Linear widths of classes $S_{p,\theta}^\Omega B$ of periodic functions of several variables
Obtained here are the order estimates of linear widths of the classes $S_{p,\theta}^\Omega B$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for $1<p\leq 2$, $p/{(p-1)}<q<\infty$ and $2\leq p<q<\infty$.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/291 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552793093439488 |
|---|---|
| author | Devevyanko, N. V. Cheremshynska, O. I. Дерев'янко, Н. В. Черемшинська, О. І. |
| author_facet | Devevyanko, N. V. Cheremshynska, O. I. Дерев'янко, Н. В. Черемшинська, О. І. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н. В. Дерев'янко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. І. Черемшинська",
"institution": "Тернопільський національний педагогічний університет імені Володимира Гнатюка"
}
] |
| author_sort | Devevyanko, N. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-01T14:26:36Z |
| description | Obtained here are the order estimates of linear widths of the classes $S_{p,\theta}^\Omega B$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for $1<p\leq 2$, $p/{(p-1)}<q<\infty$ and $2\leq p<q<\infty$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 165–185
УДК 517.5
Н. В. Дерев’янко (Iн-т математики НАН України, Київ)
О. I. Черемшинська (Тернопiльський нацiональний педагогiчний
унiверситет iменi Володимира Гнатюка, Тернопiль)
ЛIНIЙНI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ SΩ
p,θB ПЕРIОДИЧ-
НИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
Obtained here are the order estimates of linear widths of the classes SΩ
p,θB
of periodic functions of many variables in the space Lq for 1 < p ≤ 2,
p/(p− 1) < q <∞ and 2 ≤ p < q <∞.
Отримано порядковi оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв SΩ
p,θB перiо-
дичних функцiй багатьох змiнних у просторi Lq при 1 < p ≤ 2,
p/(p− 1) < q <∞ та 2 ≤ p < q <∞.
1. Вступ. У роботi дослiджується поведiнка лiнiйних попе-
речникiв класiв SΩ
p,θB у просторi Lq у випадках 1 < p ≤ 2,
p/(p− 1) < q <∞ i 2 ≤ p < q < ∞. Детальнiше про це мова буде
йти пiзнiше, а спочатку наведемо основнi позначення та означення.
Нехай Rd, d ≥ 1, — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами
x = (x1, ..., xd), y = (y1, ..., yd), (x, y) = x1y1 + ... + xdyd i Lp(πd),
πd =
∏d
j=1[0, 2π], — простiр 2π-перiодичних за кожною змiнною i
сумовних у степенi p, 1 ≤ p < ∞ (вiдповiдно суттєво обмежених
при p = ∞), на кубi πd функцiй f(x) = f(x1, ..., xd), норма в якому
визначається таким чином:
‖f‖Lp(πd) = ‖f‖p =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|pdx
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖L∞(πd) = ‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Далi для зручностей позначень замiсть Lp(πd) будемо писати Lp.
c© Н. В. Дерев’янко, О. I. Черемшинська, 2015
166 Н. В. Дерев’янко, О. I. Черемшинська
Нехай f ∈ L0
p, де
L0
p = {f ∈ Lp :
2π∫
0
f(x)dxj = 0, j = 1, d}.
Для f ∈ L0
p, 1 ≤ p ≤ ∞, розглянемо рiзницю першого порядку по
j-iй змiннiй з кроком h:
∆h,jf(x) = f(x1, ..., xj−1, xj + h, xj+1, ..., xd)− f(x),
i визначимо рiзницю порядку l ∈ N
∆l
h,jf(x) =
l︷ ︸︸ ︷
4h,j · · ·4h,j f(x)
по змiннiй xj з кроком h.
Зауважимо, що її також можна означити за допомогою рiвностi
∆l
h,jf(x) =
l∑
n=0
(−1)l−nCnl f(x1, ..., xj−1, xj + nh, xj+1, ..., xd).
Тодi мiшана рiзниця порядку l =
d︷ ︸︸ ︷
(l, ..., l), l ∈ N, з векторним
кроком h = (h1, ..., hd) означається наступним чином
∆l
hf(x) = 4lh1,1 · · ·4
l
hd,d
f(x).
Позначимо
Rd+ = {t ∈ Rd : tj ≥ 0, j = 1, d}
i для f ∈ L0
p i t ∈ Rd+ означимо мiшаний модуль неперервностi по-
рядку l згiдно з формулою
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj ,j=1,d
‖∆l
hf(·)‖p.
Лiнiйнi поперечники класiв SΩ
p,θB . . . 167
Нехай Ω(t) = Ω(t1, ..., td) — функцiя типу мiшаного модуля непе-
рервностi порядку l =
d︷ ︸︸ ︷
(l, ..., l), l ∈ N, тобто функцiя Ω(t) визначена
на Rd+ i задовольняє такi умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d i Ω(t) = 0, якщо
∏d
j=1 tj = 0;
2) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй tj ≥ 0, j = 1, d;
3) Ω(m1t1, ...,mdtd) ≤ C1
(∏d
j=1mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d;
4) Ω(t) неперервна при tj ≥ 0, j = 1, d.
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl,d. У випадку d = 1
будемо писати Ψl.
Далi будемо вважати, що Ω також належить множинам Sα,d i
Sl,d. При d = 1 будемо писати вiдповiдно Sα i Sl.
Будемо говорити, що невiд’ємна функцiя ϕ ∈ Sα, α > 0, якщо
функцiя ϕ(τ)/τα майже зростає, тобто iснує така незалежна вiд τ1
i τ2 стала C2 > 0, що
ϕ(τ1)
τα1
≤ C2
ϕ(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
Невiд’ємна функцiя ϕ ∈ Sl, якщо iснує γ, 0 < γ < l, таке, що
функцiя ϕ(τ)/τγ майже спадає, тобто iснує така незалежна вiд τ1 i
τ2 стала C3 > 0, що
ϕ(τ1)
τγ1
≥ C3
ϕ(τ2)
τγ2
, 0 < τ1 ≤ τ2.
Умова належностi функцiї до множини Sl розглядалася вперше
С. Б. Стєчкiним [1], а умова належностi функцiї до множини Sα
була введена по аналогiї Н. К. Барi i С. Б. Стєчкiним [2]. Надалi ми
будемо називати цi умови умовами Барi-Стєчкiна.
Будемо вважати, що Ω ∈ Sα,d (вiдповiдно Ω ∈ Sl,d), якщо
Ω(t1, ..., td) як функцiя змiнної tj , j = 1, d, при довiльних фiксованих
значеннях iнших змiнних ti, i 6= j, належить множинi Sα (вiдповiдно
множинi Sl).
Позначимо Φdα,l = Ψl,d∩Sα,d∩Sl,d. При d = 1 будемо писати Φα,l.
168 Н. В. Дерев’янко, О. I. Черемшинська
Наведемо далi приклад функцiї, яка належить множинi Φdα,l.
Ω(t) =
d∏
j=1
t
rj
j log+
2 ( 1
tj
), tj > 0, j = 1, d,
0,
d∏
j=1
tj = 0,
де α < rj < l, j = 1, d, а log+
2 (t) = max{log2(t), 1}.
Нехай Ω ∈ Φdα,l i 1 ≤ p, θ ≤ ∞, тодi пiд класом функцiй SΩ
p,θB
будемо розумiти [3]:
SΩ
p,θB = {f ∈ L0
p : ‖f‖SΩ
p,θB
≤ 1},
де
‖f‖SΩ
p,θB
=
( ∫
πd
(
Ωl(f,t)p
Ω(t)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
t>0
Ωl(f,t)p
Ω(t) , θ =∞.
Зауважимо, що у випадку коли r = (r1, ..., rd), 0 < rj < l, j = 1, d, i
Ω(t) =
∏d
j=1 t
rj
j класи SΩ
p,θB спiвпадають з аналогами класiв Бєсова
Sr
p,θB, якi розглядалися у роботах [4] i [5]. Крiм того, при θ = ∞
класи Sr
p,∞B = Sr
pH є вiдомими аналогами класiв Нiкольського [6].
Класи SΩ
p,∞B = SΩ
p H розглядалися у роботi М.М. Пустовойтова [7].
Далi нам зручно буде користуватися означенням класiв SΩ
p,θB в
дещо iншому виглядi.
Для s ∈ Nd через ρ(s) позначимо пiдмножину цiлочислової решiт-
ки Zd вигляду
ρ(s) = {k ∈ Zd : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d}.
Покладемо для f ∈ L0
p
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x), x ∈ Rd,
де f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f .
Лiнiйнi поперечники класiв SΩ
p,θB . . . 169
Отже, якщо 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω — задана функцiя
з множини Φdα,l, то з точнiстю до абсолютних сталих класи SΩ
p,θB
можна означити наступним чином:
SΩ
p,θB =
{
f ∈ L0
p : ‖f‖SΩ
p,θB
≤ 1
}
,
де
‖f‖SΩ
p,θB
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)‖δs(f)‖θp
) 1
θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
s
‖δs(f)‖p
Ω(2−s) , θ =∞,
(1)
тут i надалi Ω(2−s) = Ω(2−s1 , ..., 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.
Зауважимо, що випадок 1 ≤ θ <∞ у (1) було розглянуто у роботi
[3], а випадок θ =∞ — у роботi [7].
Наведене означення класiв SΩ
p,θB можна розповсюдити i на крайнi
випадки p ∈ {1,∞}, дещо видозмiнивши в (1) "блоки" δs(f).
Позначимо через Vm(t), m ∈ N, t ∈ R, ядро Валле Пуссена
Vm(t) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kt+ 2
2m−1∑
k=m+1
(
2m− k
m
)
cos kt.
Кожному вектору s ∈ Nd поставимо у вiдповiднiсть полiном
As(x) =
d∏
j=1
(V2sj (x)− V2sj−1(x)), x ∈ Rd,
i для функцiї f ∈ L0
p розглянемо оператор виду
As(f, x) = f ∗As(x), x ∈ Rd,
де ” ∗ ” — операцiя згортки. Тодi при 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i Ω ∈ Φdα,l
SΩ
p,θB =
{
f ∈ Lp : ‖f‖SΩ
p,θB
≤ 1
}
,
170 Н. В. Дерев’янко, О. I. Черемшинська
де
‖f‖SΩ
p,θB
=
(∑
s
Ω−θ(2−s) ‖As(f)‖θp
) 1
θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
s
‖As(f)‖p
Ω(2−s) , θ =∞.
(2)
Зазначимо, що випадок 1 ≤ θ <∞ у (2) було розглянуто у роботi
[8], а випадок θ =∞ — у роботi [7].
Зауважимо, що у роботi будуть розглядатися класи SΩ
p,θB з функ-
цiєю Ω спецiального вигляду. Нехай ω — задана функцiя однiєї змiн-
ної з множини Φα,l. Покладемо
Ω(t) = ω
( d∏
j=1
tj
)
, t ∈ Rd+.
Зрозумiло, що таким чином задана функцiя Ω буде належати до
множини Φdα,l.
Перейдемо тепер до означення дослiджуваних апроксимативних
характеристик.
Нехай W — центрально симетрична множина в банаховому про-
сторiX, Linm(X) — множинa всiх лiнiйних пiдпросторiв Lm простору
X, розмiрнiсть яких не бiльша, нiж m, L(X,Lm) — множина лiнiй-
них операторiв, якi вiдображають весь простiр X у його пiдпростiр
Lm ∈ Linm(X). Тодi лiнiйний поперечник множини W в просторi X
означається згiдно з формулою
λm(W,X) = inf
Lm∈Linm(X)
inf
A∈L(X,Lm)
sup
f∈W
‖f −Af‖X .
Поняття лiнiйного поперечника було введене В.М. Тихомировим
у 1960 р. [9]. З iсторiєю дослiдження лiнiйних поперечникiв можна
ознайомитися в роботах Е. М. Галєєва [10, 11] та А. С. Романюка
[12–14] та у монографiях [15], [16], в яких також мiститься детальна
бiблiографiя.
При одержаннi оцiнок знизу лiнiйних поперечникiв класiв SΩ
p,θB
будемо користуватися вiдомими оцiнками колмогоровських попереч-
никiв дискретних множин. Нагадаємо, що колмогоровським попереч-
ником центрально симетричної множини W банахового простору X
Лiнiйнi поперечники класiв SΩ
p,θB . . . 171
називається величина [17]
dm(W,X) = inf
Xm∈Linm(X)
sup
f∈W
inf
u∈Xm
‖f − u‖X .
Легко бачити, що згiдно з означеннями лiнiйного i колмогоровсь-
кого поперечникiв має мiсце нерiвнiсть
dm(W,X) ≤ λm(W,X). (3)
Отриманi результати будемо формулювати у термiнах порядко-
вих спiввiдношень. Будемо вважати, що для двох невiд’ємних вели-
чин A i B запис A � B означає, що iснують константи C4, C5 > 0
такi, що C4A ≤ B ≤ C5A. Записи A � B або A � B, означають,
що C6A ≤ B i B ≤ C7A, C6, C7 > 0, вiдповiдно. Всi константи
Ci , i = 1, 2, ..., якi будуть зустрiчатися у роботi, можуть залежати
лише вiд тих параметрiв, що входять в означення класу, метрики, в
якiй оцiнюється похибка наближення, та розмiрностi простору Rd.
2. Допомiжнi твердження. Перед формулюванням основних
результатiв наведемо твердження, якi будемо використовувати при
їх доведеннi.
Нехай lnp означає простiр всеможливих упорядкованих систем з n
дiйсних чисел, норма в якому означається таким чином
‖x‖lnp =
(
n∑
j=1
|xj |p
) 1
p
, 1 ≤ p <∞,
max
1≤j≤n
|xj |, p =∞,
i Bnp = {x : ‖x‖lnp ≤ 1} — одинична куля в цьому просторi.
Теорема А [18]. Нехай m < n, 1 ≤ p < 2 ≤ q < ∞, 1
p + 1
q ≥ 1.
Тодi
λm(Bnp , l
n
q ) � max
{
n
1
q−
1
p ,min{1, n
1
qm−
1
2 }
√
1− m
n
}
.
Зауважимо, що у випадку p = 1, q > 2 вiдповiдний до теореми А
результат випливає iз твердження про колмогоровський поперечник
октаедра Bn1 в просторi lnq , встановленого Б.С. Кашиним [19].
172 Н. В. Дерев’янко, О. I. Черемшинська
Через T (ρ(s)) позначимо множину функцiй f вигляду
f(x) =
∑
k∈ρ(s)
cke
i(k,x),
де ck — довiльнi числа.
Теорема Б [20]. Мiж простором тригонометричних полiномiв
T (ρ(s)) i простором R2(s,1)
iснує iзоморфiзм, який ставить у вiдпо-
вiднiсть функцiї f ∈ T (ρ(s)) вектор δsf j = {fn(τj)} ∈ R2(s,1)
fn(t) =
∑
signkl=nl
cke
i(k,t), l = 1, d, n = (±1, ...,±1) ∈ Rd,
τj = (π22−s1j1, ..., π22−sdjd), ji = 1, 2, ..., 2si−1, i = 1, d,
i при цьому має мiсце спiввiдношення
‖f(·)‖p � 2−(s,1)/p‖δsf j‖l2(s,1)
p
, p ∈ (1,∞).
При d = 1 теорема Б є вiдомою теоремою Марцинкевича-
Зигмунда про дискретизацiю [21, с. 46].
Теорема В (Лiттлвуда–Пелi) [22]. Нехай f ∈ Lp, 1 < p < ∞.
Тодi iснують додатнi сталi C8 i C9 такi, що
C8‖f‖p ≤
∥∥∥∥(∑
s
|δs(f, ·)|2
)1/2∥∥∥∥
p
≤ C9‖f‖p.
Як наслiдок з означення лiнiйного поперечника, теореми В i тео-
реми Лiттлвуда-Пелi у роботi [10] записано наступне твердження.
Лема А. Нехай s ∈ Nd i f ∈ T (ρ(s)), ms ∈ Z+, ms ≤ 2(s,1). Якщо
1 < p, q <∞, то iснує лiнiйний оператор Λms : T (ρ(s)) → T (ρ(s)),
розмiрнiсть областi значень якого не перевищує ms, i такий, що
‖f − Λmsf‖q � λms(B
2(s,1)
p , l2
(s,1)
q )2(s,1)(1/p−1/q)‖f‖p.
Лема Б [23, c.25]. Нехай 1 ≤ p < q <∞ i f ∈ Lp. Тодi має мiсце
спiввiдношення
‖f‖qq �
∑
s
(
‖δs(f, ·)‖p2(s,1)(1/p−1/q)
)q
.
Лiнiйнi поперечники класiв SΩ
p,θB . . . 173
Лема В [10]. Нехай 1 < q < ∞, q1 = max{q, 2}, q2 = min{q, 2}.
Тодi(∑
s
‖δs(f, ·)‖q1q
)1/q1
�
∥∥∥∥∑
s
δs(f, ·)
∥∥∥∥
q
�
(∑
s
‖δs(f, ·)‖q2q
)1/q2
.
Теорема Г [24]. Нехай nj ∈ N, j = 1, d, i
t(x) =
∑
|kj |≤nj
cke
i(k,x), x ∈ Rd,
ck — довiльнi числа.
Тодi при 1 ≤ q < p ≤ ∞ виконується нерiвнiсть
‖t‖p ≤ 2d
d∏
j=1
n
1/q−1/p
j ‖t‖q. (4)
Нерiвнiсть (4) доведена С.М. Нiкольським i має назву “нерiвнiсть
рiзних метрик”. У випадку d = 1 i p =∞ вiдповiдну нерiвнiсть довiв
Д. Джексон [25].
Нехай знову X — банаховий простiр i A — деяка пiдмножина
цього простору. Полярою множини A ⊂ X будемо називати наступну
множину у спряженому просторi X∗:
A◦ = {x∗ ∈ X∗ : |〈x, x∗〉| ≤ 1 ∀x ∈ A},
де 〈x, x∗〉 — значення лiнiйного функцiоналу x∗ на елементi x.
Теорема Д [26]. Нехай BX i BY — одиничнi кулi в банахових
просторах X i Y вiдповiдно, (BX)◦, (BY )◦ — поляри цих множин,
а простiр Y ∗ вкладений в простiр X. Тодi
λm((BY )◦, X) = λm((BX)◦, Y ).
Зауважимо, що якщо X — нормований простiр (не банаховий),
то означення поляри i теорема Д мають дещо iнший вигляд. Бiльш
детально з цими питаннями можна ознайомитися у роботах [26] i [27].
174 Н. В. Дерев’янко, О. I. Черемшинська
Через ln,mp,q , 1 ≤ p, q ≤ ∞, n,m ∈ N, будемо позначати нормова-
ний простiр елементiв з простору Rnm, норма в якому означається
наступним чином
‖x‖ln,mp,q =
(
m∑
s=1
( ∑
k∈∆s
|xk|p
)q/p)1/q
, 1 ≤ p, q <∞,
max
1≤s≤m
( ∑
k∈∆s
|xk|p
)1/p
, q =∞,
де ∆s = {k ∈ N : (s − 1)n < k ≤ sn}, s = 1,m. Вiдповiдно, Bn,mp,q =
{x : ‖x‖ln,mp,q ≤ 1} — одинична куля в просторi ln,mp,q . Зауважимо, що
‖ · ‖ln,mp,p ≡ ‖ · ‖lnmp , 1 ≤ p ≤ ∞.
Теорема Е [28]. Нехай N ≤ mn/2. Тодi iснує додатна стала C10
така, що справедливi нерiвностi
C10m
√
log logm
logm
≤ dN (Bn,m1,∞ , l
n,m
2,1 ) ≤ m.
Тут i далi пiд log будемо розумiти логарифм за основою 2.
3. Основнi результати. Має мiсце наступна
Теорема 1. Нехай 1 < p ≤ 2, p′ < q < ∞, де 1/p + 1/p′ = 1, а
функцiя Ω(t) = ω(
∏d
j=1 tj), де ω ∈ Φα,l, α > 1 − 1/q, l ∈ N. Тодi при
q < θ <∞ має мiсце порядкове спiввiдношення
√
log logm
logm
ω(2−m)2m(1/2−1/q)m(d−1)( 1
q−
1
θ ) � λM (SΩ
p,θB,Lq)�
� ω(2−m)2m(1/2−1/q)m(d−1)( 1
q−
1
θ ), (5)
де M � 2mmd−1.
Доведення. Встановимо спочатку оцiнку зверху. ЗадамоM ∈ N
i пiдберемо m ∈ N так, щоб виконувалася умова 2mmd−1 �M .
Для s ∈ Nd покладемо
ms =
{
2(s,1), (s, 1) ≤ m,
[2m+β(m−(s,1))], (s, 1) > m,
де β > 0 — довiльне достатньо мале число, значення якого ми уточ-
нимо пiзнiше.
Лiнiйнi поперечники класiв SΩ
p,θB . . . 175
Покажемо, що
∑
s∈Nd
ms �M . Cправдi
∑
s∈Nd
ms ≤
∑
(s,1)≤m
2(s,1) +
∑
(s,1)>m
2m+β(m−(s,1)) =
=
m∑
j=1
∑
(s,1)=j
2(s,1) + 2m+βm
∑
j>m
∑
(s,1)=j
2−β(s,1) =
=
m∑
j=1
2j
∑
(s,1)=j
1 + 2m+βm
∑
j>m
2−βj
∑
(s,1)=j
1. (6)
Враховуючи те, що ∑
(s,1)=j
1 � jd−1, (7)
з (6) отримуємо
∑
s∈Nd
ms �
m∑
j=1
2jjd−1 + 2m+βm
∑
j>m
2−βjjd−1 �
� 2mmd−1 + 2m+βm2−βmmd−1 � 2mmd−1 �M.
Нехай f — довiльна функцiя з класу SΩ
p,θB. Через ΛM позначимо
лiнiйний оператор рангу M , який дiє на f за формулою
ΛMf =
∑
s
Λms
δs(f),
де оператори Λms визначенi згiдно з лемою А.
Оцiнимо далi норму ‖f−ΛMf‖q. Послiдовно застосувавши лему Б
з замiною iндекса p на p′ i лему А, будемо мати
‖f − ΛMf‖q �
�
( ∑
(s,1)>m
(
‖δs(f)− Λms
δs(f)‖p′2(s,1)(1/p′−1/q)
)q)1/q
�
176 Н. В. Дерев’янко, О. I. Черемшинська
�
( ∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1/p−1/q)‖δs(f)‖pλms(B2(s,1)
p , l2
(s,1)
p′ )
)q)1/q
= J1.
Врахувавши, що згiдно з теоремою А при ms < 2(s,1) має мiсце
спiввiдношення
λms
(B2(s,1)
p , l2
(s,1)
p′ ) �
� max
{
2(s,1)(1/p′−1/p),min{1, 2(s,1)/p′m−1/2
s }
√
1− ms
2(s,1)
}
≤
≤ max{2(s,1)(1/p′−1/p), 2(s,1)/p′m−1/2
s
√
1− ms
2(s,1)
} � 2(s,1)/p′m−1/2
s ,
продовжимо оцiнку J1 таким чином:
J1 �
( ∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1/p−1/q)‖δs(f)‖p2(s,1)/p′m−1/2
s
)q)1/q
=
=
( ∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1−1/q)‖δs(f)‖pm−1/2
s
)q)1/q
= J2.
Пiдставивши в J2 замiсть ms їх значення, будемо мати
J2 ≤
( ∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1−1/q)‖δs(f)‖p2−m/2−β/2(m−(s,1))
)q)1/q
=
= 2−m/22−βm/2
( ∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1−1/q+β/2)‖δs(f)‖p
)q)1/q
=
= 2−m/22−βm/2×
×
( ∑
(s,1)>m
(
2(s,1)(1−1/q+β/2)ω(2−(s,1))ω−1(2−(s,1))‖δs(f)‖p
)q)1/q
=
= 2−m/22−βm/2×
Лiнiйнi поперечники класiв SΩ
p,θB . . . 177
×
( ∑
(s,1)>m
(
2−(s,1)(α−1+1/q−β/2)ω(2−(s,1))
2−α(s,1)
ω−1(2−(s,1))‖δs(f)‖p
)q)1/q
= J3.
Оскiльки ω ∈ Φα,l, α > 1 − 1/q, то при (s, 1) > m буде виконува-
тись порядкова нерiвнiсть
ω(2−(s,1))
2−(s,1)α
� ω(2−m)
2−mα
.
Врахувавши останнє спiввiдношення, отримаємо
J3 � 2−m/22−βm/2
ω(2−m)
2−mα
×
×
( ∑
(s,1)>m
(
2−(s,1)(α−1+1/q−β/2)ω−1(2−(s,1))‖δs(f)‖p
)q)1/q
= J4.
Далi виберемо параметр β з умови α − 1 + 1/q − β/2 > 0 (це
можливо зробити, оскiльки за умовою теореми α > 1 − 1/q). Тодi
застосувавши до J4 нерiвнiсть Гельдера
∑
k
|akbk| ≤
(∑
k
|ak|r
)1/r(∑
k
|bk|r
′
)1/r′
, 1/r + 1/r′ = 1,
де ak, bk — довiльнi числа, з параметром r = θ/q, отримаємо
J4 ≤ 2−m/22−βm/2
ω(2−m)
2−mα
( ∑
(s,1)>m
ω−θ(2−(s,1))‖δs(f)‖θp
)1/θ
×
×
( ∑
(s,1)>m
2−(s,1)(α−1+1/q−β/2) θq
θ−q
) θ−q
θq
�
� 2−m/22−βm/2
ω(2−m)
2−mα
‖f‖SΩ
p,θB
×
×
(∑
j>m
∑
(s,1)=j
2−(s,1)(α−1+1/q−β/2) θq
θ−q
) θ−q
θq
�
178 Н. В. Дерев’янко, О. I. Черемшинська
� 2−m/22−βm/2
ω(2−m)
2−mα
(∑
j>m
2−j(α−1+1/q−β/2) θq
θ−q
∑
(s,1)=j
1
) θ−q
θq
.
Враховуючи спiввiдношення (7), продовжимо оцiнку J4:
J4 � 2−m/22−βm/2
ω(2−m)
2−mα
(∑
j>m
2−j(α−1+1/q−β/2) θq
θ−q jd−1
) θ−q
θq
�
� 2−m/22−βm/2
ω(2−m)
2−mα
2−m(α−1+1/q−β/2)m(d−1)(1/q−1/θ) =
= ω(2−m)2m(1/2−1/q)m(d−1)(1/q−1/θ).
Таким чином, враховуючи отриману порядкову нерiвнiсть
‖f − ΛMf‖q � ω(2−m)2m(1/2−1/q)m(d−1)(1/q−1/θ),
згiдно з означенням лiнiйного поперечника отримуємо оцiнку зверху
у спiввiдношеннi (5).
Перейдемо тепер до встановлення оцiнки знизу. Зауважимо, що
оскiльки при p ≤ 2 має мiсце вкладення SΩ
p,θB ⊇ SΩ
2,θB, то її
достатньо встановити для випадку p = 2. Для M ∈ N вибере-
мо число m ∈ N таким чином, щоб виконувалося спiввiдношення
2mmd−1 � M i кiлькiсть елементiв множини Qm =
⋃
s∈Θm
ρ(s), де
Θm = {s ∈ Nd : (s, 1) = m}, була не менша нiж 2M .
Позначимо через Tm множину функцiй
Tm = {f : f =
∑
s∈Θm
δs(f)}
i нехай Pm оператор ортогонального проектування на цю множину.
Тодi згiдно з означенням лiнiйного поперечника
λM (SΩ
2,θB,Lq) ≥ λM (SΩ
2,θB ∩ Tm, Lq). (8)
З iншого боку, для t ∈ Tm
‖f − t‖q ≥ ‖Pm(f − t)‖q = ‖Pmf − t‖q. (9)
Лiнiйнi поперечники класiв SΩ
p,θB . . . 179
Врахувавши (8) i (9), отримаємо
λM (SΩ
2,θB,Lq) ≥ λM (SΩ
2,θB ∩ Tm, Lq ∩ Tm). (10)
Для функцiї f ∈ SΩ
2,θB ∩ Tm згiдно з теоремою Б будемо мати
‖f‖SΩ
2,θB
=
( ∑
s∈Θm
ω−θ(2−(s,1))‖δs(f)‖θ2
)1/θ
�
�
( ∑
s∈Θm
ω−θ(2−(s,1))2−(s,1)θ/2‖δsf j‖θ
l2
(s,1)
2
)1/θ
=
= ω−1(2−m)2−m/2
( ∑
s∈Θm
( 2(s,1)∑
j=1
|δsf j |2
)θ/2)1/θ
. (11)
Згiдно з (11) f ∈ SΩ
2,θB ∩ Tm тодi i тiльки тодi, коли
‖δsf j‖l2m,|Θm|2,θ
� ω(2−m)2m/2. Тут i далi пiд |N| будемо розумiти
кiлькiсть елементiв множини N. Отже одиничнiй кулi з SΩ
2,θB ∩ Tm
ставиться у вiдповiднiсть куля радiуса C11ω
−1(2−m)2−m/2, C11 > 0,
з простору l2
m,|Θm|
2,θ .
З iншого боку, для f ∈ Lq ∩Tm, використовуючи послiдовно лему
В i теорему Б, можемо записати
‖f‖q =
∥∥∥∥ ∑
s∈Θm
δs(f)
∥∥∥∥
q
�
( ∑
s∈Θm
‖δs(f)‖qq
)1/q
�
�
( ∑
s∈Θm
2−(s,1)‖δsf j‖q
l2
(s,1)
q
)1/q
= 2−m/q
( ∑
s∈Θm
2(s,1)∑
j=1
|δsf j |q
)1/q
. (12)
Iз (12) випливає, що мiж нормами функцiй iз Lq ∩ Tm i нормами
вiдповiдних елементiв з l2
m|Θm|
q виконується спiввiдношення
‖ · ‖q � 2−m/q‖ · ‖
l
2m|Θm|
q
. (13)
180 Н. В. Дерев’янко, О. I. Черемшинська
Таким чином, згiдно з (10), (11) i (13) будемо мати
λM (SΩ
2,θB,Lq) ≥ λM (SΩ
2,θB ∩ Tm, Lq ∩ Tm)�
� ω(2−m)2m(1/2−1/q)λM (B
2m,|Θm|
2,θ , l2
m|Θm|
q ). (14)
Далi нам знадобляться деякi спiввiдношення. З нерiвностi про
середнє степеневе будемо мати
|Θm|−1/θ‖ · ‖
l
|Θm|
θ
≤ ‖ · ‖
l
|Θm|
∞
.
Звiдси має мiсце нерiвнiсть
‖ · ‖
l
2m,|Θm|
2,θ
≤ |Θm|1/θ‖ · ‖l2m,|Θm|2,∞
,
а отже i вкладення
|Θm|−1/θB
2m,|Θm|
2,∞ ⊂ B2m,|Θm|
2,θ . (15)
З iншого боку, знову ж таки за нерiвнiстю про середнє степеневе
будемо мати
‖ · ‖
l
|Θm|
q
≥ ‖ · ‖
l
|Θm|
1
|Θm|1/q−1, q ≥ 1.
Врахувавши також, що при q ≤ ∞
‖ · ‖l2mq ≥ ‖ · ‖l2m∞ ,
отримаємо
‖ · ‖
l
2m|Θm|
q
≥ ‖ · ‖
l
2m,|Θm|
∞,1
|Θm|1/q−1. (16)
Прийнявши до уваги вiдомi спiввiдношення(
l
2m,|Θm|
2,1
)∗
= l
2m,|Θm|
2,∞ ,
(
l
2m,|Θm|
∞,1
)∗
⊇ l2
m,|Θm|
1,∞ , (17)
згiдно з означенням поляри множини будемо мати(
B
2m,|Θm|
2,1
)◦
= B
2m,|Θm|
2,∞ ,
(
B
2m,|Θm|
∞,1
)◦
⊇ B2m,|Θm|
1,∞ . (18)
Лiнiйнi поперечники класiв SΩ
p,θB . . . 181
З (17), (18), теореми Д та означення лiнiйного поперечника отри-
муємо
λm(B
2m,|Θm|
2,∞ , l
2m,|Θm|
∞,1 ) = λm
((
B
2m,|Θm|
2,1
)◦
, l
2m,|Θm|
∞,1
)
=
= λm
((
B
2m,|Θm|
∞,1
)◦
, l
2m,|Θm|
2,1
)
≥ λm(B
2m,|Θm|
1,∞ , l
2m,|Θm|
2,1 ) (19)
З (14), використовуючи (15), (16) i (19), будемо мати
λM (SΩ
2,θB,Lq) ≥ λM (SΩ
2,θB ∩ Tm, Lq ∩ Tm)�
� ω(2−m)2m(1/2−1/q)λM (B
2m,|Θm|
2,θ , l2
m|Θm|
q ) ≥
≥ ω(2−m)2m(1/2−1/q)|Θm|1/q−1/θ−1λM (B
2m,|Θm|
2,∞ , l
2m,|Θm|
∞,1 ) ≥
≥ ω(2−m)2m(1/2−1/q)|Θm|1/q−1/θ−1λM (B
2m,|Θm|
1,∞ , l
2m,|Θm|
2,1 ). (20)
Використавши нерiвнiсть (3) та теорему Е, iз спiввiдношення (20)
отримаємо
λM (SΩ
2,θB,Lq)�
� ω(2−m)2m(1/2−1/q)|Θm|1/q−1/θ−1dM (B
2m,|Θm|
1,∞ , l
2m,|Θm|
2,1 )�
� ω(2−m)2m(1/2−1/q)|Θm|1/q−1/θ−1|Θm|
√
log log |Θm|
log |Θm|
.
Оскiльки зi спiввiдношення (7) випливає, що |Θm| � md−1, то
останню оцiнку продовжимо наступним чином
λM (SΩ
2,θB,Lq)� ω(2−m)2m(1/2−1/q)m(d−1)(1/q−1/θ)
√
log logmd−1
logmd−1
�
� ω(2−m)2m(1/2−1/q)m(d−1)(1/q−1/θ)
√
log logm
logm
,
де M � 2mmd−1.
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему доведено.
182 Н. В. Дерев’янко, О. I. Черемшинська
Теорема 2. Нехай 2 ≤ p < q < ∞, а функцiя Ω(t) = ω(
∏d
j=1 tj),
де ω ∈ Φα,l, α > 1/p − 1/q, l ∈ N. Тодi при q < θ < ∞ має мiсце
порядкове спiввiдношення
√
log logm
logm
ω(2−m)2m(1/p−1/q)m(d−1)(1/q−1/θ) � λM (SΩ
p,θB,Lq)�
� ω(2−m)2m(1/p−1/q)m(d−1)(1/q−1/θ), (21)
де M � 2mmd−1.
Доведення. Оцiнка зверху в (21) випливає з оцiнок наближення
функцiй з класiв SΩ
p,θB їх схiдчасто гiперболiчними сумами Фур’є [3],
тобто полiномами вигляду
SQm(f, x) =
∑
(s,1)<m
δs(f, x),
де Qm =
⋃
(s,1)<m
ρ(s) — схiдчасто гiперболiчний хрест i число m
пiдiбрано таким чином, щоб M � 2mmd−1.
Для встановлення в (21) оцiнки знизу скористаємося результата-
ми теореми 1. Нехай f ∈ SΩ
p,θB, 2 ≤ p <∞. Тодi з теореми Г будемо
мати
‖f‖SΩ
p,θB
=
(∑
s
ω−θ(2−(s,1))‖δs(f)‖θp
)1/θ
≤
≤
(∑
s
ω−θ(2−(s,1))2(s,1)(1/2−1/p)θ‖δs(f)‖θ2
)1/θ
=
≤
(∑
s
ω−θ1 (2−(s,1))‖δs(f)‖θ2
)1/θ
= ‖f‖
S
Ω1
2,θB
,
де Ω1(t) = ω1
(∏d
j=1 tj
)
, ω1(τ) = ω(τ)τ1/2−1/p — функцiя з множини
Φα1,l+1, α1 = α+ (1/2− 1/p) > 1/2− 1/q.
Звiдси має мiсце вкладення
SΩ1
2,θB ⊂ S
Ω
p,θB. (22)
Лiнiйнi поперечники класiв SΩ
p,θB . . . 183
Оскiльки оцiнка знизу в теоремi 1 є справедливою i для
α > 1/2− 1/q, то, використавши (22), (5) i означення лiнiйного по-
перечника, будемо мати
λM (SΩ
p,θB,Lq) ≥ λM (SΩ1
2,θB,Lq)�
� ω1(2−m)2m(1/2−1/q)m(d−1)(1/q−1/θ)
√
log logm
logm
=
= ω(2−m)2m(1/p−1/q)m(d−1)(1/q−1/θ)
√
log logm
logm
.
Теорему доведено.
На завершення роботи наведемо деякi зауваження.
Зауваження 1. При Ω(t) =
∏d
j=1 t
rj
j , rj > 0, j = 1, d, результати
теорем 1 i 2 встановлено у роботi [29].
Зауваження 2. Порядковi оцiнки лiнiйних поперечникiв
λM (Sr
pH,Lq) для спiввiдношень мiж параметрами p та q, розгляну-
тих у теоремах 1 i 2, отримано у роботi [11]. На класи SΩ
p H вiдповiднi
результати були поширенi у роботi [30]. При цьому для цих класiв
функцiй, так само, як i для класiв Sr
p,θB (вiдповiдно SΩ
p,θB), верхня
i нижня оцiнки вiдрiзняються на "логарифмiчний" множник. Для
тих же p i q та 2 ≤ θ ≤ q вдалося встановити точнi за порядком
оцiнки лiнiйних поперечникiв λM (Sr
p,θB,Lq) [13], а також лiнiйних
поперечникiв λM (SΩ
p,θB,Lq) [31].
Зауваження 3. При d = 1 вiдомi точнi за порядком оцiнки
лiнiйних поперечникiв класiв SΩ
p,θB для 1 ≤ θ ≤ ∞:
λM (SΩ
p,θB,Lq) �
{
Ω(M−1)M1/2−1/q, 1 < p ≤ 2, p′ < q <∞,
Ω(M−1)M1/p−1/q, 2 ≤ p < q <∞.
(23)
При 2 ≤ θ ≤ q оцiнку (23) було отримано у роботi [31], при всiх
iнших θ — у роботi [32] . Для класiв Srp,θB при 1 ≤ θ <∞ вiдповiднi
порядковi оцiнки встановлено у роботi [14], при θ =∞ — в [11].
1. Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функ-
ций // Изв. АН. сер. матем. — 1951. — 15. — С. 219 – 242.
2. Бари Н.К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциаль-
ные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1956. —
5. — С. 483 – 522.
184 Н. В. Дерев’янко, О. I. Черемшинська
3. Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and approximation of
multivariate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness //
Тр. МИАН СССР. — 1997. — 219. — P. 356 – 377.
4. Аманов Т. И. Теоремы представления и вложения для функциональных
пространств S(r)
p,θB(Rn) и S(r)
p∗,θ (0 ≤ xj ≤ 2π; j = 1, ..., n). // Тр. МИАН
СССР. — 1965. — 77. — P. 5 – 34.
5. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной
гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. МИАН СССР. —
1989. — 187, №3. — С. 143 – 161.
6. Никольский С. М. Функции с доминирующей смешанной производной,
удовлетворяющей кратному условию Гeльдера // Сиб. мат. журн. —
1963. — 4, №6. — С. 1342 – 1364.
7. Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических функ-
ций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывно-
сти // Anal. Math. — 1994. — 20. — С. 35 – 48.
8. Стасюк C. A., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики класiв
BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. — 2006. —
58, №5. — С. 692 – 704.
9. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных простран-
ствах и теория наилучших приближений // Успехи мат. наук. — 1960. —
15, №3. — С. 81 – 120.
10. Галеев Э. М. О линейных поперечниках классов периодических функций
многих переменных // Вестник МГУ, Сер. 1, Мат., Мех. — 1987. — 4. —
С. 13 – 16.
11. Галеев Э. М. Линейные поперечники классов Гельдера-Никольского пе-
риодических функций многих переменных // Мат. заметки. — 1996. — 59,
№2. — С. 189 – 199.
12. Романюк А. С. Линейные поперечники классов Бесова периодических
функций многих переменных. I // Укр. мат. журн. — 2001. — 53, №5. —
С. 647 – 661.
13. Романюк А. С. Линейные поперечники классов Бесова периодических
функций многих переменных. II // Укр. мат. журн. — 2001. — 53, №6. —
С. 820 – 829.
14. Романюк А. С. Поперечники и наилучшее приближение классов Brp,θ
периодических функций многих переменных // Anal. Math. — 2011. — 37,
№3. — С. 181 – 213.
15. Тихомиров В. М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Соврем.
пробл. математики. Фундам. направления, ВИНИТИ. — 1987. — 14. —
С. 103 – 260.
16. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. — М.: Наука,
1987. — 424 с.
Лiнiйнi поперечники класiв SΩ
p,θB . . . 185
17. Kolmogoroff A. Über die beste annäherung von funktionen einer gegebenen
funktionenklasse // Ann. of Math. — 1963. — 37, №1. — С. 107 – 110.
18. Глускин Е. Д. Нормы случайных матриц и поперечники конечномерных
множеств // Мат. сб. — 1983. — 120, №2. — С. 180 – 189.
19. Кашин Б. С. О некоторых свойствах матриц ограниченных операторов
из пространства ln2 в lm2 // Изв. АН Арм. ССР (сер. мат.). — 1980. — 15,
№5. — С. 379 – 394.
20. Галеев Э. М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функ-
ций многих переменных W̃ ᾱ
p и H̃ᾱ
p в пространстве L̃q // Изв. АН СССР
(сер. мат.). — 1985. — 49, №5. — С. 916 – 934.
21. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т.— М.: Мир, 1965. — Т. 2. —
537 c.
22. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения.— М.: Наука, 1969. — 480 с.
23. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной про-
изводной // Тр. МИАН СССР. — 1986. — 178. — С. 3 – 113.
24. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их
применение в теории дифференцируемых функций многих переменных //
Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1951. — 38. — С. 244 – 278.
25. Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math.
Soc. — 1933. — 39, №12. — P. 889 – 906.
26. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных про-
странствах и приближение функций тригонометрическими многочлена-
ми // Успехи мат. наук. — 1974. — 29, №3. — C. 161 – 178.
27. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экс-
тремальные задачи // Успехи мат. наук. — 1968. — 23, №6. — C. 51 – 116.
28. Изаак А. Д. Поперечники по Колмогорову в конечномерных простран-
ствах со смешанной нормой // Мат. заметки. — 1994. — 55, №1. — C. 43–52.
29. Романюк А. С. К вопросу о линейных поперечниках классов Brp,θ перио-
дических функций многих переменных // Укр. мат. журн. — 2014. — 66,
№7. — С. 970 – 982.
30. Дерев’янко Н. В. Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв HΩ
p перiодичних
функцiй багатьох змiнних у просторi Lq // Теорiя наближення функцiй
та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2014. —
11, №3. — C. 128 – 145.
31. Федуник О. В. Лiнiйнi поперечники класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй
багатьох змiнних у просторi Lq // Укр. мат. журн. — 2006. — 58, №1. —
С. 93 – 104.
32. Конограй А. Ф. Лiнiйнi поперечники класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй
однiєї та багатьох змiнних // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi пи-
тання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2010. — 7, №1. —
С. 94 – 112.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-291 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:04Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/bf/7873f148dda5b8a8d88d21c361a640bf.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2912018-02-01T14:26:36Z Linear widths of classes $S_{p,\theta}^\Omega B$ of periodic functions of several variables Лінійні поперечники класів $S_{p,\theta}^\Omega B$ періодичних функцій багатьох змінних Devevyanko, N. V. Cheremshynska, O. I. Дерев'янко, Н. В. Черемшинська, О. І. Obtained here are the order estimates of linear widths of the classes $S_{p,\theta}^\Omega B$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for $1&lt;p\leq 2$, $p/{(p-1)}&lt;q&lt;\infty$ and $2\leq p&lt;q&lt;\infty$. Отримано порядкові оцінки лінійних поперечників класів $S_{p,\theta}^\Omega B$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ при $1&lt;p \leq 2$, $p/{(p-1)}&lt;q&lt;\infty$ та $2\leq p&lt;q&lt;\infty$. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/291 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 165- 185 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 165- 185 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 165- 185 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/291/325 |
| spellingShingle | Devevyanko, N. V. Cheremshynska, O. I. Дерев'янко, Н. В. Черемшинська, О. І. Linear widths of classes $S_{p,\theta}^\Omega B$ of periodic functions of several variables |
| title | Linear widths of classes $S_{p,\theta}^\Omega B$ of periodic functions of several variables |
| title_alt | Лінійні поперечники класів $S_{p,\theta}^\Omega B$ періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Linear widths of classes $S_{p,\theta}^\Omega B$ of periodic functions of several variables |
| title_fullStr | Linear widths of classes $S_{p,\theta}^\Omega B$ of periodic functions of several variables |
| title_full_unstemmed | Linear widths of classes $S_{p,\theta}^\Omega B$ of periodic functions of several variables |
| title_short | Linear widths of classes $S_{p,\theta}^\Omega B$ of periodic functions of several variables |
| title_sort | linear widths of classes $s_{p,\theta}^\omega b$ of periodic functions of several variables |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/291 |
| work_keys_str_mv | AT devevyankonv linearwidthsofclassesspthetaomegabofperiodicfunctionsofseveralvariables AT cheremshynskaoi linearwidthsofclassesspthetaomegabofperiodicfunctionsofseveralvariables AT derev039ânkonv linearwidthsofclassesspthetaomegabofperiodicfunctionsofseveralvariables AT čeremšinsʹkaoí linearwidthsofclassesspthetaomegabofperiodicfunctionsofseveralvariables AT devevyankonv líníjnípoperečnikiklasívspthetaomegabperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT cheremshynskaoi líníjnípoperečnikiklasívspthetaomegabperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT derev039ânkonv líníjnípoperečnikiklasívspthetaomegabperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT čeremšinsʹkaoí líníjnípoperečnikiklasívspthetaomegabperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |