Nonlinear approximation in spaces of multiple sequences
Exact order estimates of values of best approximations of $q$-ellipsoids from spaces of multiple sequences by their orthogonal projections on Euclidean subspaces $\mathbb{R}^m$ of dimension $m$ are found.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/300 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552804189470720 |
|---|---|
| author | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Romanyuk, V. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T20:35:13Z |
| description | Exact order estimates of values of best approximations of $q$-ellipsoids from spaces of multiple sequences by their orthogonal projections on Euclidean subspaces $\mathbb{R}^m$ of dimension $m$ are found. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 253–261
УДК 517.5
В. С. Романюк (Ин–т математики НАН Украины, Киев)
НЕЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
В ПРОСТРАНСТВАХ КРАТНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Exact order estimates of values of best approximations of q–ellipsoids from
spaces of multiple sequences by their orthogonal projections on Euclidean
subspaces Rm of dimension m are found.
Найдены точные по порядку оценки величин наилучших приближений q-
эллипсоидов из пространств кратных последовательностей их ортого-
нальными проекциями на евклидовы подпространства Rm размерности
m.
Пусть R(Zd) обозначает линейное пространство последова-
тельностей a = (ak)k∈Zd действительных чисел, соответствую-
щих какому–нибудь фиксированному упорядочению мультииндексов
k = (k1, . . . , kd).
Пространство R(Zd), снабженное конечной квази–нормой
‖a‖lq(Zd) :=
( ∑
k∈Zd
|ak|q
)1/q
, 0 < q <∞,
и
‖a‖l∞(Zd) := sup
k∈Zd
|ak|.
Будем обозначать через lq(Zd), 0 < q ≤ ∞. Далее, для произвольной
неубывающей функции ν : R+ −→ R+ (пишем: ν ∈ P0) определим
при 0 < q <∞
Bq(ν) :=
{
a ∈ R(Zd) : ‖a‖lq(Zd), ν :=
( ∑
k∈Zd
(
|ak|ν(|k|∞)
)q)1/q
≤ 1
}
— q–эллипсоид в R(Zd) и
c© В. С. Романюк, 2015
254 В. С. Романюк
B∞(ν) :=
{
a ∈ R(Zd) : ‖a‖l∞(Zd), ν := sup
k∈Zd
|ak|ν(|k|∞) ≤ 1
}
.
Здесь |k|∞ := ‖k‖ld∞ = max
1≤i≤d
|ki|.
Очевидно,
‖a‖lq(Zd), ν =
( ∞∑
n=0
νq(n)
∑
k∈Γn
|ak|q
)1/q
и
‖a‖l∞(Zd), ν = sup
n∈N
(ν(n) sup
k∈Γn
|ak|),
где Γn = {k ∈ Zd : |k|∞ = n}.
Пусть далее Λm — произвольное подмножество в Zd, ]Λm = m,
m ∈ N; для фиксированной последовательности a ∈ lq(Zd), Ωm(a)
обозначает множество (или одно из множеств) мультииндексов
k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd при максимальных по абсолютной величине
членах последовательности a = (ak)k∈Zd , причем ]Ωm(a) = m. Со-
гласно такому определению множества Ωm(a):
min{|ak|, k ∈ Ωm(a)} ≥ max{|ak|, k ∈ Zd \ Ωm(a)}.
Для A ⊂ ls(Zd) положим
gm(A)s := sup
a∈A
( ∑
k∈Zd\Ωm(a)
|ak|s
)1/s
, 0 < s <∞,
gm(A)∞ := sup
a∈A
sup
k∈Zd\Ωm(a)
|ak|.
Понятно, что значение величины gm(A)s, 0 < s ≤ ∞, при каждом
m ∈ N совпадает со значением величин
e⊥m(A)s := sup
a∈A
inf
Λm⊂Zd
]Λm=m
( ∑
k∈Zd\Λm
|ak|s
)1/s
, 0 < s <∞,
e⊥m(A)∞ := sup
a∈A
inf
Λm⊂Zd
]Λm=m
sup
k∈Zd\Λm
|ak|.
Нелинейная аппроксимация в пространствах . . . 255
Далее по тексту запись α(m) � β(m) для положительных по-
следовательностей α(m) и β(m) означает, что существует посто-
янная C > 0 такая, что для любого m ∈ N одновременно вы-
полняются неравенства α(m) ≤ Cβ(m) (пишем α(m) � β(m)) и
α(m) ≥ C−1β(m) (пишем α(m)� β(m)).
Теорема 1. Пусть
1) 0 < q < s ≤ ∞, а функция ν ∈ P0 такая, что для некоторого
C ≥ 1 выполняется неравенство ν(2t) ≤ Cν(t), t > 0 или
2) 0 < s ≤ q ≤ ∞, а функция ν ∈ P0 такая, что для некоторого
ε > 0 выполняется неравенство ν(2
1
d t) > 2
1
s−
1
q+εν(t), t ∈ R+, d ∈ N.
Тогда справедливо соотношение
gm(Bq(ν))s � m
1
s−
1
q ν−1(m
1
d ). (1)
Доказательство. Вначале рассмотрим случай 0 < q < s ≤ ∞ и
докажем оценку сверху в (1).
Пусть (k(l))∞l=1 — упорядоченная последовательность множества
мультииндексов k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd, располагающая произвольную
систему a = (ak)k∈Zd ∈ R(Zd) в невозрастающем порядке модулей ее
значений так, что |ak(1)| ≥ |ak(2)| ≥ . . ..
Тогда ∀a ∈ Bq(ν) имеем
∑
k∈Zd
(
|ak|ν(|k|∞)
)q
≥
∑
k∈Ωm(a)
(
|ak|ν(|k|∞)
)q
=
=
m∑
l=1
(
|ak(l)|ν(|k(l)|∞)
)q ≥ |ak(m)|q
m∑
l=1
νq(|k(l)|∞) ≥
≥ |ak(m)|q
[m/2]∑
l=1
νq
(m 1
d
4
)
≥ C(d, p)|ak(m)|q ·m · νq(m
1
d ).
Это влечет неравенство
|ak(m)| � m−
1
q /ν(m
1
d ), (2)
откуда непосредственно следует оценка сверху в (1) при s =∞.
256 В. С. Романюк
Если же 0 < s < ∞, то, используя (2), ∀a ∈ Bq(ν) при любом
γ > 0 получаем( ∑
k∈Zd\Ωm(a)
|k|∞>γm
1
d
|ak|s
)1/s
≤
(
|ak(m)|s−q
∑
k∈Zd\Ωm(a)
|k|∞>γm
1
d
|ak|q
)1/s
≤
≤
(
|ak(m)|s−qν−q(γm
1
d )
∑
k∈Zd
|ak|qνq(|k|∞)
)1/s
�
� m−
1
q (s−q)· 1s ν−1(m
1
d )� m
1
s−
1
q ν−1(m
1
d ), (3)
а также( ∑
k∈Zd\Ωm(a)
|k|∞≤γm
1
d
|ak|s
)1/s
≤ C(d)m
1
sm−
1
q ν−1(m
1
d )� m
1
s−
1
q ν−1(m
1
d ). (4)
Из (3) и (4), в силу неравенства (α+β)p ≤ αp+βp, α, β > 0, 0 < p ≤ 1,
заключаем, что ∀a ∈ Bq(ν)( ∑
k∈Zd\Ωm(a)
|ak|s
)1/s
� m
1
s−
1
q ν−1(m
1
d )
и это доказывает оценку сверху в (1) для 0 < q < s <∞.
Для доказательства оценки снизу в (1) в случае 0 < q < s ≤ ∞
рассмотрим последовательность ã = (ãk)k∈Zd такую, что
ãk =
{
1, |k|∞ ≤ [m
1
d ],
0, |k|∞ > [m
1
d ],
где [c] — целая часть числа c ∈ R.
Тогда
‖ã‖lq(Zd), ν =
( ∑
k∈Zd
(
|ãk|ν(|k|∞)
)q)1/q
=
Нелинейная аппроксимация в пространствах . . . 257
=
( ∑
k: |k|∞≤[m
1
d ]
νq(|k|∞)
)1/q
� ν(m
1
d )m
1
q (5)
и ( ∑
k∈Zd\Ωm(ã)
|ãk|s
)1/s
≥
( 2dm−m∑
l=1
1
)1/s
� m
1
s , 0 < s <∞. (6)
Из (6), с учетом (5), для 0 < s <∞ получаем
gm(Bq(ν))s � m
1
s−
1
q ν−1(m
1
d ). (7)
При s =∞ оценка (7) есть непосредственное следствие соотношения
(5) и определения gm(Bq(ν))∞.
Утверждение теоремы 1 в случае 0 < q < s ≤ ∞ доказано.
Теперь рассмотрим случай 0 < s ≤ q ≤ ∞ и докажем в (1) оценку
сверху.
Пусть задано натуральное m > 2 и j ∈ N выбрано таким, что
2j < m ≤ 2j+1. Тогда для a ∈ Bq(ν), используя неравенство (2), с
учетом условий на функцию ν, получаем при 0 < s <∞∑
k∈Zd\Ωm(a)
|ak|s =
∞∑
n=m+1
|ak(n)|s ≤
∞∑
n=2j+1
|ak(n)|s ≤
≤
∞∑
l=j
(
2
l
s |ak(2l)|
)s
�
∞∑
l=j
(
2
l
s−
l
q
1
ν(2
l
d )
)s
�
�
(
2j(
1
s−
1
q ) 1
ν(2
j
d )
)s
�
(
m
1
s−
1
q
ν(m
1
d )
)s
, (8)
а, значит,
gm(Bq(ν))s � m
1
s−
1
q ν−1(m
1
d ), 0 < s ≤ q <∞.
При 0 < s < ∞ и q = ∞, учитывая, что для a ∈ Bq(ν) справедливо
неравенство ak(m) � ν−1(m
1
d ) (как предельный случай неравенства
(2)), по аналогии с соотношением (8), можем записать( ∑
k∈Zd\Ωm(a)
|ak|s
) 1
s
� m
1
s ν−1(m
1
d ),
258 В. С. Романюк
а, значит,
gm(B∞(ν))s � m
1
s ν−1(m
1
d ).
Наконец, при s = q =∞, оценка сверху в (1) — непосредственное
следствие определения величин gm(Bq(ν))s.
Доказательство оценки снизу в (1) в случае 0 < s ≤ q ≤ ∞
совпадает с ее доказательством в рассмотренном выше случае
0 < q < s ≤ ∞, только при q = ∞ вместо соотношения (5) исполь-
зуем неравенство ‖ã‖l∞(Zd), ν ≤ ν(m
1
d ).
Теорема 1 доказана.
Замечание 1. В случае, когда ν(t) = tr, r > 0, а 0 < q < s ≤ ∞,
оценка сверху в соотношении (1) фактически установлена в [1].
Далее приведем одно следствие теоремы 1 для конечномерных
подмножеств из Bq(ν), определяемых функцией ν(t) = 1, t ∈ R+.
Обозначим через En произвольное подмножество в Zd, ]En = n,
и положим
BEnq := {a = (ak)k∈Zd ∈ Bq(1) : ak = 0 при k ∈ Zd \ En}
Таким образом, BEnq — единичный шар фиксированного n–мерного
подпространства в lq(Zd).
Следствие 1. Для любых m, n ∈ N, n < m, и γ > 1 справедливы
соотношения
gm(BEnq )s � m
1
s−
1
q , 0 < q ≤ s ≤ ∞, (9)
gm(BE[γm]+1
q )s � m
1
s−
1
q , 0 < s ≤ q ≤ ∞. (10)
Доказательство. Соотношение (9) при 0 < q < s ≤ ∞ явля-
ется следствием оценки сверху в соотношении (1), если учесть, что
BEnq ⊂ Bq(1). При 0 < q = s ≤ ∞ оценка (9) — тривиальна.
Если 0 < s ≤ q ≤ ∞, то условие 2) теоремы 1 для функции
ν(t) = 1, t ∈ R+, не выполняется, однако доказательство оценки
сверху в соотношении (1) с BE[γm]+1
q вместо Bq(ν) только упрощается.
Так, используя неравенство(
1
N
N∑
k=1
|bk|λ
)1/λ
≥
(
1
N
N∑
k=1
|bk|µ
)1/µ
,
Нелинейная аппроксимация в пространствах . . . 259
где b = {bk}Nk=1 — произвольная система действительных чисел и
1 ≤ µ < λ <∞, для a ∈ B[γm]+1
q при 0 < s ≤ q < ∞ можем сразу
записать( ∑
k∈Zd\Ωm(a)
|ak|s
)1/s
=
( [γm]+1∑
n=m+1
|ak(n)|s
)1/s
� m
1
s−
1
q .
Предыдущее соотношение, очевидно, выполняется и в случае
0 < s <∞, q = ∞, а при s = q = ∞ оценка сверху в (10) — три-
виальна.
Доказательство оценки снизу в (10) проводится по схеме доказа-
тельства такой оценки в теореме 1, отправляясь от построения по-
следовательности ã. В данном случае следует рассмотреть последо-
вательность ã = (ãk)k∈Zd такую, что
ãk =
{
1, k ∈ E0,
0, k ∈ Zd \ E0,
где E0 — произвольное подмножество E[γm]+1, ]E0 = [γ1m],
1 < γ1 < γ.
Замечание 2. При n = [γm] + 1, γ > 1, оценка (9) точна по
порядку. Доказательство аналогично случаю 0 < s ≤ q ≤ ∞.
Сформулируем следствие 1 в другой форме.
Для этого рассмотрим конечномерные пространства lns ,
0 < s ≤ ∞, n ∈ N, векторов x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn с квазинор-
мой (нормой при 1 ≤ s ≤ ∞)
‖x‖lns =
( n∑
i=1
|xi|s
)1/s
, 0 < s <∞,
‖x‖ln∞ = max
1≤i≤n
|xi|, s =∞.
Для множества B ⊂ lns и 1 ≤ m < n определим величины:
(a) e⊥m(B; ε; lns ) := sup
x∈B
inf
γm
‖x− πγmx‖lns ,
260 В. С. Романюк
где ε = {e1, . . . , en} — канонический (стандартный) базис в
Rn; πγm : Rn → Rn — оператор проектирования такой, что для
x =
n∑
i=1
xiei
πγmx =
∑
i∈γm
xiei,
а γm— произвольное подмножество множества {1, . . . , n},
cardγm = m;
(b) gm(B; ε; lns ) := sup
x∈B
‖x−G(ε)
m x‖lns ,
где G(ε)
m : Rn → Rn — оператор (нелинейный), действующий по
правилу
x =
n∑
i=1
xiei → G(ε)
m x =
m∑
j=1
xkjekj ,
{kj}mj=1 — подсистема системы {1, . . . , n} такая, что
|xk1 | ≥ |xk2 | ≥ . . . ≥ |xkm |. Из определений легко усмотреть, что
∀ B ⊂ lns : e⊥m(B; ε; lns ) = gm(B; ε; lns ). При m = 0 полагаем,
что e⊥0 (B; ε; lns ) = g0(B; ε; lns ) := sup
x∈B
‖x‖lns . Отождествляя,
естественным образом, множество BEnq с единичным шаром Bnq в
пространстве lnq и сопоставляя определения величин gm(BEnq )s и
gm(Bnq ; ε; lns ), от следствия 1, с учетом замечания 2, приходим к
следующему утверждению.
Следствие 2. Для любых m, n ∈ N, m < n, и γ > 1 справедливы
соотношения
gm(Bnq ; ε; lns )� m
1
s−
1
q , 0 < q ≤ s ≤ ∞,
gm(B[γm]+1
q ; ε; l[γm]+1
s ) � m
1
s−
1
q , 0 < s, q ≤ ∞. (11)
Замечание 3. Соотношение (11) является также следствием
найденных ранее автором (см. [2, теорема 2 и замечание 2]) точ-
ных значений величин e⊥m(Bnp ; ε; lnq ) при всех m,n ∈ N, m < n и
0 < p, q ≤ ∞.
Нелинейная аппроксимация в пространствах . . . 261
1. Temlyakov V. N. Greedy algorithm and m-term trigonometric
approximation // Constr. Approx. — 1998. — 14, № 4. — P. 569 –
587.
2. Романюк В. С. Нелинейная аппроксимация функций многих переменных
из классов Бесова // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. — 2010 — 7, № 1. — С. 199 – 220.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-300 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:15Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e1/620f05f7adb1d440555196843664aee1.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3002018-02-02T20:35:13Z Nonlinear approximation in spaces of multiple sequences Нелинейная аппроксимация в пространствах кратных последовательностей Нелинейная аппроксимация в пространствах кратных последовательностей Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Exact order estimates of values of best approximations of $q$-ellipsoids from spaces of multiple sequences by their orthogonal projections on Euclidean subspaces $\mathbb{R}^m$ of dimension $m$ are found. Найдены точные по порядку оценки величин наилучших приближений $q$-эллипсоидов из пространств кратных последовательностей их ортогональными проекциями на евклидовы подпространства $\mathbb{R}^m$ размерности $m$. Найдены точные по порядку оценки величин наилучших приближений $q$-эллипсоидов из пространств кратных последовательностей их ортогональными проекциями на евклидовы подпространства $\mathbb{R}^m$ размерности $m$. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/300 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 253 - 261 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 253 - 261 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 253 - 261 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/300/332 Авторське право (c) 2015 В. С. Романюк |
| spellingShingle | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Nonlinear approximation in spaces of multiple sequences |
| title | Nonlinear approximation in spaces of multiple sequences |
| title_alt | Нелинейная аппроксимация в пространствах кратных последовательностей Нелинейная аппроксимация в пространствах кратных последовательностей |
| title_full | Nonlinear approximation in spaces of multiple sequences |
| title_fullStr | Nonlinear approximation in spaces of multiple sequences |
| title_full_unstemmed | Nonlinear approximation in spaces of multiple sequences |
| title_short | Nonlinear approximation in spaces of multiple sequences |
| title_sort | nonlinear approximation in spaces of multiple sequences |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/300 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukvs nonlinearapproximationinspacesofmultiplesequences AT romanûkvs nonlinearapproximationinspacesofmultiplesequences AT romanyukvs nelinejnaâapproksimaciâvprostranstvahkratnyhposledovatelʹnostej AT romanûkvs nelinejnaâapproksimaciâvprostranstvahkratnyhposledovatelʹnostej |