Lebesgue type inequalities for interpolation analogues of Valle Poussin sums on sets of infinitely differentiable functions
We obtain estimates of of deviations of interpolation analogues of de la Valle Poussin sums from the functions that belong to the sets $C^{\psi}_{\beta}C$ and are represented through the best approximations of $(\psi,\beta)$-derivatives of these functions by trigonometric polynomials in the uniform...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/287 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552787701661696 |
|---|---|
| author | Voitovych, V. A. Musienko, A. P. Войтович, В. А. Мусієнко, А. П. |
| author_facet | Voitovych, V. A. Musienko, A. P. Войтович, В. А. Мусієнко, А. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. А. Войтович",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "А. П. Мусієнко",
"institution": "Державний університет телекомунікацій"
}
] |
| author_sort | Voitovych, V. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-01T13:58:50Z |
| description | We obtain estimates of of deviations of interpolation analogues of de la Valle Poussin sums from the functions that belong to the sets $C^{\psi}_{\beta}C$ and are represented through the best approximations of $(\psi,\beta)$-derivatives of these functions by trigonometric polynomials in the uniform metric. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 125–137
УДК 517.5
В. А. Войтович (Iн–т математики НАН України, Київ)
А. П. Мусiєнко (Державний унiверситет телекомунiкацiй, Київ)
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ iIНТЕРПОЛЯЦIЙ-
НИХ АНАЛОГIВ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИ-
НАХ НЕСКIНЧЕННО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ
We obtain estimates of of deviations of interpolation analogues of de la
Valle Poussin sums from the functions that belong to the sets Cψβ C and
are represented through the best approximations of (ψ, β)-derivatives of these
functions by trigonometric polynomials in the uniform metric.
Знайдено оцiнки вiдхилень iнтерполяцiйних аналогiв сум Валле Пуссена
вiд функцiй з множин Cψβ C, якi виражаються через найкращi наближен-
ня (ψ, β)-похiдних цих функцiй в рiвномiрнiй метрицi.
Позначимо через L = L1 — простiр сумовних на (0, 2π) 2π–
перiодичних функцiй f з нормою
‖f‖1 =
π∫
−π
|f(t)|dt,
L∞ = M — простiр вимiрних, iстотно обмежених 2π–перiодичних
функцiй f з нормою
‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|,
C — простiр неперервних 2π–перiодичних функцiй f з нормою
‖f‖C = max
t
|f(t)|.
Нехай далi CψβN, N ⊂ L0
1 = {ϕ ∈ L1 : ϕ ⊥ 1} клас 2π–перiодичних
неперервних функцiй f(f ∈ C), якi для всiх x ∈ R можуть бути
поданi у виглядi згортки
c© В. А. Войтович, А. П. Мусiєнко, 2015
126 В. А. Войтович, А. П. Мусiєнко
f(x) := J ψβ ϕ(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x+ t)Ψβ(t)dt, a0 ∈ R, ϕ ∈ N, (1)
з фiксованим ядром Ψβ(t), ряд Фур’є якого має вигляд
S [Ψβ ] =
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt+
βπ
2
)
, ψ(k) > 0, β ∈ R.
Функцiї виду (1) називають (ψ, β)-iнтегралами функцiї ϕ. При цьо-
му функцiю ϕ називають (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають fψβ .
Множину всiх неперервних функцiй, для яких iснує (ψ, β)-похiдна,
позначають через Cψβ . Якщо f ∈ Cψβ i, крiм того, (ψ, β) ∈ N, то
пишуть f ∈ CψβN. Класи CψβN введенi О. I. Степанцем (див., напри-
клад, [1, c. 25–35], [2, c. 131–142]).
Послiдовнiсть ψ(k), що визначає клас CψβN, можна вважати зву-
женням на множину натуральних чисел деякої неперервної функцiї
ψ(t) неперервного аргумента t ≥ 1. Множину всiх опуклих дони-
зу при t ≥ 1 функцiй ψ(t), що задовольняють умову lim
t→∞
ψ(t) = 0,
позначають через M. Згiдно з [2, c. 160], кожнiй функцiї ψ ∈ M
можна поставити у вiдповiднiсть пару функцiй η(t) = η(ψ; t) та
µ(t) = µ(ψ; t) за допомогою формул
η(t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
, µ(t) =
t
η(t)− t
,
де ψ−1(·) — функцiя, обернена до ψ(·). Через M+
∞ позначають пiд-
множину функцiй ψ ∈M, для яких величина µ(ψ; t) монотонно зрос-
тає i не обмежена зверху. Якщо ψ ∈M+
∞, то, як показано в [1, c. 97],
функцiя ψ(t) спадає до нуля швидше довiльної степеневої функцiї,
тобто:
∀r ∈ R lim
t→∞
trψ(t) = 0.
Це означає, що за умови ψ ∈M+
∞, ряд Фур’є довiльної функцiї f iз
CψβN, β ∈ R можна диференцiювати довiльне число разiв i в резуль-
татi будуть одержуватися рiвномiрно збiжнi ряди. Отже, класи CψβN,
при ψ ∈M+
∞ складаються iз нескiнченно диференцiйовних функцiй.
Нерiвностi типу Лебега для iнтерполяцiйних . . . 127
Нехай f(x) — довiльна неперервна 2π–перiодична функцiя. Че-
рез S̃n−1(f ;x) будемо позначати тригонометричний полiном поряд-
ку n− 1, що iнтерполює f(x) у точках x(n−1)k = 2kπ
2n−1 , k ∈ Z, тобто
такий, що
S̃n−1
(
f ;x
(n−1)
k
)
= f
(
x
(n−1)
k
)
, k ∈ Z.
Iнтерполяцiйний тригонометричний полiном S̃n−1(f ;x), можна запи-
сати наступним чином (див., наприклад, [3, c. 10]):
S̃n−1(f ;x) =
a
(n−1)
0
2
+
n−1∑
k=1
(
a
(n−1)
k cos kx+ b
(n−1)
k sin kx
)
, (2)
де
a
(n−1)
k =
2
2n− 1
2n−2∑
j=0
f
(
x
(n−1)
j
)
cos kx
(n−1)
j , k = 0, 1, ..., n, (3)
b
(n−1)
k =
2
2n− 1
2n−2∑
j=0
f
(
x
(n−1)
j
)
sin kx
(n−1)
j , k = 1, 2, ..., n, (4)
коефiцiєнти Фур’є–Лагранжа функцiї f по системi вузлiв x(n−1)k .
Полiноми
Ṽn,p(f ;x) =
a
(n−1)
0
2
λ
(n,p)
0 +
n−1∑
k=1
λ
(n,p)
k
(
a
(n−1)
k cos kx+ b
(n−1)
k sin kx
)
,
(5)
де
λ
(n,p)
k =
{
1, 0 6 k 6 n− p,
1− k−n+p
p , n− p+ 1 6 k 6 n,
n, p ∈ N, 1 ≤ p ≤ n, (6)
а a
(n−1)
k i b(n−1)k означенi згiдно з формулами (3) та (4) вiдповiд-
но, називають iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена з па-
раметрами n та p. При p = 1 суми Ṽn,p(f ;x) спiвпадають з iнтер-
поляцiйними тригонометричними полiномами S̃n−1(f ;x). У випадку
128 В. А. Войтович, А. П. Мусiєнко
p = n суми Ṽn,p(f ;x) перетворюються в iнтерполяцiйнi суми Феєра
σ̃n−1(f ;x) порядку n− 1
σ̃n−1(f ;x) =
1
n
n−1∑
k=0
S̃
(n−1)
k (f ;x),
де S̃(n−1)
k (f ;x) — частиннi суми iнтерполяцiйних полiномiв S̃n−1(f ;x)
S̃
(n−1)
k (f ;x) =
a
(n−1)
0
2
+
k∑
j=1
(
a
(n−1)
j cos jx+ b
(n−1)
j sin jx
)
.
У загальному випадку iнтерполяцiйнi суми Валле Пуссена виража-
ються через S̃n−1(f ;x) у виглядi
Ṽn,p(f ;x) =
1
p
n−1∑
k=n−p
S̃
(n−1)
k (f ;x).
Зауважимо, що звичайнi суми Валле Пуссена з параметрами n та p,
побудованi на основi частинних сум Фур’є Sk(f ;x), задаються ана-
логiчним спiввiдношенням:
Vn,p(f ;x) =
1
p
n−1∑
k=n−p
Sk(f ;x).
Дослiдження апроксимативних характеристик сум Ṽn,p(f ;x) та
Vn,p(f ;x) на рiзноманiтних множинах перiодичних функцiй бере свiй
початок з робiт Валле Пуссена [4], С. Н. Бернштейна [5], С. М. Нi-
кольського [6], О. П. Тiмана [7] (див. коментарi та бiблiографiю [1,
8–11]).
Мета даної роботи полягає у знаходженнi асимптотично непокра-
щуваних нерiвностей для величин
|ρ̃n,p(f ;x)| = |f(x)− Ṽn,p(f ;x)|, (7)
при довiльних x ∈ R, у випадках, коли f ∈ Cψβ C, ψ ∈M+
∞, β ∈ R.
Нерiвностi типу Лебега для iнтерполяцiйних . . . 129
При ψ(k) = k−r, β = r, r ∈ N класи Cψβ є вiдомими класами W r
(див. [1, c. 26]). Для таких класiв функцiй С. М. Нiкольський [6, c.
216], при p = 1, встановив наступну нерiвнiсть:
|ρ̃n,1(f ;x)| ≤
(
2
π
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣ lnn+O(1)
)
En(f)C , (8)
де En(f)C = inf
tn−1∈T2n−1
‖f − tn−1‖C — найкраще наближення функцiї
f ∈ C в метрицi простору C тригонометричними полiномами по-
рядку не вище, нiж n− 1, а O(1) — величина, рiвномiрно обмежена
вiдносно n та x.
Пiзнiше I. М. Ганзбург [12, c. 495] узагальнив оцiнку (8) на ви-
падок сум Ṽn,p, а саме: ним було встановлено, що при 0 ≤ p ≤ nθ
(0 < θ < 1), має мiсце нерiвнiсть
|ρ̃n,p(f ;x)| ≤
(
2
π
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣ ln np +O(1)
)
En−p+1(f)C , (9)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно n, p та x.
Що стосується класiв CψβN, то при p = 1, (тобто, коли полiно-
ми
∼
V n,p(f ;x) спiвпадають з iнтерполяцiйними тригонометричними
полiномами
∼
Sn−1(f ;x)) нерiвностi типу Лебега було встановлено в
роботах [13, 14]. Для довiльних p = 1, 2, . . . , n дана задача була роз-
в’язана лише у випадку, коли послiдовнiсть ψ(k) спадає до нуля
швидше за довiльну геометричну прогресiю [15]. Наступна теорема
мiстить асимптотично непокращуванi нерiвностi типу Лебега, при
умовi ψ ∈M+
∞.
Теорема 1. Нехай ψ ∈M+
∞, β ∈ R, p = p(n) — довiльна послiдов-
нiсть дiйсних чисел, така, що lim
n→∞
p
η(n)−n = 0. Тодi при n ∈ N для
будь-якої функцiї f ∈ Cψβ C в кожнiй точцi x ∈ R справджується
нерiвнiсть
|ρ̃n,p(f ;x)| ≤
(
8
π2
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣ψ(n) ln
η(n)− n
p
+
+O(1)
(
ψ(n) + ψ(3n− 1) ln
η(n)− n
p
))
En−p+1(fψβ )C , (10)
130 В. А. Войтович, А. П. Мусiєнко
де O(1) — величина, рiвномiрно обмеженна по n, p, β, x i f ∈ Cψβ C.
При цьому для будь-якої функцiї f ∈ Cψβ i довiльних n, p ∈ N,
p ≤ n в множинi Cψβ знайдеться функцiя F (x) = F (f ;n; p;x) така,
що En−p+1(Fψβ ) = En−p+1(fψβ ), i для неї при виконується рiвнiсть
|ρ̃n,p(F ;x)| =
(
8
π2
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣ψ(n) ln
η(n)− n
p
+
+O(1)
(
ψ(n) + ψ(3n− 1) ln
η(n)− n
p
))
En−p+1(Fψβ )C , (11)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмеженна по n, p, β, x i f ∈ Cψβ C.
Доведення. У роботi [16] показано, що коли f ∈ Cψβ , має мiсце
рiвнiсть
ρ̃n,p(f ;x) =
2
πp
sin
2n− 1
2
x
π∫
−π
δn−p(t+ x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
k=m+1
ψ(k)×
× cos
(
kt+
2n− 1
2
x+
(β − 1)π
2
)
dt+
+I(1)n,p(f
ψ
β ;x) + I(2)n,p(f
ψ
β ;x) + I(3)n,p(f
ψ
β ;x) =
= 2 sin
2n− 1
2
x ρn,p(Fx;x)+I(1)n,p(f
ψ
β ;x)+I(2)n,p(f
ψ
β ;x)+I(3)n,p(f
ψ
β ;x), (12)
де
δm(τ) := fψβ (τ)− tm(τ),
ρn,p(f ;x) := f(x)− Vn,p(f ;x),
Fx(·) :=
1
π
π∫
−π
fψβ (t+ ·)
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt+
2n− 1
2
x+
(β − 1)π
2
)
dt,
а
I(1)n,p(f
ψ
β ;x) :=
Нерiвностi типу Лебега для iнтерполяцiйних . . . 131
=
1
πp
π∫
−π
δn−p(t+ x)
n−1∑
m=n−p
m+p−1∑
k=m+1
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)x+
βπ
2
)
dt,
(13)
I(2)n,p(f
ψ
β ;x) :=
=
1
πp
π∫
−π
δn−p(t+ x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
k=2n+m
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)x+
βπ
2
)
dt,
(14)
I(3)n,p(f
ψ
β ;x) :=
= − 1
πp
π∫
−π
δn−p(t+ x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
ν=2
ν(2n−1)+m∑
k=ν(2n−1)−m
ψ(k) cos(kt+ (2n− 1)νx+
βπ
2
)dt.
(15)
Також, в роботi [16] було показано, що∣∣∣I(1)n,p(f
ψ
β ;x)
∣∣∣ = O(1)ψ(n− p+ 1)En−p+1(fψβ )C . (16)
У роботi [9, c. 182] встановлено, що для довiльної ψ ∈ M+
∞ має
мiсце оцiнка
1
2
≤ η(n)− n
n− η−1(n)
≤ K1, (17)
де K1 — константа, що не залежить вiд n, а η−1(·) — функцiя обер-
нена до η(·). На основi формули (17) легко бачити, що для всiх p,
таких, що lim
n→∞
p
η(n)−n = 0 має мiсце включення
p ∈ [1;n− η−1(n) + 1]. (18)
Оскiльки ψ ∈ M+
∞ i p ∈
[
1;n− η−1(n) + 1
]
, то в силу формули
(3.2.84) роботи [9] ψ(n− p+ 1) = O(1)ψ(n). Отже∣∣∣I(1)n,p(f
ψ
β ;x)
∣∣∣ = O(1)ψ(n)En−p+1(fψβ )C . (19)
Далi оцiнимо порядок спадання до нуля величини
∣∣∣I(2)n,p(f
ψ
β ;x)
∣∣∣
при n→∞. У роботi [16] було показано, що
I(2)n,p(f
ψ
β ;x) = ρ3n−1,p(F
(1)
x ;x), (20)
132 В. А. Войтович, А. П. Мусiєнко
де F (1)
x (·) = 1
π
π∫
−π
fψβ (·+ t)
∞∑
k=1
ψ(k) cos(kt+ γ1)dt, а
γ1 = γ1(n, x, β) := (2n− 1)x+ βπ
2 .
З теореми 1 роботи [17] випливає зокрема, що при виконаннi умов
lim
m→∞
p
η(m)−m = 0, p ∈ N, p ≤ m, m ∈ N для будь–якої функцiї g з
класу CψαC, ψ ∈M+
∞, α ∈ R
|ρm,p(g;x)| = O(1)ψ(m) ln
η(m)−m
p
Em−p+1(gψβ )C . (21)
Оскiльки ψ ∈ M+
∞, то з (20), (21) i з леми 2 роботи [18, c. 456]
випливає, що∣∣∣I(2)n,p(f
ψ
β ;x)
∣∣∣ = O(1)ψ(3n− 1) ln
η(3n− 1)− (3n− 1)
p
En−p+1(fψβ )C =
= O(1)ψ(3n− 1) ln
η(n)− n
p
En−p+1(fψβ )C . (22)
Перейдемо до оцiнки величини
∣∣∣I(3)n,p(f
ψ
β ;x)
∣∣∣. В роботi [16] показа-
но, що має мiсце наступна рiвнiсть:
−I(3)n,p(f
ψ
β ;x) =
∞∑
ν=2
(
ρν(2n−1)−n+p,p(F
(2)
x;ν ;x)− ρν(2n−1)+n,p(F (2)
x;ν ;x)
)
,
(23)
де F (2)
x,ν (·) = 1
π
π∫
−π
fψβ (t+·)
∞∑
k=1
ψ(k) cos(kt+γν)dt, а γν := (2n−1)νx+ βπ
2 .
Iз зображення (23) з урахуванням оцiнки (21), отримаємо
∣∣∣I(3)n,p(f
ψ
β ;x)
∣∣∣ = O(1)
∞∑
ν=2
(
ψ(ν(2n− 1)− n+ p)×
× ln
η(ν(2n− 1)− n+ p)− (ν(2n− 1)− n+ p)
p
Eν(2n−1)−n+1(fψβ )C+
+ψ(ν(2n− 1) + n) ln
η(ν(2n− 1) + n)− (ν(2n− 1) + n)
p
×
Нерiвностi типу Лебега для iнтерполяцiйних . . . 133
×Eν(2n−1)+n−p+1(fψβ )C
)
=
= O(1)En−p+1(fψβ )C
∞∑
ν=2
(
ψ(ν(2n− 1)− n+ p)×
× ln
η(ν(2n− 1)− n+ p)− (ν(2n− 1)− n+ p)
p
)
(24)
В роботi [16] встановлено, що справедлива оцiнка
∞∑
ν=2
(
ψ(ν(2n− 1)− n+ p)×
× ln
η(ν(2n− 1)− n+ p)− (ν(2n− 1)− n+ p)
p
)
=
= O(1)ψ(3n− 1) ln
η(3n− 1)− (3n− 1)
p
. (25)
Iз (24), (25), враховуючи лему 2 [18, c. 456], отримаємо, що∣∣∣I(3)n,p(f
ψ
β ;x)
∣∣∣ = O(1)ψ(3n− 1) ln
η(n)− n
p
En−p+1(fψβ )C . (26)
На основi iнтегрального зображення (12) та оцiнок (19), (22) та
(26) робимо висновок, що має мiсце рiвнiсть
|ρ̃n,p(f ;x)| = 2
∣∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣∣×
× 1
πp
∣∣∣∣∣
π∫
−π
δn−p(t+x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos
(
kt+
2n− 1
2
x+
(β − 1)π
2
)
dt
∣∣∣∣∣+
+O(1)
(
ψ(n) + ψ(3n− 1) ln
η(n)− n
p
)
En−p+1(fψβ )C . (27)
134 В. А. Войтович, А. П. Мусiєнко
Як випливає з роботи [17], при виконаннi умов теореми 1 має
мiсце нерiвнiсть∣∣∣∣∣∣ 1
πp
π∫
−π
fψβ (t)
n−1∑
m=n−p
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos
(
kt+
2n− 1
2
x+
(β − 1)π
2
)
dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
(
4
π2
ψ(n) ln
η(n)− n
p
+O(1)ψ(n)
)
En−p+1(fψβ )C , (28)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по n, p, x, β i f ∈ Cψβ C. Iз
(27) та (28) отримуємо (10).
Доведемо тепер другу частину теореми. На основi iнтегрального
зображення (12) та оцiнок (19), (22), (26) має мiсце рiвнiсть
ρ̃n,p(f ;x) = 2 sin
2n− 1
2
x×
× 1
πp
π∫
−π
δn−p(t+ x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos
(
kt+
2n− 1
2
x+
(β − 1)π
2
)
dt+
+O(1)
(
ψ(n) + ψ(3n− 1) ln
η(n)− n
p
)
En−p+1(fψβ )C . (29)
При кожному фiксованому значеннi параметрiв x ∈ R, β ∈ R i n ∈ N
розглянемо функцiю
h(·) = hx,n,β(·) = J ψ2γ0/πf
ψ
β (·) =
1
π
π∫
−π
fψβ (t+ ·)
∞∑
k=1
ψ(k) cos(kt+ γn,0)dt,
де γ0 = γn,0 = 2n−1
2 x + π(β−1)
2 . Згiдно з роботою [17] при кожному
n ∈ N для функцiї h(·) знайдеться функцiя ϕ(·) = ϕx,n,β(·) така, що
En−p+1(ϕ)C = En−p+1(fψβ )C i для неї виконується рiвнiсть
|ρn,p(J ψ2γ0/π;xϕ(x)| = 1
π
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ(t+ x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos(kt+ γn,0)dt
∣∣∣∣∣∣ =
Нерiвностi типу Лебега для iнтерполяцiйних . . . 135
=
(
4
π2
ln
η(n)− n
p
+O(1)
)
ψ(n)En−p+1(fψβ )C , (30)
у якiй O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по n ∈ N, p ∈ N, β ∈ R,
x ∈ R i по f ∈ Cψβ C.
Функцiя F (t) = J ψβ ϕ̄(t) буде шуканою. Дiйсно, оскiльки
Fψβ (t) = ϕ̄(t), то En(Fψβ )C = En(fψβ ) i згiдно з формулами (29) i (30)
при кожному заданому x
|ρ̃n,p(F ;x)| =
= 2
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣ 1
πp
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ̄(t+ x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos(kt+ γn,0)dt
∣∣∣∣∣∣+
+O(1)
(
ψ(n) + ψ(3n− 1) ln
η(n)− n
p
)
En−p+1(Fψβ )C =
=
(∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣ 8
π2
ψ(n) ln
η(n)− n
p
+
+O(1)
(
ψ(n) + ψ(3n− 1) ln
η(n)− n
p
))
En−p+1(fψβ )C .
Теорему доведено.
У випадку p = 1(коли полiноми Ṽn,p(f ;x) спiвпадають з триго-
нометричними iнтерполяцiйними полiномами S̃n−1(f ;x)) результати
теореми 1 можуть бути отриманi з теореми 1 роботи [13, c. 502].
Важливими представниками множини M+
∞ є функцiї
ψ(t) = e−αt
r
, α ≥ 0, 0 < r < 1. У цьому випадку ядра Ψβ(t) є
узагальненими ядрами Пуассона, а класи CψβN позначаються через
Cα,rβ N. Неважко переконатися, що для функцiї ψ(t) = e−αt
r
, α ≥ 0,
0 < r < 1
η(ψ; t)− t = t1−r
(
ln 2
rα
+O(1)
)
i ψ(3n − 1) ln η(ψ;n)−n
p = o(ψ(n)). А тому з теореми 1 отримаємо на-
ступне твердження.
136 В. А. Войтович, А. П. Мусiєнко
Наслiдок 1. Нехай ψ(t) = e−αt
r
, α > 0, 0 < r < 1,
β ∈ R, Cψβ = Cα,rβ i p = p(n) — довiльна послiдовнiсть, така, що
lim
n→∞
p
n1−r = 0. Тодi при n ∈ N для будь-якої функцiї f ∈ Cα,rβ C в
кожнiй точцi x ∈ R справедлива нерiвнiсть
|ρ̃n,p(f ;x)| ≤
(
8
π2
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣ ln n1−rp +O(1)
)
e−αt
r
En−p+1(fα,rβ )C .
При цьому для будь-якої функцiї f ∈ Cα,rβ i довiльних n, p ∈ N,
p ≤ n в множинi Cα,rβ знайдеться функцiя F (x) = F (f ;n; p;x) така,
що En−p+1(Fα,rβ ) = En−p+1(fα,rβ ), i для неї виконується рiвнiсть
|ρ̃n,p(f ;x)| =
(
8
π2
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣ ln n1−rp +O(1)
)
e−αt
r
En−p+1(fψβ )C ,
де O(1) — величини рiвномiрно обмеженi по n, p, β, x i f ∈ Cα,rβ C.
1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических
функций. — К.: Наук. думка, 1987. — 268 с.
2. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iнституту
математики НАН України. — 2002. — 40. — Ч.1. — 427 c.
3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. — М.: Мир, 1965. — Т.2. —
538 с.
4. La Vallé Poussin. Ch. Sur la meilleure approximation des fonctions d’une
variable réelle par des expressions d’ordre donné. // C.r. Acad. sci. Paris. —
1918. — 166. — P. 799–802.
5. Бернштейн С. Н. О тригонометрическом интерполировании по способу
наименьших квадратов // Докл. АН СССР. — 1934. — 4 — С. 1–8.
6. Никольский С. М. Асимптотическая оценка остатка при прибли-
жении интерполяционными тригонометрическими полиномами //
Докл. АН СССР. — 1941. — 31, № 3. — С. 215–218.
7. Тиман А. Ф. Аппроксимативные свойства линейных методов суммиро-
вания рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1953. — 17, №2, —
С.99–134.
8. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч.//Працi Iн–ту мат.
НАН України. — 2002. — 40. — Ч.2. — 468 c.
9. Степанец А. И., Рукасов В. И., Чайченко С. О. Приближения суммами
Валле Пуссена // Працi Iн-ту математики НАН України. — 2007. — 68. —
386 с.
Нерiвностi типу Лебега для iнтерполяцiйних . . . 137
10. Рукасов В. И. Приближение суммами Валле Пуссена классов аналитиче-
ских функций// Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 6. – С. 806–816.
11. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного
переменного. — М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
12. Ганзбург И. М. Распространение одной асимптотической формулы
А. Ф. Тимана на классы функций с заданным модулем непрерывности //
Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1963. — 27. — С. 487–528.
13. Сердюк А. С. Наближення нескiнченно диференцiйовних перiодичних
функцiй iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами // Укр. мат.
журн. — 2004. — 56, № 4. — C. 495–505.
14. Степанец А. И., Сердюк А. С. Приближение периодических аналити-
ческих функций интерполяционными тригонометрическими многочлена-
ми // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 12. — C. 1689–1701.
15. Войтович В. А., Мусiєнко А. П. Нерiвностi типу Лебега для сум Валле
Пуссена та їх iнтерполяцiйних аналогiв на класах (ψ, β)–диференцiйовних
функцiй// Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн–
ту математики НАН України. — 2013. — 10, № 1. — C. 39–58.
16. Войтович В. А. Асимптотичнi оцiнки наближень iнтерполяцiйними ана-
логами сум Валле Пуссена на класах нескiнченно диференцiйовних функ-
цiй // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн–ту
математики НАН України. — 2010. — Т. 7, № 1. — C. 22–45.
17. Мусiєнко А. П. Нерiвностi типу Лебега для сум Валле Пуссена на мно-
жинах (ψ, β)–диференцiйовних функцiй // Теорiя наближення функцiй та
сумiжнi питання: Зб. праць Iн–ту математики НАН України. — 2010. — 7,
№ 1. — C. 128–150.
18. Степанець О.I., Сердюк А.С. Оцiнка залишку наближення iнтерполяцiй-
ними тригонометричними многочленами на класах нескiнченно диферен-
цiйовних функцiй// Теорiя наближення функцiй та її застосування// Пра-
цi iн–ту математики НАН України. — 2000. — 31. — С. 446–460.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-287 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:59Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/8a/0e557c9d11adf40cd752806e7c49d88a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2872018-02-01T13:58:50Z Lebesgue type inequalities for interpolation analogues of Valle Poussin sums on sets of infinitely differentiable functions Нерівності типу Лебега для інтерполяційних аналогів сум Валле Пуссена на множинах нескінченно диференційовних функцій Voitovych, V. A. Musienko, A. P. Войтович, В. А. Мусієнко, А. П. We obtain estimates of of deviations of interpolation analogues of de la Valle Poussin sums from the functions that belong to the sets $C^{\psi}_{\beta}C$ and are represented through the best approximations of $(\psi,\beta)$-derivatives of these functions by trigonometric polynomials in the uniform metric. Знайдено оцінки відхилень інтерполяційних аналогів сум Валле Пуссена від функцій з множин $C^{\psi}_{\beta}C$, які виражаються через найкращі наближення $(\psi,\beta)$-похідних цих функцій в рівномірній метриці. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/287 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 125 - 137 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 125 - 137 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 125 - 137 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/287/320 |
| spellingShingle | Voitovych, V. A. Musienko, A. P. Войтович, В. А. Мусієнко, А. П. Lebesgue type inequalities for interpolation analogues of Valle Poussin sums on sets of infinitely differentiable functions |
| title | Lebesgue type inequalities for interpolation analogues of Valle Poussin sums on sets of infinitely differentiable functions |
| title_alt | Нерівності типу Лебега для інтерполяційних аналогів сум Валле Пуссена на множинах нескінченно диференційовних функцій |
| title_full | Lebesgue type inequalities for interpolation analogues of Valle Poussin sums on sets of infinitely differentiable functions |
| title_fullStr | Lebesgue type inequalities for interpolation analogues of Valle Poussin sums on sets of infinitely differentiable functions |
| title_full_unstemmed | Lebesgue type inequalities for interpolation analogues of Valle Poussin sums on sets of infinitely differentiable functions |
| title_short | Lebesgue type inequalities for interpolation analogues of Valle Poussin sums on sets of infinitely differentiable functions |
| title_sort | lebesgue type inequalities for interpolation analogues of valle poussin sums on sets of infinitely differentiable functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/287 |
| work_keys_str_mv | AT voitovychva lebesguetypeinequalitiesforinterpolationanaloguesofvallepoussinsumsonsetsofinfinitelydifferentiablefunctions AT musienkoap lebesguetypeinequalitiesforinterpolationanaloguesofvallepoussinsumsonsetsofinfinitelydifferentiablefunctions AT vojtovičva lebesguetypeinequalitiesforinterpolationanaloguesofvallepoussinsumsonsetsofinfinitelydifferentiablefunctions AT musíênkoap lebesguetypeinequalitiesforinterpolationanaloguesofvallepoussinsumsonsetsofinfinitelydifferentiablefunctions AT voitovychva nerívnostítipulebegadlâínterpolâcíjnihanalogívsumvallepussenanamnožinahneskínčennodiferencíjovnihfunkcíj AT musienkoap nerívnostítipulebegadlâínterpolâcíjnihanalogívsumvallepussenanamnožinahneskínčennodiferencíjovnihfunkcíj AT vojtovičva nerívnostítipulebegadlâínterpolâcíjnihanalogívsumvallepussenanamnožinahneskínčennodiferencíjovnihfunkcíj AT musíênkoap nerívnostítipulebegadlâínterpolâcíjnihanalogívsumvallepussenanamnožinahneskínčennodiferencíjovnihfunkcíj |