Restrictions for order of q-monotone approximation of periodic functions
A continuous periodic $q$-monotone function, $q=3,...,$ is constructed for which if it is approximated with $q$-monotone polynomials the Jackson-Stechkin estimate with the modulus of smoothness of order $\ge q+2$ is not valid (in contrast with the approximation without restrictions).
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/292 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552793322029056 |
|---|---|
| author | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. |
| author_facet | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. А. Дзюбенко",
"institution": "Міжнародний математичний центр НАН України імені Юрія Митропольського"
}
] |
| author_sort | Dzyubenko, G. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T19:44:28Z |
| description | A continuous periodic $q$-monotone function, $q=3,...,$ is constructed for which if it is approximated with $q$-monotone polynomials the Jackson-Stechkin estimate with the modulus of smoothness of order $\ge q+2$ is not valid (in contrast with the approximation without restrictions). |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 186–196
УДК 517.5
Г. А. Дзюбенко (Мiжнародний математичний центр НАН Украї-
ни iменi Юрiя Митропольського, Київ)
ОБМЕЖЕННЯ ПОРЯДКУ q-МОНОТОННООГО
НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ
A continuous periodic q-monotone function, q = 3, ..., is constructed for
which if it is approximated with q-monotone polynomials the Jackson-
Stechkin estimate with the modulus of smoothness of order ≥ q+2 is not
valid (in contrast with the approximation without restrictions).
Побудовано неперервну перiодичну q-монотонну функцiю, q = 3, ...,
для якої при наближеннi її q-монотонними полiномами (на вiд-
мiну вiд наближення без обмежень) не справджується оцiнка
Джексона-Стєчкина з модулем гладкостi прядку ≥ q + 2.
1. Вступ. Нехай C − простiр неперервних 2π−перiодичних
функцiй f : R → R, ‖f‖ := ‖f‖R := max
x∈R
|f(x)| , i Tn− простiр
тригонометричних полiномiв tn(x) = a0 +
∑n
j=1(aj cos jx +
bj sin jx) порядку ≤ n, з n ∈ N i aj , bj ∈ R. Позначимо
En(f) := inf
tn∈Tn
‖f − tn‖ .
Нагадаємо, що при кожному k ∈ N для будь-якої f ∈ C справ-
джується нерiвнiсть Джексона-Стєчкина [1]
En(f) ≤ c(k)ωk (f, 1/n) , n ∈ N, (1)
де c(k)− стала, яка залежить тiльки вiд k, i ωk (f, ·)− модуль
гладкостi порядку k функцiї f.
Зафiксуємо s ∈ N i через Y позначимо набiр {yi}i∈Z точок
yi таких, що
c© Г. А. Дзюбенко, 2015
Обмеження порядку q-монотонного наближення . . . 187
−π ≤ y2s < y2s−1 < · · · < y1 < π,
де для решти i ∈ Z точки yi визначаються (перiодично) рiв-
нiстю yi = yi+2s + 2π (y0 = y2s + 2π, ..., y2s+1 = y1 − 2π, ...).
При кожному q ∈ N ∪ {0} видiлимо в C множину ∆(q)(Y )
всiх функцiй, якi мають на [y1, y0] невiд’ємну q-ту похiдну, на
[y2, y1]− недодатню, на [y3, y2]− невiд’ємну i т.д. Iншими сло-
вами, ∆(q)(Y ) мiстить всi f ∈ C, для яких
f (q)(x)Π(x) ≥ 0, x ∈ Z,
де
Π(x) :=
2s∏
i=1
sin
x− yi
2
(
Π(x) > 0, x ∈ (y1, y0)
)
.
Функцiї з ∆(0)(Y ) називають копозитивними (одна однiй),
з ∆(1)(Y )− комонотонними, з ∆(2)(Y )− коопуклими i з
∆(q)(Y ) − q-монотонними. Позначимо
E(q)
n (f) := E(q)
n (f, Y ) := inf
tn∈Tn∩∆(q)(Y )
‖f − tn‖ .
Встановлення для E(q)
n (f) оцiнок типу (1) є основною зада-
чею q-монотонного наближення. Так, для q = 1 у [2] i, вiдпо-
вiдно, у [3] доведено, що якщо f ∈ ∆(1)(Y ), то
E(1)
n (f) ≤ c(s)ω1 (f, 1/n) , n ∈ N, (2)
i
E(1)
n (f) ≤ c(s)ω2 (f, 1/n) , n ≥ N(Y ), (3)
E(1)
n (f) ≤ C(Y )ω2 (f, 1/n) , n ∈ N, (4)
де c(s)− стала, яка залежить тiльки вiд s, а N(Y ) i C(Y )−
сталi, якi залежать тiльки вiд Y, тобто вiд min
i=1,...,2s
{yi − yi+1}.
188 Г. А. Дзюбенко
Тодi як в [4, с. 64–83], при кожному n ∈ N побудовано функцiю
gn(x) = gn(x, s, Y, k) ∈ ∆(1)(Y ) таку, що
E(1)
n (gn) ≥ C(Y, k)n
k
2
−1ωk (gn, 1/n) , (5)
де C(Y, k)− стала, яка залежить тiльки вiд Y i k. Тобто, при
кожному n ∈ N пiдiбрано функцiю з ∆(1)(Y ), для якої (2)–(4) з
ωk, k ≥ 3, хибнi. В [5] побудовано одну таку функцiю для всiх
n ∈ N.
Для q = 2 має мiсце така сама картина з оцiнкою E
(2)
n (f),
тiльки замiсть ω2 у (3) i (4) стоїть ω3, (див. [6]), а замiсть (5)
− оцiнка
E(2)
n (fn) ≥ C(Y, k)n2( k3−1)ωk (fn, 1/n) , (6)
див. [7]. Про суттєву залежнiсть вiд Y сталих в оцiнках вигляду
(3) i (4) для q = 2, див. [8].
Для ознайомлення з випадком q = 0, (див. [9–12].
Наслiдуючи роботу [13], де у випадку наближення на вiдрiз-
ку функцiї для нерiвностей, аналогiчних (5) i (6), побудовано
для всiх q ∈ N, ми доводимо
Приклад 1. Для довiльних натуральних q, n i k, k ≥ q+2
iснує функцiя f(x), яка залежить вiд Y, n i k така, що
f ∈ ∆(q)(Y )
i
E(q)
n (f) > BY,kn
q
(
k
q+1
−1
)
ωk (f, 1/n) , (7)
де стала BY,k залежить тiльки вiд Y i k.
2. Доведення. Як вже зазначалось, приклад 1 є вiдомим
для q = 1, 2. Доведемо його для q ≥ 3. Зафiксуємо s ∈ N i набiр
{yi}i∈Z = Y . Завдяки перiодичностi, не втрачаючи загальностi,
Обмеження порядку q-монотонного наближення . . . 189
припустимо, що точка 0 належить набору Y , тобто yi∗ = 0 для
деякого i∗ ∈ Z. Покладемо
Π∗(x) :=
2s∏
i=1i 6=i∗
sin
x− yi
2
.
Нехай для визначеностi i∗ – непарне число. Тодi Π∗(0) > 0.
Через 2d позначимо вiдстань вiд yi∗ до найближчої точки
набору Y , зазначимо, що
d ≤ π
2
, Π∗(x) > 0, x ∈ (−2d, 2d).
Покладемо
M := max
x∈R
|Π∗(x)|, M1 := max
x∈R
|Π′∗(x)|, m := min
x∈[−d,d]
Π∗(x).
Враховуючи набiр Y, позначимо через N найменше з нату-
ральних чисел, яке задовольняє нерiвнiсть
m
(
sin
d
8
)2q−1
≥ 5
N
(M +M1) (2q − 1) (8)
тодi, зокрема,
d >
40
N
. (9)
Виберемо натуральне число j∗ з умови
π
N
+ j∗
2π
N
≤ d < π
N
+ (j∗ + 1)
2π
N
та позначимо
d∗ :=
π
N
+ j∗
2π
N
,
помiтивши, що
1
2
d < d∗ ≤ d. (10)
190 Г. А. Дзюбенко
При побудовi контрприкладу використовується ядро Джек-
сона
JN (t) =
3
2N(2N2 + 1)
(
sin Nt
2
sin t
2
)4
.
Нагадаємо (див., наприклад, [14, с. 127]) деякi його властивостi:
а) JN (t) — парний невiд’ємний тригонометричний полiном по-
рядку 2(N − 1);
б)
1
π
π∫
−π
JN (t)dt = 1; (11)
в) для довiльної неперервно диференцiйовної перiодичної
функцiї g в кожнiй точцi x має мiсце нерiвнiсть
1
π
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(g(t)− g(x))JN (t− x)dt
∣∣∣∣∣∣ ≤ 5
N
‖g′‖. (12)
Позначимо
M̃ :=
1
π
‖JN‖,
m̃ :=
1
π
min
t∈[− π
2N
, π
2N ]
JN (t− d∗) =
1
π
min
t∈[− π
2N
, π
2N ]
JN (t+ d∗).
Враховуючи, що m̃ > 0, покладемо
M := 2
2 + π3
√
MM̃
mm̃
q∑
ν=0
(
q
ν
)
.
Скрiзь надалi число b задовольняє нерiвностi
0 < b <
π
2NM
. (13)
Обмеження порядку q-монотонного наближення . . . 191
Покладемо
Π̃(x) := Π̃(x, b,Bq) := sin
x− 2b
2
2q−3∏
ν=0
sin
x− bν
2
,
де точки Bq := {bν}2q−3
ν=0 є такi, що
2b < b2q−3 < ... < b1 < b0 < Mb. (14)
Враховуючи (9) та (10), зазначимо, що
d∗ − b0
2
>
d
8
. (15)
Для кожних b i Bq, позначимо
Qr(x) := Qr(x, b,Bq) :=
1
π
x∫
0
Π̃(t)Π∗(t)JN (t− d∗)dt,
Ql(x) := Ql(x, b,Bq) :=
1
π
x∫
0
Π̃(t)Π∗(t)JN (t+ d∗)dt.
Оскiльки
Qr(2π) =
1
π
2π∫
0
Π̃(d∗)Π∗(d
∗)JN (t− d∗)dt+
+
1
π
2π∫
0
(
Π̃(t)Π∗(t)− Π̃(d∗)Π∗(d
∗)
)
JN (t− d∗)dt,
то, враховуючи (11), (12), (15) та (8), отримаємо
Qr(2π) ≥ Π̃(d∗)Π∗(d
∗)− 5
N
∥∥∥∥(Π̃(·)Π∗(·)
)′∥∥∥∥ ≥
192 Г. А. Дзюбенко
≥ m
(
sin
d
8
)2q−1
− 5
N
(M +M1) (2q − 1) ≥ 0.
Аналогiчно, оскiльки
Ql(2π) =
1
π
2π∫
0
Π̃(−d∗)Π∗(−d∗)JN (t+ d∗)dt+
+
1
π
2π∫
0
(
Π̃(t)Π∗(t)− Π̃(−d∗)Π∗(−d∗)
)
JN (t+ d∗)dt,
то з (11), (12), (15) та (8) випливає
Ql(2π) ≤ Π̃(−d∗)Π∗(−d∗) +
5
N
∥∥∥∥(Π̃(·)Π∗(·)
)′∥∥∥∥ ≤
≤ −m
(
sin
d
8
)2q−1
+
5
N
(M +M1) (2q − 1) ≤ 0.
Отже, iснує αb ∈ [0, 1] таке, що
αbQr(2π) + (1− αb)Ql(2π) = 0. (16)
Покладемо
Q(x) := Q(x, b,Bq) :=
1
b2(q−1)
(
αbQr(x) + (1− αb)Ql(x)
)
.
Рiвнiсть (16) означає, що Q(x) є тригонометричним полiномом,
порядок якого у вiдповiдностi з а) дорiвнює 2(N + q − 2) + s.
Наступна лема 1 доводиться за iндукцiєю, аналогiчно лемi 3.1
роботи [4].
Лема 1. Для довiльного b i q ≥ 2, iснує набiр Bq такий,
що
b0∫
0
t1∫
0
...
tq−2∫
0
Q(tq−1)dtq−1...dt1 = 0. (17)
Обмеження порядку q-монотонного наближення . . . 193
Нехай Kb(x) — 2π-перiодична функцiя така, що
Kb(x) =
{
0, якщо x ∈ (0, b0),
1, якщо x ∈ [−π, 0] ∪ [b0, π].
Позначимо
g(x) := g(x, b,Bq) :=
1
πb2(q−1)
∫ x
0
Kb(x)Π̃(t)Π∗(t)
(
αbJN (t− d∗)+(1− αb)JN (t+ d∗)
)
dt.
З (17) та (14) випливає, що g − 2π-перiодична функцiя з
∆(1)(Y ). Покладемо
f(x, b, 2) :=
x∫
0
(g(t, b)−Ab,2)dt, f(x, b, 3) :=
x∫
0
(f(t, b, 2)+Ab,3)dt,
f(x, b, 4) :=
x∫
0
(f(t, b, 3)+Ab,4)dt, f(x, b, 5) :=
x∫
0
(f(t, b, 4)+Ab,5)dt,
f(x, b, 6) :=
x∫
0
(f(t, b, 5)−Ab,6)dt, ........ , f(x) := f(x, b, q),
де числа
Ab,ν ∈
{
[0, 5/b2(q−1)], якщо ν парне,
[−1, 1], якщо ν непарне,
вибранi з умов f(2π, b, ν) = 0, ν = 2, ..., q. Тому, зокрема,
f ∈ ∆(q)(Y ). Iснування чисел Ab,ν доводиться аналогiчно до-
веденню (16). Позначимо
P (x, b, 2) :=
x∫
0
(Q(t, b)−Ab,2) dt, P (x, b, 3) :=
x∫
0
(P (t, b, 2) +Ab,3) dt,
194 Г. А. Дзюбенко
P (x, b, 4) :=
x∫
0
(P (t, b, 3) +Ab,4) dt, ......... , P (x) := P (x, b, q).
Зауважимо, що P (2πν) = 0, ν ∈ Z, тобто P – тригонометрич-
ний полiном, при кожному q ≥ 2.
Отже,
‖g −Q‖ = ‖g −Q‖[0,b0] = ‖Q‖[0,b0] ≤
≤MM̃b0
1
b2(q−1)
(
sin
b0 − 2b
2
)2q−1
<
1
22q−1
MM̃M
2q
b2 =: c1b
2,
‖f − P‖ = ‖f − P‖[0,2π] =
=
1
b2(q−1)
∥∥∥∥∥∥
·∫
0
t1∫
0
...
tq−2∫
0
(g(tq−1)−Q(tq−1)) dtq−1...dt1
∥∥∥∥∥∥
[0,2π]
<
< 2M
q−1
c1b
q+1, (18)
ωk
(
f,
1
n
)
≤ ωk
(
f − P, 1
n
)
+ ωk
(
P,
1
n
)
≤ 2k‖f − P‖+
+
(
1
n
)k
‖P (k)‖ ≤ 2k+1M
q−1
c1b
q+1 +
(
1
n
)k
Mk, (19)
де стала Mk не залежить вiд n.
Виберемо з множини ∆(q)(Y ) довiльний тригонометричний
полiном τn порядку ≤ n, n > s+ 2N . Нехай
Rn(x) := τn(x)− P (x).
Тодi
R(q)
n (b) = τ (q)
n (b)− P (q)(b) ≥ −P (q)(b) ≥ bmm̃
π2q−1
=: c2b.
Обмеження порядку q-монотонного наближення . . . 195
Скориставшись нерiвнiстю Бернштейна, отримаємо
c2b ≤ R(q)
n (b) ≤ nq‖Rn‖,
звiдки
c2b
nq
≤ ‖Rn‖ ≤ ‖τn − f‖+ ‖f − P‖ ≤ ‖τn − f‖+ 2M
q−1
c1b
q+1,
тобто
‖τn−f‖ ≥
c2b
nq
−2M
q−1
c1b
q+1 =
c2b
nq
(
1− 2M
q−1
c1b
qnq
c2
)
. (20)
Нарештi, для додоведення (7) залишилось розглянути два
випадки. Якщо n > N0, то вiзьмемо
f(x) := f(x, bn), bn := q
√
c2
4M
q−1
c1
(
1
n
) k
q+1
,
де N0 вибрано з урахуванням, що MbN0 <
π
2N i N0 > s + 2N.
Тодi (7) випливає з (19) та (20), а саме
‖τn − f‖
ωk
(
f, 1
n
) ≥ c2bn
nq
(
1− 2M
q−1
c1b
q
nn
q
c2
)
2k+1M
q−1
c1b
q+1
n +
(
1
n
)k
Mk
≥
≥ 1
2nq
c2bn
2k+1M
q−1
c1b
q+1
n + ( 1
n)kMk
=: BY,kn
q
(
k
q+1
−1
)
.
Якщо n < N0, то (7) випливає з нерiвностi E(q)
n (f) ≥ E(q)
1+N0
(f).
Приклад 1 доведено.
1. Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных
функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1951. — 15. — С. 219-242.
196 Г. А. Дзюбенко
2. Pleshakov M. G. Comonotone Jackson’s Inequality // J. Approx.
Theory. — 1999. — 99. — P. 409-421.
3. Дзюбенко Г. А., Плешаков М. Г. Комонотонное приближение пери-
одических функций // Мат. заметки. — 2008. — 83. — С. 199-209.
4. Плешаков М. Г. Комонотонное приближение периодических функ-
ций классов Соболева. Дисс. ... к.ф.-м.н. — Саратов: СГУ, 1997.
5. Дзюбенко Г. А. Контрприклад в комонотонному наближеннi перiо-
дичних функцiй // Збiрник праць Iн-ту математики НАН України.
— 2008. — 5, № 1. — С. 113-123.
6. Залiзко В. Д. Коопукле наближення перiодичних функцiй // Укр.
матем. журн. — 2007.— 59, № 1. — С. 29-42.
7. Залiзко В. Д. Контрприклад для коопуклого наближення перiодич-
них функцiй // Науковi записки: Зб. наук. ст. Нац. пед. ун–ту iм.
М. П. Драгоманова Серiя 1. Фiз.-мат. науки .—- 2006. № 6. —- С.
91—96.
8. Попов П. А. Один контрприклад в коопуклому наближеннi перiо-
дичних функцiй // Працi Iн–ту математики НАН України: Теорiя
наближення функцiй та сумiжнi питання, — 2002. — 35. — С. 113–
118.
9. Плешаков М. Г., Попов П. А. Знакосохраняющее приближение пе-
риодических функций // Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 8. — С.
1087-1098.
10. Плешаков М. Г., Попов П. А. Второе неравенство Джексона в зна-
косохраняющем приближении периодических функций // Укр. мат.
журн. — 2004. — 56, № 1. — С. 123-128.
11. Dzyubenko G. A., Gilewicz J. Copositive approximation of periodic
functions // Acta Math. Hungar. — 2008. — 120, № 4. — P. 301-314.
12. Попов П. А. Один контрприклад в знакозберiгаючому наближеннi
перiодичних функцiй // Зб. праць Iн–ту математики НАН України:
Проблеми теорiї наближення фунуцiй та сумiжнi питання. — 2005.
— 2, № 2. — С. 176–185.
13. Шведов А. С. Порядки коприближений функций алгебраическими
многочленами // Мат. заметки. — 1981. — 29, № 1. — С. 117-130.
14. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функ-
ций полиномами. М.: Наука, 1977. — 512 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-292 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:05Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/0c/4c0eda2246dd4d6396b37bfdb208ba0c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2922018-02-02T19:44:28Z Restrictions for order of q-monotone approximation of periodic functions Обмеження порядку q-монотонноого наближення періодичних функцій Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. A continuous periodic $q$-monotone function, $q=3,...,$ is constructed for which if it is approximated with $q$-monotone polynomials the Jackson-Stechkin estimate with the modulus of smoothness of order $\ge q+2$ is not valid (in contrast with the approximation without restrictions). Побудовано неперервну періодичну $q$-монотонну функцію, $q=3,...,$ для якої, при наближенні її $q$-монотонними поліномами, (на відміну від наближення без обмежень) не справджуються оцінка Джексона-Стєчкина з модулем гладкості прядку $\ge q+2.$ Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/292 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 186 - 196 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 186 - 196 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 186 - 196 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/292/326 |
| spellingShingle | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. А. Restrictions for order of q-monotone approximation of periodic functions |
| title | Restrictions for order of q-monotone approximation of periodic functions |
| title_alt | Обмеження порядку q-монотонноого наближення періодичних функцій |
| title_full | Restrictions for order of q-monotone approximation of periodic functions |
| title_fullStr | Restrictions for order of q-monotone approximation of periodic functions |
| title_full_unstemmed | Restrictions for order of q-monotone approximation of periodic functions |
| title_short | Restrictions for order of q-monotone approximation of periodic functions |
| title_sort | restrictions for order of q-monotone approximation of periodic functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/292 |
| work_keys_str_mv | AT dzyubenkoga restrictionsfororderofqmonotoneapproximationofperiodicfunctions AT dzûbenkoga restrictionsfororderofqmonotoneapproximationofperiodicfunctions AT dzyubenkoga obmežennâporâdkuqmonotonnoogonabližennâperíodičnihfunkcíj AT dzûbenkoga obmežennâporâdkuqmonotonnoogonabližennâperíodičnihfunkcíj |