The shadow problem for a family of convex sets
The problem of shadow for family of convex sets with non empty interior is solved. It is equivalent to condition for point is in generalized convex hull of a family of compact sets.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/293 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552795213660160 |
|---|---|
| author | Zelinskyi, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. |
| author_facet | Zelinskyi, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ю. Б. Зелинский",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Zelinskyi, Yu. B. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T19:49:59Z |
| description | The problem of shadow for family of convex sets with non empty interior is solved. It is equivalent to condition for point is in generalized convex hull of a family of compact sets. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 197–204
УДК 517.51
Ю. Б. Зелинский (Ин–т математики НАН Украины, Киев)
ЗАДАЧА О ТЕНИ ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОЖЕСТВ
The problem of shadow for family of convex sets with non empty interior is
solved. It is equivalent to condition for point is in generalized convex hull of a
family of compact sets.
В работе получено решение задачи о тени для семейства выпуклых
множеств с непустой внутренностью, что эквивалентно нахождению
условий принадлежности точки к обобщенной выпуклой оболочке этого
семейства множеств.
Главная цель работы — решение задачи о тени для произвольно-
го выпуклого множества с непустой внутренностью и с компактным
замыканием в n-мерном евклидовом пространстве и действия груп-
пы преобразований. Эту задачу можно рассматривать как нахож-
дение условий, обеспечивающих принадлежность точки обобщенно
выпуклой оболочке семейства множеств, полученного из исходного
множества действием группы преобразований.
Определение 1. Скажем, что множество E ⊂ Rn m-выпукло
относительно точки x ∈ Rn\E, если найдется m-мерная плос-
кость L, такая, что x ∈ L и L ∩ E = ∅.
Определение 2. Скажем, что множество E ⊂ Rn m-выпукло,
если оно m-выпукло относительно каждой точки x ∈ Rn\E.
Оба приведенные определения удовлетворяют известной аксио-
ме выпуклости: пересечение каждого подсемейства таких множеств
тоже удовлетворяет определению. Для произвольного множества
E ⊂ Rn мы можем рассматривать минимальное m-выпуклое мно-
жество, содержащее E, и назвать его m-оболочкой множества E.
В работе [1] получено полное решение следующей задачи о тени,
впервые рассмотренной Г.Худайбергановым [2-4].
c© Ю. Б. Зелинский, 2015
198 Ю. Б. Зелинский
Задача (о тени). Какое минимальное число попарно непересе-
кающихся замкнутых шаров с центрами на сфере Sn−1 и радиуса,
меньшего от радиуса сферы, достаточно, чтобы любая прямая, про-
ходящая через центр сферы, пересекала хотя бы один из этих шаров?
В [1] показано, что для этого необходимо и достаточно n + 1-го
шара. Мы сначала рассмотрим аналогичную задачу для семейства
шаров, центры которых не привязаны ни к какому наперед заданно-
му множеству.
Определение 3. Двусторонним конусом K ⊂ Rn назовем под-
множество евклидового пространства, замкнутое относительно
умножения на вещественные числа.
Такое множество есть объединение прямых, проходящих через
начало координат.
Теорема 1. Для того, чтобы выбранная точка в n-мерном ев-
клидовом пространстве при n ≥ 2 принадлежала 1-оболочке семей-
ства попарно непересекающихся открытых (замкнутых) шаров,
которые данную точку не содержат, необходимо и достаточно n
шаров.
Доказательство. Не нарушая общности, за выбранную точ-
ку возьмем начало координат. Рассмотрим куб с центром в начале
координат, одна из вершин которого точка a = (5, 5, . . . , 5), а дру-
гие вершины куба задаются последовательной симметрией точки a
относительно координатных гиперплоскостей. Рассмотрим шар B1
с центром на первой координатной оси, граничная сфера которого
проходит через все вершины той грани куба C, которая содержит
точку (5, 0, . . . , 0). Дополнительно требуем, чтобы эта сфера прохо-
дила через точку (4, 0, . . . , 0). Эти условия однозначно определяют
центр шара — точку ((25n−24)/2, 0, . . . , 0). Другая точка пересечения
сферы с осью координат — ((50n− 44), 0, . . . , 0). Очевидно, что дву-
сторонний конус, образованный прямыми, проходящими через нача-
ло координат и точки шара B1, содержит как подмножество грань
C и центрально симметричную к ней грань куба. Отметим также,
поскольку это нам понадобится в теореме 2, что тангенс угла между
осью 0x1 и боковой поверхностью конуса превышает
√
n− 1. Шар
B
′
2 получим из шара B1 преобразованием гомотетии ϕ с коэффици-
ентом k = 4/(50n − 44) = 2/(25n − 22). Следовательно, B
′
2 = ϕ(B1).
Задача о тени для семейства множеств 199
Шары B1 и B
′
2 касаются по точке (4, 0, . . . , 0). Остальные (n−2)шара
зададим по индукции B
′
i+1 = ϕ(B
′
i), i = 2, n− 1. Теперь поворотом
относительно начала координат переместим каждый шар B
′
i , i = 2, n
в шар Bi, i = 2, n, соответственно, центр которого находится на i-й
оси координат. Легко убедиться, что двусторонний конус, заданный
набором замкнутых попарно непересекающихся шаров {Bi}, i = 1, n,
содержит все точки пространства Rn. То же справедливо и для се-
мейства открытых шаров {Int Bi}, i = 1, n, где Int Bi внутренность
шара Bi. Из леммы 1 [1] следует, что произвольной совокупности из
n−1 шаров для создания тени мало. Поэтому точное значение необ-
ходимого и достаточного количества шаров n. Теорема доказана.
Распространим теорему на семейства множеств, полученных при
помощи некоторой группы преобразований из выпуклого множества.
Теорема 2. Для того, чтобы выбранная точка в n-мерном ев-
клидовом пространстве при n ≥ 2 принадлежала 1-оболочке семей-
ства попарно непересекающихся замкнутых множеств, полученно-
го из заданного выпуклого множества с непустой внутренностью
и с компактным замыканием при помощи группы преобразований,
состоящей из движений и гомотетий, необходимо и достаточно
n элементов семейства.
Доказательство. Пусть B1 — заданное выпуклое множество с
непустой внутренностью. Согласно [5] локально его границу можно
задать выпуклой функцией, а согласно [6] выпуклая функция диф-
ференцируема почти всюду на области задания. Поэтому существует
точка x границы ∂B1 множества B1, в которой существует касатель-
ная гиперплоскость. Существует достаточно близкая к точке x точка
y такая, что конус с вершиной в ней и с лучами, проходящими через
точки множества B1, содержит круговой конус, тангенс угла в кото-
ром между осью (прямой через точки x, y) и боковой поверхностью
превышает
√
n− 1. Переместим движением исходное множество B1
так, чтобы точка y совпала с началом координат, а прямая, содер-
жащая точки x, y с осью 0x1. Не нарушая общности, сохраним для
перемещенного множества обозначение B1. Теперь длина отрезка 0x
есть радиус r1 максимального шара с центром в начале координат,
внутренность которого не пересекается с множеством B1 и который
пересекается с этим множеством по точке x. Пусть r2 — радиус ми-
200 Ю. Б. Зелинский
нимального шара с центром в начале координат, который содержит
множество B1. Множество B
′
2 получим из множества B1 преобразо-
ванием гомотетии ϕ с коэффициентом k = r1/r2. Дальше продол-
жим, как и в теореме 1, построим остальные (n − 2) множества по
индукции B
′
i+1 = ϕ(B
′
i), i = 2, n− 1. Теперь такими же поворота-
ми относительно начала координат переместим каждое множество
B
′
i , i = 2, n во множество Bi = 2, n, соответственно. Легко убедить-
ся, что двусторонний конус, заданный набором замкнутых попарно
непересекающихся множеств {Bi}, i = 1, n, так же содержит все точ-
ки пространства Rn.
Замечание 1. Теорема 2 справедлива и для семейства открытых
множеств {Int Bi}, i = 1, n, где Int Bi внутренность множества Bi.
Рассмотрим более сложные по отношению к предыдущим опре-
делениям объекты.
Определение 4. Скажем, что множество E ⊂ Rn m-полу-
выпукло относительно точки x ∈ Rn\E, если найдется m-мерная
полуплоскость P , такая, что и x ∈ P и P ∩ E = ∅.
Определение 5. Скажем, что множество m-полувыпукло, ес-
ли оно m-полувыпукло относительно каждой точки x ∈ Rn\E.
Эти определения тоже удовлетворяют аксиоме выпуклости.
Рассмотрим аналог задачи о тени для полувыпуклости. Какое
минимальное число попарно непересекающихся замкнутых (откры-
тых) множеств достаточно, чтобы любой луч из начала координат
пересекал хотя бы одно из этих множеств?
В случае n = 2 в [1, Теорема 3] показано, что три шара даже с
центрами, расположенными на фиксированной сфере, решают эту
задачу.
Теорема 3. Для того, чтобы выбранная точка в n-мерном ев-
клидовом пространстве при n ≥ 2 принадлежала 1-полувыпуклой
оболочке семейства попарно непересекающихся открытых (замкну-
тых) шаров, которые данную точку не содержат, необходимо и
достаточно n+ 1 шара.
Доказательство. Не нарушая общности, за выбранную точку
возьмем начало координат. Рассмотрим равносторонний симплекс с
ортоцентром в начале координат, одна из граней которого A перпен-
дикулярна оси 0x1 и пересекает эту ось в своем ортоцентре. Пусть
Задача о тени для семейства множеств 201
a — эта точка пересечения. Рассмотрим шар B1 с центром на пер-
вой координатной оси, граничная сфера которого проходит через все
вершины грани A и точку b, принадлежащую отрезку [0, a]. Пусть
r1 — длина отрезка [0, b], а r2 — радиус минимального шара с цен-
тром в начале координат, который содержит шар B1. Построим n+1
множество B
′
i , 1, n+ 1, B
′
1 = B1, где каждое следующее множество
получено из предыдущего гомотетией с одинаковым коэффициентом
k = r1/r2. Выберем n лучей из начала координат, перпендикуляр-
ных к остальным n граням симплекса. Теперь семейство множеств
Bi, i = 2, n+ 1 получим из семейства B
′
i , i = 2, n+ 1 поворотом
соответственного шара, который перенесет центр шара на один из
выбранных лучей. Легко убедиться, что так построенное семейство
из n + 1 шара удовлетворяет утверждению теоремы. Система одно-
сторонних открытых (замкнутых) конусов, порожденная этими ша-
рами, будет содержать все грани исходного симплекса, а, следова-
тельно, и все пространство. Необходимость результата следует из
теоремы 4 [1].
Замечание 2. Используя рассуждения теоремы 3, мы можем
уточнить один результат из [1]. Если разрешить центрам шаров нахо-
диться на двух концентричных сферах, то, в трехмерном простран-
стве R3 для того, чтобы центр сфер принадлежал 1-полувыпуклой
оболочке шаров, достаточно пяти шаров. Для этого достаточно раз-
местить три шара в вершинах треугольника с разными сторонами,
лежащего в экваториальной плоскости 0x1x2 (как в теореме 3, [1]),
а еще два достаточно малого радиуса симметрично на оси.
Теорема 4. Для того, чтобы выбранная точка в n-мерном ев-
клидовом пространстве при n ≥ 2 принадлежала 1-полувыпуклой
оболочке семейства попарно непересекающихся замкнутых мно-
жеств, полученного из заданного выпуклого множества с непустой
внутренностью и с компактным замыканием при помощи группы
преобразований, состоящей из движений и гомотетий, необходимо
и достаточно n+ 1 элемента семейства.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2, достаточ-
но выбирать конусы, содержащие грань равностороннего симплекса,
как в теореме 3.
Замечание 3. Используя плотность точек гладкости на границе
202 Ю. Б. Зелинский
выпуклого тела с непустой внутренностью, теоремы 2 и 4 можно
уточнить. Теорема 2 останется справедливой, если рассматривать
группу преобразований, состоящую из параллельных перемещений
множества и его гомотетий. В теореме 4 при рассмотрении группы
параллельных перемещений множества и его гомотетий необходимо
2n множеств. Это можно показать, если за исходное множество взять
прямоугольный параллелепипед.
Изучим, как изменится ситуация с предыдущими задачами, ес-
ли мы вместо действительного евклидового пространства будем рас-
сматривать комплексное или гиперкомплексное пространство.
Определение 6. Скажем, что множество E ⊂ Cn(Hn) m-
комплексно (m-гиперкомплексно) выпукло относительно точки z ∈
Cn\E(Hn\E), если найдется m-мерная комплексная (гиперком-
плексная) плоскость L такая что z ∈ L и L ∩ E = ∅. Скажем,
что множество E ⊂ Cn(Hn) m-комплексно (m-гиперкомплексно)
выпукло, если оно m-комплексно (m-гиперкомплексно) выпукло от-
носительно каждой точки z ∈ Cn\E(Hn\E).
Задача (о тени). Какое минимальное число попарно непересека-
ющихся замкнутых шаров с центрами на сфере S2n−1 ⊂ Cn(S4n−1 ⊂
Hn) и радиуса, меньшего от радиуса сферы, достаточно, чтобы
любая комплексная (гиперкомплексная) прямая, проходящая через
центр сферы, пересекала хотя бы один из этих шаров?
Аналогично вещественному случаю для произвольного множе-
ства E ⊂ Cn(E ⊂ Hn) мы можем рассматривать минимальное m-
комплексно (m-гиперкомплексно) выпуклое множество, содержащее
E, и назвать его m-комплексной (m-гиперкомплексной) оболочкой
множества E.
Теорема 5. Для того, чтобы выбранная точка в 2-мерном
комплексном (гиперкомплексном) евклидовом пространстве Cn(H2)
принадлежала 1-комплексной (1-гиперкомплексной) оболочке семей-
ства попарно непересекающихся открытых (замкнутых) шаров,
которые данную точку не содержат, необходимо и достаточно 2-х
шаров.
Доказательство. Доказательство проведем для комплексного
пространства. В гиперкомплексном случае доказательство аналогич-
но. Обозначим z = (z1, z2) ∈ C2 произвольную точку пространства.
Задача о тени для семейства множеств 203
Выберем один открытый шар радиуса 1. Расположим его центр в
точке (1, 0) ∈ C2. Касательная вещественно трехмерная плоскость в
начале координат к этому шару задается уравнением Re z1 = 0. Пря-
мая z1 = 0 будет единственной комплексной прямой, лежащей в этой
плоскости и проходящей через начало координат. Следовательно, до-
статочно выбрать второй шар (радиус его может быть как угодно
малым) так, чтобы он имел точки пересечения с прямой z1 = 0. В
частности его центр можно выбрать в точке (0, 1). Поэтому мы дока-
зали даже больше утверждения теоремы. Центры обоих шаров могут
находиться на сфере с центром в начале координат. Чуть уменьшая
радиусы этих шаров и используя непрерывное изменение касатель-
ных плоскостей к шару, получим справедливость теоремы и в случае
замкнутых шаров.
Замечание 4. Рассуждения, аналогичные проведенным в тео-
реме 2, позволят показать, что теорема 5 останется справедливой,
если шары заменить выпуклыми множествами с непустой внутрен-
ностью и с компактным замыканием, полученными из одного мно-
жества действием группы преобразований.
Теорема 5 дает точное значение количества шаров только при
n = 2. Из теорем 1,2 мы получим оценку сверху на количество ша-
ров и выпуклых множеств. Поэтому следующие вопросы остаются
открытыми.
Вопрос 1. Какое минимальное количество шаров в n-мерном
комплексном (гиперкомплексном) евклидовом пространстве Cn(Hn)
при n ≥ 3 обеспечит принадлежность начала координат их 1-
комплексной (1-гиперкомплексной) оболочке?
Вопрос 2. Какое минимальное количество открытых (замкну-
тых) шаров с центрами на фиксированной сфере и радиуса не
превышающего (меньшего) радиуса сферы, в n-мерном комплекс-
ном (гиперкомплексном) евклидовом пространстве Cn(Hn) при n ≥
3 обеспечит принадлежность центра сферы их 1-комплексной (1-
гиперкомплексной) оболочке?
Аналогично остаются открытыми оценки комплексной и гипер-
комплексной полувыпуклости для семейств множеств, которую мож-
но ввести подобно вещественной полувыпуклости.
Считаю своей приятной обязанностью высказать благодарность
204 Ю. Б. Зелинский
М. В. Ткачуку за ценные замечания при обсуждении этих резуль-
татов, которые способствовали существенному усилению теорем 3 и
4.
1. Зелинский Ю. Б., Выговская И. Ю., Стефанчук М. В. Обобщённо вы-
пуклые множества и задача о тени // arXiv preprint arXiv: 1501.06747.
2. Зелинский Ю. Б. Многозначные отображения в анализе // K.: Наук.
думка, 1993. — 264 с.
3. Зелинский Ю. Б. Выпуклость. Избранные главы // Працi Iн–ту матема-
тики НАН України, — 2012. — 92. — 280 с.
4. Худайберганов Г. Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке объ-
единения шаров // Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.02.1982. — №1772. —
85 Деп.
5. Anderson R.D., Klee V.L. Convex functions and upper-semi-continuous
collections // Duke Math.J. — 1952. — 19. — P. 349 – 357.
6. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. — М.: Наука, 1985. — 336 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-293 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:06Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/45/dd0a2e54fd6e91a00b10200da5917f45.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2932018-02-02T19:49:59Z The shadow problem for a family of convex sets Задача о тени для семейства множеств Задача о тени для семейства множеств Zelinskyi, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. The problem of shadow for family of convex sets with non empty interior is solved. It is equivalent to condition for point is in generalized convex hull of a family of compact sets. В работе получено решение задачи о тени для семейства выпуклых множеств с непустой внутренностью, что эквивалентно нахождению условий принадлежности точки к обобщенной выпуклой оболочке этого семейства множеств. В работе получено решение задачи о тени для семейства выпуклых множеств с непустой внутренностью, что эквивалентно нахождению условий принадлежности точки к обобщенной выпуклой оболочке этого семейства множеств. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/293 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 197 - 204 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 197 - 204 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 197 - 204 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/293/327 Авторське право (c) 2015 Ю. Б. Зелинский |
| spellingShingle | Zelinskyi, Yu. B. Зелинский, Ю. Б. Зелинский, Ю. Б. The shadow problem for a family of convex sets |
| title | The shadow problem for a family of convex sets |
| title_alt | Задача о тени для семейства множеств Задача о тени для семейства множеств |
| title_full | The shadow problem for a family of convex sets |
| title_fullStr | The shadow problem for a family of convex sets |
| title_full_unstemmed | The shadow problem for a family of convex sets |
| title_short | The shadow problem for a family of convex sets |
| title_sort | shadow problem for a family of convex sets |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/293 |
| work_keys_str_mv | AT zelinskyiyub theshadowproblemforafamilyofconvexsets AT zelinskijûb theshadowproblemforafamilyofconvexsets AT zelinskijûb theshadowproblemforafamilyofconvexsets AT zelinskyiyub zadačaotenidlâsemejstvamnožestv AT zelinskijûb zadačaotenidlâsemejstvamnožestv AT zelinskijûb zadačaotenidlâsemejstvamnožestv AT zelinskyiyub shadowproblemforafamilyofconvexsets AT zelinskijûb shadowproblemforafamilyofconvexsets AT zelinskijûb shadowproblemforafamilyofconvexsets |