A polynomial approximation of nonlinear algebraic equations of the mathematical physics
In the work on the basis of the ideas and results of V. K. Dzyadyk and V. L. Makarov high–exact numerical–analytical algorithms for solving algebraically–nonlinear equations of mathematical physics are constructed and theoretical grounded. Two mutually complemented algorithm (approximating without t...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/30 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552554666131456 |
|---|---|
| author | Bilenko, V. I. Bojonok, К. V. Dzyadyk, S. Yu. Stelya, О. B. Биленко, В. И. Божонок, К. В. Дзядык, С. Ю. Стеля, О. Б. Бiленко, В. I. Божонок, К. В. Дзядик, С. Ю. Стеля, О. Б. |
| author_facet | Bilenko, V. I. Bojonok, К. V. Dzyadyk, S. Yu. Stelya, О. B. Биленко, В. И. Божонок, К. В. Дзядык, С. Ю. Стеля, О. Б. Бiленко, В. I. Божонок, К. В. Дзядик, С. Ю. Стеля, О. Б. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. I. Бiленко",
"institution": "Нацiональний педагогiчний унiверситет iм. М.П. Драгоманова"
},
{
"author": "К. В. Божонок",
"institution": "Нацiональний педагогiчний унiверситет iм. М.П. Драгоманова"
},
{
"author": "С. Ю. Дзядик",
"institution": "Державний унiверситет телекомунiкацiй"
},
{
"author": "О. Б. Стеля",
"institution": "Київський національний університет імені Тараса Шевченка"
}
] |
| author_sort | Bilenko, V. I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | In the work on the basis of the ideas and results of V. K. Dzyadyk and V. L. Makarov high–exact numerical–analytical algorithms for solving algebraically–nonlinear equations of mathematical physics are constructed and theoretical grounded. Two mutually complemented algorithm (approximating without the satiation of exactness and spline–algorithm) for solving such equations are proposed. Using parabolic spline allowed to construct a monotone difference scheme for the equation of convection–diffusion. The results of computational experiments in the event of significant advantages over convection diffusion are considered. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 11–30
УДК 519.622;517.5
Наближення полiномами розв’язкiв
алгебраїчно–нелiнiйних рiвнянь
математичної фiзики
В. I. Бiленко 1, К. В. Божонок 1, С. Ю. Дзядик 2,
О. Б. Стеля 3
1 Нацiональний педагогiчний унiверситет iм. М.П. Драгоманова,
м. Київ, Україна, katboz2014@gmail.com;
2 Державний унiверситет телекомунiкацiй, м. Київ, Україна;
3 Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка,
м. Київ, Україна, oleg.stelya@gmail.com
In the work on the basis of the ideas and results of V. K. Dzyadyk
and V. L. Makarov high–exact numerical–analytical algorithms for solving
algebraically–nonlinear equations of mathematical physics are constructed
and theoretical grounded. Two mutually complemented algorithm (ap-
proximating without the satiation of exactness and spline–algorithm) for
solving such equations are proposed. Using parabolic spline allowed to
construct a monotone difference scheme for the equation of convection–
diffusion. The results of computational experiments in the event of signif-
icant advantages over convection diffusion are considered.
В работе на основе синтеза идей и результатов В. К. Дзядыка
и В. Л. Макарова конструируются и теоретически обосновывают-
ся высокоточные численно–аналитические алгоритмы для решения
алгебраично–нелинейных уравнений математической физики. Предло-
жено два взаимно дополняемых алгоритма (аппроксимационный без
насыщения точности и сплайн–алгоритм) решения таких уравнений.
Использование параболического сплайна позволило построить моно-
тонную разностную схему для уравнений типа конвекция–диффузия.
Приведены результаты вычислительного эксперимента в случае зна-
чительного преимущества конвекции над диффузией.
c○ Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б., 2016
12 Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
1 Iнтегро–апроксимацiйний алгоритм
1.1 Вступ
Актуальнiсть подальшого розвитку та застосування апроксимацiйно-
го методу В. К. Дзядика [1], [2] обумовлена зростаючими вимогами
при розв’язуваннi сучасних задач математичного та комп’ютерного
моделювання до трьох основних характеристик обчислювальних ал-
горитмiв: точностi, швидкодiї та iнформацiйної складностi [2], [3], [4],
[5], [6], [7], [8]. При розв’язуваннi подiбних задач, як правило, вико-
ристовуються потужнi рiзницевi методи, методи скiнчених елементiв,
сплайн–функцiї, iнтегро–iнтерполяцiйнi методи та iншi [6], [9], [10],
[11]. Цi методи мають основний недолiк — явище насичення [8] (вiдо-
ма проблема Фавара–Колмогорова у теорiї наближення функцiй та
явища насичення у чисельному аналiзi), наслiдком якого може бути
«вибух» похибок [6], [12].
Зазначимо, що питання пiдвищення точностi алгоритмiв обумов-
лено також вимогами до надiйностi математичного та комп’ютерного
моделювання екстремальних динамiчних процесiв, систем i техноло-
гiй, пов’язаних з ризиком для життя людей [12], [13], [14], [15].
Академiком В. Л. Макаровим у [3] були визначенi наступнi цi-
лi при побудовi високоточних алгоритмiв розв’язування операторних
рiвнянь:
1) конструювання алгоритмiв без насичення точностi;
2) конструювання експоненцiально збiжних алгоритмiв для аналi-
тичних розв’язкiв зi складнiстю, яка полiномiальна за log 𝜀−1 .
При цьому в роботi [3] запропоновано використовувати перетво-
рення Келi оператора 𝐴:
𝑇𝛾 = (𝛾𝐼 +𝐴)(𝛾𝐼 −𝐴)−1,
де 𝐼 — тотожний оператор i 𝛾 — довiльне комплексне число, та розро-
блено функцiонально–дискретний метод розв’язування операторних
рiвнянь [16], [17], [18], [19].
Метою роботи є конструювання та теоретичне обґрунтування ви-
сокоточних чисельно–аналiтичних, без насичення точностi та опти-
мальних в сенсi найкращого полiномiального наближення в рiвномiр-
нiй та квадратичнiй метриках алгоритмiв для розв’язання алгебраїчно–
нелiнiйних рiвнянь математичної фiзики [20], [21].
Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно–нелiнiйних . . . 13
1.2 Постановка задачi
Нехай 𝑋 — банахiв простiр векторнозначних функцiй 𝑢, 𝐴 — ал-
гебраїчно–нелiнiйний диференцiальний оператор, що дiє в 𝑋, 𝑓 —
кусково-полiномiальна функцiя вiдповiдного числа змiнних. Розгля-
немо питання щодо застосування апроксимацiйного методу В. К. Дзя-
дика (𝑎–методу) (див. [2]) до операторного рiвняння [22]:
𝑢 = 𝐴𝑢+ 𝑓 (1)
в областi Π = [0, 𝐻]× [0,Θ], 𝐻, Θ > 0.
Щодо цього методу В. К. Дзядик [2] зазначав, що «головна iдея
в процесi розробки та розвитку 𝑎–методу полягає у побудовi такого
наближеного розв’язку, який би як можна точнiше задовольняв би
апроксимацiйну теорему Чебишева П .Л. про характеризацiю много-
члена найкращого наближення (чебишевський альтернанс). Саме то-
му цей метод отримав назву "апроксимацiйний". Для нього отриманi
не тiльки апостерiорнi оцiнки похибки, але також i апрiорнi оцiнки
(шляхом їх порiвняння ∀𝑛 ∈ ℕ з величинами найкращих наближень
шуканого розв’язку за допомогою многочлена степеня не вище 𝑛)» .
1.3 Алгоритм
Запропонований алгоритм, який узагальнює алгоритми, що були
побудованi у попереднiх роботах авторiв [23], [24], [25], [26], полягає
у реалiзацiї наступної схеми:
1. Задачу (1) запишемо в еквiвалентнiй iнтегро–функцiональнiй
формi [2], [5], [6], [21]:
ℒ𝑢 = 𝐹 (𝑥, 𝑡, 𝑢), (2)
де ℒ𝑢 — алгебраїчно–нелiнiйний iнтегральний оператор, 𝐹 (𝑥, 𝑡, 𝑢) —
алгебраїчна функцiя трьох змiнних, що знаходиться у результатi еквi-
валентного переходу, виду
𝐹 (𝑥, 𝑡, 𝑢) =
𝐼∑︁
𝑖=0
𝐽∑︁
𝑗=0
𝐾∑︁
𝑘=0
𝐴𝑖𝑗𝑘𝑥
𝑖𝑡𝑗𝑢𝑘, (3)
𝐴𝑖𝑗𝑘 — вiдомi коефiцiєнти.
2. Наближений розв’язок iнтегро–функцiонального рiвняння (2)
шукаємо у виглядi полiномiв
𝑢𝑚𝑛(𝑥, 𝑡) =
𝑚∑︁
𝑖=0
𝑛∑︁
𝑗=0
𝑐𝑖𝑗𝜔𝑖(𝑥) · 𝜔𝑗(𝑡), (4)
14 Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
де {𝜔𝑘( · )}∞𝑘=0 — класичнi ортогональнi многочлени (Лежандра, Че-
бишева–Ермiта,Чебишева–Лагерра та узагальненi многочлени Яко-
бi).
3. Iнтегро–функцiональне рiвняння (2) замiнюємо операторним
рiвнянням
ℒ𝑢𝑚𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝐹 (𝑥, 𝑡, 𝑢𝑚𝑛(𝑥, 𝑡)) + 𝜀𝑚𝑛(𝑥, 𝑡) (5)
вiдносно полiномiального розв’язку (4) з невiдомою нев’язкою
𝜀𝑚𝑛(𝑥, 𝑡) =
𝑚∑︁
𝑖=0
𝑛∑︁
𝑗=0
𝛿𝑖𝑗𝜏𝑖𝑗𝜔𝑖(𝑥)𝜔𝑗(𝑡), (6)
де 𝛿00 = 1
4 , 𝛿0𝑗 = 𝛿𝑖0 = 1
2 , якщо 𝑖 ≥ 1 i 𝑗 ≥ 1, та 𝛿𝑖𝑗 = 1, якщо 𝑖𝑗 > 0.
4. Конструюємо iтерацiйний процес, який враховує особливостi ал-
гебраїчних нелiнiйностей [27] для знаходження розв’язку рiвняння(5)
ℒ𝑢𝜈+1
𝑚𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐹 (𝑥, 𝑡, 𝑢𝜈𝑚𝑛(𝑥, 𝑡)) + 𝜀𝜈𝑚𝑛(𝑥, 𝑡). (7)
5. Пiсля виконання операцiй множення та iнтегрування в (5) на ко-
жному кроцi iтерацiї 𝜈, прирiвнюємо коефiцiєнти при однакових чле-
нах 𝑥𝑖𝑡𝑗 i в отриманiй таким чином системi нелiнiйних алгебраїчних
рiвнянь визначаємо усi невiдомi коефiцiєнти 𝑐𝑖𝑗 через 𝜏𝑖𝑗 , 𝑖 = 0,𝑚 ,
𝑗 = 0, 𝑛 .
Далi для конкретних диференцiальних рiвнянь ми розглянемо ко-
жний iз цих пунктiв алгоритму бiльш детально.
1.4 Похибка алгоритму
Оцiнку похибки алгоритму дослiдимо для випадку, коли функцiї
𝜔𝑖 та 𝜔𝑗 у формулах (4), (6) — це многочлени Чебишева першого роду
𝑇𝑘(·) = cos(𝑘 arccos(·)), 𝑘 = 0, 1, 2, ..., змiщенi, вiдповiдно, на сегменти
[0, 𝐻] i [0,Θ]: 𝑇𝑖 (2𝑥/𝐻 − 1) та 𝑇𝑗 (2𝑡/Θ− 1).
Через 𝐶[𝜋] та 𝐿2
𝑔[𝜋] будемо позначати, вiдповiдно, простори непе-
рервних та сумовних з квадратом функцiй при чебишевськiй вазi
𝑔 (, 𝜃) := 1/
√︃
1−
(︂
2𝑥
− 1
)︂2
√︃
1−
(︂
2𝑡
𝜃
− 1
)︂2
(8)
на прямокутнику 𝜋 = [0, ]× [0, 𝜃] з загальновiдомими нормами
‖ · ‖𝐿2
𝑔[𝜋]
, ‖ · ‖𝐶[𝜋] .
На основi результатiв [23] – [26] має мiсце наступна теорема:
Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно–нелiнiйних . . . 15
Теорема 1.1. (апрiорна оцiнка). Нехай при деяких ∈ (0, 𝐻],
𝜃 ∈ (0,Θ] i деяких 𝑚,𝑛 = 1, 2, 3, ... в кулi
𝜎(𝜌) :=
{︁
𝜓 ∈ 𝐶[𝜋] : ‖𝜓‖𝐶[𝜋] ≤ 𝜌
}︁
iснує єдиний розв’язок 𝑢(𝑥, 𝑡) задачi (1) i єдиний розв’язок (4) опера-
торного рiвняння (5) на 𝜋. Тодi при вказаних 𝑚 i 𝑛 на 𝜋 справедлива
рiвнiсть:
lim
𝑚,𝑛→∞
‖𝑢(𝑥, 𝑡)− 𝑢𝑚𝑛(𝑥, 𝑡)‖𝑋
𝐸𝜃𝑚,𝑛(𝑢)𝑋
= 1, (9)
де 𝑋 = 𝐶[𝜋] або 𝑋 = 𝐿2
𝑔[𝜋] з вагою (8), 𝐸𝜃𝑚,𝑛(𝑢)𝑋 — найкраще на-
ближення функцiї 𝑢(𝑥, 𝑡) алгебраїчними полiномами двох змiнних
степеня, не вище нiж 𝑚 i 𝑛, вiдповiдно.
Теорема 1.2. (апостерiорна оцiнка). В умовах теореми 1.1 спра-
ведлива оцiнка:
‖𝑢(𝑥, 𝑡)− 𝑢𝑚𝑛(𝑥, 𝑡)‖𝑋 ≤ 𝐾
𝑚∑︀
𝑖=0
𝑛∑︀
𝑗=0
𝛿𝑖𝑗 |𝜏𝑖𝑗 |, де 𝐾 = 𝐾(, 𝜃) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Зауваження 1.1. 1) Зазначимо, що апрiорна рiвнiсть (9) вказує на
те, що запропонований алгоритм буде без насичення точностi.
2) Отримана апостерiорна оцiнка зручна при вiдомих 𝜏𝑖𝑗 для кон-
тролю за точнiстю комп’ютерно–реалiзованого алгоритму.
Доведення теорем 1.1 та 1.2 виконуються за схемами доведень вiд-
повiдних теорем, запропонованих у роботах [2], [24].
1.5 Застосування 𝑎–методу для алгебраїчно–нелiнiйних рiв-
нянь гiперболiчного типу
1.5.1 Постановка задачi Гурса. Розглянемо на прямокутнику
Π := [0, 𝐻1]× [0, 𝐻2], 𝐻𝑖 > 0, алгебраїчно–нелiнiйне рiвняння гiпербо-
лiчного типу виду
𝑎0(𝑥, 𝑦)𝑢𝑥𝑦 + 𝑎1(𝑥, 𝑦)𝑢𝑥 + 𝑎2(𝑥, 𝑦)𝑢𝑦 + 𝑎3(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑢), (10)
в якому всi коефiцiєнти 𝑎𝑖(𝑥, 𝑦) — многочлени за 𝑥, 𝑦 i при цьому
𝑎0(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑐 > 0 ∀(𝑥, 𝑦) ∈ Π, де 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; вiльний член 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑢) є ква-
дратичним многочленом вiдносно невiдомої функцiї 𝑢:
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑢) = 𝑎(𝑥, 𝑦) + 𝑏(𝑥, 𝑦)𝑢+ 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢2. (11)
16 Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Задача Гурса у розглянутому нами випадку полягає у тому, щоб
знайти на прямокутнику Π такий двiчi неперервно диференцiйов-
ний розв’язок 𝑢(𝑥, 𝑦) рiвняння (10), який на вiдрiзках характеристик
𝑦 = 0 та 𝑥 = 0 цього рiвняння, що мiстяться в Π, задовольняє умови
𝑢(𝑥, 0) = 𝑝1(𝑥), 𝑢(0, 𝑦) = 𝑝2(𝑦), (12)
де 𝑝𝑖 — наперед заданi многочлени, що приймають у точцi перетину
характеристик рiвнi значення: 𝑝1(0) = 𝑝2(0).
Вiзьмемо довiльну точку (𝑥, 𝑦) ∈ Π. Iнтегруючи рiвняння (10) по
прямокутнику [0, 𝑥]× [0, 𝑦] з урахуванням умов (12), отримаємо для
визначення розв’язку 𝑢(𝑥, 𝑦) наступне iнтегральне рiвняння, еквiва-
лентне задачi Гурса (10), (12):
𝑎0(𝑥, 𝑦)𝑢(𝑥, 𝑦) =
𝑥∫︁
0
𝑃 (𝑠, 𝑦)𝑢(𝑠, 𝑦)𝑑𝑠+
𝑦∫︁
0
𝑄(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡+
+
𝑥∫︁
0
𝑦∫︁
0
𝑅(𝑠, 𝑡)𝑢(𝑠, 𝑡)𝑑𝑠𝑑𝑡+ 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢), (13)
де 𝑃 , 𝑄, 𝑅 i 𝐹 — многочлени, що визначаються формулами
𝑃 (𝑥, 𝑦) = [𝑎0(𝑥, 𝑦)]𝑥 − 𝑎2(𝑥, 𝑦), 𝑄(𝑥, 𝑦) = [𝑎0(𝑥, 𝑦)]𝑦 − 𝑎1(𝑥, 𝑦),
𝑅(𝑥, 𝑦) = [𝑎1(𝑥, 𝑦)]𝑥 + [𝑎2(𝑥, 𝑦)]𝑦 − [𝑎0(𝑥, 𝑦)]𝑥𝑦 − 𝑎3(𝑥, 𝑦),
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢) = 𝑎0(𝑥, 0)𝑝1(𝑥)−
𝑥∫︁
0
𝑃 (𝑠, 0)𝑝1(𝑠)𝑑𝑠+ 𝑎0(0, 𝑦)𝑝2(𝑦)− (14)
−
𝑦∫︁
0
𝑄(0, 𝑡)𝑝2(𝑡)𝑑𝑡− 𝑎0(0, 0)𝑝1(0) +
𝑥∫︁
0
𝑦∫︁
0
𝑓(𝑠, 𝑡, 𝑢)𝑑𝑠𝑑𝑡.
Нам будуть потрiбнi натуральнi числа, що виражають собою про-
стi функцiї вiд степенiв за змiнними 𝑥 i 𝑦 коефiцiєнтiв рiвняння (10)
i граничних умов (12).
Позначимо степенi за змiнною 𝑥:
у многочленiв 𝑎𝑗(𝑥, 𝑦) — 𝛼𝑗𝑥, 𝑗 = 0, 1, 2, 3;
у многочлена 𝑝(𝑥, 𝑦) — 𝜌𝑥.
Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно–нелiнiйних . . . 17
Вiдповiднi степенi цих многочленiв за змiнною 𝑦 позначимо 𝛼𝑗𝑦 i
𝜌𝑦, а степенi многочленiв 𝑝1(𝑥) i 𝑝2(𝑦) — 𝜌1𝑥 i 𝜌2𝑦. Пiсля цього введемо
натуральнi числа:
𝑙1 = max{𝛼0𝑥, 𝛼1𝑥, 𝛼2𝑥 + 1, 𝛼3𝑥 + 1},
𝑙2 = max{𝛼0𝑦, 𝛼1𝑦 + 1, 𝛼2𝑦, 𝛼3𝑦 + 1}, (15)
𝑚1 = max{𝛼0𝑥 + 𝜌1𝑥, 𝛼2𝑥 + 𝜌1𝑥 + 1, 𝜌𝑥 + 1},
𝑚2 = max{𝛼0𝑦 + 𝜌2𝑦, 𝛼1𝑦 + 𝜌2𝑦 + 1, 𝜌𝑦 + 1}. (16)
1.5.2. Для довiльних
𝑚 ≥ max{0,𝑚1 − 𝑙1} i 𝑛 ≥ max{0,𝑚2 − 𝑙2} (17)
будемо шукати наближений розв’язок задачi (10), (12) на двовимiр-
ному сегментi Π або на деякому його пiдсегментi [0, 1] × [0, 2], де
𝑖 ≤ 𝐻𝑖, у виглядi многочлена з невизначеними коефiцiєнтами виду
𝑢𝑚𝑛(𝑥, 𝑦) =
𝑚∑︁
𝑖=0
𝑛∑︁
𝑗=0
𝑐𝑖𝑗𝑥
𝑖𝑦𝑗 , (18)
який задовольняє операторне рiвняння
𝑎0(𝑥, 𝑦)𝑢𝑚𝑛(𝑥, 𝑦) =
𝑥∫︁
0
𝑃 (𝑠, 𝑦)𝑢𝑚𝑛(𝑠, 𝑦)𝑑𝑠+
𝑦∫︁
0
𝑄(𝑥, 𝑡)𝑢𝑚𝑛(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡+
+
𝑥∫︁
0
𝑦∫︁
0
𝑅(𝑠, 𝑡)𝑢𝑚𝑛(𝑠, 𝑡)𝑑𝑠𝑑𝑡+ 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢𝑚𝑛)− 𝜀𝑚𝑛(𝑥, 𝑦). (19)
В цьому рiвняннi 𝜀𝑚𝑛(𝑥, 𝑦) визначається за формулою
𝜀𝑚𝑛(𝑥, 𝑦) =
∑︁
(𝑘,𝑙)∈Γ
𝛿𝑘𝑙𝜏𝑘𝑙𝑇
*
𝑘
(︂
𝑥
1
)︂
𝑇 *
𝑙
(︂
𝑦
2
)︂
, (20)
де:
1) 𝛿00 = 1/4, 𝛿0𝑙 = 𝛿𝑘0 = 1/2, якщо 𝑘 ≥ 1 i 𝑙 ≥ 1, та 𝛿𝑘𝑙 = 1, якщо
𝑘𝑙 > 0;
2) 𝑇 *
𝑗 (𝑠) := 𝑇𝑗(2𝑠− 1) — змiщенi на [0, 1] многочлени Чебишева, а
𝑇 *
𝑘 (𝑥/1) та 𝑇 *
𝑗 (𝑦/2) – змiщенi многочлени Чебишева, «пересадженi»
вiдповiдно на сегменти [0, 1] i [0, 2];
18 Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
3) через Γ(𝑚,𝑛, 𝑙1, 𝑙2) позначена у координатнiй площинi 𝑋𝑂𝑌 фi-
гура, яка є рiзницею двох прямокутникiв:
Γ = [0,𝑚+ 𝑙1]× [0, 𝑛+ 𝑙2] ∖ [0,𝑚]× [0, 𝑛];
Γ = {(𝑚+ 1, 0), ..., (𝑚+ 𝑙1, 0), ..., (𝑚+ 1, 𝑛), ..., (𝑚+ 𝑙1, 𝑛), (0, 𝑛+ 1), ...
..., (𝑚+ 𝑙1, 𝑛+ 1), ..., (0, 𝑛+ 𝑙2)..., (𝑚+ 𝑙1, 𝑛+ 𝑙2)};
4) 𝜏𝑘𝑙 — невiдомi коефiцiєнти.
1.5.3 Iтерацiйнi схеми. Проiлюструємо використання iтерацiй-
ного процесу у випадку квадратичної нелiнiйностi за розв’язком, тоб-
то коли функцiя 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑢) має вигляд (11).
Аналогiчно до побудови вiдповiдних iтерацiйних схем у роботi [24]
запишемо схему з лiнiйною швидкiстю збiжностi iтерацiй:
𝑎0(𝑥, 𝑦)𝑢
𝜈+1
𝑚𝑛 (𝑥, 𝑦) =
𝑥∫︁
0
𝑃 (𝑠, 𝑦)𝑢𝜈𝑚𝑛(𝑠, 𝑦)𝑑𝑠+
𝑦∫︁
0
𝑄(𝑥, 𝑡)𝑢𝜈𝑚𝑛(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡+
+
𝑥∫︁
0
𝑦∫︁
0
𝑅(𝑠, 𝑡)𝑢𝜈𝑚𝑛(𝑠, 𝑡)𝑑𝑠𝑑𝑡+ 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢𝜈𝑚𝑛)− 𝜀𝜈𝑚𝑛(𝑥, 𝑦), (21)
де 𝑃 , 𝑄, 𝑅 i 𝐹 — многочлени, що визначаються формулами
𝑃 (𝑥, 𝑦) = [𝑎0(𝑥, 𝑦)]𝑥 − 𝑎2(𝑥, 𝑦), 𝑄(𝑥, 𝑦) = [𝑎0(𝑥, 𝑦)]𝑦 − 𝑎1(𝑥, 𝑦),
𝑅(𝑥, 𝑦) = [𝑎1(𝑥, 𝑦)]𝑥 + [𝑎2(𝑥, 𝑦)]𝑦 − [𝑎0(𝑥, 𝑦)]𝑥𝑦 − 𝑎3(𝑥, 𝑦),
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧𝑛) = 𝑎0(𝑥, 0)𝑝1(𝑥)−
𝑥∫︁
0
𝑃 (𝑠, 0)𝑝1(𝑠)𝑑𝑠+ 𝑎0(0, 𝑦)𝑝2(𝑦)−
−
𝑦∫︁
0
𝑄(0, 𝑡)𝑝2(𝑡)𝑑𝑡− 𝑎0(0, 0)𝑝1(0) +
𝑥∫︁
0
𝑦∫︁
0
𝑓(𝑠, 𝑡, 𝑢𝜈𝑚𝑛)𝑑𝑠𝑑𝑡.
Аналогiчно можна побудувати схему з квадратичною швидкiстю
збiжностi iтерацiй.
Тут через 𝑢𝜈𝑚𝑛(𝑥, 𝑦) i 𝜀𝜈𝑚𝑛(𝑥, 𝑦) позначенo вiдповiдний многочлен
виду (18) i нев’язку виду (20) на 𝜈–му кроцi iтерацiй.
Зауваження 1.2. Апрiорну та апостерiорну оцiнки похибок алго-
ритму для задачi Гурса (10), (12) можна одержати користуючись
теоремами 1.1, 1.2.
Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно–нелiнiйних . . . 19
1.6 Задача Дирихле для алгебраїчно–нелiнiйних рiвнянь елi-
птичного типу на прямокутнику
1.6.1 Апроксимацiйний метод для задачi Дирихле у випад-
ку однiєї з найпростiших її постановок [2]. Розглянемо задачу
Дирихле
𝐿𝑢 ≡ −
2∑︁
𝑖,𝑗=1
𝜕
𝜕𝑥𝑖
𝑎𝑖𝑗
𝜕𝑢
𝜕𝑥𝑗
+ 𝑎(𝑥)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑢), (22)
𝑢 = 0 на 𝜕Π, (23)
в якiй 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2) ∈ Π, Π = (0, 1)× (0, 2), 1 > 0, 2 > 0.
Будемо вважати, що виконана умова рiвномiрної елiптичностi
𝑀0(𝜉
2
1 + 𝜉22) ≤
2∑︁
𝑖,𝑗=1
𝑎𝑖𝑗(𝑥)𝜉𝑖𝜉𝑗 ≤𝑀1(𝜉
2
1 + 𝜉22),
де 𝑀0, 𝑀1 — додатнi сталi, i, крiм того, виконанi умови виду
0 < 𝑀2 ≤ 𝑎(𝑥) ≤𝑀3, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖, 𝑀2, 𝑀3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Для простоти припустимо, що в рiвняннi (22) 𝑎𝑖𝑗 , 𝑎 — многочлени
вiдповiдного числа змiнних; 𝑓(𝑥, 𝑢) — з квадратичною нелiнiйнiстю
за розв’язком виду (11).
Вiдомо, що для заданої задачi iснує єдиний аналiтичний в Π, не-
перервний на Π розв’язок 𝑢.
1.6.2 Зведення до еквiвалентного iнтегрального рiвняння
[2]. Припустимо, що 𝑢 — розв’язок задачi Дирихле. Замiсть того, щоб
шукати невiдомий розв’язок 𝑢(𝑥) задачi Дирихле, будемо спочатку
шукати його другу частинну похiдну
𝜕2𝑢
𝜕𝑥1𝜕𝑥2
= ̃︀𝑢⇒ 𝑢 =
𝑥1∫︁
0
𝑑𝑠1
𝑥2∫︁
0
̃︀𝑢(𝑠1, 𝑠2)𝑑𝑠2.
При цьому задача Дирихле (22), (23) еквiвалентна наступнiй задачi
для iнтегрального рiвняння:
ℒ𝑢 ≡ −
2∑︁
𝑖,𝑗=1
[︁ 𝑥𝑖′∫︁
0
𝑎𝑖𝑗(𝑠)𝑑𝑠𝑖′
(︁ 𝑠𝑗′∫︁
0
̃︀𝑢(𝑠′)𝑑𝑠′𝑗′ ⃒⃒⃒
𝑠′
𝑗′=𝑠𝑗
)︁]︁⃒⃒⃒𝑠𝑖=𝑥𝑖
𝑠𝑖=0
+
20 Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
𝑥1∫︁
0
𝑑𝑠1
𝑥2∫︁
0
𝑎(𝑠)𝑑𝑠2
𝑠1∫︁
0
𝑑𝑠1
𝑠2∫︁
0
̃︀𝑢(𝑠′)𝑑𝑠′2 =
𝑥1∫︁
0
𝑑𝑠1
𝑥2∫︁
0
𝑓(𝑠, 𝑢)𝑑𝑠′2 =: 𝐹, (24)
1∫︁
0
̃︀𝑢(𝑥)𝑑𝑥1 = 0,
2∫︁
0
̃︀𝑢(𝑥)𝑑𝑥2 = 0, (25)
де ̃︀𝑢 = ̃︀𝑢(𝑥), 𝑠 = (𝑠1, 𝑠2), 𝑠′ = (𝑠1, 𝑠
′
2), 𝑖′ = 3− 𝑖, 𝑗′ = 3− 𝑗.
1.6.3 Апроксимацiйнi многочлени. Розв’язок задачi (24), (25)
шукаємо у виглядi многочлена
̃︀𝑢𝑛 = ̃︀𝑢𝑛(𝑥) = 𝑛1,𝑛2∑︁
𝑖,𝑗=0
𝑐𝑖𝑗𝑥
𝑖
1𝑥
𝑗
2, 𝑛 = (𝑛1, 𝑛2), (26)
що задовольняє умови (24), де 𝑐𝑖𝑗 — деякi дiйснi числа.
Припустимо, що пiсля пiдстановки многочлена (26) i формального
виконання обчислень отримаємо многочлен 𝐿̃︀𝑢𝑛, степень якого за 𝑥1
не перевищує 𝑛1 + 𝑙1, а за 𝑥2 — 𝑛2 + 𝑙2.
Нев’язку задачi (24), (25) шукаємо у виглядi
̃︀𝜀𝑛,𝑙(𝑥) = 𝑛1+𝑙1,𝑛2+𝑙2∑︁
𝑖,𝑗=0
𝜏𝑖𝑗𝑃𝑖(𝑥1)𝑃𝑗(𝑥2), (27)
де 𝑃𝑖(𝑥1), 𝑃𝑗(𝑥2) — многочлени Лежандра, змiщенi вiдповiдно на вiд-
рiзки [0, 1] i [0, 2], штрих над знаком суми вказує на те, що 𝜏𝑖𝑗 = 0,
якщо 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛1 i 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛2. Введемо тепер наступнi важливi озна-
чення [2].
Означення 1.1. 𝑎–Многочленом задачi (24), (25) назвемо такий
многочлен ̃︀𝑢𝑛(𝑥) виду (26), для якого має мiсце рiвнiсть
1∫︁
0
̃︀𝑢𝑛(𝑥)𝑑𝑥1 = 0,
2∫︁
0
̃︀𝑢𝑛(𝑥)𝑑𝑥2 = 0, (28)
i iснує така нев’язка ̃︀𝜀𝑛,𝑙(𝑥) виду (27), при якiй виконується рiв-
нiсть
ℒ̃︀𝑢𝑛 = 𝐹 − ̃︀𝜀𝑛,𝑙, (29)
що розумiється у сенсi рiвностi функцiй. Доведено, що ∀𝑛 = (𝑛1, 𝑛2),
де 𝑛1, 𝑛2 ∈ ℕ iснує єдиний 𝑎–многочлен ̃︀𝑢𝑛(𝑥) i вiдповiдна йому не-
в’язка ̃︀𝜀𝑛,𝑙(𝑥).
Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно–нелiнiйних . . . 21
Означення 1.2. 𝑎–Многочленом задачi (22), (23) назвемо многочлен
𝑢𝑛+1(𝑥) =
𝑥1∫︁
0
𝑑𝑠1
𝑥2∫︁
0
̃︀𝑢𝑛(𝑠)𝑑𝑠2 = 0, (30)
де ̃︀𝑢𝑛 — 𝑎–многочлен задачi (24), (25).
Вiдмiтимо, що згiдно з (28) 𝑎–многочлени 𝑢𝑛+1 задачi Дирихле
задовольняють крайову умову (23).
1.6.4 Порядок збiжностi 𝑎–многочленiв. Порядок збiжностi
𝑎–многочленiв характеризується наступною теоремою.
Теорема 1.3. Якщо розв’язок 𝑢 задачi Дирихле (22), (23) володiє
дробними похiдними порядкiв 𝛼 i 𝛽 вiдповiдно за 𝑥1 i 𝑥2 у сенсi
Рiмана–Лiувiлля, то для вiдхилення 𝑎–многочленiв 𝑢𝑛+1 вiд вiдпо-
вiдного точного розв’язку 𝑢 на кожному кроцi 𝜈 iтерацiйного про-
цесу має мiсце наступна оцiнка:
‖𝑢− 𝑢𝜈𝑛+1‖𝐶(Π) ≤ 𝐶2
√︁
(𝑛−𝛼+1
1 + 𝑛−𝛽+1
2 )(𝑛−𝛼+2
1 + 𝑛−𝛽+2
2 ) + 𝜎𝜈()
при 𝛼 > 2, 𝛽 > 2, де
𝜎𝜈() = ‖𝑓‖𝐶(Π) ·
[2(4 + )]𝜈
𝜈!
exp[2(4 + )], = max(1, 2). (31)
1.7 Наближений розв’язок початкової задачi для алгебра-
їчно–нелiнiйних рiвнянь параболiчного типу на прямо-
кутнику
Вiдмiтимо, що 𝑎–метод може застосовуватися також при розв’я-
заннi параболiчних рiвнянь. Наприклад, таким чином можна розв’я-
зати першу початково–крайову задачу в областi Π = (0, 𝐻)× (0,Θ),
𝐻,Θ > 0:
𝐿𝑢 ≡ 𝜕𝑢
𝜕𝑡
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= 𝑓(𝑥, 𝑡, 𝑢), (32)
з початковою умовою 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥) i крайовими умовами 𝑢(0, 𝑡) =
𝜇1(𝑡), 𝑢(𝐻, 𝑡) = 𝜇2(𝑡); де 𝑓(𝑥, 𝑡, 𝑢) — з квадратичною нелiнiйнiстю за
розв’язком виду (11).
Застосувавши 𝑎–метод, замiнимо задачу еквiвалентним їй iнтегро–
функцiональним рiвнянням. Наближений розв’язок цього рiвняння
22 Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
шукаємо у виглядi
𝑢𝑚𝑛(𝑥, 𝑡) =
𝑚∑︁
𝑖=0
𝑛∑︁
𝑗=0
𝑐𝑖𝑗𝑥
𝑖𝑡𝑗 . (33)
Далi приходимо до спiввiдношення, аналогiчного (5).
У вiдповiдностi до загальної схеми та мiркувань з пункту 1.5 бу-
дуємо вiдповiдну iтерацiйну схему. На основi результатiв [23]– [26]
доведена наступна теорема:
Теорема 1.4. Нехай при деяких ∈ (0, 𝐻], 𝜃 ∈ (0,Θ] i деяких 𝑚,𝑛 =
1, 2, 3, ... в кулi
𝜎(𝜌) :=
{︁
𝜓 ∈ 𝐶[𝜋] : ‖𝜓‖𝐶[𝜋] ≤ 𝜌
}︁
на кожному кроцi 𝜈 iтерацiйного процесу iснує єдиний розв’язок
𝑢(𝑥, 𝑡) задачi (32) i єдиний розв’язок (33) операторного рiвняння (5)
на 𝜋. Тодi при вказаних 𝑚 i 𝑛 на 𝜋 справедливi оцiнки:
a) ‖𝑢(𝑥, 𝑡)− 𝑢𝜈𝑚𝑛(𝑥, 𝑡)‖𝑋 ≤ 𝐶1
𝑚∑︀
𝑖=0
𝑛∑︀
𝑗=0
𝛿𝑖𝑗
⃒⃒
𝜏𝜈𝑖𝑗
⃒⃒
+𝐾1𝜎𝜈();
b) ‖𝑢(𝑥, 𝑡)− 𝑢𝜈𝑚𝑛(𝑥, 𝑡)‖𝑋 ≤ 𝐶2𝐸
𝜃
𝑚,𝑛(𝑢)𝑋 +𝐾2𝜎𝜈(),
де 𝑋 = 𝐶[𝜋] або 𝑋 = 𝐿2
𝑔[𝜋] з вагою (8); 𝐸𝜃𝑚,𝑛(𝑢)𝑋 — найкраще набли-
ження функцiї 𝑢(𝑥, 𝑡) алгебраїчними полiномами двох змiнних сте-
пеня, не вище нiж 𝑚 i 𝑛, вiдповiдно; 𝐶𝑖 = 𝐶𝑖(, 𝜃) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (𝑖 = 1, 2),
𝐾𝑗 = 𝐾𝑗(, 𝜃) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (𝑗 = 1, 2); 𝜎𝜈() визначається формулою (31),
де = max(𝐻,Θ).
Зауваження 1.3. Зазначимо, що алгоритм i теоретичнi резуль-
тати його обгрунтування без принципових труднощiв можуть бу-
ти поширенi на випадок, коли 𝑓(𝑥, 𝑡, 𝑢) є кусково–многочленною або
рацiональною функцiєю.
2 Сплайн–алгоритм
2.1 Монотонна схема для рiвняння конвекцiї–дифузiї
Розглядається двоточкова крайова задача для сингулярно збуре-
ного рiвняння типу конвекцiї–дифузiї. У роботi [28] для розв’язуван-
ня крайових задач для рiвняння конвекцiї–дифузiї з постiйними кое-
фiцiєнтами використано параболiчний сплайн з [29].
Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно–нелiнiйних . . . 23
Розглянемо крайову задачу для рiвняння конвекцiї–дифузiї зi змiн-
ними коефiцiєнтами
𝐷(𝑥)
𝑑2𝑢(𝑥)
𝑑𝑥2
− 𝑉 (𝑥)
𝑑𝑢(𝑥)
𝑑𝑥
= −𝑓(𝑥, 𝑢), 𝑥 ∈ (0, 𝐻), (34)
𝑢(0) = 𝑈0, (35)
𝑢(𝐻) = 𝑈𝐻 , (36)
де 𝑓(𝑥, 𝑢) = 𝑎(𝑥) + 𝑏(𝑥)𝑢+ 𝑐(𝑥)𝑢2, 𝑉 ̸= 0, 0 < 𝐷(𝑥) << 1 .
Не обмежуючи загальностi, розглянемо схему для рiвняння (34) у
випадку правої частини −𝑓(𝑥).
Нехай на вiдрiзку [0, 𝐻] заданi розбиття Δ𝑥 и Δ𝜏
𝑎) Δ𝑥 : 0 = 𝑥0 < 𝑥1 < ... < 𝑥𝑁 = 𝐻,
𝑏) Δ𝜏 : 0 = 𝜏0 < 𝜏1 < ... < 𝜏𝑁−1 = 𝐻, (37)
де 𝑥𝑖 < 𝜏𝑖 < 𝑥𝑖+1, 𝑖 = 1, 𝑁 − 2 .
Позначимо 𝐶𝑖 та 𝜙𝑖 значення деяких сiткових функцiй, вiдповiд-
но, на сiтках (37), причому 𝜙0 = 𝐶0, 𝜙𝑁−1 = 𝐶𝑁 . Записавши кусково–
квадратичну функцiю 𝐶(𝑥), 𝑥 ∈ [𝜏𝑖, 𝜏𝑖+1], 𝑖 = 0, 𝑁 − 2 та знайшовши
першу та другу похiднi цiєї функцiї на кожному з вiдрiзкiв, пiдста-
вимо їх у рiвняння (34). Одержуємо:
𝐷(𝑥)
{︁
𝜙𝑖
2
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
− 𝐶𝑖+1
2
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)
+
+𝜙𝑖+1
2
(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
}︁
− 𝑉 (𝑥)
{︁
𝜙𝑖
(𝑥− 𝑥𝑖+1) + (𝑥− 𝜏𝑖+1)
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
−
−𝐶𝑖+1
(𝑥− 𝜏𝑖) + (𝑥− 𝜏𝑖+1)
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)
+ 𝜙𝑖+1
(𝑥− 𝜏𝑖) + (𝑥− 𝑥𝑖+1)
(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
}︁
=
= −𝑓(𝑥). (38)
Будемо вимагати, щоб 𝐶𝑖 задовольняли рiвняння (34) у внутрi-
шнiх вузлах сiтки (37). Поклавши 𝑥 = 𝑥𝑖+1 та позначивши
𝐷(𝑥𝑖+1) = 𝐷𝑖+1, 𝑉 (𝑥𝑖+1) = 𝑉𝑖+1, 𝑓(𝑥𝑖+1) = 𝑓𝑖+1, з (38) знаходимо 𝐶𝑖+1
:
𝐶𝑖+1 =
{︁
𝜙𝑖
(︁ 2𝐷𝑖+1
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
− 𝑉𝑖+1(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖+1)
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
)︁
+
24 Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
+ 𝜙𝑖+1
(︁ 2𝐷𝑖+1
(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
− 𝑉𝑖+1(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)
(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
)︁
+ 𝑓𝑖+1
}︁
/
(39)[︁ 2𝐷𝑖+1
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)
− 𝑉𝑖+1((𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖) + (𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖+1))
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)
]︁
,
де 𝑖 = 0, 𝑁 − 2.
Для визначення невiдомих параметрiв 𝜙𝑖 будемо вимагати вико-
нання умов:
𝐶(𝜏𝑖 − 0) = 𝐶(𝜏𝑖 + 0), 𝑖 = 1, 𝑁 − 2,
𝐶 ′(𝜏𝑖 − 0) = 𝐶 ′(𝜏𝑖 + 0), 𝑖 = 1, 𝑁 − 2.
Використовуючи першi похiднi 𝐶(𝑥) для вiдрiзкiв [𝜏𝑖−1, 𝜏𝑖] та [𝜏𝑖, 𝜏𝑖+1],
запишемо умови їх неперервностi у точках 𝜏𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁 − 2 :
𝜙𝑖
(𝜏𝑖 − 𝜏𝑖−1) + (𝜏𝑖 − 𝑥𝑖)
(𝜏𝑖 − 𝑥𝑖)(𝜏𝑖 − 𝜏𝑖−1)
= 𝜙𝑖
(𝜏𝑖 − 𝑥𝑖+1) + (𝜏𝑖 − 𝜏𝑖+1)
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
−
− 𝐶𝑖+1
(𝜏𝑖 − 𝜏𝑖+1)
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)
+ 𝜙𝑖+1
(𝜏𝑖 − 𝑥𝑖+1)
(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
. (40)
Пiсля пiдстановки у (40) 𝐶𝑖 та 𝐶𝑖+1 з (39) одержуємо систему
рiвнянь:
𝜙𝑖−1
{︁ 2𝐷𝑖 − 𝑉𝑖(𝑥𝑖 − 𝜏𝑖)
(𝑥𝑖 − 𝜏𝑖−1)(2𝐷𝑖 − 𝑉𝑖((𝑥𝑖 − 𝜏𝑖−1)− (𝜏𝑖 − 𝑥𝑖)))
}︁
−
−𝜙𝑖
{︁ (𝜏𝑖 − 𝜏𝑖−1) + (𝜏𝑖 − 𝑥𝑖)
(𝜏𝑖 − 𝑥𝑖)(𝜏𝑖 − 𝜏𝑖−1)
− 2𝐷𝑖 − 𝑉𝑖(𝑥𝑖 − 𝜏𝑖−1)
(𝜏𝑖 − 𝑥𝑖)(2𝐷𝑖 − 𝑉𝑖((𝑥𝑖 − 𝜏𝑖−1)− (𝜏𝑖 − 𝑥𝑖)))
+
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖) + (𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
−
+
2𝐷𝑖+1 + 𝑉𝑖+1(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)
(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)(2𝐷𝑖+1 − 𝑉𝑖+1((𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)− (𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)))
}︁
+
+𝜙𝑖+1
{︁ 2𝐷𝑖+1 − 𝑉𝑖+1(𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)
(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)(2𝐷𝑖+1 − 𝑉𝑖+1((𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)− (𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)))
− (𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)
(𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1)(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)
}︁
=
= −𝑓𝑖+1(𝜏𝑖+1 − 𝜏𝑖)/[2𝐷𝑖+1 − 𝑉𝑖+1((𝑥𝑖+1 − 𝜏𝑖)− (𝜏𝑖+1 − 𝑥𝑖+1))]−
Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно–нелiнiйних . . . 25
−𝑓𝑖(𝜏𝑖−𝜏𝑖−1)/[2𝐷𝑖−𝑉𝑖((𝑥𝑖−𝜏𝑖−1)−(𝜏𝑖−𝑥𝑖))], де 𝑖 = 1, 𝑁 − 2. (41)
Цi рiвняння розглядаються спiльно з рiвняннями 𝜙0 = 𝑈0, 𝜙𝑁−1 =
𝑈𝐻 , якi визначаються крайовими умовами задачi.
Має мiсце такa
Теорема 2.1. Нехай для розбиття (37) виконуються умови:
𝜏𝑖+1 = 𝜏𝑖 + − 𝜇𝑖 + 𝜇𝑖+1, 0 < 𝜇𝑖 < , 𝑖 = 0, 𝑁 − 2,
> 0, (𝑁 − 1)− 𝜇0 + 𝜇𝑁−1 = 𝐻,
𝑥1 = 𝑥0 + − 𝜇0, 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + , 𝑖 = 1, 𝑁 − 2, 𝑥𝑁 = 𝑥𝑁−1 + 𝜇𝑁−1.
Тодi при 𝑉𝑖 > 0 i виконаннi обмежень
𝜇𝑖 > − 𝐷𝑖+1
|𝑉𝑖+1|
, 𝑖 = 1, 𝑁 − 2, (42)
а при 𝑉 < 0 i виконаннi обмежень
𝜇𝑖 <
𝐷𝑖
|𝑉𝑖|
, 𝑖 = 1, 𝑁 − 2 (43)
для системи (41) виконується рiзницевий принцип максимума.
Доведення цього твердження наведено в [28].
Питання визначення у загальному випадку оптимального набору
параметрiв 𝜇𝑖 на цей час є вiдкритим. Поставимо питання iнакше: чи
можна пiдiбрати параметри так, щоб розв’язок рiзницевої задачi спiв-
падав з точним розв’язком крайової задачi? З цiєю метою розглянемо
крайову задачу:
𝐷
𝑑2𝑢(𝑥)
𝑑𝑥2
+ 𝑉
𝑑𝑢(𝑥)
𝑑𝑥
= 0, (44)
𝑢(0) = 0, (45)
𝑢(1) = 1, (46)
де 𝐷, 𝑉 — додатнi константи.
Тодi, слiдуючи [28], рiзницева задача для (44)–(46) записується
наступним чином:
𝜙𝜏0 = 0, (47)
𝛼𝜙𝜏𝑖−1
− 𝛾𝜙𝜏𝑖 + 𝛽𝜙𝜏𝑖+1
= 0, 𝑖 = 1, 𝑁 − 2, (48)
26 Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
𝜙𝜏𝑁−1
= 1, (49)
де позначено
𝛼 = − 𝑉
2
𝜇, 𝛾 =
2𝐷
2
+
𝑉
(︁
1− 2𝜇
)︁
, 𝛽 =
𝐷
2
+
𝑉
(︁
1− 𝜇
)︁
.
Точний розв’язок рiзницевого рiвняння (48) будемо шукати у виглядi
𝜙𝑖 = 𝜆𝑖.
Тодi характеристичне рiвняння запишеться:
𝛽𝜆2 − (𝛼+ 𝛽)𝜆+ 𝛼 = 0.
Звiдси знаходимо його коренi
𝜆1 = 1, 𝜆2 =
𝛼
𝛽
=
(︁
− 𝑉
2
𝜇
)︁
/
(︁𝐷
2
+
𝑉
(︁
1− 𝜇
)︁)︁
.
Запишемо точний розв’язок:
𝜙𝑖 = 𝐴0 +𝐵0
(︁ 𝐷 − 𝑉 𝜇
𝐷 − 𝑉 𝜇+ 𝑉
)︁𝑖
, 𝑖 = 1, 𝑁 − 2. (50)
Константи 𝐴0 та 𝐵0 вибираються так, щоб задовольнити крайовi умо-
ви (47) та (49), i в нашому випадку можемо наближено покласти
𝐴0 = 1, 𝐵0 = −1.
При заданих крайових умовах рiвняння (44) має точний розв’язок
𝑢(𝑥) =
1− exp(−𝑉 𝑥/𝐷)
1− exp(−1/𝐷)
.
Прирiвняємо значення точного розв’язку до значень розв’язку з (50),
одержуємо
1− exp(−𝑉 𝑥𝑖/𝐷)
1− exp(−1/𝐷)
= 1−
(︃
1
1 +
𝐷/𝑉−𝜇
)︃𝑖
.
Зауважимо, що для малих 𝐷 величину exp(−1/𝐷) можна наближено
замiнити нулем. Тодi маємо
exp(−𝑉 𝑥𝑖/𝐷) =
(︃
1
1 +
𝐷/𝑉−𝜇
)︃𝑖
.
Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно–нелiнiйних . . . 27
Позначимо через 𝜇𝑇 параметр 𝜇, при якому рiзницева схема дає то-
чний розв’язок крайової задачi. Тодi маємо
𝜇𝑇 =
𝐷
𝑉
− (︀
𝑒
𝑉
𝐷 − 1
)︀ . (51)
У загальному випадку оптимальним цей параметр назвати не можна,
але формула (51) разом з умовами (42), (50) дозволяє обрати страте-
гiю вибору параметра 𝜇.
У проведеному обчислювальному експериментi коефiцiєнти рiвня-
ння приймали значення: 𝐷 = 0, 05, 𝑉 = 1. Обчислення проводились
для рiзних крокiв рiзницевої сiтки . У таблицi 1 наведено значення
та параметра 𝜇𝑇 , знайденi за (51).
Таблиця 1.
1.0E-01 1.0E-02 1.0E-03 1.0E-04 1.0E-05
𝜇𝑇 0.3434E-01 0.4833E-02 0.4983E-03 0.4998E-04 0.4999E-05
На рисунку (1) суцiльною лiнiєю позначено точний розв’язок рiв-
няння, трикутниками та пунктирною лiнiєю позначено чисельний
розв’язок, одержаний для рiзних значень .
Рис 1. Точний та чисельний розв’язки задачi.
28 Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
3 Висновки
1. На основi апроксимацiйного методу Дзядика В. К. сконструйовано
та теоретично обґрунтовано високоточний алгоритм без насичення
точностi для розв’язання алгебраїчно–нелiнiйних операторних рiв-
нянь математичної фiзики.
2. Доведенi теореми про iснування наближених розв’язкiв вiдповiд-
них задач на основi запропонованого алгоритму та одержанi оцiнки
похибок полiномiальної апроксимацiї у рiвномiрнiй та квадратичнiй
метриках.
3. Побудована за допомогою параболiчного сплайна рiзницева схе-
ма є монотонною i добре пристосована для розв’язування рiвняння
конвекцiї–дифузiї з переважаючою конвекцiєю.
4. Проведенi обчислювальнi експерименти на тестових задачах, якi
добре проiлюстрували теоретично прогнозованi властивостi ненаси-
чуваностi та оптимальностi у сенсi найкращих наближень побудова-
ного алгоритму. Запропонованi алгоритми були апробованi при розв’я-
зуваннi модельних задач [13] iз монографiй [2], [5] та деяких практи-
чних задач [13], [15], [30], [31].
[1] Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций
полиномами. — К.: Наукова думка, 1977. — 512 с.
[2] Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциаль-
ных и интегральных уравнений. — К.: Наукова думка, 1988. — 387 с.
[3] Гаврилюк И. П., Макаров В. Л. Сильно позитивные операторы и чи-
сленные алгоритмы без насыщения точности. — К.: Ин–т математики
НАН Украины, 2004. — 500 с.
[4] Сергiєнко I. В. Методи оптимiзацiї та системного аналiзу для за-
дач трансобчислювальної складностi. — К.: Академперiодика, 2010.
— 293 с.
[5] Дейнека В. С., Сергiєнко I. В. Аналiз багатокомпонентних розподiле-
них систем та оптимальне керування. — К.: Наукова думка, 2007. —
794 с.
[6] Молчанов И. Н. Машинные методы решения прикладных задач. Диф-
ференциальные уравнения. — К.: Наукова думка. — 1988. — 342 с.
[7] Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно–аналитические методы ис-
следования решения краевых задач. — К.: Наукова думка, 1985. —
224 с.
[8] Бабенко К. И. О явлении насыщения в численном анализе // Докл.
АН СССР. — 1978. — Т. 241, № 3. – С. 505–508.
Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно–нелiнiйних . . . 29
[9] Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование:
Идеи. Методы. Примеры. — 2–е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
— 320 с.
[10] Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. — М.: Наука, 1984.
— 356 с.
[11] Макаров В. Л., Хлобыстов В. В. Сплайн–аппроксимация функций. —
М.: Высшая школа, 1983. — 80 с.
[12] Гладкий С. Л., Степанов Н. А., Ясницкий Л. Н.; под ред. Ясницко-
го Л. Н. Интеллектуальное моделирование физических проблем. —
М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичная динамика», 2006. — 200 с.
[13] Бiленко В. I., Воробйов В. В., Пасенко А. В., Пiдорiна Л. I., Сте-
ля О. Б., Сьомик О. Б., Шевченко I. В. Iнформацiйно–математичне
моделювання та прогнозування екологiчного стану грунтових вод //
Техногенно–екологiчна безпека та цивiльний захист. — 2015. — T. 8. —
C. 49–54.
[14] Bilenko V. I., Pasenko A. V., Stelya O. B., Syomyk E. B., Pidori-
na L. I. Computer Technologies of Mathematical Modeling of Complex
Hydrogeological Environment // Eight International Conference on Appli-
cation of Mathematics in Technical and Natural Sciences 22–27 June 2016,
Albena, Bulgaria: Book of abstracts. — 2016. — P. 12.
[15] Кононов В. В. Математические модели процессов военных действий и
их применение для планирования и управления распределения боевых
средств. — Харьков: МОУ, ХУВС им. Ивана Кожедуба, 2007. — 280 с.
[16] Макаров В. Л. Функцiонально–дискретний метод розв’язування задач
на власнi значення для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь // Допо-
вiдi Нацiональної академiї наук України. — 2008. — № 8. — С. 16–22.
[17] Макаров В. Л., Драгунов Д. В., Сембер Д. А. Функцiонально–
дискретний метод (FD–метод) розв’язування задачi Кошi для нелi-
нiйного рiвняння Клейна–Гордона // Доповiдi Нацiональної академiї
наук України. — 2014. — № 10. — С. 33–39.
[18] Makarov V. L., Gavrilyuk I. P., Hermann M., Kutniv M. V. Exact and
Truncated Difference Schemes for Boundary Value ODEs. — Basel: Bi-
rkhauser/Springer Basel AG, 2011. — xi+247 pp.
[19] Василик В. Б., Драгунов Д. В., Ситник Д. О. Функцiонально–
дискретний метод розв’язування операторних рiвнянь та його засто-
сування: монографiя, НАН України, Iн–т математики. — К.: Наук.
думка, 2011. — 175 c.
[20] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.
— М.: Наука, 2004. — 798 с.
30 Бiленко В. I., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
[21] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и
квазинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. —
736 с.
[22] Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рути-
цкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных
уравнений. — М.: Наука, 1969. — 455 с.
[23] Биленко В. И., Коновалов В. Н., Луковский I. А., Лучка А. Ю., Пу-
хов Г. Е., Ронто Н. И. Аппроксимационные методы Дзядика решения
дифференциальных и интегральных уравнений // Укр. мат. журнал.
— 1989. — Т. 41, № 4. — С. 454–465.
[24] Биленко В. И. О погрешности а–метода решения интегральных урав-
нений Вольтерра с полиномиальными нелинейностями // Укр. мат.
журнал. — 1989. — Т. 41, № 4. — С. 537–543.
[25] Bilenko V. I. Integro–approxmational method for the modelling of certain
class of nonlinear dynamic object // Proc. of the int. SYMP. on Comp
math. modelling and scientific computations. — Sofia: Bulg. Acad. Sci-
ences. — 1992. — P. 146–158.
[26] Бiленко В. I., Дерiєнко А. I., Кирилаха Н. Г. Кусково–полiномiальнi
наближення розв’язкiв жорстких задач на основi апроксимацiйного
методу В. К. Дзядика // Журн. обчисл. та приклад. математики. —
2013. — № 2. — С. 68–77.
[27] Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. — М.: Мир,
1986. — 446 с.
[28] Стеля О.Б. Використання параболiчних сплайнiв для розв’язування
задач конвекцiї-дифузiї // Журнал обчислювальної та прикладної ма-
тематики. — 2007. — Т. 2(95). — С. 109–116.
[29] Кивва С. Л., Стеля О. Б. Об одном параболическом сплайне // Вычи-
слительные технологии, Издательство Сибирского отделения РАН. —
2001. — Т. 6, №3. — С. 21–31.
[30] Дзядык С. Ю. О поведении решения неоднородных дифференциаль-
ных уравнений с точкой поворота и малым параметром при произво-
дной // Украинский математический журнал. — 1973. — Т. 25(2). —
С. 657–662.
[31] Bozhonok E.V. Some Existence Conditions for the Compact Extrema of
Variational Functionals of Several Variables in Sobolev Space 𝑊 1,2 //
Operator Theory: Advances and Applications. — 2009. — Vol. 190. —
P. 141–155.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-30 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:17Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2d/88208aefa94736573a849cc1ba2de22d.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-302018-02-13T11:57:10Z A polynomial approximation of nonlinear algebraic equations of the mathematical physics Приближение полиномами решений алгебраично-нелинейных уравнений математической физики Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно–нелiнiйних рiвнянь математичної фiзики Bilenko, V. I. Bojonok, К. V. Dzyadyk, S. Yu. Stelya, О. B. Биленко, В. И. Божонок, К. В. Дзядык, С. Ю. Стеля, О. Б. Бiленко, В. I. Божонок, К. В. Дзядик, С. Ю. Стеля, О. Б. In the work on the basis of the ideas and results of V. K. Dzyadyk and V. L. Makarov high–exact numerical–analytical algorithms for solving algebraically–nonlinear equations of mathematical physics are constructed and theoretical grounded. Two mutually complemented algorithm (approximating without the satiation of exactness and spline–algorithm) for solving such equations are proposed. Using parabolic spline allowed to construct a monotone difference scheme for the equation of convection–diffusion. The results of computational experiments in the event of significant advantages over convection diffusion are considered. В работе на основе синтеза идей и результатов В. К. Дзядыка и В. Л. Макарова конструируются и теоретически обосновываются высокоточные численно–аналитические алгоритмы для решения алгебраично–нелинейных уравнений математической физики. Предложено два взаимно дополняемых алгоритма (аппроксимационный без насыщения точности и сплайн–алгоритм) решения таких уравнений.Использование параболического сплайна позволило построить монотонную разностную схему для уравнений типа конвекция–диффузия. Приведены результаты вычислительного эксперимента в случае значительного преимущества конвекции над диффузией. У роботі на базі ідей та результатів В. К. Дзядика та В. Л. Макарова побудовані і теоретично обґрунтовані високоточні чисельно-аналітичні алгоритми розв'язання алгебраїчно-нелінійних рівнянь математичної фізики. Запропоновано два взаємодоповнюваних алгоритми (наближення без насичення точності та сплайн-алгоритм) для розв'язків таких рівнянь. Використання параболічного сплайна дозволило побудувати монотонну різницеву схему для рівняння конвекції-дифузії. Розглянуто результати обчислювальних експериментів у випадку значних переваг конвекції над дифузією. Інститут математики НАН України 2016-11-29 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/30 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 11-30 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 11-30 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 11-30 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/30/36 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Bilenko, V. I. Bojonok, К. V. Dzyadyk, S. Yu. Stelya, О. B. Биленко, В. И. Божонок, К. В. Дзядык, С. Ю. Стеля, О. Б. Бiленко, В. I. Божонок, К. В. Дзядик, С. Ю. Стеля, О. Б. A polynomial approximation of nonlinear algebraic equations of the mathematical physics |
| title | A polynomial approximation of nonlinear algebraic equations of the mathematical physics |
| title_alt | Приближение полиномами решений алгебраично-нелинейных уравнений математической физики Наближення полiномами розв’язкiв алгебраїчно–нелiнiйних рiвнянь математичної фiзики |
| title_full | A polynomial approximation of nonlinear algebraic equations of the mathematical physics |
| title_fullStr | A polynomial approximation of nonlinear algebraic equations of the mathematical physics |
| title_full_unstemmed | A polynomial approximation of nonlinear algebraic equations of the mathematical physics |
| title_short | A polynomial approximation of nonlinear algebraic equations of the mathematical physics |
| title_sort | polynomial approximation of nonlinear algebraic equations of the mathematical physics |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/30 |
| work_keys_str_mv | AT bilenkovi apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT bojonokkv apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT dzyadyksyu apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT stelyaob apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT bilenkovi apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT božonokkv apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT dzâdyksû apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT stelâob apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT bilenkovi apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT božonokkv apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT dzâdiksû apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT stelâob apolynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT bilenkovi približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT bojonokkv približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT dzyadyksyu približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT stelyaob približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT bilenkovi približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT božonokkv približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT dzâdyksû približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT stelâob približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT bilenkovi približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT božonokkv približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT dzâdiksû približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT stelâob približeniepolinomamirešenijalgebraičnonelinejnyhuravnenijmatematičeskojfiziki AT bilenkovi nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT bojonokkv nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT dzyadyksyu nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT stelyaob nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT bilenkovi nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT božonokkv nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT dzâdyksû nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT stelâob nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT bilenkovi nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT božonokkv nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT dzâdiksû nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT stelâob nabližennâpolinomamirozvâzkivalgebraíčnonelinijnihrivnânʹmatematičnoífiziki AT bilenkovi polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT bojonokkv polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT dzyadyksyu polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT stelyaob polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT bilenkovi polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT božonokkv polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT dzâdyksû polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT stelâob polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT bilenkovi polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT božonokkv polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT dzâdiksû polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics AT stelâob polynomialapproximationofnonlinearalgebraicequationsofthemathematicalphysics |