Padé type approximants for some special series of two variables
Two-dimensional Pad'e type approximants are constructed and studied for some special power series using method of generalized moment representations.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/285 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552786437079040 |
|---|---|
| author | Veselovska, H. M. Golub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. |
| author_facet | Veselovska, H. M. Golub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. М. Веселовська",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "А. П. Голуб",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Veselovska, H. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-01T13:49:40Z |
| description | Two-dimensional Pad'e type approximants are constructed and studied for some special power series using method of generalized moment representations. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 92–110
УДК 517.53
Г. М. Веселовська, А.П. Голуб (Iн-т математики НАН України,
Київ)
АПРОКСИМАНТИ ТИПУ ПАДЕ ДЛЯ ДЕЯКИХ
СПЕЦIАЛЬНИХ РЯДIВ ДВОХ ЗМIННИХ
Two–dimensional Padé type approximants are constructed and studied for
some special power series using method of generalized moment representations.
За допомогою методу узагальнених моментних зображень побудовано
та вивчено двовимiрнi апроксиманти типу Паде для деяких спецiальних
степеневих рядiв.
Для аналiтичних функцiй двох змiнних рацiональнi апроксиман-
ти, що є аналогами апроксимант Паде, можуть будуватися рiзними
способами (див. [1, c. 323-332]). Один з пiдходiв до побудови таких
апроксимант було запропоновано в [2]. Цей пiдхiд грунтується на
поширеннi методу узагальнених моментних зображень В.К. Дзяди-
ка [3] на випадок двовимiрних числових послiдовностей.
Теорема 1 ([2]). Нехай для коефiцiєнтiв формального степене-
вого ряду двох змiнних вигляду
f(z, w) =
∞∑
k,m=0
sk,mz
kwm (1)
має мiсце узагальнене моментне зображення на добутку лiнiйних
просторiв X × Y за бiлiнiйною формою 〈., .〉
sk+j,m+n = 〈xk,m, yj,n〉, k, j,m, n ∈ Z+. (2)
Тодi, якщо при деяких N1, N2 ∈ N iснує узагальнений полiном
XN1,N2
=
N1∑
k=0
N2∑
m=0
c
(N1,N2)
k,m xk,m (3)
з вiдмiнним вiд нуля старшим коефiцiєнтом c
(N1,N2)
N1,N2
, для якого ви-
конуються умови бiортогональностi
c© Г. М. Веселовська, А. П. Голуб, 2015
Апроксиманти типу Паде . . . 93
〈XN1,N2
, yj,n〉 = 0 (4)
при (j +N1, n+N2) ∈ Z+ ∩DΦ, де DΦ = {(u, t) ∈ R2
+ : Φ(u, t) ≤ 0}, а
функцiя Φ : R2
+ → R має наступнi властивостi:
i) DΦ - обмежена множина в R2
+;
ii) потужнiсть множини DΦ ∩ {(u, t) ∈ Z2
+ : u ≥ N1, t ≥ N2}
дорiвнює (N1 + 1)(N2 + 1)− 1;
iii) рiвняння Φ(u, t) = 0 можна однозначно розв’язати вiдносно t
при u ≤ N1 та вiдносно u при t ≤ N2. При цьому для вiдповiд-
них розв’язкiв t = ϕ(u) та u = ψ(t) мають мiсце нерiвностi
ϕ(u) ≥ N2 ∀u ≤ N1, та ψ(t) ≥ N1 ∀ t ≤ N2,
то рацiональна функцiя
[N/D]f (z, w) =
PN (z, w)
QD(z, w)
, (5)
де
QD(z, w) =
N1∑
k=0
N2∑
m=0
c
(N1,N2)
N1−k,N2−mz
kwm, (6)
а
PN (z, w) =
N1−1∑
k=0
N2−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nsk−j,m−n+
+zN1
N2−1∑
m=0
[ψ(m)]−N1∑
k=0
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n+
+wN2
N1−1∑
k=0
[ϕ(k)]−N2∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n (7)
де [ρ] – цiла частина вiд числа ρ, матиме розвинення у степеневий
ряд, коефiцiєнти якого спiвпадатимуть з коефiцiєнтами ряду (1)
для ∀(k,m) ∈ Z2
+ ∩DΦ.
94 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
З використанням теореми 1 в [2]–[7] було побудовано та дослiд-
жено апроксиманти Паде для низки степеневих, зокрема, гiпергео-
метричних рядiв двох змiнних.
Зауваження . Рацiональнi апроксиманти, що будуються в тео-
ремi 1, є апроксимантами типу Паде з областю iндексiв зна-
менника D = ([0, N1]× [0, N2]) ∩ Z2
+, областю iндексiв чисельника
N = DΦ\{(k,m) : k ≥ N1,m ≥ N2} та областю iндексiв спiвпадання
E = DΦ (див. [1, с. 323-324]).
Двовимiрнi узагальненi моментнi зображення вигляду (4), як вiд-
значалося в [2], можуть бути записаними i в операторному виглядi, а
саме, якщо в лiнiйному нормованому просторi X iснують комутуючi
мiж собою обмеженi лiнiйнi оператори A та B, такi, що ∀(k,m) ∈ Z2
+
Axk,m = xk+1,m,
Bxk,m = xk,m+1,
то зображення (4) буде еквiвалентним зображенню
sk,m = 〈AkBmx0,0, y0,0〉, (k,m) ∈ Z+. (8)
В [6] було розглянуто випадок, коли
(Aϕ)(t) = tϕ(t)
є оператором множення на незалежну змiнну в гiльбертовому про-
сторi X = L2([0, 1], dµ), а B = A2.
Дана стаття присвячена поширенню та узагальненню вказаних
дослiджень.
Нехай в банаховому просторi X задано лiнiйний неперерв-
ний оператор A, такий, що при деякому x̃0 ∈ X , елементи
x̃k = Akx̃0, k = 0,∞, є лiнiйно незалежними. I нехай при цьому для
деякого ỹ0 ∈ Y елементи ỹj = A∗j ỹ0, j = 0,∞, де A∗ – оператор,
спряжений до оператора A вiдносно бiлiнiйної форми 〈., .〉, визначе-
ної на X × Y, є також лiнiйно незалежними. Бiльше того, будемо
припускати, що виконується наступна умова
∀N ∈ N ∃ X̃N =
N∑
k=0
d
(N)
k x̃k, d
(N)
N 6= 0,
Апроксиманти типу Паде . . . 95
такий, що
〈X̃N , yj〉 = 0, j = 0, N − 1. (9)
Легко бачити, що ця умова еквiвалентна умовi теореми Дзядика
(див. [8, с. 22–23]) про побудову одновимiрних апроксимант Паде для
функцiї
f̃(z) =
∞∑
k=0
s̃kz
k = 〈R̂z(A)x̃0, ỹ0〉,
де R̂z(A) = (I − zA)
−1 – резольвентна функцiя оператора A (див. [8,
с. 22]), a
s̃k = 〈Akx̃0, ỹ0〉, k = 0,∞.
В такому разi при кожному фiксованому p = 2, 3, ... на X ×Y ми
можемо розглянути двовимiрне узагальнене моментне зображення
sk,m = 〈AkBmx0,0, y0,0〉, (10)
де x0,0 = x̃0, y0,0 = ỹ0 та B = Ap.
Щоб отримати зображення функцiй, для коефiцiєнтiв степеневих
розвинень яких є справедливими зображення (10), використаємо на-
ступнi леми.
Лема 1. Нехай X – лiнiйний нормований простiр, A : X → X −
обмежений лiнiйний оператор. Тодi у всiх точках регулярностi ре-
зольвентних функцiй R̂z(A) та R̂w(Ap) справджується рiвнiсть
R̂z(A)R̂w(Ap) =
1
zp − w
(
zpR̂z(A)− w
p−1∑
r=0
zrArR̂w(Ap)
)
. (11)
Доведення . Якщо до обох частин (11) застосувати оператор
(zp − w) (I − zA) (I − wAp), то отримаємо
zp − w = zp (I − wAp)− w
p−1∑
r=0
zrAr (I − zA) =
= zp − wzpAp − w (I − zpAp) = zp − w.
96 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
Оскiльки отримана рiвнiсть є очевидною, а z та w є регулярними
точками вiдповiдних резольвентних функцiй, то i початкова рiвнiсть
має мiсце.
Лема 2. За умов леми 1
R̂w(Ap) =
1
p
p−1∑
r=0
Rw1/pξ(p)
r (A),
де ξ(p)
r = e2πir/p, r = 0, p− 1, – коренi p-го степеня з 1.
Доведення . Як вiдомо (див. напр. [9, с. 155]), коренi p-го сте-
пеня з 1 утворюють абелеву групу вiдносно множення. Позначимо
цю групу через Gp. Вона буде циклiчною, i одиничним елементом в
нiй буде ξ(p)
0 = 1. Легко переконатися, що при p ≥ 2 буде мати мiсце
рiвнiсть
p−1∑
r=0
ξ(p)
r =
p−1∑
r=0
(
ξ
(p)
1
)r
=
(
ξ
(p)
1
)p
− 1
ξ
(p)
1 − 1
= 0.
При всiх натуральних k
Gp,m =
{(
ξ
(p)
1
)k
, r = 1, p
}
⊆ Gp
буде утворювати пiдгрупу групи Gp. Бiльше того, якщо найбiль-
ший спiльний дiльник чисел p та k дорiвнює d, то будемо мати
Gp,k = Gp/d.
Отже, при кожному k ∈ N
p−1∑
r=0
(
ξ(p)
r
)k
=
{
0, при k, що не дiлиться на p,
p, при k, що дiлиться на p.
А тому
R̂w(Ap) = (I − wAp)−1
=
∞∑
k=0
wkApk =
∞∑
k=0
(
w1/pA
)pk
=
=
1
p
∞∑
k=0
(
w1/pA
)k p−1∑
r=0
(
ξ(p)
r
)k
=
Апроксиманти типу Паде . . . 97
=
1
p
p−1∑
r=0
∞∑
k=0
(
w1/pξ(p)
r A
)k
=
1
p
p−1∑
r=0
R
w1/pξ
(p)
r
(A).
Аналогiчно встановлюється наступний результат.
Лема 3. Нехай
f̃(z) =
∞∑
k=0
s̃kz
k.
Тодi
f(z, w) =
∞∑
k,m=0
s̃k+pmz
kwm =
zp
zp − w
f̃(z)− w1/p
p
p−1∑
r=0
ξ
(p)
r f̃(w1/pξ
(p)
r )
z − w1/pξ
(p)
r
.
Так що, враховуючи лему 1,
f(z, w) =
∞∑
k,m=0
sk,mz
kwm =
〈
R̂z(A)R̂w(Ap)x̃0, ỹ0
〉
=
=
1
zp − w
{
zp
〈
R̂z(A)x̃0, ỹ0
〉
− w
〈
p−1∑
r=0
zrArR̂w(Ap)x̃0, ỹ0
〉}
. (12)
Для побудови апроксимант типу Паде функцiї вигляду (12) мож-
на застосувати теорему 1.
Покладемо
xk,m = Ak+pmx0,0 = x̃k+pm, (k,m) ∈ Z2
+,
yj,n = A∗(j+pn)y0,0 = ỹj+pn, (j, n) ∈ Z2
+.
Щоб побудувати вiдповiдну апроксиманту зi знаменником вигля-
ду
QN1,N2(z, w) =
N1∑
k=0
N2∑
m=0
q
(N1,N2)
k,m zkwm
потрiбно побудувати узагальнений полiном XN1,N2
вигляду
XN1,N2
=
N1∑
k=0
N2∑
m=0
c
(N1,N2)
k,m xk,m =
N1∑
k=0
N2∑
m=0
c
(N1,N2)
k,m x̃k+pm (13)
98 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
для якого виконуються умови бiортогональностi
〈XN1,N2
, yj,n〉 = 0, (j, n) ∈
(
[0, N1]× [0, N2]
)
\{(N1, N2)},
або ж
〈XN1,N2
, ỹj+pn〉 = 0, (j, n) ∈
(
[0, N1]× [0, N2]
)
\{(N1, N2)},
або ж
〈XN1,N2
, ỹj〉 = 0, j = 0, N1 + pN2 − 1. (14)
Згiдно з нашими припущеннями такий узагальнений полiном iс-
нує та може бути зображений у виглядi
XN1,N2
=
N1+pN2∑
r=0
d(N1+rN2)
r x̃r, d
(N1+pN2)
N1+rN2
6= 0. (15)
Спiвставивши (13) та (15), бачимо, що, вважаючи вiдомими
коефiцiєнти {d(N1+pN2)
r }N1+pN2
r=0 , ми можемо визначати коефiцiєн-
ти {c(N1,N2)
k,m : k = 0, N1,m = 0, N2}, але неоднозначно. Оберемо серед
всiх можливих способiв наступнi:
i)
c
(N1,N2)
k,m =
1
ηk+pm
d
(N1+pN2)
k+pm , (k,m) ∈ [0, N1]× [0, N2], (16)
де ηr – кiлькiсть всiх можливих пар (k,m) ∈ [0, N1] × [0, N2] ,
таких що k + pm = r;
ii)
c
(N1,N2)
k,m =
{
d
(N1+pN2)
k+pm , при (k,m) ∈W (N1, N2, p),
0, при (k,m) /∈W (N1, N2, p)
де множина W (N1, N2, p) =
{
(k,m) ∈
(
[0, p− 1]× [0, N2 − 1]
)
∪
∪{(k,N2) : k ∈ [0, N1]}
}
.
Апроксиманти типу Паде . . . 99
Розглянемо спочатку перший спосiб обчислення коефiцiєнтiв
c
(N1,N2)
k,m . Для цього пiдрахуємо величини ηr, r = 0, N1 + pN2.
Лема 4. Для кожного r = 0, N1 + pN2
ηr =
[
r
p
]
+ 1−
([
r −N1 − 1
p
]
+ 1
)
χN1+1(r)−
−
([
r − pN2 − 1
p
]
+ 1
)
χpN2+1(r), (17)
де
χN (r) =
{
0, r < N
1, r ≥ N. .
Доведення . Розглянемо подвiйну суму
N1∑
k=0
N2∑
m=0
ξk+pm.
Очевидно, що вона буде дорiвнювати
N1+pN2∑
k=0
ηr ξ
k+pm.
З iншого боку
N1∑
k=0
N2∑
m=0
ξk+pm =
N1∑
k=0
ξk
N2∑
m=0
ξpm =
1− ξN1+1
1− ξ
· 1− ξpN2+1
1− ξp
. (18)
Оскiльки мають мiсце розвинення
1
1− ξ
= 1 + ξ + ξ2 + . . . =
∞∑
k=0
ξk,
1
1− ξp
= 1 + ξp + ξ2p + . . . =
∞∑
m=0
ξpm,
100 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
то
1
(1− ξ)(1− ξp)
=
∞∑
r=0
([
r
p
]
+ 1
)
ξr. (19)
Тому отримаємо
N1+pN2∑
r=0
ηr ξ
r =
∞∑
r=0
([
r
p
]
+ 1
)
ξr −
∞∑
r=N1+1
([
r −N1 − 1
p
]
+ 1
)
ξr−
−
∞∑
r=pN2+1
([
r − pN2 − 1
p
]
+ 1
)
ξr+
+
∞∑
r=pN2+N1+2
([
r − pN2 −N1 − 2
p
]
+ 1
)
ξr.
Прирiвнюючи коефiцiєнти при степенях ξ, отримаємо рiвнiсть
(17).
Оскiльки, згiдно з (14), полiном XN1,N2
буде ортогональним не
лише до {
yj,n : (j, n) ∈
(
[0, N1]× [0, N2]
)
\{(N1, N2)}
}
,
але i до
{yj,n : j + pn ≤ N1 + pN2 − 1},
то в теоремi 1 в якостi функцiї Φ вiзьмемо функцiю
Φ(u, t) = u+ pt− 2N1 − 2pN2 + 1.
Тодi для функцiй ψ(t) та ϕ(u) матимемо
ψ(t) = 2N1 + 2pN2 − pt− 1, ϕ(u) = 2N2 + 1
p (2N1 − u− 1).
Отримаємо наступний результат:
Теорема 2. Нехай X та Y — банаховi простори, 〈., .〉 — роздiль-
но неперервна бiлiнiйна форма, визначена на декартовому добутку
X × Y , A : X → X — обмежений лiнiйний оператор, x̃0 ∈ X , ỹ0 ∈ Y
такi, що виконується умова (9).
Апроксиманти типу Паде . . . 101
Тодi для функцiї f , що має зображення (12), при
N1 ≥ p− 1, N2 ≥ 0 рацiональна функцiя
[N/D]f (z, w) =
PN (z, w)
QD(z, w)
, (20)
де
QD(z, w) =
N1∑
k=0
N2∑
m=0
d
(N1+pN2)
N1+pN2−k−pm
ηN1+pN2−k−pm
zkwm, (21)
a
PN (z, w) =
N1−1∑
j=0
N2−1∑
n=0
zjwn
j∑
k=0
n∑
m=0
d
(N1+pN2)
N1+pN2−k−pm
ηN1+pN2−k−pm
s̃j−k+p(n−m)+
+zN1
N2−1∑
n=0
N1+2pN2−pn−1∑
j=0
zjwn
N1∑
k=0
n∑
m=0
d
(N1+pN2)
k+p(N2−m)
ηk+p(N2−m)
s̃k+j+p(n−m)+
+wN2
N1−1∑
j=0
N2+[(2N1−j−1)/p]∑
n=0
zjwn
j∑
k=0
N2∑
m=0
d
(N1+pN2)
N1−k+pm
ηN1−k+pm
s̃j−k+p(n+m),
(22)
матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти яко-
го спiвпадатимуть з коефiцiєнтами ряду (12) для
(k,m) ∈ {(k,m) ∈ Z2
+ : k + pm ≤ 2N1 + 2pN2 + 1}
Врахувавши особливостi визначення коефiцiєнтiв c
(N1,N2)
k,m ,
k = 0, N1, m = 0, N2, за допомогою другого способу отримуємо
наступну теорему.
Теорема 3. Нехай X та Y — банаховi простори, 〈., .〉 — роздiль-
но неперервна бiлiнiйна форма, визначена на декартовому добутку
X × Y , A : X → X — обмежений лiнiйний оператор, x̃0 ∈ X , ỹ0 ∈ Y
такi, що виконується умова (9).
Тодi для функцiї f , що має зображення (12), при
N1 ≥ p− 1, N2 ≥ 0 рацiональна функцiя
[N/D]f (z, w) =
PN (z, w)
QD(z, w)
, (23)
102 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
де
QD(z, w) =
N1∑
k=0
d
(N1+pN2)
N1+pN2−kz
k +
N1∑
k=N1−p+1
N2∑
m=1
d
(N1+pN2)
N1+pN2−k−pmz
kwm,
(24)
a
PN (z, w) =
N1−1∑
k=0
N2−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
d
(N1+pN2)
N1−j+pN2
s̃k−j+pm+
+
N1−1∑
k=N1+1−p
N2−1∑
m=1
zkwm
k∑
j=N1+1−p
m∑
n=1
d
(N1+pN2)
N1−j+p(N2−n) s̃k−j+p(n−m)+
+zN1
N2−1∑
m=0
N1+2pN2−pm−1∑
k=0
zkwm
N1∑
j=0
d
(N1+pN2)
j+pN2
s̃k+j+pm+
+
N2−1∑
m=0
N1+2pN2−pm−1∑
k=0
zkwm
p−1∑
j=0
m∑
n=0
d
(N1+pN2)
j+p(N2−n) s̃k+j+p(m−n)
+wN2
N1−1∑
k=0
N2+[(2N1−k−1)/p]∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
d
(N1+pN2)
N1−j+pN2
s̃k−j+p(m+N2)+
+
N1−1∑
k=N1+1−p
N2+[(2N1−k−1)/p]∑
m=0
zkwm×
×
k∑
j=N1+1−p
N2∑
n=0
d
(N1+pN2)
N1−j+pn s̃k−j+p(n+m)
, (25)
матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти яко-
го спiвпадатимуть з коефiцiєнтами ряду (12) для
(k,m) ∈ {(k,m) ∈ Z2
+ : k + pm ≤ 2N1 + 2pN2 + 1}.
Розглянемо окремi випадки, коли виконується умова (9), i, отже,
з використанням теорем 2 та 3 можна будувати апроксиманти типу
Паде для спецiальних рядiв двох змiнних.
Апроксиманти типу Паде . . . 103
Покладемо X = Y = L2 ([0, 1], dµ), де µ — неспадна функцiя, що
має нескiнченну кiлькiсть точок зростання на [0, 1]. У такому разi
X = Y — нескiнченновимiрний гiльбертiв простiр.
Розглянемо в цьому просторi оператор множення на незалежну
змiнну
(Aϕ)(t) = tϕ(t), ϕ ∈ X .
Будемо вважати також, що
x̃0(t) = ỹ0(t) ≡ 1.
Тодi
x̃k(t) = tk, ỹj(t) = tj , k, j = 0,∞,(
R̂z(A)ϕ
)
(t) =
ϕ(t)
1− zt
,
f̃(z) =
∫ 1
0
dµ(t)
1− zt
.
Всi умови теореми 2, включаючи умову (9), виконуються. Отже,
для функцiї
f(z, w) =
1
zp − w
{
zp
∫ 1
0
dµ(t)
1− zt
− w
p−1∑
r=0
zr
∫ 1
0
trdµ(t)
1− wtp
}
(26)
її апроксиманти типу Паде можуть бути записанi у виглядi (20)–(22),
де d(N)
k , k = 0, N , — коефiцiєнти алгебраїчних многочленiв, ортонор-
мованих на [0,1] за вагою dµ, а
s̃k =
∫ 1
0
tkdµ(t), k = 0,∞,
— це моменти мiри dµ.
Нехай тепер для деяких α, β ∈ [0, 1)
Xα =
{
x(t) : sup
t∈[0,1]
|x(t) tα| <∞
}
,
Yβ =
{
y(t) : sup
t∈[0,1]
|y(t)(1− t)β | <∞
}
,
104 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
||x||Xα = sup
t∈[0,1]
|x(t) tα|,
||y||Yβ = sup
t∈[0,1]
|y(t)(1− t)β |.
Розглянемо в просторi Xα лiнiйний обмежений оператор iнтегру-
вання
(Aϕ) (t) =
∫ t
0
ϕ(τ)dτ.
Спряженим до нього вiдносно бiлiнiйної форми
〈ϕ,ψ〉 =
∫ 1
0
ϕ(t)ψ(t)dt (27)
буде оператор A∗ : Yβ → Yβ
(A∗ψ) (t) =
∫ 1
t
ψ(τ)dτ.
Покладемо також
x̃0(t) = tν , ν > −α,
ỹ0(t) = (1− t)σ, σ > −β.
Тодi
x̃k(t) =
tk+ν
(ν + 1)k
, k = 0,∞,
ỹj(t) =
(1− t)j+σ
(σ + 1)j
, j = 0,∞,
де символ Похгаммера визначається спiвiдношенням
(a)k =
{
1, k = 0
a(a+ 1) . . . (a+ k − 1), k = 1, 2, . . .
Неважко пiдрахувати резольвентну функцiю оператора A (див.,
напр., [8, с. 35–36] )(
R̂z(A)ϕ
)
(t) = ϕ(t) + z
∫ t
0
ϕ(τ)ez(t−z)dτ.
Апроксиманти типу Паде . . . 105
Отож, отримаємо
f̃(z) =
〈
R̂z(A)x̃0, ỹ0
〉
=
=
Γ(ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(ν + σ + 2)
(
1 + zez
∫ 1
0
τν+σ+1e−zτdτ
)
.
При ν + σ + 1 > 0 можна отримати також зображення
f̃(z) =
Γ(ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(ν + σ + 2)
ez
∫ 1
0
τν+σe−zτdτ.
Коефiцiєнти s̃k матимуть вигляд
s̃k =
∫ 1
0
x̃k(t)ỹ0(t)d(t) =
Γ(ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(ν + σ + 2)(ν + σ + 2)k
, k = 0,∞.
Отже,
f̃(z) =
∞∑
k=0
s̃kz
k =
Γ(ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(ν + σ + 2)
∞∑
k=0
zk
(ν + σ + 2)k
=
=
Γ(ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(ν + σ + 2)
1F1(1; ν + σ + 2; z), (28)
де 1F1(a; b; z) – вироджена гiпергеометрична функцiя Куммера [10,
с. 321].
Згiдно з лемою 3
f(z, w) =
zp
zp − w
f̃(z)− w1/p
p
p−1∑
r=0
ξ
(p)
r f̃(w1/pξ
(p)
r )
z − w1/pξ
(p)
r
, (29)
де f̃ має вигляд (28).
Для функцiї вигляду (29) за теоремою 3 будуються апроксиманти
типу Паде з коефiцiєнтами d(N)
k , що будуть мати вигляд
d
(N)
k = p
(N)
k (ν + 1)k,
106 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
де p
(N)
k — коефiцiєнти зсунутих ортогональних на [0,1] за мiрою
tν(1− t)σdt многочленiв Якобi. Вiдомо (див., напр., [10, p. 581]), що
p
(N)
k = (−1)N−k
(
N
k
)
Γ(N + k + σ + ν + 1)
Γ(k + ν + 1)
, k = 1, N.
Для функцiї вигляду (29) справджується наступний результат,
що встановлює збiжнiсть так побудованих апроксимант типу Паде.
Теорема 4. Побудованi в теоремi 3 апроксиманти типу Паде
функцiї f вигляду (29) при ν, σ > −1 на кожному компактi з C2
рiвномiрно збiгаються до f при N1, N2 →∞.
При цьому для знаменникiв апроксимант справджується
асимптотична формула
QD(z, w) = (−1)N1+pN2
Γ(2N1 + 2pN2 + σ + ν + 1)
Γ(ν + 1)
× (30)
×
(
e−z/2 + o(1)
)
, N1, N2 →∞,
а для чисельникiв формула
PN (z, w) = (−1)N1+pN2
Γ(2N1 + 2pN2 + σ + ν + 1)
Γ(ν + 1)
×
×
(
e−z/2f(z, w) + o(1)
)
, N1, N2 →∞. (31)
Доведення . Спочатку встановимо асимптотичну формулу (30).
За теоремою 3 для знаменника QD має мiсце зображення
QD(z, w) =
N1∑
k=0
(−1)N1+pN2−k
(
N1 + pN2
k
)
×
×Γ(2N1 + 2pN2 + σ + ν + 1− k)
Γ(N1 + pN2 + ν + 1− k)
(ν + 1)N1+pN2−kz
k+
+
N1∑
k=N1−p+1
N2∑
m=1
(−1)N1+pN2−k−pm
(
N1 + pN2
k + pm
)
×
Апроксиманти типу Паде . . . 107
×Γ(2N1 + 2pN2 + σ + ν + 1− k − pm)
Γ(N1 + pN2 + ν + 1− k − pm)
(ν + 1)N1+pN2−k−pmz
kwm =
=
(−1)N1+pN2Γ(2N1 + 2pN2 + σ + ν + 1)
Γ(ν + 1)
×
×
{
N1∑
k=0
(−1)k
(
N1 + pN2
k
)
Γ(2N1 + 2pN2 + σ + ν + 1− k)
Γ(2N1 + 2pN2 + σ + ν + 1)
×
× Γ(N1 + pN2 + ν + 1)
Γ(N1 + pN2 + ν + 1− k)
· (ν + 1)N1+pN2−k
(ν + 1)N1+pN2
zk+
+
N1∑
k=N1−p+1
N2∑
m=1
(−1)k+pm
(
N1 + pN2
k + pm
)
×
×Γ(2N1 + 2pN2 + σ + ν + 1− k − pm)
Γ(2N1 + 2pN2 + σ + ν + 1)
×
× Γ(N1 + pN2 + ν + 1)
Γ(N1 + pN2 + ν + 1− k − pm)
· (ν + 1)N1+pN2−k−pm
(ν + 1)N1+pN2
zkwm
}
=
= κN1,N2
(
S(z) + T (z, w)
)
.
Для S(z) маємо
S(z) =
N1∑
k=0
(−1)k
(
N1 + pN2
k
)
Γ(2N1 + 2pN2 + σ + ν + 1− k)
Γ(2N1 + 2pN2 + σ + ν + 1)
×
× Γ(N1 + pN2 + ν + 1)
Γ(N1 + pN2 + ν + 1− k)
· (ν + 1)N1+pN2−k
(ν + 1)N1+pN2
zk =
=
N1∑
k=0
(−z)k
k!
· (N1 + pN2) . . . (N1 + pN2 − k + 1)
(2N1 + 2pN2 + σ + ν) . . . (2N1 + 2pN2 + σ + ν − k + 1)
=
=
N1∑
k=0
(−z)k
k!
k∏
r=1
N1 + pN2 − r + 1
2N1 + 2pN2 + σ + ν − k + 1
=
=
N1∑
k=0
(−z)k
k!
k∏
r=1
(
1
2
− 1/2(σ + ν + r − 1)
2N1 + 2pN2 + σ + ν − r + 1
)
.
108 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
При деякому досить великому M < N1 розглянемо рiзницю∣∣∣S(z)− e−z/2
∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣
M∑
k=0
(−z/2)k
k!
{
k∏
r=1
(
1− σ + ν + r − 1
2N1 + 2pN2 + σ + ν − r + 1
)
− 1
}∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣
N1∑
k=M+1
(−z/2)k
k!
k∏
r=1
(
1− σ + ν + r − 1
2N1 + 2pN2 + σ + ν − r + 1
)∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣
∞∑
k=M+1
(−z/2)k
k!
∣∣∣∣∣ .
На кожному компактi з C2 при кожному фiксованому M перший
доданок при N1, N2 → ∞ буде рiвномiрно прямувати до 0. Другий
та третiй доданки за рахунок вибору M можна зробити як завгодно
малими.
Аналогiчно для T (z, w) маємо
T (z, w) =
p−1∑
l=0
N2∑
m=1
(
−1
2
)N1−l+pm 1
(N1 − l + pm)!
×
×
N1−l+pm∏
r=1
(
1− σ + ν + r − 1
2N1 + 2pN2 + σ + ν − r + 1
)
zN1−lwm.
Очевидно, що при досить великих N1 та N2 буде∣∣∣∣1− σ + ν + r − 1
2N1 + 2pN2 + σ + ν − r + 1
∣∣∣∣ < δ,
де 1 < δ <∞. Отож,
|T (z, w)| ≤
p−1∑
l=0
N2∑
m=1
(
δ
2
)N1−l+pm
|z|N1−l|w|m 1
(N1 − l + pm)!
.
Апроксиманти типу Паде . . . 109
Вiзьмемо досить велике M < N2. Тодi
|T (z, w)| ≤
p−1∑
l=0
M∑
m=1
(
δ
2
)N1−l+pm
|z|N1−l|w|m 1
(N1 − l + pm)!
+
+
p−1∑
l=0
N2∑
m=M+1
(
δ
2
)N1−l+pm
|z|N1−l|w|m 1
(N1 − l + pm)!
.
Перший доданок при N1, N2 → ∞ прямує до 0, а другий, за ра-
хунок вибору M , може бути зробленим як завгодно малим.
Таким чином, асимптотична формула (30) встановлена. Завдяки
цiй формулi ми можемо також стверджувати, що на кожному ком-
пактi з C2, починаючи з деяких великих номерiв N1 та N2, вiдсутнi
нулi знаменникiв апроксиманти типу Паде.
Решта тверджень теореми встановлюються аналогiчно вiдповiд-
ним твердженням теореми 2 з [5] з використанням формули для по-
хибки апроксимацiї типу Паде, встановленої в [2].
1. Бейкер Дж., Грейвс–Моррис П.Р. Аппроксимации Паде. — М.: Мир,
1986. — 502 с.
2. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зображен-
ня та рацiональнi апроксимацiї функцiй двох змiнних // Укр. мат. журн. —
2013. — 65, №8. — С. 1035 – 1058.
3. Дзядик В. К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН УРСР. —
1981. — 6. — С. 8–12.
4. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Побудова апроксимант Паде для деяких
гiпергеометричних рядiв Аппеля за допомогою методу узагальнених мо-
ментних зображень // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання:
Зб. праць Iн–ту математики НАН України. — 2013. — 10, №1. — С. 69–94.
5. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зобра-
ження та апроксимацiї Паде деяких рядiв Гумберта // Укр. мат. журн. —
2013. — 65, №10. — С. 1315 – 1331.
6. Голуб А. П., Веселовська Г. М. Двовимiрнi апроксиманти типу Паде для
деяких аналiтичних функцiй двох змiнних // Теорiя наближення функцiй
та сумiжнi питання. Зб. праць Iн–ту математики НАН України. — 2014. —
11, №3. — С. 71 – 77.
7. Чернецька Л. О. Побудова двовимiрних апроксимант Паде деяких
аналiтичних функцiй двох змiнних за допомогою методу узагальнених мо-
ментних зображень // Мат. студiї. — 2014. — 11, №2. — С. 201 – 213.
110 Г.М. Веселовська, А.П. Голуб
8. Голуб А. П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. —
К.: Iн-т математики НАНУ, 2002. — 222 с.
9. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1976. — 648 c.
10. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица, И. Сти-
ган. — М.: Наука, 1979. — 832 с.
11. Маркушевич А. М. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1967. —
Т.1. — 488 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-285 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:58Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/84/8770eddad49346b9df449d2cd4a28e84.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2852018-02-01T13:49:40Z Padé type approximants for some special series of two variables Апроксиманти типу Паде для деяких спеціальних рядів двох змінних Veselovska, H. M. Golub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. Two-dimensional Pad'e type approximants are constructed and studied for some special power series using method of generalized moment representations. За допомогою методу узагальнених моментних зображень побудовано та вивчено двовимірні апроксиманти типу Паде для деяких спеціальних степеневих рядів. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/285 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 92 - 110 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 92 - 110 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 92 - 110 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/285/318 Авторське право (c) 2015 Г. М. Веселовська, А. П. Голуб |
| spellingShingle | Veselovska, H. M. Golub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. Padé type approximants for some special series of two variables |
| title | Padé type approximants for some special series of two variables |
| title_alt | Апроксиманти типу Паде для деяких спеціальних рядів двох змінних |
| title_full | Padé type approximants for some special series of two variables |
| title_fullStr | Padé type approximants for some special series of two variables |
| title_full_unstemmed | Padé type approximants for some special series of two variables |
| title_short | Padé type approximants for some special series of two variables |
| title_sort | padé type approximants for some special series of two variables |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/285 |
| work_keys_str_mv | AT veselovskahm padetypeapproximantsforsomespecialseriesoftwovariables AT golubap padetypeapproximantsforsomespecialseriesoftwovariables AT veselovsʹkagm padetypeapproximantsforsomespecialseriesoftwovariables AT golubap padetypeapproximantsforsomespecialseriesoftwovariables AT veselovskahm aproksimantitipupadedlâdeâkihspecíalʹnihrâdívdvohzmínnih AT golubap aproksimantitipupadedlâdeâkihspecíalʹnihrâdívdvohzmínnih AT veselovsʹkagm aproksimantitipupadedlâdeâkihspecíalʹnihrâdívdvohzmínnih AT golubap aproksimantitipupadedlâdeâkihspecíalʹnihrâdívdvohzmínnih |