On best nonsymmetric $L_1$-approximations of some classes of convolutions with generalized splines
We obtain the exact values of the best non-symmetric approximations of the classes of convolutions with $CVD$-kernels by splines $S_{2n,K_1}$ and $S_{2n,K_2}^{1}$ such that $ \bigvee _{0}^{2 \pi} \left( s \right) \le 1$ and $ \| s \| \ _{1} \le 1 $ respectively.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/305 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552809450176512 |
|---|---|
| author | Shevchenko, I. A. Шевченко, И. А. Шевченко, И. А. |
| author_facet | Shevchenko, I. A. Шевченко, И. А. Шевченко, И. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "И. А. Шевченко",
"institution": "Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара"
}
] |
| author_sort | Shevchenko, I. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T21:15:15Z |
| description | We obtain the exact values of the best non-symmetric approximations of the classes of convolutions with $CVD$-kernels by splines $S_{2n,K_1}$ and $S_{2n,K_2}^{1}$ such that $ \bigvee _{0}^{2 \pi} \left( s \right) \le 1$ and $ \| s \| \ _{1} \le 1 $ respectively. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т.12, №4, 290–298
УДК 517.51
И. А. Шевченко (Днепропетровский национальный университет
имени Олеся Гончара, Днепропетровск)
О НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ
L1-ПРИБЛИЖЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
СВЕРТОК ОБОБЩЕННЫМИ СПЛАЙНАМЫ
We obtain the exact values of the best non-symmetric approximations of the
classes of convolutions with CV D-kernels by splines S2n,K1 and S1
2n,K2
such
that
∨2π
0 (s) ≤ 1 and ‖s‖ 1 ≤ 1 respectively.
Найдены точные значения наилучших несимметричных приближений
классов сверток с CV D-ядрами обобщенными сплайнами S2n,K1 и S1
2n,K2
такими, что
∨2π
0 (s) ≤ 1 и ‖s‖ 1 ≤ 1 соответственно.
Пусть Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, — пространства 2π-периодических функ-
ций f : R → R с соответствующими нормами ‖ · ‖ p. Если α и
β-положительные числа, то для любой функции f ∈ Lp положим
‖f‖p;α,β = ‖αf+ + βf−‖p, где f±(t) = max{±f(t), 0}.
Наилучшим (α, β)-приближением функции f ∈ Lp множеством
H ⊂ Lp в метрике Lp будем называть величину
E (f,H)p;α,β = inf
u∈H
‖f − u‖p;α,β . (1)
Если еще M ⊂ Lp — некоторый класс функций, то величина
E (M,H)p;α,β = sup
f∈M
E (f,H)p;α,β (2)
называется наилучшим (α;β)-приближением класса M множеством
H в метрике Lp.
При α = β = 1 величины ( 1 ) и (2) совпадают с обычным наи-
лучшим Lp — приближением функции f (обозначение E (f,H)p )и
класса M (обозначение E (M,H)p ) соответственно.
Пусть H ⊂ Lp, сопоставим функции f(t) ∈ Lp подмножества
c© И. А. Шевченко, 2015
О наилучших несимметричных L1–приближениях . . . 291
H+
f = {u(t) : u ∈ H,u(t) ≤ f(t)},
H−f = {u(t) : u ∈ H,u(t) ≥ f(t)}.
Наилучшим односторонним приближением функции f ∈ Lp множе-
ством H ⊂ Lp в метрике Lp будем называть
E± (f,H)p =
{
inf ‖f − u‖p : u ∈ H±f , H
±
f 6= �,
∞, H±f = �
.
Если M ⊂ Lp-некоторый класс функций, то величина
E± (M,H)p = sup
f∈M
E± (f,H)p
называется наилучшим односторонним приближением класса M
подмножеством H в метрике Lp.
Известно также, что при достаточно общих предположениях [1,
теорема 1.4.10]
lim
β→∞
E(f,H)p;1,β = E+(f,H)p,
lim
β→∞
E(M,H)p;1,β = E+(M,H)p,
lim
α→∞
E(f,H)p;α,1 = E−(f,H)p,
lim
α→∞
E(M,H)p;α,1 = E−(M,H)p. (3)
Как обычно, свертку (K ∗ ϕ) (x) функций K ∈ L1 ( ядра свертки)
и ϕ ∈ L1 определим равенством
(K ∗ ϕ) (x) =
∫ 2π
0
K(x− t)ϕ(t)dt.
Суммируемую 2π-периодическую функцию K ⊥ 1 называют
CV D - ядром (ядром, не увеличивающим осциляцию) и записывают
K ∈ CV D, если для произвольной непрерывной 2π -периодической
функции f выполняется неравенство ν (a+K ∗ f) ≤ ν (f), где a ∈ R,
ν (g) — число перемен знака 2π-периодической функции g на периоде
[0, 2π).
292 И. А. Шевченко
Через Kr, r = 1, 2, ... обозначим свертку K ∗Br, где
Br(x) =
1
π
∞∑
m=1
m−r cos(mx− πr
2
), r = 1, 2, ...
— ядро Бернулли.
Для заданого ядра K ∈ CV D,K ⊥ 1. Через S2n,K будем обозна-
чать множество обобщенных сплайнов вида
u(t) = c+
2n∑
k=1
ckK
(
t− kπ
n
)
, (4)
где c1, c2, . . . , cn ∈ R,
∑2n
k=1 ck = 0.
Через S1
2n,K будем обозначать множество обобщенных сплайнов
вида
u(t) = c+
∫ 2π
0
K(t− v)s0(v)dv, (5)
где c ∈ R, s0 ∈ S2n,0 (S2n,0 — множество кусочно-постоянных функ-
ций с узлами в точках kπ
n , k ∈ Z).
Пусть ϕ1;α,β(x) — четная 2π
n –периодическая функция, которая на
отрезке
[
0; πn
]
определяется таким образом:
ϕ1;α,β(x) =
α, x ∈
[
0; πβ
n(α+β)
)
−β, x ∈
[
πβ
n(α+β) ; πn
)
Пусть заданы CV D-ядро K ⊥ 1 и множество F ⊂ L1. Через K ∗ F
обозначим класс функций вида f(x) = c + (K ∗ ϕ) (x), где c ∈ R,
ϕ ∈ F .
Через W 0
1 обозначим класс функций f ∈ L1 таких, что
‖f‖ 1 ≤ 1, а через W 0
V -класс 2π-периодических функций f таких,что∨2π
0 (f) ≤ 1.
В случаеK = Br Br∗W 0
1 и Br∗W 0
V - это стандартные соболевские
классы W r
1 и W r
V — соответственно.
В данной заметке мы найдем точные значе-
ния величин E
(
K1 ∗W 0
1 , S2n,K1
∩K ∗W 0
V
)
1;α,β
и
О наилучших несимметричных L1–приближениях . . . 293
E
(
K2 ∗W 0
1 , S
1
2n,K2
∩K2 ∗W 0
1
)
1;α,β
. В. Ф. Бабенко [2], [3] най-
дены точные значения величин E(W r
1 , S2n,r−1 ∩W r−1
V )1 при r ∈ N
и E(W r
1 , S2n,r ∩ W r
1 )1 при всех r ≥ 3 соответственно, а в [4] эти
результаты обобщены на случай несимметричных приближений. В
[5] и [6] найдены точные значения симметричного и несимметрич-
ного приближений классов периодических функций, задаваемых
при помощи произвольных дифференциальных операторов с посто-
янными коэфициентами и вещественным спектром, обобщенными
сплайнами с этих классов.
Теорема 1. Для любого n ∈ N , нечетного K ∈ CV D справед-
ливо следующее равенство
E
(
K1 ∗W 0
1 , S2n,K1
∩K ∗W 0
V
)
1;α,β
=
=
1
2
(
K1 ∗ ϕ1;α,β (tmax)−K1 ∗ ϕ1;α,β
(
tmax +
π
2n
))
−
−1
2
(
K1 ∗ ϕ1;α,β (tmin)−K1 ∗ ϕ1;α,β
(
tmin +
π
2n
))
,
где tmax и tmin таковы, что
K1 ∗ ϕ1;α,β (tmax) = max
t
(K1 ∗ ϕ1;α,β (t)) ,
K1 ∗ ϕ1;α,β (tmin) = min
t
(K1 ∗ ϕ1;α,β (t)) .
Теорема 2. Для любого n ∈ N , четного K ∈ CV D справедливо
следующее равенство
E
(
K2 ∗W 0
1 , S
1
2n,K2
∩K2 ∗W 0
1
)
1;α,β
=
=
1
2
(
K2 ∗ ϕ1;α,β (tmax)− n
π
∫ tmax+π
n
tmax
K2 ∗ ϕ1;α,β (t) dt
)
−
−1
2
(
K2 ∗ ϕ1;α,β (tmin)− n
π
∫ tmin+π
n
tmin
K2 ∗ ϕ1;α,β (t) dt
)
,
294 И. А. Шевченко
где tmax и tmin таковы, что
K2 ∗ ϕ1;α,β (tmax) = max
t
(K2 ∗ ϕ1;α,β (t)) ,
K2 ∗ ϕ1;α,β (tmin) = min
t
(K2 ∗ ϕ1;α,β (t)) .
Доказательство теоремы 1. Для сокращения записей по-
ложим
Cn =
{
c = (c1, c2, . . . , c2n) ∈ R2n :
n∑
k=1
ck = 0,
n∑
k=1
|ck| ≤ 1
}
Для u(t) ∈ S2n,K1 условие u(t) ∈ K ∗W 0
V ∩S2n,K1 эквивалентно усло-
вию
∑2n
k=1 |ck| ≤ 1.
Применяя теорему двойственности для наилучших (α, β)-
приближений выпуклым множеством в метрике L1 [ 1, предложение
1.4.9], после несложных преобразований получим
E := E
(
K1 ∗W 0
1 , S2n,K1
∩K ∗W 0
V
)
1;α,β
=
= sup
f∈K1∗W 0
1
sup‖g‖∞;α−1,β−1 ≤ 1,
g ⊥ 1
{∫ 2π
0
f(t)g(t)dt−
− sup
u∈S2n,K1
∩K∗W 0
V
∫ 2π
0
u(t)g(t)dt =
= sup‖g‖∞;α−1,β−1 ≤ 1,
g ⊥ 1
sup‖ϕ‖1;α,β ≤ 1,
ϕ ⊥ 1
{∫ 2π
0
(K1 ∗ g) (t)ϕ(t)dt−
− sup
C∈Cn
2n∑
k=1
ck (K1 ∗ g) (tk) =
= sup
‖g‖∞;α−1,β−1≤1
{
E (K1 ∗ g)∞ − sup
C∈Cn
2n∑
k=1
ck (K1 ∗ g) (tk)
}
, (6)
О наилучших несимметричных L1–приближениях . . . 295
где tk = kπ
n , k = 0, ..., 2n− 1.
Здесь и ниже E (K1 ∗ g)∞ — наилучшее приближение константой
в метрике L∞.
Известно [7, теорема 7.1], что
E (K1 ∗ g)∞ ≤ E (K1 ∗ ϕ1;α,β)∞ . (7)
Пусть ´tmax и ´tmin — точки максимума и минимума функции K1 ∗ g.
Очевидно, что найдутся k1, k2 ∈ Z такие, что
| ´tmax − tk1 | ≤
π
2n
, | ´tmin − tk2 | ≤
π
2n
.
Положим ck1 = 1
2 , ck2 = − 1
2 и ck = 0, если k 6= k1, k2. Функции
(K1 ∗ g) и (K1 ∗ ϕ1;α,β) удовлетворяют условиям обобщенной теоре-
мы сравнения [1, предложение 3.2.2]. Учитывая (7), для выбраной
функции g можем написать:
E (K1 ∗ g)∞ − sup
C∈Cn
2n∑
k=1
ck (K1 ∗ g) (tk) ≤
≤ E (K1 ∗ g)∞ −
1
2
K1 ∗ g (tk1) +
1
2
K1 ∗ g (tk2) =
= −1
2
∫ tk1
t ´max
(K1 ∗ g)
′
dt+
1
2
∫ tk2
tḿin
(K1 ∗ g)
′
dt ≤
= −1
2
∫ tmax+ π
2n
tmax
(K1 ∗ ϕ1;α,β)
′
dt+
1
2
∫ tmin+ π
2n
tmin
(K1 ∗ ϕ1;α,β)
′
dt =
=
1
2
(
K1 ∗ ϕ1;α,β (tmax)−K1 ∗ ϕ1;α,β
(
tmax +
π
2n
))
−
−1
2
(
K1 ∗ ϕ1;α,β (tmin)−K1 ∗ ϕ1;α,β
(
tmin +
π
2n
))
. (8)
Сопоставляя (6) и (8), получаем необходимую оценку сверху.
С другой стороны, учитывая цепочку равенств (6) и теорему
двойственности [8, теорема 2.2.1]
E ≥ sup
a∈R
{
E (K1 ∗ ϕ1;α,β)∞ − inf
λ
max
k
|K1 ∗ ϕ1;α,β
(
a+
kπ
n
− λ
)
|
}
,
296 И. А. Шевченко
≥ 1
2
(
K1 ∗ ϕ1;α,β (tmax)−K1 ∗ ϕ1;α,β
(
tmax +
π
2n
))
−
−1
2
(
K1 ∗ ϕ1;α,β (tmin)−K1 ∗ ϕ1;α,β
(
tmin +
π
2n
))
.
Таким образом требуемая оценка снизу установлена и теорема 1
доказана.
Доказательство теоремы 2. Аналогично доказательству
(6) получим
E := E
(
K2 ∗W 0
1 , S
1
2n,K2
∩K2 ∗W 0
1
)
1;α,β
= sup
‖g‖∞;α−1,β−1≤1
{E (K2 ∗ g)∞−
− sup
u∈S1
2n,K2
∩K2∗W 0
1
∫ 2π
0
u(t)g(t)dt
}
(9)
Учитывая определение (5) для сплайнов из S1
2n,K2
, видим, что
для u ∈ S1
2n,K2
, функция s0 постоянна на каждом из интервалов
(tk, tk+1) , где tk = kπ
n , k ∈ Z, при этом если ck ее значение на ин-
тервале (tk, tk+1) , то
∑2n
k=1 ck = 0, и если u ∈ S1
2n,K2
∩ K2 ∗W 0
1 , то∑2n
k=1 |ck| ≤
n
π .
Теперь из (9) выводим
E = sup
‖g‖∞;α−1,β−1≤1
{E (K2 ∗ g)∞−
−n
π
sup
C∈Cn
2n∑
k=1
ck
∫ tk+1
tk
K2 ∗ g (t) dt
}
. (10)
Пусть ´tmax и ´tmin — точки максимума и минимума функции K2 ∗ g.
Как и при доказательстве теоремы 1, выберем k1, k2 ∈ Z такие, что
| ´tmax − tk1 | ≤
π
2n
, | ´tmin − tk2 | ≤
π
2n
,
и положим ck1 = 1
2 , ck2 = − 1
2 и ck = 0, если k 6= k1, k2. Функции K2∗g
и K2 ∗ ϕ1;α,β удовлетворяют условиям обобщенной теоремы сравне-
ния [1 предложение 3.2.2] и учитывая (7), как и при доказательстве
О наилучших несимметричных L1–приближениях . . . 297
теоремы 1, получим
E ≤ E (K2 ∗ g)∞ −
n
2π
(∫ tk1+1
tk1
K2 ∗ g (t) dt−
−
∫ tk2+1
tk2
K2 ∗ g (t) dt
)
≤ E (K2 ∗ g)∞−
− n
2π
(∫ tmax+π
n
tmax
K2 ∗ g (t) dt−
∫ tmin+π
n
tmin
K2 ∗ g (t) dt
)
=
=
1
2
(
K2 ∗ ϕ1;α,β (tmax)− n
π
∫ tmax+π
n
tmax
K2 ∗ ϕ1;α,β (t) dt
)
−
−1
2
(
K2 ∗ ϕ1;α,β (tmin)− n
π
∫ tmin+π
n
tmin
K2 ∗ ϕ1;α,β (t) dt
)
.
Получим теперь для E оценку снизу. Учитывая (10) и применяя
теорему двойственности [8, теорема 2.2.1],
E = sup
‖g‖∞;α−1,β−1≤1
{
E (K2 ∗ g)∞ −
n
π
inf
λ∈R
max
k
|
∫ tk+1
tk
K2 ∗ g (t) dt− λ|
}
≥
≥ 1
2
(
K2 ∗ ϕ1;α,β (tmax)− n
π
∫ tmax+π
n
tmax
K2 ∗ ϕ1;α,β (t) dt
)
−
−1
2
(
K2 ∗ ϕ1;α,β (tmin)− n
π
∫ tmin+π
n
tmin
K2 ∗ ϕ1;α,β (t) dt
)
.
Теорема доказана.
Учитывая (3) и тот факт, что K1 ∗ ϕ1;1,β(x)−−−→
β→∞ − 2πK1(x + π)
и K1 ∗ ϕ1;α,1(x)−−−−→α→∞2πK1(x) равномерно по x [7, с. 11] из теорем
получаем следующее.
Следствие 1. Для любого n ∈ N , нечетного K ∈ CV D
E±
(
K1 ∗W 0
1 , S2n,K1
∩K ∗W 0
V
)
1
= π
(
K1(tmax)−K1(tmax +
π
2n
)−
298 И. А. Шевченко
−
(
K1 (tmin)−K1
(
tmin +
π
2n
)))
,
где tmax, tmin таковы, что
K1 (tmax) = max
t
K1 (t) ,K1 (tmin) = min
t
K1 (t) .
Следствие 2. Для любого n ∈ N , четного K ∈ CV D
E±
(
K2 ∗W 0
1 , S
1
2n,K2
∩K2 ∗W 0
1
)
1
= πK2 (tmax)−n
∫ tmax+π
n
tmax
K2 (t) dt−
−
(
πK2 (tmin)− n
∫ tmin+π
n
tmin
K2 (t) dt
)
,
где tmax, tmin таковы, что
K2 (tmax) = max
t
K2 (t) ,K2 (tmin) = min
t
K2 (t) .
1. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. —
М.: Наука, 1987. — 424 с.
2. Бабенко В. Ф. Приближение в среднем при наличии ограничений на про-
изводные приближающих функций // Вопросы анализа и приближения. —
К.: Ин-т математики АН УССР, 1989. — C. 9–18.
3. Бабенко В. Ф. Наилучшие L1 - приближения классов W r
1 сплайнами из
W r
1 // Укр. мат. журн. — 1994. — № 10. — С. 1410–1413.
4. Бабенко В. Ф., Литвинюк И. Н., Парфинович Н. В. О наилучших несим-
метричных L1 -приближениях сплайнами при наличии ограничений на их
производные // Вестник ДНУ , Математика., — 1998. — В. 3. — С. 11–18.
5. Бабенко В. Ф., Азар Л. Наилучшие L1 -приближения сплайнами при на-
личии ограничений // Укр. мат. журнал, 1998. — № 11. — С. 1443–1451.
6. Бабенко В. Ф., Азар Л. Э., Парфинович Н. В. О наилучших несимметрич-
ных приближениях классов функций, задаваемых дифференциальными
операторами, обобщенными сплайнами // Вестник ДНУ, Математика, —
2000. — В. 11. — С. 9–18.
7. Бабенко В. Ф. Приближение классов сверток// Сиб. мат. журн. — 1987.
— 28, № 5. — C. 6–21.
8. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближений. —
М.: Наука, 1976. — 320 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-305 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:20Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/59/ab219d80597239364d7db574690e7059.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3052018-02-02T21:15:15Z On best nonsymmetric $L_1$-approximations of some classes of convolutions with generalized splines О наилучших несимметричных $L_1$-приближениях некоторых классов сверток обобщенными сплайнами О наилучших несимметричных $L_1$-приближениях некоторых классов сверток обобщенными сплайнами Shevchenko, I. A. Шевченко, И. А. Шевченко, И. А. We obtain the exact values of the best non-symmetric approximations of the classes of convolutions with $CVD$-kernels by splines $S_{2n,K_1}$ and $S_{2n,K_2}^{1}$ such that $ \bigvee _{0}^{2 \pi} \left( s \right) \le 1$ and $ \| s \| \ _{1} \le 1 $ respectively. Найдены точные значения наилучших несимметричных приближений классов сверток с $CVD$-ядрами обобщенными сплайнами $S_{2n,K_1}$ и $S_{2n,K_2}^{1}$ такими, что $ \bigvee _{0}^{2 \pi} \left( s \right) \le 1$ и $ \| s \| \ _{1} \le 1 $ соответсвенно. Найдены точные значения наилучших несимметричных приближений классов сверток с $CVD$-ядрами обобщенными сплайнами $S_{2n,K_1}$ и $S_{2n,K_2}^{1}$ такими, что $ \bigvee _{0}^{2 \pi} \left( s \right) \le 1$ и $ \| s \| \ _{1} \le 1 $ соответсвенно. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/305 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 290 - 298 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 290 - 298 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 290 - 298 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/305/336 Авторське право (c) 2015 І. А. Шевченко |
| spellingShingle | Shevchenko, I. A. Шевченко, И. А. Шевченко, И. А. On best nonsymmetric $L_1$-approximations of some classes of convolutions with generalized splines |
| title | On best nonsymmetric $L_1$-approximations of some classes of convolutions with generalized splines |
| title_alt | О наилучших несимметричных $L_1$-приближениях некоторых классов сверток обобщенными сплайнами О наилучших несимметричных $L_1$-приближениях некоторых классов сверток обобщенными сплайнами |
| title_full | On best nonsymmetric $L_1$-approximations of some classes of convolutions with generalized splines |
| title_fullStr | On best nonsymmetric $L_1$-approximations of some classes of convolutions with generalized splines |
| title_full_unstemmed | On best nonsymmetric $L_1$-approximations of some classes of convolutions with generalized splines |
| title_short | On best nonsymmetric $L_1$-approximations of some classes of convolutions with generalized splines |
| title_sort | on best nonsymmetric $l_1$-approximations of some classes of convolutions with generalized splines |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/305 |
| work_keys_str_mv | AT shevchenkoia onbestnonsymmetricl1approximationsofsomeclassesofconvolutionswithgeneralizedsplines AT ševčenkoia onbestnonsymmetricl1approximationsofsomeclassesofconvolutionswithgeneralizedsplines AT ševčenkoia onbestnonsymmetricl1approximationsofsomeclassesofconvolutionswithgeneralizedsplines AT shevchenkoia onailučšihnesimmetričnyhl1približeniâhnekotoryhklassovsvertokobobŝennymisplajnami AT ševčenkoia onailučšihnesimmetričnyhl1približeniâhnekotoryhklassovsvertokobobŝennymisplajnami AT ševčenkoia onailučšihnesimmetričnyhl1približeniâhnekotoryhklassovsvertokobobŝennymisplajnami |