On approximation of functions from tne class $NBV[a,b]$
We prove that each function from $NBV[a,b]$ is a uniform limit of step functions of the same class, such that their marginal steps may degenerate into points and their variations are collectively bounded. In particular this yields linear span of Dirac $\delta$-measures to be sequentially dense in th...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/322 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552828806889472 |
|---|---|
| author | Mikhailets, V. A. Pelekhata, O. B. Михайлець, В. А. Пелехата, Б. Б. |
| author_facet | Mikhailets, V. A. Pelekhata, O. B. Михайлець, В. А. Пелехата, Б. Б. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. А. Михайлець",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "Б. Б. Пелехата",
"institution": "Нацiональний технiчний унiверситет України \"КПI\""
}
] |
| author_sort | Mikhailets, V. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We prove that each function from $NBV[a,b]$ is a uniform limit of step functions of the same class, such that their marginal steps may degenerate into points and their variations are collectively bounded. In particular this yields linear span of Dirac $\delta$-measures to be sequentially dense in the space of Radon measures on $[a,b]$ in $w^*$-topology. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 265–270
УДК 517.98
В. А. Михайлець 1, О. Б. Пелехата 2
1 Iнститут математики НАН України, Київ;
mikhailets@imath.kiev.ua,
2 Нацiональний технiчний унiверситет України
”
Київський полiтехнiчний iнститут iм. I. Сiкорського“, Київ;
o.pelekhata@kpi.ua
Про апроксимацiю функцiй
класу NBV [a, b]
We prove that each function from NBV [a, b] is a uniform limit of
step functions of the same class, such that their marginal steps may
degenerate into points and their variations are collectively bounded.
In particular this yields linear span of Dirac δ-measures to be
sequentially dense in the space of Radon measures on [a, b] in w∗-
topology.
Доведено, що кожна функцiя зNBV [a, b] є рiвномiрною границею
послiдовностi схiдчастих функцiй того ж класу, крайнi сходинки
яких можуть вироджуватись у точки, а варiацiї функцiй обмеженi
в сукупностi. Зокрема, iз цього випливає, що лiнiйна оболонка δ-
мiр Дiрака секвенцiально щiльна у просторi мiр Радона на [a, b]
в w∗-топологiї.
c© В. А. Михайлець,О. Б. Пелехата, 2017
266 В. А. Михайлець, О. Б. Пелехата
1. Вступ i формулювання теорем
Кожний обмежений лiнiйний функцiонал l на комплексному ба-
наховому просторi C[a, b] допускає згiдно з теоремою Ф. Рiсса [1]
аналiтичне представлення
l(x) =
b∫
a
x(t)dg(t), (1)
де g — деяка функцiя обмеженої варiацiї на вiдрiзку [a, b], а iн-
теграл розумiється як iнтеграл Рiмана-Стiлтьєса. Правильне i
обернене твердження, для кожної функцiї g ∈ BV [a, b] iнтеграл
в (1) задає деякий лiнiйний неперервний функцiонал на просторi
C[a, b]. Iнтеграл в правiй частинi (1) можна також розглядати,
як iнтеграл Лебега-Стiлтьєса функцiї x(·) по мiрi Радона dg. При
цьому вiдповiднiсть мiж функцiоналами l ∈ C∗[a, b] та мiрами
dg ∈M [a, b] є iзометричним iзоморфiзмом, якщо покласти
‖l‖ = var |dg|.
Разом з тим, вiдображення l 7→ g не є однозначним. Рiзним фун-
кцiям iз BV [a, b] може вiдповiдати одна мiра dg i функцiонал l.
Цю неоднозначнiсть можна усунути, якщо звузити клас функцiй
BV [a, b], наклавши на функцiї додатковi умови нормування.
Позначимо через NBV [a, b] пiдклас функцiй з BV [a, b], якi
а) неперервнi злiва на iнтервалi (a, b);
б) перетворюються на нуль в точцi a.
Цей клас функцiй утворює комплексний банахiв простiр вiдносно
норми
‖g‖NBV [a,b] = Var g.
Цей простiр є несепарабельним, нерефлексивним та iзометрично
iзоморфним простору комплексних мiр Радона M [a, b]. Найпро-
стiшими серед цих мiр є δ-мiри Дiрака з одноточковими носiя-
ми. Таким мiрам вiдповiдає в NBV [a, b] сiм’я характеристичних
Про апроксимацiю функцiй класу NV B[a, b] 267
функцiй
{
χ(c,b](t) : c ∈ [a, b]
}
. Позначимо через S[a, b] їх компле-
ксну лiнiйну оболонку. Вона не є щiльною в банаховому просторi
NBV [a, b] в топологiї, iндукованiй нормою. Разом з тим, вiдомо
(див., наприклад, [2]), що множина S[a, b] щiльна в NBV [a, b] в
w∗-топологiї. Ця топологiя не задовольняє першу аксiому злiчен-
ностi. Тому звiдси не випливає, що множина S[a, b] є секвенцiаль-
но щiльною.
Основним результатом цiєї роботи є наступне твердження.
Теорема 1. Для кожної функцiї f ∈ NBV [a, b] iснує послiдов-
нiсть схiдчастих функцiй {fn : n ≥ 1} ⊂ S[a, b] така, що
i) послiдовнiсть {fn : n ≥ 1} рiвномiрно на [a, b] збiгається до
функцiї f ;
ii) повнi варiацiї функцiй fn рiвномiрно по n ∈ N обмеженi.
Зауваження. Припущення, що крайнi сходинки функцiй fn мо-
жуть вироджуватись в точки, є iстотним. Простi приклади по-
казують, що його не можна вiдкинути, замiнивши клас S[a, b] на
клас кусково-сталих на [a, b] функцiй.
З теореми 1 та першої теореми Геллi [3, 4] випливає, що спра-
ведлива
Теорема 2. Множина функцiй S[a, b] є секвенцiально щiльною
в просторi NBV [a, b] в w∗-топологiї.
Вiдмiтимо, що теореми 1 i 2 мають змiстовнi застосування в
теорiї лiнiйних крайових задач для систем звичайних диферен-
цiальних рiвнянь. Вони будуть наведенi в iншiй роботi.
2. Доведення
Оскiльки кожна функцiя з NBV [a, b] є лiнiйною комбiнацiєю
двох дiйсних функцiй того ж класу, а кожна дiйсна функцiя з
268 В. А. Михайлець, О. Б. Пелехата
NBV [a, b] може бути представлена у виглядi рiзницi двох моно-
тонних [4], то, не зменшуючи загальностi, можна зразу вважати,
що функцiя f ∈ NBV [a, b] є дiйсною i неспадною на [a, b]. Нам
знадобляться два допомiжних твердження.
Лема 1. Для кожної неспадної функцiї f ∈ NBV [a, b]
⋂
C[a, b]
iснує послiдовнiсть неспадних функцiй fn ∈ S[a, b], яка задоволь-
няє умови i) та ii) теореми 1.
Доведення леми 1. Визначимо по функцiї f 6≡ 0 послiдовнiсть
розбиттiв вiдрiзка [a, b]. Розбиття з номером n ∈ N складається
з n точок {tn,k, 1 ≤ k ≤ n}, де
tn,k := min
{
t ∈ [a, b] : f(tn,k) = f(b)
k
n+ 1
}
.
Зi зроблених припущень випливає, що таке визначення є коре-
ктним.
Пов’яжемо з n-им розбиттям вiдрiзка неспадну функцiю fn ∈
S[a, b], поклавши:
fn(t) :=
0, t ∈ [a, tn,1]
f(b) k
n+1 , t ∈ (tn,k, tn,k+1], k ≤ n− 1
f(b) n
n+1 , t ∈ (tn,n, b]
Тодi
∀n ∈ N Var fn = fn(b)− fn(a) < f(b).
Крiм того,
∀n ∈ N ∀t ∈ [a, b] |f(t)− fn(t)| ≤
f(b)
n+ 1
.
Лему 1 доведено.
Лема 2. Для кожної неспадної функцiї стрибкiв f ∈ NBV [a, b]
iснує послiдовнiсть неспадних функцiй стрибкiв fn ∈ S[a, b], яка
задовольняє умови i) та ii) теореми 1.
Про апроксимацiю функцiй класу NV B[a, b] 269
Доведення леми 2. З умов леми випливає, що функцiя f до-
пускає представлення
f(t) =
∑
tk<t
hk,
де {tk, k ≤ m ≤ ∞} — скiнченна або злiченна послiдовнiсть точок
розриву функцiї f , hk > 0 — величина стрибка функцiї f в точцi
tk, а
m≤∞∑
k=1
hk <∞.
Якщо m ∈ N, то можна покласти fn ≡ f , n ∈ N. Нехай тепер
m =∞. Покладемо
fn(t) =
∑
k≤n,tk<t
hk, n ∈ N.
Тодi
0 < f(t)− fn(t) ≤
∞∑
k=n
hk → 0, n→∞.
Звiдси випливає умова i) теореми 1. Умова ii) випливає з нерiв-
ностей
0 ≤ fn(t) < f(t) ≤ f(b).
Лему 2 доведено.
Твердження теореми 1 випливає з лем 1 та 2, оскiльки кожна
монотонна на вiдрiзку функцiя може бути представлена у вигля-
дi суми неперервної та функцiї стрибкiв, див., наприклад, [4].
Лiтература
[1] Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному ана-
лизу. — Москва: Мир. — 1979. — 587 с.
270 В. А. Михайлець, О. Б. Пелехата
[2] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики,
т. 1. Функциональный анализ. — Москва: Мир. — 1977. — 357 с.
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и фун-
кционального анализа. — Москва: Наука. — 1989. — 623 с.
[4] Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функцiональний
аналiз. — Львiв: Видавець I. Є. Чижиков. — 2014. — 559 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-322 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:38Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/9e/07a5c47465b689e55891a50ab341649e.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3222018-02-13T13:12:44Z On approximation of functions from tne class $NBV[a,b]$ Про апроксимацію функцій класу $NBV[a,b]$ Mikhailets, V. A. Pelekhata, O. B. Михайлець, В. А. Пелехата, Б. Б. We prove that each function from $NBV[a,b]$ is a uniform limit of step functions of the same class, such that their marginal steps may degenerate into points and their variations are collectively bounded. In particular this yields linear span of Dirac $\delta$-measures to be sequentially dense in the space of Radon measures on $[a,b]$ in $w^*$-topology. Доведено, що кожна функція з $NBV[a,b]$ є рівномірною границею послідовності східчастих функцій того ж класу, крайні сходинки яких можуть вироджуватись у точки, а варіації функцій обмежені в сукупності. Зокрема, із цього випливає, що лінійна оболонка $\delta$-мір Дірака секвенціально щільна у просторі мір Радона на $[a,b]$ в $w^*$-топології. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/322 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 265-270 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 265-270 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 265-270 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/322/305 Авторське право (c) 2017 В. А. Михайлець,О. Б. Пелехата |
| spellingShingle | Mikhailets, V. A. Pelekhata, O. B. Михайлець, В. А. Пелехата, Б. Б. On approximation of functions from tne class $NBV[a,b]$ |
| title | On approximation of functions from tne class $NBV[a,b]$ |
| title_alt | Про апроксимацію функцій класу $NBV[a,b]$ |
| title_full | On approximation of functions from tne class $NBV[a,b]$ |
| title_fullStr | On approximation of functions from tne class $NBV[a,b]$ |
| title_full_unstemmed | On approximation of functions from tne class $NBV[a,b]$ |
| title_short | On approximation of functions from tne class $NBV[a,b]$ |
| title_sort | on approximation of functions from tne class $nbv[a,b]$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/322 |
| work_keys_str_mv | AT mikhailetsva onapproximationoffunctionsfromtneclassnbvab AT pelekhataob onapproximationoffunctionsfromtneclassnbvab AT mihajlecʹva onapproximationoffunctionsfromtneclassnbvab AT pelehatabb onapproximationoffunctionsfromtneclassnbvab AT mikhailetsva proaproksimacíûfunkcíjklasunbvab AT pelekhataob proaproksimacíûfunkcíjklasunbvab AT mihajlecʹva proaproksimacíûfunkcíjklasunbvab AT pelehatabb proaproksimacíûfunkcíjklasunbvab |