Orthoprotection widths of classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$
Obtained here are the exact order estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/286 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552787161645056 |
|---|---|
| author | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. |
| author_facet | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. М. Власик",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Vlasyk, H. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-01T13:52:29Z |
| description | Obtained here are the exact order estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т. 12, № 4, 111–124
УДК 517.5
Г. М. Власик (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОРТОПРОЕКЦIЙНI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ Lψβ,p
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ У ПРОСТОРI Lq
Obtained here are the exact order estimates of orthoprojective widths of the
classes Lψβ,p in the space Lq for some relations between the parameters p and q.
Отримано точнi за порядком оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв
класiв Lψβ,p у просторi Lq для деяких спiввiдношень мiж параметрами
p i q.
У роботi встановлюються точнi за порядком оцiнки ортопроек-
цiйних поперечникiв класiв Lψβ,p перiодичних функцiй однiєї змiнної
у просторi Lq для певних спiввiдношень мiж параметрами p та q.
Нехай Lq — простiр 2π-перiодичних i сумовних у степенi q,
1 ≤ q <∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при q = ∞), на вiдрiз-
ку [−π, π] функцiй f . Норма в цьому просторi визначається таким
чином:
‖f‖Lq = ‖f‖q =
(
1
2π
π∫
−π
|f(x)|qdx
) 1
q
, 1 ≤ q <∞,
ess sup
x∈[−π,π]
|f(x)| , q =∞.
Для функцiї f ∈ L1 розглянемо її ряд Фур’є∑
k∈Z
f̂(k)eikx,
де f̂(k) = 1
2π
π∫
−π
f(t)e−iktdt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f. I скрiзь
нижче будемо вважати, що для f ∈ L1 виконується умова
π∫
−π
f(t)dt = 0.
c© Г. М. Власик, 2015
112 Г.М. Власик
Далi, нехай ψ 6= 0 — довiльна функцiя натурального аргументу,
β — довiльне фiксоване дiйсне число. Якщо ряд
∑
k∈Z\{0}
ei
π
2 βsignk
ψ(|k|)
f̂(k)eikx
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї, то її, наслiдуючи О.I. Сте-
панця [1, с. 25] (див. також [2, Т. 1, с. 132]), назвемо (ψ, β)-похiдною
функцiї f i позначимо fψβ . Множину функцiй f , що задовольняють
таку умову, позначатимемо Lψβ . Надалi будемо вважати, що функцiя
f належить класу Lψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, якщо
f ∈ Lψβ i f
ψ
β ∈ Up = {ϕ : ϕ ∈ Lp, ‖ϕ‖p ≤ 1}.
Зауважимо, що при ψ(|k|) = |k|−r, r > 0, k ∈ Z \ {0}, класи Lψβ,p
спiвпадають з класами Вейля-НадяW r
p,β (див., наприклад, [1, с. 25]).
Позначимо через Ψ множину функцiй ψ, що задовольняють умо-
ви:
1) ψ — додатнi i незростаючi;
2) iснує стала C > 0 така, що
ψ(τ)
ψ(2τ)
≤ C, ∀τ ∈ N.
Зазначимо, що до множини Ψ належать, наприклад, функцiї:
1
τr , r > 0; lnγ(τ+1)
τr , γ ∈ R, r > 0 та iн.
Надалi для величин A i B запис A � B означає, що iснують
додатнi сталi C1 та C2 такi, що C1A ≤ B ≤ C2A. Якщо тiльки
B ≤ C2A (B ≥ C1A), то пишемо B � A (B � A). Всi константи
Ci, i = 1, 2, ..., якi будуть зустрiчатися у роботi, можуть залежати
лише вiд тих параметрiв, що входять в означення класу та метрики,
у якiй вимiрюється похибка наближення.
Тепер перейдемо до означення апроксимативних характеристик,
якi будуть дослiджуватися.
Нехай {uj}mj=1 — ортонормована система функцiй uj ∈ L∞,
j = 1,m. Кожнiй функцiї f ∈ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, поставимо у вiдпо-
Ортопроекцiйнi поперечники класiв Lψβ,p . . . 113
вiднiсть апарат наближення вигляду
m∑
j=1
(f, uj)uj(x),
де
(f, uj) =
1
2π
π∫
−π
f(x)uj(x)dx,
а uj — функцiї комплексно-спряженi до uj .
Якщо F ⊂ Lq — деякий функцiональний клас, то величина
d⊥m(F,Lq) = inf
{uj}mj=1
sup
f∈F
∥∥∥∥f − m∑
j=1
(f, uj)uj
∥∥∥∥
q
(1)
називається ортопроекцiйним поперечником цього класу у просторi
Lq. Ортопроекцiйний поперечник введено В.М. Темляковим [3]. Па-
ралельно з поперечниками d⊥m(F,Lq) будемо розглядати величини
dBm(F,Lq), також введенi В.М. Темляковим (див., наприклад, [4]),
якi для функцiонального класу F ⊂ Lq означаються за формулою
dBm(F,Lq) = inf
G∈Lm(B)q
sup
f∈F∩D(G)
∥∥∥∥f −Gf∥∥∥∥
q
. (2)
Тут через Lm(B)q позначено множину лiнiйних операторiв G, якi
задовольняють умови:
а) область визначення D(G) цих операторiв мiстить всi тригоно-
метричнi полiноми, а область значення мiститься у пiдпросторi Lq
розмiрностi m;
б) iснує число B ≥ 1 таке, що для всiх k виконується нерiвнiсть
||Geikx||2 ≤ B.
Зауважимо, що до Lm(1)2 належать, зокрема, оператори ортого-
нального проектування на пiдпростори розмiрностi m, а також опе-
ратори, якi задаються по ортонормованiй системi функцiй за допомо-
гою мультиплiкатора, котрий означається послiдовнiстю {λl} такою,
що |λl| ≤ 1 для всiх l. Iз означення величин d⊥m(F,Lq) i dBm(F,Lq)
слiдує, що вони пов’язанi мiж собою спiввiдношенням
dBm(F,Lq) ≤ d⊥m(F,Lq). (3)
114 Г.М. Власик
Iз нерiвностi (3) видно, що оцiнки знизу величин dBm(F,Lq) мо-
жуть слугувати оцiнками знизу для ортопроекцiйних поперечникiв
d⊥m(F,Lq) i, навпаки, оцiнки зверху для поперечникiв d⊥m(F,Lq) мож-
на використовувати для оцiнок зверху величини dBm(F,Lq). Ця обста-
вина буде врахована при доведеннi вiдповiдних тверджень. Вiдмiти-
мо також, що при доведеннi оцiнок знизу величини dBm(F,Lq) будемо
використовувати метод, який розробив В.М. Темляков при встанов-
леннi оцiнок цих величин для деяких класiв функцiї багатьох змiн-
них [4, 5, 6]. Суть цього методу полягає в побудовi функцiй з класiв
F , якi "погано" наближаються за допомогою операторiв G. З деталь-
нiшою iнформацiєю стосовно дослiдження величин (1) i (2) можна
ознайомитись у роботах [5], [7 – 16], а також у монографiях [4, 6].
1. Допомiжнi твердження. У цьому пунктi сформулюємо
декiлька вiдомих тверджень, якi будуть використовуватися при вста-
новленнi отриманих результатiв.
Нехай Lψβ,p ⊂ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, тодi через En(Lψβ,p)q будемо позна-
чати величину
En(Lψβ,p)q = sup
f∈Lψβ,p
∥∥∥∥f(x)−
n∑
k=−n
f̂(k)eikx
∥∥∥∥
q
.
Зазначимо, що величини d⊥m(Lψβ,p, Lq) i En(Lψβ,p)q, де m = 2n + 1,
пов’язанi мiж собою нерiвнiстю
d⊥m(Lψβ,p, Lq) ≤ En(Lψβ,p)q. (4)
Теорема А [17]. Нехай 1 < p < ∞, β ∈ R, ψ ∈ Ψ ∩ Ψp, де Ψp —
множина монотонно незростаючих послiдовностей ψ(τ), для яких
iснує стала α > 1
p така, що послiдовнiсть ψ(τ)τα майже спадає.
Тодi справедливе наступне спiввiдношення
Em(Lψβ,p)∞ � ψ(m)m1/p.
Теорема Б [17]. Нехай β ∈ R, ψ ∈ Ψ∩Ψ1, де Ψ1 — множина мо-
нотонно незростаючих послiдовностей ψ(τ), для яких iснує стала
Ортопроекцiйнi поперечники класiв Lψβ,p . . . 115
α > 1 така, що послiдовнiсть ψ(τ)τα майже спадає, i виконується
одна з умов
∆2
(
1
ψ(k)
)
≥ 0, k ∈ N, (5)
або
∆2
(
1
ψ(k)
)
≤ 0, k ∈ N, (6)
де
∆2
(
1
ψ(k)
)
=
1
ψ(k)
− 2
ψ(k + 1)
+
1
ψ(k + 2)
.
Тодi справедливе наступне спiввiдношення
Em(Lψβ,1)∞ � ψ(m)m.
Теорема В [18]. Нехай 1 < q ≤ p < ∞, ψ ∈ Ψ, β ∈ R. Тодi
справедливе наступне спiввiдношення
Em(Lψβ,p)q � ψ(m).
Нехай
TN =
{
t : t(x) =
N∑
k=−N
cke
ikx
}
.
Тодi справедливе наступне твердження.
Теорема Г [19]. Нехай ψ ∈ Ψ, β ∈ R, 1 < p < ∞. Тодi для
довiльного полiнома t ∈ TN справедлива оцiнка
‖tψβ ‖p � ψ−1(N)‖t‖p.
Лема А [6, с. 55]. Нехай A — лiнiйний оператор, такий, що для
довiльного k
Aeikx =
m∑
l=1
akl ψl(x),
де {ψl}ml=1 — ортонормована система функцiй. Тодi для довiльного
тригонометричного полiнома t ∈ TN виконується нерiвнiсть
min
y=x
ReAt(x− y) ≤ B(m(2N + 1))1/2 max
k
|t̂(k)|.
116 Г.М. Власик
Твердження А [2, Т.II, с. 119]. Нехай ψ(τ) — довiльна незрос-
таюча послiдовнiсть невiд’ємних чисел, для яких виконується одна
з умов (5) або (6) i, крiм того,∣∣∣∣ sin βπ2
∣∣∣∣N−1∑
k=1
ψ(N)(kψ(k))−1 = O(1), (7)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по N . Тодi для довiльного
тригонометричного полiнома t ∈ TN виконується нерiвнiсть
‖tψβ ‖1 ≤ O(1)|ψ(N)|−1‖t‖1,
в якiй величина O(1) — рiвномiрно обмежена по N i t.
2. Основнi результати. Має мiсце таке тведження.
Теорема 1. Нехай 1 < p < ∞, ψ ∈ Ψ, β ∈ R i, крiм того, iснує
таке ε > 0, що ψ(τ)τ1/p+ε, τ ∈ N, не зростає. Тодi
dBm(Lψβ,p, L∞) � d⊥m(Lψβ,p, L∞) � ψ(m)m1/p. (8)
Доведення. Оцiнки зверху в (8) одержуються з оцiнок наб-
лиження функцiй з класiв Lψβ,p сумами Фур’є у метрицi простору
L∞. Для цього достатньо скористатися теоремою А та нерiвностя-
ми (3) i (4):
dBm(Lψβ,p, L∞) ≤ d⊥m(Lψβ,p, L∞)� Em(Lψβ,p)∞ � ψ(m)m1/p.
Тепер перейдемо до встановлення в (8) оцiнок знизу, зробивши
попередньо деякi зауваження.
При оцiнцi знизу величин dBm(Lψβ,p, L∞) будемо вважати, що опе-
ратори G належать до Lm(B)2. Таке припущення не є додатко-
вим обмеженням на оператори G, i це детально було обгрунтовано
В.М. Темляковим у роботi [5].
Розглянемо ядро Валле-Пуссена вигляду
V2n(x) = 1+2
2n∑
k=1
cos kx+2
2n+1−1∑
k=2n+1
(
2n+1 − k
2n
)
cos kx, m ∈ N, x ∈ R.
Ортопроекцiйнi поперечники класiв Lψβ,p . . . 117
ЧерезV2n позначимо оператор, що дiє на функцiю f ∈ Lq наступним
чином
V2nf = f ∗ V2n ,
де "∗" — операцiя згортки.
Далi, нехай задано оператор G ∈ Lm(B)q i n ∈ N таке, що 2n > m.
Розглянемо оператор
A = V2nG ∈ Lm(B)2.
Вiдомо (див., наприклад, [6, с. 28]), що має мiсце спiввiдношення
‖V2n‖q→q ≤ 3, 1 ≤ q ≤ ∞,
i тому для f ∈ T2n можемо записати
‖f −Af‖q = ‖V2n(f −Gf)‖q � ‖f −Gf‖q, 1 ≤ q ≤ ∞. (9)
Iз спiввiдношення (9) випливає, що оцiнку знизу достатньо встано-
вити для класу Lψβ,p∩T2n i операторiв A ∈ Lm(B)q з областю значень
в T2n+1 . Тодi для оператора A i класу функцiй Lψβ,p можемо записати
спiввiдношення, яке є наслiдком (9),
inf
A∈Lm(B)q
sup
f∈Lψβ,p∩T2n
‖f −Af‖q � dBm(Lψβ,p, Lq). (10)
Тепер перейдемо безпосередньо до отримання оцiнки знизу вели-
чин dBm(Lψβ,p, L∞). Розглянемо функцiю
ϕn(x) = K2n−1(x),
де
Kl−1(t) =
∑
|k|≤l−1
(
1− |k|
l
)
eikx
— ядро Фейєра порядку l, Kl−1(t) ≡ 1 при l ≤ 1.
Встановимо оцiнку знизу величин в лiвiй частинi спiввiдношення
(10). Розглянемо величину
I = sup
y
‖ϕn(x− y)−Aϕn(x− y)‖∞.
118 Г.М. Власик
Легко бачити, що
I ≥ ϕn(0)−min
y=x
Re Aϕn(x− y). (11)
Згiдно з означенням функцiї ϕn можемо записати
ϕn(0) = 2n. (12)
Тодi, використовуючи лему А та рiвнiсть (12), отримуємо
I ≥ 2n −B(m2n+1)1/2. (13)
Виберемо n ∈ N так, щоб виконувались спiввiдношення
2n > 2B(m2n+1)1/2 i m � 2n. Тодi, використовуючи оцiнки (11) –
(13), маємо
I = sup
y
‖ϕn(x− y)−Aϕn(x− y)‖∞ � 2n.
Вiдповiдно, знайдеться такий y∗, що
‖ϕn(x− y∗)−Aϕn(x− y∗)‖∞ � 2n. (14)
Для завершення доведення оцiнки знизу величин dBm(Lψβ,p, L∞)
розглянемо функцiю
g(x) = C3ψ(2n)2−n(1−1/p)ϕn(x), C3 > 0.
Використовуючи властивiсть ядра Фейєра (див., наприклад,
[6, с. 27]),
‖K2n−1‖p � 2n(1−1/p), 1 ≤ p ≤ ∞, (15)
згiдно з теоремою Г, легко переконатися, що g ∈ Lψβ,p, 1 < p <∞:
‖gψβ ‖p � ψ−1(2n)‖g‖p �
� 2−n(1−1/p)ψ−1(2n)ψ(2n)‖ϕn‖p �
� 2−n(1−1/p)2n(1−1/p) = 1.
Звiдси слiдує, що при певному виборi сталої C3 > 0 функцiя g ∈ Lψβ,p.
Ортопроекцiйнi поперечники класiв Lψβ,p . . . 119
Таким чином, скориставшись оцiнкою (14), на пiдставi (10), бу-
демо мати
dBm(Lψβ,p, L∞)� ‖g(x− y∗)−Ag(x− y∗)‖∞ �
� ψ(2n)2−n(1−1/p)‖ϕn(x− y∗)−Aϕn(x− y∗)‖∞ �
� ψ(2n)2−n(1−1/p)2n = ψ(2n)2n(1/p) � ψ(m)m1/p. (16)
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай ψ ∈ Ψ, β ∈ R, виконується одна з умов (5) або
(6) i, крiм того, iснує таке ε > 0, що ψ(τ)τ1+ε, τ ∈ N, не зростає.
Тодi
dBm(Lψβ,1, L∞) � d⊥m(Lψβ,1, L∞) � ψ(m)m. (17)
Доведення. Оцiнки зверху в (17) випливають iз теореми Б та
нерiвностей (3) i (4):
dBm(Lψβ,1, L∞) ≤ d⊥m(Lψβ,1, L∞)� Em(Lψβ,1)∞ � ψ(m)m.
Для встановлення оцiнки знизу величин dBm(Lψβ,1, L∞) розглянемо
функцiю
g1(x) = C4ψ(2n)ϕn(x), C4 > 0,
де n пов’язано з m як i в попереднiй теоремi, тобто 2n � m. Покаже-
мо, що при певному виборi сталої C4 функцiя g1 належить класу Lψβ,1.
Для цього достатньо пересвiдчитися, що ‖(g1)ψβ ‖ � 1. Iз цiєю метою
скористаємося твердженням А. Зауважимо, що умова (7) виконуєть-
ся, оскiльки iснує таке число α > 1, що послiдовнiсть η(m) = ψ(m)mα
не зростає, а
m−1∑
k=1
ψ(m)
kψ(k)
=
m−1∑
k=1
η(m)kα
mαη(k)k
≤ 1
mα
m−1∑
k=1
kα
k
≤ 1.
Отже, на пiдставi твердження А i спiввiдношення (15) одержимо,
що
‖(g1)ψβ ‖1 � ψ−1(2n)‖g1‖1 � ψ−1(2n)ψ(2n) = 1,
звiдки слiдує, що g1 належить класу Lψβ,1.
120 Г.М. Власик
Таким чином, скориставшись оцiнкою (14), згiдно з (10), будемо
мати
dBm(Lψβ,1, L∞)� ‖g1(x− y∗)−Ag1(x− y∗)‖∞ �
� ψ(2n)‖ϕn(x− y∗)−Aϕn(x− y∗)‖∞ �
� ψ(2n)2n � ψ(m)m.
Теорему 2 доведено.
Теорема 3. Нехай 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞, (p, q) 6∈ {(1, 1), (∞,∞)}, ψ ∈ Ψ,
β ∈ R. Тодi справедливi порядковi оцiнки
dBm(Lψβ,p, Lq) � d
⊥
m(Lψβ,p, Lq) � ψ(m). (18)
Доведення. Оцiнку зверху в (18) одержимо з оцiнок наближення
функцiй з класiв Lψβ,p сумами Фур’є у метрицi простору Lq. Оскiльки
Lψβ,∞ ⊂ Lψβ,p, 1 ≤ p <∞, i ‖ · ‖q ≤ ‖ · ‖p, то оцiнку зверху величини
d⊥m(Lψβ,p, Lq) достатньо довести для випадку 1 < q = p < ∞. Для
цього скористаємося теоремою В та нерiвностями (3) i (4):
dBm(Lψβ,p, Lq) ≤ d
⊥
m(Lψβ,p, Lq)� Em(Lψβ,p)q � ψ(m).
Переходячи в (18) до оцiнок знизу, зауважимо, що при цьо-
му достатньо отримати необхiдну оцiнку знизу для величини
dBm(Lψβ,∞, L1). При цьому, не зменшуючи загальностi, будемо вважа-
ти, що оператори G належать множинi Lm(B)2.
Отже, нехай G ∈ Lm(B)2 i для довiльного k виконується рiвнiсть
Geikx =
m∑
l=1
akl ψl(x), (19)
де {ψl}ml=1 — ортонормована система функцiй. Зазначимо, що для
довiльного k
m∑
l=1
|akl |2 ≤ B2, (20)
а для довiльного l ∑
k
|ψ̂l(k)|2 ≤ 1. (21)
Ортопроекцiйнi поперечники класiв Lψβ,p . . . 121
Для s ∈ N розглянемо множину
ρ(s) = {k : 2s−1 ≤ |k| < 2s}
i нехай n таке, що
|ρ(n− 1)| < 4B2m ≤ |ρ(n)|,
де |ρ(l)| — кiлькiсть елементiв множини ρ(l) ⊂ Z.
Розглянемо наближення функцiй eikx, k ∈ ρ(n), операторами
G ∈ Lm(B)2. Позначимо
αk = (Geikx, eikx).
Тодi згiдно з (19) можемо записати
αk =
m∑
l=1
akl ψ̂l(k).
Тому, скориставшись (20), отримаємо
|αk|2 ≤
m∑
l=1
|akl |2
m∑
l=1
|ψ̂l(k)|2 ≤ B2
m∑
l=1
|ψ̂l(k)|2.
Далi, враховуючи спiввiдношення (21), будемо мати
∑
k∈ρ(n)
|αk|2 ≤ B2
∑
k∈ρ(n)
m∑
l=1
|ψ̂l(k)|2 = B2
m∑
l=1
∑
k∈ρ(n)
|ψ̂l(k)|2 ≤
≤ B2
m∑
l=1
1 = B2m.
Звiдси робимо висновок, що знайдеться таке число k0 ∈ ρ(n), що
αk0 ≤ 1
2 . У такому випадку, оскiльки (eik0x, eik0x) = 1, можемо запи-
сати
1
2
≤ |1− αk0 | = |(eik0x −Geik0x, eik0x)| ≤ ‖eik0x −Geik0x‖1, (22)
122 Г.М. Власик
де G ∈ Lm(B)2.
Нарештi, враховуючи те, що для операторiв A ∈ Lm(B)2 та
G ∈ Lm(B)1 i тригонометричних полiномiв t ∈ TN виконується нерiв-
нiсть
‖t−At‖1 ≤ 3‖t−Gt‖1,
згiдно з (22) будемо мати
‖eik0x −Geik0x‖1 ≥
1
6
. (23)
Тепер розглянемо функцiю
g2(x) = C5ψ(2n)eik0x, C5 > 0. (24)
Легко переконатися, що g2 ∈ Lψβ,∞. Дiйсно, оскiльки
‖(g2)ψβ ‖∞ = ψ(2n)ψ−1(k0)‖eik0x‖∞ � 1,
то звiдси випливає, що з певною сталою C5 функцiя g2 належить
класу Lψβ,∞.
Далi, скориставшись оцiнкою (23), можемо записати
‖g2(·)−Gg2(·)‖1 = ψ(2n)‖eik0x −Geik0x‖1 � ψ(2n).
Таким чином,
d⊥m(Lψβ,∞, L1) ≥ dBm(Lψβ,∞, L1)� ψ(2n) � ψ(m),
а, отже, i
d⊥m(Lψβ,p, Lq) ≥ d
B
m(Lψβ,p, Lq) � ψ(m).
Теорему 3 доведено.
Зауваження 1. У випадку ψ(|k|) = |k|−r, r > 0, вiдповiднi
твердження до теорем 1 – 3 встановлено у роботi [6, с. 51].
Зауваження 2. Питання про порядки величин d⊥m(Lψβ,p, Lp) i
dBm(Lψβ,p, Lp), де p ∈ {1,∞}, залишаються вiдкритими.
Зауваження 3. Теореми 1 – 3 доповнюють результати роботи
[20].
Ортопроекцiйнi поперечники класiв Lψβ,p . . . 123
Зауваження 4. Порядковi оцiнки ортопроекцiйних поперечни-
кiв при деяких спiввiдношеннях мiж параметрами p та q реалiзу-
ються вiдповiдними порядковими оцiнками наближенння функцiй з
класiв Lψβ,p сумами Фур’є у метрицi простору Lq.
1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функ-
ций. — К.: Наук. думка, 1987. — 268 с.
2. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. — К.: Ин-т матема-
тики НАН Украины, 2002. — 40. — Т.I. — 427 с.; Т.II. — 468 с.
3. Темляков В. Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких пе-
ременных // Докл. АН СССР. — 1982. — 267, №2. — С. 314 – 317.
4. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной про-
изводной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — 178, №2. — С. 3 – 113.
5. Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик класоов функций
с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. — 1989. — 189. — С. 138 – 168.
6. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. — New York: Nova
Sci. Publ. Inc., 1993. — 272 p.
7. Андрианов А. В., Темляков В. Н. О двух методах распространения
свойств систем функций от одной переменной на их тензорное произве-
дение // Тр. МИРАН. — 1997. — 219. — С. 32 – 43.
8. Галеев Э. М. Порядки ортопроекционных поперечников классов перио-
дических функций одной и нескольких переменных // Мат. заметки. —
1988. — 43, №2. — С. 197 – 211.
9. Романюк А. С. Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова
Brp,θ периодических функций многих переменных в пространстве Lq . I //
Укр. мат. журн. — 2001. — 53, №9. — С. 1224 – 1231.
10. Романюк А. С. Оценки аппроксимативных характеристик классов Бесова
Brp,θ периодических функций многих переменных в пространстве Lq . II //
Укр. мат. журн. — 2001. — 53, №10. — С. 1402 – 1408.
11. Романюк А. С., Романюк В. С. Тригонометрические и ортопроекционные
поперечники классов периодических функций многих переменных // Укр.
мат. журн. — 2009. — 61, №10. — С. 1348 – 1366.
12. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодиче-
ских функций многих переменных // Працi Iн–ту мат. НАН України. —
2012. — 93. — 352 с.
13. Федуник О. В. Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ перiо-
дичних функцiй багатьох змiнних в просторi Lq // Проблеми теорiї наб-
лиження функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн–ту мат. НАН України.
— 2005. — 2, №2. — С. 268 – 294.
124 Г.М. Власик
14. Стасюк С. А., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики класiвBΩ
p,θ
перiодичних функцiй багатьох змiнни // Укр. мат. журн. — 2006. — 58,
№5. — С. 692 – 704.
15. Дерев’янко Н. В. Ортопроекцiйнi поперечники класiв перiодичних функ-
цiй багатьох змiнних // Аналiз i застосування: Зб. праць Iн-ту мат. НАН
України. — 2012. — 9, №2. — С. 146 – 156.
16. Дерев’янко Н. В. Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ пе-
рiодичних функцiй багатьох змiнних в просторi Lq // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн–ту мат. НАН України. — 2013.
— 10, №1. — С. 95 – 109.
17. Грабова У. З., Сердюк А. С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i
наближень сумами Фур’є класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй. // Укр.
мат. журн. — 2013. — 65, № 9. — С. 1186 – 1197.
18. Степанец А. И., Кушпель А. К. Скорость сходимости рядов Фурье и
наилучшие приближения в пространстве Lp // Укр. мат. журн. — 1987. —
39, № 4. — С. 483 – 492.
19. Романюк А. С. Неравенства для Lp-норм (ψ, β)-производных и попереч-
ников по Колмогорову классов функций многих переменных Lψβ,p // Ис-
следования по теории аппроксимации функций: Сб. науч. тр. — К.: Ин-т
мат. АН УССР. — 1987. — С. 92 – 105.
20. Власик Г. М. Оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв класiв Lψβ,p перiодич-
них функцiй у просторi Lq // Аналiз i застосування: Зб. праць Iн-ту мат.
НАН України. — 2015. — 12, №3. — С. 65 – 77.
-
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-286 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:59Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/50/17ce5f0a661714923b4a6dcbdca27550.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2862018-02-01T13:52:29Z Orthoprotection widths of classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ Ортопроекційні поперечники класів $L_{\beta, p}^\psi$ періодичних функцій у просторі $L_q$ Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. Obtained here are the exact order estimates of orthoprojective widths of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$. Отримано точні за порядком оцінки ортопроекційних поперечників класів $L_{\beta, p}^\psi$ у просторі $L_q$ для деяких співвідношень між параметрами $p$ і $q$. Інститут математики НАН України 2015-06-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/286 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 111 - 124 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 111 - 124 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 111 - 124 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/286/319 Авторське право (c) 2015 Г. М. Власик |
| spellingShingle | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. Orthoprotection widths of classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title | Orthoprotection widths of classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title_alt | Ортопроекційні поперечники класів $L_{\beta, p}^\psi$ періодичних функцій у просторі $L_q$ |
| title_full | Orthoprotection widths of classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title_fullStr | Orthoprotection widths of classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title_full_unstemmed | Orthoprotection widths of classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title_short | Orthoprotection widths of classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $L_q$ |
| title_sort | orthoprotection widths of classes $l_{\beta, p}^\psi$ of periodic functions in the space $l_q$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/286 |
| work_keys_str_mv | AT vlasykhm orthoprotectionwidthsofclasseslbetappsiofperiodicfunctionsinthespacelq AT vlasikgm orthoprotectionwidthsofclasseslbetappsiofperiodicfunctionsinthespacelq AT vlasykhm ortoproekcíjnípoperečnikiklasívlbetappsiperíodičnihfunkcíjuprostorílq AT vlasikgm ortoproekcíjnípoperečnikiklasívlbetappsiperíodičnihfunkcíjuprostorílq |