Asymptotic behavior of the Orlicz-Sobolev classes at infinity
The paper is devoted to the study of the behavior at infinity of homeomorphisms with finite distortion in the Orlicz-Sobolev classes $W^{1,\varphi}_{\rm loc}$ with a condition of the Calderon type on $\varphi$ and, in particular, in the classes $W^{1,p}_{\rm loc}$ with $p>n-1$.
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/302 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552806027624448 |
|---|---|
| author | Salimov, R. R. Салиров, Р. Р. Салимов, Р. Р. |
| author_facet | Salimov, R. R. Салиров, Р. Р. Салимов, Р. Р. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Р. Р. Салиров",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Salimov, R. R. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T20:51:51Z |
| description | The paper is devoted to the study of the behavior at infinity of homeomorphisms with finite distortion in the Orlicz-Sobolev classes $W^{1,\varphi}_{\rm loc}$ with a condition of the Calderon type on $\varphi$ and, in particular, in the classes $W^{1,p}_{\rm loc}$ with $p>n-1$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 273–284
УДК 517.51
Р. Р. Салимов (Ин–т математики НАН Украины, Киев)
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ КЛАССОВ
ОРЛИЧА-СОБОЛЕВА НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
The paper is devoted to the study of the behavior at infinity of homeomorphisms
with finite distortion in the Orlicz-Sobolev classes W 1,ϕ
loc with a condition of the
Calderon type on ϕ and, in particular, in the classes W 1,p
loc with p > n− 1.
В статье исследуется асимптотическое поведение на бесконечности го-
меоморфизмов с конечным искажением классов Орлича-Соболева W 1,ϕ
loc
при условии типа Кальдерона на функцию ϕ и, в частности, классов
Соболева W 1,p
loc при p > n− 1.
1. Введение. Напомним некоторые определения. Пусть D – об-
ласть в Rn, n > 2. Говорят, что гомеоморфизм f : D → Rn называ-
ется отображением с конечным искажением, если f ∈W 1,1
loc и
‖f ′(x)‖n 6 K(x) · Jf (x) (1)
для некоторой почти всюду конечной функции K(x) > 1, где f ′(x)
якобиева матрица f, ‖f ′(x)‖ – её операторная норма: ‖f ′(x)‖ =
sup
|h|=1
|f ′(x) · h| и Jf (x) = det f ′(x) – якобиан отображения f . В даль-
нейшем, полагаем
KI(x, f) =
J(x,f)
ln(f ′(x)) , если J(x, f) 6= 0
1, если f ′(x) = 0
∞, в остальных точках .
(2)
где l(f ′(x)) = min
|h|=1
|f ′(x) · h|.
Впервые понятие отображения с конечным искажением введено
в случае плоскости для f ∈W 1,2
loc в работе [1], (см. также [2]).
c© Р. Р. Салимов, 2015
274 Р. Р. Салимов
В настоящей статье для отображений с конечным искажением по-
лучен аналог известной теоремы Мартио-Рикмана-Вяйсяля о поряд-
ке роста квазирегулярных отображений, (см. [3, теорема 3.7]). Ряд
результатов в этом направлении ранее был получен для кольцевых
Q-отображений в работах [4], [5].
Следуя Орличу, для заданной выпуклой возрастающей функции
ϕ : [0,∞) → [0,∞), ϕ(0) = 0, обозначим символом Lϕ пространство
всех функций f : D → R, таких, что∫
D
ϕ
(
|f(x)|
λ
)
dm(x) <∞ (3)
при некотором λ > 0, (см., напр., [6]). Здесь m — мера Лебега в Rn.
Пространство Lϕ называется пространством Орлича.
Классом Орлича–Соболева W 1,ϕ
loc (D) называется класс всех ло-
кально интегрируемых функций f, заданных в D, с первыми обоб-
щёнными производными по Соболеву, градиент ∇f которых принад-
лежит классу Орлича локально в областиD. Если же, более того,∇f
принадлежит классу Орлича в области D, мы пишем f ∈ W 1,ϕ(D).
Заметим, что по определению W 1,ϕ
loc ⊂ W 1,1
loc . Как обычно, мы пи-
шем f ∈ W 1,p
loc , если ϕ(t) = tp, p > 1. Известно, что непрерывная
функция f принадлежит классу W 1,p
loc тогда и только тогда, когда
f ∈ ACLp, т.е., если f локально абсолютно непрерывна на почти
всех прямых, параллельных координатным осям, а первые частные
производные f локально интегрируемы в степени p в областиD, (см.,
напр., [7, разд. 1.1.3.]).
Далее, если f — локально интегрируемая вектор–функция n ве-
щественных переменных x1, . . . , xn, f = (f1, . . . , fm), fi ∈ W 1,1
loc ,
i = 1, . . . ,m, и ∫
D
ϕ (|∇f(x)|) dm(x) <∞ , (4)
где |∇f(x)| =
√
m∑
i=1
n∑
j=1
(
∂fi
∂xj
)2
, то мы снова пишем f ∈W 1,ϕ
loc .Мы так-
же используем обозначение W 1,ϕ
loc в случае более общих функций ϕ,
Асимптотическое поведение классов Орлича–Соболева . . . 275
чем в классах Орлича, всегда предполагающих выпуклость функции
ϕ и ее нормировку ϕ(0) = 0.
Отметим, что классы Орлича–Соболева сейчас, как и ранее, изу-
чаются в самых различных аспектах многими авторами, (см., напр.,
[8–25]).
2. Предварительные сведения. Напомним некоторые опреде-
ления. Борелева функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой
для семейства кривых Γ в Rn, n > 2, пишут ρ ∈ adm Γ, если∫
γ
ρ(x) ds > 1 (5)
для всех γ ∈ Γ. Тогда модулем семейства кривых Γ называется ве-
личина
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
Rn
ρn(x) dm(x) (6)
Здесь m обозначает меру Лебега в Rn.
Следуя работе [26], пару E = (A,C), где A ⊂ Rn – открытое
множество и C – непустое компактное множество, содержащееся в
A, называем конденсатором. Конденсатор E называется кольцевым
конденсатором, если G = A \ C – кольцо, т.е., если G – область,
дополнение которой Rn \ G состоит в точности из двух компонент.
Говорят также, что конденсатор E = (A,C) лежит в области D, если
A ⊂ D. Очевидно, что если f : D → Rn – непрерывное, открытое
отображение и E = (A,C) – конденсатор в D, то (fA, fC) также
конденсатор в fD. Далее fE = (fA, fC).
Функция u : A→ R абсолютно непрерывна на прямой, имеющей
непустое пересечение с A, если она абсолютно непрерывна на любом
отрезке этой прямой, заключенном в A. Функция u : A→ R принад-
лежит классу ACL (абсолютно непрерывна на почти всех прямых),
если она абсолютно непрерывна на почти всех прямых, параллель-
ных любой координатной оси.
Обозначим через C0(A) множество непрерывных функций u :
A → R с компактным носителем, W0(E) = W0(A,C) – семейство
неотрицательных функций u : A → R таких, что 1) u ∈ C0(A), 2)
276 Р. Р. Салимов
u(x) > 1 для x ∈ C и 3) u принадлежит классу ACL. Также обозна-
чим
|∇u| =
√√√√ n∑
i=1
(
∂u
∂xi
)2
. (7)
Величину
cap E = cap (A,C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|n dm(x) (8)
называют ёмкостью конденсатора E .
ПустьD – область в Rn , n > 2. E ,F ⊆ D− произвольные множе-
ства. Обозначим через ∆(E,F ;D) семейство всех кривых γ : [a, b] →
Rn , которые соединяют E и F в D , т.е. γ(a) ∈ E , γ(b) ∈ F и
γ(t) ∈ D при a < t < b .
В дальнейшем мы будем использовать равенство
cap E = M(∆(∂A, ∂C;A \ C)), (9)
см. [27, теорема 1].
Известно, что
cap E > nnΩn ln1−n
[
m(A)
m(C)
]
(10)
где Ωn — объем единичного шара в Rn, (см., напр., [28, неравенство
(8.9)]).
Напомним следующие термины. Пусть d0 = dist (x0 , ∂D) и пусть
Q : D → [0 ,∞] – измеримая по Лебегу функция. Положим
A(x0, r1, r2) = {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2} , (11)
Si = S(x0, ri) = {x ∈ Rn : |x− x0| = ri} , i = 1, 2. (12)
Будем говорить, что гомеоморфизм f : D → Rn является кольце-
вым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, если соотношение
M (∆ (fS1, fS2, fD)) 6
∫
A
Q(x) · ηn(|x− x0|) dm(x) (13)
Асимптотическое поведение классов Орлича–Соболева . . . 277
выполнено для любого кольца A = A(x0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0 и
для каждой измеримой функции η : (r1, r2)→ [0,∞] , такой, что
r2∫
r1
η(r) dr > 1 . (14)
Говорят, что гомеоморфизм f : D → Rn является кольцевым Q-го-
меоморфизмом в области D, если условие (13) выполнено для всех
точек x0 ∈ D .
Следующее утверждение можно найти в работе [16, теорема 2.2].
Теорема 1. Пусть D и D′ – области в Rn, n > 3, ϕ :
(0,∞) → (0,∞) – неубывающая функция, такая, что для некото-
рого t∗ ∈ (0,∞)
∞∫
t∗
[
t
ϕ(t)
] 1
n−2
dt <∞ . (15)
Если KI(x, f) ∈ L1
loc(D), тогда любой гомеоморфизм f : D →
D′ конечного искажения класса W 1,ϕ
loc является кольцевым Q-
гомеоморфизмом с Q(x) = KI(x, f).
3. Поведение на бесконечности. Пусть r0 – произвольное
фиксированное положительное число и x0 ∈ Rn. Для гомеоморфиз-
ма f : Rn → Rn полагаем
L(x0, f, R) = sup
|x−x0|=R
|f(x)− f(x0)| . (16)
Лемма 2. Пусть f : Rn → Rn, n > 3 — гомеоморфизм конечного
искажения класса W 1,ϕ
loc с условием (15). Если KI(x, f) ∈ L1
loc(Rn),
тогда
M (∆ (fS1, fS2, fA)) 6 Λ(R) , (17)
где S1 = S(x0, r0), S1 = S(x0, R), A = A(x0, r0, R) и
Λ(R) =
R∫
r0
ψ(t) dt
−n · ∫
A
KI(x, f)ψn(|x− x0|) dm(x) (18)
278 Р. Р. Салимов
для любой измеримой (по Лебегу) функции ψ : [0,∞]→ [0,∞] такой,
что
0 <
R∫
r0
ψ(t) dt <∞ ∀R > r0 . (19)
Доказательство. Пусть A = A(x0, r0, R) с 0 < r0 < R. Рас-
смотрим измеримую функцию
η(t) =
ψ(t)
R∫
r0
ψ(t) dt
, t ∈ (r0, R)
0, t ∈ R \ (r0, R).
(20)
Отметим, что функция η(t) удовлетворяет условию (14). Тогда из
теоремы 1 вытекает оценка (17).
Лемма 3. Пусть f : Rn → Rn, n > 3 — гомеоморфизм конечного
искажения класса W 1,ϕ
loc с условием (15). Если KI(x, f) ∈ L1
loc(Rn),
тогда
lim inf
R→∞
L(x0, R, f) exp
[
−
(
ωn−1
Λ(R)
) 1
n−1
]
> 0 , (21)
где ωn−1 – площадь единичной сферы Sn−1 в Rn , S1 = S(x0, r0), S1 =
S(x0, R) и
Λ(R) =
R∫
r0
ψ(t) dt
−n · ∫
A(x0,r0,R)
KI(x, f)ψn(|x− x0|) dm(x) (22)
для любой измеримой (по Лебегу) функции ψ : [0,∞]→ [0,∞] такой,
что
0 <
R∫
r0
ψ(t) dt <∞ ∀R > r0 . (23)
Доказательство. Рассмотрим сферическое кольцо
A = A(x0, r0, R) с 0 < r0 < R. Тогда
(
fB (x0, R) , fB (x0, r0)
)
—
Асимптотическое поведение классов Орлича–Соболева . . . 279
кольцевой конденсатор в Rn и, согласно (9), имеем равенство
cap
(
fB(x0, R), fB(x0, r0)
)
= M(4(∂fB(x0, R), ∂fB(x0, r0); fA))
а ввиду гомеоморфности f, равенство
4 (∂fB (x0, R) , ∂fB (x0, r0) ; fA) = f (4 (∂B(x0, R), ∂B(x0, r0);A)) .
В силу леммы 2 имеем
cap
(
fB(x0, R), fB(x0, r0)
)
6 Λ(R) . (24)
С другой стороны, в силу неравенства (10) вытекает оценка
cap
(
fB(x0, R), fB(x0, r0)
)
> nnΩn ln1−n
m (fB(x0, R))
m
(
fB(x0, r0)
)
, (25)
где Ωn — объем единичного шара в Rn .
Комбинируя (24) и (25), получаем, что
m
(
fB(x0, r0)
)
6 m (fB(x0, R)) exp
[
−n
(
ωn−1
Λ(R)
) 1
n−1
]
. (26)
Заметим, что m (fB(x0, R)) 6 ΩnL
n(x0, R, f), поэтому из нера-
венства (26) вытекает следующая оценка
n
√√√√m
(
fB(x0, r0)
)
Ωn
6 L(x0, R, f) exp
(
−ωn−1
Λ(R)
) 1
n−1
. (27)
Очевидно, M =
n
√
m(fB(x0,r0) )
Ωn
> 0 и не зависит от R. Переходя
к нижнему пределу при R→∞, получаем (21).
Лемма 4. Пусть f : Rn → Rn, n > 3, — гомеоморфизм конечного
искажения класса W 1,ϕ
loc с условием (15) и KI(x, f) ∈ Lloc(Rn). Если
для p < n∫
A(x0,r0,R)
KI(x, f)ψn(|x− x0|) dm(x) 6 c · Ip(R) ∀R > r0 , (28)
280 Р. Р. Салимов
где ψ : [0,∞] → [0,∞] – неотрицательная измеримая (по Лебегу)
функция такая, что
0 < I(R) =
R∫
r0
ψ(t) dt <∞ ∀R > r0 , (29)
то
lim inf
R→∞
L(x0, R, f) exp
[
−α I
n−p
n−1 (R)
]
> 0 , (30)
где α =
(ωn−1
c
) 1
n−1 .
Доказательство. Ввиду условия (28) получаем
Λ(R) =
·
∫
A(x0,r0,R)
KI(x, f)ψn(|x− x0|) dm(x)(
R∫
r0
ψ(t) dt
)n 6 cIp−n(R) . (31)
Отсюда следует, что
exp
[
−
(
ωn−1
Λ(R)
) 1
n−1
]
6 exp
[
−
(ωn−1
c
) 1
n−1
I
n−p
n−1 (R)
]
. (32)
Таким образом, заключение леммы 4 вытекает из леммы 3.
В дальнейшем, для целых k > 0 полагаем
e0 = 1, e1 = e, e2 = ee, . . . , ek+1 = exp ek (33)
и
ln0 t = t, ln1 t = ln t, ln2 t = ln ln t, . . . , lnk+1 t = ln lnk t . (34)
Лемма 5. При R > eN справедливо равенство
R∫
eN
dt
N∏
k=0
lnk t
= lnN+1R . (35)
Асимптотическое поведение классов Орлича–Соболева . . . 281
Доказательство. Действительно, выполнив замену перемен-
ной s = lnN t, получим заявленное утверждение:
R∫
eN
dt
N∏
k=0
lnk t
=
lnN R∫
1
ds
s
= ln lnN R = lnN+1R . (36)
Выбирая в лемме 4 ψ(t) = 1
N∏
k=0
lnk t
, r0 = eN и p = 1, приходим к
следующему утверждению.
Теорема 2. Пусть f : Rn → Rn, n > 3, — гомеоморфизм конеч-
ного искажения класса W 1,ϕ
loc с условием (15) и KI(x, f) ∈ Lloc(Rn).
Если ∫
A(x0,eN ,R)
KI(x, f) dm(x)(
N∏
k=0
lnk |x− x0|
)n 6 c · lnN+1(R) ∀R > eN , (37)
то
lim inf
R→∞
L(x0, R, f)
lnγN (R)
> 0 , (38)
где γ =
(ωn−1
c
) 1
n−1 .
Выбирая в теореме 2 N = 0, приходим к следующему следствию.
Следствие 1. Пусть f : Rn → Rn, n > 3, — гомеоморфизм
конечного искажения класса W 1,ϕ
loc с условием (15) и KI(x, f) ∈
Lloc(Rn). Если∫
A(x0,1,R)
KI(x, f) dm(x)
|x− x0|n
6 c · lnR ∀R > 1 , (39)
то
lim inf
R→∞
L(x0, R, f)
Rγ
> 0 , (40)
где γ =
(ωn−1
c
) 1
n−1 .
282 Р. Р. Салимов
Следствие 2. Пусть f : Rn → Rn, n > 3, — гомеоморфизм
конечного искажения класса W 1,ϕ
loc с условием (15). Если
1
ωn−1Rn−1
∫
S(x0,R)
KI(x, f) dA 6 κI(x0) ∀R > 1 , (41)
то
lim inf
R→∞
L(x0, R, f)
Rα
> 0 , (42)
где α = κ
1
1−n
I (x0) и dA – элемент площади поверхности.
Замечание. В частности, если KI(x, f) 6 K,K ∈ [1,∞), из след-
ствия 2 следует известный результат О. Мартио, С. Рикмана и Ю.
Вяйсяля [3, теорема 3.7]:
lim sup
x→∞
|f(x)|
|x|α
> 0 , (43)
где α = K
1
1−n .
1. Iwaniec T., Sverák V. On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer.
Math. Soc. – 1993. – 118. – P. 181–188.
2. Iwaniec T., Martin G. Geometrical Function Theory and Non-Linear Analysis.
— Clarendon Press, Oxford, 2001.
3. Martio O., Rickman, S., Väisälä J. Distortion and singularities of quasiregular
mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 465, (1970), 1–13.
4. Салимов Р. Р., Смоловая Е. С. О порядке роста кольцевых Q-
гомеоморфизмов на бесконечности // Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 6. -
С. 829-836.
5. Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. Аналоги леммы Икома–Шварца и тео-
ремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой //
Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 10. – С. 1368–1380.
6. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и простран-
ства Орлича. — М.:физматгиз, 1958.
7. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. — Л.: ЛГУ, 1985. – 416 с.
8. Афанасьева Е. С., Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Об отображениях в клас-
сах Орлича-–Соболева на римановых многообразиях // Укр. мат. вiсник.
– 2011. – 8, № 3. – С. 319—342.
Асимптотическое поведение классов Орлича–Соболева . . . 283
9. Alberico A., Cianchi A. Differentiability properties of Orlicz-Sobolev functions
// Ark. Mat. – 2005. – 43. – P. 1–28.
10. Calderon A. P. On the differentiability of absolutely continuous functions //
Riv. Math. Univ. Parma. – 1951. – 2. – C. 203–213.
11. Cianchi A. A sharp embedding theorem for Orlicz-Sobolev spaces // Indiana
Univ. Math. J. – 1996. – 45, № 1. – P. 39–65.
12. Donaldson T. Nonlinear elliptic boundary-value problems in Orlicz-Sobolev
spaces // J. Diff. Eq. – 1971. – 10. – P. 507–528.
13. Gossez J. P., Mustonen V. Variational inequalities in Orlicz-Sobolev
spaces // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. – 1987. – 11. –
P. 379–392.
14. Hsini M. Existence of solutions to a semilinear elliptic system through
generalized Orlicz–Sobolev spaces // J. Partial Differ. Equ. — 2010. — 23,
№ 2. – P. 168–193.
15. Iwaniec T., Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion:
Compactness // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math. – 2002. – 27, № 2. –
P. 391–417.
16. Kovtonyuk D., Ryazanov V. New modulus estimates in Orlicz-Sobolev classes
// Ann. Univ. Buchar. Math. Ser., 5 (LXIII) (2014), 131–135
17. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р.Р., Севостьянов Е.А. К тео-
рии классов Орлича–Соболева // Алгебра и анализ. — 2013. — 25, № 6. —
С. 1–53
18. Koronel J. D. Continuity and k-th order differentiability in Orlicz-Sobolev
spaces: WkLA” // Israel J. Math. – 1976. – 24, № 2. – P. 119–138.
19. Kauhanen J., Koskela P., Maly J. On functions with derivatives in a Lorentz
space // Manuscripta Math. – 1999. – 10. – P. 87–101.
20. Khruslov E. Ya., Pankratov L. S. Homogenization of the Dirichlet variational
problems in Sobolev-Orlicz spaces. – Operator theory and its applications
(Winuipeg, MB, 1998), 345-366, Fields Inst. Commun., 25, Amer. Math. Soc,.
Providence, RI, 2000.
21. Landes R., Mustonen V. Pseudo-monotone mappings in Sobolev-Orlicz spaces
and nonlinear boundary value problems on unbounded domains // J. Math.
Anal. Appl. – 1982. – 88. – P. 25–36.
22. Lappalainen V., Lehtonen A. Embedding of Orlicz-Sobolev spaces in Hölder
spaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math. — 1989. — 14, № 1. — P.
41–46.
23. Onninen J. Differentiability of monotone Sobolev functions // Real. Anal.
Exchange. – 2000/2001. – 26, № 2. – P. 761–772.
24. Tuominen H. Characterization of Orlicz-Sobolev space // Ark. Mat. – 2007.
– 45, № 1. – P. 123–139.
284 Р. Р. Салимов
25. Vuillermot P. A. Hölder-regularity for the solutions of strongly nonlinear
eigenvalue problems on Orlicz-Sobolev space // Houston J. Math. – 1987.
– 13. – P. 281–287.
26. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings //
Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math. – 1969. – 448. – P. 1–40.
27. Шлык В. А. О равенстве p-емкости и p-модуля // Сиб. мат. журн. —
1993. — 34, № 6. — С. 216–221.
28. Maz’ya V. Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the
theory of Sobolev spaces // Contemp. Math. – 2003. – 338, P. 307—340.
29. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping
Theory, Springer Monographs in Mathematics. – Springer, New York etc.,
2009. – 367 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-302 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:17Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/56/1c2a4f8af69767d29cefe9f46c585356.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3022018-02-02T20:51:51Z Asymptotic behavior of the Orlicz-Sobolev classes at infinity Асимптотическое поведение классов Орлича-Соболева на бесконечности Асимптотическое поведение классов Орлича-Соболева на бесконечности Salimov, R. R. Салиров, Р. Р. Салимов, Р. Р. The paper is devoted to the study of the behavior at infinity of homeomorphisms with finite distortion in the Orlicz-Sobolev classes $W^{1,\varphi}_{\rm loc}$ with a condition of the Calderon type on $\varphi$ and, in particular, in the classes $W^{1,p}_{\rm loc}$ with $p&gt;n-1$. В статье исследуется асимптотическое поведение на бесконечности гомеоморфизмов с конечным искажением классов Орлича-Соболева $W^{1,\varphi}_{\rm loc}$ при условии типа Кальдерона на функцию $\varphi$ и, в частности, классов Соболева $W^{1,p}_{\rm loc}$ при $p&gt;n-1$. В статье исследуется асимптотическое поведение на бесконечности гомеоморфизмов с конечным искажением классов Орлича-Соболева $W^{1,\varphi}_{\rm loc}$ при условии типа Кальдерона на функцию $\varphi$ и, в частности, классов Соболева $W^{1,p}_{\rm loc}$ при $p&gt;n-1$. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/302 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 273 - 284 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 273 - 284 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 273 - 284 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/302/334 Авторське право (c) 2015 Р. Р. Салимов |
| spellingShingle | Salimov, R. R. Салиров, Р. Р. Салимов, Р. Р. Asymptotic behavior of the Orlicz-Sobolev classes at infinity |
| title | Asymptotic behavior of the Orlicz-Sobolev classes at infinity |
| title_alt | Асимптотическое поведение классов Орлича-Соболева на бесконечности Асимптотическое поведение классов Орлича-Соболева на бесконечности |
| title_full | Asymptotic behavior of the Orlicz-Sobolev classes at infinity |
| title_fullStr | Asymptotic behavior of the Orlicz-Sobolev classes at infinity |
| title_full_unstemmed | Asymptotic behavior of the Orlicz-Sobolev classes at infinity |
| title_short | Asymptotic behavior of the Orlicz-Sobolev classes at infinity |
| title_sort | asymptotic behavior of the orlicz-sobolev classes at infinity |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/302 |
| work_keys_str_mv | AT salimovrr asymptoticbehavioroftheorliczsobolevclassesatinfinity AT salirovrr asymptoticbehavioroftheorliczsobolevclassesatinfinity AT salimovrr asymptoticbehavioroftheorliczsobolevclassesatinfinity AT salimovrr asimptotičeskoepovedenieklassovorličasobolevanabeskonečnosti AT salirovrr asimptotičeskoepovedenieklassovorličasobolevanabeskonečnosti AT salimovrr asimptotičeskoepovedenieklassovorličasobolevanabeskonečnosti |