Finding a source of fractional diffusion equation
We study the inverse Cauchy problem to a time-space fractional diffusion equation. This problem is to find a time-dependent continuous part of a source and the Cauchy problem's solution, classical in time with values in Bessel potentials spaces.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/320 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552827388166144 |
|---|---|
| author | Lopushansky, A. O. Lopushanska, G. P. Лопушанський, А. О. Лопушанська, Г. П. |
| author_facet | Lopushansky, A. O. Lopushanska, G. P. Лопушанський, А. О. Лопушанська, Г. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. О. Лопушанський",
"institution": "Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника"
},
{
"author": "Г. П. Лопушанська",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
}
] |
| author_sort | Lopushansky, A. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We study the inverse Cauchy problem to a time-space fractional diffusion equation. This problem is to find a time-dependent continuous part of a source and the Cauchy problem's solution, classical in time with values in Bessel potentials spaces. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 240–252
УДК 517.95
А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
Прикарпатський нацiональний унiверситет iменi Василя
Стефаника, Iвано-Франкiвськ, Львiвський нацiональний
унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв;
alopushanskyj@gmail.com, lhp@ukr.net
Визначення правої частини рiвняння
дифузiї з дробовими похiдними
We study the inverse Cauchy problem to a time-space fractional di-
ffusion equation. This problem is to find a time-dependent continuous
part of a source and the Cauchy problem’s solution, classical in time
with values in Bessel potentials spaces.
Дослiджено обернену задачу Кошi для рiвняння дифузiї з дро-
бовими похiдними. Це задача визначення залежної вiд часу не-
перервної компоненти правої частини рiвняння i розв’язку задачi
Кошi, класичного за часом зi значеннями в просторах беселевих
потенцiалiв.
1. Вступ
Елiптичнi й параболiчнi крайовi задачi з узагальненими фун-
кцiями у правих частинах активно вивчаються (див. [1–8] та бi-
блiографiю), зокрема, в [6] побудована теорiя елiптичних, а в [5]
c© А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська, 2017
Визначення правої частини рiвняння дифузiї... 241
– параболiчних крайових задач у гiльбертових шкалах просто-
рiв Хермандера-Волєвiча-Панеяха [8, 9] (у гiльбертовому випад-
ку простори Хермандера та Волєвiча-Панеяха збiгаються), до-
ведено теореми про пiдвищену регулярнiсть розв’язку у таких
просторах. Вiдомо розширення класiв даних, за яких задачi до-
пускають регулярнi в областi розв’язки (див., наприклад, [2, c.
137–148], [10]).
Умови класичної розв’язностi крайових задач для рiвняння
Dβ
t u(x, t)− a2∆u(x, t) = F (x, t), a2 = const > 0
з регуляризованою похiдною дробового порядку β ∈ (0, 1) одер-
жанi в [11 – 13]. Фундаментальнi розв’язки рiвнянь вiдiграють
важливу роль у вивченнi задачi Кошi та крайових задач у кла-
сах гладких та узагальнених функцiй. Деякi зображення, оцiнки
та iншi властивостi фундаментальних розв’язкiв рiвнянь iз дро-
бовими похiдними за часом та функцiй Грiна задач Кошi для
таких рiвнянь одержанi в [10], [14–23] та iнших працях. Викори-
стовуючи властивостi функцiї Грiна [17, 18], автор [24] одержав
iснування i єдинiсть розв’язку u задачi Кошi
Dβ
t u+ a2(−∆)α/2u = F0(x, t), a2 = const > 0,
u(x, 0) = F1(x), x ∈ Rn, t ∈ (0, T ]
у класах
Cα,β
(
[0, T ];Hs,p(Rn)
)
(β ∈ (0, 1), α > β, α 6= β, s ∈ R, p > 1)
функцiй зi значеннями в просторах беселевих потенцiалiв [9], не-
перервних за часом разом iз Dβ
t u, (−∆)α/2u. Тут (−∆)α/2 визна-
чено за допомогою перетворення Фур’є:
F [(−∆)α/2ψ] = |ξ|αF [ψ].
У цiй роботi вивчаємо обернену задачу Кошi визначення за-
лежної вiд часу неперервної компоненти правої частини такого
242 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
рiвняння при iнших заданих у правих частинах функцiях iз про-
сторiв беселевих потенцiалiв. Зауважимо, що оберненим задачам
визначення правих частин рiвнянь при регулярних даних при-
свячено найбiльше праць (див. [25, 26] та бiблiографiю), зокре-
ма, у [27 – 29] у випадку рiвняння дифузiї з дробовою похiдною
за часом використана iнтегральна умова перевизначення, уза-
гальнення якої пропонуємо у цiй працi.
Робота складається з чотирьох пунктiв. Пунктом 1 є вступ.
У пунктi 2 введено позначення та означення, якi використовую-
ться в роботi. У пунктi 3 одержано основний результат роботи.
Заключний пункт 4 мiстить висновки до роботи.
2. Основнi позначення та означення
Надалi вважаємо, що Q = Rn × (0, T ], S(Rn) – простiр швидко
спадаючих на безмежностi нескiнченно диференцiйовних функ-
цiй [30], S′(Rn) – простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв
(узагальнених функцiй) на S(Rn).
Нагадаємо, що регуляризована похiдна дробового порядку
β ∈ (0, 1) визначається формулою
Dβ
t v(x, t) =
1
Γ(1− β)
[ ∂
∂t
t∫
0
v(x, τ)
(t− τ)β
dτ − v(x, 0)
tβ
]
.
Позначаємо через f∗g згортку функцiй f та g, через
F = Fx→ξ — оператор перетворення Фур’є за просторовими змiн-
ними x ∈ Rn, для s ∈ R, p > 1
Hs,p(Rn) =
{
v ∈ S′(Rn) :
‖v‖s,p =
∥∥F−1[(1 + |ξ|2)
s
2F [v]
]∥∥
Lp(Rn) < +∞
}
Визначення правої частини рiвняння дифузiї... 243
– простiр беселевих потенцiалiв [9], [32, c. 79],
C
(
[0, T ];Hs,p(Rn)
)
=
=
{
v : ‖v‖C([0,T ];Hs,p(Rn)) = max
t∈[0,T ]
‖v(·, t)‖Hs,p(Rn) < +∞
}
– простiр неперервних функцiй v : [0, T ] 3 t 7−→ v(·, t) ∈ Hs,p(Rn),
Cb
(
(0, T ];Hs,p(Rn)
)
=
=
{
v : ‖v‖Cb((0,T ];Hs,p(Rn)) = sup
t∈(0,T ]
‖v(·, t)‖Hs,p(Rn) < +∞
}
,
Cα,β
(
[0, T ];Hs,p(Rn)
)
=
=
{
v ∈ C
(
[0, T ];Hs+α,p(Rn)
)
: Dβ
t v,∆v ∈ Cb
(
(0, T ];Hs,p(Rn)
)}
з нормою
‖v‖Cα,β([0,T ];Hs,p(Rn)) = max
{
‖v‖C([0,T ];Hs+α,p(Rn)),
‖(−∆)α/2v‖Cb((0,T ];Hs,p(Rn)), ‖D
β
t v‖Cb((0,T ];Hs,p(Rn))
}
,
Cα,β(Q̄) =
{
v ∈ C(Q̄) : (−∆)α/2v,Dβ
t v ∈ C(Q)
}
.
Вивчаємо задачу
Dβ
t u+ a2(−∆)α/2u = F0(x)g(t), (x, t) ∈ Q, (1)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Rn, (2)
(u(·, t), ϕ0(·)) = Φ(t), t ∈ [0, T ], (3)
яка полягає у знаходженнi пари функцiй (u, g): узагальненого
розв’язку u задачi Кошi (1), (2), класичного за часом iз значен-
нями в просторах беселевих потенцiалiв, та g ∈ C[0, T ] за дода-
ткової умови – умови перевизначення (3).
244 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
Тут i далi (v, ϕ0) – скалярний добуток в L2(Rn) елементiв
v ∈ Hs,p(Rn) i ϕ0 ∈ H−s,p
′
(Rn), де 1
p + 1
p′ = 1 (простiр Hs,p(Rn)
можна ототожнити зi спряженим до H−s,p
′
(Rn) в сенсi такого
скалярного добутку [32, c. 80]).
Припущення:
(A) β ∈ (0, 1], α > β, θ ∈ (0, 1), 1 < p < 1
1−βθ , s ∈ R,
F0 ∈ Hs+αθ,p(Rn), F1 ∈ Hs+α,p(Rn);
(B) Φ, DβΦ ∈ C[0, T ], ϕ0 ∈ H−s,p
′
(Rn), (F0, ϕ0) 6= 0.
Означення 1. Пара
(u, g) ∈ Cα,β
(
[0, T ];Hs,p(Rn)
)
× C[0, T ],
що задовольняє рiвняння (1) i умови (2), (3), називається розв’яз-
ком задачi (1)–(3).
Iз (2) та (3) випливає умова погодження даних задачi
(F1, ϕ0) = Φ(0). (4)
3. Розв’язок задачi
Означення 2. Вектор-функцiєю Грiна задачi (1), (2) назива-
ється така вектор-функцiя
(
G0(x, t), G1(x, t)
)
, що при достатньо
регулярних Fj , j = 0, 1 (обмежених, неперервних, якi задоволь-
няють умову Гельдера) функцiя
u(x, t) =
t∫
0
g(τ)dτ
∫
Rn
G0(x− y, t− τ)F0(y)g(τ)dy+
+
∫
Rn
G1(x− y, t)F1(y)dy, (x, t) ∈ Q
(5)
є класичним (iз Cα,β(Q̄)) розв’язком цiєї задачi.
Визначення правої частини рiвняння дифузiї... 245
Нехай
(Lv)(x, t) = Dβ
t v(x, t) + a2(−∆)α/2v(x, t), (x, t) ∈ Q.
З означення вектор-функцiї Грiна випливає, що
G1(x, t) =
t∫
0
f1−β(τ)G0(x, t− τ)dτ, (x, t) ∈ Q,
L((gF0) ∗G0)(x, t) = F0(x)g(t), (x, t) ∈ Q
L(F1 ∗G1)(x, t) = 0, (x, t) ∈ Q.
Iснування вектор-функцiї Грiна, однозначна розв’язнiсть за-
дачi (1), (2) у просторах типу D′ i Cα,β ([0, T ];Hs,p(Rn)) випливає
вiдповiдно з результатiв [18,31] та [24].
Теорема 1 ( [24]). За припущення (A) iснує єдиний розв’язок
u ∈ Cα,β ([0, T ];Hs,p(Rn)) задачi (1), (2). Вiн визначений форму-
лою
u(x, t) =
(
F0(x)g(t)
)
∗G0(x, t)+
+F1(x) ∗G1(x, t), (x, t) ∈ Q̄
(6)
i правильна нерiвнiсть
‖u‖Cα,β([0,T ];Hs,p(Rn)) ≤
≤ b0‖g‖C[0,T ]‖F0‖Hs+αθ,p(Rn) + b1‖F1‖Hs+α,p(Rn)
(7)
iз додатними сталими b0, b1.
Переходимо до дослiдження розв’язностi оберненої задачi.
З рiвняння (1) та умови (3) одержуємо
DβΦ(t) + a2
(
(−∆)α/2u(·, t), ϕ0(·)
)
=
= g(t)(F0, ϕ0), t ∈ [0, T ].
Нехай
ru(t) = a2
(
(−∆)α/2u(·, t), ϕ0(·)
)
.
246 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
Враховуючи припущення (B), з попередньої тотожностi зна-
ходимо функцiю
g(t) = gu(t) =
DβΦ(t)− ru(t)
(F0, ϕ0)
, t ∈ [0, T ]. (8)
Лема 1. За припущення (B) для всiх
s ∈ R, p > 1, u ∈ C
(
[0, T ];Hs+α,p(Rn)
)
визначена формулою (8) функцiя gu неперервна на [0, T ] i пра-
вильна оцiнка
|gu(t)| ≤
C1
∥∥u∥∥
C
(
[0,T ];Hs+α,p(Rn)
) + C2
|(F0, ϕ0)|
, t ∈ [0, T ],
де C1 = C1(ϕ0) = const > 0, C2 = ‖DβΦ‖C[0,T ].
Доведення. Для всiх t ∈ [0, T ] маємо
a2
∣∣((−∆)α/2u(·, t), ϕ0(·)
)∣∣ ≤
≤ a2‖(−∆)α/2u(·, t)‖Hs,p(Rn) ‖ϕ0‖H−s,p′ (Rn) =
= a2
∥∥∥F−1[|ξ|α(1 + |ξ|2)
s
2F [u(·, t)]
]∥∥∥
Lp(Rn)
∥∥ϕ0
∥∥
H−s,p′ (Rn) ≤
≤ C3
∥∥u(·, t)
∥∥
Hs+α,p(Rn)
∥∥ϕ0
∥∥
H−s,p′ (Rn) =
= C1
∥∥u(·, t)
∥∥
Hs+α,p(Rn), C3 = const > 0,
а тодi одержуємо
|ru(t)| ≤ C1
∥∥u∥∥
C
(
[0,T ];Hs+α,p(Rn)
) ∀t ∈ [0, T ].
Теорема 2. За припущень (A), (B) i (4) iснує єдиний розв’язок
(u, g) ∈ Cα,β
(
[0, T ];Hs,p(Rn)
)
× C[0, T ]
Визначення правої частини рiвняння дифузiї... 247
задачi (2)–(3): u визначена формулою
u(x, t) = v0(x, t)+
+
t∫
0
F0(·) ∗G0(·, t− τ)
DβΦ(τ)− r(τ)
(F0, ϕ0)
dτ, (x, t) ∈ Q,
(9)
g(t) =
DβΦ(t)− r(t)
(F0, ϕ0)
, t ∈ [0, T ], (10)
де
v0(x, t) = F1(x) ∗G1(x, t), (x, t) ∈ Q,
r(t) – розв’язок рiвняння
r(t) +
t∫
0
K(t, τ)r(τ)dτ = R(t), t ∈ [0, T ] (11)
з iнтегровним ядром
K(t, τ) =
a2
(
(−∆)α/2
(
F0(·) ∗G0(·, t− τ)
)
, ϕ0(·)
)
(F0, ϕ0)
,
R(t) = a2
(
(−∆)α/2v0(·, t), ϕ0(·)
)
+
+
t∫
0
K(t, τ)DβΦ(τ)dτ, t ∈ [0, T ].
Доведення. Пiдставляючи функцiю (10), неперервну за лемою
248 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
1, у (6) замiсть g(t), одержуємо (9). Тодi(
(−∆)α/2u(x, t), ϕ0(x)
)
=
=
(
(−∆)α/2v0(x, t), ϕ0(x)
)
+
+
t∫
0
(
(−∆)α/2
(
F0(·) ∗G0(·, t− τ)
)
, ϕ0(x)
)
×
×
[
DβΦ(τ)− r(τ)
]
(F0, ϕ0)
dτ,
тобто
r(t) = −
t∫
0
K(t, τ)r(τ)dτ +R(t), t ∈ [0, T ].
Одержали лiнiйне iнтегральне рiвняння Вольтерри другого
роду (11) вiдносно невiдомої r(t). Враховуючи теорему 1 i ле-
му 1, одержуємо, що функцiя R ∈ C[0, T ] i ядро K(t, τ) iнте-
гровне. Тому iснує єдиний неперервний розв’язок r(t) рiвняння
(11). Маючи r(t), знаходимо g ∈ C[0, T ] за формулою (10) та
u ∈ Cα,β
(
[0, T ];Hs,p(Rn)
)
за формулою (9).
Якщо (u1, g1), (u2, g2) – два розв’язки задачi (1)–(3), то при
u = u1 − u2, g = g1 − g2 маємо задачу
(Lu)(x, t) = g(t)F0(x), (x, t) ∈ Q,
u(x, 0) = 0, x ∈ R,
(u(·, t), ϕ0(·)) = 0, t ∈ [0, T ].
Як вище, знаходимо
g(t) = − r(t)
(F0, ϕ0)
, t ∈ [0, T ], (12)
u(x, t) = − 1
(F0, ϕ0)
t∫
0
F0(·) ∗G0(·, t− τ)r(τ)dτ, (13)
Визначення правої частини рiвняння дифузiї... 249
де r(t) – розв’язок лiнiйного однорiдного iнтегрального рiвняння
r(t) = −
t∫
0
K(t, τ)r(τ)dτ, t ∈ [0, T ].
За єдинiстю розв’язку цього рiвняння r(t) = 0, t ∈ [0, T ]. Тодi
g(t) = 0, t ∈ [0, T ] (за формулою (12)) та u = 0 в Q̄ (згiдно з
(13)).
4. Висновки
Доведено iснування та єдинiсть розв’язку оберненої задачi Кошi
для рiвняння дифузiї з дробовими похiдними: розв’язку зада-
чi Кошi, класичного за часовою змiнною t зi значеннями в усiй
шкалi просторiв беселевих потенцiалiв, i невiдомої, залежної вiд
часу, неперервної компоненти правої частини рiвняння.
Лiтература
[1] Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям само-
сопряженных операторов. – Киев: Наукова думка, 1965. – 800 с.
[2] Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифферен-
циально-операторных уравнений — Киев: Наукова думка, 1984. –
284 с.
[3] Ивасишен С. Д. Сопряженные операторы Грина и корректная ра-
зрешимость параболических граничных задач в негативных про-
странствах Гельдера // Дифференц. уравн. — 1984. — 20, № 3. —
С. 470–481.
[4] Лионс Ж.–Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и
их приложения. – Москва: Мир, 1971. – 372 с.
[5] Лось В. М., Мурач О. О. Параболiчнi мiшанi задачi для систем
Петровського у просторах узагальненої гладкостi // Доп. НАН
України. Матем. Природозн. Технiчнi науки. – 2014. – 10. – С.
24–32.
250 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
[6] Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интер-
поляция и эллиптические задачи. – Kиев: Ин-т математики НАН
Украины, 2010. – 372 с. (Доступна як arXiv:1106.3214.)
[7] Rojtberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of di-
stributions – Dordrecht: Kluver Acad. Publishers, 1996. – xii+415 p.
[8] Хермандер Э. К теории общих дифференциальных операторов в
частных производных. – Москва: Изд. иностр. лит., 1959. – 132 с.
[9] Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщен-
ных функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. – 1965. –
20, № 1. – С. 3–74.
[10] Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in
the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic
type. – Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser, 2004. – 390 p.
[11] Pshu A. V. Уравнения в частных производных дробного порядка.
– Москва: Наука, 2005.
[12] Luchko Yu. Boundary value problem for the generalized time-
fractional diffusion equation of distributed order // Frac. Calc. Appl.
Anal. — 2009. — 12, № 4. — P. 409–422.
[13] Meerschaert M. M., Erkan N., Vallaisamy P. Fractional Cauchy
problems on bounded domains // Ann. Probab. — 2009. — 37. —
P. 979–1007.
[14] Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциаль-
ные уравнения. – 1990. – 26, № 4. – C. 660–670.
[15] Кочубей А. Н., Эйдельман С. Д. Уравнения одномерной фра-
ктальной диффузии // Доп. НАН України. – 2003. – № 12. – C.
11–16.
[16] Ворошилов A. А., Килбас А. А. Условия существования классиче-
ского решения задачи Коши для дифуззионно-волнового уравне-
ния с частной производной Капуто // Доклады Академии Наук. –
2007. – 414, № 4. – C. 1–4.
[17] Anh V. V. and Leonenko N. N. Spectral analysis of fractional kinetic
equations with random datas // J. Statistical Physics. – 2001. – 104,
№ 5/6. – P. 1349–1387.
Визначення правої частини рiвняння дифузiї... 251
[18] Duan Jun Sh. Time- and space-fractional partial differential equations
// J. Math. Phis. – 2005. – 46 (013504).
[19] Baeumer B. and Meerschaert M. Stochastic solutions for fractional
Cauchy problems // Frac. Calc. Appl. Alal. – 2001. – 4. – P. 481–
500.
[20] Baeumer B., Kurita S., Meerschaert M. M. Inhomogeneous fractional
diffusion equations // Frac. Calc. Appl. Anal. – 2005. – 8, № 4. – P.
371–381.
[21] Gorenfio R., Iskenderov A., and Luchko Yu. Mapping between soluti-
ons of fractional diffusion-wave equations // Fract. Calc. Appl.
Anal. – 2000. – 3. – P. 75–86.
[22] Mainardi F., Luchko Yu., Pagnini G. The fundamental solution
of the space-time-fractional diffusion equation // Frac. Calc. Appl.
Anal. — 2001. — 4. — P. 153–192 [E-print http://arxiv.org/abs/cond-
mat/0702419]
[23] Metzler R., Nonnenmacher T. F. Space- and time-fractional diffusion
and wave equations, fractional Fokker-Planck equations, and physical
motivation // Chem. Phys. — 2002. — 284. — P. 67–90.
[24] Лопушанский А. О. Задача Коши для уравнения с дробными
производными в пространствах бесселевых потенциалов // Сиб.
мат. журн. – 2014. – 55, № 6. – С. 1089–1097.
[25] Alifanov O. M. Inverse Heat Transfer Problems. — New York: Wiley,
1994.
[26] Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A.Methods for solving inverse
problems in mathematical physics. – New York–Basel: Marcel Dekker
Inc., 2000.
[27] Aleroev T. S., Kirane M., Malik S. A. Determination of a
source term for a time fractional diffusion equation with an
integral type over-determination condition // Electronic J. of
Differential Equations. — 2013. — 2013, № 270. — P. 1-16.
http://ejde.math.txstate.edu/2013/270.
[28] Ismailov M. I. Inverse source problem for a time-fractional diffusion
equation with nonlocal boundary conditions // Applied Mathemati-
cal Modeling.— 2016. — 40, № 7/8. — P. 4891-4899.
252 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська
[29] Ismailov M. I., Kanca F., Lesnic D. Determination of a time-
dependent heat source under nonlocal boundary and integral
overdetermination conditions // Applied Mathematics and
Computation. — 2011. — 218, № 8. — P. 4138–4146.
[30] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – Москва:
Наука, 1981. – 512 с.
[31] Лопушанська Г. П., Лопушанський А. О. Задача Кошi для рiв-
нянь з дробовими похiдними за часовою та просторовими змiн-
ними в просторах узагальнених функцiй // Укр. матем. журн. —
2012. — 64, № 8. — С. 1067–1080.
[32] Функциональный анализ. Под общей ред. С. Г. Крейна. — Москва:
Наука, 1972. – 544 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-320 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:37Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/75/1c343cdb51392236bfb2f34d8a499975.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3202018-02-13T13:12:44Z Finding a source of fractional diffusion equation Визначення правої частини рівняння дифузії з дробовими похідними Lopushansky, A. O. Lopushanska, G. P. Лопушанський, А. О. Лопушанська, Г. П. We study the inverse Cauchy problem to a time-space fractional diffusion equation. This problem is to find a time-dependent continuous part of a source and the Cauchy problem's solution, classical in time with values in Bessel potentials spaces. Досліджено обернену задачу Коші для рівняння дифузії з дробовими похідними. Це задача визначення залежної від часу неперервної компоненти правої частини рівняння і розв'язку задачі Коші, класичного за часом зі значеннями в просторах беселевих потенціалів. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/320 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 240-252 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 240-252 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 240-252 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/320/303 Авторське право (c) 2017 А. О. Лопушанський, Г. П. Лопушанська |
| spellingShingle | Lopushansky, A. O. Lopushanska, G. P. Лопушанський, А. О. Лопушанська, Г. П. Finding a source of fractional diffusion equation |
| title | Finding a source of fractional diffusion equation |
| title_alt | Визначення правої частини рівняння дифузії з дробовими похідними |
| title_full | Finding a source of fractional diffusion equation |
| title_fullStr | Finding a source of fractional diffusion equation |
| title_full_unstemmed | Finding a source of fractional diffusion equation |
| title_short | Finding a source of fractional diffusion equation |
| title_sort | finding a source of fractional diffusion equation |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/320 |
| work_keys_str_mv | AT lopushanskyao findingasourceoffractionaldiffusionequation AT lopushanskagp findingasourceoffractionaldiffusionequation AT lopušansʹkijao findingasourceoffractionaldiffusionequation AT lopušansʹkagp findingasourceoffractionaldiffusionequation AT lopushanskyao viznačennâpravoíčastinirívnânnâdifuzíízdrobovimipohídnimi AT lopushanskagp viznačennâpravoíčastinirívnânnâdifuzíízdrobovimipohídnimi AT lopušansʹkijao viznačennâpravoíčastinirívnânnâdifuzíízdrobovimipohídnimi AT lopušansʹkagp viznačennâpravoíčastinirívnânnâdifuzíízdrobovimipohídnimi |