Approximation properties of multipoint boundary-value problems that are total with respect to the spaces $C^{(n)}$
We investigate approximation of the solutions to boundary-value problems that are total with respect to the spaces $C^{(n)}$ by solutions of the corresponding multipoint boundary-value problems.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/321 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552827623047168 |
|---|---|
| author | Masliuk, H. O. Soldatov, V. O. Маслюк, Г. О. Солдатов, В. О. |
| author_facet | Masliuk, H. O. Soldatov, V. O. Маслюк, Г. О. Солдатов, В. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. О. Маслюк",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
},
{
"author": "В. О. Солдатов",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Masliuk, H. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We investigate approximation of the solutions to boundary-value problems that are total with respect to the spaces $C^{(n)}$ by solutions of the corresponding multipoint boundary-value problems. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 253–264
УДК 517.927
Г.О. Маслюк 1, В.О. Солдатов 2
1 Нацiональний технiчний унiверситет України "Київський
полiтехнiчний iнститут iменi Iгоря Сiкорського", Київ;
masliukgo@ukr.net,
2 Iнститут математики НАН України, Київ;
soldatovvo@ukr.net, soldatov@imath.kiev.ua
Апроксимативнi властивостi
багатоточкових крайових задач,
тотальних щодо просторiв C(n)
We investigate approximation of the solutions to boundary-value
problems that are total with respect to the spaces C(n) by soluti-
ons of the corresponding multipoint boundary-value problems.
Дослiджено апроксимацiю розв’язкiв крайових задач, тотальних
щодо просторiв C(n), розв’язками вiдповiдних багатоточкових
крайових задач.
1. Вступ.
У недавнiх роботах [1 – 3] класи тотальних крайових задач щодо
комплексних просторiв C(n) := C(n)([a, b],Cm) для систем нео-
днорiдних звичайних диференцiальних рiвнянь першого [1] та
вищих порядкiв [2, 3]. На вiдмiну вiд звичайних крайових задач,
цей клас пов’язаний iз заданим функцiональним простором. А
c© Г. О. Маслюк, В. О. Солдатов, 2017
254 Маслюк Г.О., Солдатов В.О.
саме, розглянуто системи, у яких коефiцiєнти i правi частини на-
лежать простору (C(n))m, де 0 ≤ n ∈ Z. Враховуючи, що розв’яз-
ки z кожної такої системи пробiгають увесь простiр (C(n+r))m, де
1 ≤ r ∈ Z — порядок рiвнянь системи, розглядається найбiльш
загальна крайова умова у формi Bz = q, де B : (C(n+r))m → Cm
є довiльний лiнiйний неперервний оператор. Така умова може
мiстити похiднi розв’язку z(l), де 1 ≤ l ≤ n + r. Такi крайовi
задачi названо тотальними щодо простору C(n+r). Для таких за-
дач була встановлена їх фредгольмовiсть та був сформульований
критерiй неперервної залежностi їх розв’язкiв за параметром.
Зауважимо, що зокрема до класу тотальних щодо простору
C(n) крайових задач належать i некласичнi багатоточковi кра-
йовi задачi, якi були дослiдженi в [4, 5].
В роботi встановлена можливiсть апроксимацiї на скiнчен-
ному вiдрiзку за нормами просторiв C(n+1) i C(n+r) розв’язкiв
крайових задач, тотальних щодо цих функцiональних просторiв,
розв’язками вiдповiдних багатоточкових крайових задач.
2. Постановка задачi i основний результат.
Нехай задано скiнченний вiдрiзок [a, b] ⊂ R. Для довiльних цiлих
чисел n ≥ 0 i m ≥ 1 позначимо
C(n) := C(n)([a, b],C),
(C(n))m := C(n)([a, b],Cm),
(C(n))m×m := C(n)([a, b],Cm×m).
Таким чином, C(n) є банахiв простiр усiх n разiв неперервно ди-
ференцiйовних функцiй x : [a, b]→ C, надiлений нормою
‖x‖(n) :=
n∑
j=0
max
{
|x(j)(t)| : t ∈ [a, b]
}
.
Апроксимативнi властивостi багатоточкових крайових задач... 255
Аналогiчно, (C(n))m i (C(n))m×m є банаховi простори усiх n разiв
неперервно диференцiйовних вектор-функцiй y : [a, b] → Cm i
квадратних матриць-функцiй Y : [a, b] → Cm×m. Норми у цих
просторах є сумами норм у C(n) усiх компонент функцiї y або Y .
На вiдрiзку [a, b] розглянемо систему m лiнiйних звичайних
диференцiальних рiвнянь першого порядку
y′(t) = A(t)y(t) + f(t), t ∈ [a, b], (1)
де матриця-функцiя A(·) ∈ (C(n))m×m, вектор-функцiя f(·) ∈
(C(n))m, вектор c ∈ Cm, iз неоднорiдною крайовою умовою ви-
гляду
By(·) = c. (2)
Тут лiнiйний неперервний оператор
B : (C(n+1))m → Cm. (3)
Крайова умова (2) з неперервним оператором (3) є найбiльш
загальною для рiвняння (1), розв’язок якого належить простору
(C(n+1))m. Вона охоплює як усi класичнi види крайових умов
(умови задачi Кошi, багатоточковi умови, iнтегральнi умови,
умови мiшаних крайових задач), так i некласичнi умови, що мi-
стять похiднi шуканої функцiї, порядок яких досягає або пере-
вищує порядок рiвняння (1). Тому, за аналогiєю з роботами [1 –
3], крайову задачу вигляду (1), (2) називаємо тотальною щодо
простору (C(n+1))m.
Окрiм того, розглянута крайова умова (2) може набувати ви-
гляду
By(·) =
p∑
j=1
n+1∑
l=0
αj,ly(l)(aj) = c, t ∈ [a, b], (4)
де числовi матрицi αj,l ∈ Cm×m, a точки aj для всiх j ∈ {1, ... , p}
утворюють розбиття вiдрiзка [a, b]. Тодi задачу (1), (4) називають
багатоточковою крайовою задачею.
256 Маслюк Г.О., Солдатов В.О.
Для того, щоб неоднорiдна крайова задача (1), (2) мала єди-
ний розв’язок для довiльних правих частин f(·) ∈ (C(n))m i
c ∈ Cm, будемо вважати надалi, що виконується таке припущен-
ня.
Припущення (0). Однорiдна крайова задача
y′(t) = A(t)y(t), t ∈ [a, b], (5)
By(·) = 0 (6)
має лише тривiальний розв’язок.
Перейдемо до постановки задачi. Нехай X(a, b) — довiльна
щiльна в просторi (C(n))m×m множина. Розглянемо послiдовнiсть
систем m ∈ N лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь пер-
шого порядку
y′k(t) = Ak(t)yk(t) + f(t) (7)
iз крайовими умовами вигляду
By(·) =
p∑
j=1
n+1∑
l=0
αj,l
k y
(l)(aj) = c, t ∈ [a, b], (8)
де матрицi-функцiї Ak(·) ∈ X(a, b), а правi частини — вектор-
функцiя f(·) ∈ (C(n))m та вектор c ∈ Cm — тi ж, що i в задачi
(1), (2).
Мета роботи — довести, що для кожної тотальної крайової за-
дачi (1), (2) iснує послiдовнiсть багатоточкових крайових задач
вигляду (1), (8) таких, що їх розв’язки збiгатимуться до розв’яз-
ку задачi (1), (2).
Теорема 1 (про апроксимацiю розв’язкiв). Для кожної лiвої
частини Ak(·) ∈ (C(n))m×m задачi (1), (2) i оператора (3) зна-
йдеться послiдовнiсть багатоточкових крайових задач вигляду
(7), (8) таких, що виконується асимптотична властивiсть
‖y(t)− yk(t)‖(n+1) → 0, k →∞. (9)
Зауважимо, що ця послiдовнiсть не залежить вiд вибору пра-
вих частин.
Апроксимативнi властивостi багатоточкових крайових задач... 257
3. Доведення теореми 1.
Для доведення основних результатiв покажемо, що iснує послi-
довнiсть коефiцiєнтiв Ak(t), збiжна до A(t), апроксимацiя кра-
йового оператора (2) загальної крайової задачi вiдповiдним опе-
ратором вигляду (8), i при цьому виконуються ствердження те-
ореми 1.
З щiльностi множини X(a, b) в просторi (C(n))m×m випливає,
що iснує послiдовнiсть матриць-функцiй An(t) ∈ X(a, b) така, що
‖An(t)−A(t)‖(n) → 0.
Нехай BV [a, b] — банахiв простiр функцiй з обмеженою варi-
ацiєю на [a, b] з означеною нормою
‖g(t)‖BV [a,b] :=
b∨
a
g(t),
а NBV [a, b] — його пiдпростiр, до якого належать функцiї непе-
рервнi злiва i такi, що g(a) = 0.
Зауважимо, що крайова умова вигляду (2) допускає наступне
однозначне представлення
By :=
n+1∑
j=1
αjy
(j−1)(a) +
b∫
a
(dΦ(t))y(n+1)(t) = c, (10)
де числовi матрицi αj ∈ Cm×m, а Φ(t) − матриця-функцiя роз-
мiру m×m, утворена скалярними функцiями обмеженої варiацiї
на вiдрiзку [a, b], неперервними справа на (a, b), i рiвними нулю
при t = a. Iнтеграл тут розумiється в сенсi Рiмана-Стiльтьєса.
Таке представлення лiнiйного неперервного оператора (3) випли-
ває з вiдомого опису простору, спряженого до C(n+1) (див., на-
приклад, [7, с. 374]).
З представлення (10) випливає, що для доведення теореми 1
потрiбно побудувати послiдовнiсть крайових умов вигляду (8),
258 Маслюк Г.О., Солдатов В.О.
тобто апроксимувати пiдiнтегральну функцiю обмеженої варiацiї
оператора (10) схiдчастими функцiями. Виявляється, що таким
чином можна апроксимувати не лише пiдiнтегральну функцiю в
(10), але й довiльну функцiю з простору NBV [a, b].
Нагадаємо, що схiдчастою називається функцiя, яка приймає
постiйнi значення на скiнченнiй кiлькостi iнтервалiв скiнченної
довжини, i рiвна нулю поза цими iнтервалами [8].
У роботi В. А. Михайлеця i О. Б. Пелехатої [6] було доведено
наступне твердження.
Твердження 2. Нехай g(t) ∈ NBV [a, b]. Тодi iснує послiдов-
нiсть неперервних злiва схiдчастих функцiй σk(t) ∈ NBV [a, b]
крайнi сходинки яких, можуть вироджуватися в точки, а ва-
рiацiї обмеженi в сукупностi, така, що
‖σk(t)− g(t)‖∞ → 0, (11)
де ‖y(t)‖∞ = maxt∈[a,b] |y(t)|.
Зокрема, iз цього випливає, що лiнiйна оболонка δ-мiр Дiрака
секвенцiально щiльна в просторi мiр Радона на [a, b] в (∗)-слабкiй
топологiї.
Звiдси i теореми Ґеллi випливає, що на таких функцiях можна
переходити до границi пiд знаком iнтеграла Стiльтьєсса.
Лема 3. Для будь-якого оператора вигляду (10) iснують послi-
довностi {αk} ∈ Cm i послiдовностi схiдчастих функцiй {Φk(t)}
з обмеженими в сукупностi варiацiями на [a, b], неперервних
злiва, такi, що
‖αk − α‖ → 0, ‖Φk(t)− Φ(t)‖∞ → 0.
Доведення. Побудуємо {Bk} наступним чином: αk := α для
будь-якого k ∈ N, а функцiю Φ(t) наблизимо послiдовнiстю фун-
кцiй {Φk(t)} за принципом, використаним у доведеннi твердже-
ння 2. А саме, використаємо той факт, що кожна функцiя з
NBV [a, b] є лiнiйною комбiнацiєю двох дiйсних функцiй того ж
Апроксимативнi властивостi багатоточкових крайових задач... 259
класу, а кожна дiйсна функцiя з NBV [a, b] може бути представ-
лена у виглядi рiзницi двох монотонних [9]. А монотоннi функцiї,
як вiдомо [9], можна представити у виглядi суми неперервної та
функцiї стрибкiв, якi в свою чергу можна наблизити розгляну-
тими послiдовностями схiдчастих функцiй, використовуючи два
наступних твердження з роботи [6].
Твердження 4. Для кожної неспадної функцiї ϕ ∈
NBV [a, b]
⋂
C[a, b] iснує послiдовнiсть неспадних функцiй
{ϕk(t)}, яка задовольняє умови
i) послiдовнiсть {ϕk : k ≥ 1} рiвномiрно на [a, b] збiгається
до функцiї ϕ;
ii) повнi варiацiї функцiй ϕk рiвномiрно по k ∈ N обмеженi.
Твердження 5. Для кожної неспадної функцiї стрибкiв ϕ ∈
NBV [a, b] iснує послiдовнiсть неспадних функцiй стрибкiв
{ϕk(t)}, яка задовольняє умови i) та ii).
Таким чином отримаємо рiвномiрне наближення Φ(t) функцi-
ями Φk(t) з обмеженими в сукупностi варiацiями, яке за першою
теоремою Ґеллi [9, Теорема 7.5] дає можливiсть переходити до
границi пiд знаком iнтеграла Рiмана-Стiльтьєса. Крiм того, за
означенням, αk → α. Тому Bk → B.
Лема доведена.
Отже, незалежно вiд коефiцiєнтiв, правих частин рiвнянь i
крайового оператора тотальної крайової задачi, iснує послiдов-
нiсть багатоточкових крайових задач така, що коефiцiєнти та
крайовi оператори цiєї послiдовностi збiгаються до коефiцiєнтiв
та крайового оператора тотальної крайової задачi. Покажемо, що
за таких умов має мiсце ствердження теореми 1.
Лема 6. Якщо {ψn(t)} ∈ NBV [a, b] i якщо {ψn(t)} → ψ(t) за
нормою простору BV [a, b] на [a, b], то i функцiя ψ(t) неперервна
злiва на [a, b].
260 Маслюк Г.О., Солдатов В.О.
Доведення. Оскiльки
‖ψn(t)− ψ(t)‖BV [a,b] → 0,
то з оцiнки
‖ψn(t)− ψ(t)‖∞ < ‖ψn(t)− ψ(t)‖BV [a,b]
випливає, що ψn(t) → ψ(t) рiвномiрно на [a, b]. Тодi з властиво-
стей рiвномiрно збiжних функцiональних послiдовностей маємо,
що ψ(t) неперервна злiва.
Лема доведена.
Для задач (1), (2) у роботi [1] доведено наступне твердження.
Твердження 7. Нехай при ε→ 0+ виконуються такi умови:
(i) ‖A(·, ε)−A(·, 0)‖(n) → 0;
(ii) ‖f(·, ε)− f(·, 0)‖(n) → 0;
(iii) B(ε)y → B(0)y для довiльного y ∈ (C(n+1))m; c(ε)→ c(0).
Тодi для достатньо малих ε > 0 задача (1), (2) має єдиний
розв’язок i вiн задовольняє граничну властивiсть
‖y(·, ε)− y(·, 0)‖(n+1) → 0 при ε→ 0 + . (12)
Сформульоване твердження дозволяє довести теорему 1.
Доведення теореми 1. З лем 3 i 6 та твердження 2 випли-
ває iснування послiдовностi багатоточкових крайових умов, а з
того, що для задачi (1), (2) виконуються умови твердження 7,
випливає виконання асимптотичної рiвностi (11).
Теорема 1 доведена.
Апроксимативнi властивостi багатоточкових крайових задач... 261
4. Випадок систем високого порядку.
Розглянемо лiнiйну крайову задачу для систем m диференцiаль-
них рiвнянь порядку r ≥ 2
y(r)(t) +
r∑
j=1
Ar−j(t)y(r−j)(t) = f(t), t ∈ [a, b], (13)
Bjy(·) = cj , j ∈ {1, ... , r} (14)
з коефiцiєнтами Ar−j(·) ∈ (C(n))m×m, правими частинами f(·) ∈
(C(n))m, cj ∈ Cm та лiнiйним неперервним оператором
Bj : (C(n+r))m → Cm. (15)
Як i ранiше, для однозначної розв’язностi задачi (13), (14)
припускаємо, що вiдповiдна однорiдна крайова задача
y(r)(t) +
r∑
j=1
Ar−j(t)y(r−j)(t) = 0, t ∈ [a, b], (16)
Bj(0)y(·) = 0, j ∈ {1, ... , r} (17)
має лише тривiальний розв’язок.
У випадку, коли крайовi умови мають вигляд
Bjy(·) ≡
p∑
j=1
n+r∑
l=0
αj,ly(l)(aj) = cj , (18)
де числовi матрицi αj,l ∈ Cm×m, a точки {a1, ..., ap} утворюють
розбиття вiдрiзка [a, b]. Тодi задачу (13), (18) називають багато-
точковою крайовою задачею.
Нехай X(a, b) — довiльна щiльна в просторi (C(n+r))m×m мно-
жина. Розглянемо послiдовнiсть систем m ∈ N лiнiйних звичай-
них диференцiальних рiвнянь порядку r
262 Маслюк Г.О., Солдатов В.О.
y
(r)
k (t) +
r∑
j=1
Ar−j
k (t)y
(r−j)
k (t) = f(t), (19)
iз крайовими умовами
Bjy(·) ≡
p∑
j=1
n+r∑
l=0
αj,l
k y
(l)(aj) = cj , (20)
де матрицi-функцiї Ar−j
k (·) ∈ X(a, b), а правi частини — вектор-
функцiя f(·) ∈ (C(n))m та вектори cj ∈ Cm — тi ж, що i в задачi
(13), (14).
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 8 (про апроксимацiю розв’язкiв). Для кожної лiвої
частини Ar−j
k (·) ∈ (C(n))m×m задачi (13), (14) i оператора (15),
знайдеться послiдовнiсть багатоточкових крайових задач ви-
гляду (19), (20) таких, що виконується асимптотична власти-
вiсть
‖y(t)− yk(t)‖(n+r) → 0, k →∞. (21)
Як i в теоремi 1, в теоремi 8 послiдовнiсть багатоточкових
крайових задач не залежить вiд вибору правих частин.
Доведення. Розглянуте диференцiальне рiвняння (13) можна зве-
сти до системи диференцiальних рiвнянь першого порядку. Для
цього покладемо:
A :=
0m Im 0m . . . 0m
0m 0m Im . . . 0m
...
...
...
. . .
...
0m 0m 0m . . . Im
−A0 −A1 −A2 . . . −Ar−1
∈ (C(n))rm×rm, (22)
Y (·) = col(y(·), y′(·), . . . , y(r−1)(·)), (23)
F (·) = col(0, . . . , 0, f(·)) ∈ (C(n))m. (24)
Апроксимативнi властивостi багатоточкових крайових задач... 263
Крiм того, оператори вигляду (20), як вже зазначалося, допу-
скають наступне аналiтичне представлення
Bjy :=
n+r∑
l=1
αj,ly
(l−1)(a) +
b∫
a
(dΦj(t))y
(n+r)(t) = cj , (25)
де матрицi-функцiї Φ(t) мають обмежену варiацiю на [a, b], непе-
рервнi злiва на (a, b) i Φ(a) = 0.
Використовуючи (25), для всiх j, l ∈ {1, . . . , r} означимо r2
операторiв Bj,l : C
(n+r) → Cm
Bj,ly := αj,ly
(l−1)(a), l ∈ {1, . . . , r − 1}, (26)
Bj,ry :=
b∫
a
(dΦj(t))y
(n+r)(t). (27)
Покладемо
B :=
B1,1 . . . B1,r
...
. . .
...
Br,1 . . . Br,r
, (28)
C := col(c1, . . . , cr) ∈ Crm. (29)
Крайова задача (13), (14) рiвносильна системi крайових задач
вигляду (1), (2) першого порядку, в якiй коефiцiєнти визначенi
формулою (22), розв’язок i правi частини визначенi формулами
(23), (24), (29), а крайовий оператор — формулою (28). Тому
теорема 8 є прямим наслiдком теореми 1.
Теорема доведена.
Лiтература
[1] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Фредгольмовые краевые задачи
с параметром на пространствах C(n)[a; b] // Доп. НАН України. –
2014. – № 7. – С. 24–28.
264 Маслюк Г.О., Солдатов В.О.
[2] Солдатов В. О. Про неперервнiсть за параметром розв’язкiв кра-
йових задач, тотальних щодо просторiв C(n+r)[a, b] // Укр. мат.
журн. — 2015. — 67, № 5 — С. 692–700.
[3] Mikhailets V. A., Murach A. A., Soldatov V. A criterion for continui-
ty in a parameter of solutions to generic boundary-value problems for
higher-order differential systems // Methods of Functional Analysis
and Topology. – Vol. 22 (2016), no. 4, pp. 375–386.
[4] Солдатов В. О. Багатоточковi крайовi задачi для систем дифе-
ренцiальних рiвнянь вищих порядкiв // Диференцiальнi рiвнян-
ня i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2015. – 12, № 2. – С. 327–337.
[5] Кодлюк Т. И. Многоточечные краевые задачи с параметром в про-
странствах Соболева // Доп. НАН України. – 2012. — № 11. –
С. 15–19.
[6] Михайлец В. А., Пелехата О. Б. Об апроксимации функций клас-
са NV B[a, b] // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi питання ана-
лiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2017. – 14, № 3.
[7] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. –
М.: Изд-во иностранной лит., 1962. – 895 с.
[8] Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному ана-
лизу. – М.: Мир, 1979. – 592 с.
[9] Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функцiональний
аналiз. — Львiв: Видавець I. Є. Чижиков, 2014. — 559 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-321 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:37Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/14/9b4300b53fd330dc1024ea023b2f5914.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3212018-02-13T13:12:44Z Approximation properties of multipoint boundary-value problems that are total with respect to the spaces $C^{(n)}$ Апроксимативні властивості багатоточкових крайових задач, тотальних щодо просторів $C^{(n)}$ Masliuk, H. O. Soldatov, V. O. Маслюк, Г. О. Солдатов, В. О. We investigate approximation of the solutions to boundary-value problems that are total with respect to the spaces $C^{(n)}$ by solutions of the corresponding multipoint boundary-value problems. Досліджено апроксимацію розв'язків крайових задач, тотальних щодо просторів $C^{(n)}$, розв'язками відповідних багатоточкових крайових задач. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/321 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 253-264 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 253-264 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 253-264 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/321/304 Авторське право (c) 2017 Г. О. Маслюк, В. О. Солдатов |
| spellingShingle | Masliuk, H. O. Soldatov, V. O. Маслюк, Г. О. Солдатов, В. О. Approximation properties of multipoint boundary-value problems that are total with respect to the spaces $C^{(n)}$ |
| title | Approximation properties of multipoint boundary-value problems that are total with respect to the spaces $C^{(n)}$ |
| title_alt | Апроксимативні властивості багатоточкових крайових задач, тотальних щодо просторів $C^{(n)}$ |
| title_full | Approximation properties of multipoint boundary-value problems that are total with respect to the spaces $C^{(n)}$ |
| title_fullStr | Approximation properties of multipoint boundary-value problems that are total with respect to the spaces $C^{(n)}$ |
| title_full_unstemmed | Approximation properties of multipoint boundary-value problems that are total with respect to the spaces $C^{(n)}$ |
| title_short | Approximation properties of multipoint boundary-value problems that are total with respect to the spaces $C^{(n)}$ |
| title_sort | approximation properties of multipoint boundary-value problems that are total with respect to the spaces $c^{(n)}$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/321 |
| work_keys_str_mv | AT masliukho approximationpropertiesofmultipointboundaryvalueproblemsthataretotalwithrespecttothespacescn AT soldatovvo approximationpropertiesofmultipointboundaryvalueproblemsthataretotalwithrespecttothespacescn AT maslûkgo approximationpropertiesofmultipointboundaryvalueproblemsthataretotalwithrespecttothespacescn AT soldatovvo approximationpropertiesofmultipointboundaryvalueproblemsthataretotalwithrespecttothespacescn AT masliukho aproksimativnívlastivostíbagatotočkovihkrajovihzadačtotalʹnihŝodoprostorívcn AT soldatovvo aproksimativnívlastivostíbagatotočkovihkrajovihzadačtotalʹnihŝodoprostorívcn AT maslûkgo aproksimativnívlastivostíbagatotočkovihkrajovihzadačtotalʹnihŝodoprostorívcn AT soldatovvo aproksimativnívlastivostíbagatotočkovihkrajovihzadačtotalʹnihŝodoprostorívcn |