Sturm-Liouville operators with complex singular coefficients
We consider on the finite interval the Sturm-Liouville differential expression\[l(y)=-(py')'+qy+i((ry)'+ry')\]with coefficients satisfying conditions: $q = Q',$ $1\Big/\sqrt{|p|},$ $Q\Big/\sqrt{|p|},$ $r\Big/\sqrt{|p|} \in L_2,$ where the derivative of fu...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/314 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552818381946880 |
|---|---|
| author | Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. |
| author_facet | Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. С. Горюнов",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Goriunov, A. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We consider on the finite interval the Sturm-Liouville differential expression\[l(y)=-(py')'+qy+i((ry)'+ry')\]with coefficients satisfying conditions: $q = Q',$ $1\Big/\sqrt{|p|},$ $Q\Big/\sqrt{|p|},$ $r\Big/\sqrt{|p|} \in L_2,$ where the derivative of function $Q$ is understood in the sense of distributions. Corresponding operators are correctly defined as quasi-differential. Conditions for the minimal operator to be symmetric are obtained and all its self-adjoint, maximal dissipative and maximal accumulative extensions are described in terms of boundary conditions. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 102–113
УДК 517.984
А. С. Горюнов
Iнститут математики НАН України, Київ;
goriunov@imath.kiev.ua
Оператори Штурма –Лiувiлля
з комплексними сингулярними
коефiцiєнтами
We consider on the finite interval the Sturm–Liouville differential
expression
l(y) = −(py′)′ + qy + i((ry)′ + ry′)
with coefficients satisfying conditions: q = Q′, 1
/√
|p|, Q
/√
|p|,
r
/√
|p| ∈ L2, where the derivative of function Q is understood in
the sense of distributions. Corresponding operators are correctly defi-
ned as quasi-differential. Conditions for the minimal operator to be
symmetric are obtained and all its self-adjoint, maximal dissipati-
ve and maximal accumulative extensions are described in terms of
boundary conditions.
c© А. С. Горюнов, 2017
Оператори Штурма-Лiувiлля ... 103
На скiнченному iнтервалi розглядається диференцiальний вираз
Штурма–Лiувiлля
l(y) = −(py′)′ + qy + i((ry)′ + ry′)
коефiцiєнти якого задовольняють умови: q = Q′, 1
/√
|p|,
Q
/√
|p|, r
/√
|p| ∈ L2, де похiдна функцiї Q розумiється в сенсi
узагальнених функцiй. Вiдповiднi оператори коректно визначено
як квазiдиференцiальнi. Знайдено умови симетричностi мiнiмаль-
ного оператора, описано всi його самоспряженi, максимальнi ди-
сипативнi та максимальнi акумулятивнi розширення в термiнах
крайових умов.
1. Вступ
Оператори, пов’язанi з виразом Штурма–Лiувiлля
l(y) = −(py′)′ + qy, (1)
виникають в багатьох задачах аналiзу i їм присвяченi численнi
публiкацiї, див., наприклад, [1] та наведенi там посилання.
При цьому класичними умовами на коефiцiєнти є
q ∈ C ([a, b];R) , 0 < p ∈ C1 ([a, b];R) .
Основнi положення цiєї теорiї залишаються в силi i при бiльш
загальних припущеннях
q, 1/p ∈ L1 ([a, b],C) .
Проте часто виникає потреба вивчати оператори у випадку,
коли потенцiал q є мiрою Радона або навiть узагальненою фун-
кцiєю. При цьому виникає проблема коректного означення тако-
го оператора.
104 А. С. Горюнов
В роботах [2, 4] (див. також [5]) запропоновано пiдхiд, що до-
зволяє коректно означити диференцiальний вираз (1) при насту-
пних умовах на коефiцiєнти
q = Q′, 1/p, Q/p, Q2/p ∈ L1 ([a, b];C) ,
де похiдну Q′ розумiють в сенсi узагальнених функцiй. Цей
пiдхiд спирається на теорiю квазiдиференцiальних операторiв
Шина-Цеттла [6, 7] и дозволяє також дослiджувати диферен-
цiальнi оператори високого порядку [3, 4].
Метою даної роботи є поширення цього пiдходу на бiльш за-
гальний випадок повного виразу Штурма–Лiувiлля
l(y) = −(py′)′ + qy + i((ry)′ + ry′), (2)
коефiцiєнти якого задовольняють умови:
q = Q′,
1√
|p|
,
Q√
|p|
,
r√
|p|
∈ L2 ([a, b];C) . (3)
2. Квазiдиференцiальнi вирази
Наведемо деякi елементи теорiї загальних квазiдиференцiальних
за Шином–Цеттлом виразiв та операторiв.
Нехай m ∈ N i задано скiнченний iнтервал [a, b]. Матрицею
Шина-Цеттла порядку m на iнтервалi [a, b] називається квадра-
тна матриця A розмiру m × m, елементами якої є комплексно-
значнi функцiї (ak,s) такi, що
1) ak,s = 0 майже скрiзь на [a, b], s > k + 1;
2) ak,s ∈ L1 ([a, b],C) , ak,k+1 6= 0 майже скрiзь на [a, b],
k = 1, 2, . . . ,m, s = 1, 2, . . . , k + 1.
(4)
Вона визначає квазiпохiднi функцiї y(t) ∈ Dom(A) порядкiв
k ≤ m наступним рекурентним чином:
D[0]y := y,
Оператори Штурма-Лiувiлля ... 105
D[k]y := a−1k,k+1(t)
(
(D[k−1]y)′ −
k∑
s=1
ak,s(t)D
[s−1]y
)
,
k = 1, 2, . . . ,m− 1,
D[m]y := (D[m−1]y)′ −
m∑
s=1
am,s(t)D
[s−1]y.
Область визначення квазiпохiдних Dom(A) є пiдмножиною
AC([a, b],C), а саме:
Dom(A) :=
{
y
∣∣∣D[k]y ∈ AC([a, b],C), k = 0,m− 1
}
.
Звiдси випливає, що D[m]y ∈ L1([a, b],C).
Квазiдиференцiальний вираз l(y) порядку m, що вiдповiдає
матрицi Шина–Цеттла A, визначається наступним чином:
l(y) := imD[m]y.
3. Регуляризацiя диференцiального виразу
квазiпохiдними
Аналогiчно роботi [8] введемо по коефiцiєнтах виразу (2) квазi-
похiднi наступним чином:
D[0]y := y,
D[1]y := py′ − (Q+ ir)y
D[2]y := (D[1]y)′ +
Q− ir
p
D[1]y +
Q2 + r2
p
y
Позначимо також
ŷ(t) =
(
D[0]y(t), D[1]y(t)
)
∈ C2.
В припущеннях (3) цi вирази задовольняють умови (4) i є
квазiпохiдними Шина–Цеттла. Також можна перевiрити, що
106 А. С. Горюнов
для гладких коефiцiєнтiв p, Q та r справедлива рiвнiсть
l(y) = −D[2]y.
Це означає, що можна коректно визначити вираз (2) при умо-
вах (3) як квазiдиференцiальний вираз Шина–Цеттла:
l[y] = −D[2]y.
Вiдповiдна матриця Шина–Цеттла має вигляд
A =
Q+ir
p
1
p
−Q2+r2
p −Q−ir
p
∈ L1([a, b];C2×2). (5)
Квазiдиференцiальний вираз l породжує в гiльбертовому про-
сторi L2([a, b];C) (див. [6, 7]) максимальний квазiдиференцiаль-
ний оператор
L1 : y → l[y],
Dom(L1) =
{
y
∣∣∣y,D[1]y ∈ AC([a, b];C), D[2]y ∈ L2([a, b];C)
}
.
Мiнiмальний квазiдиференцiальний оператор визначається як
звуження оператора L1 на лiнiйний многовид
Dom(L0) := {y ∈ Dom(L1) |ŷ(a) = ŷ(b) = 0} .
З результатiв [6, 7] для загальних квазiдиференцiальних опе-
раторiв Шина–Цеттла та формули (5) випливає
Теорема 1. Оператори L0 i L1 замкненi та щiльно визначенi
в просторi L2([a, b];C).
Тодi i лише тодi, коли p, Q та r є дiйснозначними, оператор
L0 є симетричним з iндексом дефекту (2, 2) i
L∗0 = L1.
Оператори Штурма-Лiувiлля ... 107
Доведення. Вiдмiтимо лише, що дiйснозначнiсть p, Q та r
рiвносильна тому, що матриця Шина-Цеттла A, задана форму-
лою (5), задовольняє умовi A = −Λ−12 ATΛ2, де AT — комплексно
спряжена до транспонованої матрицi A, i
Λ2 :=
(
0 −1
1 0
)
.
Тому твердження теореми випливають з [6, Th. 10, Th. 11]. �
4. Граничнi трiйки та розширення мiнi-
мального оператора
Всюди далi ми будемо вважати, що функцiї p, Q та r дiйснi i,
вiдповiдно, оператор L0 є симетричним з iндексом дефекту (2, 2).
Отже, можна поставити питання про опис рiзних класiв його роз-
ширень, зокрема, самоспряжених, в термiнах граничних трiйок.
Теорiя граничних трiйок заснована на роботах Рофе-Бекетова
[9] i Кочубея [10], див. також монографiю [11] i наведену там
бiблiографiю.
Нагадаємо
Означення 1. Нехай T — абстрактний замкнений щiльно ви-
значений симетричний оператор в гiльбертовому просторi H з
рiвними скiнченними або нескiнченними дефектними числами.
Трiйка (H,Γ1,Γ2), де H — допомiжний гiльбертiв простiр, а Γ1,
Γ2 — лiнiйнi вiдображення з Dom(L∗) в H, називається грани-
чною трiйкою або простором граничних значень симетричного
оператора T , якшо
1. для будь-яких f, g ∈ Dom (T ∗),
(T ∗f, g)H − (f, T ∗g)H = (Γ1f,Γ2g)H − (Γ2f,Γ1g)H ,
2. для будь-яких f1, f2 ∈ H iснує вектор f ∈ Dom (T ∗) такий,
що Γ1f = f1, Γ2f = f2.
108 А. С. Горюнов
З означення граничної трiйки випливає, що f ∈ Dom (T ) тодi
i лише тодi, коли Γ1f = Γ2f = 0. Для довiльного симетричного
оператора T з iндексом дефекту (n, n) (n ≤ ∞) iснує гранична
трiйка (H,Γ1,Γ2) с dimH = n. Вона не єдина.
Для мiнiмального квазiдиференцiального оператора L0 явний
вигляд граничної трiйки дає
Теорема 2. Трiйка (C2,Γ[1],Γ[2]) де Γ[1], Γ[2] — лiнiйнi вiдобра-
ження
Γ[1]y :=
(
D[1]y(a),−D[1]y(b)
)
, Γ[2]y := (y(a), y(b)) , (6)
є граничною трiйкою оператора L0.
Доведення. Твердження теореми 2 випливає з теореми 1
та [4, Lemma 4.4], оскiльки результат, встановлений там, спра-
ведливий для довiльних формально самоспряжених квазiдифе-
ренцiальних виразiв Шина–Цеттла. �
Нагадаємо, що щiльно заданий лiнiйний оператор T в ком-
плексному гiльбертовому просторiH називається дисипативним
(акумулятивним), якщо Im (Tf, f)H ≥ 0(≤ 0), f ∈ Dom(T )
i максимальним дисипативним (максимальним акумулятив-
ним) якщо, крiм того, у оператора T немає нетривiальних ди-
сипативних (акумулятивних) розширень в просторi H.
Зокрема, кожний симетричний оператор є одночасно дисипа-
тивним i акумулятивним, а самоспряжений – максимальним ди-
сипативним та максимальним акумулятивним. Тому, якщо мiнi-
мальний оператор L0 є симетричним, то змiстовним є питання
опису його максимальних дисипативних та максимальних аку-
мулятивних розширень.
Позначимо через LK звуження оператора L1 на множину фун-
кцiй y(t) ∈ Dom(L1), якi задовольняють крайову умову канонi-
чного вигляду
(K − I) Γ[1]y + i (K + I) Γ[2]y = 0. (7)
Оператори Штурма-Лiувiлля ... 109
Аналогiчно позначимо через LK звуження оператора L1 на
множину функцiй y(t) ∈ Dom(L1), якi задовольняють крайову
умову канонiчного вигляду
(K − I) Γ[1]y − i (K + I) Γ[2]y = 0. (8)
Теорема 2 разом з [11, Th. 1.6] приводять до наступного опису
всiх максимальних дисипативних, максимальних дисипативних
та самоспряжених розширень.
Теорема 3. Кожне LK , де K – оператор стиску в просторi C2,
є максимально дисипативним розширенням оператора L0. Ана-
логiчно, кожне LK , де K – оператор стиску в просторi C2, є
максимально акумулятивним розширенням оператора L0. Нав-
паки, для кожного максимального дисипативного (акумулятив-
ного) розширення L̃ оператора L0 знайдеться оператор стиску
K такий, що L̃ = LK (L̃ = LK). Розширення LK та LK є само-
спряженими тодi i лише тодi, коли K — унiтарна матриця в
C2. Всi цi вiдповiдностi мiж матрицями {K} i розширеннями
{L̃} бiєктивнi.
5. Розширення з роздiленими крайовими
умовами
Окремо видiлимо розширення, заданi роздiленими крайовими
умовами.
Означення 2. Крайовi умови, що визначають оператор L ⊂
L1 називаються роздiленими, якщо для довiльних функцiй y ∈
Dom(L) i g, h ∈ Dom(L1),
g, h ∈ Dom(L) якщо ga = ya, gb = 0, ha = 0, hb = yb,
де через fa позначено росток неперервної функцiї f в точцi a.
110 А. С. Горюнов
Теорема 4. Крайовi умови (7), (8), що визначають розширення
LK та LK оператора L0, є роздiленими тодi i лише тодi, коли
матриця K має дiагональний вигляд
K =
(
Ka 0
0 Kb
)
,
де Ka,Kb ∈ C. Максимальна дисипативнiсть розширення LK
та максимальна акумулятивнiсть розширення LK при цьому
еквiвалентнi тому, що |Ka| ≤ 1, |Kb| ≤ 1, а самоспряженiсть —
тому, що |Ka| = |Kb| = 1.
Доведення. Враховуючи теорему 2, твердження теореми 4
випливає з [4, Th. 6.1]. �
6. Узагальненi резольвенти
Нагадаємо
Означення 3. Узагальненою резольвентою замкненого симе-
тричного оператора T називається операторна функцiя Rλ
комплексного параметра λ ∈ C\R, яка допускає представлення
вигляду
Rλf = P+
(
L+ − λI+
)−1
f, f ∈ H,
де L+ – деяке самоспряжене розширення оператора T з вихо-
дом, взагалi кажучи, в бiльш широкий, нiж H, простiр H+,
I+ – одиничний оператор в H+, P+ – оператор ортогонального
проектування H+ на H.
Операторна функцiя Rλ (Imλ 6= 0) є узагальненою резоль-
вентою симетричного оператора T тодi i тiльки тодi, коли
(Rλf, g)H =
∫ +∞
−∞
d (Fµf, g)
µ− λ
, f, g ∈ H,
де Fµ – узагальнена спектральна функцiя оператора T . Це озна-
чає, що операторна функцiя Fµ має наступнi властивостi [12]:
Оператори Штурма-Лiувiлля ... 111
10. при µ2 > µ1 рiзниця Fµ2 − Fµ1 є обмеженим невiд’ємним
оператором;
20. Fµ+ = Fµ при всiх дiйсних µ;
30. при будь-якому x ∈ H,
lim
µ→−∞
||Fµx||H = 0, lim
µ→+∞
||Fµx− x||H = 0.
Параметричний внутрiшнiй опис всiх узагальнених резоль-
вент оператора L0 дає
Теорема 5. 1) Нехай λ – комплексне число, Imλ < 0. Тодi ко-
жна узагальнена резольвента оператора L0 задається форму-
лою Rλh = y, де y – розв’язок вiдповiдної крайової задачi вигляду
l(y) = λy + h,
(K(λ)− I) Γ[1]f + i (K(λ) + I) Γ[2]f = 0.
Тут h(x) ∈ L2 ([a, b],C) i K(λ) – регулярна в нижнiй пiвплощинi
операторна функцiя в просторi C2 така, що ||K(λ)|| ≤ 1.
2) Для λ таких, що Imλ > 0 кожна узагальнена резольвента
оператора L0 задається формулою Rλh = y, де y – розв’язок
вiдповiдної крайової задачi вигляду
l(y) = λy + h,
(K(λ)− I) Γ1f − i (K(λ) + I) Γ2f = 0.
Тут h(x) ∈ L2 ([a, b],C) i K(λ) – регулярна в верхнiй пiвплощинi
операторна функцiя в просторi C2 така, що ||K(λ)|| ≤ 1.
Ця параметризацiя узагальнених резольвент операторними
функцiями K є бiєктивною.
Доведення. Враховуючи теорему 2, твердження теореми 5
випливає з [4, Th. 7.1]. �
112 А. С. Горюнов
Лiтература
[1] Zettl A. Sturm–Liouville Theory. — Providence, American
Mathematical Society, 2005. — xii+328 p.
[2] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of singular Sturm–
Liouville equations // Methods Funct. Anal. Topology. — 2010. — 16,
№ 2. — P. 120–130.
[3] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of two-term di-
fferential equations with singular coefficients by quasiderivatives //
Ukrainian Math. J. — 2011. — 63, № 9. — P. 1190–1205.
[4] Goriunov A. S., Mikhailets V. A., Pankrashkin K. Formally self-
adjoint quasi-differential operators and boundary-value problems //
Electron. J. Diff. Equ. — 2013. — № 101. — P. 1–16.
[5] Eckhardt J., Gesztesy F., Nichols R., Teschl G. Weyl-Titchmarsh
Theory for Sturm-Liouville Operators with Distributional Coeffici-
ents // Opuscula Mathematica. — 2013. — 33, № 3. — P. 467–563.
[6] Zettl A. Formally self-adjoint quasi-differential operators // Rocky
Mountain J. Math. — 1975. — 5, № 3. — P. 453–474.
[7] Everitt W. N., Markus L. Boundary Value Problems and Symplectic
Algebra for Ordinary Differential and Quasi–differential Operators. —
Providence, American Mathematical Society, 1999. — xii+187 p.
[8] Mirzoev K. A., Shkalikov A. A. Differential operators of even order
with distribution coefficients // Math. Notes. — 2016. — 99, № 5. —
P. 779–784.
[9] F. S. Rofe-Beketov. Selfadjoint extensions of differential operators in
a space of vector-valued functions. Teor. Funkcĭı Funkcional. Anal. i
Priložen., (1969), no. 8, 3–24.
[10] A. N. Kochubei. О расширениях симметрических операторов и
симметрических бинарных отношений. Math. Notes, 17 (1975),
no. 1, 41–48.
[11] V. I. Gorbachuk, M. L. Gorbachuk. Boundary value problems for
operator differential equations. Kluwer Academic Publishers Group,
Dordrecht, 1991.
Оператори Штурма-Лiувiлля ... 113
[12] N. I. Akhiezer, I. M. Glazman. Theory of Linear Operators in Hilbert
Space. Pitman Advanced Publishing Program, 1981.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-314 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:28Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/8b/d97b2e35cc754ff127bcd2cf21c0208b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3142018-02-13T13:12:44Z Sturm-Liouville operators with complex singular coefficients Оператори Штурма-Ліувілля з комплексними сингулярними коефіцієнтами Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. We consider on the finite interval the Sturm-Liouville differential expression\[l(y)=-(py')'+qy+i((ry)'+ry')\]with coefficients satisfying conditions: $q = Q',$ $1\Big/\sqrt{|p|},$ $Q\Big/\sqrt{|p|},$ $r\Big/\sqrt{|p|} \in L_2,$ where the derivative of function $Q$ is understood in the sense of distributions. Corresponding operators are correctly defined as quasi-differential. Conditions for the minimal operator to be symmetric are obtained and all its self-adjoint, maximal dissipative and maximal accumulative extensions are described in terms of boundary conditions. На скінченному інтервалі розглядається диференціальний вираз Штурма-Ліувілля\[l(y)=-(py')'+qy+i((ry)'+ry')\]коефіцієнти якого задовольняють умови: $q = Q',$ $1\Big/\sqrt{|p|},$ $Q\Big/\sqrt{|p|},$ $r\Big/\sqrt{|p|} \in L_2,$ де похідна функції $Q$ розуміється в сенсі узагальнених функцій. Відповідні оператори коректно визначено як квазідиференціальні. Знайдено умови симетричності мінімального оператора, описано всі його самоспряжені, максимальні дисипативні та максимальні акумулятивні розширення в термінах крайових умов. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/314 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 102-113 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 102-113 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 102-113 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/314/297 Авторське право (c) 2017 А. С. Горюнов |
| spellingShingle | Goriunov, A. S. Горюнов, А. С. Sturm-Liouville operators with complex singular coefficients |
| title | Sturm-Liouville operators with complex singular coefficients |
| title_alt | Оператори Штурма-Ліувілля з комплексними сингулярними коефіцієнтами |
| title_full | Sturm-Liouville operators with complex singular coefficients |
| title_fullStr | Sturm-Liouville operators with complex singular coefficients |
| title_full_unstemmed | Sturm-Liouville operators with complex singular coefficients |
| title_short | Sturm-Liouville operators with complex singular coefficients |
| title_sort | sturm-liouville operators with complex singular coefficients |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/314 |
| work_keys_str_mv | AT goriunovas sturmliouvilleoperatorswithcomplexsingularcoefficients AT gorûnovas sturmliouvilleoperatorswithcomplexsingularcoefficients AT goriunovas operatorišturmalíuvíllâzkompleksnimisingulârnimikoefícíêntami AT gorûnovas operatorišturmalíuvíllâzkompleksnimisingulârnimikoefícíêntami |