Approximations of the Padé type for some special series of two variables
Two–dimensional Pade ´ type approximants are constructed and studied for some special power series using method of generalized moment representations.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/32 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552553390014464 |
|---|---|
| author | Veselovska, G. M. Веселовская, Г. М. Веселовська, Г. М. |
| author_facet | Veselovska, G. M. Веселовская, Г. М. Веселовська, Г. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. М. Веселовська",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Veselovska, G. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | Two–dimensional Pade ´ type approximants are constructed and studied for some special power series using method of generalized moment representations. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 47–68
УДК 517.983.27
Апроксимацiї типу Паде для деяких
спецiальних рядiв двох змiнних
Г.М. Веселовська
Iнститут математики НАН України, Київ; anaweseka@gmail.com
Two–dimensional Padé type approximants are constructed and studied for
some special power series using method of generalized moment representa-
tions.
С помощью метода обобщенных моментных изображений построены
и изучены двумерные аппроксимант типа Паде для некоторых специ-
альных степенных рядов
У статтях [3], [4], [5], [6], [10] на основi поширення методу уза-
гальнених моментних зображень В.К. Дзядика [2], [7] на випадок
двовимiрних числових послiдовностей побудовано апроксиманти ти-
пу Паде для низки спецiальних рядiв двох змiнних. В основi вказаних
дослiджень лежить наступний результат.
Теорема 1. ( [3]) Нехай для коефiцiєнтiв формального степеневого
ряду двох змiнних вигляду
𝑓(𝑧, 𝑤) =
∞∑︁
𝑘,𝑚=0
𝑠𝑘,𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚 (1)
має мiсце узагальнене моментне зображення на добутку лiнiйних
просторiв 𝒳 × 𝒴 за бiлiнiйною формою ⟨., .⟩
𝑠𝑘+𝑗,𝑚+𝑛 = ⟨𝑥𝑘,𝑚, 𝑦𝑗,𝑛⟩, 𝑘, 𝑗,𝑚, 𝑛 ∈ ℤ+. (2)
c○ Веселовська Г.М., 2016
48 Веселовська Г.М.
Тодi, якщо при деяких 𝑁1, 𝑁2 ∈ ℕ iснує узагальнений полiном
𝑋𝑁1,𝑁2
=
𝑁1∑︁
𝑘=0
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑘,𝑚 𝑥𝑘,𝑚 (3)
з вiдмiнним вiд нуля старшим коефiцiєнтом 𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1,𝑁2
, для якого ви-
конуються умови бiортогональностi
⟨𝑋𝑁1,𝑁2
, 𝑦𝑗,𝑛⟩ = 0 (4)
при (𝑗 +𝑁1, 𝑛+𝑁2) ∈ ℤ+ ∩𝐷Φ, де 𝐷Φ = {(𝑢, 𝑡) ∈ ℝ2
+ : Φ(𝑢, 𝑡) ≤ 0}, а
функцiя Φ : ℝ2
+ → ℝ має такi властивостi:
1. 𝐷Φ — обмежена множина в ℝ2
+;
2. потужнiсть множини 𝐷Φ ∩ {(𝑢, 𝑡) ∈ ℤ2
+ : 𝑢 ≥ 𝑁1, 𝑡 ≥ 𝑁2}
дорiвнює (𝑁1 + 1)(𝑁2 + 1)− 1;
3. рiвняння Φ(𝑢, 𝑡) = 0 можна однозначно розв’язати вiдносно 𝑡
при 𝑢 ≤ 𝑁1 та вiдносно 𝑢 при 𝑡 ≤ 𝑁2. При цьому для вiдповiд-
них розв’язкiв 𝑡 = 𝜙(𝑢) та 𝑢 = 𝜓(𝑡) мають мiсце нерiвностi
𝜙(𝑢) ≥ 𝑁2 ∀𝑢 ≤ 𝑁1 та 𝜓(𝑡) ≥ 𝑁1 ∀ 𝑡 ≤ 𝑁2,
то рацiональна функцiя
[𝒩/𝒟]𝑓 (𝑧, 𝑤) =
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤)
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤)
, (5)
де
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤) =
𝑁1∑︁
𝑘=0
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−𝑘,𝑁2−𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚, (6)
а
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤) =
𝑁1−1∑︁
𝑘=0
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑚∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−𝑗,𝑁2−𝑛𝑠𝑘−𝑗,𝑚−𝑛+
+𝑧𝑁1
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
[𝜓(𝑚)]−𝑁1∑︁
𝑘=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑁1∑︁
𝑗=0
𝑚∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑗,𝑁2−𝑛 𝑠𝑘+𝑗,𝑚−𝑛+
+ 𝑤𝑁2
𝑁1−1∑︁
𝑘=0
[𝜙(𝑘)]−𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑁2∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−𝑗,𝑛 𝑠𝑘−𝑗,𝑚+𝑛 (7)
Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох . . . 49
де [𝜌]— цiла частина вiд числа 𝜌, матиме розвинення у степеневий
ряд, коефiцiєнти якого спiвпадатимуть з коефiцiєнтами ряду (1)
для ∀(𝑘,𝑚) ∈ ℤ2
+ ∩𝐷Φ.
Нагадаємо, що для двовимiрної числової послiдовностi {𝑠𝑘,𝑚}∞𝑘,𝑚=0
має мiсце узагальнене моментне зображення на добутку деяких лiнiй-
них просторiв 𝒳 × 𝒴 за бiлiнiйною формою ⟨., .⟩, якщо у просторi 𝒳
вказано двовимiрну послiдовнiсть елементiв {𝑥𝑘,𝑚}∞𝑘,𝑚=0 , а у просто-
рi 𝒴 — двовимiрну послiдовнiсть елементiв {𝑦𝑗,𝑛}∞𝑗,𝑛=0 такi, що
𝑠𝑘+𝑗,𝑚+𝑛 = ⟨𝑥𝑘,𝑚, 𝑦𝑗,𝑛⟩, 𝑘, 𝑗,𝑚, 𝑛 ∈ ℤ+. (8)
Як вiдомо (див. [3]), двовимiрнi узагальненi моментнi зображення
можуть бути записанi у операторному виглядi. А саме, у випадку
коли простори 𝒳 та 𝒴 — нормованi i у просторi 𝒳 iснують обмеженi
лiнiйнi оператори 𝐴1, 𝐴2 : 𝒳 → 𝒳 , якi комутують мiж собою, i такi,
що:
𝐴1𝑥𝑘,𝑚 = 𝑥𝑘+1,𝑚,
𝐴2𝑥𝑘,𝑚 = 𝑥𝑘,𝑚+1,
для всiх 𝑘,𝑚 ∈ ℤ+, а у просторi 𝒴 iснують лiнiйнi обмеженi оператори
𝐴*
1, 𝐴
*
2 : 𝒴 → 𝒴 такi, що
⟨𝐴1𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥,𝐴*
1𝑦⟩,
⟨𝐴2𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥,𝐴*
2𝑦⟩,
для ∀𝑥 ∈ 𝒳 ,∀𝑦 ∈ 𝒴, то зображення (8) можна подати в операторному
виглядi:
𝑠𝑘,𝑚 = ⟨𝐴𝑘1𝐴𝑚2 𝑥0,0, 𝑦0,0⟩, 𝑘,𝑚 ∈ ℤ+. (9)
Поставимо у вiдповiднiсть двовимiрнiй числовiй послiдовностi
{𝑠𝑘,𝑚}∞𝑘,𝑚=0 формальний степеневий ряд вiд двох змiнних:
𝑓(𝑧, 𝑤) =
∞∑︁
𝑘,𝑚=0
𝑠𝑘,𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚. (10)
Зображення коефiцiєнтiв 𝑠𝑘,𝑚 у виглядi (9) дає змогу модифiку-
вати подання функцiї (10):
𝑓(𝑧, 𝑤) = ⟨ℛ𝑧(𝐴1)ℛ𝑤(𝐴2)𝑥0,0, 𝑦0,0⟩, (11)
50 Веселовська Г.М.
де резольвентна функцiя ℛ𝑤 оператора 𝐴 визначається рiвнiстю
ℛ𝑤(𝐴) = (𝐼 − 𝑤𝐴)
−1.
Нехай 𝒳 ,𝒴 — нормованi простори. I нехай простори 𝒳 ,𝒴, бiлi-
нiйна форма < ., . > на 𝒳 × 𝒴, оператор 𝐴 : 𝒳 → 𝒳 , елементи̃︀𝑥0 ∈ 𝒳 та ̃︀𝑦0 ∈ 𝒴 є такими, що системи елементiв {̃︀𝑥𝑘 = 𝐴𝑘̃︀𝑥0}∞𝑘=0
та {̃︀𝑦𝑗 = 𝐴*𝑗̃︀𝑥0}∞𝑗=0 є лiнiйно незалежними в просторах 𝒳 та 𝒴 вiдпо-
вiдно i допускають невироджену бiортогоналiзацiю вiдносно форми
< ., . >, так що iснують системи елементiв { ̃︀𝑋𝑁}∞𝑁=0 та {̃︀𝑌𝑀}∞𝑀=0,
для яких виконуються наступнi умови
̃︀𝑋𝑁 =
𝑁∑︁
𝑘=0
̃︀𝑐(𝑁)
𝑘 ̃︀𝑥𝑘, ̃︀𝑐(𝑁)
𝑘 ̸= 0, 𝑁 = 0,∞,
̃︀𝑌𝑀 =
𝑀∑︁
𝑗=0
̃︀𝑐(𝑀)
𝑗 ̃︀𝑦𝑗 , ̃︀𝑐(𝑁)
𝑗 ̸= 0,𝑀 = 0,∞,
⟨ ̃︀𝑋𝑁 , ̃︀𝑌𝑀 ⟩ = 𝛿𝑁,𝑀 , 𝑁,𝑀 = 0,∞,
Розглянемо в просторi 𝒳 лiнiйнi оператори
𝐴1 = 𝐴, 𝐴2 = 𝐴2 + 𝛼𝐴, (12)
де 𝛼 – деяке дiйсне число, а 𝐴 – обмежений оператор.
I нехай двовимiрна числова послiдовнiсть {𝑠𝑘,𝑚}∞𝑘,𝑚=0 має узагаль-
нене моментне зображення
𝑠𝑘+𝑗,𝑚+𝑛 = ⟨𝑥𝑘,𝑚, 𝑦𝑗,𝑛⟩, 𝑘,𝑚, 𝑗, 𝑛 ∈ ℤ+,
де
𝑥𝑘,𝑚 = 𝐴𝑘1𝐴
𝑚
2 ̃︀𝑥0, 𝑘,𝑚 ∈ ℤ+,
𝑦𝑗,𝑛 = 𝐴*𝑗
1 𝐴
*𝑛
2 ̃︀𝑦0, 𝑗, 𝑛 ∈ ℤ+.
Для того, щоб отримати для вище означених операторiв представ-
лення функцiй у вигляду (11), використаємо наступнi леми.
Лема 1. Нехай 𝒳 – лiнiйний нормований простiр, 𝐴 : 𝒳 → 𝒳 —
обмежений лiнiйний оператор. Тодi в усiх точках регулярностi ре-
зольвентних функцiй ℛ𝑧(𝐴) та ℛ𝑤(𝐴
2 + 𝛼𝐴) справджується рiв-
нiсть
ℛ𝑧(𝐴)ℛ𝑤(𝐴
2 + 𝛼𝐴) =
=
1
𝛼𝑧𝑤 − 𝑧2 + 𝑤
(︀
−𝑧2ℛ𝑧(𝐴) + 𝑤(𝛼𝑧 + 𝑧𝐴+ 1)ℛ𝑤(𝐴
2 + 𝛼𝐴)
)︀
. (13)
Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох . . . 51
Доведення. Якщо до обох частин (13) застосувати оператор(︀
𝛼𝑧𝑤 − 𝑧2 + 𝑤
)︀
(𝐼 − 𝑧𝐴)
(︀
𝐼 − 𝑤(𝐴2 + 𝛼𝐴)
)︀
,
то отримаємо
𝛼𝑧𝑤 − 𝑧2 + 𝑤 = −𝑧2
(︀
𝐼 − 𝑤(𝐴2 + 𝛼𝐴)
)︀
+ 𝑤(𝛼𝑧 + 𝑧𝐴+ 1)(𝐼 − 𝑧𝐴) =
= 𝛼𝑧𝑤 − 𝑧2 + 𝑤.
Оскiльки отримана рiвнiсть є очевидною, а 𝑧 та 𝑤 є регулярними
точками вiдповiдних резольвентних функцiй, то i початкова рiвнiсть
має мiсце.
Лема 2. Нехай виконуються умови леми 1. Тодi у всiх точках ре-
гулярностi резольвентної функцiї ℛ𝑤(𝐴
2 + 𝛼𝐴) справджується рiв-
нiсть
ℛ𝑤(𝐴
2 + 𝛼𝐴) =
= − 2
𝑤
√︀
𝛼2 + 4/𝑤
(︃
ℛ𝛼1
(𝐴)
−𝛼+
√︀
𝛼2 + 4/𝑤
+
ℛ𝛼2
(𝐴)
𝛼+
√︀
𝛼2 + 4/𝑤
)︃
, (14)
де 𝛼1,2 = 2
−𝛼±
√
𝛼2+4/𝑤
.
Використовуючи леми 1 та 2 i спiввiдношення (11),
𝑓(𝑧, 𝑤) =
1
𝛼𝑧𝑤 − 𝑧2 + 𝑤
(︀
−𝑧2⟨ℛ𝑧(𝐴)𝑥0,0, 𝑦0,0⟩+
+
2(𝛼𝑧 + 1)√︀
𝛼2 + 4/𝑤
(︃
⟨ℛ𝛼1
(𝐴)𝑥0,0, 𝑦0,0⟩
−𝛼+
√︀
𝛼2 + 4/𝑤
+
⟨ℛ𝛼2
(𝐴)𝑥0,0, 𝑦0,0⟩
𝛼+
√︀
𝛼2 + 4/𝑤
)︃
+ (15)
+
2𝑧√︀
𝛼2 + 4/𝑤
(︃
⟨𝐴 · ℛ𝛼1(𝐴)𝑥0,0, 𝑦0,0⟩
−𝛼+
√︀
𝛼2 + 4/𝑤
+
⟨𝐴 · ℛ𝛼2(𝐴)𝑥0,0, 𝑦0,0⟩
𝛼+
√︀
𝛼2 + 4/𝑤
)︃)︃
.
Визначимо спiввiдношення для елементiв 𝑥𝑘,𝑚 при вказаному ви-
борi операторiв 𝐴1 та 𝐴2.
𝑥𝑘,𝑚 = 𝐴1
𝑘𝐴2
𝑚𝑥0,0 = 𝐴𝑘(𝐴2 + 𝛼𝐴)
𝑚
𝑥0,0 =
= 𝐴𝑘
𝑚∑︁
𝑙=0
(︂
𝑚
𝑙
)︂
(𝐴2)𝑚−𝑙(𝛼𝐴)𝑙𝑥0,0 =
𝑚∑︁
𝑙=0
(︂
𝑚
𝑙
)︂
𝛼𝑙𝐴2𝑚+𝑘−𝑙𝑥0,0. (16)
52 Веселовська Г.М.
Аналогiчне представлення буде справедливе для елементiв 𝑦𝑗,𝑛.
Згiдно з теоремою 1 для побудови апроксимант типу Паде функцiї
𝑓 , зображуваної рядом
𝑓(𝑧, 𝑤) =
∞∑︁
𝑘,𝑚=0
𝑠𝑘,𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚,
потрiбно побудувати бiортогональнi полiноми
𝑋𝑁1,𝑁2
=
𝑁1∑︁
𝑘=0
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐𝑁1,𝑁2
𝑘,𝑚 𝑥𝑘,𝑚,
такi що
⟨𝑋𝑁1,𝑁2
, 𝑦𝑗,𝑛⟩ = 0
для (𝑗, 𝑛) ∈ ([0, 𝑁1]× [0, 𝑁2]) ∖{(𝑁1, 𝑁2)}.
Легко бачити, що з точнiстю до постiйного множника
𝑋𝑁1,𝑁2 = ̃︀𝑋𝑁1+2𝑁2 .
З цiєї рiвностi коефiцiєнти полiнома 𝑋𝑁1,𝑁2
можуть бути знайденi
неоднозначно.
Для визначеностi будемо, наприклад, покладати
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑘,𝑚 = 0, при (𝑘,𝑚) ∈ [0, 𝑁1 − 2]× [1, 𝑁2].
Тодi отримаємо
𝑁1−2∑︁
𝑘=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑘,0 𝐴𝑘 +𝐴𝑁1−1
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−1,𝑚(𝐴2 + 𝛼𝐴)𝑚+
+𝐴𝑁1
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1,𝑚
(𝐴2 + 𝛼𝐴)𝑚 =
𝑁1+2𝑁2∑︁
𝑟=0
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟 𝐴𝑟.
Звiдси,
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑘,0 = ̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟 при 𝑘 = 0, 𝑁1 − 1.
I далi маємо
𝑁2∑︁
𝑚=1
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−1,𝑚(𝐴2 + 𝛼𝐴)𝑚+
Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох . . . 53
Рис 1. Область 𝒟.
+𝐴
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1,𝑚
(𝐴2 + 𝛼𝐴)𝑚 =
𝑁1+2𝑁2∑︁
𝑟=𝑁1
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟 𝐴𝑟−𝑁1+1.
Отримуємо
𝐴(𝐴+ 𝛼)
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−1,𝑚+1𝐴
𝑚(𝐴+ 𝛼)𝑚+
+𝐴
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1,𝑚
𝐴𝑚(𝐴+ 𝛼)𝑚 = 𝐴
2𝑁2∑︁
𝑟=0
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
𝐴𝑟
Звiдси,
(𝐴+ 𝛼)
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−1,𝑚+1𝐴
𝑚(𝐴+ 𝛼)𝑚+
+
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1,𝑚
𝐴𝑚(𝐴+ 𝛼)𝑚 =
2𝑁2∑︁
𝑟=0
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
𝐴𝑟.
Отриману рiвнiсть можна розглядати як формальне спiввiдноше-
ння, що виконується за умови спiвпадання вiдповiдних коефiцiєнтiв
при степенях оператора 𝐴 в лiвiй та правiй частинi рiвностi.
Введемо позначення 𝐴2 + 𝛼𝐴 = 𝐵.
Тодi
𝐴 = −𝛼
2
± 1
2
√︀
𝛼2 + 4𝐵.
54 Веселовська Г.М.
Тому, якщо у отриману рiвнiсть замiсть 𝐴 поставити
−𝛼
2 + 1
2
√
𝛼2 + 4𝐵, то вона повинна бути також справедливою в розу-
мiннi спiвпадання коефiцiєнтiв при степенях 𝐵.
(𝐴+ 𝛼)
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−1,𝑚+1𝐵
𝑚+
+
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1,𝑚
𝐵𝑚 =
2𝑁2∑︁
𝑟=0
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
𝐴𝑟.
Позначимо
𝐸𝑁2−1(𝐵) =
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−1,𝑚+1𝐵
𝑚, 𝐷𝑁2(𝐵) =
𝑁2∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−1,𝑚𝐵
𝑚.
Будемо мати
(︂
𝛼
2
+
1
2
√︀
𝛼2 + 4𝐵
)︂
𝐸𝑁2−1(𝐵) +𝐷𝑁2(𝐵) =
=
2𝑁2∑︁
𝑟=0
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
𝑟∑︁
𝑙=0
(︂
𝑟
𝑙
)︂
1
2𝑟
(𝛼2 + 4𝐵)𝑙/2(−𝛼)𝑟−𝑙 =
=
2𝑁2∑︁
𝑙=0
(︂
− 1
𝛼
)︂𝑙
(𝛼2 + 4𝐵)𝑙/2
2𝑁2∑︁
𝑟=𝑙
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
𝑙
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
=
=
𝑁2∑︁
𝑙=0
1
𝛼2𝑙
(𝛼2 + 4𝐵)𝑙
2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
−
−
√︀
𝛼2 + 4𝐵
𝑁2−1∑︁
𝑙=0
1
𝛼2𝑙+1
(𝛼2 + 4𝐵)𝑙
2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙+1
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙 + 1
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
.
Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох . . . 55
Отже,
𝛼
2
𝐸𝑁2−1(𝐵) +𝐷𝑁2
(𝐵) =
=
𝑁2∑︁
𝑙=0
1
𝛼2𝑙
(𝛼2 + 4𝐵)𝑙
2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
,
𝛼
2
𝐸𝑁2−1(𝐵) = −
𝑁2−1∑︁
𝑙=0
1
𝛼2𝑙+1
(𝛼2 + 4𝐵)𝑙
2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙+1
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
×
×
(︂
𝑟
2𝑙 + 1
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
.
Друга з цих рiвностей дає можливiсть визначити коефiцiєнти полi-
нома 𝐸𝑁2−1(𝐵).
𝐸𝑁2−1(𝐵) =
= −2
𝑁2−1∑︁
𝑙=0
1
𝛼2𝑙+1
(𝛼2 + 4𝐵)𝑙
2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙+1
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙 + 1
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
=
= −2
𝑁2−1∑︁
𝑙=0
1
𝛼2𝑙+1
𝑙∑︁
𝑝=0
(︂
𝑙
𝑝
)︂
(4𝐵)𝑝𝛼2(𝑙−𝑝)×
×
2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙+1
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙 + 1
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
=
= −2
𝑁2−1∑︁
𝑝=0
(4𝐵)𝑝
1
𝛼2𝑝+1
𝑁2−1∑︁
𝑙=𝑝
(︂
𝑙
𝑝
)︂ 2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙+1
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙 + 1
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
.
56 Веселовська Г.М.
З першої рiвностi отримуємо вигляд полiнома 𝐷𝑁2
(𝐵).
𝐷𝑁2(𝐵) = −𝛼
2
𝐸𝑁2−1(𝐵)+
+
𝑁2∑︁
𝑙=0
1
𝛼2𝑙
(𝛼2 + 4𝐵)𝑙
2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
=
= 𝛼
𝑁2−1∑︁
𝑝=0
(4𝐵)𝑝
1
𝛼2𝑝+1
𝑁2−1∑︁
𝑙=𝑝
(︂
𝑙
𝑝
)︂ 2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙+1
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙 + 1
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
+
+
𝑁2∑︁
𝑙=0
1
𝛼2𝑙
𝑙∑︁
𝑝=0
(︂
𝑙
𝑝
)︂
(4𝐵)𝑝𝛼2(𝑙−𝑝)
2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
=
=
𝑁2−1∑︁
𝑝=0
(︂
2
𝛼
)︂2𝑝
𝐵𝑝
𝑁2−1∑︁
𝑙=𝑝
(︂
𝑙
𝑝
)︂ 2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙+1
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙 + 1
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
+
𝑁2∑︁
𝑝=0
(︂
2
𝛼
)︂2𝑝
𝐵𝑝
𝑁2∑︁
𝑙=𝑝
(︂
𝑙
𝑝
)︂ 2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
.
Отже,
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−1,𝑚 = −
(︂
2
𝛼
)︂2𝑚−1 𝑁2−1∑︁
𝑙=𝑚−1
(︂
𝑙
𝑚− 1
)︂ 2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙+1
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
×,
×
(︂
𝑟
2𝑙 + 1
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
, 𝑚 = 1, 𝑁2,
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1,𝑚
=
(︂
2
𝛼
)︂2𝑚
(︃
𝑁2−1∑︁
𝑙=𝑚
(︂
𝑙
𝑚
)︂ 2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙+1
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙 + 1
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟
+
+
𝑁2∑︁
𝑙=𝑚
(︂
𝑙
𝑚
)︂ 2𝑁2∑︁
𝑟=2𝑙
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︂
𝑟
2𝑙
)︂(︁
−𝛼
2
)︁𝑟)︃
. (17)
Загалом, ми отримаємо наступнi спiввiдношення для коефiцiєн-
тiв 𝑐(𝑁1,𝑁2)
𝑘,𝑚 :
Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох . . . 57
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑘,𝑚 =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0, при (𝑘,𝑚) ∈ [0, 𝑁1 − 2]× [1, 𝑁2];
̃︀𝑐𝑁1+2𝑁2
𝑘 , при 𝑘 = 0, 𝑁1 − 1,𝑚 = 0;
−
(︀
2
𝛼
)︀2𝑚−1∑︀𝑁2−1
𝑙=𝑚−1
(︀
𝑙
𝑚−1
)︀∑︀2𝑁2
𝑟=2𝑙+1 ̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
×,
×
(︀
𝑟
2𝑙+1
)︀ (︀
−𝛼
2
)︀𝑟
, при 𝑘 = 𝑁1 − 1, 𝑚 = 1, 𝑁2;(︀
2
𝛼
)︀2𝑚 (︁∑︀𝑁2−1
𝑙=𝑚
(︀
𝑙
𝑚
)︀∑︀2𝑁2
𝑟=2𝑙+1 ̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︀
𝑟
2𝑙+1
)︀ (︀
−𝛼
2
)︀𝑟
+
+
∑︀𝑁2
𝑙=𝑚
(︀
𝑙
𝑚
)︀∑︀2𝑁2
𝑟=2𝑙 ̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑟+𝑁1
(︀
𝑟
2𝑙
)︀ (︀
−𝛼
2
)︀𝑟)︁
,
при 𝑘 = 𝑁1, 𝑚 = 1, 𝑁2.
(18)
Тодi застосування теореми 1 з Φ(𝑢, 𝑡) = 𝑢+ 2𝑡− 2𝑁1 − 4𝑁2 + 1 до
функцiї вигляду (15) дасть наступний результат.
Теорема 2. Нехай 𝒳 та 𝒴 — банаховi простори, ⟨., .⟩ — роздiль-
но неперервна бiлiнiйна форма, визначена на декартовому добутку
𝒳 × 𝒴, 𝐴 : 𝒳 → 𝒳 — обмежений лiнiйний оператор.
Тодi для функцiї аналiтичної функцiї 𝑓 вигляду (15) при 𝑁1 ≥ 1,
𝑁2 ≥ 0 рацiональна функцiя
[𝒩/𝒟]𝑓 (𝑧, 𝑤) =
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤)
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤)
, (19)
де
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤) = 𝑤𝑁2
𝑁1∑︁
𝑘=0
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑁1−𝑘 𝑧𝑘 +
1∑︁
𝑘=0
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑘+2𝑚∑︁
𝑙=0
(−1)𝑙𝛼𝑙×
×
(︂
𝑁2 − (𝑘 +𝑚) + 𝑙
𝑙
)︂̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑁1+2𝑁2−(𝑘+2𝑚)+𝑙𝑧
𝑘𝑤𝑚, (20)
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤) =
1∑︁
𝑘=0
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑚∑︁
𝑛=0
𝑗+2𝑛∑︁
𝑙=0
(−1)𝑙𝛼𝑙
(︂
𝑁2 − (𝑗 + 𝑛) + 𝑙
𝑙
)︂
×
×̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑁1+2𝑁2−(𝑗+2𝑛)+𝑙𝑠𝑘−𝑗,𝑚−𝑛+𝑧
𝑁1
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑁1+4𝑁2−2𝑚−1∑︁
𝑘=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑁1∑︁
𝑗=𝑁1−1
𝑚∑︁
𝑛=0
×
×
𝑁1−𝑗+2𝑛∑︁
𝑙=0
(−1)𝑙𝛼𝑙
(︂
𝑗 +𝑁2 + 𝑙 − (𝑁1 + 𝑛)
𝑙
)︂̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑗+2(𝑁2−𝑛)+𝑙𝑠𝑘+𝑗,𝑚−𝑛+
58 Веселовська Г.М.
+𝑤𝑁2
1∑︁
𝑘=0
𝑁2+[(2𝑁1−𝑗−1)/2∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑁2∑︁
𝑛=1
2𝑁2+𝑗−2𝑛∑︁
𝑙=0
(−1)𝑙𝛼𝑙
(︂
2𝑛− 𝑗 + 𝑙
𝑙
)︂
×
× ̃︀𝑐𝑁1+2𝑁2
𝑁1−𝑗+2𝑛+𝑙𝑠𝑘−𝑗,𝑚+𝑛 + 𝑤𝑁2
𝑁1−1∑︁
𝑘=0
𝑁2+[(2𝑁1−𝑗−1)/2]∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚×
×
𝑘∑︁
𝑗=0
̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑁1−𝑗 𝑠𝑘−𝑗,𝑚, (21)
де коефiцiєнти 𝑐(𝑁1,𝑁2)
𝑘,𝑚 визначаються рiвнiстю (18), матиме розви-
нення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого спiвпадатимуть iз кое-
фiцiєнтами розвинення функцiї (15) для всiх (𝑘,𝑚) ∈ {(𝑘,𝑚) ∈ ℤ2
+ :
𝑘 + 2𝑚 ≤ 2𝑁1 + 4𝑁2 − 1}.
Нехай тепер 𝒳 = 𝒴 = 𝐿2([0, 1], 𝑑𝜇) — простiр функцiй, сумовних з
квадратом за мiрою 𝑑𝜇, де 𝜇 — неспадна функцiя, що має нескiнчен-
ну кiлькiсть точок зростання на [0,1]. Розглянемо в цьому просторi
оператор множення на незалежну змiнну
(𝐴𝜙)(𝑡) = 𝑡𝜙(𝑡), 𝜙 ∈ 𝒳 .
Бiлiнiйну форму на добутку просторiв 𝒳×𝒴 визначимо наступним
чином
⟨𝑥, 𝑦⟩ =
1∫︁
0
𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)𝑑𝜇.
Також будемо вважати, що
𝑥0,0(𝑡) = 𝑦0,0(𝑡) ≡ 1.
Тодi
(ℛ𝑧(𝐴)𝜙) (𝑡) =
𝜙(𝑡)
1− 𝑧𝑡
,
а
𝑥𝑘,𝑚(𝑡) = 𝑦𝑘,𝑚(𝑡) =
𝑚∑︁
𝑙=0
(︂
𝑚
𝑙
)︂
𝛼𝑙𝑡2𝑚+𝑘−𝑙, 𝑘,𝑚 ∈ ℤ+,
та
𝑠𝑘,𝑚 =
∫︁ 1
0
𝑚∑︁
𝑙=0
(︂
𝑚
𝑙
)︂
𝛼𝑙𝑡2𝑚+𝑘−𝑙𝑑𝜇(𝑡) =
𝑚∑︁
𝑙=0
(︂
𝑚
𝑙
)︂
𝛼𝑙
∫︁ 1
0
𝑡2𝑚+𝑘−𝑙𝑑𝜇(𝑡).
Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох . . . 59
Функцiя 𝑓 в даному випадку буде представлена таким чином
𝑓(𝑧, 𝑤) =
1
𝛼𝑧𝑤 − 𝑧2 + 𝑤
(︂
−𝑧2
∫︁ 1
0
𝑑𝜇(𝑡)
1− 𝑧𝑡
+
+𝑤
∫︁ 1
0
𝛼𝑧 + 𝑧𝑡+ 1
1− 𝑤(𝑡2 + 𝛼𝑡)
𝑑𝜇(𝑡)
)︂
. (22)
Узагальнений полiном (3) буде алгебраїчним многочленом степе-
ня 𝑁1 + 2𝑁2 i спiвпадатиме з точнiстю до постiйного множника з
многочленом, ортонормованим на [0,1] за вагою 𝑑𝜇.
Таким чином, для функцiї вигляду (22) згiдно з теоремою 2 мо-
жуть бути побудованi апроксиманти типу Паде вигляду (19)–(21), в
яких коефiцiєнти ̃︀𝑐(𝑁1+2𝑁2)
𝑘 є коефiцiєнтами вiдповiдного ортонормо-
ваного многочлена.
Зокрема, при
𝑑𝜇(𝑡) = 𝑡𝜈(1− 𝑡)𝜎𝑑𝑡, 𝜈, 𝜎 > −1
будемо мати
𝑠𝑘,𝑚 =
∫︁ 1
0
𝑚∑︁
𝑙=0
(︂
𝑚
𝑙
)︂
𝛼𝑙𝑡2𝑚+𝑘−𝑙+𝜈(1− 𝑡)𝜎𝑑𝑡 =
=
𝑚∑︁
𝑙=0
(︂
𝑚
𝑙
)︂
𝛼𝑙
Γ(2𝑚+ 𝑘 − 𝑙 + 𝜈 + 1)Γ(𝜎 + 1)
Γ(2𝑚+ 𝑘 − 𝑙 + 𝜈 + 𝜎 + 2)
.
Тодi функцiя 𝑓 матиме вигляд
𝑓(𝑧, 𝑤) =
∞∑︁
𝑘,𝑚=0
𝑠𝑘,𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚 =
=
∞∑︁
𝑘,𝑚=0
(︃
𝑚∑︁
𝑙=0
(︂
𝑚
𝑙
)︂
𝛼𝑙
Γ(2𝑚+ 𝑘 − 𝑙 + 𝜈 + 1)Γ(𝜎 + 1)
Γ(2𝑚+ 𝑘 − 𝑙 + 𝜈 + 𝜎 + 2)
)︃
𝑧𝑘𝑤𝑚. (23)
Слiд зауважити, що при 𝛼 = 0
𝑠𝑘,𝑚 = 𝐶
(𝜈 + 1)𝑘+2𝑚
(𝜈 + 𝜎)𝑘+2𝑚
.
60 Веселовська Г.М.
Згiдно з означенням Горна 𝑓(𝑧, 𝑤) =
∑︀∞
𝑘,𝑚=0 𝑠𝑘,𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚 буде гiпер-
геометричним рядом двох змiнних [8], оскiльки
𝑠𝑘+1,𝑚
𝑠𝑘,𝑚
= (𝑘,𝑚) =
𝜈 + 𝑘 + 2𝑚+ 1
𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 2
,
𝑠𝑘,𝑚+1
𝑠𝑘,𝑚
= 𝑔(𝑘,𝑚) =
(𝜈 + 𝑘 + 2𝑚+ 1)(𝜈 + 𝑘 + 2𝑚+ 2)
(𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 2)(𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 3)
є рацiональними функцiями вiд 𝑘 та 𝑚 (див. [1, с. 218]).
Оскiльки можна зобразити у виглядi
(𝑘,𝑚) =
(𝑘 + 1)(𝜈 + 𝑘 + 2𝑚+ 1)
(𝑘 + 1)(𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 2)
,
a 𝑔 у виглядi
𝑔(𝑘,𝑚) =
(𝑚+ 1)(𝜈 + 𝑘 + 2𝑚+ 1)(𝜈 + 𝑘 + 2𝑚+ 2)
(𝑚+ 1)(𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 2)(𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 3)
,
то це буде гiпергеометричний ряд третього порядку.
При 𝛼 = −1
𝑠𝑘,𝑚 = 𝐶(−1)𝑚
(𝜈 + 1)𝑘+𝑚(𝜎 + 1)𝑚
(𝜈 + 𝜎 + 2)𝑘+2𝑚
,
де символ Похгаммера визначається спiввiдношенням
(𝑎)𝑘 =
{︂
1, 𝑘 = 0
𝑎(𝑎+ 1) . . . (𝑎+ 𝑘 − 1), 𝑘 = 1, 2, . . .
Тому будемо мати
(𝑘,𝑚) =
𝑠𝑘+1,𝑚
𝑠𝑘,𝑚
=
𝜈 + 𝑘 +𝑚+ 1
𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 2
=
=
(𝑘 + 1)(𝜈 + 𝑘 +𝑚+ 1)
(𝑘 + 1)(𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 2)
,
𝑔(𝑘,𝑚) =
𝑠𝑘,𝑚+1
𝑠𝑘,𝑚
= − (𝜈 + 𝑘 +𝑚+ 1)(𝜎 +𝑚+ 1)
(𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 2)(𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 3)
=
=
(𝑚+ 1)(𝜈 + 𝑘 +𝑚+ 1)(𝜎 +𝑚+ 1)
(𝑚+ 1)(𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 2)(𝜈 + 𝜎 + 𝑘 + 2𝑚+ 3)
,
Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох . . . 61
i отже, вiдповiдна функцiя 𝑓 також буде гiпергеометричним рядом
третього порядку.
При цьому полiноми ̃︀𝑋𝑁 будуть зсунутими ортогональними на [0,1]
многочленами Якобi, коефiцiєнти яких (див. [9, с. 581]) дорiвнюють
̃︀𝑐(𝑁)
𝑘 = (−1)𝑁−𝑘
(︂
𝑁
𝑘
)︂
Γ(𝑁 + 𝑘 + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑘 + 𝜈 + 1)
, 𝑘 = 1, 𝑁. (24)
Звiдси та з формули (18) маємо
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑘,𝑚 =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0, при (𝑘,𝑚) ∈ [0, 𝑁1 − 2]× [1, 𝑁2];
(−1)𝑁1+2𝑁2−𝑘
(︀
𝑁1+2𝑁2
𝑘
)︀Γ(𝑁1+2𝑁2+𝑘+𝜎+𝜈+1)
Γ(𝑘+𝜈+1) ,
при 𝑘 = 0, 𝑁1 − 1,𝑚 = 0;∑︀𝑁1+2𝑁2−(𝑘+2𝑚)
𝑙=0 (−1)𝑁1+2𝑁2−(𝑘+2𝑚)𝛼𝑙
(︀
𝑘+𝑚+𝑙−𝑁1
𝑙
)︀
×
×
(︀
𝑁1+2𝑁2
𝑘+2𝑚+𝑙
)︀Γ(𝑁1+2𝑁2+𝑘+2𝑚+𝑙+𝜎+𝜈+1)
Γ(𝑘+2𝑚+𝑙+𝜈+1) ,
при (𝑘,𝑚) ∈ ([𝑁1 − 1, 𝑁1]× [0, 𝑁2]) ∖{(𝑁1 − 1, 0)}.
(25)
Теорема 3. Для функцiй вигляду (23) при при 𝑁1 ≥ 1, 𝑁2 ≥ 0 ра-
цiональна функцiя вигляду
[𝒩/𝒟]𝑓 (𝑧, 𝑤) =
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤)
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤)
, (26)
де
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤) =
= 𝑤𝑁2
𝑁1∑︁
𝑘=0
(−1)2𝑁2+𝑘
(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑁1 − 𝑘
)︂
Γ(2(𝑁1 +𝑁2)− 𝑘 + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑁1 − 𝑘 + 𝜈 + 1)
𝑧𝑘+
+
1∑︁
𝑘=0
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
(−1)𝑘+2𝑚
𝑘+2𝑚∑︁
𝑙=0
𝛼𝑙
(︂
𝑁2 − (𝑘 +𝑚) + 𝑙
𝑙
)︂
×
×
(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑁1 + 2𝑁2 − (𝑘 +𝑚) + 𝑙
)︂
×
× Γ(2(𝑁1 + 2𝑁2)− (𝑘 + 2𝑚) + 𝑙 + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑁1 +𝑁2 − (𝑘 +𝑚) + 𝑙 + 𝜈 + 1)
𝑧𝑘𝑤𝑚, (27)
62 Веселовська Г.М.
а
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤) =
1∑︁
𝑘=0
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑚∑︁
𝑛=0
(−1)𝑗+2𝑛
𝑗+2𝑛∑︁
𝑙=0
𝛼𝑙×
×
(︂
𝑁2 − (𝑗 + 𝑛) + 𝑙
𝑙
)︂(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑁1 + 2𝑁2 − (𝑗 + 𝑛) + 𝑙
)︂
×
× Γ(2(𝑁1 + 2𝑁2)− (𝑘 + 2𝑚) + 𝑙 + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑁1 +𝑁2 − (𝑘 +𝑚) + 𝑙 + 𝜈 + 1)
𝑠𝑘−𝑗,𝑚−𝑛+
+ 𝑧𝑁1
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑁1+4𝑁2−2𝑚−1∑︁
𝑘=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑁1∑︁
𝑗=𝑁1−1
𝑚∑︁
𝑛=0
(−1)𝑁1−𝑗+2𝑛
𝑁1−𝑗+2𝑛∑︁
𝑙=0
𝛼𝑙×
×
(︂
𝑁2 −𝑁1 + 𝑗 − 𝑛+ 𝑙
𝑙
)︂(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑗 + 2(𝑁2 − 𝑛) + 𝑙
)︂
×
× Γ(𝑁1 + 4𝑁2 + 𝑗 − 2𝑛+ 𝑙 + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑗 + 2(𝑁2 − 𝑛) + 𝑙 + 𝜈 + 1)
𝑠𝑘+𝑗,𝑚−𝑛+
+ 𝑤𝑁2
1∑︁
𝑘=0
𝑁2+[(2𝑁1−𝑘−1)/2∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑁2∑︁
𝑛=1
(−1)2(𝑁2−𝑛)+𝑗
2(𝑁2−𝑛)+𝑗∑︁
𝑙=0
𝛼𝑙×
×
(︂
𝑛− 𝑗 + 𝑙
𝑙
)︂(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑁1 − 𝑗 + 2𝑛+ 𝑙
)︂
×
× Γ(2(𝑁1 +𝑁2)− 𝑗 + 2𝑛+ 𝑙 + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑁1 − 𝑗 + 2𝑛+ 𝑙 + 𝜈 + 1)
𝑠𝑘−𝑗,𝑚+𝑛+
+ 𝑤𝑁2
𝑁1−1∑︁
𝑘=0
𝑁2+[(2𝑁1−𝑘−1)/2∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚×
×
𝑘∑︁
𝑗=0
(−1)2𝑁2+𝑗
(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑁1 − 𝑗
)︂
Γ(2(𝑁1 +𝑁2)− 𝑗 + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑁1 − 𝑗 + 𝜈 + 1)
𝑠𝑘−𝑗,𝑚,
(28)
матиме розклад у степеневий ряд коефiцiєнти якого спiвпадати-
муть з коефiцiєнтами ряду (23) для всiх (𝑘,𝑚) ∈ {(𝑘,𝑚) ∈ ℤ2
+ :
𝑘 + 2𝑚 ≤ 2𝑁1 + 4𝑁2 − 1}.
Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох . . . 63
Тепер для деяких 𝛼, 𝛽 ∈ [0, 1) розглянемо лiнiйнi нормованi про-
стори 𝒳𝛼 та 𝒴𝛽
𝒳𝛼 =
{︁
𝑥(𝑡) : sup
𝑡∈[0,1]
|𝑥(𝑡) 𝑡𝛼| <∞
}︁
,
𝒴𝛽 =
{︁
𝑦(𝑡) : sup
𝑡∈[0,1]
|𝑦(𝑡)(1− 𝑡)𝛽 | <∞
}︁
,
норми в яких визначаються спiввiдношенням
‖𝑥‖𝒳𝛼
= sup
𝑡∈[0,1]
|𝑥(𝑡) 𝑡𝛼|,
||𝑦||𝒴𝛽
= sup
𝑡∈[0,1]
|𝑦(𝑡)(1− 𝑡)𝛽 |.
Розглянемо в просторi 𝒳𝛼 лiнiйний обмежений оператор iнтегру-
вання
(𝐴𝜙) (𝑡) =
∫︁ 𝑡
0
𝜙(𝜏)𝑑𝜏,
a у просторi 𝒴𝛽 оператор 𝐴* : 𝒴𝛽 → 𝒴𝛽 ,
(𝐴*𝜓) (𝑡) =
∫︁ 1
𝑡
𝜓(𝜏)𝑑𝜏,
який буде спряженим до оператора 𝐴 вiдносно бiлiнiйної форми
⟨𝜙,𝜓⟩ =
∫︁ 1
0
𝜙(𝑡)𝜓(𝑡)𝑑𝑡. (29)
Неважко пiдрахувати резольвентну функцiю оператора 𝐴 (див.
напр., [2, с. 35–36])
(ℛ𝑧(𝐴)𝜙) (𝑡) = 𝜙(𝑡) + 𝑧
∫︁ 𝑡
0
𝜙(𝜏)𝑒𝑧(𝑡−𝜏)𝑑𝜏.
Покладемо також
̃︀𝑥0(𝑡) = 𝑥0,0(𝑡) = 𝑡𝜈 , 𝜈 > −𝛼,
̃︀𝑦0(𝑡) = 𝑦0,0(𝑡) = (1− 𝑡)𝜎, 𝜎 > −𝛽.
64 Веселовська Г.М.
Тодi згiдно з (16)
𝑥𝑘,𝑚(𝑡) =
𝑚∑︁
𝑙=0
(︂
𝑚
𝑙
)︂
𝛼𝑙
𝑡2𝑚+𝑘−𝑙+𝜈
(𝜈 + 1)2𝑚+𝑘−𝑙
, 𝑘,𝑚 ∈ ℤ+,
𝑦𝑗,𝑛(𝑡) =
𝑛∑︁
𝑙=0
(︂
𝑛
𝑙
)︂
𝛼𝑙
(1− 𝑡)2𝑛+𝑗−𝑙+𝜎
(𝜎 + 1)2𝑛+𝑗−𝑙
, 𝑗, 𝑛 ∈ ℤ+.
При цьому
𝑠𝑘,𝑚 =
𝑚∑︁
𝑙=0
(︂
𝑚
𝑙
)︂
𝛼𝑙
(𝜈 + 1)2𝑚+𝑘−𝑙
· Γ(2𝑚+ 𝑘 − 𝑙 + 𝜈 + 1)Γ(𝜎 + 1)
Γ(2𝑚+ 𝑘 − 𝑙 + 𝜈 + 𝜎 + 2)
,
a функцiя 𝑓 матиме вигляд
𝑓(𝑤, 𝑧) =
∞∑︁
𝑘,𝑚=0
𝑠𝑘,𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚 =
=
∞∑︁
𝑘,𝑚=0
(︃
𝑚∑︁
𝑙=0
(︂
𝑚
𝑙
)︂
𝛼𝑙
(𝜈 + 1)2𝑚+𝑘−𝑙
· Γ(2𝑚+ 𝑘 − 𝑙 + 𝜈 + 1)Γ(𝜎 + 1)
Γ(2𝑚+ 𝑘 − 𝑙 + 𝜈 + 𝜎 + 2)
)︃
×
× 𝑧𝑘𝑤𝑚. (30)
Аналогiчно попередньому випадку, коефiцiєнти 𝑐𝑁1,𝑁2
𝑘,𝑚 можна визна-
чити наступним чином
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑘,𝑚 =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0, при (𝑘,𝑚) ∈ [0, 𝑁1 − 2]× [1, 𝑁2];
̃︀𝑐𝑟(𝜈 + 1)𝑟, при 𝑘 = 0, 𝑁1 − 1,𝑚 = 0;∑︀𝑁1+2𝑁2−(𝑘+2𝑚)
𝑙=0 (−1)𝑙𝛼𝑙
(︀
𝑘+𝑚+𝑙−𝑁1
𝑙
)︀ ̃︀𝑐𝑘+2𝑚+𝑙
(𝜈+1)𝑘+2𝑚+𝑙
,
при (𝑘,𝑚) ∈ [𝑁1 − 1, 𝑁1]× [0, 𝑁2]∖{(0, 𝑁1 − 1)}
(31)
Звiдси отримуємо:
Теорема 4. Для функцiй вигляду (30) при 𝑁1 ≥ 1, 𝑁2 ≥ 0 рацiо-
нальна функцiя вигляду
[𝒩/𝒟]𝑓 (𝑧, 𝑤) =
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤)
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤)
, (32)
Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох . . . 65
де
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤) = 𝑤𝑁2
𝑁1∑︁
𝑘=0
(−1)2𝑁2+𝑘(𝜈 + 1)𝑁1−𝑘+𝑙
(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑁1 − 𝑘 + 𝑙
)︂
×
× Γ(2(𝑁1 +𝑁2)− 𝑘 + 𝑙 + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑁1 − 𝑘 + 𝜈 + 1)
𝑧𝑘 +
1∑︁
𝑘=0
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
(−1)𝑘+2𝑚×
×
𝑘+2𝑚∑︁
𝑙=0
𝛼𝑙
(𝜈 + 1)𝑁1+2𝑁2−(𝑘+2𝑚)+𝑙
(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑁1 + 2𝑁2 − (𝑘 + 2𝑚) + 𝑙
)︂
𝑧𝑘𝑤𝑚,
(33)
а
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤) =
1∑︁
𝑘=0
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑚∑︁
𝑛=0
(−1)𝑗+2𝑛×
×
𝑗+2𝑛∑︁
𝑙=0
𝛼𝑙
(𝜈 + 1)𝑁1+2𝑁2−(𝑗+2𝑛)+𝑙
(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑁1 + 2𝑁2 − (𝑗 + 2𝑛) + 𝑙
)︂
×
× Γ(2(𝑁1 + 2𝑁2)− (𝑗 + 2𝑛) + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑁1 + 2𝑁2 − (𝑗 + 2𝑛) + 𝜈 + 1)
𝑠𝑘−𝑗,𝑚−𝑛+
+ 𝑧𝑁1
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑁1+4𝑁2−2𝑚−1∑︁
𝑘=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑁1∑︁
𝑗=𝑁1−1
𝑚∑︁
𝑛=0
(−1)𝑁1−𝑗+2𝑛×
×
𝑁1−𝑗+2𝑛∑︁
𝑙=0
𝛼𝑙
(𝜈 + 1) 𝑗+2(𝑁2−𝑚)+𝑙
(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑗 + 2(𝑁2 −𝑚) + 𝑙
)︂
×
× Γ(𝑁1 + 4𝑁2 + 𝑗 − 2𝑛+ 𝑙 + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑗 + 2(𝑁2 −𝑚) + 𝑙 + 𝜈 + 1)
𝑠𝑘+𝑗,𝑚−𝑛+
+ 𝑤𝑁2
1∑︁
𝑘=0
𝑁2+[(2𝑁1−𝑘−1)/2]∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑁2∑︁
𝑛=1
(−1)2(𝑁2−𝑛)+𝑗×
×
2(𝑁2−𝑛)+𝑗∑︁
𝑙=0
𝛼𝑙
(𝜈 + 1)𝑁1−𝑗+2𝑛+𝑙
(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑁1 − 𝑗 + 2𝑛+ 𝑙
)︂
×
× Γ(2(𝑁1 +𝑁2) + 𝑗 − 2𝑛+ 𝑙 + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑁1 − 𝑗 + 2𝑛) + 𝑙 + 𝜈 + 1)
𝑠𝑘−𝑗,𝑚+𝑛+
66 Веселовська Г.М.
+ 𝑤𝑁2
𝑁1−1∑︁
𝑘=0
𝑁2+[(2𝑁2−𝑘−1)/2∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
(−1)2𝑁2+𝑗(𝜈 + 1)𝑁1−𝑗+𝑙×
×
(︂
𝑁1 + 2𝑁2
𝑁1 − 𝑗 + 𝑙
)︂
Γ(2(𝑁1 +𝑁2)− 𝑗 + 𝑙 + 𝜎 + 𝜈 + 1)
Γ(𝑁1 − 𝑗 + 𝜈 − 1)
𝑠𝑘−𝑗,𝑚, (34)
матиме розклад у степеневий ряд коефiцiєнти якого спiвпадати-
муть з коефiцiєнтами ряду (30) для всiх (𝑘,𝑚) ∈ {(𝑘,𝑚) ∈ ℤ2
+ :
𝑘 + 2𝑚 ≤ 2𝑁1 + 4𝑁2 + 1}.
Щоб проiлюструвати отриманi результати, розглянемо частинний
випадок теореми 5 при 𝛼 = 𝜈 = 𝜎 = 0. Тодi функцiя 𝑓 матиме вигляд
𝑓(𝑧, 𝑤) = − 1
𝑧2 − 𝑤
[︁ (︀
cosh
√
𝑤 − exp 𝑧
)︀
𝑧 +
√
𝑤 sinh
√
𝑤
]︁
. (35)
Рис 2. Графiк функцiї (35), апроксиманти (36) та частинної суми (37).
Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох . . . 67
Покладемо 𝑁1 = 2, 𝑁2 = 1. Отримаємо рацiональну апроксимацiю
[𝒩/𝒟]𝑓 (𝑧, 𝑤) =
(︀
70− 4.320583 · 103𝑤 − 525𝑧 − 1.589583 · 103𝑧𝑤−
− 268.333333𝑧2 − 90.416667𝑧3 − 22.75𝑧4 − 4.569444𝑧5 − 0.763889𝑧6−
− 0.109375𝑧7 + 457.25𝑧2𝑤 + 95.430556𝑧3𝑤 + 15.236111𝑧4𝑤
1.890625𝑧5𝑤 + 720.583333𝑤2 + 36.013889𝑤3 + 95.430556𝑤2𝑧+
+1.890625𝑤3𝑧
)︀
·
(︀
70− 560𝑧 + 4.32 · 103𝑤 − 480𝑧𝑤 + 24𝑧2𝑤
)︀−1
. (36)
Порiвняємо значення наближуваної функцiї (35), частинної суми
степеневого ряду
2∑︁
𝑘=0
1∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
(𝑘 + 2𝑚+ 1)!
(37)
та побудованої нами апроксиманти (36) у точках квадрата [0; 0.8] ×
[0; 0.8].
Вiдповiдно, отримаємо значення функцiй в Таблицi 1 та графi-
ки функцiй на Рис. 2, якi показують, що в бiльшостi точок квадра-
та [0; 0.8]× [0; 0.8], апроксиманта, побудована методому двовимiрних
узагальнених моментних зображень, наближає функцiю краще нiж
частинна сума її степеневого ряду.
[1] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипер-
геометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука,1965. —
648 c.
[2] Голуб А. П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде.—
К.: Iн-т математики НАНУ, 2002.— 222 с.
[3] Голуб А. П., Чернецька Л. О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зобра-
ження та рацiональнi апроксимацiї функцiй двох змiнних // Укр. мат.
журн. — 2013. — Vol. 65, no. 8 — С. 1035 – 1058.
[4] Голуб А. П., Чернецька Л. О. Побудова апроксимант Паде для деяких
гiпергеометричних рядiв Аппеля за допомогою методу узагальнених
моментних зображень // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi пи-
тання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2013. — Vol. 10,
no. 1 — С. 69 – 94.
[5] Голуб А. П., Чернецька Л. О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зо-
браження та апроксимацiї Паде деяких рядiв Гумберта // Укр. мат.
журн. — 2013. — Vol. 65, no. 10 — С. 1315 – 1331.
68 Веселовська Г.М.
𝑤/𝑧 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.0
1.033668 1.068013 1.103043 1.138769
1 1.031293 1.065535 1.100503 1.136154
1 1.033333 1.066667 1.1 1.133333
0.2
1.107014 1.142429 1.178544 1.215368 1.252911
1.107014 1.139362 1.175505 1.212284 1.249739
1.106667 1.141733 1.1768 1.211867 1.246933
0.4
1.229562 1.266872 1.304907 1.343676 1.383189
1.229562 1.261973 1.300322 1.339036 1.378388
1.226667 1.2636 1.300533 1.337467 1.3744
0.6
1.370198 1.409568 1.449689 1.490569 1.532221
1.370197 1.400544 1.441972 1.48286 1.524251
1.36 1.398933 1.437867 1.4768 1.515733
0.8
1.531926 1.573538 1.615928 1.659106 1.703082
1.531919 1.555366 1.60251 1.646063 1.689731
1.506667 1.547733 1.5888 1.629867 1.670933
Таблиця 1. Таблиця значень функцiї (35), апроксиманти (36) та частинної
суми (37).
[6] Голуб А. П., Веселовська Г. М. Двовимiрнi апроксиманти типу Паде
для деяких аналiтичних функцiй двох змiнних // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН Укра-
їни. — 2014. — Vol. 11, no. 3 — С. 71 – 77.
[7] Дзядик В. К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН
УРСР. — 1981. — Vol. 6. — С. 8–12.
[8] Садыков Т. М., Цих А. К. Гипергеометрические и алгебраические
функции многих переменных. — М.: Наука, 2014. — 408 с.
[9] Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица,
И. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 832 с.
[10] Чернецька Л. О. Побудова двовимiрних апроксимант Паде деяких
аналiтичних функцiй двох змiнних за допомогою методу узагальне-
них моментних зображень // Мат. студiї. — 2014. — Vol. 11, no. 2 —
С. 201 – 213.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-32 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:16Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c5/c493dcaa4b4e9c5076956abb20d81dc5.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-322018-02-13T11:57:10Z Approximations of the Padé type for some special series of two variables Аппроксимации типа Паде для некоторых специальных рядов двух переменных Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох змiнних Veselovska, G. M. Веселовская, Г. М. Веселовська, Г. М. Two–dimensional Pade ´ type approximants are constructed and studied for some special power series using method of generalized moment representations. С помощью метода обобщенных моментных изображений построены и изучены двумерные аппроксимации типа Паде для некоторых специальных степенных рядов. За допомогою методу узагальнених моментних зображень побудовані і вивчені двовимірні апроксимації типу Паде для деяких спеціальних степеневих рядів. Інститут математики НАН України 2016-11-29 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/32 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 47-68 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 47-68 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 47-68 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/32/38 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Veselovska, G. M. Веселовская, Г. М. Веселовська, Г. М. Approximations of the Padé type for some special series of two variables |
| title | Approximations of the Padé type for some special series of two variables |
| title_alt | Аппроксимации типа Паде для некоторых специальных рядов двух переменных Апроксимацiї типу Паде для деяких спецiальних рядiв двох змiнних |
| title_full | Approximations of the Padé type for some special series of two variables |
| title_fullStr | Approximations of the Padé type for some special series of two variables |
| title_full_unstemmed | Approximations of the Padé type for some special series of two variables |
| title_short | Approximations of the Padé type for some special series of two variables |
| title_sort | approximations of the padé type for some special series of two variables |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/32 |
| work_keys_str_mv | AT veselovskagm approximationsofthepadetypeforsomespecialseriesoftwovariables AT veselovskaâgm approximationsofthepadetypeforsomespecialseriesoftwovariables AT veselovsʹkagm approximationsofthepadetypeforsomespecialseriesoftwovariables AT veselovskagm approksimaciitipapadedlânekotoryhspecialʹnyhrâdovdvuhperemennyh AT veselovskaâgm approksimaciitipapadedlânekotoryhspecialʹnyhrâdovdvuhperemennyh AT veselovsʹkagm approksimaciitipapadedlânekotoryhspecialʹnyhrâdovdvuhperemennyh AT veselovskagm aproksimaciítipupadedlâdeâkihspecialʹnihrâdivdvohzminnih AT veselovskaâgm aproksimaciítipupadedlâdeâkihspecialʹnihrâdivdvohzminnih AT veselovsʹkagm aproksimaciítipupadedlâdeâkihspecialʹnihrâdivdvohzminnih |