An extended Sobolev scale over vector bundles
We introduce an extended Sobolev scale over vector bundles on smooth closed manifolds and investigate its interpolation properties. This scale is built on the base of the inner product H\"ormander spaces whose order of regularity is given by an arbitrary positive function RO-varying at infi...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/315 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552821138653184 |
|---|---|
| author | Zinchenko, T. M. Зінченко, Т. М. |
| author_facet | Zinchenko, T. M. Зінченко, Т. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Т. М. Зінченко",
"institution": "Національний університет \"Чернігівський колегіум\" імені Т. Г. Шевченка"
}
] |
| author_sort | Zinchenko, T. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We introduce an extended Sobolev scale over vector bundles on smooth closed manifolds and investigate its interpolation properties. This scale is built on the base of the inner product H\"ormander spaces whose order of regularity is given by an arbitrary positive function RO-varying at infinity. We prove that every space belonging to the scale introduced is obtained by the interpolation with a function parameter between certain Sobolev spaces over the vector bundle. We show that this space does not depend (up to equivalence of norms) on the choice of local charts on manifold and local trivializations of the bundle. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 114–127
УДК 517.926.7, 517.956.222
Т. Зiнченко
Нацiональний унiверситет "Чернiгiвський колегiум" iменi
Т. Г. Шевченка, Чернiгiв; zinchenkotat@ukr.net
Розширена cоболєвська шкала над
векторними розшаруваннями
We introduce an extended Sobolev scale over vector bundles on
smooth closed manifolds and investigate its interpolation properti-
es. This scale is built on the base of the inner product Hörmander
spaces whose order of regularity is given by an arbitrary positive
function RO-varying at infinity. We prove that every space belonging
to the scale introduced is obtained by the interpolation with a functi-
on parameter between certain Sobolev spaces over the vector bundle.
We show that this space does not depend (up to equivalence of norms)
on the choice of local charts on manifold and local trivializations of
the bundle.
Уведено розширену соболєвську шкалу на векторних розшарува-
ннях на гладких многовидах i дослiджено її iнтерполяцiйнi вла-
стивостi. Цю шкалу побудовано на основi гiльбертових просто-
рiв Хермандера, для яких показник регулярностi задано за допо-
могою довiльної додатної функцiї, RO-змiнної на нескiнченностi.
Доведено, що будь-який простiр, приналежний уведенiй шкалi,
отримується iнтерполяцiєю з функцiональним параметром пари
соболєвських просторiв на векторному розшаруваннi. Показано,
що цей простiр (з точнiстю до еквiвалентностi норм) не залежить
вiд вибору локальних карт на многовидi та локальних тривiалi-
зацiй розшарування.
c© Т. Зiнченко, 2017
Розширена соболєвська шкала... 115
1. Вступ. Розширена соболєвська шкала на Rn та на много-
видах була введена та дослiджена ранiше в [7, 20, 19, 24, 6]. Для
цих просторiв iндексом гладкостi ϕ служить довiльна радiальна
функцiя, RO-змiнна на нескiнченностi за В. Г. Авакумовичем. Ця
шкала складається з просторiв B2,ϕ = Hϕ, якi є гiльбертовим iзо-
тропним випадком просторiв, введених Л. Хермандером [2, п. 2.2]
та Л. Р. Волевичем i Б. П. Панеяхом [12, § 2]. Вказана шкала на
Rn має важливi властивiстi: вона отримується шляхом iнтерпо-
ляцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв
Соболєва, складається з усiх гiльбертових просторiв, iнтерполя-
цiйних вiдносно гiльбертової соболєвської шкали та ця шкала є
замкнена вiдносно цiєї iнтерполяцiї.
Цi властивостi iнтерполяцiї дозволили Михайлецю та Мурачу
[8, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 9] побудувати теорiю розв’язностi
загальних елiптичних систем i елiптичних крайових задач. Їх те-
орiя [6] доповнена в [18, 19, 20, 25, 21, 22, 23].
В сучаснiй теорiї елiптичних рiвнянь дослiджуються елiпти-
чнi системи, заданi в векторних розшаруваннях на многовидах,
тому є iнтерес введення та дослiдження аналога розширеної собо-
лєвськой шкали на таких розшаруваннях. В цiй роботi вводиться
така шкала та доводиться, що вона отримується iнтерполяцiєю
з функцiональним параметром пар соболєвських просторiв та з
точнiстю до еквiвалентностi норм не залежить вiд вибору ло-
кальних карт, що покривають даний многовид, нi вiд розбиття
одиницi цього многовиду, нi вiд вибору локальних тривiалiзацiй.
Вiдмiтимо, що ця шкала мiстить уточнену соболєвську шкалу,
введену та дослiджену на векторних розшаруваннях в [3].
2. Розширена cоболєвська шкала. Нагадаємо спочатку
означення цiєї шкали на Rn [6, п. 2.4]. Цi простори параметризу-
ються функцiями ϕ ∈ RO.
Нехай RO — множина всiх вимiрних за Борелем функцiй ϕ :
[1,∞)→ (0,∞), для яких iснують числа a > 1 i c ≥ 1 такi, що
c−1 ≤ ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ c для будь-яких t ≥ 1 i λ ∈ [1, a] (1)
116 Т. Зiнченко
(постiйнi а i с залежнi вiд ϕ ∈ RO). Такi функцiї називають
RO (або OR)-змiннi на нескiнченностi. Клас RO-змiнних функцiй
введен В. Г. Авакумовичем в 1936 р. i достатньо повно вивчений
(див. наприклад, [5] (додаток 1)).
Клас функцiй RO допускає iнтегральний опис
ϕ ∈ RO ⇐⇒ ϕ(t) = exp
(
β(t) +
∫ t
1
γ(τ)
τ
dτ
)
, t ≥ 1,
де дiйснi функцiї β та γ є вимiрними за Борелем та обмеженi на
[1,∞). Вiдмiтимо, що умова (1) еквiвалентна нерiвностi
c−1λs0 ≤ ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ cλs1 для будь-яких t ≥ 1 та λ ≥ 1, (2)
в якiй постiйна c ≥ 1 залежить вiд t та λ. Для функцiї ϕ ∈ RO
означено скiнченi нижнiй та верхнiй iндекси Матушевської:
σ0(ϕ) := sup {s0 ∈ R : правильна лiва нерiвнiсть в (2)},
σ1(ϕ) := inf {s1 ∈ R : правильна права нерiвнiсть в (2)}.
Розглянемо необхiднi нам простори спочатку на Rn, а потiм
над векторними розшаруваннями.
Позначимо через Hϕ(Rn) лiнiйний простiр всiх розподiлiв w ∈
S ′ таких, що їх перетворення Фур’є ŵ := Fw локально сумовне
за Лебегом в Rn i задовольняє умовi∫
Rn
ϕ2(〈ξ〉) |ŵ(ξ)|2 dξ <∞.
Тут, як звичайно, S ′ — лiнiйний топологiчний простiр Шварца
повiльно зростаючих комплекснозначних розподiлiв, заданих в
Rn, а 〈ξ〉 := (1 + |ξ|2)1/2 — згладжений модуль вектора ξ ∈ Rn. З
точки зору застосувань до диференцiальних рiвнянь нам зручно
трактувати розподiл як антилiнiйнi функцiонали на просторi S
основних функцiй.
Розширена соболєвська шкала... 117
В просторi Hϕ(Rn) визначено скалярний добуток розподiлiв
w1, w2 за формулою
(w1, w2)ϕ :=
∫
Rn
ϕ2(〈ξ〉) ŵ1(ξ) ŵ2(ξ) dξ.
Вiн задає на Hϕ(Rn) структуру гiльбертового простору i визна-
чає норму ‖w‖ϕ := (w,w)
1/2
ϕ . Цей простiр сепарабельний; в ньому
щiльна множина C∞0 нескiнченно диференцiйованих функцiй на
Rn, в якiй носiй компактнi.
Якщо ϕ(t) = ts для всiх t ≥ 1 при деякому s ∈ R, тоHϕ(Rn) =:
H(s)(Rn) є (гiльбертовий) простiр Соболєва порядку s.
В загальному випадку ми маємо неперервнi вкладення
H(s0)(Rn) ↪→ Hϕ(Rn) ↪→ H(s1)(Rn)
для всiх чисел s1 > σ1(ϕ), s0 < σ0(ϕ).
(3)
Згiдно з [6, 19] називаємо клас функцiональних просторiв
{Hϕ(Rn) : ϕ ∈ RO} (4)
розширеною соболєвською шкалою на Rn.
На основi шкали (4) введемо розширену собелевську шкалу
на векторних розшаруваннях.
Нехай Γ — довiльний замкнений нескiнченно гладкий мно-
говид вимiрностi n ≥ 1. Припускаємо, що на Γ задана деяка
C∞-щiльнiсть dx. Виберемо довiльний скiнченний атлас iз C∞-
структури на Γ, утворений локальними картами αj : Rn ↔ Γj ,
j = 1, . . . , p, де вiдкритi множини Γj складають покриття мно-
говиду Γ. Цi множини вибираємо таким чином, щоб локальнi
тривiалiзацiї βj : π−1(Γj) ↔ Γj × Cp були визначенi. Виберемо
також функцiї χj ∈ C∞(Γ), j = 1, . . . , p, якi утворюють розбиття
одиницi на Γ, що задовольняє умову suppχj ⊂ Γj .
Нехай π : V → Γ — нескiнченно гладке комплексне векторне
розшарування рангу p ≥ 1 на Γ. Тут V це тотальний простiр
118 Т. Зiнченко
розшарування, Γ є базою, i π є проектором (див., наприклад, [1,
Роздiл I, п. 2]). Покладемо D′(Γ, V ) визначає простiр, що скла-
дається з розподiлiв
u := {uj := (uj,1, . . . , uj,p) ∈ (D′(Γj))p, j ∈ {1, . . . , κ}}
таких, що
ul = Π(βl ◦ β−1
j )(x, uj(x)) := βl,juj
для кожного j, l ∈ 1, . . . ,κ. Тут, βl,j(x)uj = Π(βl ◦ β−1
j )(x, uj(x))
для x ∈ Γj ∩ Γl и кожна функцiя uj,p ∈ D′(Γj).
Лiнiйний простiр Hϕ(Γ, V ) складається з усiх розподiлiв
u ∈ D′(Γ, V ) таких, що (χjuj) ◦ αj ∈ (Hϕ(Rn))p для кожного
j ∈ {1, . . . , p}. Тут
(χjuj) ◦ αj = ((χjuj1) ◦ αj , . . . , (χjujp) ◦ αj) ∈ (D′(Rn))p.
Цi простори з точнiсть до еквiвалентностi норм не залежать
вiд вибору атласу {αj}, розбиття одиницi {χj} та локальних три-
вiалiзацiй {βj}. Цей результат буде доведено в Теоремi 2. За ана-
логiєю до (4) ми назвемо клас гiльбертових функцiональних про-
сторiв
{Hϕ(Γ, V ) : ϕ ∈ RO} (5)
розширеною соболєвською шкалою над розшаруванням
π : V → Γ.
Норма в просторi Hϕ(Γ, V ) задається формулою
‖u‖2Hϕ(Γ,V ) =
κ∑
j=1
‖(χjuj) ◦ αj‖2(Hϕ(Rn))p =
=
κ∑
j=1
p∑
k=1
‖(χjuj,k) ◦ αj‖2Hϕ(Rn).
Якщо ϕ(t) = ts для t ≥ 1 та s ∈ R, тодi отримаємо, що простiр
Hϕ(Γ, V ) є простором соболєва Hs(Γ, V ) порядку s (див. напри-
клад, [1, Роздiл IV, п. 1]).
Розширена соболєвська шкала... 119
У випадку тривiального векторного розшарування рангу p =
1, простiр Hϕ(Γ, V ) складається з усiх розподiлiв на Γ i познача-
ється Hϕ(Γ). Простiр Hϕ(Γ) був представлений та дослiджений
Михайлецем та Мурачем [11, 4].
3. Iнтерполяцiя з функцiональним параметром. Розши-
рена шкала соболєва на векторному розшаруваннi π : V → Γ
має важливу властивiсть iнтерполяцiї. А саме, кожен простiр
Hϕ(Γ, V ), де ϕ ∈ RO, є результатом iнтерполяцiї з вiдповiд-
ним функцiональним параметром мiж соболєвськими простора-
ми H(s0)(Γ, V ) та H(s1)(Γ, V ), де s0, s1 ∈ R та s0 < s1. Ми будемо
використовувати цю властивiсть у роботi. Тому ми нагадуємо
визначення iнтерполяцiї з функцiональний параметр мiж гiль-
бертовими просторами та деякi її властивостi. Ми обмежуємося
випадком сепарабельних комплексних гiльбертових просторiв i в
основному слiдуємо монографiї [6, п. 1.1].
Нехай задана впорядкована пара X := [X0, X1] сепарабельних
комплексних гiльбертових просторiв X0 i X1 така, що виконує-
ться неперервне i щiльне вкладенняX1 ↪→ X0. ПаруX називаємо
допустимою. Для неї iснує iзометричний iзоморфiзм J : X1 ↔ X 0
такий, що J — самоспряжений додатно визначений оператор в
просторi X0 з областю визначення X1. Оператор J визначається
парою X однозначно; вiн називається породжуючим для X.
Позначимо через B множину всiх вимiрних за Борелем фун-
кцiй ψ : (0,∞) → (0,∞), якi вiдокремленi вiд нуля на кожнiй
множинi [r,∞) i обмеженi на кожному вiдрiзку [a, b], де r > 0 i
0 < a < b <∞.
Нехай ψ ∈ B. В просторi X0 визначено, як функцiя вiд J ,
оператор ψ(J). Позначимо через [X0, X1]ψ або, коротше, Xψ
область визначення оператора ψ(J), надiлена скалярним добу-
тком (w1, w2)Xψ := (ψ(J)w1, ψ(J)w2)X0 i вiдповiдною нормою
‖w‖Xψ = (w,w)
1/2
Xψ
. Простiр Xψ гiльбертiв i сепарабельний, при-
чому виконується неперервне i щiльне вкладення Xψ ↪→ X0.
Функцiю ψ ∈ B називаємо iнтерполяцiйним параметром, якщо
для довiльних допустимих пар X = [X0, X1], Y = [Y0, Y1] гiль-
120 Т. Зiнченко
бертових просторiв i для будь-якого лiнiйного вiдображення T ,
заданного на X0, виконується наступне. Якщо при кожному
j ∈ {0, 1} звуженi вiдображення T на простiр Xj є обмеженим
оператором T : Xj → Yj , то i звуження вiдображення T на про-
стiр Xψ є обмеженим оператором T : Xψ → Yψ. Тодi будемо гово-
рити, що простiр Xψ отримано iнтерполяцiєю з функцiональним
параметром ψ пари X.
У випадку, коли допустима пара складається з соболєвських
просторiв, нам знадобиться наступний факт [6] (п. 2.4.2, теорема
2.19).
Твердження 1. Нехай заданi функцiя ϕ ∈ RO i дiйснi числа
s0, s1 такi, що s1 > σ1(ϕ) i s0 < σ0(ϕ). Покладемо
ψ(t) :=
{
t−s0/(s1−s0) ϕ(t1/(s1−s0)) при t ≥ 1,
ϕ(1) при 0 < t < 1.
(6)
Тодi функцiя ψ ∈ B є iнтерполяцiйним параметром i
Hϕ(Rn) = [H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)]ψ (7)
з еквiвалентнiстю норм.
В доведеннях нам доведеться iнтерполювати ортогональнi су-
ми гiльбертових просторiв. Для цього буде корисним наступний
факт [6] (п. 1.1.5, теорема 1.5).
Твердження 2. Нехай задано скiнченне число допустимих
пар [X
(k)
0 , X
(k)
1 ] гiльбертових просторiв, де k = 1, . . . , p. Тодi для
будь-якого ψ ∈ B справедливо[ p⊕
k=1
X
(k)
0 ,
p⊕
k=1
X
(k)
1
]
ψ
=
p⊕
k=1
[
X
(k)
0 , X
(k)
1
]
ψ
з еквiвалентнiстю норм.
4. Основнi результати та їх доведення. Сформулюємо
основнi результати статтi для розширеної соболєвської шкали (5)
на векторному розшаруваннi π : V → Γ.
Розширена соболєвська шкала... 121
Теорема 1. Нехай заданi функцiя ϕ ∈ RO i дiйснi числа s0,
s1 такi, що s1 > σ1(ϕ) i s0 < σ0(ϕ). Означимо iнтерполяцiйний
параметр ψ за формулою (6). Тодi
[H(s0)(Γ, V ), H(s1)(Γ, V )]ψ = Hϕ(Γ, V ) (8)
з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Доведення теореми 1. Як вiдомо [1, p. 110], пара собо-
лєвських просторiв в лiвiй частинi рiвностi (8) є допустимою.
Ми виведемо цю рiвнiсть з Твердження 1 за допомогою операто-
рiв "склеювання" та "розпрямлення" векторного розшарування
π : V → Γ.
Означимо оператор "розпрямлення" за допомогою формули
T : u 7→ ((χjuj,1) ◦ αj , . . . , (χjuj,p) ◦ αj) (9)
для j ∈ {1, . . . , κ} та довiльного u ∈ D′(Γ, V ). Цей оператор
визначає iзометричнi оператори
T : Hϕ(Γ, V )→ (Hϕ(Rn))pκ. (10)
T : Hσ(Γ, V )→ (Hσ(Rn))pκ, де σ ∈ R, (11)
мiж соболєвськими просторами. Оскiльки ψ iнтерполяцiйний па-
раметр, з обмеженостi лiнiйних операторiв (11), де σ ∈ {s0, s1},
слiдує, що звуження оператора (11), де σ = s0, є обмеженим
оператором
T :
[
H(s0)(Γ, V ), H(s1)(Γ, V )
]
ψ
→ (12)
→
[
(H(s0)(Rn))pκ, (H(s1)(Rn))pκ
]
ψ
. (13)
В силу тверджень 1 та 2, простiр (12) матиме вигляд[
(H(s0)(Rn))pκ, (H(s1)(Rn))pκ
]
ψ
=
=
(
[H(s0)(Rn), H(s1)(Rn)]ψ
)pκ
=
=
(
Hϕ(Rn)
)pκ
.
(14)
122 Т. Зiнченко
Таким чином (12) є обмеженим оператором мiж просторами
T : [H(s0)(Γ, V ), H(s1)(Γ, V )]ψ →
(
Hϕ(Rn)
)pκ
. (15)
Розглянемо тепер вiдображення "склейки"
K : w 7→
κ∑
j=1
Θj((ηjwj) ◦ α−1
j ) (16)
w визначається за формулою
w := (w1, . . . , wκ) ∈ ((S′(Rn))p)κ,
де
wj := (wj,1, . . . , wj,p), wj,k ∈ S′(Rn),
та (ηjwj) ◦ α−1
j ∈ D′(Γj). Тут, Θj лiнiйний оператор такий, що
Θjv ∈ D′(Γ, V ) та suppΘjv ⊂ Γj для v ∈ (D′(Γj))p, suppv ∈ Γj .
Ми можемо записати
Θjv := {wl ∈ (D′(Γl))p, with j ∈ {1, . . . ,κ} такi що
wl = Θlj(βljwj) на Γj ∩ Γl}
Маємо лiнiйне обмежене вiдображення
K : (Hϕ(Rn))pκ → Hϕ(Γ, V ) для ϕ ∈ RO. (17)
Завдяки вибору функцiй χj та ηj ми маємо
KTu = K((χjuj) ◦ αj) =
=
κ∑
j=1
Θj
((
ηj(χjuj) ◦ αj
)
◦ α−1
j
)
=
=
κ∑
j=1
Θj
((
ηj ◦ α−1
j
)
(χjuj) ◦ αj ◦ α−1
j
)
=
=
κ∑
j=1
Θj(χjuj) = u.
(18)
Розширена соболєвська шкала... 123
Покажемо, що вiдображення (17) є обмеженим оператором.
‖Kw‖2ϕ;Γ,V =
κ∑
j=1
‖
(
χj(Kw)j
)
◦ αj‖2(Hϕ(Rn))p =
=
κ∑
j=1
κ∑
l=1
‖
(
χj
(
Θl((ηlwl) ◦ α−1
l )
)
j
)
◦ αj‖2(Hϕ(Rn))p .
(19)
Маємо рiвностi(
χj
(
Θl((ηlwl) ◦ α−1
l )
)
j
)
◦ αj =
=
(
χj
(
Θj,lβj,l((ηlwl) ◦ α−1
l )
))
◦ αj =
=
((
Θj,lχjβj,l((ηlwl) ◦ α−1
l )
))
◦ αj =
=
(
Θj,l
(
(χjβj,l) ◦ αl)ηl︸ ︷︷ ︸
:=ηl,j
wl) ◦ α−1
l )
))
◦ αj︸ ︷︷ ︸
:=γl,j
=
= Θ
(
(ηl,jwl)γl,j
)
.
(20)
Тут, ηl,j := ((χjβj,l) ◦ αl)ηl ∈ C∞0 (Rn,Cp×p), та γl,j := Rn → Rn є
C∞–дифiоморфiзм такий, що γl,j := α−1
l ◦ αj в околi supp ηl,j та
γl,j(t) = t для кожного t ∈ Rn, |t| � 1.
Внаслiдок (19) та (20) ми маємо
‖Kw‖2ϕ;Γ,V =
κ∑
j=1
κ∑
l=1
‖
(
Θ
(
(ηl,jwl)γl,j
))
‖2(Hϕ(Rn))p .
Таким чином,
‖Kw‖2ϕ;Γ,V ≤ c
κ∑
j=1
‖wj‖2(Hϕ(Rn))p (21)
Тому вiдображення (17) розширюється однозначно (за непе-
рервнiстю) до лiнiйного обмеженого оператора
K : (Hϕ(Rn))pκ → Hϕ(Γ, V ). (22)
124 Т. Зiнченко
Крiм того, це вiдображення продовжується однозначно до лiнiй-
ного обмеженого оператора
K : ((Hσ(Rn))pκ → Hσ(Γ, V ) для кожного σ ∈ Rn. (23)
Взявши σ ∈ {s0, s1} та використавши iнтерполяцiю з функцiо-
нальним параметром ψ, ми отримаємо, що звуження оператора
(23), σ = s0, на простiр (14) є обмеженим оператором
K : (Hϕ(Rn))pκ → [H(s0)(Γ, V ), H(s1)(Γ, V )]ψ. (24)
Завдяки вiдображенням (10), (24) та рiвностi (18) ми отрима-
ємо
KT : Hϕ(Γ, V )→ [H(s0)(Γ, V ), H(s1)(Γ, V )]ψ.
З вiдображень (15) та (17) слiдує, що KT виконує обернене не-
перервне вкладення.
Теорема 1 доведена.
Теорема 2. Нехай ϕ ∈ RO. Гiльбертiв простiр Hϕ(Γ, V ) з
точнiстю до еквiвалентностi норм не залежить вiд вибору атласу
{αj} та розбиття одиницi {χj} на Γ та вiд вибору локальних
тривiалiзацiй {βj} на V .
Доведення теореми 2. Розглянемо двi трiйки A1 та A2
кожна з яких складається з атласу многовиду Γ, вiдповiдного
розбиття одиницi на Γ, та набору локальних тривiалiзацiй то-
тального простору V . Нехай Hϕ(Γ, V ;Aj) i Hσ(Γ, V ;Aj) позна-
чають вiдповiдно простiр Хермандера Hϕ(Γ, V ) та соболєвський
простiр Hσ(Γ, V ) вiдповiдно до трiйок Aj , де j ∈ {1, 2}. Доведе-
ння Теореми 2 вiдоме у випадку соболєвського простору ϕ ≡ ts
(див. наприклад, [1, p. 110]). Отже, тотожне вiдображення є iзо-
морфiзмом
I : Hσ(Γ, V ;A1)↔ Hσ(Γ, V ;A2)
для кожного σ ∈ R. Розглянувши цей iзоморфiзм для σ ∈ {s0, s1}
та використавши iнтерполяцiю з функцiональним параметром
Розширена соболєвська шкала... 125
ψ, який визначається формулою (6), ми отримаємо, що тотожне
вiдображення є iзоморфiзмом
I : [H(s0)(Γ, V ;A1), H(s1)(Γ, V ;A1)]ψ ↔
[H(s0)(Γ, V ;A2), H(s1)(Γ, V ;A2)]ψ.
Згiдно з Теоремою 1,
[H(s0)(Γ, V ;Aj), H(s1)(Γ, V ;Aj)]ψ = Hϕ(Γ, V ;Aj)
для кожного j ∈ {1, 2} з точнiстю до еквiвалентностi норм в
просторах. Таким чином, простори Hϕ(Γ, V ;A1) та Hϕ(Γ, V ;A2)
є еквiвалентними з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Теорема 2 доведена.
Лiтература
[1] Wells R. O., Jr. Dufferential analysis on complex manifolds,
Springer, New York, 1980
[2] Хермандер Л., Линейные дифференциальные операторы с
частными производными, Москва: Мир, 1965
[3] Zinchenko T. Elliptic operators on refined Sobolev scales on
vector bundles, De Gruyter Open, Open Math., 2017, 15(1),
907–925
[4] Mikhailets V. A., Murach A. A., Interpolation with a function
parameter and refined scale of spaces, Methods Funct. Anal.
Topology, 2008, 14, no. 1, 81–100
[5] Seneta E., Regularly Varying Functions, Berlin: Springer-
Verlag, 1976
[6] Mikhailets V. A., Murach A. A., Hor̈mander Spaces, Interpolati-
on, and Elliptic Problems, De Gruyter Studies in Math., 60, De
Gruyter, Berlin, 2014
126 Т. Зiнченко
[7] A. A. Murach, On elliptic systems in Hörmander spaces, Ukrai-
nian Math. J., 2009, 61, no. 3, 467–477
[8] Mikhailets V. A., Murach A. A., Elliptic operators in a refined
scale of functional spaces, Ukrainian Math. J., 2005, 57, no. 5,
817–825
[9] Mikhailets V. A., Murach A. A., The refined Sobolev scale,
interpolation, and elliptic problems, Banach J. Math. Anal,
2012, 6, no. 2, 211–281
[10] Mikhailets V. A., Murach A. A., Refined scales of spaces and
elliptic boundary-value problems, I, Ukranian Math. J., 2006,
58, no. 2, 244–262
[11] Mikhailets V. A., Murach A. A., Refined scale of spaces and
elliptic boundary-value problems, II, Ukranian Math. J., 2006,
58, no. 3, 398–417
[12] Волевич Л. Р., Панеях Б. П., Некоторые пространства обоб-
щенных функций и теоремы вложения, Успехи мат. наук,
1965, 20, no. 1, 3–74
[13] Mikhailets V. A., Murach A. A., Regular elliptic boundary-value
problem for homogeneous equation in two-sided refined scale of
spaces, Ukrainian Math. J., 2006, 58, no. 11, 1748–1767
[14] Mikhailets V. A., Murach A. A., Refined scale of spaces and
elliptic boundary-value problems. III, Ukranian Math. J., 2007,
59, no. 5, 744–765
[15] Murach A. A., Elliptic pseudo-differential operators in a refined
scale of spaces on a closed manifold, Ukranian Math. J., 2007,
59, no. 6, 874–893
[16] Mikhailets V. A., Murach A. A., An elliptic boundary-value
problem in a two-sided refined scale of spaces, Ukranian Math.
J., 2008, 60, no. 4, 574–597
Розширена соболєвська шкала... 127
[17] Murach A.A., Douglis–Nirenberg elliptic systems in the refi-
ned scale of spaces on a closed manifold, Methods Funct. Anal.
Topology, 2008, 14, no. 2, 142–158
[18] Murach A.A., On elliptic systems in Hörmander spaces, Ukrai-
nian Math. J., 2009, 61, no. 3, 467–477
[19] Mikhailets V. A., Murach A. A., Extended Sobolev scale and
elliptic operators, Ukrainian Math. J., 2013, 65, no. 3, 392–404
[20] Zinchenko T. N., Murach A. A., Douglis–Nirenberg elliptic
systems in Hörmander spaces, Ukrainian Math. J., 2013, 64,
no. 11, 1672–1687
[21] Zinchenko T. N., Murach A. A. Petrovskii elliptic systems in
the extended Sobolev scale, J. Math. Sci. (N. Y.), 2014, 196,
no. 5, P. 721–732
[22] Anop A. V., Murach A. A., Parameter-elliptic problems and
interpolation with a function parameter, Methods Funct. Anal.
Topology, 2014, 20, no. 2, 103–116
[23] Anop A. V., Murach A. A., Regular elliptic boundary-value
problems in the extended Sobolev scale, Ukrainian Math. J.,
2014, 66, no. 7, 969–985
[24] Mikhailets V. A., Murach A. A., Interpolation Hilbert spaces
between Sobolev spaces, Results Math., 2015, 67, no. 1, 135–
152
[25] Murach A. A., Zinchenko T., Parameter-elliptic operators on
the extended Sobolev scale, Methods Funct. Anal. Topology,
2013, 19, no. 1, 29–39
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-315 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:31Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/62/5d52e5e600769fc3412419b3e2b1f662.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3152018-02-13T13:12:44Z An extended Sobolev scale over vector bundles Розширена cоболєвська шкала над векторними розшаруваннями Zinchenko, T. M. Зінченко, Т. М. We introduce an extended Sobolev scale over vector bundles on smooth closed manifolds and investigate its interpolation properties. This scale is built on the base of the inner product H\"ormander spaces whose order of regularity is given by an arbitrary positive function RO-varying at infinity. We prove that every space belonging to the scale introduced is obtained by the interpolation with a function parameter between certain Sobolev spaces over the vector bundle. We show that this space does not depend (up to equivalence of norms) on the choice of local charts on manifold and local trivializations of the bundle. Уведено розширену соболєвську шкалу на векторних розшаруваннях на гладких многовидах і досліджено її інтерполяційні властивості. Цю шкалу побудовано на основі гільбертових просторів Хермандера, для яких показник регулярності задано за допомогою довільної додатної функції, RO-змінної на нескінченності. Доведено, що будь-який простір, приналежний уведеній шкалі, отримується інтерполяцією з функціональним параметром пари соболєвських просторів на векторному розшаруванні. Показано, що цей простір (з точністю до еквівалентності норм) не залежить від вибору локальних карт на многовиді та локальних тривіалізацій розшарування. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/315 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 114-127 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 114-127 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 114-127 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/315/298 Авторське право (c) 2017 Т. М. Зінченко |
| spellingShingle | Zinchenko, T. M. Зінченко, Т. М. An extended Sobolev scale over vector bundles |
| title | An extended Sobolev scale over vector bundles |
| title_alt | Розширена cоболєвська шкала над векторними розшаруваннями |
| title_full | An extended Sobolev scale over vector bundles |
| title_fullStr | An extended Sobolev scale over vector bundles |
| title_full_unstemmed | An extended Sobolev scale over vector bundles |
| title_short | An extended Sobolev scale over vector bundles |
| title_sort | extended sobolev scale over vector bundles |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/315 |
| work_keys_str_mv | AT zinchenkotm anextendedsobolevscaleovervectorbundles AT zínčenkotm anextendedsobolevscaleovervectorbundles AT zinchenkotm rozširenacobolêvsʹkaškalanadvektornimirozšaruvannâmi AT zínčenkotm rozširenacobolêvsʹkaškalanadvektornimirozšaruvannâmi AT zinchenkotm extendedsobolevscaleovervectorbundles AT zínčenkotm extendedsobolevscaleovervectorbundles |