|2dσzj
1/2
=
=
1
2π
1∫
0
2π∫
0
ρj |f(ρjeitj )|2dtjdρj
1/2
.
О наилучшем приближении ”углом” аналитических . . . 69
Пусть NN ⊂ B2(Uz1) и MM ⊂ B2(Uz2) — конечномерные под-
пространства с базисами {zj11 }
N−1
j1=0 и {zj22 }
M−1
j2=0 соответственно, где
N,M ∈ N. В пространстве B2(U
2) рассмотрим множество
G(NN ,MM ) := B2(Uz2)⊗NN ⊕B2(Uz1)⊗MM , (3)
где символы ⊗ и ⊕ обозначают соответственно операции тензорного
произведения и прямой суммы множеств. Элементы множества (3)
имеют следующий вид:
gN,M (z1, z2) :=
N−1∑
j1=0
ϕj1(z2)z
j1
1 +
M−1∑
j2=0
ψj2(z1)z
j2
2 , (4)
где {ϕj1}N−1j1=0 ⊂ B2(Uz2) и {ψj2}M−1j2=0 ⊂ B2(Uz1) — произвольные на-
боры функций из указанных пространств. Функции вида (4) будем
называть ”углами” из алгебраических полиномов комплексных пе-
ременных z1 и z2. Напомним, что понятие ”угла” в случае аппрок-
симации вещественных функций многих переменных впервые было
введено М.К.Потаповым в 1969 году. В случае аналитических функ-
ций нескольких комплексных переменных вопросы аппроксимации
”углом” рассматривались, например, в работах [4], [6].
Для произвольной функции f ∈ B2(U
2) символом EN,M (f) обо-
значим её наилучшее приближение элементами множества (3), т.е.
EN,M (f) := inf{‖f − gN,M‖ : gN,M ∈ G(NN ,MM )}.
Под обобщенным полиномом Тейлора порядка (N,M), N,M ∈ N,
аналитической в U2 функции f будем понимать следующее выраже-
ние [6]:
TN,M (f ; z1, z2) :=
N−1∑
j1=0
∞∑
j2=0
cj1,j2(f)z
j1
1 z
j2
2 +
M−1∑
j2=0
∞∑
j1=0
cj1,j2(f)z
j1
1 z
j2
2 −
−
N−1∑
j1=0
M−1∑
j2=0
cj1,j2(f)z
j1
1 z
j2
2 . (5)
Несложно показать, что функция TN,M (f) может быть представлена
в виде (4), т.е. что TN,M (f) — элемент множества G(NN ,MM ).
70 С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук
Далее нам понадобится следующая
Лемма 1. Пусть N,M ∈ N и f ∈ B2(U
2) — произвольная функ-
ция. Тогда имеет место равенство
EN,M (f) = ‖f − TN,M (f)‖ =
∞∑
j1=N
∞∑
j2=M
|cj1,j2(f)|2
4(j1 + 1)(j2 + 1)
1/2
, (6)
т.е. среди всех элементов gN,M множества G(NN ,MM ) обобщен-
ный полином Тейлора TN,M (f) доставляет функции f наилучшее
приближение в метрике пространства B2(U
2).
Доказательство. Поскольку {ϕj1}N−1j1=0 ⊂ B2(Uz2) и
{ψj2}M−1j2=0 ⊂ B2(Uz1), то справедливы следующие разложения
указанных функций в ряды Тейлора:
ϕj1(z2) =
∞∑
j2=0
cj2(ϕj1)z
j2
2 , j1 = 0, N − 1, (7)
ψj2(z1) =
∞∑
j1=0
cj1(ψj2)z
j1
1 , j2 = 0,M − 1. (8)
Используя соотношения (4) и (7)–(8), получаем
gN,M (z1, z2) =
N−1∑
j1=0
∞∑
j2=0
cj2(ϕj1)z
j1
1 z
j2
2 +
∞∑
j1=0
M−1∑
j2=0
cj1(ψj2)z
j1
1 z
j2
2 . (9)
Напомним, что пространство B2(U
2) с введенным в нем скалярным
произведением
< f ;h >:=
1
4π2
∫∫
U2
f(z1, z2)h(z1, z2)dσz1dσz2 ,
где f, h ∈ B2(U
2), и нормой ‖f‖2 =< f ; f > превращается в гильбер-
тово пространство. Тогда для произвольной функции f ∈ B2(U
2) с
учетом свойств скалярного произведения и формул (2) и (9) запишем
‖f − gN,M‖2 =< f − gN,M ; f − gN,M >=
О наилучшем приближении ”углом” аналитических . . . 71
= ‖f‖2− < f ; gN,M > − < gN,M ; f > +‖gN,M‖2 =
= ‖f‖2 −
N−1∑
j1=0
∞∑
j2=0
cj2(ϕj1)
1
4π2
∫∫
U2
f(z1, z2)z1
j1z2
j2dσz1dσz2−
−
∞∑
j1=0
M−1∑
j2=0
cj1(ψj2)
1
4π2
∫∫
U2
f(z1, z2)z1
j1z2
j2dσz1dσz2−
−
N−1∑
j1=0
∞∑
j2=0
cj2(ϕj1)
1
4π2
∫∫
U2
f(z1, z2)z
j1
1 z
j2
2 dσz1dσz2−
−
∞∑
j1=0
M−1∑
j2=0
cj1(ψj2)
1
4π2
∫∫
U2
f(z1, z2)z
j1
1 z
j2
2 dσz1dσz2 + ‖gN,M‖2 = ‖f‖2−
−1
2
N−1∑
j1=0
∞∑
j2=0
Re(cj1,j2(f)cj2(ϕj1))
(j1 + 1)(j2 + 1)
+
∞∑
j1=0
M−1∑
j2=0
Re(cj1,j2(f)cj1(ψj2))
(j1 + 1)(j2 + 1)
−
−
N−1∑
j1=0
M−1∑
j2=0
Re(cj2(ϕj1)cj1(ψj2))
(j1 + 1)(j2 + 1)
+
+
1
4
N−1∑
j1=0
∞∑
j2=0
|cj2(ϕj1)|2
(j1 + 1)(j2 + 1)
+
∞∑
j1=0
M−1∑
j2=0
|cj1(ψj2)|2
(j1 + 1)(j2 + 1)
.
Отсюда после ряда несложных преобразований получаем
‖f − gN,M‖2 =
1
4
∞∑
j1=N
∞∑
j2=M
|cj1,j2(f)|2+
+
N−1∑
j1=0
∞∑
j2=M
|cj1,j2(f)− cj2(ϕj1)|2
(j1 + 1)(j2 + 1)
+
∞∑
j1=N
M−1∑
j2=0
|cj1,j2(f)− cj1(ψj2)|2
(j1 + 1)(j2 + 1)
+
+
N−1∑
j1=0
M−1∑
j2=0
|cj1,j2(f)− cj2(ϕj1)− cj1(ψj2)|2
(j1 + 1)(j2 + 1)
. (10)
72 С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук
Из формулы (10) следует, что величина ‖f − gN,M‖ принимает наи-
меньшее значение в случае одновременного выполнения таких усло-
вий:
cj2(ϕj1) = cj1,j2(f), j1 = 0, N − 1, j2 =M,M + 1, ..., (11)
cj1(ψj2) = cj1,j2(f), j2 = 0,M − 1, j1 = N,N + 1, ..., (12)
cj2(ϕj1) + cj1(ψj2) = cj1,j2(f), j1 = 0, N − 1, j2 = 0,M − 1. (13)
Подставляя в формулу (9) выражения (11)–(13) коэффициентов Тей-
лора функций ϕj1 и ψj2 , выраженных через коэффициенты Тейлора
функции f , получаем соотношение (5). Таким образом, справедлива
формула (6). Лемма 1 доказана.
Символом Br1,r2
2 (U2), rp ∈ N, p = 1, 2, обозначим класс функций
f ∈ A(U2), у которых смешанная производная f (r1,r2) по перемен-
ным z1 и z2, а также частные производные f (r1,0) и f (0,r2) по пере-
менным z1 и z2 соответственно принадлежат пространству B2(U
2).
При этом все промежуточные производные функции f ∈ Br1,r2
2 (U2)
также принадлежат B2(U
2). Отметим, что справедливо включение
Br1,r2
2 (U2) ⊂ B2(U
2). Для любых натуральных чисел jp > rp, p =
1, 2, полагаем
αjp,rp := jp(jp − 1)...(jp − rp + 1).
При этом будем считать αjp,0 := 1, jp ∈ N, p = 1, 2.
Основным результатом данной статьи является следующая
Теорема 1. Пусть N > r1 > k1 > 1 и M > r2 > k2 > 1 —
произвольные натуральные числа. Тогда для любой функции f ∈
Br1,r2
2 (U2) имеет место неравенство
EN−r1+k1,M−r2+k2
(
f (r1−k1,r2−k2)
)
6
6
αN,r1−k1(N − r1 + 1)(r1−k1)/(2r1)(N + 1)k1/(2r1)
(αN,r1)
1−k1/r1
√
N − r1 + k1 + 1
×
×αM,r2−k2(M − r2 + 1)(r2−k2)/(2r2)(M + 1)k2/(2r2)
(αM,r2)
1−k2/r2
√
M − r2 + k2 + 1
×
× (EN,M (f))
k1k2/(r1r2)
(
EN−r1,M (f (r1,0))
)(1−k1/r1)k2/r2
×
О наилучшем приближении ”углом” аналитических . . . 73
×
(
EN,M−r2(f (0,r2))
)(1−k2/r2)k1/r1
×
×
(
EN−r1,M−r2(f (r1,r2))
)(1−k1/r1)(1−k2/r2)
, (14)
которое является точным в том смысле, что существует функ-
ция из класса Br1,r2
2 (U2), обращающая неравенство (14) в равен-
ство.
Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент
f(z1, z2) =
∞∑
j1=0
∞∑
j2=0
cj1,j2(f)z
j1
1 z
j2
2
из класса Br1,r2
2 (U2), для которого полагаем
eN,M (f ; z1, z2) := f(z1, z2)−TN,M (f ; z1, z2) =
∞∑
j1=N
∞∑
j2=M
cj1,j2(f)z
j1
1 z
j2
2 .
Очевидно, что eN,M (f) ∈ Br1,r2
2 (U2). Непосредственной проверкой
можно убедиться в справедливости следующих равенств [4]:
e
(r1,r2)
N,M (f ; z1, z2) = f (r1,r2)(z1, z2)− TN−r1,M−r2
(
f (r1,r2); z1, z2
)
=
= eN−r1,M−r2
(
f (r1,r2); z1, z2
)
,
e
(r1−k1,r2−k2)
N,M (f ; z1, z2) =
= f (r1−k1,r2−k2)(z1, z2)− TN−r1+k1,M−r2+k2
(
f (r1−k1,r2−k2); z1, z2
)
=
= eN−r1+k1,M−r2+k2
(
f (r1−k1,r2−k2); z1, z2
)
,
e
(r1,0)
N,M (f ; z1, z2) = f (r1,0)(z1, z2)− TN−r1,M
(
f (r1,0); z1, z2
)
=
= eN−r1,M
(
f (r1,0); z1, z2
)
,
e
(0,r2)
N,M (f ; z1, z2) = f (0,r2)(z1, z2)− TN,M−r2
(
f (0,r2); z1, z2
)
=
74 С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук
= eN,M−r2
(
f (0,r2); z1, z2
)
.
Из приведенных соотношений с учетом полученной выше леммы
1 имеем
‖eN,M (f)‖ = EN,M (f), (15)
‖e(r1,0)N,M (f)‖ = EN−r1,M (f (r1,0)), (16)
‖e(0,r2)N,M (f)‖ = EN,M−r2(f (0,r2)), (17)
‖e(r1,r2)N,M (f)‖ = EN−r1,M−r2(f (r1,r2)), (18)
‖e(r1−k1,r2−k2)N,M (f)‖ = EN−r1+k1,M−r2+k2(f (r1−k1,r2−k2)).. (19)
Применяя, практически без изменений, ход доказательства тео-
ремы 1 из работы [5] к функции eN,M (f) и учитывая, что в рассмат-
риваемом нами случае величины ψrp,kp(jp), p = 1, 2, определяемые
формулой (9) из [5], рассматриваются для всех натуральных чисел
j1 > N > r1 > k1 > 1 и j2 >M > r2 > k2 > 1, получаем неравенство
‖e(r1−k1,r2−k2)N,M (f)‖ 6 αN,r1−k1(N − r1 + 1)(r1−k1)/(2r1)(N + 1)k1/(2r1)
(αN,r1)
1−k1/r1
√
N − r1 + k1 + 1
×
×αM,r2−k2(M − r2 + 1)(r2−k2)/(2r2)(M + 1)k2/(2r2)
(αM,r2)
1−k2/r2
√
M − r2 + k2 + 1
×
×‖eN,M (f)‖k1k2/(r1r2)
∥∥∥e(r1,0)N,M (f)
∥∥∥(1−k1/r1)k2/r2 ×
×
∥∥∥e(0,r2)N,M (f)
∥∥∥(1−k2/r2)k1/r1 ∥∥∥e(r1,r2)N,M (f)
∥∥∥(1−k1/r1)(1−k2/r2) . (20)
Из неравенства (20) с учетом соотношений (15)–(19) имеем требуемое
неравенство (14).
Для доказательства неулучшаемости неравенства (14) рас-
смотрим функцию f0(z1, z2) := zN1 z
M
2 , где N > r1, M > r2,
принадлежащую классу Br1,r2
2 (U2). При этом функции
f
(r1,0)
0 (z1, z2) = αN,r1z
N−r1
1 zM2 ; f
(0,r2)
0 (z1, z2) = αM,r2z
N
1 z
M−r2
2 ;
f
(r1,r2)
0 (z1, z2) = αN,r1αM,r2z
N−r1
1 zM−r22 ; f
(r1−k1,r2−k2)
0 (z1, z2) =
О наилучшем приближении ”углом” аналитических . . . 75
αN,r1−k1αM,r2−k2z
N−r1+k1
1 zM−r2+k22 также принадлежат простран-
ству B2(U
2). Используя формулы (5)–(6), отсюда получаем
EN,M (f0) =
1
2
√
(N + 1)(M + 1)
, (21)
EN−r1,M (f
(r1,0)
0 ) =
∥∥∥f (r1,0)0
∥∥∥ =
αN,r1
2
√
(N − r1 + 1)(M + 1)
, (22)
EN,M−r2(f
(0,r2)
0 ) =
∥∥∥f (0,r2)0
∥∥∥ =
αM,r2
2
√
(N + 1)(M − r2 + 1)
, (23)
EN−r1,M−r2(f
(r1,r2)
0 ) =
∥∥∥f (r1,r2)0
∥∥∥ =
=
αN,r1αM,r2
2
√
(N − r1 + 1)(M − r2 + 1)
, (24)
EN−r1+k1,M−r2+k2(f
(r1−k1,r2−k2)
0 ) =
∥∥∥f (r1−k1,r2−k2)0
∥∥∥ =
=
αN,r1−k1αM,r2−k2
2
√
(N − r1 + k1 + 1)(M − r2 + k2 + 1)
. (25)
Путем непосредственного подсчета нетрудно убедиться в том, что
для функции f0 ∈ Br1,r2
2 (U2), с учетом равенств (21)–(25), в формуле
(14) будем иметь знак равенства. Теорема 1 доказана.
Символом W r1,r2
2 (U2), где r1, r2 ∈ N, обозначим класс функ-
ций f ∈ Br1,r2
2 (U2), для каждой из которых выполнено неравенство
‖f (r1,r2)‖ 6 1.
Теорема 2. Пусть для натуральных чисел N,M и rp, kp, где
p = 1, 2, выполнены неравенства N > r1 > k1 > 1 и M > r2 > k2 > 1.
Тогда справедливо равенство
sup
{
EN−r1+k1,M−r2+k2
(
f (r1−k1,r2−k2)
)
: f ∈W r1,r2
2 (U2)
}
=
=
√
(N − r1 + 1)(M − r2 + 1)
(N − r1 + k1 + 1)(M − r2 + k2 + 1)
· αN,r1−k1αM,r2−k2
αN,r1αM,r2
. (26)
76 С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук
Доказательство. Поскольку для произвольной функции
f ∈W r1,r2
2 (U2) имеем
f (r1,r2)(z1, z2) =
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
cj1,j2(f)αj1,r1αj2,r2z
j1−r1
1 zj2−r22 ,
то согласно формуле (2) запишем
‖f (r1,r2)‖ =
∞∑
j1=r1
∞∑
j2=r2
α2
j1,r1
α2
j2,r2
|cj1,j2(f)|2
4(j1 − r1 + 1)(j2 − r2 + 1)
1/2
. (27)
Согласно лемме 1
EN,M−r2
(
f (0,r2)
)
=
∥∥∥f (0,r2) − TN,M−r2(f (0,r2))∥∥∥ =
=
∞∑
j1=N
∞∑
j2=M
α2
j2,r2
|cj1,j2(f)|2
4(j1 + 1)(j2 − r2 + 1)
1/2
=
=
∞∑
j1=N
∞∑
j2=M
1
(j1+1)(j1−r1+1)α2
j1,r1−1
·
α2
j1,r1
α2
j2,r2
|cj1,j2(f)|2
4(j1−r1+1)(j2−r2+1)
1/2
.
С учетом формулы (27) отсюда получаем
EN,M−r2
(
f (0,r2)
)
6
1√
(N + 1)(N − r1 + 1)αN,r1−1
×
×‖f (r1,r2)‖ 6
√
N − r1 + 1
N + 1
· 1
αN,r1
. (28)
На основе аналогичных соображений имеем неравенство
EN−r1,M
(
f (r1,0)
)
6
√
M − r2 + 1
M + 1
· 1
αM,r2
. (29)
Очевидно, что
EN−r1,M−r2
(
f (r1,r2)
)
6 ‖f (r1,r2)‖ 6 1. (30)
О наилучшем приближении ”углом” аналитических . . . 77
И, наконец, используя формулу (6), запишем
EN,M (f) =
∞∑
j1=N
∞∑
j2=M
1
(j1 + 1)(j2 + 1)(j1 − r1 + 1)(j2 − r2 + 1)
×
× 1
α2
j1,r1−1α
2
j2,r2−1
·
α2
j1,r1
α2
j2,r2
|cj1,j2(f)|2
4(j1 − r1 + 1)(j2 − r2 + 1)
}1/2
6
6
1√
(N + 1)(M + 1)(N − r1 + 1)(M − r2 + 1)
· ‖f (r1,r2)‖
αN,r1−1αM,r2−1
6
6
√
(N − r1 + 1)(M − r2 + 1)
(N + 1)(M + 1)
· 1
αN,r1αM,r2
. (31)
Подставляя в правую часть неравенства (14) вместо величин наи-
лучших приближений ”углом” их оценки сверху (28)–(31), получаем
соотношение
EN−r1+k1,M−r2+k2
(
f (r1−k1,r2−k2)
)
6
6
√
(N − r1 + 1)(M − r2 + 1)
(N − r1 + k1 + 1)(M − r2 + k2 + 1)
· αN,r1−k1αM,r2−k2
αN,r1αM,r2
, (32)
справедливое для любой функции f из класса W r1,r2
2 (U2).
Рассмотрим функцию
f1(z1, z2) :=
2
√
(N − r1 + 1)(M − r2 + 1)
αN,r1αM,r2
zN1 z
M
2 ,
принадлежащую классу W r1,r2
2 (U2). Учитывая, что
f
(r1−k1,r2−k2)
1 (z1, z2) = 2
√
(N − r1 + 1)(M − r2 + 1)×
×αN,r1−k1αM,r2−k2
αN,r1αM,r2
zN−r1+k11 zM−r2+k22 ,
и используя лемму 1, имеем
EN−r1+k1,M−r2+k2
(
f
(r1−k1,r2−k2)
1
)
= ‖f (r1−k1,r2−k2)1 ‖ =
78 С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук
=
√
(N − r1 + 1)(M − r2 + 1)
(N − r1 + k1 + 1)(M − r2 + k2 + 1)
· αN,r1−k1αM,r2−k2
αN,r1αM,r2
. (33)
Сопоставляя соотношения (32) и (33), получаем требуемое равен-
ство (26). Теорема 2 доказана.
Обозначим
α̃jp+1,rp+1 :=
√
(jp + 1)jp, если rp = 1,√
jp + 1jp
√
jp − 1, если rp = 2,√
jp + 1jp...(jp − rp + 2)
√
jp − rp + 1, если rp > 3,
где rp, jp ∈ N и jp > rp; p = 1, 2. В заключение отметим, что, на-
пример, при rp = kp; p = 1, 2, и N > r1,M > r2 из соотношения (26)
получаем
EN,M
(
W r1,r2
2 (U2)
)
:= sup
{
EN,M (f) : f ∈W r1,r2
2 (U2)
}
=
=
1
α̃N+1,r1+1α̃M+1,r2+1
.
1. Вакарчук С. Б. О неравенствах типа Колмогорова для некоторых банахо-
вых пространств аналитических функций // Некоторые вопросы анализа
и дифференциальной топологии : Сб. научн. тр. —К. : Ин-т математики
АН УССР. — 1988. — С. 4–7.
2. Вакарчук С. Б., Вакарчук М. Б. О мультипликативных неравенствах ти-
па Харди–Литтльвуда–Полиа для аналитических функций одной и двух
комплексных переменных. // Вiсник Днiпропетровського ун-ту. Сер.: Ма-
тематика. — 2010. — 18, №6/1. — С. 81–87.
3. Вакарчук С. Б., Вакарчук М. Б. О неравенствах типа Колмогорова для
аналитических в круге функций. // Вiсник Днiпропетровського ун-ту.
Сер.: Математика. — 2012. — 20, №6/1. — С. 82–88.
4. Вакарчук С. Б., Вакарчук М. Б. Неравенства типа Колмогорова для ана-
литических функций одной и двух комплексных переменных и их прило-
жение к теории аппроксимации. // Укр. мат. журн. — 2011. — 63, №12. —
С. 1579–1601.
5. Вакарчук С. Б., Вакарчук М. Б. О неравенствах типа Колмогорова для
аналитических в единичном бикруге функций. // Вiсник Днiпропетровсь-
кого ун-ту. Сер.: Математика. — 2013. — 21, №6/1. — С. 61–66.
6. Вакарчук С. Б. О наилучшем приближении обобщенными полиномами в
одном пространстве аналитических функций двух комплексных перемен-
ных. // Изв. вузов. Математика. — 1991. — № 7. — С. 14–25.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-283 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:55Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ad/3d09c1244193e7d06865b90b18c5f7ad.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2832018-02-01T13:41:20Z Best approximation by “angles” of analytic in the unit bidisk functions О наилучшем приближении ''углом'' аналитических в единичном бикруге функций О наилучшем приближении ''углом'' аналитических в единичном бикруге функций Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. Exact in some sense inequalities of the best approximation by ''angles'' $ $, have been obtained for the classes $\mathfrak{B}^{r_1,r_2}_2 (U^2), r_1, r_2 \in \mathbb{N}$, of two complex variables functions analytic in the unit bicircle $U^2$. These results are the application of Kolmogorov type inequalities for some problems of the approximation theory of functions. Для аналитических в единичном бикруге $U^2$ функций двух комплексных переменных, которые принадлежат классу $\mathfrak{B}^{r_1,r_2}_2 (U^2), r_1, r_2 \in \mathbb{N}$, получены в определенном смысле точные неравенства, связанные с наилучшим приближением ''углом''. Указанные результаты являются приложением неравенств типа Колмогорова к некоторым задачам теории аппроксимации функций. Для аналитических в единичном бикруге $U^2$ функций двух комплексных переменных, которые принадлежат классу $\mathfrak{B}^{r_1,r_2}_2 (U^2), r_1, r_2 \in \mathbb{N}$, получены в определенном смысле точные неравенства, связанные с наилучшим приближением ''углом''. Указанные результаты являются приложением неравенств типа Колмогорова к некоторым задачам теории аппроксимации функций. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/283 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 67 - 78 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 67 - 78 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 67 - 78 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/283/316 Авторське право (c) 2015 С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Vakarchuk, M. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. Best approximation by “angles” of analytic in the unit bidisk functions |
| title | Best approximation by “angles” of analytic in the unit bidisk functions |
| title_alt | О наилучшем приближении ''углом'' аналитических в единичном бикруге функций О наилучшем приближении ''углом'' аналитических в единичном бикруге функций |
| title_full | Best approximation by “angles” of analytic in the unit bidisk functions |
| title_fullStr | Best approximation by “angles” of analytic in the unit bidisk functions |
| title_full_unstemmed | Best approximation by “angles” of analytic in the unit bidisk functions |
| title_short | Best approximation by “angles” of analytic in the unit bidisk functions |
| title_sort | best approximation by “angles” of analytic in the unit bidisk functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/283 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb bestapproximationbyanglesofanalyticintheunitbidiskfunctions AT vakarchukmb bestapproximationbyanglesofanalyticintheunitbidiskfunctions AT vakarčuksb bestapproximationbyanglesofanalyticintheunitbidiskfunctions AT vakarčukmb bestapproximationbyanglesofanalyticintheunitbidiskfunctions AT vakarchuksb onailučšempribliženii039039uglom039039analitičeskihvediničnombikrugefunkcij AT vakarchukmb onailučšempribliženii039039uglom039039analitičeskihvediničnombikrugefunkcij AT vakarčuksb onailučšempribliženii039039uglom039039analitičeskihvediničnombikrugefunkcij AT vakarčukmb onailučšempribliženii039039uglom039039analitičeskihvediničnombikrugefunkcij |