Estimates of the group $\varphi$ -deviations of analytic functions
We obtain estimates convergence groups $\varphi$-deviations and $\lambda$-method summation Taylor series of analytic and bounded functions in the unit circle
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/290 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552792161255424 |
|---|---|
| author | Gaevskiy, M. V. Zaderey, P. V. Гаєвський, М. В. Задерей, П. В. |
| author_facet | Gaevskiy, M. V. Zaderey, P. V. Гаєвський, М. В. Задерей, П. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Гаєвський",
"institution": "Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка"
},
{
"author": "П. В. Задерей",
"institution": "Київський національний університет технологій та дизайну"
}
] |
| author_sort | Gaevskiy, M. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:47:42Z |
| description | We obtain estimates convergence groups $\varphi$-deviations and $\lambda$-method summation Taylor series of analytic and bounded functions in the unit circle |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 154–164
УДК 517.5
М. В. Гаєвський (Кiровоградський державний педагогiчний унiверси-
тет iменi Володимира Винниченка, Кiровоград)
П. В. Задерей (Київський нацiональний унiверситет технологiй та
дизайну, Київ)
ОЦIНКИ ГРУПИ ϕ-ВIДХИЛЕНЬ
АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ
We obtain estimates convergence groups ϕ-deviations and λ-method summation
Taylor series of analytic and bounded functions in the unit circle.
Отримано оцiнки збiжностi груп ϕ-вiдхилень та ϕ-середнiх λ-методiв
пiдсумовування рядiв Тейлора аналiтичних i обмежених в крузi функцiй.
Введемо такi позначення: D = {z ∈ C : |z| < 1}, T = {z ∈ C :
|z| = 1},
f(z) =
∞∑
k=0
akz
k, z ∈ D (1)
— розклад в ряд Тейлора-Маклорена аналiтичної в крузi D функцiї,
Sn(f, z) =
n∑
k=0
akz
k, z ∈ D
— частинна сума її ряду Тейлора, де ak = f(k)(0)
k! .
Розглянемо множину H∞ аналiтичних в D функцiй з нормою
‖f‖H∞ = ‖f‖∞ = sup
z∈D
|f(z)| <∞,
i нехай UH — одинична куля в H∞, тобто множина функцiй, для
яких
‖f‖∞ = sup
z∈D
|f(z)| ≤ 1.
Нехай Pn — множина алгебраїчних полiномiв степеня не вище n;
ρn(f, z) = f(z)−Sn(f, z); En(f) := En(f)∞ = infpn∈Pn ‖f(z)−pn(z)‖∞
c© М. В. Гаєвський, П. В. Задерей, 2015
Оцiнки групи ϕ-вiдхилень аналiтичних функцiй 155
— найкраще наближення аналiтичної в D функцiї f алгебраїчними
полiномами степеня не вище n.
Нехай ψ = {ψ(k)}, k = 0, 1, 2, . . . — послiдовнiсть комплексних чи-
сел таких, що |ψ(k)| 6= 0, k ∈ N i limk→∞ ψ(k) = 0; f ∈ H∞ — функцiя
з рядом Тейлора виду (1). Позначимо через Hψ
∞ клас функцiй з H∞,
для яких сума ряду
∞∑
k=1
1
ψ(k)
akz
k, z ∈ D (2)
є аналiтичною функцiєю fψ ∈ UH.
Через Φ позначимо множину неспадних i неперервних на (0,∞)
функцiй ϕ(·) таких, що ϕ(0) = 0, ϕ(u) > 0, ϕ(u) ≤ ebu, b > 0 та для
u ∈ [0, 1] ϕ(2u) ≤ aϕ(u), де a = a(ϕ), a > 0. Природними пред-
ставниками множини Φ є, наприклад, функцiї ϕ(u) = up, p > 0,
ϕ(u) = eu − 1.
Нехай далi L∞(T ) — простiр iстотно обмежених на T функцiй
з нормою ‖f‖L∞(T ) = vraisupz∈T |f(z)| < ∞, а L∞(T )+ — пiдпро-
стiр iстотно обмежених функцiй на T , для яких коефiцiенти Фур’є
з вiд’ємними iндексами рiвнi 0, тобто L∞(T )+ = {f ∈ L∞(T ) :
f̂(−k) = 0, k ∈ N}.
Множину функцiй f ∈ L∞(T )+, для яких ряд
∞∑
k=1
1
ψ(k)
f̂(k)eikt
є рядом Фур’є деякої функцiї fψ ∈ L∞(T )+, позначимо через
Lψ∞(T )+.
Зазначимо, що згiдно з теоремою Голубєва–Привалова [1. с. 202]
простiр L∞(T )+ є простором граничних значень аналiтичних в D
функцiй f , що зображаються iнтегралом Кошi. Тому коефiцiенти
Тейлора таких функцiй спiвпадають з коефiцiентами Фур’є їх гра-
ничних значень, тобто f(k)(0)
k! = f̂(k), k = 0, 1, 2, . . . .
У подальшому граничнi значення функцiї f ∈ H∞ будемо
позначати тим же символом f(eit) i, крiм того, зазначимо, що
згiдно з принципом максимуму модуля буде мати спiввiдношення
En(f)H∞ = En(f)L∞ .
156 М. В. Гаєвський, П. В. Задерей
Покладемо
Hϕ
n (f ; z) =
1
n
2n−1∑
k=n
ϕ(|ρk(f ; z)|) та Hϕ
n (f ;λ; z) =
∞∑
k=n
λkϕ(|ρk(f ; z)|),
де ϕ ∈ Φ, а λ = {λk} — задана послiдовнiсть додатних чисел. У
данiй роботi в термiнах найкращих наближень функцiї fψ вивча-
ються оцiнки величин Hϕ
n (f ; z) та Hϕ
n (f ;λ; z) на множинi аналiтич-
них функцiй Hψ
∞.
Наведемо деякi вiдомi факти та результати, що передували на-
шим дослiдженням.
Позначимо через M множину додатних, неперервних та опуклих
при v ≥ 1 функцiй ψ(v), що прямують до нуля на нескiнченностi,
тобто
M =
{
ψ(v) : ψ(v) > 0, lim
v→∞
ψ(v) = 0,
ψ(v1)− 2ψ
(
v1 + v2
2
)
+ ψ(v2) ≤ 0,∀v1, v2 ∈ [1,∞)
}
;
M0 — пiдмножина функцiй ψ ∈M, для яких 0 < µ(ψ, t) ≤ K <∞, де
µ(ψ, t) = t
η(t)−t та ψ(η(t)) = 1
2ψ(t). Зазначимо, що природними пред-
ставниками множини M є функцiї t−r, exp (−tr), r > 0; до множини
M0 належать, наприклад, такi функцiї: ln−r (t+ e), r > 0.
У роботi [2] Р. А. Ласурiя отримав оцiнки величин Hϕ
n (f ; z) i
Hϕ
n (f ;λ; z). А саме — справедливi наступнi твердження:
Нехай ϕ ∈ Φ, ψ(k) ∈M0. Тодi для довiльної функцiї f ∈ Hψ
∞ та
будь-якого n ∈ N справедливi спiввiдношення
Hϕ
n (f ; z) ≤ Kϕ(ψ(n)En(fψ))
та
Hϕ
n (f ;λ; z) ≤ K
(
nλnϕ(ψ(n)En(fψ)) +
∞∑
k=n
λkϕ(ψ(k)Ek(fψ))
)
.
де K = K(ϕ) — деяка величина рiвномiрно обмежена по n, z, f та
λ = {λk(u)} — незростаюча послiдовнiсть невiд’ємних функцiй, за-
даних на деякiй множинi U.
Оцiнки групи ϕ-вiдхилень аналiтичних функцiй 157
Тут та далi символом K будемо позначати деякi абсолютнi сталi,
можливо неоднаковi в рiзних формулах.
Метою даної роботи є встановлення оцiнок подiбних до тих, що
мiстяться у сформульованому вище твердженнi, за слабших умов на
послiдовностi ψ(k).
Перед формулюванням основних результатiв наведемо деякi
означення та допомiжнi твердження, що можливо мають i самостiй-
ний iнтерес.
Нехай4γk = γk−γk+1,42γk = 4γk−4γk+1, де {γk} — деяка чис-
лова послiдовнiсть. Кажуть, що послiдовнiсть {γk} є квазiопуклою,
якщо
∞∑
k=0
(k + 1)|42γk| <∞.
В роботi [3, с. 210] доведено таке твердження:
Лема 1. Якщо послiдовнiсть комплексних чисел ψ = {ψ(k)}∞k=1
є такою, що тригонометричний ряд
∞∑
k=1
ψ(k) cos kx
є рядом Фур’є деякої сумовної 2π−перiодичної функцiї Ψ(x), то клас
Hψ
∞ складається з аналiтичних в D i неперервних в D функцiй f,
граничнi значення яких на колi T зображаються у виглядi згортки
f(eiθ) = C +
1
π
∫ π
−π
fψ(eit)Ψ(t− θ)dθ,
де fψ ∈ L∞(T )+, ‖fψ‖L∞(T ) ≤ 1 i C — деяка комплексна стала.
Наступна лема є поширенням на випадок квазiопуклих послiдов-
ностей {ψ} результату Р.А. Ласурiї [2, с. 700] (отриманого для опук-
лих послiдовностей), який, в свою чергу, є узагальненням одного
твердження В. Тотiка [4, теорема 4].
Лема 2. Нехай ψ(k) = ψ1(k) + iψ2(k), причому ψi(k),
i = 1, 2 є квазiопуклими, спадними до нуля послiдовностями,
n ≤ . . . ≤ ki < ki+1 ≤ . . . ≤ 2n− 1, 1 ≤ i ≤ r. Тодi для довiльної функ-
158 М. В. Гаєвський, П. В. Задерей
цiї f ∈ Hψ
∞ та будь-якого p > 0 справедлива нерiвнiсть
hpn,r(f, z) := sup
z∈D
1
r
r∑
j=1
|ρkj (f ; z)|p
1
p
≤
≤ KpRn(ψ)En(fψ) ln
2n
r
, (3)
де Rn(ψ) =
∑∞
k=n+1(k+1)|42ψ(k)|, Kp — деяка абсолютна величина,
що залежить лише вiд p.
Доведення. Оскiльки1
r
r∑
j=1
|ρkj (f ; z)|p
1
p
↗
при p → ∞ (див., наприклад, [5, с. 41]), то достатньо розглянути
випадок p ≥ 2.
Нехай pn(z) — полiном найкращого наближення порядку не ви-
ще n функцiї fψ(z). Позначимо ∆n(f, θ, t) := ∆n(fψ, pn, θ, t) =
= fψ(ei(t+θ))− pn(ei(t+θ)). Функцiя hpn,r(f, z) є субгармонiчною, тому
за принципом максимуму модуля [6, с. 39] вона приймає максимальне
значення на колi T. Отже, з леми 1 випливає спiввiдношення
hpn,r(f, z) = sup
z∈D
1
r
r∑
j=1
|ρkj (f ; z)|p
1
p
=
= vraisupθ
1
r
r∑
j=1
| 1
π
∫ π
−π
∆n(f, θ, t)
∞∑
ν=kj+1
ψ(ν) cos νtdt|p
1
p
.
Поклавши
Dk(t) =
1
2
+
k∑
ν=1
cos νt =
sin (k + 1
2 )t
2 sin t
2
,
Оцiнки групи ϕ-вiдхилень аналiтичних функцiй 159
Fk(t) =
1
k + 1
k∑
ν=0
Dν(t) =
sin2 kt
4(k + 1) sin2 t
2
,
та двiчi застосувавши до суми пiд iнтегралом перетворення Абеля,
отримаємо нерiвнiсть
hpn,r(f, z) ≤
≤ vraisupθ
(
1
r
r∑
j=1
| 1
π
∫ π
−π
∆n(f, θ, t)
( ∞∑
ν=kj+1
(ν + 1)42ψ(ν)Fν(t)−
−(kj + 1)4ψ(kj + 1)Fkj (t)− ψ(kj + 1)Dkj (t)
)
dt|p
) 1
p
.
Враховуючи такi спiввiдношення
|a+ b|p ≤ 2p(|a|p + |b|p), p ≥ 1,
Fν(t) ≥ 0, t ∈ [−π, π],
(n+ 1)|4ψ(n+ 1)| ≤
∞∑
k=n+1
(k + 1)|42ψ(k)|,
|ψ(n+ 1)| ≤
∞∑
k=n+1
(k + 1)|42ψ(k)|,
Dk(t) =
sin (k + 1
2 )t
2 sin t
2
= cos
t
2
· sin kt
2 sin t
2
+
cos kt
2
,
отримаємо
hpn,r(f, z) ≤ vraisupθ
(
1
r
r∑
j=1
|ψ(kj + 1)
π
∫ π
−π
∆n(f, θ, t)
sin kjt
2 sin t
2
dt|p
) 1
p
+
+KpRn(ψ)En(fψ) ≤
≤ vraisupθ
(
1
r
r∑
j=1
|ψ(kj + 1)
π
∫
|t|≤ π
kj
∆n(f, θ, t)
sin kjt
2 sin t
2
dt|p
) 1
p
+
160 М. В. Гаєвський, П. В. Задерей
+vraisupθ
(
1
r
r∑
j=1
|ψ(kj + 1)
π
∫
π
kj
≤|t|≤πr
∆n(f, θ, t)
sin kjt
2 sin t
2
dt|p
) 1
p
+
+vraisupθ
(
1
r
r∑
j=1
|ψ(kj + 1)
π
∫
π
r≤|t|≤π
∆n(f, θ, t)
sin kjt
2 sin t
2
dt|p
) 1
p
+
+KpRn(ψ)En(fψ) =
= Σ1 + Σ2 + Σ3 +KpRn(ψ)En(fψ).
Оцiнимо кожен iз доданкiв
Σ1 = vraisupθ
(
1
r
r∑
j=1
∣∣∣ψ(kj + 1)
π
∫
|t|≤ π
kj
∆n(f, θ, t)
sin kjt
2 sin t
2
dt
∣∣∣p) 1
p
≤
≤ Kp
(
1
r
r∑
j=1
|ψ(kj + 1)|pEn(fψ)p
) 1
p
≤ KpEn(fψ) max
j
|ψ(kj + 1)| ≤
≤ KpRn(ψ)En(fψ).
Σ2 = vraisupθ
(
1
r
r∑
j=1
∣∣∣ψ(kj + 1)
π
∫
π
kj
≤|t|≤πr
∆n(f, θ, t)
sin kjt
2 sin t
2
dt
∣∣∣p) 1
p
≤
≤ Kp
(
1
r
r∑
j=1
( |ψ(kj + 1)|En(fψ)
π
∫
π
kj
≤|t|≤πr
1
t
dt
)p) 1
p
≤
≤ KpRn(ψ) ln
2n
r
En(fψ).
Для оцiнки Σ3 розглянемо функцiю
ϕn(t) =
{
∆n(f,θ,t)
2 sin t
2
при π
r ≤ |t| ≤ π,
0 при iнших значеннях t,
Оцiнки групи ϕ-вiдхилень аналiтичних функцiй 161
косинус-коефiцiєнти Фур’є цiєї функцiї позначимо через αk =
αk(ϕn). Оскiльки 1 < q ≤ 2,
1
p
+
1
q
= 1, то можемо використати тео-
рему Хаусдорфа–Юнга [7, с. 153], згiдно з якою
Σ3 = vraisupθ
(
1
r
r∑
j=1
∣∣∣ψ(kj + 1)
π
∫
π
r≤|t|≤π
∆n(f, θ, t)
sin kjt
2 sin t
2
dt
∣∣∣p) 1
p
=
= vraisupθ
(
1
r
r∑
j=1
|ψ(kj + 1)αkj |p
) 1
p
≤
≤ max
j
|ψ(kj + 1)|vraisupθ
(
1
r
∑
ν
|αkj |p
) 1
p
≤
≤ Kp max
j
|ψ(kj + 1)|r−1/p‖ϕ‖q ≤
≤ KpRn(ψ)r−1/p
(∫
π
r≤|t|≤π
|∆n(f, θ, t)|q
tq
dt
) 1
q
≤
≤ KpRn(ψ)r−1/pr−1/pr1/q−1En(fψ) ≤ KpRn(ψ)En(fψ).
Об’єднавши оцiнки для Σ1, Σ2 та Σ3 отримаємо нерiвнiсть (3).
Лему доведено.
Теорема 1. Нехай ϕ ∈ Φ, ψ(k) = ψ1(k) + iψ2(k), причому ψi(k),
i = 1, 2 є квазiопуклими, спадними до нуля послiдовностями. Тодi
для довiльної функцiї f ∈ Hψ
∞ та будь-якого n ∈ N справджується
нерiвнiсть
Hϕ
n (f ; z) ≤ Kϕ(Rn(ψ)En(fψ)),
де K = K(ϕ) — деяка величина, рiвномiрно обмежена по n, z та f.
Доведення. Дiємо за схемою роботи [8]. Покладемо
Bn,α(z) = {k ∈ [n, 2n− 1] :
(α− 1)Rn(ψ)En(fψ) ≤ |ρk(f, z)| ≤ αRn(ψ)En(fψ), α ∈ N},
162 М. В. Гаєвський, П. В. Задерей
µn,α(z) — кiлькiсть всiх елементiв множини Bn,α(z). Враховуючи,
що коли Bn,α(z) = ∅, то й ΣBn,α(z) = 0, отримаємо
Hϕ
n (f ; z) =
1
n
2n−1∑
k=n
ϕ(|ρk(f ; z)|) =
1
n
∞∑
α=1
∑
k∈Bn,α(z)
ϕ(|ρk(f ; z)|) ≤
≤ 1
n
∞∑
α=1
ϕ(αRn(ψ)En(fψ))µn,α(z).
Оцiнимо величину µn,α(z) в тому випадку, коли вона додат-
на, для цього використаємо спiввiдношення (3), в якому покладемо
r = µn,α(z), q = 1. Отримаємо
µn,α(z) ≤ ne1−α/Kp ,
де Kp — величина iз спiввiдношення (3).
Використавши нерiвнiсть (див. [8, с.108])
∞∑
α=1
ϕ(αu)e−α/Kp ≤ Kϕ(u) для довiльного u ∈
(
0,
1
2aKp
)
та враховуючи, що n є таким, для якого має мiсце
Rn(ψ)En(fψ)) ∈
(
0, 1
2aKp
)
, отримаємо
Hϕ
n (f ; z) ≤ 1
n
∞∑
α=1
ϕ(αRn(ψ)En(fψ))µn,α(z) ≤
≤ 1
n
∞∑
α=1
ϕ(αRn(ψ)En(fψ))ne1−α/Kp ≤
≤ K
∞∑
α=1
ϕ(αRn(ψ)En(fψ))e−α/Kp ≤ Kϕ(Rn(ψ)En(fψ)).
Теорему доведено.
Теорема 2. Нехай ϕ ∈ Φ, ψ(k) = ψ1(k) + iψ2(k), причому
ψi(k), i = 1, 2 є квазiопуклими спадними до нуля послiдовностя-
ми, λ = {λk} — незростаюча послiдовнiсть додатних чисел. Тодi
Оцiнки групи ϕ-вiдхилень аналiтичних функцiй 163
для довiльної функцiї f ∈ Hψ
∞ та будь-якого n ∈ N справджується
нерiвнiсть
Hϕ
n (f ;λ; z) ≤ K
(
nλnϕ(Rn(ψ)En(fψ)) +
∞∑
k=n
λkϕ(Rk(ψ)Ek(fψ))
)
,
де K = K(ϕ) — деяка величина, рiвномiрно обмежена по n, z та f.
Доведення. Покладемо n0 = n, n1 = 2n0, . . . , ni = 2ni−1, . . . Тодi
Hϕ
n (f ;λ; z) =
∞∑
i=0
ni+1−1∑
k=ni
λkϕ(|ρk(f ; z)|) ≤
≤
∞∑
i=0
λni
ni
ni
ni+1−1∑
k=ni
ϕ(|ρk(f ; z)|).
Для оцiнки останнього виразу застосуємо теорему 1 i отримаємо
Hϕ
n (f ;λ; z) ≤ K
∞∑
i=0
niλniϕ(Rni(ψ)Eni(f
ψ)) ≤
≤ K
(
nλnϕ(Rn(ψ)En(fψ)) +
∞∑
i=1
niλniϕ(Rni(ψ)Eni(f
ψ))
)
.
За умовами теореми справджується наступна нерiвнiсть
λkϕ(Rk(ψ)Ek(fψ)) ≤ λmϕ(Rm(ψ)Em(fψ)) при k ≥ m,
тому для ni−1 ≤ k ≤ 2ni−1 − 1 < ni буде
λniϕ(Rni(ψ)Eni(f
ψ)) ≤ λkϕ(Rk(ψ)Ek(fψ)),
а значить
λniϕ(Rni(ψ)Eni(f
ψ)) ≤ 1
ni−1
2ni−1−1∑
k=ni−1
λkϕ(Rk(ψ)Ek(fψ)),
164 М. В. Гаєвський, П. В. Задерей
тодi
Hϕ
n (f ;λ; z) ≤ K
(
nλnϕ(Rn(ψ)En(fψ)) +
∞∑
k=n
λkϕ(Rk(ψ)Ek(fψ))
)
.
Теорему доведено.
Наслiдок. Нехай f ∈ Hψ
∞ та ψ(k) = ψ1(k) + iψ2(k), причому
ψi(k), i = 1, 2 є квазiопуклими спадними до нуля послiдовностями,
тодi має мiсце спiввiдношення
n∑
k=0
|ρk(f ; z)|p ≤ Kp
n∑
k=0
Epk(fψ).
Дане твердження випливає з теореми 2, якщо взяти ϕ(u) = |u|p
та покласти n = 0 i задати послiдовнiсть λk так
λk = λ
(n)
k =
{
1
n+1 , при k ∈ [0, n],
0, при k ≥ n+ 1.
1. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. — М.-Л.:
ГИТТЛ, 1950. — 336 c.
2. Ласурия Р. А. Оценки группы ϕ-отклонений и сильная суммируемость
рядов Тейлора функций классов AψH∞(D) // Мат. заметки. — 83, № 5. —
2008. — С. 696 -– 704.
3. Савчук В. В., Савчук М. В., Чайченко С. О. Наближення аналiтичних
функцiй сумами Валле Пуссена // Мат. студiї. — 34, № 2. — 2010. — С. 207 –
219.
4. Totik V. On the strong approximation of Fourier series // Acta Math. Acad.
Sci. Hungar. — 35, № 1-2 — 1980. — P. 151 -– 172.
5. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: ИЛ, 1948. —
456 с.
6. Привалов И. И. Субгармонические функции. — М.: ОНТИ, 1937. — 201 с.
7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: Мир, 1965. — Т.2. — 537 с.
8. Totik V. Notes on Fourier series: strong approximation. // J. of Approx.
Theory. — 43, № 2. — 1985. — P. 105 – 111.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-290 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:03Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/96/ad672a820df59e8ec68172a47a658e96.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2902018-01-29T14:47:42Z Estimates of the group $\varphi$ -deviations of analytic functions Оцінки групи $\varphi$-відхилень аналітичних функцій Gaevskiy, M. V. Zaderey, P. V. Гаєвський, М. В. Задерей, П. В. We obtain estimates convergence groups $\varphi$-deviations and $\lambda$-method summation Taylor series of analytic and bounded functions in the unit circle Отримано оцінки збіжності груп $\varphi$-відхилень та $\varphi$-середніх $\lambda$-методів підсумовування рядів Тейлора аналітичних і обмежених в крузі функцій. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/290 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 154 - 164 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 154 - 164 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 154 - 164 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/290/324 |
| spellingShingle | Gaevskiy, M. V. Zaderey, P. V. Гаєвський, М. В. Задерей, П. В. Estimates of the group $\varphi$ -deviations of analytic functions |
| title | Estimates of the group $\varphi$ -deviations of analytic functions |
| title_alt | Оцінки групи $\varphi$-відхилень аналітичних функцій |
| title_full | Estimates of the group $\varphi$ -deviations of analytic functions |
| title_fullStr | Estimates of the group $\varphi$ -deviations of analytic functions |
| title_full_unstemmed | Estimates of the group $\varphi$ -deviations of analytic functions |
| title_short | Estimates of the group $\varphi$ -deviations of analytic functions |
| title_sort | estimates of the group $\varphi$ -deviations of analytic functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/290 |
| work_keys_str_mv | AT gaevskiymv estimatesofthegroupvarphideviationsofanalyticfunctions AT zadereypv estimatesofthegroupvarphideviationsofanalyticfunctions AT gaêvsʹkijmv estimatesofthegroupvarphideviationsofanalyticfunctions AT zaderejpv estimatesofthegroupvarphideviationsofanalyticfunctions AT gaevskiymv ocínkigrupivarphivídhilenʹanalítičnihfunkcíj AT zadereypv ocínkigrupivarphivídhilenʹanalítičnihfunkcíj AT gaêvsʹkijmv ocínkigrupivarphivídhilenʹanalítičnihfunkcíj AT zaderejpv ocínkigrupivarphivídhilenʹanalítičnihfunkcíj |