Two properties of the Thiele reciprocal derivative
It is proved that the Thiele's reciprocal derivative of the $(2n-1)$-th order of polynomial $ p_n (z), n \geq 2, $ is equal zero, and that the Thiele's reciprocal derivative of $2n$-th order of rational function $ p_m (z) / q_n (z), m <n, $ is equal zero too
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/297 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552799527501824 |
|---|---|
| author | Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. |
| author_facet | Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. М. Пагіря",
"institution": "Мукачівський державний університет"
}
] |
| author_sort | Pahirya, M. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T20:15:00Z |
| description | It is proved that the Thiele's reciprocal derivative of the $(2n-1)$-th order of polynomial $ p_n (z), n \geq 2, $ is equal zero, and that the Thiele's reciprocal derivative of $2n$-th order of rational function $ p_m (z) / q_n (z), m <n, $ is equal zero too |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 226–234
УДК 517.518:519.652
М. М. Пагiря (Мукачiвський державний унiверситет, Мукачево)
ДВI ВЛАСТИВОСТI ОБЕРНЕНИХ ПОХIДНИХ ТIЛЕ
It is proved that the Thiele’s reciprocal derivative of the (2n − 1)–th order
of polynomial pn(z), n ≥ 2, is equal zero, and that the Thiele’s reciprocal
derivative of 2n–th order of rational function pm(z)/qn(z),m < n, is equal
zero too.
В роботi доведено, що обернена похiдна Тiле (2n − 1)–го порядку бага-
точлена pn(z), n ≥ 2, дорiвнює нулевi i що обернена похiдна 2n–го порядку
рацiональної функцiї pm(z)/qn(z),m < n, дорiвнює нулевi.
1. Постановка задачi та основнi результати. Функцiю однiєї
дiйсної або комплексної змiнної можна розвинути в степеневий ряд
або ланцюговий дрiб. Формула Тiле [1, c. 139], яка є аналогом фор-
мули Тейлора в теорiї ланцюгових дробiв, спирається на оберненi по-
хiднi Тiле. Оберненi похiднi Тiле володiють вiдомими властивостями
[2],[3]. В данiй роботi обґрунтовуються двi новi властивостi оберне-
них похiдних Тiле. Основними результатами роботи є наступнi двi
теореми.
Теорема 1. Обернена похiдна Тiле (2n − 1)–го порядку бага-
точлена n–го порядку pn(z) = a0 + a1z + · · · + anz
n, ai ∈ C, i =
0, 1, . . . , n, an 6= 0, дорiвнює нулевi, коли n ≥ 2, i обернена похiдна
Тiле 1–го порядку двочлена p1(z) = a0 + a1z рiвна 1/a1.
Теорема 2. Нехай функцiя Rm,n(z) = pm(z)/qn(z) задана в об-
ластi Z ⊂ C, де pm(z) та qn(z)— багаточлени вiдповiдно степенiв
m та n, m < n, знаменник qn(z) не має коренiв в Z. Обернена по-
хiдна Тiле 2n–го порядку функцiї Rm,n(z) дорiвнює нулевi для всiх
z ∈ Z.
2. Розвинення функцiї в степеневий ряд та ланцюговий
дрiб. Добре вiдомо [4, с. 322], що якщо функцiя f(z) аналiтична в
областi Z, яка мiстить круг K = {z ∈ C : |z−z∗| < R}, то в довiльнiй
точцi z ∈ K iснує розвинення функцiї f(z) в степеневий ряд
c© М. М. Пагiря, 2015
Двi властивостi обернених похiдних Тiле 227
f(z) =
∞∑
n=0
cn(z − z∗)n , cn =
f (n)(z∗)
n!
. (1)
Визначником Ганкеля H
(n)
k порядку k, який пов’язаний iз степене-
вим рядом (1) (навiть коли (1) формальний степеневий ряд [5, c. 9]),
називається визначник вигляду
H
(n)
0 = 1, H
(n)
k =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
cn cn+1 cn+2 . . . cn+k−1
cn+1 cn+2 cn+3 . . . cn+k
cn+2 cn+3 cn+4 . . . cn+k+1
...
...
...
. . .
...
cn+k−1 cn+k cn+k+1 . . . cn+2k−2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
, (2)
де k = 1, 2, . . . , cn = 0, коли n < 0.
Нехай (n)f(z) — обернена похiдна Тiле n–го порядку функцiї f(z).
Оберненi похiднi Тiле обчислюють за рекурентним спiввiдношенням
[1, c. 138–139]
(k)f(z) = k · 8
(
(k−1)f(z)
)
+ (k−2)f(z), k = 2, 3, . . . , (3a)
(0)f(z) = f(z), (1)f(z) = 8f(z) = 1/f ′(z). (3b)
Зауваження 1. Iз (3a) випливає, що (k)f(z) 6= 8((k−1)f(z)), а має
мiсце формула 8
(
(k−1)f(z)
)
= ((k)f(z)− (k−2)f(z))/k.
Якщо припустити, що функцiя f(z) в деякому околi точки z∗
має оберненi похiднi до n–го порядку включно, то отримуємо аналог
формули Тейлора в теорiї ланцюгових дробiв —формулу Тiле [1]
f(z) = b0 +
z − z∗
b1 +
z − z∗
b2 + · · · +
z − z∗
bn +
z − z∗
Rn(z∗)
, (4)
де b0 = f(z∗), b1 = 8f(z∗), bn = n · 8((n−1)f(z∗)) , n = 2, 3, . . . , Rn(z∗) —
залишок ланцюгового дробу.
3. Обернена похiдна Тiле багаточлена та дробово–рацiо-
нальної функцiї. Мiж оберненими похiдними Тiле та звичайними
похiдними функцiї f(z) iснує взаємозв’язок.
Теорема 3. (Спiввiдношення Ньорлунда) [2, c. 427] Якщо функ-
цiя f(z) аналiтична в Z ⊂ C, то оберненi похiднi Тiле функцiї
228 М. М. Пагiря
визначаються через похiднi функцiї як вiдношення визначникiв Ган-
келя наступним чином
(2k)f(z) =
H
(0)
k+1
H
(2)
k
, (2k+1)f(z) =
H
(3)
k
H
(1)
k+1
, k = 1, 2, . . . . (5)
Доведення теореми 1. Згiдно iз другою формулою (5) при n ≥ 2
(2n−1)pn(z) =
H
(3)
n−1
H
(1)
n
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c3 c4 . . . cn cn+1
c4 c5 . . . cn+1 cn+2
...
...
. . .
...
...
cn+1 cn+2 . . . c2n−2 c2n−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c1 c2 . . . cn−1 cn
c2 c3 . . . cn cn+1
...
...
. . .
...
...
cn cn+1 . . . c2n−2 c2n−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Оскiльки cn+1 = cn+2 = · · · = c2n−1 = 0, де ck = (pn(z))(k)/k!, то
у визначнику чисельника H
(3)
n−1 останнiй стовпчик буде складати-
ся лише з нулiв, а отже (2n−1)pn(z) ≡ 0. Твердження для двочлена
p1(z) = a0 + a1z безпосередньо випливає з (3b). Теорему 1 доведено.
Перш нiж встановити теорему 2, доведемо наступне твердження.
Теорема 4. Для функцiї
f(z) =
n∑
i=1
ai
(z − α)i
, ai, α ∈ C,
ранг нескiнченої матрицi Ганкеля
H(0) =
c0 c1 c2 . . . cn . . .
c1 c2 c3 . . . cn+1 . . .
...
...
...
. . .
... . . .
cn cn+1 cn+2 . . . c2n . . .
...
...
...
...
...
. . .
,
дорiвнює n.
Двi властивостi обернених похiдних Тiле 229
Для розглянутої в теоремi функцiї елементи матрицi Ганкеля
H(0) будуть рiвнi
ck =
n∑
i=1
(
k + i− 1
k
)
(−1)kai
(z − α)k+i
, k = 0, 1, 2, . . . . (6)
Доведення теореми 4. Для доведення твердження теореми розг-
лянемо наступний визначник Ганкеля (n+ 1)–го порядку
H
(0)
n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ai
(z−α)i . . .
n∑
i=1
(
i+n−1
n
) (−1)nai
(z−α)n+i
n∑
i=1
(
i
1
) −ai
(z−α)i+1 . . .
n∑
i=1
(
i+n
n+1
) (−1)n+1ai
(z−α)n+i+1
n∑
i=1
(
i+1
2
)
ai
(z−α)i+2 . . .
n∑
i=1
(
i+n
n+2
) (−1)n+2ai
(z−α)n+i+2
...
. . .
...
n∑
i=1
(
i+n−2
n−1
) (−1)n−1ai
(z−α)i+n−1 . . .
n∑
i=1
(
i+2n−2
2n−1
) (−1)2n−1ai
(z−α)2n+i−1
n∑
i=1
(
i+n−1
n
) (−1)nai
(z−α)i+n . . .
n∑
i=1
(
i+2n−1
2n
) (−1)2nai
(z−α)2n+i
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
З першого рядка визначника винесемо спiльний множник 1/(z − α),
з другого рядка винесемо 1/(z − α)2, . . . , з n+ 1–го рядка винесемо
множник 1/(z − α)n+1. Тодi маємо
H̄
(0)
n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=1
(
i+n−1
n
) (−1)nai
(z−α)n+i−1
n∑
i=1
(
i
1
) −ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=1
(
i+n
n+1
) (−1)n+1ai
(z−α)n+i−1
n∑
i=1
(
i+1
2
)
ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=1
(
i+n+1
n+2
) (−1)n+2ai
(z−α)n+i−1
...
. . .
...
n∑
i=1
(
i+n−3
n−2
) (−1)n−2ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=1
(
i+2n−3
2n−2
) (−1)2n−2ai
(z−α)n+i−1
n∑
i=1
(
i+n−2
n−1
) (−1)n−1ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=1
(
i+2n−2
2n−1
) (−1)2n−1ai
(z−α)n+i−1
n∑
i=1
(
i+n−1
n
) (−1)nai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=1
(
i+2n−1
2n
) (−1)2nai
(z−α)n+i−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
230 М. М. Пагiря
де H̄(0)
n+1 = H
(0)
n+1/(z − α)
(n+1)(n+2)
2 .
У визначнику H̄(0)
n+1 послiдовно виконаємо наступнi еквiвалентнi
перетворення: на мiсце k–го рядка запишемо суму елементiв k–го та
k − 1–го рядкiв, k = 2, 3, . . . , n+ 1, i враховуючи, що(
s− 1
t
)
=
(
s
t
)
−
(
s− 1
t− 1
)
отримуємо
H̄
(0)
n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=1
(
i+n−1
n
) (−1)nai
(z−α)n+i−1
n∑
i=2
(
i−1
1
) −ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=2
(
i+n−1
n+1
) (−1)n+1ai
(z−α)n+i−1
n∑
i=2
(
i
2
)
ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=2
(
i+n
n+2
) (−1)n+2ai
(z−α)n+i−1
...
. . .
...
n∑
i=2
(
i+n−4
n−2
) (−1)n−2ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=2
(
i+2n−4
2n−2
) (−1)2n−2ai
(z−α)n+i−1
n∑
i=2
(
i+n−3
n−1
) (−1)n−1ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=2
(
i+2n−3
2n−1
) (−1)2n−1ai
(z−α)n+i−1
n∑
i=2
(
i+n−2
n
) (−1)nai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=2
(
i+2n−2
2n
) (−1)2nai
(z−α)n+i−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Першi два рядки визначника залишимо без змiн, а на мiсцi k-го ряд-
ка, k = 3, 4, . . . , n + 1, запишемо суму елементiв k–го та k − 1–го
рядкiв. Виконавши n− 1 таких крокiв, отримаємо визначник
H̄
(0)
n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=1
(
i+n−1
n
) (−1)nai
(z−α)n+i−1
n∑
i=2
(
i−1
1
) −ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=2
(
i+n−1
n+1
) (−1)n+1ai
(z−α)n+i−1
...
. . .
...
n∑
i=n−1
(
i−1
n−2
) (−1)n−2ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=n−1
(
i+n−1
2n−2
) (−1)2n−2ai
(z−α)n+i−1
(−1)n−1an
(z−α)n−1 . . . (−1)2n−1an
(z−α)2n−1
(−1)nan
(z−α)n−1 . . . (−1)2nan
(z−α)2n−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Двi властивостi обернених похiдних Тiле 231
Визначник H̄(0)
n+1 буде рiвним нулю, оскiльки два останнi його рядки
пропорцiйнi, а отже i H(0)
n+1 = 0.
В свою чергу визначник
H̄(0)
n =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
n∑
i=1
ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=1
(
i+n−2
n−1
) (−1)n−1ai
(z−α)n+i−2
n∑
i=2
(
i−1
1
) −ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=2
(
i+n−2
n
) (−1)nai
(z−α)n+i−2
...
. . .
...
n∑
i=n−1
(
i−1
n−2
) (−1)n−2ai
(z−α)i−1 . . .
n∑
i=n−1
(
i+n−2
2n−3
) (−1)2n−3ai
(z−α)n+i−2
(−1)n−1an
(z−α)n−1 . . . (−1)2n−2an
(z−α)2n−2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
тотожно не рiвний нулю, а тодi i H(0)
n (z) 6≡ 0. Отже ранг матрицi
Ганкеля H(0) рiвний n. Теорема 4 доведена.
Iз доведеної теореми безпосередньо випливає наступний наслiдок.
Наслiдок 1. Довiльний визначник n+m+ 1–го порядку вигляду
H̃
(0)
n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ck0 ck1 . . . ckn b1 b2 . . . bm
ck0+1 ck1+1 . . . ckn+1 b2 b3 . . . bm+1
...
...
...
...
...
...
. . .
...
ck0+n ck1+n . . . ckn+n bn+1 bn+2 . . . bm+n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,
при довiльних значеннях k0, k1, . . . , kn.
Оскiльки як ранг матрицi Ганкеля H(0) рiвний n, то довiльнi n+1
стовпчики цiєї матрицi будуть лiнiйно залежними, а тодi має мiсце
твердження наслiдку.
Доведення теореми 2. Розглянемо окремо три випадки.
а) Якщо R0,n(z) = A/(z − α)n, то згiдно з властивiстю оберненої
похiдної Тiле [3, твердження 4] та [6, наслiдок 1] обернена похiдна
Тiле 2n–го порядку дорiвнює нулевi для всiх z ∈ Z ⊂ C.
б) Якщо Rm,n(z) = pm(z)/(z − α)n, то функцiю Rm,n(z) можна
подати у виглядi суми простих дробiв, тобто записати наступним
чином
Rm,n(z) =
n∑
i=1
ai
(z − α)i
.
232 М. М. Пагiря
У цьому випадку елементи визначника Ганкеля рiвнi
ck =
1
k!
dk
d zk
(
n∑
i=1
ai
(z − α)i
)
=
n∑
i=1
(
k + i− 1
k
)
(−1)kai
(z − α)k+i
,
де k = 0, 1, . . . , 2n. Оскiльки ck визначаються за (6), то з теоре-
ми 4 маємо, що визначник Ганкеля H
(0)
n+1 = 0, а тодi згiдно iз (5)
(2n)Rm,n(z) = 0.
в) В загальному випадку також маємо, що дробово–рацiональну
функцiю Rm,n(z) = pm(z)/qn(z) можна подати у виглядi суми про-
стих дробiв, тобто
Rm,n(z) =
r∑
s=1
ls∑
is=1
a
(s)
is
(z − αs)is
, l1 + l2 + · · ·+ lr = n.
Тодi
ck =
1
k!
dk
d zk
(Rm,n(z)) =
r∑
s=1
ls∑
is=1
(
k + is − 1
k
)
(−1)ka
(s)
is
(z − αs)k+is
,
де k = 0, 1, . . . , 2n.
У цьому випадку визначник Ганкеля H(0)
n+1 буде рiвним
H
(0)
n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
r∑
s=1
ls∑
is=1
a
(s)
is
(z−αs)is
. . .
r∑
s=1
ls∑
is=1
(−1)n(is)na(s)is
n!(z−αs)is+n
r∑
s=1
ls∑
is=1
−isa(s)is
(z−αs)is+1 . . .
r∑
s=1
ls∑
is=1
(−1)n+1(is)n+1a
(s)
is
(n+1)!(z−αs)is+n+1
...
. . .
...
r∑
s=1
ls∑
is=1
(−1)n(is)na(s)is
n!(z−αs)is+n . . .
r∑
s=1
ls∑
is=1
(−1)2n(is)2na(s)is
(2n)!(z−αs)is+2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
де (is)n = is(is + 1) . . . (is + n− 1)— символ Похгаммера.
У кожному стовпчику визначника мiститься n доданкiв. Оскiльки
всi елементи 1–го стовпчика визначника H(0)
n+1 складаються iз суми
n доданкiв, то згiдно iз вiдомою властивiстю визначникiв H(0)
n+1 рiв-
ний сумi n визначникiв, якi будуть вiдрiзнятися лише елементами
Двi властивостi обернених похiдних Тiле 233
1–го стовпчика. Якщо кожний iз n отриманих визначникiв подати
у виглядi суми n визначникiв, кожен з яких вiдрiзняється вiд iншо-
го новоутвореного визначника лише елементами 2–го стовпчика, то
отримаємо n2 визначникiв. Продовжуючи далi подiбнi перетворення
врештi–решт отримаємо nn+1 визначникiв, якi будуть мiстити лише
по одному доданку iз кожного стовпця вихiдного визначника.
Нехай
H̃
(0)
n+1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b
(0)
j0
(z−β0)j0
. . .
(
jn+n−1
n
) (−1)nb(n)
jn
(z−βn)jn+n(
j0
1
) −b(0)j0
(z−β0)j0+1 . . .
(
jn+n
n+1
) (−1)n+1b
(n)
jn
(z−βn)jn+n+1
...
. . .
...(
j0+n−1
n
) (−1)nb(0)j0
(z−β0)j0+n . . .
(
jn+2n−1
2n
) (−1)2nb(n)
jn
(z−βn)jn+2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
один iз таких визначникiв, де βt ∈ {α1, α2, . . . , αr}, t = 0, 1, 2, . . . , n, а
jt приймає деяке iз можливих своїх значень, якi вiдповiднi βt, тобто,
якщо βt = αs, то 1 ≤ jt ≤ ls, b(t)jt = a
(s)
jt
.
Оскiльки визначник H̃
(0)
n+1 мiстить n + 1 стовпцiв, а знаменник
qn(z) має r рiзних коренiв, 1 ≤ r ≤ n, то принаймнi два βt будуть
мати однаковi значення.
У кожному такому визначнику мiстять стовпцi, якi вiдповiдають
одному i тому кореню αs, i кiлькiсть таких стовпцiв бiльша за крат-
нiсть кореня ls. Цi стовпцi будуть лiнiйно залежними, а тодi згiдно
iз наслiдком 1 кожен такий визначник буде рiвний нулю.
Визначник H
(0)
n+1 рiвний нулю як сума визначникiв того же по-
рядку, кожен з яких рiвний нулю. Тодi з (5) знову маємо, що
(2n)Rm,n(z) = 0. Теорема 2 доведена.
4. Висновки. Основним результатом роботи є встановлення двох
нових властивостей для обернених похiдних Тiле — рiвнiсть нулю
оберненої похiдної (2n − 1)–го порядку багаточлена i рiвнiсть нулю
оберненої похiдної 2n–го порядку рацiональної функцiї, якi сформу-
льованi у виглядi теореми 1 та теореми 2. Якщо теорема аналогiчна
теоремi 1 має мiсце для звичайної похiдної функцiї, то теорема 2 не
має аналогу для звичайної похiдної функцiї.
234 М. М. Пагiря
1. Thiele T. N. Interpolationsprechnung. — Leipzig: Commisission von B.G.
Teubner, 1909. — XII+175 S.
2. Nörlund N. E. Vorlesungen über Differenzenrechnung. — Berlin:Springer, 1924.
— IX+551 S.
3. Пагiря М. М., Кацала Р. А. Властивостi обернених похiдних // Укр. мат.
журн. — 2010. — 62, №5. — C. 708–713.
4. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. — М.: Наука, ГИФМЛ, 1968. —
648 с.
5. Henrici P.Applied and Computational Complex Analysis.Vol. 1. Power Series–
Integration–Conformal Mapping–Location of Zeros. — New York–London–
Sydney–Toronto: A Wiley–Interscience publication, 1974. — XV+682 p.
6. Пагiря М. М., Кацала Р. А. Розвинення деяких функцiй у ланцюговi дро-
би // Наук. вiсник Ужгород. ун–ту. Сер. матем. i iнформ. — 2007. — Вип.
14–15. – С. 107–116.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-297 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:10Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d8/d3f0fc75edb9e3bb9143d8703aff3bd8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2972018-02-02T20:15:00Z Two properties of the Thiele reciprocal derivative Дві властивості обернених похідних Тіле Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. It is proved that the Thiele's reciprocal derivative of the $(2n-1)$-th order of polynomial $ p_n (z), n \geq 2, $ is equal zero, and that the Thiele's reciprocal derivative of $2n$-th order of rational function $ p_m (z) / q_n (z), m &lt;n, $ is equal zero too В роботі доведено, що обернена похідна Тіле $(2n-1)$-го порядку багаточлена $p_n(z), n \geq 2,$ дорівнює нулеві і, що обернена похідна $2n$-го порядку раціональної функції $p_m(z)/q_n(z), m&lt;n,$ дорівнює нулеві Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/297 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 226 -234 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 226 -234 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 226 -234 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/297/330 Авторське право (c) 2015 М. М. Пагіря |
| spellingShingle | Pahirya, M. M. Пагіря, М. М. Two properties of the Thiele reciprocal derivative |
| title | Two properties of the Thiele reciprocal derivative |
| title_alt | Дві властивості обернених похідних Тіле |
| title_full | Two properties of the Thiele reciprocal derivative |
| title_fullStr | Two properties of the Thiele reciprocal derivative |
| title_full_unstemmed | Two properties of the Thiele reciprocal derivative |
| title_short | Two properties of the Thiele reciprocal derivative |
| title_sort | two properties of the thiele reciprocal derivative |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/297 |
| work_keys_str_mv | AT pahiryamm twopropertiesofthethielereciprocalderivative AT pagírâmm twopropertiesofthethielereciprocalderivative AT pahiryamm dvívlastivostíobernenihpohídnihtíle AT pagírâmm dvívlastivostíobernenihpohídnihtíle |