Supplement to F. Wiener sieve theorem
The theorem of F. Wiener about sieve states: the norm of the operator $\mathcal W_{r,s} : f(z)=\sum_{j=0}^\infty \widehat f_jz^j\mapsto \sum_{j=0}^\infty \widehat f_{js+r}z^j$ on the space of bounded holomorphic in the disk $\mathbb D=\{z : |z|<1\}$ functions is 1 if $r<s$. We...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/301 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552804465246208 |
|---|---|
| author | Savchuk, V. V. Chaichenko, S. O. Савчук, В. В. Чайченко, С. О. |
| author_facet | Savchuk, V. V. Chaichenko, S. O. Савчук, В. В. Чайченко, С. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. В. Савчук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "С. О. Чайченко",
"institution": "Донбаський державний педагогічний університет"
}
] |
| author_sort | Savchuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T20:43:26Z |
| description | The theorem of F. Wiener about sieve states: the norm of the operator $\mathcal W_{r,s} : f(z)=\sum_{j=0}^\infty \widehat f_jz^j\mapsto \sum_{j=0}^\infty \widehat f_{js+r}z^j$ on the space of bounded holomorphic in the disk $\mathbb D=\{z : |z|<1\}$ functions is 1 if $r<s$. We prove that restriction $r<s$ is a final condition in this theorem. We give an applications of the Wiener's theorem to the problems of the best approximations of functions in the Hardy space $H_p$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 262–272
УДК 517.5
В. В. Савчук (Iн–т математики НАН України, Київ)
С. О. Чайченко (Донбаський педагогiчний унiверситет, Слов’янськ)
ДОПОВНЕННЯ ДО ТЕОРЕМИ Ф. ВIНЕРА
ПРО РЕШЕТО
The theorem of F. Wiener about sieve states: the norm of the operator Wr,s :
f(z) =
∑∞
j=0 f̂jz
j 7→
∑∞
j=0 f̂js+rz
j on the space of bounded holomorphic in the
disk D = {z : |z| < 1} functions is 1 if r < s. We prove that restriction r < s
is a final condition in this theorem. We give an applications of the Wiener’s
theorem to the problems of the best approximations of functions in the Hardy
space Hp.
Теорема Ф. Вiнера про решето стверджує: норма оператора Wr,s :
f(z) =
∑∞
j=0 f̂jz
j 7→
∑∞
j=0 f̂js+rz
j на просторi обмежених голоморфних в
крузi D = {z : |z| < 1} функцiй дорiвнює одиницi, якщо r < s. Показа-
но, що умова r < s в цiй теоремi є остаточною. Наведено застосування
теореми Ф. Вiнера до задач найкращого наближення функцiй простору
Гардi Hp.
1. Вступ. Нехай Hp – простiр Гардi голоморфних в крузi D :=
{z ∈ C : |z| < 1} функцiй f з нормою
‖f‖p :=
sup
0<%<1
(∫ 2π
0
|f(%eit)|p dt
2π
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
sup
z∈D
|f(z)|, p =∞,
i нехай UHp — одинична куля в Hp.
Добре вiдомо, що функцiї з Hp мають майже в кожнiй точцi кола
T := {z ∈ C : |z| = 1} недотичнi граничнi значення, якi утворюють
функцiю з Lp(T). Залишивши за граничними значеннями функцiї
f ∈ Hp те ж саме позначення f , в силу вiдомих теорем, будемо мати
рiвнiсть ‖f‖p = ‖f‖Lp(T) , де ‖ · ‖Lp(T) — стандартна Lp–норма.
c© В. В. Савчук, С. О. Чайченко, 2015
Доповнення до теореми Ф. Вiнера . . . 263
Нехай далi {f̂j}∞j=0 — послiдовнiсть коефiцiєнтiв Тейлора голо-
морфної в D функцiї f , тобто f̂j := f (j)(0)/(j!).
Г. Бор [1] в своїх мiркуваннях використав елегантний прийом,
авторство якого приписав Ф. Вiнеру (див. iсторичнi коментарi в [2]):
якщо f — функцiя з UH∞, то функцiя
F (z) :=
1
s
s−1∑
k=0
f(ei2πk/sz1/s) =
∞∑
j=0
f̂jsz
j , s ∈ N,
також належить UH∞.
Згодом О. Сас [3, s. 172] розвинув прийом Вiнера, зауваживши,
що для функцiї f ∈ UH∞ функцiя
Wr,s(f)(z) :=
1
szr/s
s−1∑
k=0
ei2πk(s−r)/sf(ei2πk/sz1/s) = (1)
=
∞∑
j=0
f̂js+rz
j , r, s ∈ Z+, s 6= 0,
за умови r < s також належить UH∞.
Зафiксуємо числа r, s ∈ Z, s 6= 0, i розглянемо перетворення
Wr,s(f) як лiнiйний оператор, визначений на множинi всiх голоморф-
них в D функцiй правилом
Wr,s(f)(z) =
∞∑
j=0
f̂js+rz
j , r, s ∈ Z, s 6= 0,
де при js+ r < 0 покладаємо f̂js+r = 0.
Дiю оператораWr,s на голоморфну функцiю, запозичуючи термi-
нологiю з аналiтичної теорiї чисел, природно назвати просiюванням
коефiцiєнтiв її ряду Тейлора, а сам оператор — решетом порядку r
з розмiром вiчка s.
Нормою оператора Wr,s, як оператора, що дiє з Hp в Hp, є число
‖Wr,s‖Hp := sup{‖Wr,s(f)‖p : f ∈ UHp}.
264 В. В. Савчук, С. О. Чайченко
Неважко зрозумiти, що по сутi Ф. Вiнер i О. Сас довели таке
твердження.
Теорема A. Для будь-яких r, s ∈ Z+ таких, що s ≥ r + 1 справ-
джується рiвнiсть
‖Wr,s‖H∞ = 1. (2)
В данiй роботi ми опишемо всi випадки спiввiдношень мiж числа-
ми r i s, за яких виконується рiвнiсть (2). А саме: ми покажемо, що
умова s ≥ r+1 в теоремi А є не тiльки достатньою, але й необхiдною.
Слiд зазначити, що перетворення типу оператора Wr,s (решето)
було вiдоме ще задовго до роботи Г. Бора [1]. Вперше в явному
виглядi воно з’явилося, мабуть, в 1837 роцi у роботi Г. Дiрiхле [4,
s. 315—342] про розподiл простих чисел в арифметичнiй прогресiї
(див. сучасний виклад в [5, ch. 4]).
Стосовно ж голоморфних функцiй теорема Вiнера про норму
‖Wr,s‖H∞ найчастiше використовується в задачах про оцiнки кое-
фiцiєнтiв Тейлора функцiй з UH∞ (див. бiблiографiю в [2]).
Ми помiтили, що норми операторiвWr,s на просторах голоморф-
них функцiй в крузi D за тих чи iнших спiввiдношень мiж числами
r i s збiгаються з основними константами в багатьох екстремальних
задачах теорiї наближень. Вiдтак обчислення таких норм становить
певний iнтерес, зокрема, для теорiї наближень.
У пiдтвердження сказаного наведемо зараз декiлька прикладiв
у виглядi вiдомих тверджень, а в другiй частинi наведемо декiлька
нових застосувань теореми Ф. Вiнера до задачi про найкращi набли-
ження алгебраїчними многочленами в крузi D.
Нехай r ∈ N i Sr(f)(z) :=
∑r
j=0 f̂jz
j — частинна сума ряду Тей-
лора функцiї f . Тодi
Wr,−1(f)(z) = zrSr(f)
(
1
z
)
i
Wr,1(f)(z) = z−r(f(z)− Sr−1(f)(z)).
Таким чином,
‖Wr,−1‖Hp = sup{‖Sr(f)‖p : f ∈ UHp}
Доповнення до теореми Ф. Вiнера . . . 265
тобто ‖Wr,−1‖Hp — це вiдомi константи Лебега–Ландау, а ‖Wr,1‖Hp
— це точнi константи в нерiвностi Лебега:
‖f − Sr−1(f)‖p ≤ ‖Wr,r+1‖HpEr(f)p,
де Er(f)p := inf{‖f − P‖p : P ∈ Pr−1} — найкраще наближення
функцiї f ∈ Hp множиною Pr−1 алгебраїчних многочленiв степеня
≤ r − 1, E0(f)p := ‖f‖p.
Твердження 1 [6]. Нехай r ∈ N. Тодi
‖Wr,−1‖H∞ = 1 +
r∑
j=1
(
(2j − 1)!!
(2j)!!
)2
.
При r →∞ справджуються асимптотичнi рiвностi
‖Wr,−1‖H∞ = ‖Wr,1‖H∞ +O(1) =
1
π
ln r +O(1) (r →∞).
З твердження 1, зокрема, випливає, що послiдовностi
{‖Wr−1,−1‖H∞}∞r=1 i {‖Wr,1‖H∞}∞r=1 при r → ∞ зростають з
однаковою швидкiстю. Однак певна комбiнацiя операторiв Wr−1,−1
i Wr,1 може мати норму 1, як це показує наступне твердження.
Нехай W∗r,s — лiнiйний оператор, який дiє за правилом
W∗r,s(f)(z) = zWr,s(f)(z).
Твердження 2 [7, 8, с. 503]. Для кожного r ∈ N
‖W∗r−1,−1 +Wr,1‖H∞ = 1.
З твердження 2 випливає такий важливий факт: для будь-яких
f ∈ UH∞, z ∈ D i r ∈ N∣∣∣∣∣∣f(z)−
r−1∑
j=0
(1− |z|2(r−j))f̂jzj
∣∣∣∣∣∣ =
= |z|r
∣∣(W∗r−1,−1 +Wr,1
)
(f)(z)
∣∣ ≤ |z|r,
причому рiвнiсть досягається для функцiї f(z) = zr.
266 В. В. Савчук, С. О. Чайченко
Звiдси у свою чергу випливає, що для всiх z таких, що |z| = ρ
при фiксованому ρ ∈ [0, 1) i кожному r ∈ N справджуються рiвностi
inf
sup
∣∣∣∣∣∣f(z)−
r−1∑
j=0
λj,rf̂jz
j
∣∣∣∣∣∣ : f ∈ UH∞
: λj,r ∈ C
=
= sup
∣∣∣∣∣∣f(z)−
r−1∑
j=0
(1− ρ2(r−j))f̂jzj
∣∣∣∣∣∣ : f ∈ UH∞
= ρr,
тобто, нескiнченна нижньотрикутна числова матриця
A∗ =
(
1− ρ2(r−j)
)
, r ∈ N, j = 0, 1, . . . , r − 1 породжує найкра-
щий лiнiйний метод рiвномiрного наближення класу UH∞ на
концентричних колах радiуса ρ ∈ [0, 1).
2. Основний результат.
Теорема 1. Нехай r ∈ Z+ i s ∈ N. Тодi:
1) для того, щоб ‖Wr,s‖H∞ = 1, необхiдно i достатньо, щоб
s ≥ r + 1;
2) якщо s ≥ r + 1, то ‖Wr,s‖Hp = 1 для будь-яких p ≥ 1.
Доведення. 1). Необхiднiсть. Оскiльки для будь-якого z ∈ D
Wr,s(f)(z) =
=
∫ 2π
0
f(eit)e−irt
(
1 + e−itsz + e−it2sz2 + · · ·
) dt
2π
=
=
∫ 2π
0
f(eit)
e−irt
1− e−itsz
dt
2π
, (3)
то
1 = ‖Wr,s‖H∞ ≥ sup{|Wr,s(f)(z)| : f ∈ UH∞} =
=Mr,s(|z|) ∀ z ∈ D,
де
Mr,s(ρ) := sup
{∣∣∣∣∫ 2π
0
f(eit)
e−irt
1− e−itsρ
dt
2π
∣∣∣∣ : f ∈ UH∞} .
Доповнення до теореми Ф. Вiнера . . . 267
З другого боку, за теоремою двоїстостi (див., наприклад, [9, с.
188])
Mr,s(ρ) = min
{∥∥∥∥ 1
1− e−itsρ
+ eirtg(ρ, eit)
∥∥∥∥
L1
: g(ρ, ·) ∈ H0
1
}
,
де L1–норма береться по eit, а мiнiмум досягається для деякої, але
єдиної функцiї eit 7→ g∗(ρ, eit), t ∈ [0, 2π], з простору H0
1 := {f ∈ H1 :
f̂0 = 0}.
Тому
1 =
∫ 2π
0
(
1
1− e−itsρ
+ eirtg∗(ρ, ·)
)
dt
2π
≤Mr,s(ρ) ∀ ρ ∈ [0, 1).
Отже, Mr,s(ρ) = 1 для всiх ρ ∈ [0, 1).
Звiдси випливає, що для будь-якого ρ ∈ [0, 1)
min
{∥∥∥∥ 1
1− e−itsρ
+ g
(
ρ, eit
)∥∥∥∥
L1
: g(ρ, ·) ∈ H0
1
}
= 1,
де мiнiмум досягається для єдиної функцiї eit 7→ eirtg∗(ρ, eit). Але
остання рiвнiсть згiдно з теоремою 2 в [10] тягне за собою той факт,
що екстремальна функцiя, яка реалiзує мiнiмум, має вигляд
eirtg∗(ρ, eit) =
1
1− eitsρ
− 1,
тобто
g∗(ρ, eit) =
∞∑
j=1
ρjeij(s−r)t. (4)
Оскiльки g∗(ρ, ·) ∈ H0
1 , тобто ряд Фур’є її граничних значень має
додатний спектр, то в розкладi (4) необхiдно має бути s ≥ r + 1.
Достатнiсть. Якщо s ≥ r + 1, то функцiя w 7→
∑∞
j=1 z
jwij(s−r)
належить H0
1 для будь-якого z ∈ D. Тому рiвнiсть (3) для будь-якої
функцiї f ∈ UH∞ i будь-якого z ∈ D можна переписати у виглядi
Wr,s(f)(z) =
268 В. В. Савчук, С. О. Чайченко
=
∫ 2π
0
f(eit)e−irt
1 +
∞∑
j=1
zje−ijs +
∞∑
j=1
zjeijs
dt
2π
=
=
∫ 2π
0
f(eit)e−irt
(
1
1− ze−is
+
zeis
1− zeis
)
dt
2π
=
=
∫ 2π
0
f(eit)e−irt
1− |z|2
|1− ze−is|2
dt
2π
.
Звiдси випливає спiввiдношення
|Wr,s(f)(z)| ≤
∫ 2π
0
1− |z|2
|1− ze−is|2
dt
2π
= 1 ∀ z ∈ D. (5)
2). Аналогiчно, якщо f ∈ Hp, p ≥ 1, то за нерiвнiстю Гельдера
|Wr,s(f)(z)|p ≤
∫ 2π
0
|f(eit)|p 1− |z|2
|1− ze−is|2
dt
2π
∀ z ∈ D,
звiдки iнтегруванням по концентричних колах радiуса ρ = |z|, ρ ∈
[0, 1), одержуємо∫ 2π
0
|Wr,s(f)(ρe
ix)|p dx
2π
≤ 1 ∀ ρ ∈ [0, 1). (6)
Легко бачити, що спiввiдношення (5) i (6) перетворюються в рiв-
ностi для функцiї f(z) = zr.
Отже, ‖Wr,s‖Hp = 1 для всiх p ∈ [1,∞], що разом доводить до-
статнiсть умов у пунктi 1) i пункт 2).
Теорему доведено.
Зауваження 1. За рiвнiстю Парсеваля ‖Wr,s‖2 = 1 для будь-
яких r ∈ Z+ i s ∈ N.
Зауваження 2. При r = 0 твердження пункту 2) теореми 1 за-
лишиться правильним при формальнiй замiнi простору Hp на будь-
який iнший банахiв простiр X голоморфних в D функцiй з нормою
‖f‖X , iнварiантною вiдносно повороту аргументу, тобто такою, що
‖f(eiα·)‖X = ‖f‖X для будь-якого α ∈ R.
Доповнення до теореми Ф. Вiнера . . . 269
Справдi, згiдно з (1)
‖W0,s(f)‖X ≤
1
s
s−1∑
k=0
∥∥∥f(ei2πk/s·)∥∥∥
X
= ‖f‖X ,
а рiвнiсть у цих спiввiдношеннях досягається, зокрема, для функцiї
f(z) = zs.
2. Застосування до найкращих наближень.
Теорема 2. Нехай f ∈ Hp, 1 ≤ p ≤ ∞. Тодi для будь-якого
натурального n
En(f)p ≥ sup
{
‖Wr,s(f)‖p : r ≥ n, s ≥ r + 1
}
. (7)
При даному n ∈ N в (7) має мiсце рiвнiсть, якщо
zr
∗
Wr∗,s∗(f)(z
s∗) = f(z)− Sn−1(f)(z), z ∈ D, (8)
де r∗, s∗ – фiксованi, r∗ ≥ n, s∗ ≥ r∗ + 1. При цьому супремум в
правiй частинi досягається при r = r∗ i s = s∗, а
En(f)p = ‖f − Sn(f)‖p.
Доведення. Вiзьмемо довiльнi r i s такi, що r ≥ n i s ≥ r + 1.
Тодi, враховуючи, що Wr,s(P ) = 0 для будь-якого P ∈ Pn−1, згiдно
з теоремою 1 одержимо спiввiдношення
‖Wr,s(f)‖p = ‖Wr,s(f − P )‖p ≤ ‖Wr,s‖HpEn(f)p ≤ En(f)p. (9)
Беручи супремум в лiвiй частинi цього спiввiдношення, одержимо
нерiвнiсть (7).
Якщо має мiсце (8), де r∗ ≥ n, s∗ ≥ r∗ + 1, то згiдно з (9) маємо:
‖f − Sn−1(f)‖p = ‖Wr∗,s∗(f)‖p ≤ En(f)p ≤ ‖f − Sn−1(f)‖p,
що й доводить непокращуванiсть оцiнки (7).
Приклад 1. Нехай hr(z,N)— r–та гiперболiчна функцiя порядку
N ∈ N, r ∈ N, (див., наприклад, [12, p. 57]), тобто
hr(z,N) =
∞∑
j=0
zjN+r−1
(jN + r − 1)!
.
270 В. В. Савчук, С. О. Чайченко
Тодi, якщо r ≤ N , то для всiх p ∈ [1,∞]
En(hr(·, N))p = ‖hr(·, N)‖p, n = 0, 1, . . . , r − 1.
Приклад 2. Нехай f(z) = ez i 1 ≤ p ≤ ∞. Тодi для будь-якого
n ∈ Z+
‖hn+1(·, n+ 1)‖p ≤ En(f)p ≤ ‖hn+1(·, 1)‖p.
Зокрема,
En(f)2 = ‖hn+1(·, 1)‖2
i
1
n!
+
1
(2n+ 1)!
+
1
(3n+ 2)!
+ · · · ≤ En(f)∞ ≤
≤ 1
n!
+
1
(n+ 1)!
+
1
(n+ 2)!
+ · · · .
В наступному твердженнi йдеться про те, що многочлен найкра-
щого наближення iнварiантного елемента оператора Wr,s, тобто та-
кої функцiї, що Wr,s(f) = f також є iнварiантним елементом.
Теорема 3. Нехай f ∈ Hp, 1 < p ≤ ∞, i f(z) =
∑∞
j=0 ajz
js+r,
r ∈ Z+, s ∈ N. Якщо s ≥ r+1, то послiдовнiсть {P ∗n}∞n=0 многочленiв
найкращого наближення функцiї f в просторi Hp має вигляд
P ∗n(z) =
0, n = 0, 1, . . . , r − 1, r ∈ N,
[(n−r)/s]∑
j=0
cjz
js+r, n ≥ r, r ∈ Z+,
де [·] означає цiлу частину числа.
Зазначимо, що доведення того факту, що P ∗n(z) = c0 = const при
r = 0 i n = 0, 1, . . . , s− 1 належить М. З. Двейрiну [11].
Доведення. Оскiльки f = Wr,s(f), то згiдно з теоремою 2
En(f)p = ‖f‖p при n = 1, 2, . . . , r, у випадку, коли r ∈ N. Якщо ж
r ∈ Z+ i n ≥ r + 1, то згiдно з теоремою 1
En(f)p ≥ ‖Wr,s(f − P ∗n−1)‖p = ‖f −Wr,s(P
∗
n−1)‖p.
Доповнення до теореми Ф. Вiнера . . . 271
З другого боку, в силу того, що Wr,s(P
∗
n−1) ∈ Pn−1, маємо:
En(f)p ≤ ‖f −Wr,s(P
∗
n−1)‖p.
Отже, многочлен Wr,s(P
∗
n−1) також є многочленом найкращого
наближення функцiї f . Але оскiльки многочлен найкращого набли-
ження в Hp при 1 < p ≤ ∞ є єдиним, то P ∗n =Wr,s(P
∗
n).
Наведемо ще одне цiкаве застосування теореми 2 в задачi про по-
будову многочленiв найкращого наближення голоморфної функцiї,
яка має лакунарний ряд Тейлора.
Наступне твердження належить С. Я. Альперу [13]. Тут ми про-
понуємо елементарне доведення.
Теорема 4 [13]. Нехай f(z) =
∑∞
ν=1 aνz
nν , де aν ∈ C\{0}, а nν —
натуральнi числа, такi, що для кожного ν ∈ N всi члени числової
послiдовностi {nν+µ − nν+µ−1}∞µ=1 мають спiльний дiльник dν ≥
nν + 1. Тодi якщо f ∈ H1, то при кожному p ≥ 1 многочлен Sn(f)
степеня n, nk−1 ≤ n < nk, є многочленом найкращого наближення
функцiї f в метрицi Hp, тобто
‖f − Sn(f)‖p = En+1(f)p, ∀ n ∈ [nk−1, nk), k ∈ N, n0 = 1. (10)
Доведення. Нехай nν+µ − nν+µ−1 = cν,µdν , де (cν,µ), ν, µ ∈ N —
нескiнченна прямокутна матриця натуральних чисел. Тодi
nν+µ = nν + dν
µ∑
j=1
cν,j , ν, µ ∈ N. (11)
Далi, зафiксувавши довiльне число k ∈ N, при кожному
n ∈ [nk−1, nk) з урахуванням (11) переконуємося в виконаннi умови
(8) при r∗ = nk i s∗ = dk:
znkWnk,dk(f)(z
dk) =
= akz
nk + ak+1z
ck,1dk+nk + ak+2z
(ck,1+ck,2)dk+nk + · · · =
=
∞∑
ν=k
aνz
nν = f(z)− Sn(f)(z), z ∈ D.
272 В. В. Савчук, С. О. Чайченко
З огляду на те, що dk ≥ nk+1, k ∈ N, а функцiя f внаслiдок умов
теореми належить всiм просторам Hp, p ≥ 1, (див., наприклад, [14,
с. 690]), за теоремою 2 одержуємо рiвностi (10).
1. Bohr H. A theorem concerning power series // Proc. London Math. Soc. —
1914. — (2) 13. — P. 1—5.
2. Boas H. P., Khavinson D. Vita: Frederich Wilhelm Wiener // The
Mathematical Intelligencer — 2000. — 22, № 2. — P. 73—75.
3. Szász O. Ungleichungen für die Koeffizienten einer Potenzreihe // Math. Z. —
1918. — 1. — P. 163—183.
4. Landau E., Gaier D. Darstellung und Bergrundung einiger neuerer Ergebnisse
der Funktionentheorie. — Berlin — New-York : Springer-Verlag, 1986. — 201 p.
5. Dirichlet P. G. L. Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische
Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne
gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält // Werke,
Band 1. — Berlin: Reimer, 1889. — 664 s.
6. Montgomery H. L., Vaughan R. C. Multiplicative Number Theory I. Classical
Theory. — New York: Cambridge University Press, 2006. — 552 p.
7. Голузин Г. М. Некоторые оценки для ограниченных функций // Мат. сб.
— 1950. — 26, № 1. — С. 7—18.
8. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменно-
го. — М.: Наука, 1966. — 623 с.
9. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. — М.: Мир, 1984,
— 469 с.
10. Савчук В. В. Найкращi наближення голоморфними функцiями. Застосу-
вання до найкращих многочленних наближень класiв голоморфних функ-
цiй // Укр. мат. журн. — 2007. — 59, № 8. – С. 1047—1067.
11. Двейрин М. З. Неравенство Адамара и наилучшее приближение функций,
аналитических в единичном круге // Укр. мат. вiсник — 2006. — 3, № 3.
— С. 315—330.
12. Gorenflo R., Kilbas A. A., Mainardi F., Rogosin S. V. Mittag–Leffler
Functions, Related Topics and Applications. — Berlin — Heidelberg : Springer-
Verlag, 2014. — 443 p.
13. Альпер С. Я. О наилучшем приближении функций, представимых лаку-
нарными рядами Фурье и Тейлора // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1963. —
27, 4. — С. 747—760.
14. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Физматгиз, 1961. — 936 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-301 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:15Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/63/93eecb1bc2ec880c4232347064b8b163.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3012018-02-02T20:43:26Z Supplement to F. Wiener sieve theorem Доповнення до теореми Ф. Вінера про решето Savchuk, V. V. Chaichenko, S. O. Савчук, В. В. Чайченко, С. О. The theorem of F. Wiener about sieve states: the norm of the operator $\mathcal W_{r,s} : f(z)=\sum_{j=0}^\infty \widehat f_jz^j\mapsto \sum_{j=0}^\infty \widehat f_{js+r}z^j$ on the space of bounded holomorphic in the disk $\mathbb D=\{z : |z|&lt;1\}$ functions is 1 if $r&lt;s$. We prove that restriction $r&lt;s$ is a final condition in this theorem. We give an applications of the Wiener's theorem to the problems of the best approximations of functions in the Hardy space $H_p$. Теорема Ф. Вінера про решето стверджує: норма оператора $\mathcal W_{r,s} : f(z)=\sum_{j=0}^\infty \widehat f_jz^j\mapsto \sum_{j=0}^\infty \widehat f_{js+r}z^j$ на просторі обмежених голоморфних в крузі $\mathbb D=\{z : |z|&lt;1\}$ функцій дорівнює одиниці, якщо $r&lt;s.$ Показано, що умова $r&lt;s$ в цій теоремі є остаточною. Наведено застосування теореми Ф. Вінера до задач найкращого наближення функцій простору Гарді $H_p$. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/301 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 262 - 272 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 262 - 272 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 262 - 272 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/301/333 Авторське право (c) 2015 В. В. Савчук, С. О. Чайченко |
| spellingShingle | Savchuk, V. V. Chaichenko, S. O. Савчук, В. В. Чайченко, С. О. Supplement to F. Wiener sieve theorem |
| title | Supplement to F. Wiener sieve theorem |
| title_alt | Доповнення до теореми Ф. Вінера про решето |
| title_full | Supplement to F. Wiener sieve theorem |
| title_fullStr | Supplement to F. Wiener sieve theorem |
| title_full_unstemmed | Supplement to F. Wiener sieve theorem |
| title_short | Supplement to F. Wiener sieve theorem |
| title_sort | supplement to f. wiener sieve theorem |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/301 |
| work_keys_str_mv | AT savchukvv supplementtofwienersievetheorem AT chaichenkoso supplementtofwienersievetheorem AT savčukvv supplementtofwienersievetheorem AT čajčenkoso supplementtofwienersievetheorem AT savchukvv dopovnennâdoteoremifvíneraprorešeto AT chaichenkoso dopovnennâdoteoremifvíneraprorešeto AT savčukvv dopovnennâdoteoremifvíneraprorešeto AT čajčenkoso dopovnennâdoteoremifvíneraprorešeto |