The Pomp'eiu-Landau-Sz'asz's extremal problem for bounded holomorphic functions in bidisk
We find the solution of Pomp'eiu-Landau-Sz'asz's problem for partial sums of Taylor series of bounded holomorphic functions in the bidisk.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/296 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552798451662848 |
|---|---|
| author | Meremelya, I. Yu. Меремеля, І. Ю. |
| author_facet | Meremelya, I. Yu. Меремеля, І. Ю. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Ю. Меремеля",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Meremelya, I. Yu. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T20:03:11Z |
| description | We find the solution of Pomp'eiu-Landau-Sz'asz's problem for partial sums of Taylor series of bounded holomorphic functions in the bidisk. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 216–225
УДК 517.5
I. Ю. Меремеля (Iн–т математики НАН України, Київ)
ЕКСТРЕМАЛЬНА ЗАДАЧА ПОМПЕЯ–ЛАНДАУ–САСА
ДЛЯ ОБМЕЖЕНИХ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ В
БIКРУЗI
We find the solution of Pompéiu–Landau–Szász’s problem for partial sums of
Taylor series of bounded holomorphic functions in the bidisk.
Розв’язано задачу Помпея–Ландау–Саса про оцiнку частинної суми ряду
Тейлора голоморфної функцiї в бiкрузi.
Нехай B — клас функцiй f голоморфних в крузi D := {z ∈ C :
|z| < 1}, для яких supz∈D |f(z)| < 1, i нехай
f̂k :=
f (k)(0)
k!
, k = 0, 1, 2, . . . ,
— коефiцiєнти Тейлора функцiї f .
Д. Помпей [1] показав, що
max
{∣∣∣f̂0∣∣∣+ ∣∣∣f̂1∣∣∣ : f ∈ B} =
5
4
,
а максимум досягається для єдиної з точнiстю до унiмодулярного
множника функцiї
f(z) =
2z + 1
z + 2
=
1
2
+
3
4
z + . . . .
Е. Ландау [2] узагальнив цей результат, показавши, що для будь-
якого цiлого n ≥ 0
max
{∣∣∣∣∣
n∑
k=0
f̂k
∣∣∣∣∣ : f ∈ B
}
= Gn := 1 +
n∑
k=1
(
(2k − 1)!!
(2k)!!
)2
, (1)
де сума в правiй частинi при n = 0 покладається рiвною нулю.
c© I. Ю. Меремеля, 2015
Еекстремальна задача Помпея–Ландау–Саса . . . 217
Максимум в (1) досягається для єдиної з точнiстю до унiмоду-
лярного множника функцiї
f(z) =
zn +
n∑
k=1
(2k − 1)!!
(2k)!!
zn−k
1 +
n∑
k=1
(2k − 1)!!
(2k)!!
zk
.
Згодом О. Сас [3] узагальнив результат Е. Ландау, показавши,
що для будь-якого цiлого n ≥ 0 i довiльної пари комплексних послi-
довностей {λj}nj=0 та {µj}nj=0, пов’язаних системою рiвностей
µk =
n−k∑
j=0
λjλn−k−j , k = 0, 1, . . . , n, (2)
справджується спiввiдношення
sup
{∣∣∣∣∣
n∑
k=0
µkf̂k
∣∣∣∣∣ : f ∈ B
}
≤
n∑
k=0
|λk|2, (3)
яке за умови, що многочлен Pn(z) :=
∑n
k=0 λkz
k не має коренiв в
замкненому крузi D перетворюється в рiвнiсть, а супремум при цьо-
му досягається для єдиної з точнiстю до унiмодулярного множника
функцiї
f(z) =
znPn
(
1
z
)
Pn(z)
.
Результат О. Саса без перебiльшення можна вважати найзначу-
щiшим в питаннях оцiнок лiнiйних середнiх рядiв Тейлора, коефi-
цiєнтiв Тейлора, похiдних вищих порядкiв функцiй класу B тощо.
Пiдтвердимо цi слова доведенням такого
Твердження 1. Для будь-яких цiлих m i n таких, що m ≥ 0,
n ≥ 2m+ 1, справджуються рiвностi
Wm,n := sup
∣∣∣f̂n∣∣∣
1−
∣∣∣f̂m∣∣∣2 : f ∈ B
= 1,
218 I. Ю. Меремеля
Lm,n := sup
∣∣∣f̂n∣∣∣
1−
∣∣∣f̂m∣∣∣ : f ∈ B
= 2.
Зауважимо, що числа W0,n i L0,n — це точнi константи в нерiв-
ностях ∣∣∣f̂n∣∣∣ ≤ 1−
∣∣∣f̂0∣∣∣2 i
∣∣∣f̂n∣∣∣ ≤ 2
(
1−
∣∣∣f̂0∣∣∣) ,
перша з яких вiдома, як нерiвнiсть Вiнера, а друга — як нерiвнiсть
Ландау [4, 5, с. 34].
Зазначимо також, що твердження 1 є вiдомим. Детальнi iсторичнi
коментарi до нього можна знайти в [6].
Доведення. Пiдлаштуємо спочатку спiввiдношення (3) до на-
ших потреб. З цiєю метою вiзьмемо в (2) µ0 = µ1 = . . . = µm−1 =
µm+1 = . . . µn−1 = 0, µm = ρ, ρ ≥ 0, i µn = 1. Нескладно перекона-
тися, що послiдовнiсть λ0 = 1, λ1 = λ2 = . . . = λn−m−1 = λn−m+1 =
. . . = λn = 0, λn−m = ρ/2 є розв’язком системи (2) тодi i тiльки тодi,
коли n ≥ 2m+1. Оскiльки многочлен z 7→ 1+ρzn−m/2 при 0 ≤ ρ < 2
не має коренiв в D, то спiввiдношення (3) у цьому випадку набуде
вигляду
max
{
ρ
∣∣∣f̂m∣∣∣+ ∣∣∣f̂n∣∣∣ : f ∈ B} = 1 +
ρ2
4
, 0 ≤ ρ < 2, (4)
де максимум досягається для функцiї
f(z) = zm
2zn−m + ρ
ρzn−m + 2
=
ρ
2
zm +
(
1− ρ2
4
)
zn + . . . .
Для оцiнок зверху величин Wm,n i Lm,n вiзьмемо довiльну функ-
цiю f ∈ B вiдмiнну вiд алгебраїчного многочлена будь-якого степеня
≤ m. Тодi згiдно з (4) справджується спiввiдношення∣∣∣f̂n∣∣∣ ≤ 1 +
ρ2
4
− ρ
∣∣∣f̂m∣∣∣ ∀ n ≥ 2m+ 1,m ∈ Z+.
Спрямувавши тепер ρ → 2
∣∣∣f̂m∣∣∣ (це законно, оскiльки
∣∣∣f̂m∣∣∣ ≤ 1), от-
Еекстремальна задача Помпея–Ландау–Саса . . . 219
римаємо оцiнку ∣∣∣f̂n∣∣∣
1−
∣∣∣f̂m∣∣∣2 ≤ 1 ∀ n ≥ 2m+ 1,m ∈ Z+,
а якщо спрямуємо ρ→ 2, то й оцiнку∣∣∣f̂n∣∣∣
1−
∣∣∣f̂m∣∣∣ ≤ 2 ∀ n ≥ 2m+ 1,m ∈ Z+.
У випадку, коли f(z) =
∑l
k=0 akz
k, l < m, останнi спiввiдношення
слiд розумiти як 0/0 = 1.
Таким чином, в силу довiльностi f доведено оцiнки зверху:
Wm,n ≤ 1 i Lm,n ≤ 2.
Для оцiнок знизу розглянемо сiм’ю функцiй {fa}0<a<1, де
fa(z) = zm
z + a
az + 1
= azm + (1− a2)
∞∑
k=m+1
(−a)k−m−1zk.
Зрозумiло, що fa ∈ B i (̂fa)m = a, (̂fa)n = (1− a2)(−a)n−m−1.
Отже,
Wm,n ≥
∣∣∣(̂fa)n∣∣∣
1−
∣∣∣(̂fa)m∣∣∣2 = an−m−1 i Ln ≥
∣∣∣(̂fa)n∣∣∣
1−
∣∣∣(̂fa)m∣∣∣ = (1 + a)an−m−1.
Спрямувавши тепер a→ 1, отримаємо потрiбнi оцiнки знизу.
Мета даної роботи — отримати аналоги наведених результатiв у
двовимiрному випадку.
Нехай D2 := D × D = {(z1, z2) ∈ C2 : |z1| < 1, |z2| < 1} — одинич-
ний бiкруг, T2 := {(z1, z2) ∈ C2 : |z1| = |z2| = 1} — кiстяк бiкруга
D2, B(D2) — клас функцiй f , голоморфних в бiкрузi D2, для яких
sup(z1,z2)∈D2 |f(z1, z2)| ≤ 1, i нехай
f̂k,l :=
1
k! l!
∂k+lf
∂zk1∂z
l
2
(0, 0)
220 I. Ю. Меремеля
— коефiцiєнти Тейлора функцiї f .
Екстремальною задачею Помпея–Ландау–Саса для бiкруга на-
зиватимемо екстремальну задачу про обчислення точного значення
величини
sup
∣∣∣∣∣∣
∑
(k,l)∈γ
µk,lf̂k,l
∣∣∣∣∣∣ : f ∈ X
,
де {µk,l}— двократна комплексна послiдовнiсть, γ — деяка скiнченна
пiдмножина Z2
+, а X — деякий пiдклас B(D2), а також знаходження
екстремальних елементiв, на яких досягається ця точна верхня межа.
У випадку, коли γ є трикутною областю в Z2
+, тобто γ = {(k, l) :
k, l ≥ 0, k+ l ≤ n}, n ∈ N, розв’язання екстремальної задачi Помпея–
Ландау–Саса в бiкрузi зводиться до одновимiрного випадку [7].
Наступне твердження надає одну з таких нових можливостей.
Твердження 2. Нехай f ∈ B(D2). Тодi для будь-яких натураль-
них p, q функцiя
g(z) =
∞∑
ν=0
f̂νp,νqz
ν , z ∈ D,
належить класовi B.
Це твердження для обмежених голоморфних функцiй в полiкрузi
Dm,m ≥ 2, доведене в [6]. Тут ми наводимо елементарне доведення
для зручностi.
Доведення. Зафiксуємо r ∈ (0, 1) i z ∈ D. Оскiльки за формулою
Кошi для коефiцiєнтiв (див., наприклад, [8, с. 47])
1
4π2
∫
T
∫
T
f(rw1, rw2) (w
p
1w
q
2)
ν dw1
w1
dw2
w2
=
=
r
(p+q)ν f̂νp,νq, ν = 0, 1, 2, . . . ,
0, ν = −1,−2, . . .
,
то для будь-якого z ∈ D справджується низка рiвностей
g(rp+qz) =
∞∑
ν=0
f̂νp,νqr
(p+q)νzν =
Еекстремальна задача Помпея–Ландау–Саса . . . 221
=
1
4π2
∫
T
∫
T
f(rw1, rw2)
∞∑
ν=0
(wp1w
q
2z)
ν dw1
w1
dw2
w2
= (5)
=
1
4π2
∫
T
∫
T
f(rw1, rw2)
( ∞∑
ν=0
(wp1w
q
2z)
ν +
∞∑
ν=1
(wp1w
q
2z)
−ν
)
dw1
w1
dw2
w2
=
=
1
4π2
∫
T
∫
T
f(rw1, rw2)
1− |z|2
|1− wp1w
q
2z|2
dw1
w1
dw2
w2
.
З (5) в силу довiльностi r випливає голоморфнiсть функцiї g, а з
останньої рiвностi оцiнка
|g(z)| ≤ 1
4π2
∫
T
∫
T
|f(rw1, rw2)|
1− |z|2
|1− wp1w
q
2z|2
|dw1dw2| ≤
≤ 1
4π2
∫
T
∫
T
1− |z|2
|1− wp1w
q
2z|2
|dw1dw2| = 1.
Таким чином, g ∈ B.
Наприклад, з рiвностi (1) i твердження 2 одразу випливає такий
Наслiдок 1. Для будь-якого цiлого n ≥ 0 i натуральних p, q
max
{∣∣∣∣∣
n∑
ν=0
f̂νp,νq
∣∣∣∣∣ : f ∈ B(D2)
}
= Gn,
а максимум досягається для функцiї
f(z1, z2) =
(zp1z
q
2)
n +
n∑
ν=1
(2ν − 1)!!
(2ν)!!
(zp1z
q
2)
n−ν
1 +
n∑
ν=1
(2ν − 1)!!
(2ν)!!
(zp1z
q
2)
ν
.
Знайдемо розв’язок задачi Помпея–Ландау–Саса у випадку, коли
γ = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} i µk,l = 2ρ1−l1 ρ1−k2 , µ1,1 = 1.
Основним результатом є така
222 I. Ю. Меремеля
Теорема. Нехай ρ1, ρ2 ∈ C i |ρ1|+ |ρ2| < 1. Тодi
max
{∣∣∣2(ρ1ρ2f̂0,0 + ρ1f̂1,0 + ρ2f̂0,1) + f̂1,1
∣∣∣ : f ∈ B(D2)
}
=
= |ρ1|2 + |ρ2|2 + 1.
Максимум досягається для функцiї
fρ1,ρ2(z1, z2) :=
ρ1z1 + ρ2z2 + z1z2
ρ1z2 + ρ2z1 + 1
=
= ρ1z1 + ρ2z2 + (1− |ρ1|2 − |ρ2|2)z1z2 + . . . .
Безпосередньо з теореми випливає
Наслiдок 2. Мають мiсце рiвностi
sup
{∣∣∣f̂1,0∣∣∣+ ∣∣∣f̂0,1∣∣∣+ ∣∣∣f̂1,1∣∣∣ : f ∈ B0(D2)
}
=
= sup
{∣∣∣f̂1,0 + f̂0,1 + f̂1,1
∣∣∣ : f ∈ B0(D2)
}
=
= sup
{∣∣∣∣12 f̂0,0 + f̂1,0 + f̂0,1 + f̂1,1
∣∣∣∣ : f ∈ B(D2)
}
=
3
2
,
де B0(D2) := {f ∈ B : f̂0,0 = 0}.
Точнi верхнi межi досягаються на послiдовностi функцiй
{fρ1,ρ2}|ρ1|+|ρ2|<1.
Справдi, поклавши для даної функцiї f ∈ B0(D2)
%1 = λei(arg f̂1,1−arg f̂1,0) i %2 = λei(arg f̂1,1−arg f̂0,1), 0 < λ < 1/2, з
теореми отримаємо спiввiдношення
2λ
(∣∣∣f̂1,0∣∣∣+ ∣∣∣f̂0,1∣∣∣)+ ∣∣∣f̂1,1∣∣∣ ≤ 3
2
,
з якого при λ → 1/2 випливає потрiбна оцiнка зверху. Непокращу-
ваннiсть такої оцiнки перевiряється безпосередньо на прикладi по-
слiдовностi функцiй {f%1,%2}.
Еекстремальна задача Помпея–Ландау–Саса . . . 223
Твердження наслiдку 2 цiкаво порiвняти з рiвнiстю, яка безпосе-
редньо випливає з рiвностi Д. Помпея (1) в одновимiрному випадку:
max
{∣∣∣f̂0,0 + f̂1,0 + f̂0,1 + f̂1,1
∣∣∣ : f ∈ B(D2)
}
=
25
16
,
де максимум досягається для функцiї
f(z1, z2) =
2z1 + 1
z1 + 2
· 2z2 + 1
z2 + 2
=
=
1
4
+
3
8
z1 +
3
8
z2 +
9
16
z1z2 + . . . .
Доведення теореми. Вiзьмемо довiльну функцiю f ∈ B(D2) i
число r ∈ (0, 1). Тодi за формулою Кошi
2
(
ρ1ρ2f̂0,0 + rρ1f̂1,0 + rρ2f̂0,1
)
+ r2f̂1,1 =
=
∫
T
∫
T
f(rw1, rw2) (2(ρ1ρ2 + ρ1w1 + ρ2w2) + w1w2) dσ(w1)dσ(w2) =
=
∫
T
∫
T
f(w1, w2)w1w2K(ρ2w1, ρ1w2)dσ(w1)dσ(w2), (6)
де
K(ρ2w1, ρ1w2) := 2(ρ1ρ2w1w2 + ρ1w2 + ρ2w1) + 1.
Оскiльки∫
T
∫
T
f(rw1, rw2)w1w2(ρ
2
1w
2
2 + ρ22w
2
1)dσ(w1)dσ(w2) = 0,
то вираз K(ρ2w1, ρ1w2) в iнтегралi (6) можна замiнити на
K(ρ2w1, ρ1w2)+ρ
2
1w
2
2+ρ
2
2w
2
1, не змiнивши при цьому значення самого
iнтегралу.
Легко бачити, що
K(ρ2w1, ρ1w2) + ρ21w
2
2 + ρ22w
2
1 = (ρ1w2 + ρ2w1 + 1)2.
Тому
2
(
ρ1ρ2f̂0,0 + rρ1f̂1,0 + rρ2f̂0,1
)
+ r2f̂1,1 =
224 I. Ю. Меремеля
=
∫
T
∫
T
f(rw1, rw2)w1w2(ρ1w2 + ρ2w1 + 1)2dσ(w1)dσ(w2).
Звiдси за рiвнiстю Парсеваля отримуємо нерiвнiсть∣∣∣2(ρ1ρ2f̂0,0 + rρ1f̂1,0 + rρ2f̂0,1) + r2f̂1,1
∣∣∣ ≤
≤ 2
∫
T
∫
T
|ρ1w2 + ρ2w1 + 1|2dσ(w1)dσ(w2) =
= 2(|ρ1|2 + |ρ2|2 + 1). (7)
Оскiльки права частина нерiвностi (7) не залежить вiд r, то вона
має мiсце i при r = 1.
Покажемо, що спiввiдношення (7) є непокращуваними. Для цього
розглянемо функцiю
fρ1,ρ2(z1, z2) =
ρ1z1 + ρ2z2 + z1z2
ρ1z2 + ρ2z1 + 1
, |ρ1|+ |ρ2| < 1.
Оскiльки |ρ1z2 + ρ2z1| ≤ |ρ1| + |ρ2| < 1, то |ρ1z2 + ρ2z1 + 1| ≥
1 − |ρ1z2 + ρ2z1| > 0 для всiх (z1, z2) ∈ D2. Отже, функцiя fρ1,ρ2 не
має полюсiв в D2, а тому є голоморфною в D2.
З другого боку, для всiх (z1, z2) ∈ T2
|fρ1,ρ2(z1, z2)| =
∣∣∣∣ρ1z1 + ρ2z2 + z1z2
ρ1z2 + ρ2z1 + 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ρ1z2 + ρ2z1 + 1
ρ1z2 + ρ2z1 + 1
∣∣∣∣ = 1.
Тому за принципом максимуму fρ1,ρ2 ∈ B(D2).
Обчислимо коефiцiєнти Тейлора функцiї fρ1,ρ2 :
̂(fρ1,ρ2)0,0 = fρ1,ρ2(0, 0) = 0,
̂(fρ1,ρ2)1,0 =
∂
∂z1
fρ1,ρ2(0, 0) = ρ1,
̂(fρ1,ρ2)0,1 =
∂
∂z2
fρ1,ρ2(0, 0) = ρ2,
̂(fρ1,ρ2)1,1 =
∂2
∂z1∂z2
fρ1,ρ2(0, 0) = 1− |ρ1|2 − |ρ2|2.
Еекстремальна задача Помпея–Ландау–Саса . . . 225
Отже,
2
(
ρ1ρ2 ̂(fρ1,ρ2)0,0 + ρ1 ̂(fρ1,ρ2)1,0 + ρ2 ̂(fρ1,ρ2)0,1
)
+ ̂(fρ1,ρ2)1,1 =
= 2(|ρ1|2 + |ρ2|2) + 1− |ρ1|2 − |ρ2|2 = |ρ1|2 + |ρ2|2 + 1.
Теорему доведено.
1. Pompéiu D. Sur une relation d’inégalité dans la théorie des
fonctions holomorphes // Arch. Math. und Phys. — 1912. — (3)
19. — P. 224 – 228.
2. Landau, E. Abschätzung der Koeffizientensumme einer
Potenzreihe. I. und II. // Arch. Math. und Phys. — 1913. —
(3) 21. — P. 42 – 50, 250 – 255.
3. Szász O. Ungleichungen für die Koeffizienten einer Potenzreihe //
Math. Z. — 1918. — 1. — P. 163 – 183.
4. Bohr H. A theorem concerning power series // Proc. London Math.
Soc. — 1914. — (2) 13. — P. 1 – 5.
5. Landau E., Gaier D. Darstellung und Bergrundung einiger neuerer
Ergebnisse der Funktionentheorie — Berlin — New-York : Springer-
Verlag, 1986. — 201 p.
6. Меремеля I. Ю., Савчук В. В. Точнi константи в нерiвностях
для коефiцiєнтiв Тейлора обмежених голоморфних функцiй в
полiкрузi // Укр. мат. журн. (у друцi).
7. Савчук В. В., Савчук М. В. Норми мультиплiкаторiв i найкра-
щi наближення голоморфних функцiй багатьох змiнних // Укр.
мат. журн. — 2002. — 54, № 12. — С. 1669 – 1679.
8. Фукс Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих
комплексных переменных. — М.: Физматгиз, 1962. — 420 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-296 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:09Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/46/0b343181ddbbeb7e03c0cc91d1c08846.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2962018-02-02T20:03:11Z The Pomp'eiu-Landau-Sz'asz's extremal problem for bounded holomorphic functions in bidisk Екстремальна задача Помпея-Ландау-Саса для обмежених голоморфних функції в бікрузі Meremelya, I. Yu. Меремеля, І. Ю. We find the solution of Pomp'eiu-Landau-Sz'asz's problem for partial sums of Taylor series of bounded holomorphic functions in the bidisk. Розв'язано задачу Помпея-Ландау-Саса про оцінку частинної суми ряду Тейлора голоморфної функції в бікрузі. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/296 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 216 - 225 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 216 - 225 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 216 - 225 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/296/329 |
| spellingShingle | Meremelya, I. Yu. Меремеля, І. Ю. The Pomp'eiu-Landau-Sz'asz's extremal problem for bounded holomorphic functions in bidisk |
| title | The Pomp'eiu-Landau-Sz'asz's extremal problem for bounded holomorphic functions in bidisk |
| title_alt | Екстремальна задача Помпея-Ландау-Саса для обмежених голоморфних функції в бікрузі |
| title_full | The Pomp'eiu-Landau-Sz'asz's extremal problem for bounded holomorphic functions in bidisk |
| title_fullStr | The Pomp'eiu-Landau-Sz'asz's extremal problem for bounded holomorphic functions in bidisk |
| title_full_unstemmed | The Pomp'eiu-Landau-Sz'asz's extremal problem for bounded holomorphic functions in bidisk |
| title_short | The Pomp'eiu-Landau-Sz'asz's extremal problem for bounded holomorphic functions in bidisk |
| title_sort | pomp'eiu-landau-sz'asz's extremal problem for bounded holomorphic functions in bidisk |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/296 |
| work_keys_str_mv | AT meremelyaiyu thepomp039eiulandausz039asz039sextremalproblemforboundedholomorphicfunctionsinbidisk AT meremelâíû thepomp039eiulandausz039asz039sextremalproblemforboundedholomorphicfunctionsinbidisk AT meremelyaiyu ekstremalʹnazadačapompeâlandausasadlâobmeženihgolomorfnihfunkcíívbíkruzí AT meremelâíû ekstremalʹnazadačapompeâlandausasadlâobmeženihgolomorfnihfunkcíívbíkruzí AT meremelyaiyu pomp039eiulandausz039asz039sextremalproblemforboundedholomorphicfunctionsinbidisk AT meremelâíû pomp039eiulandausz039asz039sextremalproblemforboundedholomorphicfunctionsinbidisk |