Entropy numbers and Kolmogorov widths of Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_{\infty}$
We establish the order estimates of entropy numbers and Kolmogorov widths of Nikol'skii-Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_{\infty}$.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/298 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552801634091008 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. С. Романюк",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T22:24:24Z |
| description | We establish the order estimates of entropy numbers and Kolmogorov widths of Nikol'skii-Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_{\infty}$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т. 12, № 4, 235–252
УДК 517.5
А.С. Романюк (Iн–т математики НАН України, Київ)
ЕНТРОПIЙНI ЧИСЛА I КОЛМОГОРОВСЬКI
ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ НIКОЛЬСЬКОГО–БЄСОВА
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ
У ПРОСТОРI L∞
We establish the order estimates of entropy numbers and Kolmogorov widths
of Nikol’skii–Besov classes of periodic functions of two variables in the space
L∞.
Встановлено порядковi оцiнки ентропiйних чисел i колмогоровських по-
перечникiв класiв Нiкольського–Бєсова перiодичних функцiй двох змiнних
у просторi L∞.
1. Вступ. Основна мета роботи полягає у встановленнi точних
за порядком оцiнок ентропiйних чисел i колмогоровських поперечни-
кiв класiв Нiкольського–Бєсова перiодичних функцiй двох змiнних
у просторi L∞. Вiдповiднi апроксимативнi характеристики будуть
означенi нижче, а спочатку наведемо необхiднi позначення i сфор-
мулюємо допомiжнi твердження, якi будуть використовуватися при
доведеннi отриманих результатiв.
Нехай Rd, d ≥ 1, — евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd)
i (x, y) = x1 y1 + . . .+xd yd; Lp(πd), πd =
d∏
j=1
[0, 2π] — множина функ-
цiй f(x), 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй i таких, що
||f ||p =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|p dx
)1/p
<∞, 1 ≤ p <∞,
||f ||∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)| <∞, p =∞.
В подальших мiркуваннях будемо розглядати тiльки тi функцiї
f ∈ Lp(πd), для яких виконана умова
c© А.С. Романюк, 2015
236 А.С. Романюк
2π∫
0
f(x)dxj = 0, j = 1, d,
множину таких функцiй будемо позначати L0
p(πd).
Для функцiї f ∈ L0
p(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, розглянемо рiзницю першого
порядку по j-iй змiннiй з кроком h ∈ R:
4h,jf(x) = f(x1, . . . , xj−1, xj + h, xj+1, . . . , xd)− f(x)
i означимо рiзницю l-го порядку
4lh,jf(x) =
l︷ ︸︸ ︷
4h,j · · ·4h,j f(x)
в точцi xj з кроком h ∈ R.
Далi, якщо k = (k1, . . . , kd), kj ∈ N, j = 1, d, то мiшана рiзниця
порядку k з векторним кроком h = (h1, . . . , hd) ∈ Rd означається
наступним чином:
4khf(x) = 4k1h1,1
· · ·4kdhd,df(x).
Нехай заданi вектор r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, i параметри
1 ≤ p, θ ≤ ∞. Тодi функцiя f ∈ L0
p(πd) належить класу Brp,θ, якщо(∫
πd
‖ Mkh f(·)‖θp
d∏
j=1
dhj
h
1+rjθ
j
)1/θ
≤ 1, 1 ≤ θ <∞,
i
sup
h
‖ Mkh f(·)‖p
d∏
j=1
h
−rj
j ≤ 1, θ =∞.
При цьому вважаємо, що для векторiв k = (k1, . . . , kd) i
r = (r1, . . . , rd) виконана умова kj > rj , j = 1, d. Нагадаємо, що
класи Brp,θ є аналогами класiв функцiй, якi були введенi О.В. Бє-
совим [1] i при θ =∞ Brp,∞ = Hr
p , де Hr
p — аналоги класiв, введених
С.М. Нiкольським (див., наприклад, [2, с. 189]). З бiльш детальною
iнформацiєю про класи Brp,θ можна ознайомитися у роботах [3, 4].
Ентропiйнi числа i колмогоровськi поперечники . . . 237
При проведеннi подальших мiркувань нам буде зручно користувати-
ся означенням класiв Brp,θ в дещо iншiй формi.
Для векторiв s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, k = (k1, . . . , kd), kj ∈ Z,
j = 1, d, покладемо
ρ(s) = {k = (k1, . . . , kd) : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d}
i для f ∈ L0
p(πd) введемо позначення
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x),
де f̂(k) =
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f .
Нехай 1 < p < ∞, r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d. Тодi, з точ-
нiстю до абсолютних сталих, класи Brp,θ можна означити наступним
чином (див., наприклад, [3,4]):
Brp,θ = {f : ‖f‖Brp,θ =
( ∑
s∈Nd
2(s,r)θ‖δs(f, ·)‖θp
) 1
θ
≤ 1}, 1 ≤ θ <∞,
Brp,∞ = {f : ‖f‖Brp,∞ = sup
s∈Nd
2(s,r)‖δs(f, ·)‖p ≤ 1}.
Зазначимо, що при певнiй видозмiнi “блокiв” δs(f, x), наведене
означення класiв Brp,θ можна поширити i на крайнi значення p = 1 i
p =∞ (див., наприклад, [4, зауваження 2.1]).
Нехай Vl(t), l ∈ N, позначає ядро Валле-Пуссена виду
Vl(t) = 1 + 2
l∑
k=1
cos kt+ 2
2l−1∑
k=l+1
(1− k − l
l
) cos kt.
Спiвставимо кожному вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, полi-
ном
As(x) =
d∏
j=1
(V2sj (xj)− V2sj−1(xj))
238 А.С. Романюк
i для f ∈ L0
p(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, покладемо
As(f, x) = (f ∗As)(x),
де “ ∗ ” означає операцiю згортки. Тодi при 1 ≤ p ≤ ∞,
r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, з точнiстю до абсолютних сталих,
класи Brp,θ можна означити наступним чином:
Brp,θ = {f : ‖f‖Brp,θ =
( ∑
s∈Nd
2(s,r)θ‖As(f, ·)‖θp
) 1
θ
≤ 1}, 1 ≤ θ <∞,
Brp,∞ = {f : ‖f‖Brp,∞ = sup
s∈Nd
2(s,r)‖As(f, ·)‖p ≤ 1}.
Для зручностi нагадаємо також означення класiв W r
p,α, про якi
буде йти мова в коментарях до одержаних результатiв.
Нехай Fr(x, α) — багатовимiрнi аналоги ядер Бернуллi, тобто
Fr(x, α) = 2d
∑
k
d∏
j=1
k
−rj
j cos(kjxj −
αj π
2
), rj > 0, αj ∈ R,
i сумування вiдбувається по тих k = (k1, . . . , kd), для яких kj > 0, j =
1, d. Тодi через W r
p,α позначимо клас функцiй f , якi можна подати у
виглядi згортки
f(x) = ϕ(x) ∗ Fr(x, α) = (2π)−d
∫
πd
ϕ(y)Fr(x− y, α)dy,
ϕ ∈ Lp(πd), ‖ϕ‖p ≤ 1.
Надалi будемо вважати, що координати векторiв r = (r1, . . . , rd),
якi мiстяться в означеннi класiв функцiй, впорядкованi наступним
чином: 0 < r1 = . . . = rν < rν+1 ≤ . . . ≤ rd. Вектору r = (r1, . . . , rd)
спiвставимо вектор γ = (γ1, . . . , γd), γj =
rj
r1
, j = 1, d, якому, в свою
чергу, спiвставляється вектор γ′ = (γ′1, . . . , γ
′
d), де γj = γ′j при
j = 1, ν i 1 < γ′j < γj при j = ν + 1, d.
Ентропiйнi числа i колмогоровськi поперечники . . . 239
Одержанi результати будемо формулювати в термiнах порядко-
вих спiввiдношень. Для функцiй µ1(N) i µ2(N) запис µ1 � µ2 озна-
чає, що iснує стала C > 0 така, що µ1(N) ≤ Cµ2(N). Спiввiдношення
µ1 � µ2 рiвносильне тому, що виконанi порядковi нерiвностi µ1 � µ2
i µ1 � µ2. Зазначимо, що всi сталi Ci, i = 1, 2, . . ., якi будуть зустрi-
чатися у роботi, можуть залежати тiльки вiд тих параметрiв, якi
мiстяться в означеннi класiв, метрики i розмiрностi простору Rd. В
деяких випадках ця залежнiсть буде вказуватися в явному виглядi.
Якщо M — деяка скiнченна множина, то через |M| будемо позначати
кiлькiсть її елементiв.
Тепер означимо асимптотичнi характеристики, якi будемо дослiд-
жувати.
Нехай X банахiв простiр i BX (y, r) — куля X радiуса r з цен-
тром у точцi y, тобто
BX (y, r) = {x ∈X : ‖x− y‖ ≤ r}.
Для компактної множини A i ε > 0 означимо число
Nε(A ,X ) = min{n : ∃y1, . . . , yn ∈X : A ⊆
n⋃
j=1
BX (yj , ε)}.
Тодi величина (див., наприклад, [5,6])
Hε(A ,X ) = log Nε(A ,X )
називається ε-ентропiєю множини A вiдносно банахового простору
X (тут i далi log := log2).
З ε-ентропiєю множини A тiсно пов’язано поняття його ентро-
пiйних чисел εk(A ,X ) (див., наприклад, [7]):
εk(A ,X ) = inf { ε : ∃y1, . . . , y2k ∈X : A ⊆
2k⋃
j=1
BX (yj , ε)}.
Безпосередньо з означень величин Hε(A ,X ) i εk(A ,X ) маємо:
якщо Hε(A ,X ) ≤ k, то εk(A ,X ) ≤ ε; i навпаки — з оцiнки
εk(A ,X ) ≤ ε випливає оцiнка Hε(A ,X ) ≤ k. Цi спiввiдношення
240 А.С. Романюк
дають можливiсть iз оцiнок для ентропiйних чисел εk(A ,X ) отри-
мувати вiдповiднi оцiнки для ε-ентропiї Hε(A ,X ).
Дослiдження ε-ентропiї i близьких до неї асимптотичних харак-
теристик (ε-ємнiсть, ентропiйнi числа i т.п.) мають багату iсторiю,
з якою можна ознайомитися, наприклад, у роботi [8], де наведена
детальна бiблiографiя.
Нагадаємо означення ще однiєї апроксимативної характеристики,
пов’язаної певним чином з ентропiйними числами i яка буде дослiд-
жуватися в данiй роботi.
Нехай Φ — центрально-симетрична множина нормованого про-
стору X i LM — пiдпростiр розмiрностi M простору X . Тодi вели-
чина
dM (Φ,X ) = inf
LM
sup
f∈Φ
inf
u∈LM
‖f − u‖X ,
називається M -мiрним колмогоровським поперечником множини Φ
у просторi X . Поперечник dM (Φ,X ) був введений в 1936 роцi
А.М. Колмогоровим [9] i до теперiшнього часу задачi, якi пов’яза-
нi з оцiнками колмогоровських поперечникiв рiзного роду функцiо-
нальних класiв знаходяться в полi зору великої кiлькостi матема-
тикiв. Зазначимо, що з результатами дослiдження колмогоровських
поперечникiв класiв W r
p,α, Hr
p i Brp,θ перiодичних функцiй багатьох
змiнних можна ознайомитися в монографiях [10—12].
Перед тим як перейти безпосередньо до формулювання i дове-
дення одержаних результатiв введемо ще декiлька позначень i сфор-
мулюємо необхiднi допомiжнi твердження.
Для n ∈ N покладемо
Qγn =
⋃
(s,γ)≤n
ρ(s), Qγ
′
n =
⋃
(s,γ′)≤n
ρ(s), 4Qγ
′
n = Qγ
′
n \Q
γ′
n−1
i
Nγ′
n = {s = (s1, . . . , sd), n− 1 < (s, γ′) ≤ n, n ≥ d}.
Зазначимо, що |4Qγ′n | � 2n nν−1.
Через SQγn(f, ·) позначимо схiдчасту гiперболiчну суму Фур’є
функцiї f ∈ L1(πd) виду
SQγn(f, ·) =
∑
(s,γ)≤n
δs(f, ·).
Ентропiйнi числа i колмогоровськi поперечники . . . 241
Мають мiсце наступнi твердження.
Теорема А [13]. Нехай 1 ≤ p <∞, 1 ≤ θ <∞, r1 >
1
p . Тодi
sup
f∈Brp,θ
‖f(·)− SQγn(f, ·)‖∞ � 2−n(r1− 1
p ) n(ν−1)(1− 1
θ ).
Зауважимо, що такий же порядок наближення класiв Brp,θ реалi-
зують i суми Фур’є S
Qγ
′
n
(f, ·).
Лема A [10, с. 11]. Справедлива оцiнка∑
(s,γ′ )≥l
2−α(s,γ) � 2−α llν−1, α > 0.
Наступне твердження є наслiдком однiєї нерiвностi Б. Карла
(див., наприклад, [14]).
Лема Б [15, 16]. Нехай A — компакт в сепарабельному ба-
наховому просторi X . Допустимо, що для пари чисел (a, b), де
a > 0, b ∈ R, a = 0, b < 0, виконанi спiввiдношення
dm(A ,X )� m−a(logm)b,
εm(A ,X )� m−a(logm)b.
Тодi
εm(A ,X ) � dm(A ,X ) � m−a(logm)b.
Нехай X — простiр RN з нормою ‖ · ‖X . Як зазвичай позначимо
BN2 i SN−1 вiдповiдно одиничну кулю в RN i її межу. Нехай та-
кож σ = σN — нормована мiра Лебега на SN−1. Наступна величина
вiдiграє важливу роль в отриманнi оцiнок ε-ентропiї i поперечникiв
Колмогорова (див. детальнiше [17]):
MX =
∫
SN−1
‖f‖X dσ.
Справедливе твердження (див. [15]).
Лема B. Має мiсце оцiнка
εM (BN2 ,X )�
{
(Nm )
1
2 MX , m ≤ N,
e−
m
N MX , m > N.
(1)
242 А.С. Романюк
Скориставшись (1), одержимо вiдповiднi оцiнки у просторi
X = L∞ для одиничних куль, якi є тригонометричними полiнома-
ми спецiального виду. З цiєю метою для довiльної множини G ⊂ Zd
через T (G) позначимо множину тригонометричних полiномiв t виду
t(x) =
∑
k∈G
ck e
i(k,x), x ∈ πd.
У випадку коли множина G симетрична вiдносно початку координат,
(G = −G) покладемо
TR(G) = {t ∈ T (G) : ck = c−k, k ∈ G}
i через T (4Qγ′n )q позначимо одиничну Lq-кулю у просторi T (4Qγ′n ),
тобто
T (4Qγ
′
n )q = {t ∈ T (4Qγ
′
n ) : ‖t‖q ≤ 1}.
Лема Г. Справедлива оцiнка
εm(T (4Qγ
′
n )2, L∞)�
{
(|4Qγ′n |m−1)
1
2 n
1
2 , m ≤ |4Qγ′n |,
2−|4Q
γ′
n |
−1m n
1
2 , m > |4Qγ′n |.
(2)
Доведення. Розглянемо множину TR(4Qγ′n ) полiномiв з
T (4Qγ′n ) з дiйсними коефiцiєнтами. Тодi TR(4Qγ′n )2 можна розгля-
дати як евклiдову кулю в RN , N = |4Qγ′n )|/2. Легко бачити, що
оцiнки (2) достатньо довести для TR(4Qγ′n )2.
Нехай X G
q — банахiв простiр тригонометричних полiномiв
t ∈ TR(G) зi звичайною Lq-нормою i deg t — степiнь полiнома t.
(Нагадаємо, що пiд степенем тригонометричного полiнома будемо
розумiти найбiльший iз степенiв ei(k,x) якi мiстяться в ньому, а
deg ei(k,x) = |k1|+ . . .+ |kd|).
Далi скористаємося оцiнкою, одержаною у [18]:
MX G
q
�
{ √
q, 1 < q <∞,√
log deg t, q =∞.
Таким чином, оскiльки для t ∈ TR(4Qγ′n ) має мiсце спiввiдно-
шення log deg t � n, то, приймаючи до уваги вище сказане, в силу
леми В приходимо до шуканих оцiнок (2).
Ентропiйнi числа i колмогоровськi поперечники . . . 243
Лема доведена.
2. Основнi результати. Спочатку отримаємо оцiнку зверху ве-
личини εM (Brp,θ, L∞) для всiх розмiрностей d ≥ 2.
Теорема 1. Нехай 2 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ < ∞ i r1 >
1
2 . Тодi при
d ≥ 2 має мiсце оцiнка
εM (Brp,θ, L∞)�M−r1(logν−1M)r1+( 1
2−
1
θ )+
√
log M, (3)
де a+ = max {a, 0}.
Доведення. Оскiльки Brp,θ ⊂ Br2,θ, 2 < p < ∞, то оцiнку (3)
достатньо встановити при p = 2.
Нехай f ∈ Br2,θ, 1 ≤ θ ≤ 2. Тодi згiдно з нерiвнiстю( ∞∑
l=1
al
µ2
)1/µ2
≤
( ∞∑
l=1
al
µ1
)1/µ1
, al ≥ 0, 1 ≤ µ1 ≤ µ2 <∞,
(див. [19], с. 43]) можемо записати
‖
∑
s∈Nγ′
n
δs(f, ·)‖2 =
( ∑
s∈Nγ′
n
‖δs(f, ·)‖22
) 1
2
≤
≤
( ∑
s∈Nγ′
n
‖δs(f, ·)‖θ2
) 1
θ
� 2−n r1
( ∑
s∈Nγ′
n
2(s,r)θ‖δs(f, ·)‖θ2
) 1
θ
�
� 2−n r1‖f‖Br2,θ ≤ 2−n r1 . (4)
Нехай тепер θ ∈ (2,∞). У такому випадку, скориставшись нерiв-
нiстю Гельдера з показником θ
2 i лемою А, будемо мати
‖
∑
s∈Nγ′
n
δs(f, ·)‖2 =
( ∑
s∈Nγ′
n
‖δs(f, ·)‖22
) 1
2
≤
≤
( ∑
s∈Nγ′
n
2(s,r)θ‖δs(f, ·)‖θ2
) 1
θ
( ∑
s∈Nγ′
n
2−2(s,r)θ/(θ−2)
) 1
2−
1
θ
�
244 А.С. Романюк
� ‖f‖Br2,θ
( ∑
s∈Nγ′
n
2−2(s,r)θ/(θ−2)
) 1
2−
1
θ
� 2−n r1 n(ν−1)( 1
2−
1
θ ). (5)
Таким чином, згiдно з (4) i (5) для f ∈ Br2,θ, 1 ≤ θ <∞, маємо
‖
∑
s∈Nγ′
n
δs(f, ·)‖2 � 2−n r1 n(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ . (6)
Далi виберемо m ∈ N таким, щоб виконувалися нерiвностi
|Qγ
′
m−1| < M ≤ |Qγ′m|. Тодi, прийнявши до уваги спiввiдношення
|Qγ′m| � |Q
γ′
m−1| � 2mmν−1, будемо мати M � 2mmν−1.
Покладемо β = 1
2 min{(r1 − 1
2 ), 1
2} i
Mn =
{
CβM 2−
1
2 (m−n), n < m,
CβM 2−β(n−m), n ≥ m,
де Cβ > 0 пiдiбрано так, що
∞∑
n=1
Mn ≤M.
Зауважимо, що таке Cβ > 0 iснує, оскiльки
m−1∑
n=1
M 2−
1
2 (m−n) +
∞∑
n=m
M 2−β(n−m) �M.
Позначимо Mn = [Mn ], де [ a ] — цiла частина чис-
ла a. Тодi Mn = 0, якщо CβM 2−β(n−m) < 1, тобто при
n > m1 = m+ β−1 log CβM . Покладемо
S4Qγ′n
(Br2,θ) = {g : g(x) =
∑
k∈4Qγ
′
n
f̂(k)ei(k,x), f ∈ Br2,θ}
i
‖S4Qγ′n (Br2,θ)‖∞ = sup
g∈S
4Qγ
′
n
(Br2,θ)
‖g(·)‖∞. (7)
Ентропiйнi числа i колмогоровськi поперечники . . . 245
У прийнятих позначеннях можемо записати
εM (Br2,θ, L∞) ≤
∑
n≤m1
εMn
(S4Qγ′n
(Br2,θ), L∞)+
+
∑
n>m1
‖S4Qγ′n (Br2,θ)‖∞ = I1 + I2. (8)
Оцiнимо спочатку доданок I2. Для f ∈ Br2,θ згiдно з теоремою A
(див. коментар) будемо мати
‖S4Qγ′n(f, ·)‖∞ = ‖S
Qγ
′
n
(f, ·)− S
Qγ
′
n−1
(f, ·) + f(·)− f(·)‖∞ ≤
≤ ‖f(·)− S
Qγ
′
n
(f, ·)‖∞ + ‖f(·)− S
Qγ
′
n−1
(f, ·)‖∞ �
� 2−n(r1− 1
2 ) n(ν−1)(1− 1
θ ). (9)
Як наслiдок з (9) знаходимо
‖S4Qγ′n (Br2,θ)‖∞ � 2−n(r1− 1
2 ) n(ν−1)(1− 1
θ ). (10)
Таким чином, скориставшись оцiнкою (10), одержимо
I2 =
∑
n>m1
‖S4Qγ′n (Br2,θ)‖∞ �
∑
n>m1
2−n(r1− 1
2 ) n(ν−1)(1− 1
θ ) �
� 2−m1(r1− 1
2 )m
(ν−1)(1− 1
θ )
1 = J1. (11)
Для того, щоб продовжити оцiнку J1, розглянемо два випадки.
Нехай спочатку r1 ≥ 1. У такому випадку β = 1
4 i вiдповiдно
m1 = m+ log (CβM)4. Тодi для величини J1 отримаємо оцiнку
J1 = 2−m(r1− 1
2 )(CβM)−4(r1− 1
2 )(m+ log(CβM)4)(ν−1)(1− 1
θ ) �
� 2−m(r1− 1
2 )2−4(r1− 1
2 )mm−4(ν−1)(r1− 1
2 )m(ν−1)(1− 1
θ ) �
� 2−mr1 m(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ . (12)
246 А.С. Романюк
Нехай тепер виконана умова 1
2 < r1 < 1. Тодi β = 1
2 (r1 − 1
2 ) i
вiдповiдно m1 = m+ log(CβM)
4
2r1−1 . У такому випадку величина J1
допускає оцiнку
J1 = 2−m(r1− 1
2 )(CβM)−2(m+ log(CβM)
4
2r1−1 )(ν−1)(1− 1
θ ) �
� 2−m(r1− 1
2 )2−2mm−2(ν−1)m(ν−1)(1− 1
θ ) � 2−mr1 m(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ . (13)
Таким чином, прийнявши до уваги (12) i (13), з (11) будемо мати
I2 � 2−mr1 m(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ . (14)
Перейдемо до оцiнки величини I1. З цiєю метою подамо її у
виглядi двох доданкiв
I1 =
∑
n≤m
εMn
(S4Qγ′n
(Br2,θ), L∞)+
+
∑
m<n≤m1
εMn
(S4Qγ′n
(Br2,θ), L∞). (15)
Для оцiнки першого доданку, скориставшись лемою Г i спiввiдно-
шенням (6), будемо мати∑
n≤m
εMn(S4Qγ′n
(Br2,θ), L∞)�
�
∑
n≤m
2−n r1 n(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ εMn
(T (Qγ
′
n )2, L∞)�
�
∑
n≤m
2−n r1 n(ν−1)( 1
2−
1
θ )+2−CβM 2−
1
2
(m−n)|Qγ
′
n |
−1
n
1
2 = J2. (16)
Врахувавши спiввiдношення |Qγ′n | � 2n nν−1 i M � 2mmν−1, легко
переконатися, що величина J2 допускає оцiнку:
J2 � 2−mr1 m(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ m
1
2 . (17)
Ентропiйнi числа i колмогоровськi поперечники . . . 247
Для того, щоб оцiнити другий доданок правої частини (15), та-
кож скористаємося лемою Г i спiввiдношенням (6). Виконавши еле-
ментарнi перетворення, будемо мати∑
m<n≤m1
εMn
(S4Qγ′n
(Br2,θ), L∞)�
�
∑
m<n≤m1
2−n r1 n(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ εMn
(T (Qγ
′
n )2, L∞)�
�
∑
m<n≤m1
2−nr1 n(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ |Qγ
′
n |
1
2 M−
1
2 2β(n−m) n
1
2 �
� 2−r1mm(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ m
1
2 . (18)
Таким чином, з урахуванням (15) - (18) отримуємо
I1 � 2−mr1 m(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ m
1
2 . (19)
Накiнець, пiдставивши (14) i (19) в (9) i прийнявши до уваги, що
M � 2mmν−1, приходимо до шуканої оцiнки величини εM (Br2,θ, L∞):
εM (Br2,θ, L∞)� 2−mr1 m(ν−1)( 1
2−
1
θ )+ m
1
2 �
�M−r1(logν−1M)r1+( 1
2−
1
θ )+
√
log M.
Теорема доведена.
У наступному твердженнi з використанням оцiнки (3) встанови-
мо точну за порядком оцiнку величини εM (Brp,θ, L∞) у двовимiрному
випадку (d = 2) для деяких спiввiдношень мiж параметрами p та θ.
Перш нiж перейти до формулювання i доведення вiдповiдного ре-
зультату наведемо необхiднi для цього позначення.
Нехай Nε(F,X ) — максимальна кiлькiсть замкнутих куль радiу-
са ε простору X , необхiдних для покриття (компактного) множи-
ни F , а Mε(F,X ) — максимальне число точок xi ∈ F таких, що
‖xi − xj‖X > ε, i 6= j. Тодi як добре вiдомо (див., наприклад, [5])
справедливi нерiвностi
Nε(F,X ) ≤Mε(F,X ) ≤ N ε
2
(F,X ). (20)
248 А.С. Романюк
Нехай далi
Yn = {s = (2n1, 2n2), n1 + n2 =
n
2
}
i
Dn =
⋃
s∈Yn
ρ(s).
Зауважимо, що для кiлькостi елементiв множин Dn справед-
ливi спiввiдношення |Dn| � 2n n. Також будемо вважати, що
вектор r, який присутнiй в означеннi класу Brp,θ, має вигляд
r = (r1, r1), r1 > 0.
Справедливе наступне твердження.
Теорема 2. Нехай 2 ≤ p ≤ ∞, 2 ≤ θ < ∞ i r1 >
1
2 . Тодi при
d = 2 справедливе спiввiдношення
εM (Brp,θ, L∞) �M−r1(log M)r1+1− 1
θ . (21)
Доведення. Оцiнка зверху слiдує з теореми 1 при ν = 2, i тому
перейдемо до встановлення в (21) оцiнки знизу. При цьому зазначи-
мо, що, оскiльки має мiсце вкладення Br∞,θ ⊂ Brp,θ, 1 ≤ p ≤ ∞, то
шукану оцiнку достатньо встановити для величини εM (Br∞,θ, L∞). З
цiєю метою скористаємося набором функцiй {fni }
An
i=1, An ≥ 2
|Dn|
2 , якi
були побудованi В. Н. Темляковим [20] при встановленнi ним оцiнок
знизу ентропiйних чисел класiв Hr
∞. В цей набiр входять функцiї
fni ∈ T (Dn), i = 1, An, якi володiють наступними властивостями:
1) ‖δs(fni , ·)‖∞ ≤ 1, i = 1, An, s ∈ Yn;
2) ‖fni − fnj ‖∞ ≥ Cn, i 6= j, C > 0− деяка абсолютна стала;
3) An ≥ 2
|Dn|
2 .
В [20] зазначається, що умова 1) забезпечує належнiсть кожної
функцiї з набору {C1(r1) 2−r1 nfni }
An
i=1 до класу Hr
∞. Прийнявши до
уваги цю обставину, неважко переконатися, що кожна функцiя з на-
бору {C2(r1, θ) 2−r1 nn−
1
θ fni }
An
i=1 з вiдповiдною сталою C2(r1, θ) нале-
жить класу Br∞,θ.
Дiйсно, нехай для i ∈ [ 1, An ], i ∈ N,
gni (x) = C1(r1)2−r1 nfni (x).
Ентропiйнi числа i колмогоровськi поперечники . . . 249
Оскiльки gni ∈ Hr
∞, то (див. [10, с. 32]) ∀s ∈ Yn будемо мати:
‖As(gni )‖∞ � 2−r1 n. (22)
Тому, скориставшись (22), можемо записати:
‖gni ‖Br∞,θ �
( ∑
s∈Yn
2(s,r)θ‖As(gni )‖θ∞
) 1
θ
�
�
( ∑
s∈Yn
1
) 1
θ
� n 1
θ .
Звiдси слiдує, що кожна функцiя з набору {C2(r, θ) 2−r1 nn−
1
θ fni }
An
i=1
з вiдповiдною сталою C2(r, θ) належить класу Br∞,θ.
Таким чином, згiдно з (20) i наведеними вище для функцiй fni
властивостями 2), 3), приходимо до шуканої оцiнки знизу величини
εM (Br∞,θ, L∞):
εM (Br∞,θ, L∞)� 2−n r1 n−
1
θ+1 �M−r1(logM)r1+1− 1
θ .
Оцiнка знизу i разом з нею теорема доведенi.
Тепер, скориставшись оцiнкою (21), встановимо у двовимiрному
випадку порядок колмогоровського поперечника класiв Brp,θ у про-
сторi L∞.
Теорема 3. Нехай 2 ≤ p ≤ ∞, 2 ≤ θ < ∞ i r1 >
1
2 . Тодi при
d = 2 справедлива оцiнка
dM (Brp,θ, L∞) �M−r1(log M)r1+1− 1
θ . (23)
Доведення. Для доведення (23) скористаємося лемою Г. З одно-
го боку, згiдно з (21) маємо
εM (Brp,θ, L∞)�M−r1(log M)r1+1− 1
θ , (24)
а з iншого — справедлива оцiнка (див. [12, с. 247]):
dM (Brp,θ, L∞)�M−r1(log M)r1+1− 1
θ (25)
250 А.С. Романюк
Тому згiдно з лемою Г з (24) i (25) отримуємо (23).
Теорема доведена.
Зауваження 1. При p =∞ порядок поперечника dM (Br∞,θ, L∞)
реалiзується пiдпростором тригонометричних полiномiв з номера-
ми гармонiк зi схiдчастого гiперболiчного хреста (див. [12], теоре-
ма 1.6.4). Для iнших значень параметра 2 ≤ p < ∞ питання про
оптимальний пiдпростiр для dM (Brp,θ, L∞) залишається вiдкритим.
На завершення роботи наведемо результат, який стосується од-
новимiрного випадку.
Теорема 4. Нехай 2 ≤ p ≤ ∞, r1 > 1
2 i 1 ≤ θ ≤ ∞. Тодi при
d = 1 має мiсце оцiнка
εM (Br1p,θ, L∞) �M−r1 .
Доведення. Скориставшись оцiнками
dM (Br1p,θ, L∞)�M−r1
(див. [12, с. 255]), i
εM (Br1p,θ, L∞)�M−r1
(теорема 1 при d = 1) i застосувавши лему Г, отримуємо
εM (Br1p,θ, L∞) �M−r1 .
Теорема доведена.
Зауваження 2. Аналоги теорем 1-3 для класiв W r
p,α i Hr
p одер-
жано у роботах [15, 18, 20, 21], де можна ознайомитися з детальною
iсторiєю питання i вiдповiдними коментарями.
1. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоре-
мы вложения и продолжения // Докл. АН СССР. — 1959. — 126, № 6. —
С. 1163 – 1165.
2. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения. — М.: Наука, 1969. — 480 с.
3. Аманов Т. И. Теоремы представления и вложения для функциональных
пространств S(r)
p,θB(Rn) и S
(r)∗
p,θ B (0 ≤ xj ≤ 2π; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат.
ин-та АН СССР. — 1965. — 77. — С. 5 – 34.
Ентропiйнi числа i колмогоровськi поперечники . . . 251
4. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной
гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. — 1989. — 187. — С. 143 – 161.
5. Колмогоров А. Н., Тихомиров В. М. ε-энтропия и ε-емкость множеств в
функциональных пространствах // Успехи мат. наук. — 1959. — 14, № 2. —
С. 3 – 86.
6. Витушкин А. Г. Оценка сложности задачи табулирования. — М.: Физмат-
гиз, 1959. — 228 с.
7. Höllig K. Diameters of classes of smooth functions // Quantitative
approximation. N.Y.: Acad. Press. — 1980. — P. 163 – 176.
8. Романюк А. С. Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов
Никольского-Бесова периодических функций многих переменных // Тео-
рiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. — 2014. — 11, № 3. — С. 196–213.
9. Kolmogoroff A. Über die beste Annäherung von Functionen einer gegeben
Functionenclasse // Ann. Math. — 1936. — 37. — P. 107 – 111.
10. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной про-
изводной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1986. — 178. — С. 1 – 112.
11. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. — New York: Nova Sci.
Publ. Inc., 1993. — 419 p.
12. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодиче-
ских функций многих переменных // Працi Iн–ту математики НАН Украї-
ни. — 2012. — 93. — 352 с.
13. Романюк А. С. Приближение классов Brp,θ периодических функций мно-
гих переменных линейными методами и наилучшие приближения // Мат.
сб. — 2004. — 195, № 2. — С. 91 – 116.
14. Carl B. Entropy numbers, s-numbers, and eigenvalue problems // J. Funct.
Anal. — 1981. — 41. — P. 290 – 306.
15. Кашин Б. С., Темляков В. Н. Об оценке аппроксимативных характери-
стик классов функций с ограниченной смешанной производной // Мат.
заметки. — 1995. — 58, № 6. — С. 922 – 925.
16. Temlyakov V. N. An inequality for trigonometric polynomials and its
application for estimating the Kolmogorov widths // East J. Approx. —
1996. — 2, № 1. — P. 89 – 98.
17. Pajor A., Tomczak-Jaegermann N. Subspaces of small codimension of finite-
dimensional Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. — 1986. — 97, № 4. —
P. 637 – 642.
18. Belinskíı E. S. Estimates of Entropy Numbers and Gaussian Measures for
Classes of Functions with Bounded Mixed Derivative // J. of Approx.
Theory. — 1998. — 93. — P. 114 – 127.
252 А.С. Романюк
19. Харди Г., Литтлвуд И. Е., Пойа Дж. Неравенства. — М.: Изд-во иностр.
лит., 1948. — 456 с.
20. Temlyakov V. N. An inequality for trigonometric polynomials and its
application for estimating the entropy numbers // J. Complexity. — 1995. —
11. — P. 293 – 307.
21. Кашин Б. С., Темляков В. Н. О наилучших m-членных приближениях и
энтропии множеств в пространстве L1 // Матем. заметки. — 1994. — 56,
№ 5. — С. 57 – 86.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-298 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:13Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/11/6a800f2e5537f7562f6c1bb063262d11.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2982018-02-02T22:24:24Z Entropy numbers and Kolmogorov widths of Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_{\infty}$ Ентропійні числа і колмогоровські поперечники класів Нікольського-Бєсова періодичних функцій двох змінних у просторі $L_{\infty}$ Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. We establish the order estimates of entropy numbers and Kolmogorov widths of Nikol'skii-Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_{\infty}$. Встановлено порядкові оцінки ентропійних чисел і колмогоровських поперечників класів Нікольського-Бєсова періодичних функцій двох змінних у просторі $L_{\infty}$. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/298 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 235 - 252 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 235 - 252 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 235 - 252 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/298/331 |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Entropy numbers and Kolmogorov widths of Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_{\infty}$ |
| title | Entropy numbers and Kolmogorov widths of Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_{\infty}$ |
| title_alt | Ентропійні числа і колмогоровські поперечники класів Нікольського-Бєсова періодичних функцій двох змінних у просторі $L_{\infty}$ |
| title_full | Entropy numbers and Kolmogorov widths of Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_{\infty}$ |
| title_fullStr | Entropy numbers and Kolmogorov widths of Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_{\infty}$ |
| title_full_unstemmed | Entropy numbers and Kolmogorov widths of Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_{\infty}$ |
| title_short | Entropy numbers and Kolmogorov widths of Nikol’skii-Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_{\infty}$ |
| title_sort | entropy numbers and kolmogorov widths of nikol’skii-besov classes of periodic functions of two variables in the space $l_{\infty}$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/298 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas entropynumbersandkolmogorovwidthsofnikolskiibesovclassesofperiodicfunctionsoftwovariablesinthespacelinfty AT romanûkas entropynumbersandkolmogorovwidthsofnikolskiibesovclassesofperiodicfunctionsoftwovariablesinthespacelinfty AT romanyukas entropíjníčislaíkolmogorovsʹkípoperečnikiklasívníkolʹsʹkogobêsovaperíodičnihfunkcíjdvohzmínnihuprostorílinfty AT romanûkas entropíjníčislaíkolmogorovsʹkípoperečnikiklasívníkolʹsʹkogobêsovaperíodičnihfunkcíjdvohzmínnihuprostorílinfty |