Approximation of classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions by Rogozinski polynomials
We obtained asymptotic equalities for the upper bounds of deviations of Rogozinski polynomials on the classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions in the uniform metric.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/318 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552825122193408 |
|---|---|
| author | Kovalchuk, I. R. Ковальчук, І. Р. |
| author_facet | Kovalchuk, I. R. Ковальчук, І. Р. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Р. Ковальчук",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Kovalchuk, I. R. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We obtained asymptotic equalities for the upper bounds of deviations of Rogozinski polynomials on the classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions in the uniform metric. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 204–221
УДК 517.5
I. Р. Ковальчук
Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi Лесi
Українки, Луцьк; grabova−u@ukr.net
Наближення класiв
(ψ, β)-диференцiйовних функцiй
полiномами Рогозинського
We obtained asymptotic equalities for the upper bounds of deviati-
ons of Rogozinski polynomials on the classes of (ψ, β)–differentiable
functions in the uniform metric.
Отримано асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж вiдхилення по-
лiномiв Рогозинського на класах (ψ, β)–диференцiйовних фун-
кцiй у рiвномiрнiй метрицi.
1. Вступ
В данiй роботi вивчається питання про асимптотичну поведiнку
точних верхнiх меж вiдхилень сум Рогозинського в рiвномiрнiй
метрицi на класах (ψ, β)-диференцiйовних функцiй.
Нехай C — простiр 2π–перiодичних неперервних функцiй, у
якому норма задається рiвнiстю ‖f‖C = max
t
|f(t)|; L∞ — простiр
2π–перiодичних вимiрних суттєво обмежених функцiй з нормою
‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|; L — простiр 2π–перiодичних сумовних на
c© I. Р. Ковальчук, 2017
Наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй... 205
перiодi функцiй, в якому норма задається за допомогою рiвностi
‖f‖L = ‖f‖1 =
π∫
−π
|f(t)|dt.
В роботi О. I. Степанця [1] введенi класи (ψ, β)-
диференцiйовних функцiй наступним чином.
Нехай f(x) – сумовна 2π-перiодична функцiя i
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx) =
a0
2
+
∞∑
k=1
Ak(f ;x)
ї ї ряд Фур’є.
Нехай, далi, ψ(k) – довiльна фiксована функцiя натурального
аргументу, а β – фiксоване дiйсне число. Припустимо, що ряд
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ak(f) cos
(
kx+
βπ
2
)
+ bk(f) sin(kx+
βπ
2
)
)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї. Цю функцiю позначимо
fψβ (x), а множину функцiй f(·), що задовольняють такi умови,
будемо позначати Lψβ . Якщо f ∈ Lψβ , i крiм того, fψβ ∈ N, де N —
деяка пiдмножина функцiй iз L, то записують, що f ∈ LψβN.
Далi покладемо Lψβ ∩ C = Cψβ i LψβN ∩ C = CψβN. Якщо в
якостi N виступає множина S0
∞ = {ϕ ∈ L∞ : ‖ϕ‖∞ ≤ 1, ϕ⊥1},
то множину Cψβ S
0
∞ позначають через Cψβ,∞.
При ψ(k) = k−r, r > 0 i β = r класи Cψβ,∞ (ψ, β)-
диференцiйовних функцiй спiвпадають з класами W r
r функцiй,
що мають дробову похiдну в розумiннi Вейля f rr . Якщо ж, при
цьому, β = r, r ∈ N, то має мiсце рiвнiсть W r
r = W r. Крiм того,
W rHω =
{
f :
∣∣f r(t) − f (r)(t′)∣∣ ≤ ω(|t − t′|)
}
, де ω(t) — заданий
модуль неперервностi.
Якщо функцiя ψ(k) така, що ряд
∞∑
k=1
ψ(k) cos(kt+
βπ
2
) (1)
206 I. Р. Ковальчук
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї Bψ
β (t), то C
ψ
β,∞ спiвпадає
з класом функцiй, якi можна подати у виглядi згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
2π∫
0
Bψ
β (t)ϕ(x+ t)dt, ‖ϕ‖∞ ≤ 1, ϕ⊥1. (2)
Якщо послiдовнiсть ψ(k) опукла вниз i lim
k→∞
ψ(k) = 0, то за
теоремою 2 (див. [2, с. 652]), Bψ
β (t) – сумовна функцiя, що має
ряд Фур’є (1). Тому, якщо
ψ(k) ≥ ψ(k + 1) i
∞∑
k=1
ψ(k)
k
<∞, (3)
або при sin βπ
2 = 0
ψ(k + 2)− 2ψ(k + 1) + ψ(k) ≥ 0 i lim
k→∞
ψ(k) = 0, (4)
то клас Cψβ,∞ спiвпадає з класом функцiй, що представленi рiв-
нiстю (2).
В цiй роботi розглянуто такi класи Cψβ,∞, у яких ψ(k) задо-
вольняє умови (3) або (4).
Нехай λ = {λ(n)k } – трикутна числова матриця, λ(n)k = 0, якщо
k ≥ n; λ(n)0 = 1, за допомогою якої функцiї f(x) з рядом Фур’є
S[f ] ставиться у вiдповiднiсть послiдовнiсть полiномiв
Un(λ; f ;x) =
a0
2
+
n−1∑
k=1
λ
(n)
k Ak(f ;x).
Нехай, далi, λn(u), n ∈ N , – послiдовнiсть неперервних фун-
кцiй, заданих на [0, 1] таких, що λn( kn) = λ
(n)
k , ψ(u) – неперервна
функцiя, визначена при u ≥ 1, що має значення ψ(k) при u = k i
τn(u) = τn(λ, ψ, u) =
τn(u), 0 ≤ u ≤ 1/n,
(1− λ(u))ψ(nu)ψ(n) , 1/n ≤ u ≤ 1,
ψ(nu)/ψ(n), u ≥ 1,
(5)
Наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй... 207
неперервна функцiя, визначена на [0, 1/n] довiльним чином.
Якщо функцiя τ̂n(t) =
∞∫
0
τn(u) cos(ut + βπ/2) du є сумовною на
(−∞,+∞), а fψβ обмежена майже скрiзь, то за теоремою 4 (див.
[1, с. 183]) справедлива рiвнiсть
f(x)− Un(λ; f ;x) = ψ(n)
1
π
∞∫
−∞
fψβ (x+
t
n
)τ̂n(t)dt. (6)
При цьому для виконання рiвностi (6) не важливо, як визначена
функцiя λn(u) i функцiя ψ(u) в точках u 6= k, лише потрiбно,
щоб функцiя τn(u) була неперервною, а τ̂n(t) ∈ L(R).
2. Допомiжнi твердження
Наведемо деякi допомiжнi твердження, доведенi в [3], i якi буде-
мо використовувати надалi.
Лема 1 ( [3, с. 10]). Нехай функцiя τn(u) задана при u ≥ 0,
неперервна i iнтеграли
A(τn(u)) =
1
π
∞∫
−∞
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+ βπ/2)du
∣∣∣∣∣dt, n = 1, 2, ...,
збiгаються. Тодi при n→∞ справедлива рiвнiсть
E(Cψβ,∞;U(λ))C := sup
f∈Cψβ,∞
‖f(x)− Un(λ; f ;x)‖C =
= sup
‖fψβ ‖∞≤1
∥∥∥ψ(n) 1
π
∞∫
−∞
fψβ (x+
t
n
)τ̂n(t)dt
∥∥∥
C
= ψ(n)A(τn) + γ(n),
208 I. Р. Ковальчук
де γ(n) ≤ 0, |γ(n)| = O(ψ(n)a(τn)), n→∞,
a(τn) =
1
π
∫
|t|≥πn/2
∣∣∣ ∞∫
0
τn(u) cos(ut+ βπ/2)du
∣∣∣dt.
Нехай F – множина заданих при u ≥ 1 функцiй ψ(u), що
задовольняють умови:
а) ψ(u) – опукла вниз;
б) при n→∞ справедливi спiввiдношення
∞∫
n
ψ(u)
u
du = O(ψ(n)), n|ψ′(n)| = O(ψ(n)).
Має мiсце наступне твердження.
Лема 2 ( [3, с. 13]). Нехай функцiя ψ(u) ∈ F , а функцiя τn(u),
задана рiвнiстю (5), має абсолютно неперервну похiдну τ ′n(u) на
[0, 1] i τn(0) = 0. Якщо збiгаються iнтеграли
∣∣ sin βπ
2
∣∣ 1∫
0
|τn(u)|
u
du, i
1∫
0
|λn(u)|
1− u
du,
то при n→∞ справедлива рiвнiсть
E(Cψβ,∞;Un(λ; f ;x))C = ψ(n)
2
π
| sin βπ
2
|
1∫
0
|τn(u)|
u
du+
+O
(
ψ(n)
( 1∫
0
|λn(u)|
1− u
du+
1∫
0
u(1− u)|τ ′′n(u)|du+
+| sin βπ
2
|
2/πn∫
0
|τn(u)|
u
du+ 1
))
.
Наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй... 209
В роботi [5] вперше були розглянутi питання щодо поведiнки
величини E
(
Hα;Rn(f, x,
π
2n+1)
)
C
, де Hα = Hω при ω(t) = tα,
α ∈ (0, 1].
Наступний важливий крок у вивченнi апроксимативних вла-
стивостей сум Рогозинського був зроблений в роботах [6] –
[11], в яких знайденi асимптотичнi рiвностi для величин
E(W rHω;Rn)C .
3. Основний результат
Для сум Рогозинського λn(u) = cos π2u, i, згiдно з рiвнiстю (5),
τn(u) =
τn(u), 0 ≤ u ≤ 1/n,
(1− cos π2u)
ψ(nu)
ψ(n) , 1/n ≤ u ≤ 1,
ψ(nu)/ψ(n), u ≥ 1.
(7)
Теорема 3. Якщо ψ ∈ M,
∞∫
1
ψ(u)
u < ∞, u2ψ(u) опукла вниз i
lim
u→∞
u2ψ(u) = ∞, то при n→∞ справедлива рiвнiсть
E(Cψβ,∞;Rn)C = ψ(n)A(τn) +O
(ψ(n)
n
)
, (8)
де
π
2
∣∣∣ sin βπ
2
∣∣∣ 1
ψ(n)
∞∫
n
ψ(u)
u
du ≤ A(τn) ≤ C1 +
2π
ψ(n)
∞∫
n
ψ(u)
u
du. (9)
Доведення.
Представимо функцiю τn(u) на вiдрiзку [0, 1n ] так, щоб τn(u)
i τ ′n(u) були неперервнi на [0, 1] i τ ′n(u), τ ′′n(u) – обмеженi на
[0, 1]. Це можна зробити, наприклад, квадратичною функцiєю
τn(u) = au2 + bu, де
a =
n
ψ(n)
(
ψ(1)
π
2
sin
π
2n
+ n(1− cos
π
2n
)(ψ′(1)− ψ(1))
)
,
210 I. Р. Ковальчук
b =
n
ψ(n)
(
(1− cos
π
2n
)(2ψ(1)− ψ′(1))− π
2ψ(n)
sin
π
2n
ψ(1)
)
.
При цьому неважко переконатися, що всi вказанi вище вимоги
до τn(u) виконуються.
Враховуючи те, що lim
u→∞
τn(u) = lim
u→∞
τ ′n(u) = 0, двiчi iнтегру-
ючи частинами, отримаємо
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du =
=
1
t2
(
− τ ′n(0) cos
βπ
2
+ (τ ′n(1− 0)− τ ′n(1 + 0)) cos(t+
βπ
2
)−
−
( 1
n∫
0
+
1∫
1
n
+
∞∫
1
)
τ ′′n(u) cos(ut+
βπ
2
)du
)
. (10)
Так як при u ≥ 1
n τ
′′
n(u) ≥ 0, то з рiвностi (10) i представлення
τn(u) маємо
∣∣∣ ∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣ ≤ 1
t2
(|τ ′n(0)|·
∣∣∣ cos βπ
2
∣∣∣+π
2
(1+
∣∣∣ cos(t+βπ
2
)
∣∣∣−
− 1
ψ(n)
(π
2
sin
π
2n
ψ(1) + n(1− cos
π
2n
)ψ′(1)
)
+
1
n∫
0
|τ ′′n(u)|du
)
. (11)
Оскiльки u2ψ(u) опукла вниз i lim
u→∞
u2ψ(u) =∞, то
lim
n→∞
ψ(n)
n(1− cos π
2n)
= C > 0 або lim
n→∞
ψ(n)
n(1− cos π
2n)
=∞.
(12)
Наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй... 211
Iз спiввiдношень (11), (12) i в силу обмеженостi τn(u) i τ ′n(u)
отримаємо, що ∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut±
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣ ≤ C2
t2
. (13)
Далi з (13) маємо
a(τn) =
1
π
( ∞∫
πn
2
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt+
+
∞∫
πn
2
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut−
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt
)
≤ 2C2
π2
(14)
i
1
π
∫
|t|≥π
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt ≤ 2C2
π2
. (15)
Враховуючи означення функцiї τn(u), знаходимо
π∫
−π
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt ≤
π∫
−π
( 1∫
0
τn(u)du
)
dt+
+
0∫
−π
∣∣∣∣∣
∞∫
1
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt+
π∫
0
∣∣∣∣∣
∞∫
1
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt ≤
≤ 2πC3 +
π∫
0
∣∣∣∣∣
∞∫
1
τn(u) cos(ut−
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt+
+
π∫
0
∣∣∣∣∣
∞∫
1
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt. (16)
212 I. Р. Ковальчук
Функцiя τn(u) додатна на [1,∞), монотонно спадає i
lim
n→∞
τn(u) = 0. Якщо x1 ближчий справа вiд точки x = 1 нуль
функцiї
∞∫
x
τn(u) cos(ut+
βπ
2 )du (β, n, t – фiксованi), то, як неважко
переконатися, 1 ≤ x1 ≤ 1 + π
t ; враховуючи це, отримаємо∣∣∣∣∣
∞∫
1
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣
x1∫
1
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣ <
1+π
t∫
1
τn(u)du.
(17)
Провiвши замiну змiнних i iнтегруючи частинами, маємо
π∫
0
∣∣∣∣∣
1+π
t∫
1
τn(u)du
∣∣∣∣∣dt =
= π
(
− lim
x→∞
1
x
1+x∫
1
τn(u)du+
2∫
1
τn(u)du+
∞∫
1
τn(x+ 1)
x
dx
)
. (18)
Застосувавши правило Лопiталя i врахувавши, що τn(u) мо-
нотонно спадає на [1,∞), з (18) отримаємо
π∫
0
∣∣∣∣∣
∞∫
1
τn(u) cos(ut±
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt ≤ C4 +
π
ψ(n)
∞∫
n
ψ(u)
u
du. (19)
Iз нерiвностей (15), (16) i (19) випливає, що
A(τn) < C1 +
2π
ψ(n)
∞∫
n
ψ(u)
u
du. (20)
Покажемо справедливiсть оцiнки знизу в (9).
Наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй... 213
Нехай fψβ (t) = 2
π
∞∑
k=1
sin kt
k . Тодi ||fψβ (t)||∞ ≤ 1, оскiльки
∞∑
k=1
sin kt
k – 2π-перiодична функцiя i
∞∑
k=1
sin kt
k
=
{
π−t
2 , 0 < t < 2π,
0, t = 0, t = 2π.
Так як ψ(u) опукла вниз, то
E(Cψβ,∞;Rn)C=
= sup
||ϕ||∞≤1
∣∣∣∣∣∣ 1
π
2π∫
0
ϕ(x+ t)
(n−1∑
k=1
(1− cos
πk
2n
)ψ(k)cos(kt+
βπ
2
)+
+
∞∑
k=n
ψ(k) cos(kt+
βπ
2
)dt
)∥∥∥
C
≥
≥
∣∣∣ 1
π
2π∫
0
fψβ (t)
(
cos
βπ
2
( n−1∑
k=1
(1− cos
kπ
2n
) cos kt+
∞∑
k=n
ψ(k) cos kt
)
−
− sin
βπ
2
( n−1∑
k=1
(1− cos
kπ
2n
) sin kt+
∞∑
k=n
ψ(k) sin kt)
)
dt
∣∣∣. (21)
Використовуючи теорему про почленне iнтегрування рядiв Фур’є
(див. [2, c. 22]), iз нерiвностi (21) отримаємо
E(Cψβ,∞;Rn)C ≥
2
π
∣∣∣ sin βπ
2
∣∣∣( n−1∑
k=1
ψ(k)
k
(1− cos
kπ
2n
) +
∞∑
k=n
ψ(k)
k
)
.
(22)
Внаслiдок того, що при u > 1 функцiя ψ(u) не зростає, з нерiв-
ностi (22) робимо висновок, що
E(Cψβ,∞;Rn)C >
2
π
| sin βπ
2
|
∞∫
n
ψ(u)
u
du, (23)
214 I. Р. Ковальчук
а iз (23) i (20) випливає (9).
Iз спiввiдношень (14) i (9) в силу леми 1 отримаємо (8). Oтже,
теорему доведено.
Умови теореми 3 задовольняють, наприклад, функцiї ψ(u),
u ≥ 1 вигляду ψ(u) = u−r, 0 ≤ r ≤ 1; ψ(u) = ln−α(u+ C), α > 1,
C > 0.
Теорема 4. Якщо ψ ∈M задовольняє умови:
1. u2ψ(u)− опукла вгору; 2.
∞∫
1
ψ(u)
u
du <∞;
3.
n∫
1
uψ(u)du = O(n2ψ(n)), (24)
то при n→∞ справедлива асимптотична рiвнiсть
E(Cψβ,∞;Rn)C = ψ(n)A(τn) +O(
1
n2
), (25)
де A(τn) задовольняє нерiвнiсть (9).
Доведення.
Так як u2ψ(u) опукла вгору, то
lim
u→∞
u2ψ(u) = ∞ або lim
u→∞
u2ψ(u) = C > 0. Причому, дру-
гий випадок за умов теореми неможливий.
Доозначимо τn(u) на [0, 1n ] степеневою функцiєю
τn(u) = (1− cos
π
2n
)
ψ(1)
ψ(n)
n
π
2
ctg π
4n
+n
ψ′(1)
ψ(1) · u
π
2
ctg π
4n
+n
ψ′(1)
ψ(1) .
Припустимо, що τn(u) опукла вниз при 0 ≤ u ≤ 1
n . Так як τ ′n(u)
неперервна на [0, 1) i (1,∞); τ ′′n(u) ≤ 0 при u ∈ [ 1n , 1] i τ
′′
n(u) ≥ 0
при u ∈ [0, 1n ]∪[1,∞), то, iнтегруючи двiчi частинами, отримаємо∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣ ≤ 1
t2
(∣∣(τ ′n(1−0)−τ ′n(1+0)) cos(t+
βπ
2
)
∣∣+
Наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй... 215
+
( 1
n∫
0
+
1∫
1
n
+
∞∫
1
)
|τ ′′n(u)|du
)
=
1
t2
(π
2
∣∣ cos(t+βπ
2
)
∣∣+π sin π
2n
·ψ(1)
ψ(n)
+
+2n(1− cos
π
2n
)
ψ′(1)
ψ(n)
− π
2
− 2n
ψ′(n)
ψ(n)
)
. (26)
Iз нерiвностi (26) з врахуванням того, що −nψ′(n)
ψ(n) ≤ 2, маємо
a(τn) =
1
π
∫
|t|>πn
2
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt ≤
≤ 2
(
C4 +
C5
nψ(n)
) ∞∫
nπ
2
dt
t
=
C6
n
+
C7
n2ψ(n)
, (27)
∫
|t|≥nπ
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt ≤ C6
2n
+
C7
2n2ψ(n)
. (28)
Враховуючи, що τn(u) неперервна на [0,∞), τn(0) = 0,
lim
u→∞
τn(u) = 0, τ ′n(u) неперервна на [0, 1) i (1,∞), τ ′n(u) > 0 на
[0, 1], iнтегруючи частинами, отримаємо
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣ ≤ 1
t
( 1
n∫
0
|τ ′n(u)|du+
+
∣∣∣∣∣
1∫
1
n
τ ′n(u) sin(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
∞∫
1
τ ′n(u) sin(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣
)
. (29)
216 I. Р. Ковальчук
Так як на промiжку [0, 1] τ ′n(u) – невiд’ємна, а на [ 1n , 1] τ
′
n(u)
не зростає, то
1
t
( 1
n∫
0
|τ ′n(u)|du+
∣∣∣ 1∫
1
n
|τ ′n(u) sin(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣) <
<
1
t
(
τn(
1
n
)− τn(0) +
1
n
+π
t∫
1
n
τ ′n(u)du
)
=
1
t
τn
( 1
n
+
π
t
)
. (30)
Провiвши замiну змiнних, враховуючи представлення функцiї
τn(u) i рiвнiсть (24), отримаємо
πn∫
π
(1−1/n)
1
t
τn(
1
n
+
π
t
)dt = O(1). (31)
Так як τn(u) опукла вниз на [1,∞), lim
u→∞
τ ′n(u) = 0 i −nψ′(n)
ψ(n) <
2, то, iнтегруючи частинами, маємо
1
t
∣∣∣∣∣
∞∫
1
τ ′n(u) sin(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
t2
(
− nψ′(n)
ψ(n)
)(
1 +
∣∣ cos(t+ βπ
2
)
∣∣) < 4
t2
.
(32)
Iз рiвностi (32) при n > 1 випливає, що∫
|t|> π
(1−1/n)
∣∣∣∣∣1t
∞∫
1
τ ′n(u) sin(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt < C8, (33)
а з рiвностей (28), (31) i (33) отримаємо, що
∞∫
π
(1−1/n)
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt < C9. (34)
Наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй... 217
Мiркуючи аналогiчно, як i при доведеннi нерiвностi (19), мо-
жна показати, що
π
(1−1/n)∫
− π
(1−1/n)
∣∣∣∣∣
∞∫
1
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt < C10+
2π
ψ(n)
∞∫
n
ψ(u)
u
du. (35)
Iз обмеженостi функцiї τn(u) на [0, 1] випливає, що
π
(1−1/n)∫
− π
(1−1/n)
∣∣∣∣∣
1∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt < C11. (36)
Отже, якщо τn(u) опукла вниз на [0, 1n ], то iз (34)-(36) маємо
A(τn) < C1 +
2π
ψ(n)
∞∫
n
ψ(u)
u
du. (37)
Якщо τn(u) на [0, 1n ] опукла вгору, то, враховуючи, що коли
τ ′n(u) > 0, u ∈ [0, 1], iнтегруючи частинами, маємо∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣ =
=
1
t
τn(
π
t
) +
1
t
∣∣∣∣∣
∞∫
1
τ ′n(u) sin(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣.
(38)
Мiркуючи так само, як i при доведеннi (31), будемо мати
πn∫
π
1
t
τn(
π
t
)dt < C12. (39)
218 I. Р. Ковальчук
Використовуючи представлення τn(u) i те, що lim
n→∞
n2ψ(n) =
∞, виконуючи iнтегрування, отримаємо
∞∫
πn
1
t
τn(
π
t
)dt <
C13
n2ψ(n)
. (40)
З нерiвностi (32) маємо
∞∫
π
∣∣∣∣∣1t
∞∫
1
τ ′n(u) sin(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt < π
∞∫
π
dt
t2
= 1. (41)
Вiдповiдно, iз (38)-(41) отримаємо
∞∫
π
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut±
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt < C14. (42)
Так як
−π∫
−∞
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt =
∞∫
π
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut−
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt,
то iз нерiвностi (42) маємо
∫
|t|>π
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt < 2C14. (43)
Враховуючи (19), отримаємо
π∫
−π
∣∣∣∣∣
∞∫
1
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt < C15 +
2π
ψ(n)
∞∫
n
ψ(u)
u
du. (44)
Наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй... 219
З (43), (44) робимо висновок, що
A(τn) < C1 +
2π
ψ(n)
∞∫
n
ψ(u)
u
du. (45)
Iз спiввiдношень (23), (37) i (45) випливає, що A(τn) задоволь-
няє (9).
Доведемо, що
a(τn) = O
(
1
n2ψ(n)
)
. (46)
Так як lim
n→∞
nψ(n) = C > 0, то для випадку, коли τn(u) опукла
вниз, (46) випливає з (27). Якщо ж τn(u) опукла вгору на [0, 1n ],
то, використовуючи представлення τn(u) i провiвши замiну змiн-
них, отримаємо
nπ∫
nπ
2
1
t
τn(
π
t
)dt =
2
n∫
1
n
τn(v)
v
dv=
=
1
ψ(n)
2
n∫
1
n
(1− cos π2 v)ψ(nv)
v
dv=O
(
1
n2ψ(n)
)
.
(47)
З рiвностей (40) i (47) випливає, що
∞∫
nπ
2
1
t
τn(
π
t
)dt = O
(
1
n2ψ(n)
)
, (48)
а з (32)
∞∫
nπ
2
∣∣∣∣∣1t
∞∫
1
τ ′n(u) sin(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt = O
( 1
n
)
. (49)
220 I. Р. Ковальчук
Тодi з (38), (48) i (49) отримаємо рiвнiсть
∞∫
nπ
2
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2
)du
∣∣∣∣∣dt = O
(
1
n2ψ(n)
)
. (50)
Так як i
−nπ
2∫
−∞
|
∞∫
0
τn(u) cos(ut+
βπ
2 )du|dt = O( 1
n2ψ(n)
), то з рiвностi
(50) випливає виконання (46), коли τn(u) опукла вгору на [0, 1n ].
Використовуючи лему 1, з урахуванням рiвностей (9) i (46)
отримаємо (25). Теорему доведено.
Умови теореми 4 задовольняють, наприклад, функцiї
ψ(u) = u−r lnα(u+C), де 1 ≤ r ≤ 2, α ∈ R, C > 0; ψ(u) = u−r, де
1 ≤ r ≤ 2.
Лiтература
[1] Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. / Але-
ксандр Иванович Степанец — К.: Ин-т математики НАН Украи-
ны, 2002. — Т. 40. — Ч.I. — 427 с.
[2] Бари Н.К. Тригонометрические ряды. — М.: Физматгиз, 1961. —
936 с.
[3] Бушев Д.Н. Приближение классов непрерывных периодических
функций суммами Зигмунда. — Киев, 1984. — 64 с. — (Препр./ АН
УССР. Ин-т математики; 84.56).
[4] Rogosinski W. Über die Absnitte thrigonometrische Reihen // Math.
Annallen. –– 1926. –– Vol 95. P. 123–126.
[5] Корнейчук Н.П. О приближении периодических функций,
удоволетворяющих условию Липшица, суммами Бернштейна-
Рогозинского // Докл. АН СССР. — 1959. — Т. 125, № 2. — С. 775–
787.
[6] Дзядык В.К., Степанец А.И. О приближении функций классов
Гёльдера полиномами Рогозинского // Докл. АН УССР. — 1969. —
№ 3. — С. 22–29.
Наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй... 221
[7] Дзядык В.К., Степанец А.И. Асимптотические равенства для
точных верхних граней приближений функций классов Гёльдера
при помощи полиномов Рогозинского // Укр. мат. журн. — 1972. —
Т. 24, № 4. — С. 17–25.
[8] Гаврилюк В.Т., Степанец А.И. Приближение дифференцируемых
функций полиномами Рогозинского // Там же. — 1973. — Т. 25, №
1. — С. 7–17.
[9] Дзядык В.К., Гаврилюк В.Т. О точных верхних гранях прибли-
жений на классах дифференцируемых функций при помощи по-
линомов Рогозинского // Там же. — 1970. — Т. 22, № 4. — С. 12–28.
[10] Степанец А.И. Приближение периодических функций полино-
мами Рогозинского и полиномами Бернштейна. Киев, — 1974. —
32 с. — (Препр./ АН УССР. Ин-т математики; 74.1).
[11] Степанец А.И. Равномерное приближение тригонометрическими
полиномами. Киев: Наук. думка, 1981. — 340 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-318 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:35Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b4/1da584d398c9d124d9d588c4f82e9ab4.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3182018-02-13T13:12:44Z Approximation of classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions by Rogozinski polynomials Наближення класів $(\psi,\beta)$-диференційовних функцій поліномами Рогозинського Kovalchuk, I. R. Ковальчук, І. Р. We obtained asymptotic equalities for the upper bounds of deviations of Rogozinski polynomials on the classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions in the uniform metric. Отримано асимптотичні рівності для верхніх меж відхилення поліномів Рогозинського на класах $(\psi,\beta)$-диференційовних функцій у рівномірній метриці. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/318 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 204-221 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 204-221 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 204-221 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/318/301 Авторське право (c) 2017 І. Р. Ковальчук |
| spellingShingle | Kovalchuk, I. R. Ковальчук, І. Р. Approximation of classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions by Rogozinski polynomials |
| title | Approximation of classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions by Rogozinski polynomials |
| title_alt | Наближення класів $(\psi,\beta)$-диференційовних функцій поліномами Рогозинського |
| title_full | Approximation of classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions by Rogozinski polynomials |
| title_fullStr | Approximation of classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions by Rogozinski polynomials |
| title_full_unstemmed | Approximation of classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions by Rogozinski polynomials |
| title_short | Approximation of classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions by Rogozinski polynomials |
| title_sort | approximation of classes of $(\psi,\beta)$-differentiable functions by rogozinski polynomials |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/318 |
| work_keys_str_mv | AT kovalchukir approximationofclassesofpsibetadifferentiablefunctionsbyrogozinskipolynomials AT kovalʹčukír approximationofclassesofpsibetadifferentiablefunctionsbyrogozinskipolynomials AT kovalchukir nabližennâklasívpsibetadiferencíjovnihfunkcíjpolínomamirogozinsʹkogo AT kovalʹčukír nabližennâklasívpsibetadiferencíjovnihfunkcíjpolínomamirogozinsʹkogo |