Pade approximants of the q-analogue of the exponent and their generalizations
Pad'e approximants are constructed for a class of basic hypergeometric series including q-exponential function
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/289 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552790145892352 |
|---|---|
| author | Gavruliuk, N. M. Golub, A. P. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. |
| author_facet | Gavruliuk, N. M. Golub, A. P. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н. М. Гаврилюк",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "А. П. Голуб",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Gavruliuk, N. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T22:17:49Z |
| description | Pad'e approximants are constructed for a class of basic hypergeometric series including q-exponential function |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 144–153
УДК 517.53
Н. М. Гаврилюк, А. П. Голуб (Iн–т математики НАН України,
Київ).
АПРОКСИМАНТИ ПАДЕ q–АНАЛОГIВ ЕКСПОНЕНТИ
ТА ЇХ УЗАГАЛЬНЕНЬ
Padé approximants are constructed for a class of basic hypergeometric series
including q–exponential function.
Побудовано апроксиманти Паде для класу базисних гiпергеометричних
рядiв, що включає в себе q–аналог експоненцiальної функцiї.
Для |q| < 1 базисним гiпергеометричним рядом називається ряд
вигляду (див. [1, c.23])
rφs
[
a1, a2, . . . , ar
b1, b2, . . . , bs
; q; z
]
=
=
∞∑
n=0
(a1; q)n(a2; q)n · . . . · (ar, q)n
(q; q)n(b1; q)n · . . . · (bs; q)n
[
(−1)nq
n(n−1)
2
]1+s−r
zn,
де q–символ Похгаммера (a; q)n визначається згiдно з формулою
(a; q)n =
(1− a)(1− aq) · . . . · (1− aqn−1), n ≥ 1,
1, n = 0,
∞∏
m=0
(1− aqm) = lim
n→∞
(a; q)n, n =∞.
Представниками базисних гiпергеометричних рядiв є так званi
q–аналоги експоненти
eq(z) = 1φ0(0;−; q; z) =
∞∑
n=0
zn
(q; q)n
=
1
(z; q)∞
, |z| < 1,
та
Eq(z) = 0φ0(−;−; q;−z) =
∞∑
n=0
qn(n−1)/2
(q; q)n
zn = (−z; q)∞.
c© Н. М. Гаврилюк, А. П. Голуб, 2015
Апроксиманти Паде q–аналогiв експоненти . . . 145
Вони пов’язанi мiж собою спiввiдношенням
eq(z)Eq(−z) = 1,
i мають мiсце граничнi спiввiдношення
lim
q→1−
eq(z(1− q)) = lim
q→1−
Eq(z(1− q)) = ez
(див. [1, с. 28]).
В [3, 4] запропоновано пiдходи до побудови та дослiдження апрок-
симант Паде функцiї eq(z) та її узагальнень з використанням уза-
гальнених моментних зображень. Зокрема, в [4] для цiєї мети вико-
ристано узагальненi моментнi зображення вигляду
sk =
〈
Akx0, y0
〉
, k = 0,∞,
з оператором A та бiлiнiйною формою< ., . >, що виражаються через
q–iнтеграл Джексона (див. [1, с. 39] )
(Aϕ)(t) =
t∫
0
ϕ(τ)dqτ = t(1− q)
∞∑
k=0
ϕ(tqk)qk. (1)
Цей же пiдхiд можна використати i до побудови та вивчення
апроксимант Паде функцiї Eq(z) та її узагальнень.
При 0 ≤ α < 1 визначимо лiнiйний простiр
Xα = {f : [0, 1]→ C | ∃M > 0, |f(x)xα | < M, ∀x ∈ [0, 1]} .
Введемо в Xα норму
‖f‖α = sup
x∈[0,1]
|f(x)xα|.
Тодi Xα при кожному 0 ≤ α < 1 буде банаховим простором.
Неважко преконатися, що лiнiйний оператор A вигляду (1) є об-
меженим в просторi Xα, а бiлiнiйна форма
〈ϕ,ψ〉 =
1∫
0
ϕ(τ)ψ(τ)dqτ (2)
146 Н. М. Гаврилюк, А. П. Голуб
є роздiльно неперервною на добутку просторiв Xα ×Xα.
Спряженим до оператора A вiдносно бiлiнiйної форми (2) буде
оператор
(A?ψ) (t) =
1∫
qt
ψ(τ)dqτ =
1∫
0
ψ(τ)dqτ −
qt∫
0
ψ(τ)dqτ
(див. [4]).
Розглянемо в просторi Xα оператор
(Bϕ) (t) = (Aϕ) (qt) =
qt∫
0
ϕ(τ)dqτ = qt(1− q)
∞∑
n=0
ϕ(tqn+1)qn.
Легко бачити, що
(Bϕ) (t) = t(1− q)
∞∑
n=1
ϕ(tqn)qn = (Aϕ) (t)− (1− q)tϕ(t).
А тому
(B?ψ) (t) = (A?ψ) (t)− (1− q)tψ(t) =
1∫
qt
ψ(τ)dqτ − (1− q)tψ(t) =
=
1∫
t
ψ(τ)dqτ.
Якщо покласти x0(t) ≡ 1, то
xk(t) =
(
Bkx0
)
(t) =
(1− q)k
(q; q)k
q
k(k+1)
2 tk, k = 0,∞. (3)
Покладаючи y0(t) ≡ 1, отримаємо послiдовнiсть
sk = 〈Bkx0, y0〉 =
1∫
0
xk(t)dqt = (1− q)
∞∑
n=0
xk (qn) qn =
Апроксиманти Паде q–аналогiв експоненти . . . 147
=
(1− q)k+1q
k(k+1)
2
(q; q)k+1
, k = 0,∞, (4)
коефiцiєнтiв степеневого розвинення функцiї
f(z) =
∞∑
k=0
skz
k =
∞∑
k=1
(1− q)kq
k(k−1)
2
(q; q)k
zk−1 =
Eq(−z(1− q))− 1
z
. (5)
Резольвенту оператора B знаходимо з q–iнтегрального рiвняння
ϕ(t)− z (Bϕ) (t) = ψ(t),
ϕ(t)− z
t∫
0
ϕ(τ)dqτ + z(1− q)tϕ(t) = ψ(t). (6)
Застосуємо до (6) оператор q–диференцiювання (див. [6])
dq
dqt
Φ(t) =
Φ(t)− Φ(qt)
(1− q)t
. (7)
Отримаємо
dq
dqt
ϕ(t)− zϕ(t) + z(1− q)qt dq
dqt
ϕ(t) + z(1− q)ϕ(t) =
dq
dqt
ψ(t),
або ж
(1 + zq(1− q)t) dq
dqt
ϕ(t)− zqϕ(t) =
dq
dqt
ψ(t). (8)
Розглянемо спочатку однорiдне рiвняння
(1 + zq(1− q)t) dq
dqt
ϕ(t) = zqϕ(t).
З урахуванням (7) звiдси будемо мати
(1 + zq(1− q)t) ϕ(t)− ϕ(qt)
(1− q)t
= zqϕ(t),
або ж
ϕ(t) = (1 + zq(1− q)t)ϕ(qt).
148 Н. М. Гаврилюк, А. П. Голуб
Дiючи аналогiчно, далi отримаємо
ϕ(t) =
∞∏
m=1
(1 + zqm(1− q)t) · ϕ(0).
Введемо позначення
σ(t) =
∞∏
m=1
(1 + qm(1− q)t) .
Розв’язок неоднорiдного рiвняння (8) будемо шукати у виглядi
ϕ(t) = C(t)σ(zt). (9)
Пiдставляючи (9) в (8), отримаємо
dq
dqt
C(t) =
1
(1 + zq(1− q)t)σ(qzt)
dq
dqt
ψ(t) =
1
σ(zt)
dq
dqt
ψ(t).
Таким чином,
C(t) =
t∫
0
1
σ(zτ)
dq
dqτ
ψ(τ)dqτ + C0,
де C0 — деяка константа. Для q–iнтегралiв є справедливою наступна
формула iнтегрування частинами
t∫
0
x(τ)
dq
dqτ
y(τ)dqτ = x(τ)y(τ)|t0 −
t∫
0
y(qτ)
dq
dqτ
x(τ)dqτ.
Отож,
C(t) =
1
σ(zτ)
ψ(τ)|t0 −
t∫
0
ψ(τ)
dq
dqτ
1
σ(zτ)
dqτ + C0 =
=
ψ(t)
σ(zt)
− ψ(0)−
1∫
0
ψ(qτ)
1
σ(zτ) −
1
σ(zqτ)
(1− q)τ
dqτ + C0.
Апроксиманти Паде q–аналогiв експоненти . . . 149
Враховуючи, що
1
σ(zτ)
− 1
σ(zqτ)
=
1
∞∏
m=1
(1 + zqm(1− q)τ)
− 1
∞∏
m=1
(1 + zqm+1(1− q)τ)
=
=
−zq(1− q)τ
σ(zτ)
,
дiстанемо
C(t) =
ψ(t)
σ(zt)
− ψ(0) + zq
t∫
0
ψ(qτ)
σ(zτ)
dqτ + C0.
А значить,
ϕ(t) = (Rz(B)ψ) (t) = ψ(t)−ψ(0)σ(zt)+zq
t∫
0
σ(zt)
σ(zτ)
ψ(qτ)dqτ+C0σ(zt).
Покладаючи t = 0, бачимо, що ϕ(0) = ψ(0). Таким чином,
(Rz(B)ψ) (t) = ψ(t) + zq
t∫
0
σ(zt)
σ(zτ)
ψ(qτ)dqτ.
О.Кошi встановив, що для всiх a ∈ C, |q| < 1, |w| < 1 має мiсце
розвинення (див., напр., [5, с. 31])
∞∏
m=0
(1− awqm)
(1− wqm)
=
∞∑
k=0
(a; q)k
(q; q)k
wk.
При a = t/τ, w = −zqτ(1− q) звiдси отримаємо
σ(zt)
σ(zτ)
=
∞∏
m=0
1− zqm+1t(1− q)
1− zqm+1τ(1− q)
=
∞∑
k=0
(t/τ ; q)k (−zqτ(1− q))k
(q; q)k
=
=
∞∑
k=0
k−1∏
m=0
(τ − tqm)
(q; q)k
(−zq(1− q))k .
150 Н. М. Гаврилюк, А. П. Голуб
Таким чином,
(Rz(B)ψ) (t) = ψ(t) + zq
∞∑
k=0
(−zq(1− q))k
(q; q)k
t∫
0
k−1∏
m=0
(τ − tqm)ψ(qτ)dqτ.
Звiдси
(
Bkψ
)
(t) =
(−q)k(1− q)k−1
(q; q)k−1
t∫
0
k−1∏
m=1
(
τ − tqm−1
)
ψ(qτ)dqτ, k = 1,∞.
Враховуючи формулу
1∫
0
x(t)
t∫
0
K(t, τ)y(τ)dqτdqt =
1∫
0
y(τ)
1∫
qτ
K(t, τ)x(t)dqtdqτ,
також дiстанемо
(
B?jψ
)
(t) =
(−q)j(1− q)j−1
(q; q)j−1
1∫
qt
j−1∏
m=1
(
t− τqm−1
)
ψ(qτ)dqτ, j = 1,∞.
Покладаючи y0(t) ≡ 1, отримаємо
yj(t) =
(1− q)j(t; q)j
(q; q)j
, j = 1,∞. (10)
Таким чином, ми побудували узагальнене моментне зображення для
послiдовностi степеневих коефiцiєнтiв функцiї (5).
Теорема 1. Для числової послiдовностi (4) коефiцiєнтiв сте-
пеневого розвинення функцiї (5) має мiсце узагальнене моментне
зображення на добутку просторiв Xα × Xα за бiлiнiйною формою
(2)
sk+j = 〈xk, yj〉, k, j ∈ X+,
де {xk}∞k=0 визначаються формулами (3), а {yj}∞j=0 — формулами
(10).
Апроксиманти Паде q–аналогiв експоненти . . . 151
Це дозволяє нам побудувати явнi вирази для апроксимант Паде
функцiї (5) з використанням теореми В. К. Дзядика (див., напри-
клад, [2, с. 22–23]) та врахуванням того факту, що для q– полiномiв
Лежандра LN (t; q), що задовольняють умови ортогональностi
1∫
0
LN (t; q)LM (t; q)dqt = 0
при N 6= M, вiдомi формули
LN (t; q) =
N∑
k=0
(
q−N ; q
)
k
(
qN+1; q
)
k
((q; q)k)
2 (qt)k
(див., наприклад, [6]).
Теорема 2. Апроксиманти Паде функцiї (5) порядкiв [N −1/N ],
N ≥ 1, можуть бути записанi у виглядi
[N − 1/N ]f (z) =
PN−1(z)
QN (z)
, (11)
де
QN (z) =
N∑
k=0
(
q−N ; q
)
N−k
(
qN+1; q
)
N−k
(1− q)N−k(q; q)N−k
q−(N−k)(N−k−1)/2zk,
PN−1(z) =
N−1∑
k=0
zk
(1− q)N−1−k
×
×
k∑
m=0
(
q−N ; q
)
N−m
(
qN+1; q
)
N−m q
(k−N+1)(k+N+2m)/2
(q; q)N−m(q; q)k−m+1
.
Цiлком аналогiчно можна покласти x0(t) = tν , ν > −α, y0(t) ≡ 1
i отримати:
xk(t) =
(
Bkx0
)
(t) =
(1− q)k
(qν+1; q)k
q
k(k+1)
2 +kνtk+ν , k = 0,∞, (12)
152 Н. М. Гаврилюк, А. П. Голуб
sk = 〈Bkx0, y0〉 =
1∫
0
xk(t)dq(t) = (1− q)
∞∑
n=0
xk (qn) qn =
=
(1− q)k+1q
k(k+1)
2 +kν
(qν+1; q)k+1
, k = 0,∞, (13)
f(z) =
∞∑
k=0
skz
k =
∞∑
k=1
(1− q)k−1q
k(k−1)
2 +(k−1)ν
(qν+1; q)k
zk−1 =
=
1
z
{
1φ1
[
q
qν
; q; z
]
− 1
}
. (14)
Отож, для функцiї (14) мають мiсце аналоги теорем 1 та 2.
Теорема 3. Для числової послiдовностi (13) коефiцiєнтiв сте-
пеневого розвинення функцiї (14) має мiсце узагальнене моментне
зображення на добутку просторiв Xα × Xα за бiлiнiйною формою
(2)
sk+j = 〈xk, yj〉, k, j ∈ X+,
де {xk}∞k=0 визначаються формулами (12), а {yj}∞j=0 — формулами
(10).
Теорема 4. Апроксиманти Паде функцiї (14) порядкiв [N−1/N ],
N ≥ 1, можуть бути записанi у виглядi (11), де
QN (z) =
N∑
k=0
(
q−N ; q
)
N−k
(
qN+ν+1; q
)
N−k
(1− q)N−k(q; q)N−k
q−(N−k)(N−k+ν−1)/2zk,
PN−1(z) =
N−1∑
k=0
zk
(1− q)N−1−k
×
×
k∑
m=0
(
q−N ; q
)
N−m
(
qN+ν+1; q
)
N−m q
(k−N+1)(k+N+2m)−(N+m−2k)ν
2
(q; q)N−m(qν+1; q)k−m+1
.
1. Гаспер Дж., Рахман М. Базисные гипергеометрические ряды. — М.: Мир,
1993. — 349 с.
2. Голуб А. П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. —
К.: Iн–т математики НАН України, 2002. — 222 с.
Апроксиманти Паде q–аналогiв експоненти . . . 153
3. Голуб А.П. Обобщенные моментные представления базисных гипергеомет-
рических рядов // Укр. мат. журн. — 1989. —41, №6. — С.803–808.
4. Голуб А. П. Об одной разновидности обобщенных моментных представле-
ний // Укр. мат. журнал. —1989. — 41, №11. —С. 1455–1460.
5. Эндрюс Дж. Теория разбиений. — М.: Наука, 1982. — 256 с.
6. Andrews G. E., Askey R. Classical orthogonal polynomials // Lecture Notes
Math. — 1985. — 1171. — P.36–62.
7. Гаврилюк Н. М., Голуб А. П. Сумiснi апроксимацiї Паде деяких базисних
гiпергеометричних рядiв// Зб. праць Iн–ту математики НАН України. —
2014. — 11, №4. — С.67–74.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-289 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:02Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/cd/2d91b546b1beeca316974e4a4bcdddcd.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2892018-02-02T22:17:49Z Pade approximants of the q-analogue of the exponent and their generalizations Апроксиманти Паде q-аналогів експоненти та їх узагальнень Gavruliuk, N. M. Golub, A. P. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. Pad'e approximants are constructed for a class of basic hypergeometric series including q-exponential function Побудовано апроксиманти Паде для класу базисних гіпергеометричнихрядів, що включає в себе q-аналог експоненціальної функції Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/289 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 144 - 153 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 144 - 153 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 144 - 153 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/289/322 |
| spellingShingle | Gavruliuk, N. M. Golub, A. P. Гаврилюк, Н. М. Голуб, А. П. Pade approximants of the q-analogue of the exponent and their generalizations |
| title | Pade approximants of the q-analogue of the exponent and their generalizations |
| title_alt | Апроксиманти Паде q-аналогів експоненти та їх узагальнень |
| title_full | Pade approximants of the q-analogue of the exponent and their generalizations |
| title_fullStr | Pade approximants of the q-analogue of the exponent and their generalizations |
| title_full_unstemmed | Pade approximants of the q-analogue of the exponent and their generalizations |
| title_short | Pade approximants of the q-analogue of the exponent and their generalizations |
| title_sort | pade approximants of the q-analogue of the exponent and their generalizations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/289 |
| work_keys_str_mv | AT gavruliuknm padeapproximantsoftheqanalogueoftheexponentandtheirgeneralizations AT golubap padeapproximantsoftheqanalogueoftheexponentandtheirgeneralizations AT gavrilûknm padeapproximantsoftheqanalogueoftheexponentandtheirgeneralizations AT golubap padeapproximantsoftheqanalogueoftheexponentandtheirgeneralizations AT gavruliuknm aproksimantipadeqanalogíveksponentitaíhuzagalʹnenʹ AT golubap aproksimantipadeqanalogíveksponentitaíhuzagalʹnenʹ AT gavrilûknm aproksimantipadeqanalogíveksponentitaíhuzagalʹnenʹ AT golubap aproksimantipadeqanalogíveksponentitaíhuzagalʹnenʹ |