Anomalous diffusion in dynamic systems with reflection
In this paper, we study generalized billiards inside a strip with a nonideal reflection law in the case where the reflection angle depends not only on the incident angle but also on the reflection point. We give effective conditions for such billiards to have the Bernoulli property. Examples of dete...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/323 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552831325569024 |
|---|---|
| author | Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. |
| author_facet | Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Л. Нижник",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Nizhnik, I. L. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | In this paper, we study generalized billiards inside a strip with a nonideal reflection law in the case where the reflection angle depends not only on the incident angle but also on the reflection point. We give effective conditions for such billiards to have the Bernoulli property. Examples of deterministic diffusion are considered. We also study transport properties of the billiards with a stochastic reflection law. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 271–292
УДК 517.938
I. Л. Нижник
Iнститут математики НАН України, Київ;
nizhnik@imath.kiev.ua
Аномальна дифузiя
в динамiчних системах з вiдбиттям
In this paper, we study generalized billiards inside a strip with a
nonideal reflection law in the case where the reflection angle depends
not only on the incident angle but also on the reflection point. We give
effective conditions for such billiards to have the Bernoulli property.
Examples of deterministic diffusion are considered. We also study
transport properties of the billiards with a stochastic reflection law.
У роботi отриманi достатнi умови iснування властивостi Бернуллi
в узагальнених бiльярдах з неiдеальним законом вiдбиття. Роз-
глянуто ряд важливих конкретних прикладiв. Дослiджена детер-
мiнована дифузiя в динамiчних системах з вiдбиттям. Встановле-
нi достатнi умови, коли детермiнована дифузiя аномальна.
1. Вступ
Траєкторiї бiльярдної кулi на плоскому обмеженому бiльярдно-
му полi зi складною межею зазвичай мають складну структуру
навiть при простому законi вiдбиття, який каже, що кут вiдбит-
тя дорiвнює куту падiння. До теперiшнього часу досить деталь-
не вивчення поведiнки траєкторiй було зроблене для бiльярдiв
в обмежених плоских областях. Сюди входять бiльярди Бiргоф-
фа, Сiная, Бунiмовича, бiльярди-багатокутники та багато iнших,
див. [1–5].
c© I. Л. Нижник, 2017
272 I. Л. Нижник
Пiзнiше було проведено обширне вивчення траєкторiй бiльяр-
дної кулi у нескiнченнiй областi з нетривiальною перiодичною
структурою на межi областi, див. [6 – 8]. У такому випадку, уся
траєкторiя кулi повнiстю визначається координатами двох послi-
довних точок вiдбиття.
Модель для певної поведiнки бiльярдної кулi всерединi смуж-
ки була запропонована у [9] у випадку, коли закон вiдбиття кулi
вiд прямолiнiйного сегменту є узагальненням iдеального зако-
ну вiдбиття. Ця модель узагальненого бiльярду може бути ко-
рисною для вивчення ранiше згаданих моделей [6 – 8]. Випадок
неiдеального просторово–перiодичного закону був запропонова-
ний у [9]. У цiй роботi детально описаний випадок, коли перi-
одична точкова гратка розбиває сторони на послiдовнiсть вiд-
мiчених вiдрiзкiв, i, коли куля вiдбивається у довiльнiй точцi
вiдмiченого iнтервалу, кут вiдбиття визначається кутом падiння
та положенням точки всерединi iнтервалу, тобто локальної ко-
ординати точки вiдбиття. Сукупнiсть вiдмiчених iнтервалiв дає
розбиття фазового простору. Для таких узагальнених бiльярдiв
траєкторiя формується набором вiдрiзкiв, якi поєднують послi-
довнi точки вiдбиття. Точки вiдбиття кодують послiдовнiсть вiд-
мiчених iнтервалiв, що мiстять цi точки. Сукупнiсть цих вiдмi-
чених iнтервалiв або їх iндексiв називається маршрутом трає-
кторiї у символьнiй динамiцi [10]. Кажуть, що бiльярд з вище-
наведеним законом вiдбиття має властивiсть Бернуллi вiдносно
заданого розбиття, якщо будь-яка впорядкована послiдовнiсть
вiдмiчених iнтервалiв є маршрутом певної траєкторiї бiльярду i
ця траєкторiя єдиним чином визначена її маршрутом.
Зазначимо, що сукупнiсть усiх точок вiдбиття утворює дис-
кретну динамiчну систему, яка може бути корисною при розглядi
рiзних прикладних задач [12 – 14].
Головнi результати у [9] полягають у конструктивному описi
законiв вiдбиття, перiодичних вздовж межi i таких, що бiльярд
має властивiсть Бернуллi. У роботi [9] наведенi приклади чисель-
но розрахованих бiльярдних траєкторiй для випадку спецiально-
Аномальна дифузiя в динамiчних системах з вiдбиттям 273
го неiдеального закону вiдбиття. Зокрема, побудованi бiльярднi
траєкторiї, що мають змiнний просторовий перiод, а також ци-
клiчнi та хаотичнi траєкторiї.
В данiй роботi наводяться приклади, що показують: нескiн-
ченне значення першого моменту випадкового закону вiдбиття
може слугувати однiєю з причин появи аномальної дифузiї.
2. Бiльярди у нескiнченнiй смузi з неiде-
альним законом вiдбиття
Розглянемо бiльярд у нескiнченнiй смузi Sh = {(x, y) : −∞ <
x < +∞, 0 ≤ y ≤ h}, i припустимо, що закон вiдбиття кулi вiд
границi неiдеальний; однак, ми припускаємо, що закон вiдбит-
тя єдиним чином визначається кутом падiння та координатою
точки вiдбиття. У цьому випадку, якщо позначити через xk ко-
ординати послiдовних точок вiдбиття, бачимо, що траєкторiя γ є
об’єднанням вiдрiзкiв, якi поєднують послiдовнi точки вiдбиття.
У бiльярдi, що розглядається, є однозначна вiдповiднiсть мiж
кутами падiння (у точках вiдбиття) та вiдстанями уздовж осi x
мiж координатами сусiднiх точок вiдбиття. Отже, закон вiдбиття
на кожнiй з меж бiльярду може бути заданий рiвнянням
f(xk+1 − xk, xk − xk−1, xk) = 0. (1)
Тому, задання функцiї трьох змiнних f дає загальний закон
вiдбиття. Якщо у цьому законi перший та другий аргументи мо-
жуть бути знайденi за двома iншими, тобто вони є функцiями вiд
iнших аргументiв, то закон (1) визначає усю траєкторiю бiльярду
за двома даними сусiднiми точками вiдбиття єдиним чином. Як
наслiдок, ми маємо послiдовнiсть точок вiдбиття {xk| k ∈ Z},
нескiнченну в обох напрямках i яка задовольняє рiвняння (1).
Отже, ми отримуємо дискретну динамiчну систему, яка є цiка-
вою сама по собi.
274 I. Л. Нижник
Ми вивчатимемо закони вiдбиття, заданi (1) та якi є перi-
одичними уздовж межi з перiодом 1. Це означає, що функцiя
f(x, y, ξ) у (1) є перiодичною по третьому аргументу з перiодом
1, f(x, y, ξ + 1) = f(x, y, ξ). В цьому випадку зручно визначити
скiнченну кiлькiсть вiдмiчених iнтервалiв In = {x : n − 1/2 <
x < n + 1/2}, n ∈ Z на межi бiльярду, тобто зробити розбиття
фазового простору [10] динамiчної системи визначеної за допо-
могою (1) системою iнтервалiв In, n ∈ Z. Таке розбиття дозволяє
ввести локальнi координати ξk точок вiдбиття xk на вiдмiчених
iнтервалах Isk ,
xk = sk + ξk, −1/2 < ξk < 1/2, sk ∈ Z, xk ∈ Isk . (2)
Закон вiдбиття (1) завдяки (2) приймає форму
f(xk+1 − xk, xk − xk−1, ξk) = 0. (3)
Кожнiй бiльярднiй траєкторiї γ вiдповiдає нескiнченний в обох
напрямках маршрут S(γ) [10], який є послiдовнiстю цiлочисель-
них iндексiв вiдмiчених iнтервалiв, якi мiстять послiдовнi точки
вiдбиття траєкторiї γ,
S(γ) = ...s−2, s−1, s0, s1, s2, ... (4)
Число s0 вiдповiдає iнтервалу Is0 , який мiстить точку вiдбиття
x0. Отже, кожнiй бiльярднiй траєкторiї γ вiдповiдає нескiнченне
в обидвi сторони слово з алфавiтом Z.
Важливою задачею при описi динамiчної системи (3) є насту-
пна задача: для якого слова типу (4) iснує бiльярдна траєкторiя,
тобто якi маршрути допустимi? Якщо всi маршрути прийнятнi,
тодi кажуть, що динамiчна система задовольняє властивiсть Бер-
нуллi вiдповiдно до заданого розбиття фазового простору.
Далi наведемо простий критерiй, коли динамiчна система ви-
ду (3) має властивiсть Бернуллi вiдповiдно до розбиття In, n ∈ Z.
Аномальна дифузiя в динамiчних системах з вiдбиттям 275
Теорема 1. [9] Припустимо, що закон вiдбиття (3) може бу-
ти записаний як
ξk = g(xk+1 − xk, xk − xk−1), xk ∈ Isk , (5)
де функцiї g(x, y) двох змiнних приймають усi можливi значе-
ння, строго меншi за модулем вiд 1/2 та задовольняють умову
Лiпшиця зi сталою q, меншою вiд 1/4, тобто
|g(x2, y2)− g(x1, y1)| ≤ q(|x2 − x1|+ |y2 − y1|), q < 1/4 . (6)
Тодi узагальнений бiльярд iз законом вiдбиття (5) має власти-
вiсть Бернуллi, тобто для будь-якої нескiнченної в обидва на-
прямки послiдовностi цiлих чисел (4) iснує траєкторiя γ така,
що послiдовнi точки вiдбиття xk лежать на заданих вiдмiче-
них iнтервалах Isk , i така траєкторiя єдина.
Доведення. Кожна траєкторiя бiльярду γ з точками вiдбиття xk
i законом вiдбиття (5) має вiдповiднi локальнi координати ξk, що
задовольняють рiвняння
ξk = g
(
sk+1 − sk + ξk+1 − ξk, sk − sk−1 + ξk − ξk−1
)
. (7)
Навпаки, розв’язки рiвняння (7) з даними цiлими числами sk та
умовою −1/2 < ξk < 1/2 породжують динамiчну систему {xk}
вiдповiдно з формулою (2), i тому вони також породжують тра-
єкторiю бiльярду γ, що задовольняє закон вiдбиття (5).
Для доведення теореми достатньо показати, що для будь-якої
послiдовностi цiлих чисел sk, рiвняння (7) має розв’язок i такий
розв’язок єдиний в просторi `∞(Z) нескiнченних послiдовностей
з нормою ‖ ξ ‖`∞= sup
k
|ξk|, де ξ = {ξk| k ∈ Z} та |ξk| < 1/2.
Рiвняння (7) має вигляд ξ = A(ξ), де оператор A визначений
правою частиною рiвняння (7),
A(ξ)k = g(mk + ξk+1 − ξk, mk−1 + ξk − ξk−1),
276 I. Л. Нижник
де mk = sk+1−sk. За припущенням (6), оператор A є оператором
стискання у просторi l∞,
||A(η)−A(ξ)||l∞ =
= sup
k
|g(mk+ηk+1 − ηk, mk−1 + ηk − ηk−1)−
− g(mk + ξk+1 − ξk, mk−1 + ξk − ξk−1)| ≤
≤ q sup
k
(|ηk+1 − ξk+1|+ 2|ηk − ξk|+ |ηk−1 − ξk−1|) ≤ 4q||η − ξ||l∞ .
Отже, (7) дiйсно єдиний розв’язок у просторi `∞(Z). Крiм цьо-
го, оскiльки |g(x, y)| < 1/2, тодi величина ξk по модулю строго
менша за 1/2.
Приклад 1. В якостi функцiй g(x, y) в теоремi 1 ми можемо обра-
ти g(x, y) = c(tanhx − tanh y) iз значенням констант c, модуль
яких не перевищує 1/4, що важливо в застосуваннях [9, 12, 13].
Умови теореми 1 виконуються.
Зауваження 1. Якщо функцiя g(x, y) задовольняє умови тео-
реми 1 лише для |x|, |y| ≤ m + 1, де m — цiле число, тодi iснує
траєкторiя бiльярду для будь-якого маршруту вигляду (4) так,
що |sk+1 − sk| ≤ m i така траєкторiя єдина.
Приклад 2. Найпростiша модель стрибаючого м’ячика в гравi-
тацiйному полi з iдеальним законом вiдбиття вiд iррегулярної
поверхнi, що є просторово-перiодичною, описується рiвнянням
типу (5),
ξk = arcsin
g
v2
(xk+1 − xk)− arcsin
g
v2
(xk − xk−1), (8)
де g – гравiтацiйне прискорення, v – можлива максимальна
швидкiсть м’ячика, що цiлком залежить вiд його енергiї. Умови,
що сформульованi в зауваженнi 1, виконуються для будь-яких
фiксованих m, якщо v у рiвняннi (8) приймає достатньо велике
значення, або, що теж саме, повна енергiя стрибаючого м’ячика
Аномальна дифузiя в динамiчних системах з вiдбиттям 277
достатньо велика. В цьому випадку, м’ячик може послiдовно вiд-
скакувати вiд частин поверхнi Isk з наперед заданими iндексами
sk ∈ Z, для яких виконується умова |sk+1 − sk| ≤ m.
3. Бiльярд зi спецiальним законом вiдбиття
Розглянемо закон вiдбиття, в якому кут вiдбиття залежить лише
вiд x-координати точки вiдбиття. Це означає, що x-координата
наступної точки єдиним чином визначається абсцисою попере-
дньої точки вiдбиття, тобто закон вiдбиття має вигляд
xk+1 = f(xk). (9)
Припустимо, що закон вiдбиття — перiодичний вздовж бортiв з
перiодом 1. Тодi досить визначити функцiю f лише на iнтервалi
I0 = {x : −1/2 < x < 1/2} та продовжити її на всю вiсь за
допомогою наступної рiвностi
f(x+ n) = n+ f(x), n ∈ Z. (10)
Зауважимо, що рiвняння (9) – (10) вiдповiдають широкому кла-
су динамiчних систем, якi вивчалися в лiтературi (див., напри-
клад, [10] та посилання там).
Теорема 1 дає достатню умову, коли динамiчна система (9) –
(10) задовольняє властивiсть Бернуллi. Нижче наведено бiльш
точний результат.
Теорема 2. Нехай функцiя f у динамiчнiй системi (9) – (10)
вiдображає iнтервал I0 на цiлу вiсь i для всiх x, y ∈ I0 виконує-
ться нерiвнiсть
|f(y)− f(x)| ≥ q|y − x|, q > 1. (11)
Тодi динамiчна система задовольняє властивiсть Бернуллi.
Доведення.
278 I. Л. Нижник
Покажемо тепер, що довiльна послiдовнiсть цiлих чисел sk,
k ∈ Z вигляду (4), є маршрутом траєкторiї бiльярду, що одно-
значно визначається послiдовнiстю. Дiйсно, для кожного вiдмi-
ченого iнтервалу Isk , k ∈ Z будуємо систему вкладених iнтерва-
лiв Iisk , i = 0, 1, 2, . . . з довжинами, що наближаються до нуля.
Покладемо I0sk = Isk . Якщо iнтервали Iisk визначенi для всiх sk та
фiксованого i, тодi iнтервал Ii+1
sk
отримуємо як прообраз iнтер-
валу Iisk+1
згiдно з вiдображенням бiльярда (9)-(10). З умови (11)
теореми 2 випливає, що всi прообрази iнтервалiв мають довжи-
ни в q > 1 раз меншi, нiж самi iнтервали, отже, довжини всiх
вкладених iнтервалiв Iisk наближаються до нуля, коли i → ∞.
Звiдси випливає, що кожний iнтервал Isk має єдину граничну
точку xk ∈ Isk ; ї ї можна знайти як перетин вкладених iнтерва-
лiв Iisk , i = 0, 1, 2, . . . . Розглянемо тепер xk як послiдовнi точки
вiдображення, отримаємо єдину траєкторiю з числами sk, k ∈ Z,
що є його маршрутом. Це доводить, що бiльярд задовольняє вла-
стивiсть Бернуллi.
Теорему доведено.
З доведення теореми 2 слiдує, що фiксовану точку xn за за-
коном вiдбиття (9)-(10) можна однозначно встановити iз ча-
стини маршруту {sk}∞k=n. Таким чином, два рiзних маршрути
{sk, k ∈ Z} та {s̃k, k ∈ Z}, якi спiвпадають, починаючи з деякого
n, sk = s̃k для всiх k ≥ n, будуть визначати двi рiзнi траєкторiї,
що спiвпадають, починаючи з точки вiдбиття xk, k ≥ n. Iнши-
ми словами, для закону вiдбиття (9)-(10) має мiсце склеювання
траєкторiй.
Приклад 3. Нехай f(x) = x + hx
1/2−|x| для |x| < 1/2. Тодi умо-
ви (11) теореми 2 виконуються, оскiльки |f ′(x)| ≥ 1 + 2h =
q > 1. Цей закон вiдбиття можна представити у виглядi (5),
ξk = 1/2
xk+1−xk
h+|xk+1−xk| (див. [9]). Але для виконання умов теореми 1
нам потрiбна додаткова умова h > 2.4
Зауваження 2. Якщо функцiя f – диференцiйовна, то умо-
ва (11) теореми 2 еквiвалентна умовi |f ′(x)| ≥ q > 1. Отже,
Аномальна дифузiя в динамiчних системах з вiдбиттям 279
наприклад, функцiя
f(x) =
2
π
tan
πx
2
(12)
не задовольняє цю умову. Тодi для випадку (12) властивiсть
Бернуллi виконується, що буде доведено в теоремi 3, див. при-
клад 4.
Означення 1. Будемо називати монотонно зростаючу фун-
кцiю τ(x) – опорною функцiєю, якщо рiвняння x = τ(x) має єди-
ний розв’язок x = 0 та метод послiдовних наближень, засто-
сований до оберненої функцiї, завжди збiгається, тобто, якщо
xk = τ(xk+1), то lim
k→∞
xk = 0. Будемо казати, що функцiя f(x)
допускає опорну мiноранту τ , якщо iснує опорна функцiя τ та-
ка, що виконується наступна нерiвнiсть
|f(y)− f(x)| ≥ τ(|y − x|). (13)
Теорема 3. Твердження теореми 2 виконується, якщо фун-
кцiя f(x), яка визначає динамiчну систему (9) – (10), має опор-
ну мiноранту на I0.
Доведення. Доведення теореми 3 повторює доведення теореми 2.
Проте, тепер mes Iisk ≤ τ(mes Ii+1
sk
). Таким чином, mes Iisk → 0
для i→∞.
Приклад 4. Для функцiї f(x) = 2
π tan πx
2 функцiя τ(x) = 2f(x2 ) –
опорна мiноранта, оскiльки,
| tan y − tanx| ≥ 2 tan
|y − x|
2
.
Отже, для динамiчної системи (9) – (10) з функцiєю (12) вико-
нується властивiсть Бернуллi.
4. Детермiнована дифузiя.
280 I. Л. Нижник
Розглянемо бiльш детально динамiчну систему (9) – (10), де фун-
кцiя f — непарна кусково-лiнiйна, визначена на всьому iнтервалi
I0, приймає рiзнi напiвцiлi значення на кiнцях усiх її лiнiйних
частин та вiдображає iнтервал I0 на об’єднання досяжних iнтер-
валiв Ik, k ∈ K ⊂ Z, |K| > 1. Якщо позначити через pk мiру
прообразу iнтервалу Ik, k ∈ K та pk = 0, k /∈ K, пiд дiєю f , ми
отримуємо
∞∑
k=−∞
pk = 1, p−k = pk, p0 6= 1. (14)
Навпаки, послiдовнiсть невiд’ємних чисел pk ≥ 0, якi задоволь-
няють умову (14), єдиним чином визначає кусково-лiнiйну не-
парну монотонну функцiю f розглянутого типу.
Наведемо простий метод побудови функцiї f , яка задовольняє
умови, наведенi вище. Нехай g(x) — задана непарна монотонно
зростаюча функцiя, визначена на iнтервалi I0 = {x : −1/2 <
x < 1/2}, наприклад, g(x) = tanπx. Вiдмiтимо точки на графiку
функцiї g, у яких функцiя приймає напiвцiлi значення. Послi-
довно з’єднаємо цi точки i отримаємо графiк шуканої кусково-
лiнiйної функцiї f.
Продовження вiдображення f на всю вiсь вiдповiдно до (10)
має низку цiкавих властивостей.
Мiра Лебега трансформується вiдносно цього вiдображення
наступним чином. Почнемо з густини 1 мiри на iнтервалi I0 i
зробимо m-ту iтерацiю щодо f . Як результат, ми отримаємо мiру
µ(m) з постiйними густинами Pn(m) на iнтервалах In, такими, що
Pn(m) =
∑
k
pkPn−k(m− 1). (15)
Спiввiдношення (15) можуть бути пов’язанi з наступним ймовiр-
нiсним значенням. Розглянемо бiльярд, у якому куля вiдбиває-
ться вiд меж лише у точках цiлочисельної гратки Z. Нехай куля
при вiдбиттi у точцi з абсцисою n, що має ймовiрнiсть pk, опи-
няється у iншiй точцi (на другiй межi) з абсцисою n + k. Тодi
Аномальна дифузiя в динамiчних системах з вiдбиттям 281
ймовiрнiсть Pn(m), що куля знаходиться у точцi n пiсля m-го
вiдбиття, задовольняє спiввiдношення (15). Випадковi величини
Pn(m) можуть мати наступне значення. Розглянемо випадкову
величину ξ, яка приймає цiлi значення k iз ймовiрнiстю pk та
випадкову величину ξm, яка приймає значення n iз ймовiрнiстю
Pn(m). Тодi ξm є сумою m незалежних рiвномiрно розподiлених
випадкових величин ξ. Iз центральної граничної теореми [16] ви-
пливає, що за умови iснування других моментiв у випадкової ве-
личини ξ, випадковi величини ξm для великихm мають розподiл,
близький до нормального з дисперсiєю σm = m
∑
k
k2pk. Перене-
сення цього результату на динамiчну систему вигляду (9) – (10)
доводить iснування детермiнованої дифузiї [11, 15].
Теорема 4. Припустимо, що функцiя f є непарною кусково-
лiнiйною, визначеною на iнтервалi (−1/2, 1/2), приймає рiзнi
напiвцiлi значення на кiнцях усiх її лiнiйних частин та область
значень функцiї f мiстить бiльше, нiж один одиничний iнтер-
вал.
Необхiдна i достатня умова, коли динамiчна система (9) –
(10) з такою функцiєю f має детермiновану дифузiю, полягає в
iснуваннi скiнченного iнтеграла∫ 1
2
− 1
2
|f(x)|2 dx < +∞. (16)
Якщо ця умова (16) виконується, то початкова мiра з густи-
ною 1 на iнтервалi I0 пiсля m-ої iтерацiї функцiї f стає мiрою
µ(m), яка має сталу густину ρm(x) = Pn(m) на iнтервалах In.
Для великих m функцiя розподiлу Fm(x) =
∫ x
−∞
ρm(s) ds мiри
µ(m) збiгається рiвномiрно по x до нормальної функцiї розподi-
лу
Fm(x)− 1
2
√
πDm
∫ x
−∞
exp (− y2
4Dm
) dy → 0, m→∞, (17)
282 I. Л. Нижник
де коефiцiєнт дифузiї дорiвнює
D =
1
2
∫ 1
2
− 1
2
|f(x)|2 dx− 1
24
. (18)
Доведення. Нехай функцiя f така, що визначає динамiчну си-
стему (9) – (10), задовольняє умови теореми 4. Тодi в силу (16)
iснує другий момент для чисел {pk}k∈Z через кусково–лiнiйнiсть
функцiї f,
σ2 =
∑
k
k2pk =
∫ 1
2
− 1
2
|f(x)|2 dx− 1
12
. (19)
Розглянемо тепер характеристичну функцiю P (λ) =
∑
k
pke
iλk
для чисел {pk}k∈Z. Функцiя P (λ) двiчi диференцiйовна по λ, i
P
′
(0) = 0 в силу симетрiї p−k = pk. Отже, для λ→ 0 маємо
P (λ) = 1− σ2λ2
2
+ o(1), λ→ 0. (20)
Якщо починати з густини 1 вимiрювати iнтервал I0 i брати m-у
iтерацiю щодо f , ми отримаємо мiру µ(m) з постiйною щiльнiстю
Pn(m) на iнтервалах In таку, що виконується рiвнiсть (15). Роз-
глянемо характеристичну функцiю Pm(λ) =
∑
n
Pn(m)eiλn для
послiдовностi {Pn(m)}n∈Z. Оскiльки Pn(m) – коефiцiєнти Фур’є
функцiї Pm(λ), ми отримуємо
Pn(m) =
1
2π
∫ π
−π
Pm(λ)e−iλn dλ. (21)
З iншого боку, з рiвняння (15) слiдує, що
Pm(λ) = [P (λ)]m. (22)
В силу (21) та (22) маємо
Pn(m) =
1
2π
∫ π
−π
[P (λ)]me−iλn dλ. (23)
Аномальна дифузiя в динамiчних системах з вiдбиттям 283
Таким чином, вивчення поведiнки щiльностей Pn(m) для вели-
ких m зводиться до вивчення iнтегралу (23), такого, що P (λ)
задовольняє представлення (20). Добре вiдомо, що асимптотика
iнтегралiв у виглядi (23) отримується у два кроки. По-перше,
можна апроксимувати
[P (λ)]m = [1− σ2λ2
2
+ o(1)]m = e−
σ2λ2
2
m.
Далi можна перейти до iнтегрування по λ на всiй осi. Оскiльки
1
2π
∫ ∞
−∞
e−
σ2λ2
2
m · e−iλn dλ =
1
σ
√
2πm
e−
n2
2mσ2 ,
це зводиться до нормального закону розподiлу з щiльнiстю
Pn(m) та коефiцiєнтом дифузiї D = σ2
2 . Шлях, яким вели-
чини Pn(m) збiгаються до нормального закону, дає локальна
гранична теорема Б. Гнiденко [16]. Для m → ∞ величини
√
mPn(m) − 1
σ
√
2πm
e−
n2
2mσ2 збiгаються рiвномiрно до нуля для
n = kh, k ∈ Z, де h — найбiльший спiльний дiльник цiлих чисел
K = {k : pk > 0}. Величина Pn(m) = 0 для n 6= kh.
Теорему доведено.
Приклад 5. Нехай f(x) = Λx, де Λ — додатнє число. Тодi фун-
кцiя f задовольняє умови теореми 4 тодi i лише тодi, коли Λ —
непарне число i Λ > 1. Формула (18) дає D = 1/24(Λ2−1) ( [15]),
що, звичайно, спiвпадає з формулою, вiдомою у лiтературi (на-
приклад, формула (23.21) в [10]).
Приклад 6 (Вiдображення зиг-заг [15]). Розглянемо на iнтерва-
лi (−1/2, 1/2) непарну кусково-лiнiйну функцiю f , яка приймає
напiвцiле значення f(ξ) = p+ 1/2 в точцi ξ (0 < ξ < 1/2). Нехай
f(0) = 0 та f(1/2) = 1/2. Тодi коефiцiєнт дифузiї, вiдповiдно
до (18), має наступний вигляд:
D =
p+ 1
12
(2p+ 1− 2ξ).
Що узгоджується з вiдомими результатами (див. [17] та посила-
ння там.)
284 I. Л. Нижник
5. Аномальна дифузiя.
Розглянемо тепер перенесення (транспорт) бiльярдних куль у
смузi шириною h, такiй, що нижня межа спiвпадає з вiссю x.
5.1. По-перше, розглянемо випадок iдеального вiдбиття куль
вiд межi, тобто кут падiння дорiвнює куту вiдбиття.
Нехай бiльярдна куля рухається з точки A(0, y0) зi швидкiстю
v = 1 вздовж осi x пiд кутом ϕ, i ϕ може приймати довiльне
значення у iнтервалi 0 ≤ ϕ < 2π з одною й тою ж ймовiрнiстю.
Якщо не звертати уваги на вiдбиття вiд меж у моменти t > 0,
ймовiрнiсть, що куля мiститься у колi St(A) радiуса t з центром
в точцi A одна й та ж сама. Густина ймовiрностi для значень
абсциси бiльярдної кулi задається функцiєю
ρ(x, t) =
{
1
π (t2 − x2)−
1
2 , |x| < t,
0, |x| ≥ t.
(24)
Якщо вiдбиття вiд меж – iдеальне, бiльярдна куля буде розташо-
вана з рiвною ймовiрнiстю на частинах кiл, отриманих з початко-
вого кола St(A) послiдовними вiддзеркаленнями вiдносно меж
бiльярду. З таким вiддзеркаленням, густина абсцис не змiнює-
ться. Отже, закон (24) залишається вiрним для бiльярду-смуги
довiльної ширини з iдеальним законом вiдбиття.
Для закону розподiлу (24) середньоквадратичне куль, що за-
ломленi вiд початкової позицiї, є
< (∆x)2 >=
∫
x2ρ(x, t) dx =
1
2
t2. (25)
5.2. Розглянемо тепер бiльш складний закон вiдбиття для
куль. Нехай бiльярдна куля вiдбивається вiдповiдно до iдеаль-
ного закону з ймовiрнiстю 1
2 i повертається вздовж початкової
траєкторiї з початковою швидкiстю з ймовiрнiстю 1
2 . Для сти-
слостi такий закон вiдбиття будемо називати випадковим майже
iдеальним.
Аномальна дифузiя в динамiчних системах з вiдбиттям 285
Якщо бiльярдна куля рухається, в початковий момент,
уздовж осi x пiд кутом ϕ, то цей кут буде дорiвнювати ±ϕ протя-
гом усього наступного часу. У цьому випадку значення горизон-
тальної компоненти залишатиметься тим самим, i ми можемо по-
класти його рiвним 1. Абсциси точок вiдбиття вiд меж бiльярду
утворять рiвномiрну гратку i, не втрачаючи загальностi, можемо
вважати, що це гратка цiлих чисел Z.
Нехай спочатку куля знаходиться у точцi O(0, 0) i нехай вiдбу-
лося N вiдбиттiв. Ймовiрнiсть PmN , що було m вiдбиттiв направо
та N −m вiдбиттiв налiво, дорiвнює
PmN = CmN
1
2N
=
N !
m!(N −m)!
· 1
2N
. (26)
Знайдемо ймовiрнiсть P (x, t) того, що у час t, бiльярдна кулька
розташована у точцi з абсцисою x ∈ [k, k + 1), k ∈ Z. Так, як
час мiж послiдовними вiдбиттями дорiвнює 1, вiдбулося N = [t]
вiдбиттiв за час t, де [t] позначає цiлу частину t.
Для виконання умови x ∈ [k, k + 1] необхiдно, щоб m =
[N+k+1
2 ]. Тодi, якщо вiдбулося m вiдбиттiв направо та N − m
налiво, абсциса позицiї бiльярдної кульки спiвпадатиме з коор-
динатою одного з кiнцiв iнтервалу. Тодi з ймовiрнiстю 1
2 кулька
буде рухатись всередину iнтервалу. Отже, P (x, t) = 1
2P
m
N . Якщо
скористатись явною формулою з (14) для PmN , отримаємо розпо-
дiл, близький до нормального для великих t,
P (x, t) =
1√
2πt
exp(−x
2
2t
). (27)
Тобто у бiльярдi-стрiчцi з випадковим майже iдеальним зако-
ном вiдбиття перенiс (транспорт) бiльярдних куль — це звичайна
дифузiя.
5.3. Розглянемо бiльярд з неiдеальним законом вiдбиття. У
попереднiх частинах 2, 3, та 4 вивчались дискретнi динамiчнi
системи послiдовностей координат точок вiдбиття xk. У такому
286 I. Л. Нижник
випадку траєкторiя бiльярдної кулi є об’єднанням вiдрiзкiв, що
з’єднують послiдовнi точки вiдбиття. У iнших випадках, як стри-
баючий м’ячик, цi куски траєкторiї є параболiчними. Iншi форми
траєкторiї також важливi [9, 12 – 14]. Для опису поведiнки дина-
мiчної системи у часi важливою характеристикою є час руху мiж
двома послiдовними точками вiдбиття, T (xk, xk+1). Для бiльяр-
ду ми маємо T (xk, xk+1) =
√
h2 + (xk+1 − xk)2, якщо швидкiсть
кулi дорiвнює 1. Для бiльярду-стрiчки малої ширини h можна
наближено покласти T (xk, xk+1) = |xk+1 − xk|.
Розглянемо бiльярд з точками вiдбиття на межi, що спiвпада-
ють з цiлими числами Z, разом з випадковим законом вiдбиття.
Позначимо через pk ймовiрнiсть того, що куля з абсцисою n по-
трапить у точку n + k на протилежнiй сторонi. Природно, що∑
k
pk = 1. Якщо другий момент M2 =
∑
k k
2pk iснує, то, як
було показано в роздiлi 4, густина розподiлу куль буде нормаль-
ною для великої кiлькостi вiдбиттiв. Позначимо через T сере-
днiй час, потрiбний для одного вiдбиття. Для бiльярду ми маємо
T =
∑
k
pk
√
h2 + k2, де h є шириною бiльярдної смуги. У цьо-
му випадку закон розподiлу для куль також буде нормальним з
коефiцiєнтом дифузiї D̃ = DT−1. I отже, середньоквадратичне
куль, що заломлюються вiд початкової позицiї, < (∆x)2 >= 2D̃t,
залежить вiд часу лiнiйно. Це звичайна дифузiя. Аномальна ди-
фузiя виникає, якщо середньоквадратичне вiдхилення кулi вiд
початкової позицiї, розглянуте як функцiя часу, нелiнiйне. Для
бiльярду з iдеальним законом вiдбиття, розглянутим в частинi
5.1, дифузiя аномальна завдяки (25).
Нехай ймовiрностi pk — такi, що перший момент не iснує, тоб-
то
∑
k
|k|pk = ∞. У цьому випадку неможливо отримати асим-
птотику за часом для ймовiрнiсного розподiлу позицiй куль у
термiнах асимптотики числа вiдбиттiв.
Для бiльярду з ймовiрним законом вiдбиття на цiлочисельнiй
гратцi позначимо через ρk(t) ймовiрнiсть, що куля вiдбивається
у час t вiд точки k. Припустимо, що куля рухається з постiйною
Аномальна дифузiя в динамiчних системах з вiдбиттям 287
швидкiстю, рiвною 1 вздовж осi x i, рухаючись перпендикулярно
межi, досягає протилежної межi за час 1. Тодi для цiлих значень
t
ρn(t) = p0ρ0(t− 1) +
t∑
i=1
[piρn−i(t− i) + p−iρn+i(t− i)],
ρn(0) = δn,0.
(28)
Дiйсно, для того, щоб куля вiдбилася у момент часу t у точцi
n, попереднє вiдбиття має вiдбутися у час t − i (i ≥ 1) у точцi
n− i (або n+ i), i, з ймовiрнiстю pi (або p−i), куля має вiдбитися
у точку n. Якщо i = 0, ймовiрнiсть, що куля рухається перпен-
дикулярно межi є p0.
Позначимо через Pn(t) ймовiрнiсть, що x-координата кулi в
момент t дорiвнює n. Тодi ми маємо
Pn(t) = ρn(t) +
t∑
i=1
[(
∑
j>i
pj)ρn−i(t− i) + (
∑
j<−i
pj)ρn+i(t− i)]. (29)
Дiйсно, для того, щоб куля мала координату n у момент часу
t, вона має рухатись або вiдбитись вiд цiєї точки, ймовiрнiсть
чого ρn(t). У першому випадку, якщо куля рухається направо
вiд точки вiдбиття у n − i, вiдбиття мало вiдбутися у час t − i,
i куля у цiй точцi мала вiдбитися направо на вiдстань, бiльшу,
нiж i. Ймовiрнiсть такої подiї дорiвнює
∑
j>i
pj . Аналогiчно, роз-
гляд випадку, коли куля рухається вiд точки вiдбиття налiво вiд
точки n+ i, приводить до доданка (
∑
j<−i
pj)ρn+i(t− i). Для вивче-
ння перенесення (транспорту) куль у бiльярдi, який описується
спiввiдношеннями (28) та (29), розглянемо середнє квадратичне
D(t) положення кулi в момент часу t вiдносно початкової позицiї,
D(t) =
∑
n
n2Pn(t), та величини d(t) =
∑
n
n2ρn(t) i s(t) =
∑
n
ρn(t).
Тодi з (28) та (29) випливає, якщо закон вiдбиття симетричний
288 I. Л. Нижник
(p−n = pn), що
s(t) = p0s(t− 1) + 2
t∑
i=1
pis(t− i),
d(t) = 2
t∑
i=1
pi[d(t− i) + i2s(t− i)],
D(t) = d(t) + 2
t∑
i=1
qi[d(t− i) + i2s(t− i)],
(30)
де qi =
∑
k>i
pk.
Рекурентнi спiввiдношення (30) можуть використовуватися
для розробки аналiтичних та чисельних методiв знаходження
D(t) як функцiї вiд t.
Для iлюстрацiї специфiки виникаючої дифузiї розглянемо де-
кiлька прикладiв.
Приклад 7. Нехай куля при вiдбиттi у точках з Z має ймовiрнiсть
p вiдбитися перпендикулярно межi та досягти протилежної межi
за час 1, та має ймовiрнiсть q рухатись пiсля вiдбиття влiво або
вправо зi швидкiстю 1, p + 2q = 1. Легко знаходиться явний
вираз для розв’язку цiєї задачi. Так як куля знаходиться у точках
гратки Z для цiлих часiв t, ймовiрнiсть Pn(t) знаходження кулi
у точцi n у час t може бути записана як
Pn(t) =
pt, n = 0,
qpt−|n|, 1 ≤ |n| ≤ t,
0, |n| > t.
(31)
Ймовiрнiсть Pn(t) має форму двох хвиль, що рухаються зi
швидкiстю 1 вправо вздовж додатної пiввiсi та влiво вздовж вiд’-
ємної пiввiсi. Тому середньоквадратичне положення кулi є ква-
дратичною функцiєю часу,
< (∆x)2 >=
∑
n
n2Pn(t) = t2 − 2p
1− p
t+
p(1 + p)
(1− p)2
(1− pt). (32)
Отже дифузiя у цьому прикладi є аномальною.
Аномальна дифузiя в динамiчних системах з вiдбиттям 289
Приклад 8. Нехай p−1 = p1 = p/2, p−N = pN = q/2 та pi = 0 для
iнших i. Тодi p + q = 1. Спiввiдношення (30) для цiлих t < N
записується як
s(t) = ps(t− 1),
d(t) = p[d(t− 1) + s(t− 1)],
D(t) = d(t) + q
t∑
i=1
[d(t− i) + i2s(t− i)].
(33)
Явнi розв’язки (33) для t < N мають вигляд
s(t) = pt, d(t) = tpt, D(t) = t2 − 2p
q
t+
2p
q2
(1− pt).
Тому залежнiсть середньоквадратичного положення кулi вiд-
носно початкового положення є нелiнiйною функцiєю часу для
t < N i, як наслiдок, дифузiя — аномальна.
Приклад 9. Розглянемо строго лакунарну послiдовнiсть p−k =
pk ≥ 0,
pk =
{ 1
2n+1
, |k| = 23
n − 7, n = 1, 2, ...,
0, в iнших випадках.
(34)
За побудовою
∑
k
pk = 1.
Оскiльки за припущенням куля рухається вздовж осi x з
швидкiстю 1, можна припустити, що для часу 0 ≤ t < t0, вiдбит-
тя з ймовiрнiстю pk, |k| ≥ t0, не приводять до нових вiдбиттiв, а
породжують чисте знесення (дрейфування) кулi. Отже, вивчаю-
чи ймовiрнiсть Pn(m) у рiвняннi (15), сумування має перевищи-
ти iндекси k, |k| < t0. Введемо величини p̃k =
pk
1− q
, |k| < t0, де
q =
∑
|k|≥t0
pk < 1, та p̃k = 0 for |k| ≥ t0, та P̃n(m) = (1−q)−mPn(m).
Тодi P̃n(m) =
∑
p̃kP̃n−k(m − 1) i, отже, величина P̃n(m) є ймо-
вiрнiстю m-ого вiдбиття в точцi n бiльярду зi скiнченним числом
290 I. Л. Нижник
ненульових нових ймовiрностей p̃k, оскiльки
∑
p̃k = 1. Асимпто-
тики P̃n(m) для великих m, i, отже, для великого часу, описую-
ться нормальним законом розподiлу, на що наголошує теорема 4
на початку роздiлу.
Оскiльки в початковому бiльярдi кулi рiвномiрно рухаються
з швидкiстю 1 налiво i направо, ми отримаємо наступний вираз
для ймовiрностi Pn(t), де куля знаходиться в точцi n в момент
часу t для t < t0 = 23
r − 7, де r — фiксоване цiле число,
Pn(t) = at
1√
πD̃ t
exp (− n
2
D̃ t
) + f(t− n) + f(t+ n). (35)
Формула (35) має наступне значення. Перший член є зникаюча
дифузiя, завдяки множнику at. Два останнi члени – хвилi, що
рухаються налiво i направо з швидкiстю 1. Таким чином, фор-
мула (35) аналогiчна формулi (31) у прикладi 7. Звичайно, вели-
чини a, D̃ та вигляд функцiї f , тобто профiлi хвиль залежать вiд
розглянутого iнтервалу часу, тобто вiд вибору числа t0. Зокрема,
a = (1− q)
1
T < 1, де T =
1
1− q
∑
|k|<t0
|k| pk.
Однак, щоб установити як середньоквадратичне значення вiд-
хилення положення кулi залежить вiд часу, вигляд функцiї f не
iстотний,
< (∆x)2 > =
∑
n
n2Pn(t) =
=
t∑
n=1
n2f(t− n) +
t∑
n=1
n2f(t+ n) +O(t) = t2 +O(t),
де функцiя O(t) має порядок зросту по t, що не перевищує оди-
ницю. Таким чином, дифузiя в прикладi – аномальна.
Приклад 10. Розглянемо дифузiю для бiльярду з випадковим за-
коном вiдбиття на цiлочисельнiй гратцi Z з ймовiрностями вiд-
Аномальна дифузiя в динамiчних системах з вiдбиттям 291
биття pn = p−n =
1
(n+ 1)(n+ 2)
, n ≥ 1, p0 = 0 та qn =
∑
k>n
pk =
1
n+ 2
.
Чисельнi обчислення за допомогою рекурентного спiввiдно-
шення (30) дають наступнi наближенi значення (похибка не пе-
ревищує 0.5%),
D(t) =
t1.745, 0 ≤ t ≤ 102,
1.65
t1.97
ln(t+ 2)
, 102 ≤ t ≤ 3 · 104.
Тобто дифузiя є аномальною i у цьому прикладi.
Лiтература
[1] Tabachnikov S. Billiards, Panoramas et Syntheses, Soc. Math. France,
No. 1, 1995.
[2] Sinai Ya. G. Introduction to ergodic theory, Mathematical Notes, 18.
Princeton University Press, Princeton, N.J., 1976.
[3] Cornfeld I., Fomin S. V., Sinai Ya. G. Ergodic Theory, Springer-
Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1982.
[4] Chernov N. I., Markarian R. Introduction to the Ergodic Theory of
Chaotic Billiards, Text. Monograph, Monografias del IMCA., Lima:
Pontificia Universidad Catolica del Peru, 2001.
[5] Bunimovich L. A. On billiards close to dispersing ones, Sbornik:
Mathematics, 1974, Vol. 94, pp. 49-73.
[6] Alonso D., Ruiz A., de Vega I. Transport in polygonal billiards, Physi-
ca D, 187 (2004), pp. 184-199.
[7] Alonso D., Artuso R., Casati G., Guarneri I. Heat conductivity and
dynamical instability, Phys. Rev. Lett., 82 (1999), p. 1859.
[8] Matyas L., Klages R. Irregular diffusion in the bouncing ball billiard,
Physica D, 187 (2004), pp. 165-183.
292 I. Л. Нижник
[9] Albeverio S., Galperin G., Nizhnik I. and Nizhnik L. Generalized bi-
lliards inside an infinite strip with periodic laws of reflection along
the strip’s boundaries, Regular and Chaotic Dynamics 10 (3) (2005),
285-306.
[10] Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R.,Tanner G., Vattay G.,
Whelan N., Wirzba A. Classical and Quantum Chaos (2004),
http://www.nbi.dk/ChaosBook/
[11] Шустер Г.Детерминированный хаос: Введение. – М.: Мир, 1988. –
244с.
[12] Nizhnik I. L. Time domain analysis of nonlinear lattices solutions,
Institute of Mathematics of the Ukraine Academy of Sciences, Kiev
(1998), Preprint 98.1, MR1709497(2000m:37174).
[13] Nizhnik L. P., Hasler M., Nizhnik I. L. Stable stationary solutions
in reaction-diffusion systems consisting of a 1-d array of stable cells,
International Journal of Bifurcation and Chaos, 2 (2002), 261-279.
[14] Albeverio S., Nizhnik I. L. Spatial chaos in a fourth-order nonlinear
parabolic equation, Physics Letters A 288 (2001), pp. 299-304.
[15] Nizhnik L. and Nizhnik I. Deterministic diffusion, Preprint, (2015),
http://arxiv.org/pdf/1501.00674.pdf[math.DS]
[16] Gnedenko B. V., Kolmogorov A. N. Limit distributions for sums of
independent random variables, Addison-Wesley Mathematics Series,
Cambridge: Addison-Wesley Publishing Company, IX, 1954.
[17] Korabel N., Klages R. Fractality of deterministic diffusion in the
nonhyperbolic climbing sine map, CHAOTRAN proceedings in Physi-
ca D 187, (2004), 66–88.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-323 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:41Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/4a/587cfa3f3d4df24aa9ed266524750f4a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3232018-02-13T13:12:44Z Anomalous diffusion in dynamic systems with reflection Аномальна дифузія в динамічних системах з відбиттям Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. In this paper, we study generalized billiards inside a strip with a nonideal reflection law in the case where the reflection angle depends not only on the incident angle but also on the reflection point. We give effective conditions for such billiards to have the Bernoulli property. Examples of deterministic diffusion are considered. We also study transport properties of the billiards with a stochastic reflection law. У роботі отримані достатні умови існування властивості Бернуллі в узагальнених більярдах з неідеальним законом відбиття. Розглянуто ряд важливих конкретних прикладів. Досліджена детермінована дифузія в динамічних системах з відбиттям. Встановлені достатні умови, коли детермінована дифузія аномальна. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/323 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 271-292 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 271-292 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 271-292 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/323/306 Авторське право (c) 2017 І. Л. Нижник |
| spellingShingle | Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. Anomalous diffusion in dynamic systems with reflection |
| title | Anomalous diffusion in dynamic systems with reflection |
| title_alt | Аномальна дифузія в динамічних системах з відбиттям |
| title_full | Anomalous diffusion in dynamic systems with reflection |
| title_fullStr | Anomalous diffusion in dynamic systems with reflection |
| title_full_unstemmed | Anomalous diffusion in dynamic systems with reflection |
| title_short | Anomalous diffusion in dynamic systems with reflection |
| title_sort | anomalous diffusion in dynamic systems with reflection |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/323 |
| work_keys_str_mv | AT nizhnikil anomalousdiffusionindynamicsystemswithreflection AT nižnikíl anomalousdiffusionindynamicsystemswithreflection AT nizhnikil anomalʹnadifuzíâvdinamíčnihsistemahzvídbittâm AT nižnikíl anomalʹnadifuzíâvdinamíčnihsistemahzvídbittâm |