Extreme partition the complex plane and inequalities for products of internal radii of domains
The paper is devoted to extremal problems of the geometric function theory of complex variable associated with estimates of functionals defined on systems of partially intersection domains. We generalize some known results in this theory.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/288 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552789385674752 |
|---|---|
| author | Vyun, V. E. Denega, I. V. Tarhonskiy, A. L. В'юн, В. Є. Денега, І. В. Таргонський, А. Л. |
| author_facet | Vyun, V. E. Denega, I. V. Tarhonskiy, A. L. В'юн, В. Є. Денега, І. В. Таргонський, А. Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. Є. В'юн",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "І. В. Денега",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "А. Л. Таргонський",
"institution": "Житомирський державний університет"
}
] |
| author_sort | Vyun, V. E. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-01T14:03:21Z |
| description | The paper is devoted to extremal problems of the geometric function theory of complex variable associated with estimates of functionals defined on systems of partially intersection domains. We generalize some known results in this theory. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 138–143
УДК 517.54
B. Є. В’юн (Iнститут математики НАН України, Київ)
I. В. Денега(Iнститут математики НАН України, Київ)
А. Л. Таргонський(Житомирський державний унiверситет, Жи-
томир)
ЕКСТРЕМАЛЬНЕ РОЗБИТТЯ КОМПЛЕКСНОЇ
ПЛОЩИНИ I НЕРIВНОСТI ДЛЯ ДОБУТКIВ
ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ ОБЛАСТЕЙ
The paper is devoted to extremal problems of the geometric function theory of
complex variable associated with estimates of functionals defined on systems
of partially intersection domains. We generalize some known results in this
theory.
Робота присвячена дослiдженню екстремальних задач геометричної
теорiї функцiй комплексної змiнної, пов’язаних з оцiнками функцiоналiв,
заданих на системах частково налягаючих областей. Зокрема, посилено
i узагальнено деякi вiдомi результати даної тематики.
Задачi про екстремальне розбиття займають важливе мiсце в
геометричнiй теорiї функцiй комплексної змiнної i мають багату
iсторiю (див., наприклад, [1–15]). Ця тематика бере початок зi статтi
М.О. Лаврєнтьєва 1934 року [1], де екстремальнi розбиття розгля-
дались при отриманнi оцiнок добутку степенiв конформних радiусiв
неперетинних областей, i далi розвивалась в дослiдженнях багатьох
авторiв (див., наприклад, [2–15]). Важливим елементом дослiдження
таких екстремальних задач є глибокi результати теорiї квадратичних
диференцiалiв [3]. В данiй роботi отриманi оцiнки добуткiв внутрiш-
нiх радiусiв частково налягаючих областей.
1. Постановка задачi та основнi результати. Нехай N, R
— множини натуральних i дiйсних чисел вiдповiдно, C — ком-
плексна площина, C = C
⋃
{∞} — її одноточкова компактифiкацiя,
R+ = (0,∞). Нехай r(B, a) — внутрiшнiй радiус областi B ⊂ C вiд-
носно точки a ∈ B (див., наприклад, [5, с. 14]; [7, с. 71]).
Нехай n ∈ N, n > 2. Систему точок An :=
{
ak ∈ C : k = 1, n
}
c© B. Є. В’юн, I. В. Денега, А. Л. Таргонський, 2015
Екстремальне розбиття комплексної площини . . . 139
таку, що |ak| ∈ R+ при k = 1, n та
0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π, будемо називати n-
променевою. Позначимо
Pk = Pk(An) := {w : arg ak < argw < arg ak+1},
θk := arg ak, an+1 := a1, θn+1 := 2π. Величини αk := 1
π [θk+1 − θk],
αn+1 := α1, k = 1, n, будемо називати кутовими параметрами n-
променевої системи точок An.
Нехай D — довiльна вiдкрита множина в C, яка мiстить проме-
неву систему точок An = {ak}nk=1. Якщо a ∈ D, то будемо говори-
ти, що D(a) є зв’язна компонента D, що мiстить точку a; Dk(ap) —
зв’язна компонента множини D(ap) ∩ Pk(An), що мiстить точку ap,
p ∈ {k, k − 1}, k = 1, n; Dk(0) – зв’язна компонента множини
D(0) ∩ Pk(An), що мiстить точку w = 0; Dk(∞) — зв’язна компо-
нента множини D(∞) ∩ Pk(An), що мiстить нескiнченно вiддалену
точку.
Внутрiшнiм радiусом r (D, a) вiдкритої множини D вiдносно точ-
ки a називається внутрiшнiй радiус зв’язної компоненти множини D,
що мiстить точку a.
Нехай вiдкрита множина D мiстить точки w = 0, w =∞ i довiль-
ну n-променеву систему точок An = {ak}nk=1, тодi будемо говорити,
що така множина задовольняє умову налягання вiдносно системи
точок An, якщо множини Dk(ak), Dk(ak+1), Dk(0) i Dk(∞) попарно
не перетинаються для кожного k = 1, n.
Нехай {Bk}nk=1, B∞, B0 — довiльний набiр таких областей, що
0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n. Позначимо
D̃ = B0
⋃
B∞
n⋃
k=1
Bk. Будемо говорити, що система B∞, B0, {Bk}nk=1
задовольняє умову часткового налягання вiдносно деякої системи
An, якщо вiдкрита множина D̃ задовольняє умову налягання вiд-
носно цiєї ж n-променевої системи точок An. Iз означення випли-
ває, що довiльна система взаємно неперетинних областей задоволь-
няє умову часткового налягання.
Метою даної роботи є отримання точних оцiнок зверху для функ-
140 B.Є. В’юн, I. В. Денега, А.Л. Таргонський
цiонала наступного вигляду:
Jn(γ) = [r (B0, 0) r (B∞,∞)]
γ
n∏
k=1
r (Bk, ak) , (1)
де γ ∈ R+, An = {ak}nk=1 — n-променева система точок, яка розташо-
вана на одиничному колi, система областей B0, B∞, {Bk}nk=1 задо-
вольняє умову часткового налягання вiдносно An, ak ∈ Bk, k = 1, n,
0 ∈ B0, ∞ ∈ B∞.
В роботi [4] була отримана оцiнка функцiоналу (1) для системи
неперетинних областей при n ≥ 2 i для γ = 1
2 . Цей результат було
посилено в роботi [6] i показано, що дана оцiнка справедлива при
γ ∈
(
0, n
2
8
]
, n ≥ 2. Дана задача дослiджувалася також в роботах
[13–15].
В данiй роботi задача про оцiнку функцiоналу (1) розглядається
при n = 4, n = 5, n = 6.
Теорема. Нехай 0 < γ ≤ γp, p ∈ {4, 5, 6}, γ4 = 2, 25,
γ5 = 3, 3, γ6 = 4, 6. Тодi для довiльної p-променевої системи то-
чок Ap = {ak}pk=1 такої, що |ak| = 1, k = 1, p, i довiльної системи
областей B0, Bk, B∞ (0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C,
k = 1, p), що задовольняє умову часткового налягання вiдносно Ap,
справедлива нерiвнiсть
[r (B0, 0) r (B∞,∞)]
γ
p∏
k=1
r (Bk, ak) 6
6 [r (D0, 0) r (D∞,∞)]
γ
p∏
k=1
r (Dk, dk) , (2)
де областi D0, D∞, Dk — круговi областi, а точки 0,∞, dk, k = 1, p,
p ∈ {4, 5, 6}, — полюси квадратичного диференцiалу
Q(w)dw2 = −γw
2p + (p2 − 2γ)wp + γ
w2(wp − 1)2
dw2. (3)
Екстремальне розбиття комплексної площини . . . 141
2. Доведення теореми. Використовуючи нерiвностi
r (Bk, ak) 6 r
(
D̃, ak
)
= r
(
D̃(ak), ak
)
,
отримуємо
[r (B0, 0) r (B∞,∞)]
γ
p∏
k=1
r (Bk, ak) 6
6
[
r
(
D̃, 0
)
r
(
D̃,∞
)]γ p∏
k=1
r
(
D̃, ak
)
.
Застосовуючи методи i результати, представленi в роботах [7, с. 262],
[7, с. 167], [9, с. 871], приходимо до нерiвностi
Jp(γ) 6
(
2
√
γ
)p
·
(
p∏
k=1
αk
√
γ
)[
p∏
k=1
Φ(τk)
]1/2
= (4)
=
(
2
√
γ
)p
·
[
p∏
k=1
(
τ
2τ2
k+2
k · |1− τk|−(1−τk)
2
· (1 + τk)−(1+τk)
2
)] 1
2
,
де τk =
√
γ · αk, k = 1, p.
Далi проведемо доведення теореми лише у випадку p = 6, врахо-
вуючи умови теореми 1, iз нерiвностi (4) маємо спiввiдношення
J6(γ) 6
64
γ3
(
6∏
k=1
(
τ
2τ2
k+2
k · |1− τk|−(1−τk)
2
· (1 + τk)−(1+τk)
2
)) 1
2
.
Нехай Ψ(x) = x2x
2+2·|1−x|−(1−x)2 ·(1+x)−(1+x)
2
, F (x) = ln (Ψ(x)).
Розглянемо екстремальну задачу
6∏
k=1
Ψ(xk) −→ max;
6∑
k=1
xk = 2
√
γ, xk = αk
√
γ.
Нехай X(0) =
{
x
(0)
k
}6
k=1
— її довiльна екстремальна система точок.
142 B.Є. В’юн, I. В. Денега, А.Л. Таргонський
Повторюючи мiркування, проведенi в роботi [12], приходимо до
висновку, що має мiсце твердження:
F ′(x
(0)
k ) = F ′(x
(0)
j ), k, j = 1, 6, k 6= j, (5)
де F ′(x) = 4x lnx− 2(x− 1) ln |1− x| − 2(x+ 1) ln(x+ 1) + 2
x .
На основi спiввiдношення (5), а також використовуючи iдеї робiт
[12–15], покажемо що x(0)1 = x
(0)
2 = . . . = x
(0)
6 .
Нехай F ′(x) = t, де y0 6 t < 0. Для ∀t ∈ [y0, 0) дане рiвняння має
2 коренi x1(t) ∈ (0, x0] та x2 ∈ [x0,∞). Розглянемо наступнi значення
параметра t: t1 = −0, 1, t2 = −0, 2, . . . , t10 = −1, t11 = y0. Проводячи
розрахунки, отримуємо таку таблицю:
k tk x1(tk) x2(tk) 5x1(tk) + x2(tk+1)
1 -0,1 0,595614 1,588941
2 -0,2 0,610729 1,310498 4,288568
3 -0,3 0,626917 1,184045 4,23769
4 -0,4 0,644375 1,110153 4,244738
5 -0,5 0,663378 1,062338 4,284213
6 -0,6 0,684325 1,030184 4,347074
7 -0,7 0,707842 1,008999 4,430624
8 -0,8 0,735017 0,997389 4,536599
9 -0,9 0,768137 0,979982 4,655067
10 -1 0,814378 0,947119 4,787804
11 -1,06 0,884406 0,884406 4,956296
Враховуючи властивостi функцiї F ′(x) i умови теореми, отримує-
мо наступну нерiвнiсть 5x1(t) + x2(t) > 5x1(tk) + x2(tk+1) > 2
√
γ6,
t ∈ [tk, tk+1], k = 1, 10. Звiдси, використовуючи вiдповiднi значення
iз вище наведеної таблицi, отримуємо, що теорема 1 має мiсце при
γ = γ6.
Для всiх γ < γ6 всi попереднi мiркування зберiгаються. Реалiза-
цiя знака рiвностi перевiряється безпосередньо. Доведення теореми
1 для значень параметра p = 4 i p = 5 повторюють проведенi мiрку-
вання з урахуванням деяких особливостей. Теорема доведена.
Висловлюємо подяку О.К. Бахтiну за постановку задачi та увагу
до роботи.
Екстремальне розбиття комплексної площини . . . 143
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений //Тр. физ.-мат.
ин-та АН СССР. – 1934. – 5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.
– М.: Наука, 1966. – 628 с.
3. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. –
М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 256 с.
4. Дубинин В. Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстре-
мальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН
СССР. – 1988. – 168. – С. 48–66.
5. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций
комплексного переменного // Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). –
С. 3–76.
6. Кузьмина Г. В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы //
Зап. науч. сем. ПОМИ. – 2001. –276. – С. 253–275.
7. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-алгебраические
структуры и геометрические методы в комплексном анализе // Працi iн-ту
математики НАН України. – 2008. –73. – 308 с.
8. Бахтин А. К., Таргонский А. Л. О произведении внутренних радиусов
неналегающих областей и открытых множеств //Доп. НАН України. –
2008. – № 5. – С. 7–12.
9. Бахтин А. К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со сво-
бодными полюсами на окружности //Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 7. –
С. 867–886.
10. Кузьмина Г. В. Метод экстремальной метрики в задачах о максимуме
произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей при
наличии свободных параметров // Зап. науч. сем. ПОМИ. – 2003. – 302.
– С. 52–67.
11. Емельянов Е. Г. К задаче о максимуме произведения степеней конформ-
ных радиусов неналегающих областей // Зап. науч. сем. ПОМИ.– 2002. –
286. – С. 103–114.
12. Ковалев Л. В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными полю-
сами на окружности // Дальневосточный мат. сб. – 1996. – 2. – С. 96–98.
13. Денега И. В. Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично
неналегающих областей // Доп. НАН України. — 2012. — №5. — С. 19–22.
14. Бахтин А. К., Денега И. В. Некоторые оценки функционалов для N -
лучевых систем точек // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання:
Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – К.: Iн-т мат. НАН України,
2011. – 8, №1. – C. 12–21.
15. Бахтiн О. К., В’юн В. Є. Про деякi нерiвностi в теорiї неперетинних
областей // Зб. праць Iн-ту мат. НАН України. – К.: Iн-т математики
НАН України, 2014. – 11, №1. – C. 141–152.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-288 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:01Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/76/ec1cfce8cbec20bfc19838928cd62d76.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2882018-02-01T14:03:21Z Extreme partition the complex plane and inequalities for products of internal radii of domains Екстремальне розбиття комплексної площини і нерівності для добутків внутрішніх радіусів областей Vyun, V. E. Denega, I. V. Tarhonskiy, A. L. В'юн, В. Є. Денега, І. В. Таргонський, А. Л. The paper is devoted to extremal problems of the geometric function theory of complex variable associated with estimates of functionals defined on systems of partially intersection domains. We generalize some known results in this theory. Робота присвячена дослідженню екстремальних задач геометричної теорії функцій комплексної змінної, пов'язаних з оцінками функціоналів, заданих на системах частково налягаючих областей. Зокрема, посилено і узагальнено деякі відомі результати даної тематики. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/288 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 138 - 143 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 138 - 143 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 138 - 143 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/288/321 |
| spellingShingle | Vyun, V. E. Denega, I. V. Tarhonskiy, A. L. В'юн, В. Є. Денега, І. В. Таргонський, А. Л. Extreme partition the complex plane and inequalities for products of internal radii of domains |
| title | Extreme partition the complex plane and inequalities for products of internal radii of domains |
| title_alt | Екстремальне розбиття комплексної площини і нерівності для добутків внутрішніх радіусів областей |
| title_full | Extreme partition the complex plane and inequalities for products of internal radii of domains |
| title_fullStr | Extreme partition the complex plane and inequalities for products of internal radii of domains |
| title_full_unstemmed | Extreme partition the complex plane and inequalities for products of internal radii of domains |
| title_short | Extreme partition the complex plane and inequalities for products of internal radii of domains |
| title_sort | extreme partition the complex plane and inequalities for products of internal radii of domains |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/288 |
| work_keys_str_mv | AT vyunve extremepartitionthecomplexplaneandinequalitiesforproductsofinternalradiiofdomains AT denegaiv extremepartitionthecomplexplaneandinequalitiesforproductsofinternalradiiofdomains AT tarhonskiyal extremepartitionthecomplexplaneandinequalitiesforproductsofinternalradiiofdomains AT v039ûnvê extremepartitionthecomplexplaneandinequalitiesforproductsofinternalradiiofdomains AT denegaív extremepartitionthecomplexplaneandinequalitiesforproductsofinternalradiiofdomains AT targonsʹkijal extremepartitionthecomplexplaneandinequalitiesforproductsofinternalradiiofdomains AT vyunve ekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝiniínerívnostídlâdobutkívvnutríšníhradíusívoblastej AT denegaiv ekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝiniínerívnostídlâdobutkívvnutríšníhradíusívoblastej AT tarhonskiyal ekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝiniínerívnostídlâdobutkívvnutríšníhradíusívoblastej AT v039ûnvê ekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝiniínerívnostídlâdobutkívvnutríšníhradíusívoblastej AT denegaív ekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝiniínerívnostídlâdobutkívvnutríšníhradíusívoblastej AT targonsʹkijal ekstremalʹnerozbittâkompleksnoíploŝiniínerívnostídlâdobutkívvnutríšníhradíusívoblastej |