A parallel numerical method for abstract final value problem based on nonlocal regularization
We consider a final value problem for the first order differential equation with unbounded operator coefficient in Banach space. The given problem is regularized by the two-point non-local condition with parameter. An exponentially convergent numerical method is, then, constructed and justified for...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/31 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552553769598976 |
|---|---|
| author | Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Sytnik, D. O. Васылык, В. Б. Макаров, В. Л. Сытник, Д. А. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. |
| author_facet | Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Sytnik, D. O. Васылык, В. Б. Макаров, В. Л. Сытник, Д. А. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. Б. Василик",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. Л. Макаров",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "Д. О. Ситник",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Vasylyk, V. B. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | We consider a final value problem for the first order differential equation with unbounded operator coefficient in Banach space. The given problem is regularized by the two-point non-local condition with parameter. An exponentially convergent numerical method is, then, constructed and justified for the solution of the regularized problem. Software implementation of the method admits multilevel parallelizitation of computations. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 31–46
УДК 517.9; 519.63
Паралельний чисельний алгоритм
для абстрактного диференцiального
рiвняння з умовою у кiнцевий
момент часу, який базується на
нелокальнiй регуляризацiї
В.Б. Василик, В.Л. Макаров, Д.О. Ситник
Iнститут математики НАН України, Київ;
vasylyk@imath.kiev.ua, makarov@imath.kiev.ua, sytnik@imath.kiev.ua
We consider a final value problem for the first order differential equation
with unbounded operator coefficient in Banach space. The given problem
is regularized by the two-point non-local condition with parameter. An
exponentially convergent numerical method is, then, constructed and jus-
tified for the solution of the regularized problem. Software implementation
of the method admits multilevel parallelizitation of computations.
Рассмотрено обратную по времени задачу для дифференциального
уравнения первого порядка с неограниченным операторным коэффи-
циентом в банаховом пространстве. Произведено регуляризацию иско-
мой задачи с помощью двухточечного нелокального условия с пара-
метром. Построено и обосновано экспоненциально сходящийся метод
приближения решения полученного регуляризованного аналога иско-
мой задачи. Программная реализация предложенного метода допуска-
ет многоуровневое распараллеливание вычислений.
1 Вступ
В останнi роки проблематика, пов’язана з оберненими задачами, є
однiєю з тих, що найбiльш розвиваються в галузi прикладної матема-
тики. Це зумовлено тим, що такi задачi часто виникають на практицi.
Оберненi задачi, як правило, приводять до некоректно поставлених
c○ Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О., 2016
32 Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
за Адамаром задач. Тому знаходження їхнiх розв’язкiв потребує ви-
користання методiв з регуляризацiєю, що значно ускладнює процес
їх побудови [2, 8, 13].
В багатьох практичних задачах [1,3,15] часто виникає необхiднiсть
вiдновити стан системи в початковий момент часу, за вiдомими вимi-
рами в кiнцевий момент (наприклад визначення температури в 𝑡 = 0,
коли вiдоме значення при 𝑡 = 𝑇 ). Такi задачi називаються ретроспе-
ктивними або зворотнiми в часi [16]. Для їх наближеного розв’язува-
ння розробляється багато чисельних методiв. Разом з тим, побудова
високоефективних методiв залишається вiдкритою проблемою.
Останнiм часом широко почали використовуватись методи з спе-
ктральною швидкiстю збiжностi, якi, як вiдомо, оптимальну або май-
же оптимальну швидкiсть збiжностi в заданому класi функцiй [7].
Для аналiтичних даних вони мають експоненцiальну швидкiсть збi-
жностi. Такi методи були запропонованi нещодавно для рiзних за-
дач [7, 9, 17, 18]. Часто для постановки задачi використовується уза-
гальнення у виглядi задачi в деякому банаховому просторi. Це озна-
чає, що розглядається деяка початкова чи крайова проблема для рiв-
няння з операторним коефiцiєнтом 𝐴 [7, 13,21].
Основною метою цiєї роботи є побудова експоненцiально збiжного
методу для наступної ретроспективної задачi:
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+𝐴𝑢 = 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ),
𝑢(𝑇 ) = 𝑢0,
(1)
де 𝑢0 ∈ 𝑋. Оператор 𝐴 — це лiнiйний оператор з областю визначення
𝐷(𝐴), щiльною в деякому банаховому просторi 𝑋. Вважатимемо, що
спектр 𝐴 є пiдмножиною множини Σ
Σ = {𝑥+ 𝑖𝑦| 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 > 𝑏𝑆 , |𝑦| < 𝑑𝑆 , } , (2)
Щодо резольвенти 𝑅𝐴(𝑧) = (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 припускатимемо виконання
умови
‖𝑅𝐴 (𝑧)‖ ≤𝑀, 𝑧 ∈ ℂ ∖ Σ, (3)
для деякого 𝑀 > 0. Оператори такого роду в лiтературi прийнято
називати операторами зi спектром у напiвсмузi. Паралельнi чисельнi
методи для ретроспективних задач у постановцi подiбнiй до (1) було
запропоновано в роботах [10,20]. Об’єднуючою рисою цих робiт є при-
пущення про секторiальнiсть оператора 𝐴. Бiльш жорстке обмеження
Паралельний чисельний алгоритм для абстрактного диферен . . . 33
про приналежнiсть спектру до напiвсмуги (2) дозволяє застосувати
до ретроспективної задачi ефективнiшу технiку регуляризацiї за до-
помогою нелокальної умови (для порiвняння рiзних пiдходiв регуля-
ризацiї див. [14, Section 3.2]). В данiй роботи вперше запропоновано
паралельний алгоритм для задачi (1), де 𝐴 — оператор зi спектром
у напiвсмузi, що базується на експоненцiально збiжному методi для
регуляризованого аналогу ретроспективної задачi, отриманого з (1)
замiною фiнальної умови на нелокальну.
Структура роботи наступна. Пункт 2 присвячений регуляризацiї
(1) за допомогою нелокальної умови та побудовi iнтегрального пред-
ставлення розв’язку регуляризованої задачi. У пунктi 3 дослiджу-
ється питання оптимального вибору контуру iнтегрування для пе-
раметризацiї отриманого представлення розв’язку. Чисельний метод
наближення розв’язку регуляризованої задачi наведено у пунктi 4, де,
також, отримано апрiорну оцiнку похибки методу та повну похибку
наближеного розв’язування (1).
2 Регуляризацiя та явне зображення розв’язку
Неоднорiдна задача може бути зведена до однорiдної (1) за допомо-
гою замiни. Дiйсно, розглянемо задачу
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+𝐴𝑢 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ [0, 𝑋],
𝑢(𝑇 ) = 𝑢0,
(4)
де 𝑓(𝑥) — деяка вiдома векторнозначна функцiя в 𝑋. Покладемо
𝑣1(𝑡) =
𝑡∫︁
0
e−𝐴(𝑡−𝑠)𝑓(𝑠)𝑑𝑠,
i розглянемо замiсть (4) однорiдну задачу
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+𝐴𝑣 = 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ),
𝑣(𝑇 ) = 𝑢0 − 𝑣1(𝑇 ).
Тодi, розв’язок початкової неоднорiдної задачi записується у виглядi
𝑢(𝑡) = 𝑣(𝑡) + 𝑣1(𝑡).
34 Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Функцiя 𝑣1(𝑡) може бути обчислена за допомогою експоненцiально
збiжного метода з [7].
Враховуючи завжди iснуючу можливiсть переходу до однорiдної
задачi, далi ми розглядатимемо виключно задачу (1). Варто також
зазначити, що значення 𝑇 може бути змiнене простим масштабува-
нням часової змiнної 𝑡, а значить, не втрачаючи загальностi, можна
припускати 𝑇 > 1.
Iншим важливим припущенням, яке є типовим для теорiї зворо-
тнiх у часi задач є необхiднiсть iснування розв’язку задачi (1) в точцi
𝑡 = 0 при заданому кiнцевому значеннi 𝑢0 Це фактично означає, що
для такого 𝑢0 норма
⃦⃦
e𝐴𝑇𝑢0
⃦⃦
є обмеженою. Детальне порiвняння по-
рiвняння умов на 𝑢(0), а також огляд рiзних пiдходiв регуляризацiї
задачi (1) викладенi [4, 11, 14]. В цiй роботi ми додатково вимагати-
мемо, щоб 𝑢(𝜏) ∈ 𝐷(𝐴), тобто ‖𝐴𝑢(𝜏)‖ ≤ 𝐶 <∞, для деякого 𝜏 > 0.
Припустимо, що кiнцеве значення 𝑢0 з (1) задане з деякою похиб-
кою 𝛿
‖𝑢0 − 𝑢𝛿‖ ≤ 𝛿.
Така ситуацiя є типовою для застосувань [1,3,15]. Тому далi в роботi
ми розглядатимемо задачу зi збуреними початковими даними
𝑑𝑢𝛿(𝑡)
𝑑𝑡
+𝐴𝑢𝛿(𝑡) = 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ),
𝑢𝛿(𝑇 ) = 𝑢𝛿,
(5)
замiсть оригiнальної задачi (1). Задачi (1), (5) є некоректно постав-
леними за Адамаром [5], оскiльки iснування розв’язку 𝑢𝛿(𝑡) в 𝑡 = 0
бiльше не випливає з обмеженостi
⃦⃦
e𝐴𝑇𝑢0
⃦⃦
.
Для регуляризацiї (5) її наступною нелокальною задачею:
𝑑𝑢𝜀,𝛿(𝑡)
𝑑𝑡
+𝐴𝑢𝜀,𝛿(𝑡) = 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ),
𝑢𝜀,𝛿(𝑇 ) +
1
𝜀
𝑢𝜀,𝛿(0) = 𝑢𝛿,
(6)
де 𝜀 > 0 — параметр регуляризацiї. Iснування розв’язку (6) залежить
вiд взаємного розташування нулiв 𝑧𝑘 функцiї 𝐵(𝑧) = 1/𝜀 + e−𝑧𝑇 та
спектру оператора 𝐴 [12]. Розв’язавши рiвняння 𝐵(𝑧) = 0, отримаємо
формулу загального вигляд нулiв 𝑟𝑘
𝑟𝑘 =
1
𝑇
(ln |𝜀|+ 𝑖 (Arg (−𝜀) + 2𝜋𝑘)) =
1
𝑇
ln 𝜀+ 𝑖
𝜋 + 2𝜋𝑘
𝑇
, 𝑘 ∈ ℤ. (7)
Паралельний чисельний алгоритм для абстрактного диферен . . . 35
Умови iснування розв’язку нелокальної задачi визначенi Теоремою 1
з [12], у нашому випадку зводяться до сукупностi нерiвностей
𝜋
𝑇
> 𝑑𝑆 ∨ 1
𝑇
ln 𝜀 ≤ 𝑏𝑆 (8)
де 2𝑑𝑆 — ширина спектральної напiвсмуги, a 𝑏𝑆 — точна нижня межа
Σ (2). Умова (8) разом з властивiстю (3) резольвенти оператору 𝐴
дозволяє записати розв’язок (6) у виглядi
𝑢𝜀,𝛿(𝑡) = e−𝐴𝑡
(︂
e−𝐴𝑇 +
1
𝜀
)︂−1
𝑢𝛿. (9)
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 2.1 (c. 201 [14]). Припустимо, що оператор 𝐴 задовольняє
умови (2), (3), а розв’язок задачi (1) iснує на промiжку 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ]
для деякого 𝑢0 ∈ 𝑋. Тодi розв’язок 𝑢𝜀,𝛿 задачi (6) — обмежений на
𝑡 ∈ [𝜏, 𝑇 ] для будь-якого 𝑢𝛿 ∈ 𝑋, причому
Δ(𝜏) = sup
‖𝑢0−𝑢𝛿‖≤𝛿
‖𝑢𝜀,𝛿(𝜏)− 𝑢(𝜏)‖
≤ 𝛿𝜀𝐶1(𝜏) +
(︂
𝐶2𝜀
−𝑇−𝜏
𝑇 + 𝐶3 +
𝐶4
𝑇
ln 𝜀
)︂
𝜀−
𝜏
𝑇 ,
(10)
А тому для заданого 𝜏 > 0 завжди можна пiдiбрати 𝜀 = 𝛿
𝑇
𝑇+𝜏 так,
щоб Δ(𝜏) → 0 коли 𝛿 → 0.
Авторами [14] доведено непокращуванiсть оцiнки (10) за порядком у
класi розв’язкiв задачi (1), якi обмеженi в 𝑡 = 0.
Для подальших мiркувань ми використовуватимемо iнтегральне
представлення розв’язку (9) за допомогою формули Данфорда-Кошi
[6]
𝑢𝜀,𝛿(𝑡) =
∫︁
Γ𝐼
e−𝑧𝑡
𝐵(𝑧)
𝑅𝐴(𝑧)𝑢𝛿𝑑𝑧, Γ𝐼 = 𝜕Ω. (11)
Контур Γ𝐼 повинен бути додатно–орiєнтований вiдносно Σ ⊆ Ω та
такий що 𝑟𝑘 ∈ ℂ ∖ Ω. Додатково вимагатимемо щоб пiдiнтегральна
функцiя експоненцiально спадала на контурi при 𝑧 → ∞, а пара-
метризацiя контуру визначала конформне вiдображення смуги 𝐷𝑑
шириною 2𝑑 у пiдмножину ℂ ∖ Ω, для якої iнтеграл (11) є збiжним.
36 Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
3 Вибiр контуру iнтегрування
Нехай
Γ𝐼 : 𝑧(𝜉) = 𝑎0 + 𝑧1(𝜉) + 𝜙𝑧2(𝜉), 𝜉 ∈ (−∞,∞),
де
𝑧1(𝜉) = 𝑏0 + 𝑏𝐼
√︀
𝑗𝐼 + 𝜉2 − 𝑖𝑑𝐼 tanh 𝜉, (12)
𝑧2(𝜉) = 𝑎𝐼 (cosh 𝑘𝜉 − sinh 𝑘𝜉) . (13)
Контури 𝑧1(𝜉) та 𝑧2(𝜉) матимуть додатнiй напрям обходу спектраль-
ної напiвсмуги Σ, при 𝜉 ∈ (−∞,∞), якщо 𝑎𝐼 , 𝑏𝐼 , 𝑑𝐼 — додатнi. Пара-
метри контуру з (12) визначаються наступним чином [19]
𝑏𝐼 =
2𝑑𝑆
𝜋 − 2𝑑
, 𝑑𝐼 =
𝜋𝑑𝑆
𝜋 − 2𝑑
, 𝑏0 = 𝑏𝑆 − 𝑏𝐼
√︀
𝑗𝑖 − 𝑑2 − 𝑑𝐼 tan 𝑑.
Стала 𝑗𝐼 = 1.4 пiдiбрана так, щоб верхня границя смуги 𝐷𝑑 ⊂ ℂ
𝐷𝑑 = {𝜉 ∈ ℂ | ℜ(𝜉) ∈ (−∞,∞), ℑ(𝜉) ∈ [−𝑑, 𝑑]}
переводилась конформним вiдображенням 𝜉 → 𝑧1(𝜉) у криву, яка
дотикається до спектральної напiвсмуги у точцi 𝑏𝑆 та огинає кути Σ
з мiнiмальним вiдхиленням (детальна дискусiя про субоптимальний
вибiр 𝑗𝐼 приведена в [19]). Сталу 𝑘 в (13) визначимо з рiвностi 𝑘𝑑 =
𝜋/4, в наслiдок якої ℜ(𝑧2(𝑥− 𝑖𝑑)) = 0 i ℑ(𝑧2(𝑥+ 𝑖𝑑)) = 0, ∀𝑥 ∈ ℝ. Для
фiксованого 𝑑, параметри 𝑎0 та 𝜙 визначимо з умов
∃𝑥𝑆 < 0 : ℜ(𝑧(𝑥𝑆 + 𝑖𝑑)) = 𝑏𝑆 ∧ ℑ(𝑧(𝑥𝑆 + 𝑖𝑑)) ≥ 𝑑𝑆 , (14a)
∃𝑥𝐶 < 0 : 𝑧(𝑥𝐶 − 𝑖𝑑) = 𝑟0. (14b)
Сукупнiсть умов (14a) забезпечує приналежнiсть Σ областi обме-
женої кривою Γ𝐶 . Ця крива є образом верхньої межi 𝐷𝑑 при вiдобра-
женнi 𝜉 → 𝑧(𝜉). В якостi 𝑥𝑆 можна взяти точку 𝑥0 = −1.705216804:
ℜ(𝑧1(𝑥0 + 𝑖𝑑)) = 𝑏𝑆 . При цьому друга умова з (14a) буде задовольня-
тися автоматично, оскiльки вона має мiсце для 𝑧1(𝑥0 + 𝑖𝑑), а уявна
частина 𝑧2(𝑥 + 𝑖𝑑) дорiвнює нулю ∀𝑥 ∈ ℝ. Таким чином (14a) зводи-
ться до рiвняння
𝑎0 + ℜ(𝑧1(𝑥0 + 𝑖𝑑)) + 𝜙ℜ(𝑧2(𝑥0 + 𝑖𝑑)) = 𝑏𝑆 ,
лiнiйного вiдносно 𝑎0, 𝜙. Спростивши попереднє рiвняння матимемо
𝑎0 = −𝜙ℜ(𝑧2(𝑥0 + 𝑖𝑑)). (15)
Паралельний чисельний алгоритм для абстрактного диферен . . . 37
Умова (14b) вимагає, щоб нижня межа смуги 𝐷𝑑 переводилась
згаданим конформним вiдображенням у криву Γ𝐶 , на якiй лежить
полюс 𝑟0 (7) пiдiнтегральної функцiї з (11). Врахувавши рiвнiсть
ℜ(𝑧2(𝑥− 𝑖𝑑)) = 0, перепишемо (14b) у виглядi
{︃
ℑ(𝑧1(𝑥𝐶 − 𝑖𝑑)) + 𝜙ℑ(𝑧2(𝑥𝐶 − 𝑖𝑑)) = 𝜋
𝑇 ,
𝑎0 + ℜ(𝑧1(𝑥𝐶 − 𝑖𝑑)) = 1
𝑇 ln 𝜀.
(16)
Система (16) є нелiнiйною, оскiльки невiдоме значення 𝑥𝐶 , очевидно,
буде залежати вiд величини 𝜀. Наша цiль отримати явнi формули
для параметрiв контуру Γ𝐼 . Для цього спочатку визначимо параме-
три для деякого фiксованого 𝜀0. Отриманий контур пiдходитиме (в
сенсi (8)) для будь-якого 𝜀 < 𝜀0, оскiльки ℜ(𝑟𝑘(𝜀)) < ℜ(𝑟𝑘(𝜀0)). Далi
зафiксуємо 𝑎0 обчислене з (15) при 𝜀 = 𝜀0 та будемо обчислювати
тiльки 𝜙 для 𝜀 > 𝜀0. Отриманий таким чином контур все ще задо-
вольнятиме (14), щоправда вже з iншою парою 𝑥𝑆 , 𝑥𝐶 . Покладемо
𝜙 = 1, 𝜀 = 𝜀0 : 1
𝑇 ln 𝜀0 = 𝑏𝑆 + 𝑎0 та визначимо 𝑥𝐶 з другого рiвняння
в (16):
𝑏𝐼
2
√︃
2
(︂√︁
(𝑥2 − 𝑑2 + 𝑗𝐼)
2
+ 4𝑑2𝑥2 + 𝑥2 − 𝑑2 + 𝑗𝐼
)︂
− 𝑑𝐼 sin 2𝑑
2(sinh2 𝑥+ cos2 𝑑)
= 𝑏𝑆 − 𝑏0.
Для знаходження наближеного розв’язку цього рiвняння застосуємо
формулу Лагранжа обернення розкладу в ряд лiвої частинi в околi
точки 𝑥1, де
𝑏𝐼
2
√︃
2
(︂√︁
(𝑥21 − 𝑑2 + 𝑗𝐼)
2
+ 4𝑑2𝑥21 + 𝑥21 − 𝑑2 + 𝑗𝐼
)︂
= 𝑏𝑆 − 𝑏0,
звiдки
𝑥1 = −
(𝑏𝑆 − 𝑏0)
√︀
(𝑏2𝐼𝑑
2 + (𝑏𝑆 − 𝑏0)2)(𝑏2𝐼𝑑
2 − 𝑏2𝐼𝑗𝐼 + (𝑏𝑆 − 𝑏0)2)
(𝑏2𝐼𝑑
2 + (𝑏𝑆 − 𝑏0)2)𝑏𝐼
. (17)
38 Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Матимемо
𝑥𝐶 = 𝑥1
+
(︃
𝑏2𝐼𝑥1
(︀
(𝑏𝑆 − 𝑏0)
2 + 𝑑2𝑏2𝐼
)︀
(𝑏𝑆 − 𝑏0) ((𝑏𝑆 − 𝑏0)2 + 𝑏2𝐼 (𝑥
2
1 − 𝑑2 + 𝑗𝐼))
+
𝑑𝐼 sin 2𝑑 sinh 2𝑥1
2(sinh2 𝑥1 + cos2 𝑑)2
)︃−1
× 𝑑𝐼 sin 2𝑑
2(sinh2 𝑥1 + cos2 𝑑)
. (18)
Далi знайдемо 𝑎𝐼 з першого рiвняння в (16):
𝑎𝐼 =
√
2
ℑ(𝑧1(𝑥𝐶 − 𝑖𝑑))− 𝜋/𝑇
sinh 𝑘𝑥1
, (19)
та обчислимо 𝑎0 за допомогою (15). Побудований таким чином контур
Γ𝐼 , а також кривi Γ𝑆 ,Γ𝐶 , разом з їх прообразами та двома наймен-
шими значеннями 𝑟𝑘 (круги, сiрого (червоного) кольору) зображенi
на Рис. 1.
а) б)
Рис 1. Контур iнтегрування Γ𝐼 разом з кривими Γ𝑆 ,Γ𝐶 б) та їх прообрази
а) (𝜀 = 𝜀0 = 0.8627323, 𝑇 = 1, 𝑏𝑆 = 1, 𝑑𝑆 = 𝜋/4, 𝑑 = 𝜋/6)
Критичне значення 𝜀0 обчислюється за формулою
𝜀0 = e𝑇 (𝑏𝑆−𝑎0). (20)
Для визначення параметрiв контуру у випадку, коли 𝜀 > 𝜀0 нам
достатньо заново обчислити 𝑥𝐶 та 𝜙. Щоб це зробити пiдставимо
Паралельний чисельний алгоритм для абстрактного диферен . . . 39
1
𝑇 ln 𝜀 − 𝑐0 замiсть 𝑏𝑆 в (17), (18), та обчислимо 𝜙 використовуючи
(16). Матимемо
𝜙 =
𝜋/𝑇 −ℑ(𝑧1(𝑥𝐶 − 𝑖𝑑))
ℑ(𝑧2(𝑥𝐶 − 𝑖𝑑))
. (21)
Визначений таким чином контур для випадку 𝜀 = 1000, зображений
на Рис. 2.
Рис 2. Контур iнтегрування Γ𝐼 разом з кривими Γ𝑆 ,Γ𝐶 , напiвсмугою Σ
та нулями 𝑟𝑘, 𝑘 = −1, 0 (𝜀 = 1000, 𝑇 = 1, 𝑏𝑆 = 1, 𝑑𝑆 = 𝜋/4, 𝑑 = 𝜋/6)
40 Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
4 Чисельний метод
Замiнимо в iнтегралi (11) 𝑅𝐴(𝑧(𝜉)) на скориговану резольвенту
𝑅1
𝐴(𝑧) = 𝑅𝐴(𝑧)− 1/𝑧,
коректна визначенiсть якої для 𝑢𝜀,𝛿(𝑡), 𝑡 ∈ [𝜏, 𝑇 ] гарантується умовою
𝑢𝜀,𝛿(𝜏) ∈ 𝐷(𝐴), а потiм параметризуємо отриманий iнтеграл, викори-
ставши контур Γ𝐼 побудований у частинi 3. Матимемо
𝑢𝜀,𝛿(𝜏) =
+∞∫︁
−∞
e−𝑧(𝜉)𝜏
e−𝑧(𝜉)𝑇 + 1/𝜀
𝑧′(𝜉)𝑅1
𝐴(𝑧(𝜉))𝑢𝛿𝑑𝑧, (22)
де
𝑧′(𝜉) =
𝑏𝐼𝜉√︀
𝜉2 + 𝑗𝐼
− 𝑖𝑑𝐼(1− tanh2 𝜉) + 𝜙𝑎𝐼𝑘 (sinh 𝑘𝜉 − 𝑖 cosh 𝑘𝜉) .
Оцiнимо норму
⃦⃦
𝑧′(𝜉)𝑅1
𝐴 (𝑧(𝜉))𝑢𝛿
⃦⃦
≤
⃦⃦⃦⃦
𝑧′(𝜉)
𝑧(𝜉)
𝑅𝐴 (𝑧(𝜉))𝐴𝑢𝛿
⃦⃦⃦⃦
≤𝑀
⃒⃒⃒⃒
𝑧′(𝜉)
𝑧(𝜉)
⃒⃒⃒⃒
‖𝐴𝑢𝛿‖ ,
модуль вiдношення 𝑧′(𝜉)
𝑧(𝜉) оцiнюється наступним чином
⃒⃒⃒⃒
𝑧′(𝜉)
𝑧(𝜉)
⃒⃒⃒⃒
≤
⎯⎸⎸⎸⎸⎸⎷
(︂
𝜙𝑎𝐼𝑘 sinh 𝑘𝜉 +
𝑏𝐼𝜉√
𝜉2+𝑗𝐼
)︂2
+
(︁
𝜙𝑎𝐼𝑘 cosh 𝑘𝜉 +
𝑑𝐼
cosh2 𝜉
)︁2
(︁
𝜙𝑎𝐼 cosh 𝑘𝜉 + 𝑏𝐼
√︀
𝜉2 + 𝑗𝐼
)︁2
+ (𝜙𝑎𝐼 sinh 𝑘𝜉)
2
≤
⎯⎸⎸⎷(︁𝑘 tanh 𝑘𝜉 + 𝑏𝐼
𝜙𝑎𝐼 cosh 𝑘𝜉
)︁2
+
(︁
𝑘 + 𝑑𝐼
𝜙𝑎𝐼 cosh 𝑘𝜉 cosh2 𝜉
)︁2
2
≤ 𝐶𝑧𝑘,
а тому ⃦⃦
𝑧′(𝜉)𝑅1
𝐴 (𝑧(𝜉))𝑢𝛿
⃦⃦
≤𝑀𝐶𝑧𝑘 ‖𝐴𝑢𝛿‖ . (23)
Тепер оцiнимо iншу частину пiдiнтегрального виразу в (22)⃒⃒⃒⃒
e−𝑧(𝜉)𝜏
e−𝑧(𝜉)𝑇 + 1/𝜀
⃒⃒⃒⃒
=
e−𝜏ℜ(𝑧(𝜉))√︁
e−2𝑇ℜ(𝑧(𝜉)) + 2
𝜀e
−𝑇ℜ(𝑧(𝜉)) cos𝑇ℑ(𝑧(𝜉)) + 1
𝜀2
.
Паралельний чисельний алгоритм для абстрактного диферен . . . 41
Залежна вiд 𝜉 частина знаменнику спадає значно швидше нiж чи-
сельник при |𝜉| → ∞, оскiльки 𝑇 ≫ 𝜏 . Отже, iснує 𝜉0 > |𝑥𝐶 |, таке,
що попереднiй вираз задовольняє нерiвнiсть⃒⃒⃒⃒
e−𝑧(𝜉)𝜏
e−𝑧(𝜉)𝑇 + 1/𝜀
⃒⃒⃒⃒
≤ 𝜀e
−𝜏
(︁
𝑎0+𝑏0+𝑏𝐼
√
𝑗𝐼+𝜉2+𝜙𝑎𝐼 cosh 𝑘𝜉
)︁
, |𝜉| > 𝜉0, (24)
яка гарантує суперекспоненцiальне спадання пiдiнтегральної функцiї
в (22) коли |𝜉| → ∞. З графiку норми цiєї пiдiнтегрального функцiї на
Рис. (3) а) видно, що вона спочатку досягає свого максимуму, а потiм
починає швидко спадати, коли 𝜏𝜙𝑎𝐼 cosh 𝑘𝜉0 домiнує над рештою 𝑧(𝜉).
Враховуючи таку поведiнку норми виразу з (22), а також той факт,
а)
𝜉
б)
𝑝
в)
𝑝
Рис 3. Графiки норм: пiдiнтегральної функцiї з (22) a), функцiї ℱ1(𝑝) б)
та ℱ21(𝑝) в) (𝜀 = 1000, 𝑇 = 1, 𝑏𝑆 = 1, 𝑑𝑆 = 𝜋/4, 𝑑 = 𝜋/6)
що 𝜏 — мале по вiдношенню до 𝑇 , виберемо в якостi 𝜉0 точку, де
𝜏𝜙𝑎𝐼 cosh 𝑘𝜉0 =
1
max{2, ln 𝜀}
,
звiдки
𝜉0 =
1
𝑘
arccosh
(︂
1
𝜏𝜙𝑎𝐼 max{2, ln 𝜀}
)︂
. (25)
Вiзуально порiвняти взаєморозташування точок 𝑥𝐶 та 𝜉0, а також ве-
личину норм пiдiнтегрального виразу з (22) можна використовуючи
Рис. 3 а), де величина норми у точцi 𝑥𝐶 позначена ромбом, а норма
в 𝜉0 — кругом чорного кольору.
42 Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Розiб’ємо iнтеграл в (22) на три частини
𝑢𝜀,𝛿(𝜏) =
𝜉0∫︁
−𝜉0
e−𝑧(𝜉)𝜏
e−𝑧(𝜉)𝑇 + 1/𝜀
𝑧′(𝜉)𝑅1
𝐴(𝑧(𝜉))𝑢𝛿𝑑𝑧
+
⎛⎜⎝ −𝜉0∫︁
−∞
+
∞∫︁
𝜉0
⎞⎟⎠ e−𝑧(𝜉)𝜏
e−𝑧(𝜉)𝑇 + 1/𝜀
𝑧′(𝜉)𝑅1
𝐴(𝑧(𝜉))𝑢𝛿𝑑𝑧
i перепишемо його у виглядi
𝑢𝜀,𝛿(𝜏) =
+∞∫︁
−∞
ℱ1(𝑝)𝑑𝑝+
+∞∫︁
−∞
ℱ2(𝑝)𝑑𝑝, (26)
де ℱ2(𝑝) = ℱ21(𝑝)−ℱ22(𝑝),
ℱ1(𝑝) =
e−𝑧(𝜓1(𝑝)𝜏𝑧′(𝜓1(𝑝))
e−𝑧(𝜓1(𝑝))𝑇 + 1/𝜀
𝜓′
1(𝑝)𝑅
1
𝐴(𝑧(𝜓1(𝑝)))𝑢𝛿
𝜓1(𝑝) =
𝜉0(e
𝑝 − 1)
1 + e𝑝
, 𝜓′
1(𝑝) =
2𝜉0e
𝑝
(1 + e𝑝)2
,
ℱ21(𝑝) =
e−𝑧(𝜓2(𝑝)𝜏𝑧′(𝜓2(𝑝))
e−𝑧(𝜓2(𝑝))𝑇 + 1/𝜀
𝜓′
2(𝑝)𝑅
1
𝐴(𝑧(𝜓1(𝑝)))𝑢𝛿
ℱ22(𝑝) =
e−𝑧(−𝜓2(𝑝)𝜏𝑧′(−𝜓2(𝑝))
e−𝑧(−𝜓2(𝑝))𝑇 + 1/𝜀
𝜓′
2(𝑝)𝑅
1
𝐴(𝑧(−𝜓1(𝑝)))𝑢𝛿
𝜓2(𝑝) = 𝜉0 + ln
(︁
e𝑝 +
√︀
1 + e2𝑝
)︁
, 𝜓′
2(𝑝) = (1 + e−2𝑝)−1/2
Проведена замiна 𝜉 → 𝑝 дозволяє, по–перше, компенсувати рiст 𝜉0,
при 𝜀 → ∞ та, по–друге, згустити сiтку застосованих нижче ква-
дратурних формул у околi 𝜉0 (див. Рис 3 б), в)). Це iстотно покра-
щує обчислювальнi характеристики результуючого методу наближе-
ння розв’язку (5).
Наблизимо iнтеграли (26) наступними Sinc-квадратурними фор-
мулами
𝑣𝑁1,𝑁2
(𝑡) =
1
2𝜋𝑖
𝑁1∑︁
𝑘=−𝑁1
ℱ1(𝑘1) +
2
2𝜋𝑖
𝑁3∑︁
𝑛=−𝑁2
ℱ2(𝑛2), (27)
Паралельний чисельний алгоритм для абстрактного диферен . . . 43
де 𝑁1, 𝑁2, 𝑁3 > 0 — параметри дискретизацiї. Похибка наближення
(27) має вигляд [18, Теорема 3.2.1]
‖𝑢𝜀,𝛿 − 𝑣𝑁1,𝑁2(𝑡)‖ ≤ 2𝑘𝜀𝐾
(︂
𝜉0e
−𝜋
√︁
𝑁1+1
3 + e−𝜋
√︁
𝑁2+1
3
)︂
‖𝐴𝑢𝛿‖, (28)
де 𝐾 > 0 — деяка стала незалежна вiд 𝑁1, 𝑁2, 𝑁3. Має мiсце
Теорема 4.1. Припустимо, що оператор 𝐴 задовольняє умови (2),
(3), а розв’язок задачi (5) iснує на промiжку 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] для деякого
𝑢𝛿 ∈ 𝑋 та заданих 𝜀, 𝛿 > 0, причому 𝑢𝜀,𝛿(𝜏) ∈ 𝐷(𝐴). Тодi для зада-
них 𝑁 > 0 Sinc-квадратурна формула (27) наближає розв’язок ре-
гуляризованої ретроспективної задачi (5) i має рiвномiрну вiдносно
𝑡 ∈ [𝜏, 𝑇 ] експоненцiальну швидкiсть збiжностi, яка характеризує-
ться оцiнкою
‖𝑢𝜀,𝛿 − 𝑣𝑁1,𝑁2(𝑡)‖ ≤ 2𝑘𝜀𝐶e−𝜋
√
𝑁+1
3 ‖𝐴𝑢𝛿‖. (29)
де 𝑙 = 𝜋 (3𝑁𝑙)
−1/2, 𝑙 = 1, 2, а 𝐶 > 0 — деяка стала, що залежить
вiд 𝑀,𝑇 та не залежить вiд 𝑁 . Параметри 𝑁1, 𝑁2, 𝑁3 з (27) ви-
значається за формулами
𝑁1 =
𝑁
ln2 𝜉0
, 𝑁2 = 𝑁, 𝑁3 =
1
2𝑘
arccosh
2𝑁
𝜏𝜙𝑎𝐼
. (30)
Доведення. Для доведення (29) спочатку оцiнимо норми ℱ1(𝑝) та
ℱ2(𝑝)
‖ℱ1(𝑝)‖ ≤
⃒⃒⃒⃒
e−𝑧(𝜓1(𝑝))𝜏
e−𝑧(𝜓1(𝑝))𝑇 + 1/𝜀
⃒⃒⃒⃒
|𝜓′
1(𝑝)|
⃦⃦
𝑧′(𝜓1(𝑝))𝑅
1
𝐴 (𝑧(𝜓1(𝑝)))𝑢𝛿
⃦⃦
≤ 2𝑘𝜀𝜉0𝑀𝐶𝑧𝐾1(𝜉0, 𝜏, 𝜓
′
1)e
−|𝑝| ‖𝐴𝑢𝛿‖ ,
‖ℱ21(𝑝)‖ ≤
⃒⃒⃒⃒
e−𝑧(𝜓2(𝑝))𝜏
e−𝑧(𝜓2(𝑝))𝑇 + 1/𝜀
⃒⃒⃒⃒
|𝜓′
2(𝑝)|
⃦⃦
𝑧′(𝜓2(𝑝))𝑅
1
𝐴 (𝑧(𝜓2(𝑝)))𝑢𝛿
⃦⃦
≤ 𝑘𝜀𝑀𝐶𝑧𝐾2(𝜉0, 𝜏, 𝜓
′
2)e
−|𝑝|e−𝜏𝜙𝑎𝐼 exp (𝑘|𝑝|) ‖𝐴𝑢𝛿‖ ,
тут 𝐾1(𝜉0, 𝜏, 𝜓
′
1),𝐾2(𝜉0, 𝜏, 𝜓
′
2) — це сталi залежнi вiд 𝜉0, 𝜏 та норм 𝜓′
1,
𝜓′
2, вiдповiдно. Оцiнка норми ℱ22(𝑝) iдентична оцiнцi ‖ℱ21(𝑝)‖, а отже
‖ℱ2(𝑝)‖ ≤ 2𝑘𝜀𝑀𝐶𝑧𝐾2(𝜉0, 𝜏, 𝜓
′
2)e
−|𝑝|e−𝜏𝜙𝑎𝐼 exp (𝑘|𝑝|) ‖𝐴𝑢𝛿‖ .
44 Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вираз злiва в останнiй оцiнцi спадає експоненцiально, коли 𝑝 → −∞
та суперекспоненцiально, коли 𝑝→ +∞. Для того, щоб збалансувати
похибку вiдкидання Sinc–квадратурної формули узгодимо 𝑁2 та 𝑁3:
‖ℱ2(−2𝑁2)‖ ≍ ‖ℱ2(2𝑁3)‖. Покладемо
e−2𝑁2 = e−𝜏𝜙𝑎𝐼 exp (𝑘2𝑁3),
звiдки
2𝑁2 = 𝜏𝜙𝑎𝐼 exp (𝑘2𝑁3).
Розв’язавши це рiвняння вiдносно 𝑁3 та позначивши 𝑁2 = 𝑁 , отри-
маємо останнiй вираз в (30). Вираз для 𝑁1 одержується узгодивши
похибку першої квадратурної формули в (27) з другою.
Наслiдок 4.1. Повна похибка наближення розв’язку 𝑢(𝑡) задачi (1)
виразом 𝑣𝑁1,𝑁2
(𝑡) з (27) має вигляд
‖𝑢(𝑡)− 𝑣𝑁1,𝑁2
(𝑡)‖ ≤ 𝐾𝛿𝛾 + 2𝑘𝜀𝐶e−𝜋
√
𝑁+1
3 ‖𝐴𝑢𝛿‖
де 𝐾 — деяка стала залежна вiд 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝛾 ≤ 𝜏
𝑇+𝜏 , а 𝜀 = 𝛿−
𝑇
𝑇+𝜏 .
Кожна з квадратур у формулi (27) може бути обчислена пара-
лельно i незалежно одна вiд одної. Це дозволяє розпаралелити процес
розв’язання послiдовностi просторових задач необхiдних для знахо-
дження результату дiї резольвенти 𝑅1
𝐴(𝑧𝑘) на 𝑢𝛿, при рiзних 𝑧𝑘 ∈ Γ𝐼 .
Обчисленi значення 𝑅1
𝐴(𝑧𝑘)𝑢𝛿 дозволяють визначити 𝑣𝑁1,𝑁2(𝑡) для
довiльної кiлькостi значень 𝑡𝑖 ∈ [𝜏, 𝑇 ], обмежуючись, при цьому, тiль-
ки повторним обчисленням скалярних частин ℱ1(𝑝), ℱ2(𝑝). Зазначенi
аргументи в комплексi з урахуванням додаткового рiвня паралелi-
зму по 𝜀, 𝜏 пiдкреслюють надзвичайну обчислювальну ефективнiсть
побудованого чисельного методу.
Висновки
Розроблений в роботi паралельний чисельний метод наближення роз-
в’язку ретроспективної задачi (1) спирається на спецiально оптимiзо-
ваний контур iнтегрування. Оцiнка похибки (29) не може бути iсто-
тно покращена залишаючись в межах класу Sinc-квадратурних ме-
тодiв наближення (11), оскiльки при побудовi контуру використана
Паралельний чисельний алгоритм для абстрактного диферен . . . 45
максимально можлива область аналiтичностi пiдiнтегральної фун-
кцiї. Подальша оптимiзацiя запропонованого методу через узгодже-
ння параметрiв контуру з точкою розбиття 𝜉0 iстотно залежить вiд
спiввiдношення мiж величинами 𝜀 та 𝜏 i тому вимагає спецiалiза-
цiї методу до конкретної прикладної галузi. Таке узгодження разом
з аналiзом обчислювальних аспектiв реалiзацiї методу залишається
об’єктом майбутнiх дослiджень.
[1] Bagtzoglou A. C., Atmadja J. Mathematical Methods for Hydrologic In-
version: The Case of Pollution Source Identification // Water Pollu-
tion: Environmental Impact Assessment of Recycled Wastes on Surface
and Ground Waters; Engineering Modeling and Sustainability / Ed. by
Tarek A. Kassim. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg,
2005.—P. 65–96.— ISBN: 978-3-540-28565-6.
[2] Beck J. V., Blackwell B., Clair C. R. S. J. Inverse Heat Conduction: Ill-
Posed Problems.—Wiley-Interscience, 1985.—P. 308.
[3] Carasso A. S. Procedure for digital image restoration.— 1997.—May 6.—
US Patent 5,627,918.
[4] Carasso A. S. Reconstructing the past from imprecise knowledge of the
present: Effective non-uniqueness in solving parabolic equations backward
in time // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2013. —
Vol. 36, no. 3.—P. 249–261.
[5] Fattorini H. O., Kerber. A. The Cauchy Problem.—Cambridge University
Press, 1984.
[6] Fujita H., Saito N., Suzuki T. Operator theory and numerical methods.—
Amsterdam; London : Elsevier, 2001.—Vol. 30 of Studies in Mathematics
and Its Applications.
[7] Gavrilyuk I., Makarov V., Vasylyk V. Exponentially convergent algo-
rithms for abstract differential equations. Frontiers in Mathematics. —
Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2011.—P. viii+180.— ISBN: 978-
3-0348-0118-8.
[8] Kabanikhin S. I. Inverse and ill-posed problems. — Berlin : Walter de
Gruyter GmbH & Co. KG, 2012.—Vol. 55 of Inverse and Ill-posed Prob-
lems Series.—P. xvi+459.—Theory and applications.
[9] Kwon K., Sheen D. A parallel method for the numerical solution of integro-
differential equation with positive memory // Comput. Methods Appl.
Mech. Engrg.— 2003.—Vol. 192, no. 41-42.—P. 4641–4658.
[10] Lee J., Sheen D. A parallel method for backward parabolic problems based
on the laplace transformation // SIAM Journal on Numerical Analysis. —
2006.—Vol. 44, no. 4.—P. 1466–1486.
http://dx.doi.org/10.1007/b11442
http://dx.doi.org/10.1007/b11442
http://isbndb.com/search-all.html?kw=978-3-540-28565-6
http://dx.doi.org/10.1002/mma.2582
http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-0119-5
http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-0119-5
http://isbndb.com/search-all.html?kw=978-3-0348-0118-8
http://isbndb.com/search-all.html?kw=978-3-0348-0118-8
http://dx.doi.org/10.1016/S0045-7825(03)00442-0
http://dx.doi.org/10.1016/S0045-7825(03)00442-0
http://dx.doi.org/10.1137/050624649
46 Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
[11] Lee J., Sheen D. F john’s stability conditions versus a carasso’s SECB con-
straint for backward parabolic problems // Inverse Problems. — 2009. —
feb.—Vol. 25, no. 5.—P. 055001.
[12] Makarov V. L., Sytnyk D. O., Vasylyk V. B. Existence of the solution to
a nonlocal-in-time evolutional problem // Nonlinear Analysis: Modelling
and Control. — 2014. — sep. — Vol. 19, no. 3. — P. 432–447. — Access
mode: http://arxiv.org/abs/1406.5417.
[13] Melnikova I. V., Filinkov A. Abstract Cauchy problems: three ap-
proaches. — Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001. — Vol. 120
of Chapman & Hall/CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied
Mathematics.—P. xxii+236.
[14] Melnikova I. V., Filinkov A. Abstract Cauchy problems: three ap-
proaches.—CRC Press, 2001.—mar.
[15] Optimization-based atmospheric plume source identification /
Amvrossios C. Bagtzoglou, Eric D. Kenney, April Hiscox,
David R. Miller // Environmental Forensics. — 2014. — mar. — Vol. 15,
no. 2.—P. 147–158.
[16] Samarskii A. A., Vabischevich P. N. Regularized difference schemes for
evolutionary second order equations // Mathematical Models and Meth-
ods in Applied Sciences.— 1992.—Vol. 02, no. 03.—P. 295–315.
[17] Sheen D., Sloan I. H., Thomée V. A parallel method for time-discretization
of parabolic problems based on contour integral representation and
quadrature // Math.Comp.— 2000.—Vol. 69.—P. 177–195.
[18] Stenger F. Numerical methods based on sinc and analytic functions. —
Springer-Verlag, New York, 1993.—Vol. 20 of Springer Series in Compu-
tational Mathematics.—P. xvi+565.— ISBN: 0-387-94008-1.
[19] Sytnyk D. Parallel approximation for abstract time-dependant
Schrödinger equation.— 2017.
[20] Vasylyk V. B. Exponentially convergent method for the final value problem
for the first order differential equation in Banach space // Збiрник праць
Iнституту математики НАН України. — 2014. — Т. 11, № 4. — С. 509–
523.
[21] Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве. — М. : Наука, 1967.
http://dx.doi.org/10.1088/0266-5611/25/5/055001
http://dx.doi.org/10.15388/na.2014.3.8
http://dx.doi.org/10.15388/na.2014.3.8
http://arxiv.org/abs/1406.5417
http://dx.doi.org/10.1201/9781420035490
http://dx.doi.org/10.1201/9781420035490
http://dx.doi.org/10.1080/15275922.2014.890146
http://dx.doi.org/10.1142/S0218202592000193
http://dx.doi.org/10.1142/S0218202592000193
http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-2706-9
http://isbndb.com/search-all.html?kw=0-387-94008-1
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-31 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:16Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/3f/ebe7ad6800da3d24ad250e06fae31c3f.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-312018-02-13T11:57:10Z A parallel numerical method for abstract final value problem based on nonlocal regularization Паралельный численный алгоритм для абстракного дифференциального уравнения с условием в конечный момент времени, который базируется на нелокальной параметризации Паралельний чисельний алгоритм для абстрактного диференцiального рiвняння з умовою у кiнцевий момент часу, який базується на нелокальнiй регуляризацiї Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Sytnik, D. O. Васылык, В. Б. Макаров, В. Л. Сытник, Д. А. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. We consider a final value problem for the first order differential equation with unbounded operator coefficient in Banach space. The given problem is regularized by the two-point non-local condition with parameter. An exponentially convergent numerical method is, then, constructed and justified for the solution of the regularized problem. Software implementation of the method admits multilevel parallelizitation of computations. Рассмотрено обратную по времени задачу для дифференциального уравнения первого порядка с неограниченным операторным коэффициентом в банаховом пространстве. Произведено регуляризацию искомой задачи с помощью двухточечного нелокального условия с параметром. Построено и обосновано экспоненциально сходящийся метод приближения решения полученного регуляризованного аналога искомой задачи. Программная реализация предложенного метода допускает многоуровневое распараллеливание вычислений. Розглянуто зворотну за часом задачу для диференціального рівняння першого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом у банаховому просторі. Вироблено регуляризацію шуканої задачі за допомогою двухточкової нелокальної умови з параметром. Побудовано та обгрунтовано експоненційно збіжний метод наближення розв'язків отриманого регуляризованого аналога шуканої задачі. Програмна реалізація запропонованого методу допускає багаторівневе розпаралелювання обчислень. Інститут математики НАН України 2016-11-29 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/31 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 31-46 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 31-46 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 31-46 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/31/37 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Sytnik, D. O. Васылык, В. Б. Макаров, В. Л. Сытник, Д. А. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Ситник, Д. О. A parallel numerical method for abstract final value problem based on nonlocal regularization |
| title | A parallel numerical method for abstract final value problem based on nonlocal regularization |
| title_alt | Паралельный численный алгоритм для абстракного дифференциального уравнения с условием в конечный момент времени, который базируется на нелокальной параметризации Паралельний чисельний алгоритм для абстрактного диференцiального рiвняння з умовою у кiнцевий момент часу, який базується на нелокальнiй регуляризацiї |
| title_full | A parallel numerical method for abstract final value problem based on nonlocal regularization |
| title_fullStr | A parallel numerical method for abstract final value problem based on nonlocal regularization |
| title_full_unstemmed | A parallel numerical method for abstract final value problem based on nonlocal regularization |
| title_short | A parallel numerical method for abstract final value problem based on nonlocal regularization |
| title_sort | parallel numerical method for abstract final value problem based on nonlocal regularization |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/31 |
| work_keys_str_mv | AT vasylykvb aparallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT makarovvl aparallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT sytnikdo aparallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT vasylykvb aparallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT makarovvl aparallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT sytnikda aparallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT vasilikvb aparallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT makarovvl aparallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT sitnikdo aparallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT vasylykvb paralelʹnyjčislennyjalgoritmdlâabstraknogodifferencialʹnogouravneniâsusloviemvkonečnyjmomentvremenikotoryjbaziruetsânanelokalʹnojparametrizacii AT makarovvl paralelʹnyjčislennyjalgoritmdlâabstraknogodifferencialʹnogouravneniâsusloviemvkonečnyjmomentvremenikotoryjbaziruetsânanelokalʹnojparametrizacii AT sytnikdo paralelʹnyjčislennyjalgoritmdlâabstraknogodifferencialʹnogouravneniâsusloviemvkonečnyjmomentvremenikotoryjbaziruetsânanelokalʹnojparametrizacii AT vasylykvb paralelʹnyjčislennyjalgoritmdlâabstraknogodifferencialʹnogouravneniâsusloviemvkonečnyjmomentvremenikotoryjbaziruetsânanelokalʹnojparametrizacii AT makarovvl paralelʹnyjčislennyjalgoritmdlâabstraknogodifferencialʹnogouravneniâsusloviemvkonečnyjmomentvremenikotoryjbaziruetsânanelokalʹnojparametrizacii AT sytnikda paralelʹnyjčislennyjalgoritmdlâabstraknogodifferencialʹnogouravneniâsusloviemvkonečnyjmomentvremenikotoryjbaziruetsânanelokalʹnojparametrizacii AT vasilikvb paralelʹnyjčislennyjalgoritmdlâabstraknogodifferencialʹnogouravneniâsusloviemvkonečnyjmomentvremenikotoryjbaziruetsânanelokalʹnojparametrizacii AT makarovvl paralelʹnyjčislennyjalgoritmdlâabstraknogodifferencialʹnogouravneniâsusloviemvkonečnyjmomentvremenikotoryjbaziruetsânanelokalʹnojparametrizacii AT sitnikdo paralelʹnyjčislennyjalgoritmdlâabstraknogodifferencialʹnogouravneniâsusloviemvkonečnyjmomentvremenikotoryjbaziruetsânanelokalʹnojparametrizacii AT vasylykvb paralelʹnijčiselʹnijalgoritmdlâabstraktnogodiferencialʹnogorivnânnâzumovoûukincevijmomentčasuâkijbazuêtʹsânanelokalʹnijregulârizacií AT makarovvl paralelʹnijčiselʹnijalgoritmdlâabstraktnogodiferencialʹnogorivnânnâzumovoûukincevijmomentčasuâkijbazuêtʹsânanelokalʹnijregulârizacií AT sytnikdo paralelʹnijčiselʹnijalgoritmdlâabstraktnogodiferencialʹnogorivnânnâzumovoûukincevijmomentčasuâkijbazuêtʹsânanelokalʹnijregulârizacií AT vasylykvb paralelʹnijčiselʹnijalgoritmdlâabstraktnogodiferencialʹnogorivnânnâzumovoûukincevijmomentčasuâkijbazuêtʹsânanelokalʹnijregulârizacií AT makarovvl paralelʹnijčiselʹnijalgoritmdlâabstraktnogodiferencialʹnogorivnânnâzumovoûukincevijmomentčasuâkijbazuêtʹsânanelokalʹnijregulârizacií AT sytnikda paralelʹnijčiselʹnijalgoritmdlâabstraktnogodiferencialʹnogorivnânnâzumovoûukincevijmomentčasuâkijbazuêtʹsânanelokalʹnijregulârizacií AT vasilikvb paralelʹnijčiselʹnijalgoritmdlâabstraktnogodiferencialʹnogorivnânnâzumovoûukincevijmomentčasuâkijbazuêtʹsânanelokalʹnijregulârizacií AT makarovvl paralelʹnijčiselʹnijalgoritmdlâabstraktnogodiferencialʹnogorivnânnâzumovoûukincevijmomentčasuâkijbazuêtʹsânanelokalʹnijregulârizacií AT sitnikdo paralelʹnijčiselʹnijalgoritmdlâabstraktnogodiferencialʹnogorivnânnâzumovoûukincevijmomentčasuâkijbazuêtʹsânanelokalʹnijregulârizacií AT vasylykvb parallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT makarovvl parallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT sytnikdo parallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT vasylykvb parallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT makarovvl parallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT sytnikda parallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT vasilikvb parallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT makarovvl parallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization AT sitnikdo parallelnumericalmethodforabstractfinalvalueproblembasedonnonlocalregularization |