Greedy algorithms of classes $(\psi,\beta)$-differentiable periodic functions
We obtain the exact order estimates of approximations by greedy algorithms of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functios in the space $L_q$ for some relations between parameters $p$ and $q$.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/306 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552810405429248 |
|---|---|
| author | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. |
| author_facet | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. В. Шкапа",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Shkapa, V. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-02T21:19:52Z |
| description | We obtain the exact order estimates of approximations by greedy algorithms of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functios in the space $L_q$ for some relations between parameters $p$ and $q$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, Т. 12, № 4, 299–312
УДК 517.5
В.В. Шкапа (Iн–т математики НАН України, Київ)
ГРIДI-АЛГОРИТМИ НА КЛАСАХ
(ψ, β)–ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ПЕРIОДИЧНИХ
ФУНКЦIЙ
We obtain the exact order estimates of approximations by greedy algorithms of
the classes Lψβ,p of periodic functios in the space Lq for some relations between
parameters p and q.
Встановлено точнi за порядком оцiнки наближень грiдi-алгоритмами
класiв Lψβ,p перiодичних функцiй у просторi Lq для деяких спiввiдношень
мiж параметрами p i q.
1. Вступ. Роботу присвячено дослiдженню наближень грiдi-
алгоритмами класiв Lψβ,p перiодичних функцiй у просторi Lq для
деяких спiввiдношень мiж параметрами p i q. У вступi наведено озна-
чення класiв функцiй та коротко iсторiю їх дослiдження в окресле-
ному напрямку, у другiй частинi мiстяться допомiжнi твердження.
Основною є третя частина, де викладено отриманi результати щодо
оцiнок наближень грiдi-алгоритмами.
Нехай Lq — простiр 2π-перiодичних i сумовних у степенi q,
1 ≤ q <∞, (вiдповiдно суттєво обмежених при q = ∞) на вiдрiз-
ку [−π, π] функцiй f . Норма в цьому просторi визначається таким
чином:
‖f‖Lq = ‖f‖q =
(
1
2π
π∫
−π
|f(x)|qdx
) 1
q
, 1 ≤ q <∞,
ess sup
x∈[−π,π]
|f(x)| , q =∞.
Для функцiї f ∈ L1 розглянемо її ряд Фур’є
c© В.В. Шкапа, 2015
300 В.В. Шкапа
∑
k∈Z
f̂(k)eikx,
де f̂(k) = 1
2π
π∫
−π
f(t)e−iktdt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f. Скрiзь
нижче будемо вважати, що для f ∈ L1 виконується умова
π∫
−π
f(t)dt = 0.
Нехай далi ψ 6= 0 — довiльна функцiя натурального аргументу,
β — довiльне фiксоване дiйсне число. Якщо ряд∑
k∈Z\{0}
ei
π
2 βsignk
ψ(|k|)
f̂(k)eikx
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї, то її, наслiдуючи О. I. Сте-
панця [1, с. 25] (див. також [2, с. 132]), назвемо (ψ, β) - похiдною
функцiї f i позначимо fψβ . Множину функцiй f , що задовольняють
таку умову, позначатимемо Lψβ . Надалi будемо вважати, що функцiя
f належить класу Lψβ,p, якщо
f ∈ Lψβ i f
ψ
β ∈ Up = {ϕ : ϕ ∈ Lp, ‖ϕ‖p ≤ 1}, 1 ≤ p ≤ ∞.
Зауважимо, що при ψ(|k|) = |k|−r, r > 0, k ∈ Z \ {0}, класи Lψβ,p
спiвпадають з класами Вейля-НадяW r
p,β (див., наприклад, [1, с. 25]).
Далi наведемо означення грiдi-алгоритму. Нехай {f̂(k(l))}∞l=1 —
коефiцiєнти Фур’є {f̂(k)}k∈Z функцiї f ∈ L1, впорядкованi в порядку
незростання їх модулiв, тобто
|f̂(k(1))| ≥ |f̂(k(2))| ≥ ...
Позначимо для f ∈ Lq
Gm(f, x) :=
m∑
l=1
f̂(k(l))eik(l)x
Грiдi-алгоритми на класах (ψ, β)-диференцiйовних . . . 301
i якщо F ⊂ Lq — деякий функцiональний клас, то покладемо
Gm(F )q := sup
f∈F
‖f(·)−Gm(f, ·)‖q. (1)
З iсторiєю дослiдження величин (1) для деяких важливих функ-
цiональних класiв можна ознайомитися у вiдомiй монографiї [3], а
також у роботах [4 – 6].
Позначимо далi через B множину функцiй ψ, що задовольняють
умови:
1) ψ — додатнi i незростаючi;
2) iснує стала C > 0 така, що
ψ(t)
ψ(2t)
≤ C, ∀t ∈ N.
Зазначимо, що до множини B належать, наприклад, функцiї 1
tr ,
r > 0; lnγ(t+1)
tr , γ ∈ R, r > 0 та iн.
Надалi для величин A i B запис A � B означає, що iснують
додатнi сталi C1 та C2 такi, що C1A ≤ B ≤ C2A. Якщо тiльки
B ≤ C2A (B ≥ C1A), то пишемо B � A (B � A). Всi константи
Ci, i = 1, 2, ..., якi будуть зустрiчатися у роботi, можуть залежати
лише вiд тих параметрiв, що входять в означення класу та метрики,
в якiй вимiрюється похибка наближення.
2. Допомiжнi твердження. В цьому пунктi сформулюємо
декiлька необхiдних означень та вiдомих тверджень, якi нам зна-
добляться при доведеннi отриманих результатiв.
Для f ∈ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞ будемо розглядати апроксимативну ха-
рактеристику
em(f)q = inf
Θm
inf
T (Θm,·)
‖f(·)− T (Θm, ·)‖q , (2)
де T (Θm, x) =
m∑
k=1
cke
inkx, Θm— набiр iз m цiлих чисел n1, ..., nm та
ck — довiльнi комплекснi числа. Величину (2) називають найкращим
m-членним тригонометричним наближенням функцiї f ∈ Lq.
302 В.В. Шкапа
Якщо F ⊂ Lq — деякий функцiональний клас, то покладемо
em(F )q = sup
f∈F
em(f)q. (3)
Величина em(f)2 для функцiї однiєї змiнної була введена
С. Б. Стєчкiним [7] при формулюваннi критерiю абсолютної збiж-
ностi ортогональних рядiв. Згодом величини em(f)q i em(F )q,
1 ≤ q ≤ ∞, почали дослiджувати вже з точки зору апроксимацiї як
iндивiдуальних функцiй так i певних класiв функцiй. З бiльш де-
тальною бiблiографiєю i вiдповiдними результатами, що стосуються
дослiдження величин (2) та (3) можна ознайомитися в монографiї [8].
Легко бачити, що згiдно означень для F ⊂ Lq
em(F )q � Gm(F )q (4)
та
em(F )2 = Gm(F )2. (5)
Теорема А [9]. Нехай 1 < q ≤ p < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R. Тодi
справедлива порядкова оцiнка
em(Lψβ,p)q � ψ(m).
Теорема Б [10]. Нехай 1 < p < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R. Тодi справед-
лива порядкова оцiнка
em(Lψβ,p)1 � ψ(m).
Нагадаємо означення ще однiєї апроксимативної характеристики,
оцiнки якої нами будуть використовуватися.
Для Lψβ,p ⊂ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, покладемо
Em(Lψβ,p)q = sup
f∈Lψβ,p
∥∥∥∥f(x)−
m∑
k=−m
f̂(k)eikx
∥∥∥∥
q
.
Теорема В [1, c.215]. Нехай 1 < p < q < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R i,
крiм того, iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(t)t
1
p−
1
q+ε, t ∈ N,
не зростає. Тодi справедлива порядкова оцiнка
Em(Lψβ,p)q � ψ(m)m
1
p−
1
q .
Грiдi-алгоритми на класах (ψ, β)-диференцiйовних . . . 303
Теорема Г [11]. Нехай ψ ∈ B, β ∈ R, 1 < p < ∞. Тодi для
довiльного t з множини тригонометричних полiномiв справедлива
оцiнка
‖tψβ ‖p � ψ−1(n)‖t‖p.
Теорема Ґ [4]. Якщо f ∈ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, то
‖f −Gm(f)‖q ≤ (1 + 3mh(q))em(f)q,
де h(q) = | 12 −
1
q |.
Теорема Д [12]. Нехай 1 < p ≤ 2 ≤ q < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R i,
крiм того, iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(t)t
1
p+ε, t ∈ N, не
зростає. Тодi справедлива порядкова оцiнка
em(Lψβ,p)q � ψ(m)m
1
p−
1
2 .
Нехай Tn(x) — тригонометричний полiном порядку, не вищого
за n. Тодi має мiсце таке твердження.
Теорема Е [13]. Має мiсце нерiвнiсть
‖Tn‖p � n
1
q−
1
p ‖Tn‖q, 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞. (6)
Нерiвнiсть (6) називають нерiвнiстю рiзних метрик.
Теорема Є [10]. Нехай 2 ≤ q < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R, виконується
одна з умов
∆2
(
1
ψ(k)
)
≥ 0, k ∈ N, (7)
або
∆2
(
1
ψ(k)
)
≤ 0, k ∈ N, (8)
де
∆2
(
1
ψ(k)
)
=
1
ψ(k)
− 2
ψ(k + 1)
+
1
ψ(k + 2)
i, крiм того, iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(t)t1+ε, t ∈ N, не
зростає. Тодi справедлива порядкова оцiнка
em(Lψβ,1)q � ψ(m)m
1
2 .
304 В.В. Шкапа
Твердження А [2, Т.II, с.119]. Нехай ψ(t) — довiльна незрос-
таюча послiдовнiсть невiд’ємних чисел, для яких виконується одна
з умов (7) або (8) i, крiм того,∣∣∣∣ sin βπ2
∣∣∣∣m−1∑
k=1
ψ(m)(tψ(t))−1 = O(1), (9)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по m. Тодi для довiльно-
го тригонометричного полiнома tm порядку m виконується нерiв-
нiсть
‖(tm)ψβ ‖1 ≤ O(1)|ψ(m)|−1‖tm‖1,
в якiй величина O(1) — рiвномiрно обмежена по m i tm.
3. Основнi результати. Має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Нехай 1 ≤ q ≤ 2 ≤ p < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R. Тодi
справедлива порядкова оцiнка
Gm(Lψβ,p)q � ψ(m).
Доведення. Прийнявши до уваги нерiвнiсть (4), одержимо
em(Lψβ,p)q � Gm(Lψβ,p)q. (10)
З iншого боку, з (5) випливає
Gm(Lψβ,p)q ≤ Gm(Lψβ,p)2 = em(Lψβ,p)2. (11)
Скориставшись теоремами А i Б для даного випадку, будемо мати
em(Lψβ,p)q � ψ(m).
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай 1 < p < q ≤ 2, ψ ∈ B, β ∈ R i, крiм того,
iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(t)t
1
p−
1
q+ε, t ∈ N, не зростає.
Тодi справедлива порядкова оцiнка
Gm(Lψβ,p)q � ψ(m)m
1
p−
1
2 .
Грiдi-алгоритми на класах (ψ, β)-диференцiйовних . . . 305
Доведення. Оцiнка зверху слiдує з оцiнки величини
em(Lψβ,p)2 � ψ(m)m
1
p−
1
2 ,
1 < p < 2, яка, в свою чергу, є наслiдком оцiнки наближення функ-
цiй iз класiв Lψβ,p їх сумами Фур’є. Вiдповiдний результат отриманий
у теоремi В.
Встановимо оцiнку знизу. З цiєю метою будемо використовувати
полiноми Рудiна–Шапiро Rl(x):
Rl(x) =
2l−1∑
j=2l−1
εje
ijx, εj = ±1, x ∈ R,
для яких, (див., наприклад, [14, с. 155]), має мiсце порядкова оцiнка
‖Rl‖∞ � 2
l
2 . (12)
Нам також знадобляться вiдомi ядра Валле Пуссена Vm(x):
Vm(x) =
1
m
2m−1∑
l=m
Dl(x), x ∈ R, m ∈ N,
де Dl(x) =
∑
|k|≤l
eikx — ядро Дiрiхле.
Далi покладемо для ε = ±1
Λ±1 := {k : R̂l(k) = ±1},
i нехай ε = ±1 буде таким, що |Λε| > |Λ−ε|. Тодi по заданому m
пiдберемо l ∈ N iз спiввiдношення 2l−2 ≤ m < 2l−1, вiзьмемо малий
додатний параметр δ i розглянемо функцiю
f(x) = C3ψ(2l)2l(
1
p−1)f1(x), C3 > 0,
де f1(x) = Vm(x) + εδRm(x), 0 < δ ≤ m
1
2−
1
p .
Покажемо, що при певному виборi сталої C3 > 0 функцiя f нале-
жить класу Lψβ,p. Для цього достатньо пересвiдчитися, що ‖fψβ ‖p � 1.
306 В.В. Шкапа
З цiєю метою скористаємось теоремою Г та вiдомим спiввiдно-
шенням (див., наприклад, [15, ст. 66])
‖V2l‖p � 2l(1−
1
p ), 1 ≤ p ≤ ∞, (13)
таким чином можемо записати
‖fψβ ‖p � ψ−1(m)‖f‖p ≤ ψ−1(m)ψ(2l)2l(
1
p−1)(‖Vm‖p + δ‖Rm‖p) ≤
≤ ψ−1(m)ψ(2l)2l(
1
p−1)(‖Vm‖p + δ‖Rm‖∞)�
� ψ−1(m)ψ(2l)2l(
1
p−1)(2l(1−
1
p ) + 2l(
1
2−
1
p )2
l
2 )� 1.
Звiдси слiдує, що при належному виборi сталої C3 > 0 функцiя
f ∈ Lψβ,p.
Далi скористаємося результатом роботи [4, с. 581] де показано,
що при 1 ≤ q ≤ 2 та 1 < p ≤ 2 має мiсце оцiнка
‖f1 −Gm(f1)‖q � m
1
2 .
Таким чином, використавши цю оцiнку, будемо мати
sup
f∈Lψβ,p
‖f −Gm(f)‖q � ψ(2l)2l(
1
p−1)‖f1 −Gm(f1)‖q �
� ψ(m)m
1
p−1m
1
2 = ψ(m)m
1
p−
1
2 .
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему 2 доведено.
Теорема 3. Нехай 1 < p ≤ 2 ≤ q <∞, ψ ∈ B, β ∈ R i, крiм того,
iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(t)t
1
p+ε, t ∈ N, не зростає. Тодi
справедливе наступне спiввiдношення
Gm(Lψβ,p)q � ψ(m)m
1
p−
1
q .
Доведення. Оцiнка зверху слiдує iз теорем Ґ та Д:
‖f −Gm(f)‖q ≤ (1 + 3m
1
2−
1
q )em(f)q �
� m
1
2−
1
qψ(m)m
1
p−
1
2 = ψ(m)m
1
p−
1
q .
Грiдi-алгоритми на класах (ψ, β)-диференцiйовних . . . 307
Тому
Gm(Lψβ,p)q � ψ(m)m
1
p−
1
q . (14)
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу. За заданимm виберемо
l ∈ N з умови 2l−1 ≤ m < 2l i розглянемо функцiю
f2(x) = C4ψ(2l)2l(
1
p−1)V2l(x), C4 > 0.
Легко переконатися, що функцiя f2 ∈ Lψβ,p. Дiйсно, згiдно з тео-
ремою Г та спiввiдношення (13), можемо записати
‖(f2)ψβ ‖p � ψ−1(m)‖f2‖p � ψ−1(m)ψ(2l)2l(
1
p−1)2l(1−
1
p ) = 1.
Звiдси слiдує, що при належному виборi сталої C4 > 0 функцiя
f2 ∈ Lψβ,p.
Використовуючи (6), отримаємо спiввiдношення
‖V2l −Gm(V2l)‖q � m−
1
q ‖V2l −Gm(V2l)‖∞ � m1− 1
q . (15)
Тому, враховуючи (15), будемо мати
sup
f2∈Lψβ,p
‖f2 −Gm(f2)‖q � ψ(2l)2l(
1
p−1)‖f2 −Gm(f2)‖q �
� ψ(m)m
1
p−1m1− 1
q = ψ(m)m
1
p−
1
q .
Таким чином, при 1 < p ≤ 2 ≤ q <∞ виконується оцiнка
Gm(Lψβ,p)q � ψ(m)m
1
p−
1
q .
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему 3 доведено.
Теорема 4. Нехай 2 ≤ p ≤ q < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R i, крiм того,
iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(t)t
1
2 +ε, t ∈ N, не зростає. Тодi
справедливе наступне спiввiдношення
Gm(Lψβ,p)q � ψ(m)m
1
2−
1
q .
Доведення. Встановимо спочатку оцiнку зверху. Оскiльки
Lψβ,p ⊂ L
ψ
β,2, то
Gm(Lψβ,p)q ≤ Gm(Lψβ,2)q
308 В.В. Шкапа
i тому, прийнявши до уваги спiввiдношення (14) при p = 2, отримує-
мо оцiнку зверху
Gm(Lψβ,p)q � ψ(m)m
1
2−
1
q .
Для встановлення оцiнки знизу за заданим m виберемо l ∈ N
таким чином, щоб виконувалось спiввiдношення m � 2l, вiзьмемо
малий додатний параметр δ i розглянемо функцiю
f3(x) = C5ψ(2l)2−
l
2 f4(x),
де f4(x) := Rm(x) + εδDm(x), 0 < δ ≤ m
1
p−
1
2 .
Покажемо, що при певному виборi сталої C5 > 0 функцiя f3 на-
лежить класу Lψβ,p.
Для цього достатньо пересвiдчитися, що ‖(f3)ψβ ‖p � 1. З цiєю
метою скористаємось теоремою Г та вiдомим спiввiдношенням (див.,
наприклад, [16, ст. 25])
‖D2l‖p � 2l(1−
1
p ), 1 < p <∞. (16)
Таким чином будемо мати
‖(f3)ψβ ‖p � ψ−1(m)‖f3‖p ≤ ψ−1(m)ψ(2l)2−
l
2 (‖Rm‖p + δ‖Dm‖p) ≤
≤ ψ−1(m)ψ(2l)2−
l
2 (‖Rm‖∞ + δ‖Dm‖p)�
� ψ−1(m)ψ(2l)2−
l
2 (2
l
2 + 2l(
1
p−
1
2 )2l(1−
1
p ))� 1.
Звiдси слiдує, що при певному виборi сталої C5 функцiя f3 нале-
жить класу Lψβ,p.
Далi використаємо оцiнку, встановлену в [4, с. 582]:
‖f4 −Gm(f4)‖q � m1− 1
q , 2 ≤ q ≤ ∞.
Прийнявши до уваги це спiввiдношення, будемо мати
sup
f3∈Lψβ,p
‖f3 −Gm(f3)‖q � ψ(2l)2−
l
2 ‖f4 −Gm(f4)‖q �
� ψ(m)m−
1
2m1− 1
q = ψ(m)m
1
2−
1
q .
Грiдi-алгоритми на класах (ψ, β)-диференцiйовних . . . 309
Таким чином при 2 ≤ p ≤ q <∞ виконується наступна оцiнка
Gm(Lψβ,p)q � ψ(m)m
1
2−
1
q .
Теорему 4 доведено.
У наступному твердженнi встановимо точну за порядком оцiнку
величини Gm(Lψβ,1)q при 2 ≤ q < ∞. При цьому зазначимо, що на
функцiї ψ будуть накладенi додатковi умови, крiм належностi їх до
множини B, що зумовлено використанням вiдповiдних допомiжних
тверджень.
Теорема 5. Нехай 2 ≤ q < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R, виконується одна
з умов (7) або (8) i, крiм того, iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть
ψ(t)t1+ε, t ∈ N, не зростає. Тодi справедлива порядкова оцiнка
Gm(Lψβ,1)q � ψ(m)m1− 1
q . (17)
Доведення. Оцiнка зверху в (17) слiдує з вiдповiдної оцiнки ве-
личини em(Lψβ,1)q, 2 ≤ q < ∞, що була встановлена у теоремi Ґ та
теореми Є.
‖f −Gm(f)‖q ≤ (1 + 3m
1
2−
1
q )em(f)�
� m
1
2−
1
qψ(m)m
1
2 = ψ(m)m1− 1
q .
Тому
Gm(Lψβ,1)q � ψ(m)m1− 1
q .
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу величини Gm(Lψβ,1)q.
За заданим m виберемо l ∈ N з умови 2l−1 ≤ m < 2l i розглянемо
функцiю
f5(x) = C6ψ(2l)V2l(x), C6 > 0.
Покажемо, що при певному виборi сталої C6 > 0 функцiя
f5 належить класу Lψβ,1. Для цього достатньо пересвiдчитися, що
‖(f5)ψβ ‖1 � 1.
З цiєю метою скористаємось твердженням А. Зауважимо, що умо-
ва (9) виконується, оскiльки iснує число α > 1− 1
q таке, що послiдов-
нiсть ϕ(m) = mαψ(m) не зростає, а
310 В.В. Шкапа
m−1∑
k=1
ψ(m)
kψ(k)
=
m−1∑
k=1
ϕ(m)kα
mαϕ(k)k
≤ 1
mα
m−1∑
k=1
kα
k
≤ 1.
Таким чином, на пiдставi твердження А та (13) одержимо, що
‖(f5)ψβ ‖1 � ψ−1(m)‖f5‖1 � ψ−1(m)ψ(2l) � 1.
Звiдси слiдує, що f5 ∈ Lψβ,1 при певному виборi сталої C6.
Далi, врахувавши (15) та спiввiдношення мiж числами m i l, мо-
жемо записати
sup
f5∈Lψβ,1
‖f5 −Gm(f5)‖q � ψ(2l)‖f5 −Gm(f5)‖q � ψ(m)m1− 1
q .
Таким чином при 2 ≤ q <∞ виконується оцiнка
Gm(Lψβ,1)q � ψ(m)m1− 1
q .
Оцiнку знизу, а разом з нею i теорему доведено.
На завершення даного пункту наведемо деякi коментарi до от-
риманих результатiв, порiвнявши їх з оцiнками близьких, в певному
сенсi, апроксимативних характеристик класiв Lψβ,p.
Нагадаємо, що
e⊥m(Lψβ,p)q = sup
f∈Lψβ,p
e⊥m(f)q = sup
f∈Lψβ,p
inf
Θm
∥∥f(·)− SΘm(f, ·)
∥∥
q
,
де SΘm(f, x) =
m∑
k=1
f̂(nk)einkx, Θm — набiр iз m цiлих чисел n1, ..., nm.
Легко бачити, що згiдно означення величин e⊥m(Lψβ,p)q та
Gm(Lψβ,p)q має мiсце нерiвнiсть
e⊥m(Lψβ,p)q ≤ Gm(Lψβ,p)q.
У роботах [9], [10] та [17] отримано наступнi твердження.
Грiдi-алгоритми на класах (ψ, β)-диференцiйовних . . . 311
Теорема Ж [9]. Нехай ψ ∈ B, β ∈ R. Тодi справедливi наступнi
спiввiдношення
e⊥m(Lψβ,p)q �
{
ψ(m), 1 < q ≤ p <∞,
ψ(m)m
1
p−
1
q , 1 < p ≤ q <∞.
Теорема З [10]. Нехай 1 < p < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R. Тодi справед-
лива порядкова оцiнка
e⊥m(Lψβ,p)1 � ψ(m).
Теорема И [17]. Нехай 1 < q < ∞, ψ ∈ B, β ∈ R, виконується
одна з умов (7) або (8) i, крiм того, iснує ε > 0 таке, що послi-
довнiсть ψ(t)t1−
1
q+ε, t ∈ N, не зростає. Тодi справедливе наступне
спiввiдношення
e⊥m(Lψβ,1)q � ψ(m)m1− 1
q .
Таким чином, спiвставляючи результати теорем 1–5 та теорем
Ж–И, бачимо, що iснують спiввiдношення мiж параметрами p та q,
для яких
e⊥m(Lψβ,p)q � Gm(Lψβ,p)q,
а також такi, для яких величини e⊥m(Lψβ,p)q та Gm(Lψβ,p)q мають рiзнi
порядки.
Зауваження 1. Поклавши в теоремах 1-5 ψ(|k|) = |k|−r, отри-
маємо вiдповiдний результат для величини Gm(W r
p,β)q.
1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функ-
ций. — К.: Наук. думка, 1987. — 268 с.
2. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. — К.: Ин-т матема-
тики НАН Украины, 2002. — 40. — Т.I. — 427 с.; Т.II. — 468 с.
3. Temlyakov V. N. Greedy approximation. — Cambridge: Cambridge University
Press, 2011. — 418 p.
4. Temlyakov V. N. Greedy algorithm and m-term trigonometric
approximation // Constr. Approx. — 1998. — 14. — P. 569 – 587.
5. Войтенко С. П. Найкращi тригонометричнi наближення класiв перiодич-
них функцiй багатьох змiнних / Войтенко С.П. — К.: Iн-т математики
НАН України, 2010. — 28 с. — (Препринт / НАН України, Iн-т математи-
ки; 2010.1).
312 В.В. Шкапа
6. Stasyuk S. A. Best m-term trigonometric approximation of periodic functions
of several variables from Nikol’skii-Besov classes for small smoothness // J.
Approx. Theory — 2014. — 177. — P. 1 – 16.
7. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл.
АН СССР. — 1955. — 102, № 1. — С. 37–40.
8. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодиче-
ских функций многих переменных. // Працi Iн-ту математики НАН Украї-
ни. — 2012. — 93. — 352 с.
9. Федоренко А. С. Найкращi m-членнi тригонометричнi i ортогональнi три-
гонометричнi наближення функцiй класiв Lψβ,p // Доп. НАН України. —
2000. — Вип.7. — С. 27 — 31.
10. Шкапа В. В. Апроксимативнi характеристики класiв Lψβ,p перiодичних
функцiй у просторi Lq // Укр. мат. журн. — 2015. (в друцi)
11. Романюк А. С. Неравенства для Lp-норм (ψ, β)-производных и попереч-
ников по Колмогорову классов функций многих переменных Lψβ,p //Ис-
следования по теории аппроксимации функций: Сб. науч. тр. — К.: Ин-т
математики АН УССР. — 1987. — С. 92 – 105.
12. Федоренко А. С. О наилучших m-членных тригонометрических прибли-
жениях классов (ψ, β)-дифференцируемых функций одной переменной. //
Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь: Зб. наук. пр. — Київ: Iн-т
математики НАН України. — 1998. — Вип.3. — С. 250 — 258.
13. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их
применение в теории дифференцируемых функций многих переменных. //
Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1951. — 38. — С. 244 – 278.
14. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды // М.: Наука. — 1984. —
496 с.
15. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной про-
изводной // Тр. МИАН СССР. — 1986. — 178. — 112 с.
16. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. — New York: Nova Sc.
Publ. Inc, 1993. — 272 p.
17. Шкапа В. В. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення функ-
цiй iз класiв Lψβ,1. // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб.
праць Iн-ту мат. НАН України. — 2014. — 11, № 3. — С. 315–329.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-306 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:21Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/80/1d554c6a4bdb1f59ce00968e48be1480.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3062018-02-02T21:19:52Z Greedy algorithms of classes $(\psi,\beta)$-differentiable periodic functions Гріді-алгоритми на класах $(\psi,\beta)$-диференційовних періодичних функцій Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. We obtain the exact order estimates of approximations by greedy algorithms of the classes $L_{\beta, p}^\psi$ of periodic functios in the space $L_q$ for some relations between parameters $p$ and $q$. Встановлено точні за порядком оцінки наближень гріді-алгоритмами класів $L_{\beta, p}^\psi$ періодичних функцій у просторі $L_q$ для деяких співвідношень між параметрами $p$ і $q$. Інститут математики НАН України 2015-07-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/306 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 4 (2015): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 299 - 312 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 299 - 312 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 4 (2015): Tеорія наближення функцій та суміжні питання; 299 - 312 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/306/337 |
| spellingShingle | Shkapa, V. V. Шкапа, В. В. Greedy algorithms of classes $(\psi,\beta)$-differentiable periodic functions |
| title | Greedy algorithms of classes $(\psi,\beta)$-differentiable periodic functions |
| title_alt | Гріді-алгоритми на класах $(\psi,\beta)$-диференційовних періодичних функцій |
| title_full | Greedy algorithms of classes $(\psi,\beta)$-differentiable periodic functions |
| title_fullStr | Greedy algorithms of classes $(\psi,\beta)$-differentiable periodic functions |
| title_full_unstemmed | Greedy algorithms of classes $(\psi,\beta)$-differentiable periodic functions |
| title_short | Greedy algorithms of classes $(\psi,\beta)$-differentiable periodic functions |
| title_sort | greedy algorithms of classes $(\psi,\beta)$-differentiable periodic functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/306 |
| work_keys_str_mv | AT shkapavv greedyalgorithmsofclassespsibetadifferentiableperiodicfunctions AT škapavv greedyalgorithmsofclassespsibetadifferentiableperiodicfunctions AT shkapavv grídíalgoritminaklasahpsibetadiferencíjovnihperíodičnihfunkcíj AT škapavv grídíalgoritminaklasahpsibetadiferencíjovnihperíodičnihfunkcíj |