On approximation of classes $W^1_{\infty}$ by Poisson sums
We found asymptotic equalities for the least upper bounds of the approximation by Poisson sums of order $(n-1)$ on the class $W^{1}_{\infty}$ in the uniform metric.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/313 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552818812911616 |
|---|---|
| author | Gembarskyi, M. V. Grabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Гембарський, М. В. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. |
| author_facet | Gembarskyi, M. V. Grabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Гембарський, М. В. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Гембарський",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
},
{
"author": "У. З. Грабова",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
},
{
"author": "І. В. Кальчук",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Gembarskyi, M. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We found asymptotic equalities for the least upper bounds of the approximation by Poisson sums of order $(n-1)$ on the class $W^{1}_{\infty}$ in the uniform metric. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 93–101
УДК 517.5
М.В. Гембарський, У. З. Грабова,
I. В. Кальчук
Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi Лесi
Українки, Луцьк; kalchuk−i@ukr.net
Про наближення класiв W 1
∞ сумами
Пуассона
We found asymptotic equalities for the least upper bounds of the
approximation by Poisson sums of order (n− 1) on the class W 1
∞ in
the uniform metric.
Знайдено асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж набли-
жень сумами Пуассона порядку (n−1) на класiW 1
∞ у рiвномiрнiй
метрицi.
1. Постановка задачi
Нехай C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй, у яко-
му норма задається за допомогою рiвностi ‖f‖C = max
t
|f(t)|;
L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних суттєво обмежених фун-
кцiй з нормою ‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|; L — простiр 2π-перiодичних
сумовних на перiодi функцiй, в якому норма задається рiвнiстю
‖f‖L = ‖f‖1 =
π∫
−π
|f(t)|dt.
c© М.В. Гембарський, У. З. Грабова, I. В. Кальчук, 2017
94 М.В. Гембарський, У. З. Грабова, I. В. Кальчук
Через W r
∞, r ∈ N, позначимо множину 2π-перiодичних фун-
кцiй, якi мають абсолютно неперервнi похiднi до (r − 1)-го по-
рядку включно i ‖f (r) (t) ‖∞ ≤ 1.
Нехай функцiя f ∈ L i S[f ] = a0
2 +
∑∞
k=1(ak cos kx+ bk sin kx)
— її ряд Фур’є.
Позначимо через Λ = {λδ(k)} множину функцiй натурального
аргументу, залежну вiд параметра δ ∈ EΛ ⊆ R, що має принаймнi
одну граничну точку i, крiм того, λδ(0) = 1 ∀δ ∈ EΛ. За допо-
могою множини Λ кожнiй функцiї f поставимо у вiдповiднiсть
ряд
a0
2
+
∞∑
k=1
λδ(k)(ak cos kx+ bk sin kx), δ ∈ EΛ.
Якщо цей ряд при кожному δ ∈ EΛ є рядом Фур’є деякої не-
перервної функцiї, то будемо її позначати через Uδ(f ;x; Λ). Та-
ким чином, будь-яка множина Λ задає метод побудови операто-
рiв Uδ(f ;x; Λ). Зокрема, у випадку λδ(k) = e−
k
δ , δ > 0, оператор
Uδ(f ;x; Λ) позначють Pδ(f ;x) i називають iнтегралом Пуассона
функцiї f
Pδ(f ;x) =
a0
2
+
∞∑
k=1
e−
k
δ (ak cos kx+ bk sin kx).
Апроксимативнi властивостi iнтегралiв Пуассона на рiзних фун-
кцiональних класах досить добре вивченi в роботах [1]– [10].
Вiдмiтимо, що у випадку, коли в множинi Λ покласти δ = n,
n ∈ N, то числа λδ(k) =: λn,k будуть елементами числової прямо-
кутної матрицi
(
n, k = 0, 1, ...;λn,0 = 1, n ∈ N∪ {0}
)
, а коли, крiм
того λn,k ≡ 0, k > n, — елементами числової трикутної матрицi.
Розглянемо аналог iнтегралiв Пуассона для трикутних ма-
триць. Поклавши λn,k = e−
k
n , k = 1, 2, . . . n − 1, отримаємо три-
гонометричнi полiноми виду
Pn−1(f ;x) =
a0
2
+
n−1∑
k=1
e−
k
n (ak cos kx+ bk sin kx), (1)
Про наближення класiв W 1
∞ сумами Пуассона 95
якi називають сумами Пуассона функцiї f порядку (n− 1).
Робота присвячена вивченню асимптотичної поведiнки при
n→∞ величини
E
(
W 1
∞;Pn−1
)
C
= sup
f∈W 1
∞
∥∥f(·)− Pn−1(f ; ·)
∥∥
C
. (2)
Якщо для величини (2) в явному виглядi знайдено функцiю
ϕ(n) натурального аргументу таку, що при n → ∞ має мiсце
асимптотична рiвнiсть
E(W 1
∞;Pn−1)C = ϕ(n) + o (ϕ(n)) ,
то, згiдно з О.I. Степанцем [?, с. 198], будемо говорити, що розв’я-
зано задачу Колмогорова–Нiкольського для класу W 1
∞ i методу
Pn−1 в рiвномiрнiй метрицi.
Вiдмiтимо, що незважаючи на численнi дослiдження операто-
рiв, що породжуються трикутними числовими матрицями, апро-
ксимативнi властивостi сум Пуассона на даний час дослiджено
не було.
2. Наближення сумами Пуассона функцiй
класу W 1
∞
Справедливе наступне твердження.
Теорема 1. При n→∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
W 1
∞;Pn−1
)
C
=
2
π
lnn
n
+O
(
1
n
)
. (3)
Доведення. Для оператора Pn−1 при n ≥ 2 покладемо
τn(u) =
(1− e−u)n, 0 ≤ u ≤ 1
n ,
1−e−u
u , 1
n ≤ u ≤ 1− 1
n ,
1−ne−(1− 1
n )(1−u)
u , 1− 1
n ≤ u ≤ 1,
1
u , u ≥ 1.
(4)
96 М.В. Гембарський, У. З. Грабова, I. В. Кальчук
Очевидно, що функцiя τn(u) виду (4) абсолютно неперервна
на [0,∞). Згiдно з теоремою 5 роботи [12, с. 81], за умови збi-
жностi iнтегралiв
1∫
0
|τ(u)|
u
du, (5)
1∫
0
u(1− u)|dτ ′(u)|du, (6)
при n→∞ справедлива асимптотична рiвнiсть
E(W 1
∞;Pn−1)C =
2
πn
1∫
0
|τ(u)|
u
du+O
(
1
n
2
πn∫
0
|τ(u)|
u
du+
+
|τ(0)|
n
+
1
n
1∫
0
u(1− u)|dτ ′(u)|+ 1
n
)
. (7)
Використовуючи представлення функцiї τn(u) виду (4) одержи-
мо
1∫
0
|τ(u)|
u
du = n
1
n∫
0
1− e−u
u
du+
1− 1
n∫
1
n
1− e−u
u2
du+
+
1∫
1− 1
n
1− ne−(1− 1
n
)(1− u)
u2
du = I1 + I2 + I3. (8)
Скориставшись формулами розкладу функцiй e−x та ln(1 + x) в
степеневий ряд отримаємо
I1 = n
1
n∫
0
1− e−u
u
du = n
1
n∫
0
1− 1 + u− u2
2! + u3
3! − ...
u
du =
Про наближення класiв W 1
∞ сумами Пуассона 97
= n
1
n∫
0
∞∑
k=0
(−1)k
uk
(k + 1)!
du = 1 +O
( 1
n
)
. (9)
I2 =
1− 1
n∫
1
n
1− e−u
u2
du =
1− 1
n∫
1
n
1− 1 + u− u2
2! + u3
3! − ...
u2
du =
=
1− 1
n∫
1
n
∞∑
k=0
(−1)k
uk−1
(k + 1)!
du =
1− 1
n∫
1
n
du
u
+
1− 1
n∫
1
n
∞∑
k=1
(−1)k
uk−1
(k + 1)!
du =
= ln
(
1− 1
n
)
− ln
1
n
+
∞∑
k=1
(−1)k
1
k(k + 1)!
((
1− 1
n
)k
−
( 1
n
)k)
=
= lnn−
∞∑
k=1
1
knk
+
∞∑
k=1
(−1)k
1
k(k + 1)!
((
1− 1
n
)k
−
( 1
n
)k)
=
= lnn+O(1). (10)
Враховуючи, що при u ∈ [1− 1
n , 1] має мiсце нерiвнiсть
1− ne−(1− 1
n
)(1− u)
u2
< 2,
одержимо оцiнку
I3 =
1∫
1− 1
n
1− ne−(1− 1
n
)(1− u)
u2
du = O
( 1
n
)
. (11)
Пiдставляючи оцiнки (9)–(11) в (8), отримаємо
1∫
0
|τ(u)|
u
du = lnn+O(1), n→∞. (12)
98 М.В. Гембарський, У. З. Грабова, I. В. Кальчук
Знайдемо оцiнку iнтеграла виду (6). З формули (4) маємо:
τ ′′(u) = −e−u, u ∈
[
0,
1
n
]
; (13)
якщо u ∈
[
1
n , 1−
1
n
]
, то
τ ′(u) =
e−u
u
− (1− e−u)
u2
, τ ′′(u) = −e
−u
u
− 2e−u
u2
+
2(1− e−u)
u3
≥ 0;
(14)
якщо u ∈
[
1− 1
n , 1
]
, то
τ ′(u) = −(1− ne−(1− 1
n
))
1
u2
, τ ′′(u) =
2ne−(1− 1
n )
u3
< 0. (15)
На пiдставi (13) та нерiвностi (u − u2)e−u ≤ 1
4 , u ≥ 0, одер-
жуємо оцiнку
1
n∫
0
u(1− u)|dτ ′(u)| =
1
n∫
0
u(1− u)e−udu ≤ 1
4
1
n∫
0
du =
1
4n
. (16)
Iз (14), враховуючи опуклiсть вниз функцiї τ(u) на
[
1
n , 1 −
1
n
]
, i
нерiвностi
u− u2 ≤ 1
4
, u ∈ R, (17)
e−u ≤ 1, e−u ≤ 1− u, u ≥ 0, (18)
матимемо
1− 1
n∫
1
n
u(1− u)|dτ ′(u)| ≤ 1
4
(
τ ′
(
1− 1
n
)
− τ ′
( 1
n
))
=
=
1
4
((
1− 1
n
)
e−(1− 1
n
) − 1 + e−(1− 1
n
)(
1− 1
n
)2 +
1− e−
1
n − 1
ne
− 1
n(
1
n
)2
)
≤
Про наближення класiв W 1
∞ сумами Пуассона 99
≤ 1
4
(
1
1− 1
n
+
1−
(
1− 1
n
)(
1 + 1
n
)(
1
n
)2
)
≤ K1. (19)
Оскiльки при u ∈ [1− 1
n , 1] функцiя τ(u) опукла вгору, то з ура-
хуванням (15) i нерiвностей (17) та (18) маємо
1∫
1− 1
n
u(1− u)|dτ ′(u)| ≤ 1
4
(
τ ′
(
1− 1
n
)
− τ ′(1)
)
=
=
1
4
(
e−(1− 1
n
)
1− 1
n
−
(
1− e−(1− 1
n
)
)
(
1− 1
n
)2 + 1− 2
e
)
≤
≤ 1
4
( 1
1− 1
n
+
(
1− 2
e
))
≤ K2. (20)
Спiвставляючи (16), (19) та (20) одержимо оцiнку
1∫
0
u(1− u)|dτ ′(u)| = O(1). (21)
Отже, iнтеграли (5) та (6) збiжнi i на пiдставi теореми 5 ро-
боти С. О. Теляковського [12] приходимо до рiвностi (7).
Оскiльки 2
πn <
1
n , то
2
πn∫
0
|τ(u)|
u du <
1
n∫
0
|τ(u)|
u du, i, на пiдставi (9),
маємо
2
πn∫
0
|τ(u)|
u
du = O(1). (22)
З представлення функцiї τ(u) очевидно, що τ(0) = 0.
З формули (7), враховуючи оцiнки (12), (21) та (22) випливає
твердження теореми. Теорему доведено.
100 М.В. Гембарський, У. З. Грабова, I. В. Кальчук
Лiтература
[1] Натансон И.П. О порядке приближения непрерывной 2π-
периодической функции при помощи ее интеграла Пуассона //
Докл. АН СССР. — 1950. — Т. 72, № 1. — C. 11–14.
[2] Тиман А.Ф. Точная оценка остатка при приближении периоди-
ческих дифференцируемых функций интегралами Пуассона //
Докл. АН СССР.— 1950.— Т. 74, № 1. — C. 17–20.
[3] Nagy B. Sur l’ordre de l’approximation d’une fonction par son in-
tegrale de Poisson // Acta Math. Acad. Sci Hungar. –– 1950. ––
Vol. 1. –– P. 183–188.
[4] Штарк Э.Л. Полное асимптотическое разложение для верхней
грани уклонения функций из Lip1 от их сингулярного интеграла
Абеля-Пуассона // Мат. заметки. — 1973. — Т. 13, № 1. — C. 21–28.
[5] Баскаков В.А. О некоторых свойствах операторов типа опера-
торов Абеля-Пуассона // Мат. заметки. — 1975. — Т. 17, № 2. —
C. 169–180.
[6] Жигалло К.М., Харкевич Ю. I. Повна асимптотика вiдхилення
вiд класу диференцiйовних функцiй множини їх гармонiйних iн-
тегралiв Пуассона // Укр. мат. журн. — 2002. — Т. 54, № 1. —
C. 43–52.
[7] Жигалло Т.В., Харкевич Ю. I. Наближення (ψ, β)-
диференцiйовних функцiй, заданих на дiйснiй осi операторами
Абеля-Пуассона // Укр. мат. журн. — 2005. — Т. 57, № 8. —
C. 1097–1111.
[8] Жигалло К.М., Харкевич Ю. I. Наближення спряжених диферен-
цiйовних функцiй їх iнтегралами Абеля-Пуассона // Укр. мат.
журн. — 2009. — Т. 61, № 1. — C. 73–82.
[9] Жигалло Т.В., Харкевич Ю. I. Наближення (ψ, β)-
диференцiйовних функцiй iнтегралами Пуассона у рiвномiрнiй
метрицi // Укр. мат. журн. — 2009. — Т. 61, № 11. — C. 1497–1515.
[10] Жигалло Т.В., ХаркевичЮ. I. Наближення функцiй з класу Cψβ,∞
iнтегралами Пуассона у рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн. —
2009. — Т. 61, № 12. — C. 1612–1629.
Про наближення класiв W 1
∞ сумами Пуассона 101
[11] Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. / Александр
Иванович Степанец — К.: Ин-т математики НАН Украины,
2002. — Т. 40. — Ч. I. — 427 с.
[12] Теляковский С.А. О нормах тригонометрических полиномов и
приближении дифференцируемых функций линейными средни-
ми их рядов Фурье. I // Тр. МИАН СССР. — 1961. — Т. 24. —
C. 61–97.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-313 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:29Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/03/34b5fbfab7db3337a56c5acd7b1c5103.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3132018-02-13T13:12:44Z On approximation of classes $W^1_{\infty}$ by Poisson sums Про наближення класів $W^1_{\infty}$ сумами Пуассона Gembarskyi, M. V. Grabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Гембарський, М. В. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. We found asymptotic equalities for the least upper bounds of the approximation by Poisson sums of order $(n-1)$ on the class $W^{1}_{\infty}$ in the uniform metric. Знайдено асимптотичні рівності для точних верхніх меж наближень сумами Пуассона порядку $(n-1)$ на класі $W^{1}_{\infty}$ у рівномірній метриці. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/313 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 93-101 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 93-101 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 93-101 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/313/296 Авторське право (c) 2017 М. В. Гембарський, У. З. Грабова, І. В. Кальчук |
| spellingShingle | Gembarskyi, M. V. Grabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Гембарський, М. В. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. On approximation of classes $W^1_{\infty}$ by Poisson sums |
| title | On approximation of classes $W^1_{\infty}$ by Poisson sums |
| title_alt | Про наближення класів $W^1_{\infty}$ сумами Пуассона |
| title_full | On approximation of classes $W^1_{\infty}$ by Poisson sums |
| title_fullStr | On approximation of classes $W^1_{\infty}$ by Poisson sums |
| title_full_unstemmed | On approximation of classes $W^1_{\infty}$ by Poisson sums |
| title_short | On approximation of classes $W^1_{\infty}$ by Poisson sums |
| title_sort | on approximation of classes $w^1_{\infty}$ by poisson sums |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/313 |
| work_keys_str_mv | AT gembarskyimv onapproximationofclassesw1inftybypoissonsums AT grabovauz onapproximationofclassesw1inftybypoissonsums AT kalchukiv onapproximationofclassesw1inftybypoissonsums AT gembarsʹkijmv onapproximationofclassesw1inftybypoissonsums AT grabovauz onapproximationofclassesw1inftybypoissonsums AT kalʹčukív onapproximationofclassesw1inftybypoissonsums AT gembarskyimv pronabližennâklasívw1inftysumamipuassona AT grabovauz pronabližennâklasívw1inftysumamipuassona AT kalchukiv pronabližennâklasívw1inftysumamipuassona AT gembarsʹkijmv pronabližennâklasívw1inftysumamipuassona AT grabovauz pronabližennâklasívw1inftysumamipuassona AT kalʹčukív pronabližennâklasívw1inftysumamipuassona |