The set of measure zero, which contains spheres of arbitrary radii
We build null-measured set in $\mathbb{R}^n$ that contains spheres with all radii
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/303 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552806988120064 |
|---|---|
| author | Stefanchuk, M. V. Tkachuk, M. V. Стефанчук, М. В. Ткачук, М. В. |
| author_facet | Stefanchuk, M. V. Tkachuk, M. V. Стефанчук, М. В. Ткачук, М. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Стефанчук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "М. В. Ткачук",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Stefanchuk, M. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T21:10:44Z |
| description | We build null-measured set in $\mathbb{R}^n$ that contains spheres with all radii |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 285–289
УДК 517.9
М. В. Стефанчук, М.В. Ткачук (Iн–т математики НАН України,
Київ)
МНОЖИНА МIРИ НУЛЬ, ЯКА МIСТИТЬ СФЕРИ
ДОВIЛЬНИХ РАДIУСIВ
We build null-measured set in Rn that contains spheres with all radii.
Побудовано множину мiри нуль в Rn, яка мiстить сфери зi всiма мож-
ливими радiусами.
Нехай M = (Mi, i ∈ N) є сiм’єю множин в n-вимiрному евклiдово-
му просторi Rn. Нас цiкавлять такi сiм’ї множин, якi пiсля застосу-
вання до них сiм’ї Т геометричних перетворень Ti, (i ∈ N), по-перше,
будуть належати множинi досить малої мiри i, по-друге, їх об’єднан-
ня матиме мiру нуль.
У роботах [1–3] це питання дослiджувалося для множин евклi-
дової площини. Зокрема, Безiкович [2], [3] розглядав випадки, коли
М є сiм’єю всiх вiдрiзкiв скiнченної довжини та довiльнх напрямкiв,
а також сiм’єю прямих довiльних напрямкiв. Крiм цього, у робо-
тi [3] вiн дослiджував дане питання для сiм’ї кiл усiх радiусiв. В
результатi геометричних перетворень об’єднання цих сiмей можна
було помiстити у замкнуту множину плоскої мiри нуль.
У данiй статтi ми дослiджуємо цю проблему для сiм’ї сфер до-
вiльних радiусiв в n-вимiрному евклiдовому просторi Rn. За допомо-
гою геометричних перетворень буде отримано об’єднання цих сфер,
яке можна помiстити у множину (лебегової) мiри нуль.
Теорема. В n-вимiрному евклiдовому просторi Rn iснує множи-
на мiри нуль, яка мiстить сфери усiх радiусiв.
Доведення. Спочатку побудуємо множину мiри < ε, яка мiстить
сфери всiх радiусiв з вiдрiзка [a, b]. Для цього ми вiзьмемо сферичний
шар з межовими сферами радiусiв a и b, роздiлимо його на досить
велику кiлькiсть N сферичних шарiв однакової товщини i кожен з
них паралельно перенесемо на деякий вектор так, щоб в результатi
мiра їх об’єднання стала в u < 1 разiв меншою вiд початкової.
c© М. В. Стефанчук, М. В. Ткачук, 2015
286 М.В. Стефанчук, М.В. Ткачук
Розглянемо перетворення T (e, n) сферичного шару S(O, r,R) з
центром O i радiусами межових сфер r,R (e – деякий одиничний
вектор, n – натуральне число). Вважаємо, що внутрiшня межова
сфера належить шару, а зовнiшня – нi. Роздiлимо S(O, r,R) на n
шарiв однакової товщини:
S(O, r,R) =
⊔
1≤k≤n
S(O, r + (k − 1)δ, r + kδ), δ =
R− r
n
.
Перенесемо шари паралельно так, щоб в результатi всi вони мали
спiльну зовнiшню дотичну гiперплощину, перпендикулярну e. Тодi,
T (e, n)S(O, r,R) =
=
{
S(O + (n− k)δe, r + (k − 1)δ, r + kδ); δ =
R− r
n
, 1 ≤ k ≤ n
}
.
Зауважимо, що результатом перетворення є множина шарiв, i ко-
жен шар в результатi перетворення T (e, n) був паралельно перене-
сений на вектор
τk = (n− k)δe = n− k
n
(R− r)e.
Вiзьмемо тепер множину одиничних векторiв {e1, e2, . . . , em}, якi
утворюють ε-сiтку на одиничнiй сферi. Здiйснимо перетворення
T (e1, n)S(O, a, b), а тодi застосуємо T (e2, n) до кожного утвореного
шару i так далi. В результатi ми отримаємо множину nm шарiв тов-
щини b−a
nm , кожен з яких отриманий паралельним перенесенням на
вектор
tj =
m∑
i=1
τki =
m∑
i=1
n− ki
ni
(b− a)ei
вiд початкового положення, де j = 1+
m∑
i=1
(ki−1)ni−1 ∈ [1, nm] – iндекс
на множинi отриманих nm шарiв, {k1, k2, . . . , km} – мультиiндекс,
який вiдповiдає j, ki – iндекс шару на i-му кроцi. Об’єднання шарiв
пiсля i-го кроку позначимо Ui.
Множина мiри нуль, яка мiстить сфери довiльних радусiв 287
Вiдмiтимо, що ‖tj‖ ≤ b − a,
m∑
i=l+1
τki ≤ b−a
nl
. Таким чином, пiсля
i-го кроку товщина кожного шару стане b−a
ni , а центр кожного шару
буде вiддалений вiд початку координат не бiльше, нiж на b− a, при
цьому за всi наступнi кроки кожен утворений шар перенесеться не
бiльше, нiж на b−a
ni .
Розглянемо перетин об’єднання множини UN сферичних шарiв з
променем ray(O, θ), який виходить з початку координат у напрям-
ку вектора θ. Якщо ми доведемо, що лiнiйна мiра цього перетину
менша, нiж u(b − a), то цим ми доведемо, що мiра множини шарiв
в u < 1 разiв менша, нiж початкова мiра шару S(O, a, b). При цьо-
му, внаслiдок неперервної залежностi мiри перетину вiд вектора θ,
достатньо довести нерiвнiсть для ε-сiтки векторiв {e1, e2, . . . , em}.
Очевидно, що кожен елемент множини T (e, n)S(O, r,R) належить
множинi {
x; ‖x−O‖ ≤ R,
∥∥∥∥x−O − n− 1
n
(R− r)e
∥∥∥∥ > r
}
.
При цьому точка O вiддалена вiд початку координат не далi, нiж
на b − a. Перенесемо початок координат в точку O i знайдемо мiру
перетину
µ
(
ray(O + g, e)
⋂{
x; ‖x‖ ≤ R,
∥∥∥∥x− n− 1
n
(R− r)e
∥∥∥∥ > r
})
,
‖g‖ ≤ b− a.
Нехай x = x1e+ g, тодi шукана мiра не перевищує
µ
({
x1;x
2
1 ≤ R2 − ‖g‖2, (x− n− 1
n
(R− r))2 > r2 − ‖g‖2
})
=
=
√
R2 − ‖g‖2 −
√
r2 − ‖g‖2 − n− 1
n
(R− r) ≤
≤ (R− r)
(
R+ r√
R2 − ‖g‖2 +
√
r2 − ‖g‖2
− n− 1
n
)
≤
≤ (R− r)
(√
b
2a− b
− n− 1
n
)
<
1
2
(R− r),
288 М.В. Стефанчук, М.В. Ткачук
при b− a ≤ b
10 , n ≥ 4.
Таким чином, довiльний сферичний шар можна роздiлити на
скiнченну кiлькiсть неперетинних шарiв, кожен з яких задовольняє
умову b− a ≤ b
10 .
Описаний процес, розпочатий у сферичному шарi з радiусами
внутрiшнього та зовнiшнього кiл a i b, назвемо процесом Pn. Даний
процес можна застосувати до будь-якого сферичного шару, причому
радiус внутрiшньої сфери має бути додатний.
Тепер побудуємо замкнуту обмежену множину S∗ мiри нуль, яка
мiстить сфери довiльних радiусiв r, a ≤ r < b, a > 0. Для довiльної
n-вимiрної множини Т позначимо через T δ множину всiх точок, якi
знаходяться на вiдстанi, меншiй, нiж δ, вiд хоча б однiєї точки з
множини Т.
Опишемо iндуктивну побудову сiм’ї множин Sδνν (ν = 1, 2, ...).
Нехай ν додатне цiле число i Sν об’єднання скiнченної кiлькостi
шарiв Aλ i нехай δν > 0. Нехай mnS
δν
ν < 2−ν i сфери, що обмежують
Aλ, мають радiуси rλ, Rλ. Припустимо, що промiжки, rλ ≤ r < Rλ
покривають промiжок 0 < a ≤ r < b. S1 i δ1 можна побудувати за
вищеописаним методом. Подiлимо кожне Aλ на k концентричних пiд-
шарiв однакової ширини i застосуємо Pn до кожного пiдшару. Якщо
k i n досить великi, то кожен шар розрiзаний на скiнченну кiлькiсть
шарiв. Застосувавши до них менше, нiж 2−ν , геометричних перетво-
рень, отримаємо об’єднання Sν+1, мiра якого µ(Sν+1) < 2−ν−1. При-
чому замикання Sν+1 лежить у внутрiшностi Sδνν . Тодi δν+1 таке, що
Sδνν ⊃ S
δν+1
ν+1 i µ(Sδν+1
ν+1 ) < 2−ν−1. Це i завершує iндуктивну побудову.
Нехай S
′
ν є замиканням Sδνν . Тодi S
′
1 ⊃ S
′
2 ⊃ ... i mnS
′
ν < 2−ν .
Покладемо
⋂
S
′
ν = S∗. Тодi S∗ замкнута i обмежена множина, а
також µ(S∗) = 0.
Розглянемо довiльне число r a ≤ r < a. Тодi для довiльного ν
iснує число aν таке, що сфера ‖z−aν‖ = r лежить в S
′
ν . З означення
Sν+1 випливає, що ми можемо зробити так, щоб ‖aν − aν+1‖ < 2−ν .
Тому limn→∞aν = a∗ iснує i сфера ‖z − a∗‖ = r належить S∗.
Нехай m – додатне цiле число. За вищеописаним методом для до-
вiльного додатного цiлого k побудуємо замкнуту обмежену множину
Множина мiри нуль, яка мiстить сфери довiльних радусiв 289
Tmk мiри нуль, яка мiстить сфери довiльного радiуса r у дiапазонi
m
(
10
11
)k
≤ r < m
(
10
11
)k−1
.
Тодi d(Tmk)→ 0, коли k →∞. Вибираємо amk ∈ Tmk. Тодi множина
Sm = {z − amk : k > 0, z ∈ Tmk}
замкнута, обмежена, має мiру нуль i мiстить сфери довiльного ра-
дiуса r < m. А множина
S = {z + d(Sm) +m : m > 0, z ∈ Sm}
задовольняє умову теореми.
1. Besicovitch A. S., Rado R. A plane set of measure zero containing circumfer-
ences of every radius. // J. London Math. Soc. — 1968 — 43. — P. 717 –
719.
2. Besicovitch A. S. Sur deux questions d’integrabilite des fonctions. //
J. Soc. Phys. – Math.(Perm’), 1919 (1920). — 2. P. 105 – 123.
3. Besicovitch A. S. On Kakeya’s problem and a similar one. // Math. Zeit., —
1928, — 27. — P. 312 – 320.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-303 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:18Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d0/010f0f59cdc8ecaf7d00498ea1bf1dd0.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3032018-02-02T21:10:44Z The set of measure zero, which contains spheres of arbitrary radii Множина міри нуль, яка містить сфери довільних радіусів Stefanchuk, M. V. Tkachuk, M. V. Стефанчук, М. В. Ткачук, М. В. We build null-measured set in $\mathbb{R}^n$ that contains spheres with all radii Побудовано множину міри нуль в $\mathbb{R}^n$, яка містить сфери зі всіма можливими радіусами Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/303 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 285 - 289 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 285 - 289 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 285 - 289 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/303/335 |
| spellingShingle | Stefanchuk, M. V. Tkachuk, M. V. Стефанчук, М. В. Ткачук, М. В. The set of measure zero, which contains spheres of arbitrary radii |
| title | The set of measure zero, which contains spheres of arbitrary radii |
| title_alt | Множина міри нуль, яка містить сфери довільних радіусів |
| title_full | The set of measure zero, which contains spheres of arbitrary radii |
| title_fullStr | The set of measure zero, which contains spheres of arbitrary radii |
| title_full_unstemmed | The set of measure zero, which contains spheres of arbitrary radii |
| title_short | The set of measure zero, which contains spheres of arbitrary radii |
| title_sort | set of measure zero, which contains spheres of arbitrary radii |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/303 |
| work_keys_str_mv | AT stefanchukmv thesetofmeasurezerowhichcontainsspheresofarbitraryradii AT tkachukmv thesetofmeasurezerowhichcontainsspheresofarbitraryradii AT stefančukmv thesetofmeasurezerowhichcontainsspheresofarbitraryradii AT tkačukmv thesetofmeasurezerowhichcontainsspheresofarbitraryradii AT stefanchukmv množinamírinulʹâkamístitʹsferidovílʹnihradíusív AT tkachukmv množinamírinulʹâkamístitʹsferidovílʹnihradíusív AT stefančukmv množinamírinulʹâkamístitʹsferidovílʹnihradíusív AT tkačukmv množinamírinulʹâkamístitʹsferidovílʹnihradíusív AT stefanchukmv setofmeasurezerowhichcontainsspheresofarbitraryradii AT tkachukmv setofmeasurezerowhichcontainsspheresofarbitraryradii AT stefančukmv setofmeasurezerowhichcontainsspheresofarbitraryradii AT tkačukmv setofmeasurezerowhichcontainsspheresofarbitraryradii |