Estimates for the best $M$-term trigonometric approximations of classes $L_{\beta,p}^\psi$ of periodic multivariable functions in the case of small smoothness in the space $L_q$
Order estimates are obtained for the best $M$-term trigonometric approximations of the classes $L_{{\boldsymbol{\beta}}, p}^\psi$ of periodic multivariate functions in the case of small smoothness in the space $L_q$, $1<p\leq2\leq q<\infty$.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/324 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552830832738304 |
|---|---|
| author | Pozharska, K. V. Пожарська, К. В. |
| author_facet | Pozharska, K. V. Пожарська, К. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "К. В. Пожарська",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Pozharska, K. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | Order estimates are obtained for the best $M$-term trigonometric approximations of the classes $L_{{\boldsymbol{\beta}}, p}^\psi$ of periodic multivariate functions in the case of small smoothness in the space $L_q$, $1<p\leq2\leq q<\infty$. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 293–318
УДК 517.5
К.В. Пожарська
Iнститут математики НАН України, Київ;
kate.shvai@gmail.com
Оцiнки найкращих M-членних
тригонометричних наближень класiв
Lψβ,p перiодичних функцiй багатьох
змiнних малої гладкостi у просторi Lq
Order estimates are obtained for the best M -term trigonometric
approximations of the classes Lψβ,p of periodic multivariate functions
in the case of small smoothness in the space Lq, 1 < p ≤ 2 ≤ q <∞.
Отримано порядковi оцiнки найкращих M -членних тригономе-
тричних наближень класiв Lψβ,p перiодичних функцiй багатьох
змiнних малої гладкостi у просторi Lq, 1 < p ≤ 2 ≤ q <∞.
Вступ
Нехай Rd, d ≥ 1, — d-вимiрний евклiдiв простiр i для x =
(x1, . . . , xd) ∈ Rd, y = (y1, . . . , yd) ∈ Rd, (x,y) = x1y1 + · · ·+ xdyd,
πd =
d∏
j=1
[−π, π].
c© К.В. Пожарська, 2017
294 К.В. Пожарська
Через Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, позначимо простiр функцiй f(x) =
f (x1, . . . , xd), якi є 2π–перiодичними за кожною змiнною, зi скiн-
ченною нормою
‖f(·)‖Lq(πd) := ‖f(·)‖q =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|q dx
) 1
q
, 1 ≤ q <∞,
‖f(·)‖L∞(πd) := ‖f(·)‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Надалi будемо вважати, що для f ∈ L1(πd) виконується умова∫ π
−π
f(x) dxj = 0, j = 1, d.
Метою роботи є отримання порядкових оцiнок найкращихM -
членних тригонометричних наближень eM
(
Lψβ,p
)
q
у випадку 1 <
p ≤ 2 ≤ q < ∞, при певних обмеженнях на послiдовностi ψj ,
j = 1, d (мала гладкiсть).
Перш за все, означимо апроксимативну характеристику, яка
вивчається у роботi.
Отже, найкращим M–членним тригонометричним наближен-
ням функцiї f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, називають величину
eM (f)q = inf
kj ,cj
∥∥∥∥∥f(·)−
M∑
j=1
cje
i(kj ,·)
∥∥∥∥∥
q
, (1)
де
{
kj
}M
j=1
— система векторiв kj =
(
kj1, ..., k
j
d
)
iз цiлочисельними
координатами, а cj , j = 1,M , — довiльнi комплекснi числа.
Аналогiчним чином вводяться M -членнi тригонометричнi на-
ближення i для функцiональних класiв, а саме, якщо F ⊂ Lq(πd),
то покладають
eM (F )q = sup
f∈F
eM (f)q. (2)
Величину eM (f)2 було введено С. Б. Стєчкiним [1] при фор-
мулюваннi критерiю абсолютної збiжностi рядiв Фур’є. Першi
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 295
оцiнки величини eM (f)∞ для деяких iндивiдуальних функцiй
були отриманi Р. С. Iсмагiловим [2]. Систематичне ж вивчен-
ня величини (2) на класах перiодичних функцiй багатьох змiн-
них W r
β,p та Hr
p було започатковано В. Н. Темляковим [3 – 6].
Згодом дослiдження найкращих M -членних тригонометричних
наближень для iндивiдуальних функцiй та класiв функцiй як
однiєї, так i багатьох змiнних, активно проводилося у роботах
Е. С. Белiнського [7, 8], А. С. Романюка [9 – 15], R. A. De Vore,
V. N. Temlyakov [16], Dinh Dung [17, 18], та iн. Бiльш детальну
iсторiю дослiдження величин (1), (2) та вiдповiдну бiблiографiю
можна знайти у [13, 15, 19].
У роботi ми знаходимо оцiнки найкращих M -членних триго-
нометричних наближень класiв Lψβ,p у метрицi простору Lq(πd),
при певних умовах на швидкiсть спадання послiдовностей ψj ,
j = 1, d, та обмеженнях на параметри p i q. Данi класи для
d = 1 (одновимiрний випадок) були запропонованi О. I. Сте-
панцем (див., наприклад, [20, т. I, c. 132]), а в багатовимiрному
випадку дослiджувалися в роботах [21, 22].
Отже, розглянемо ряд Фур’є функцiї f ∈ L1(πd)∑
k∈Zd
f̂(k)ei(k,x),
де f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f .
Далi, нехай ψj 6= 0 — довiльнi функцiї натурального аргументу,
βj ∈ R, j = 1, d, Z̊d = (Z \ {0})d. Припустимо, що ряд
∑
k∈Z̊d
d∏
j=1
ei
πβj
2
sgnkj
ψj(|kj |)
f̂(k)ei(k,x)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї fψβ . Таку функцiю нази-
вають (див., наприклад, [20, т. I, c. 132]) (ψ,β)–похiдною фун-
кцiї f . Через Lψβ,p позначимо клас функцiй f , для яких iснують
(ψ,β)–похiднi i виконується умова
∥∥fψβ (·)
∥∥
p
≤ 1, 1 ≤ p ≤ ∞.
296 К.В. Пожарська
Зазначимо, що класи Lψβ,p є узагальненням добре вiдомих кла-
сiв Вейля–НадяW r
β,p (див., наприклад, [23, с. 25]) та спiвпадають
з ними при ψj (|kj |) = |kj |−rj , rj > 0, kj ∈ Z\{0}, j = 1, d.
1. Допомiжнi твердження
Перед тим, як перейти до формулювання тверджень, якi будемо
використовувати при доведеннi одержаних результатiв, введемо
ще деякi позначення.
Отже, через D будемо позначати множину послiдовностей ψ,
якi задовольняють наступнi умови:
1. ψ — додатнi та незростаючi;
2. ∃M > 0 таке, що ∀l ∈ N ψ(l)
ψ(2l) ≤M .
До вказаної множини належать, зокрема, функцiї ψ(|k|) = 1
|k|r ,
r > 0, k ∈ Z\{0}; ψ(|k|) = lnα(|k|+1)
|k|r , r > 0, k ∈ Z\{0}, α ∈ R, та
iншi.
Далi, кожному вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, по-
ставимо у вiдповiднiсть множину
ρ(s) =
{
k = (k1, . . . , kd) : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d
}
,
i для f ∈ L1(πd) покладемо
δs(f,x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x),
де f̂(k) – коефiцiєнти Фур’є функцiї f .
Також нами буде використовуватися множина Qn =⋃
(s,1)<n
ρ(s), 1 = (1, . . . , 1) ∈ Nd, яку називають "схiдчастим гi-
перболiчним хрестом" [5, с. 7]. Вiдомо, що кiлькiсть точок цiєї
множини за порядком дорiвнює 2nnd−1 [5, с. 70].
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 297
Для встановлення оцiнок зверху найкращих M -членних три-
гонометричних наближень класiв Lψβ,p нам знадобляться оцiнки
найкращих тригонометричних наближень вiдповiдних класiв по-
лiномами iз множини T (Qn) =
{
t : t(x) =
∑
k∈Qn
cke
i(k,x)
}
, якi
означаються наступним чином:
En(Lψβ,p)q = sup
f∈Lψβ,p
inf
t∈T (Qn)
‖f(·)− t(·)‖q.
Для двох невiд’ємних послiдовностей {a(n)}∞n=1 i {b(n)}∞n=1
спiввiдношення (порядкова нерiвнiсть) a(n) � b(n) означає, що
iснує стала C1 > 0 така, що a(n) ≤ C1b(n). Спiввiдношення
a(n) � b(n) рiвносильне тому, що a(n) � b(n) i b(n) � a(n).
Зазначимо, що сталi Ci, i = 1, 2, . . . , якi далi будуть зустрiча-
тися у порядкових спiввiдношеннях, можуть залежати лише вiд
тих параметрiв, що входять в означення класу та метрики, в якiй
здiйснюється наближення, а також вiд розмiрностi простору Rd.
Якщо N — деяка скiнченна множина, то через |N| будемо по-
значати кiлькiсть елементiв цiєї множини.
Результати роботи будемо формулювати в термiнах таких
апроксимативних характеристик:
Φ(n) = min
(s,1)=n
d∏
j=1
ψj(2
sj ), Ψ(n) = max
(s,1)=n
d∏
j=1
ψj(2
sj ).
Теорема 1. (Лiттлвуда-Пелi, див., наприклад, [24, с. 52–56]).
Нехай задано 1 < q <∞. Тодi iснують такi додатнi сталi C2(q)
та C3(q), що для кожної функцiї f ∈ Lq(πd) має мiсце оцiнка
C2(q)‖f(·)‖q ≤
∥∥∥∥∥(∑
s
|δs(f, ·)|2
) 1
2
∥∥∥∥∥
q
≤ C3(q)‖f(·)‖q.
298 К.В. Пожарська
Теорема 2. [25] Нехай 1 < p < q < ∞, ψj ∈ D, i, крiм цього,
ψj(|kj |)|kj |
1
p
− 1
q , j = 1, d, не зростають. Тодi справедливе спiввiд-
ношення
En
(
Lψβ,p
)
q
� Ψ(n)2
n
(
1
p
− 1
q
)
.
Зауважимо, що порядок величин En
(
Lψβ,p
)
q
у цьому випадку
реалiзують схiдчасто гiперболiчнi суми Фур’є виду
Sn(f,x) =
∑
(s,1)<n
δs(f,x), f ∈ Lψβ,p.
Далi нам знадобиться також спiввiдношення двоїстостi, яке
випливає iз бiльш загального результату С. М. Нiкольського
(див., наприклад, [26, c. 25]).
Теорема 3. Для будь–якої функцiї f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q <∞,
eM (f)q = inf
θM
sup
P∈L⊥(θM ),
‖P (·)‖q′≤1
∣∣∣∣(2π)−d
∫
πd
f(x)P (x) dx
∣∣∣∣ ,
де 1
q + 1
q′ = 1, θM – набiр iз M рiзних векторiв k ∈ Zd, L⊥(θM ) —
множина функцiй, ортогональна пiдпростору тригонометри-
чних полiномiв з ”номерами” гармонiк iз множини θM , а P (x)
– функцiя, комплексно-спряжена до P (x).
Теорема 4. [21] Нехай 1 < p < ∞ i ψj ∈ D, j = 1, d. Тодi для
довiльного полiнома t з ”номерами” гармонiк iз множини Qn,
має мiсце спiввiдношення∥∥∥tψβ (·)
∥∥∥
p
� 1
Φ(n)
‖t(·)‖p .
Лема 5. [8, c. 20] Нехай 2 < q <∞. Тодi для будь-якого триго-
нометричного полiнома P (θL;x), що мiстить не бiльше L гар-
монiк, i для довiльного N < L знайдеться тригонометричний
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 299
полiном P (θN ;x), у якого не бiльше N коефiцiєнтiв вiдмiнних
вiд нуля, такий що
‖P (θL; ·)− P (θN ; ·)‖q �
(
L
N
) 1
2
‖P (θL; ·)‖2 ,
причому θN ⊂ θL.
Будемо використовувати також твердження, яке є наслiдком
теореми 1 iз [21].
Лема 6. [8, c. 20] Нехай 1 < p < ∞, f ∈ Lψβ,p, ψj ∈ D, j = 1, d.
Тодi для будь-якого s ∈ Nd справедлива оцiнка
‖δs(f, ·)‖p �
d∏
j=1
ψj(2
sj )
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥
p
.
Лема 7. [5, c. 28] При 1 < q < p ≤ ∞, f ∈ Lq(πd), справедлива
оцiнка
‖f(·)‖qq �
∑
s
‖δs(f, ·)‖qp · 2
(s,1)
(
1
p
− 1
q
)
q
.
Лема 8. [5, с. 25] При 1 ≤ p < q < ∞, f ∈ Lp(πd), справедлива
оцiнка ∑
s
‖δs(f, ·)‖qp · 2
(s,1)
(
1
p
− 1
q
)
q � ‖f(·)‖qq .
2. Основнi результати
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 9. Нехай 1 < p ≤ 2 ≤ q <∞, ψj ∈ D, βj ∈ R, j = 1, d,
i, крiм цього, iснує ε > 0 таке, що ψj(|kj |)|kj |
1
p
−ε не спадають, а
ψj(|kj |)|kj |q
′
(
1
p
− 1
q
)
не зростають. Тодi для будь-яких натураль-
них M i n, що задовольняють умову M � 2nnd−1, та числа
n1 =
q
2
n−
(q
2
− 1
)
(d− 1) log n,
300 К.В. Пожарська
справедлива оцiнка
Φ([n1])M
q
2
(
1
p
− 1
q
)
(logM)
(d−1)
(
1− q
p
)
� eM
(
Lψβ,p
)
q
�
�Ψ([n1])M
q
2
(
1
p
− 1
q
)
(logM)
(d−1)
(
1− q
p
)
. (3)
Доведення. Отримаємо спочатку оцiнку зверху. Нехай f — до-
вiльна функцiя iз класу Lψβ,p, M — задане достатньо велике чи-
сло. Пiдберемо число n ∈ N так, щоб виконувалося спiввiдноше-
ння M � 2nnd−1 i покладемо
n1 =
q
2
n−
(q
2
− 1
)
(d− 1) log n
n2 =
q
2
n+
q
2
(d− 1) log n.
Далi, розiб’ємо ряд Фур’є функцiї f на кiлька частин, кожна з
яких, згiдно з теоремою Лiттлвуда–Пелi, також належить класу
Lψβ,p. Отже, нехай
f(x) =
( ∑
(s,1)<n
+
∑
n≤(s,1)<[n1]
+
∑
[n1]≤(s,1)<[n2]
+
∑
(s,1)≥[n2]
)
δs(f,x) =
=
( ∑
(s,1)<n
+
∑
n≤(s,1)<[n1]
+
[n2]∑
l=[n1]
∑′
(s,1)=l
+
[n2]∑
l=[n1]
∑′′
(s,1)=l
+
+
∑
(s,1)≥[n2]
)
δs(f,x),
де доданок
[n2]∑
l=[n1]
∑′
(s,1)=l
мiстить ml ”блокiв” δs (f,x) по тих векто-
рах s = (s1, . . . , sd), яким вiдповiдають найбiльшi значення норм∥∥δs(fψβ , ·)∥∥2
, а доданок
[n2]∑
l=[n1]
∑′′
(s,1)=l
— всi тi ”блоки”, якi залиши-
лися. Числа ml виберемо пiзнiше.
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 301
Будемо наближати функцiю f полiномом P (θM ;x), що скла-
дається iз її частинної схiдчастої гiперболiчної суми Фур’є фун-
кцiї та деяких полiномiв, якi будуть сконструйованi в процесi
встановлення оцiнок. Тобто
P (θM ;x) =
∑
(s,1)<n
δs (f,x) +
+
∑
n≤(s,1)<[n1]
P1(θNs ;x) +
∑
[n1]≤(s,1)<[n2]
P2(θMs ;x).
Тодi, згiдно з властивостями норми, матимемо
‖f(·)− P (θM ; ·)‖q ≤
≤
∥∥∥ ∑
n≤(s,1)<[n1]
(δs(f, ·)− P1 (θNs ; ·))
∥∥∥
q
+
+
∥∥∥∥∥
[n2]∑
l=[n1]
∑′
(s,1)=l
δs(f, ·)−
∑
[n1]≤(s,1)<[n2]
P2 (θMs ;x)
∥∥∥∥∥
q
+
+
∥∥∥∥∥
[n2]∑
l=[n1]
∑′′
(s,1)=l
δs(f, ·)
∥∥∥∥∥
q
+
∥∥∥∥∥ ∑
(s,1)≥[n2]
δs(f, ·)
∥∥∥∥∥
q
=
= I1 + I2 + I3 + I4. (4)
Оцiнимо окремо кожен iз доданкiв I1, I2, I3, I4.
Перейдемо до встановлення оцiнки доданку I1. Скористав-
шись теоремою 1, можемо записати
I1 =
∥∥∥∥∥ ∑
n≤(s,1)<[n1]
(δs(f, ·)− P1 (θNs ; ·))
∥∥∥∥∥
q
�
�
∥∥∥∥∥
( ∑
n≤(s,1)<[n1]
∣∣∣∣∣∣δs(f, ·)− P1
(
θNs ; ·
)∣∣∣∣∣
2
1
2
∥∥∥∥∥
q
=
302 К.В. Пожарська
=
∥∥∥∥∥ ∑
n≤(s,1)<[n1]
|δs(f, ·)− P1 (θNs ; ·)|
2
∥∥∥∥∥
q
2
1
2
≤
≤
( ∑
n≤(s,1)<[n1]
∣∣∣ |δs(f, ·)− P1 (θNs ; ·)|
2
∥∥∥
q
2
) 1
2
=
=
( ∑
n≤(s,1)<[n1]
‖δs(f, ·)− P1 (θNs ; ·)‖
2
q
) 1
2
.
Далi, використавши послiдовно леми 5 та 6, отримаємо
I1 �
( ∑
n≤(s,1)<[n1]
2(s,1)
Ns
‖δs(f, ·)‖22
) 1
2
�
�
( ∑
n≤(s,1)<[n1]
2(s,1)
Ns
(
d∏
j=1
ψj(2
sj )
)2 ∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥2
2
) 1
2
. (5)
Тепер кожному вектору s = (s1, . . . , sd), що задовольняє умо-
ву n ≤ (s,1) < [n1], поставимо у вiдповiднiсть числа
Ns =
2nnd−1
2
n1
p n
d−1
p′
1 Ψ([n1])
2
(s,1)
2
d∏
j=1
ψj(2
sj )
∥∥∥δs(fψβ , ·)∥∥∥
2
+ 1,
i переконаємося, що при такому виборi чисел Ns кiлькiсть гар-
монiк у полiномi
∑
n≤(s,1)<[n1]
P1 (θNs ;x) не перевищує за порядком
2nnd−1. Дiйсно, маємо ∑
n≤(s,1)<[n1]
Ns � nd1+
+
2nnd−1
2
n1
p n
d−1
p′
1 Ψ([n1])
∑
n≤(s,1)<[n1]
2
(s,1)
2
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥
2
d∏
j=1
ψj(2
sj ). (6)
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 303
Оцiнимо спочатку величину пiд знаком суми у правiй частинi
спiввiдношення (6). Скориставшись нерiвнiстю Гельдера, мати-
мемо
I5 =
∑
n≤(s,1)<[n1]
2
(s,1)
2
∥∥∥δs(fψβ , ·)∥∥∥
2
d∏
j=1
ψj (2sj ) =
=
∑
n≤(s,1)<[n1]
∥∥∥δs(fψβ , ·)∥∥∥
2
2
(s,1)
(
1
2
− 1
p
)
2
(s,1)
p
d∏
j=1
ψj(2
sj ) ≤
≤
( ∑
n≤(s,1)<[n1]
∥∥∥δs(fψβ , ·)∥∥∥p
2
2
(s,1)
(
1
2
− 1
p
)
p
) 1
p
×
×
( ∑
n≤(s,1)<[n1]
2
(s,1)p′
p
(
d∏
j=1
ψj(2
sj )
)p′) 1
p′
. (7)
Далi, застосовуючи до першого множника лему 7 та враховуючи,
що послiдовнiсть ψj(|kj |)|kj‖
1
p
−ε є неспадною, одержимо
I5 �
∥∥∥fψβ (·)
∥∥∥
p
( ∑
n≤(s,1)<[n1]
(
d∏
j=1
ψj(2
sj )2
sj
(
1
p
−ε
)
2sjε
)p′) 1
p′
≤
≤ Ψ([n1])2
n1
(
1
p
−ε
) [n1]∑
l=n
∑
(s,1)=l
2(s,1)p′ε
1
p′
�
� Ψ([n1])2
n1
(
1
p
−ε
) [n1]∑
l=n
2lp
′εld−1
1
p′
�
� Ψ([n1])2
n1
(
1
p
−ε
)
2n1εn
d−1
p′
1 = Ψ([n1])2
n1
p n
d−1
p′
1 . (8)
Прийнявши до уваги (8) i повертаючись до (6), будемо мати∑
n≤(s,1)<[n1]
Ns �
2nnd−1
2
n1
p n
d−1
p′
1 Ψ([n1])
Ψ([n1])2
n1
p n
d−1
p′
1 + nd1 � 2nnd−1.
304 К.В. Пожарська
Таким чином, кiлькiсть гармонiк, що мiстяться в об’єднаннi
полiномiв P (θNs ;x), не перевищує за порядком M .
Тепер, пiдставляючи значення Ns у (5), та використовуючи
оцiнку (8), отримаємо
I1 �
�
∑
n≤(s,1)<[n1]
2(s,1)
(
d∏
j=1
ψj (2sj )
)2 ∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥2
2
2
n1
p n
d−1
p′
1
2nnd−12
(s,1)
2
d∏
j=1
ψj (2sj )
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥
2
Ψ([n1])−1
1
2
=
=
2
n1
p n
d−1
p′
1 Ψ([n1])
2nnd−1
∑
n≤(s,1)<[n1]
2
(s,1)
2
d∏
j=1
ψj (2sj )
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥
2
1
2
�
�
2
n1
p n
d−1
p′
1 Ψ([n1])
2nnd−1
Ψ([n1])2
n1
p n
d−1
p′
1
1
2
=
Ψ([n1])2
n1
p n
d−1
p′
1
2
n
2 n
d−1
2
. (9)
Далi, пiдставляючи значення n1 = q
2n−
( q
2 − 1
)
(d− 1) log n та
здiйснюючи елементарнi перетворення, iз (9) отримаємо
I1 �
Ψ([n1])2
q
2p
n
n
d−1
p′
n
(
q
2−1
)
(d−1)
p 2
n
2 n
d−1
2
= Ψ([n1])2
q
2
n
(
1
p
− 1
q
)
n
q
2
(d−1)
(
1
q
− 1
p
)
. (10)
Враховуючи, що M � 2nnd−1, iз (10) можемо записати
I1 � Ψ([n1])
(
2nnd−1
) q
2
n
(
1
p
− 1
q
)
n
q(d−1)
(
1
q
− 1
p
)
�
� Ψ([n1])M
q
2
(
1
p
− 1
q
)
(logM)
(d−1)
(
1− q
p
)
(11)
Перейдемо до оцiнки доданку I2 iз (4).
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 305
Згiдно з теоремою 1 та лемою 5, отримаємо
I2 =
∥∥∥∥∥∥
[n2]∑
l=[n1]
∑′
(s,1)=l
δs(f, ·)−
∑
[n1]≤(s,1)<[n2]
P2 (θMs ;x)
∥∥∥∥∥∥
q
�
�
[n2]∑
l=[n1]
∑′
(s,1)=l
2(s,1)
Ms
‖δs(f, ·)‖22
1
2
�
�
[n2]∑
l=[n1]
2l
∑′
(s,1)=l
Ms
−1 ‖δs(f, ·)‖22
1
2
. (12)
Далi, кожному вектору s = (s1, . . . , sd) такому, що задоволь-
няє умову [n1] ≤ (s,1) < [n2], поставимо у вiдповiднiсть числа
Ms =
(
2nnd−1
)1− q′
2p′
Ψ([n1])2
n1q′
(
1
p
− 1
q
) 2
l
2 ‖δs(f, ·)‖2
+ 1.
Переконаємося, що при вказаному виборi чиселMs, виконується
спiввiдношення
[n2]∑
l=[n1]
∑′
(s,1)=l
Ms � 2nnd−1.
Дiйсно,
[n2]∑
l=[n1]
∑′
(s,1)=l
Ms �
[n2]∑
l=[n1]
∑′
(s,1)=l
(
2nnd−1
)1− q′
2p′
Ψ([n1])2
n1q′
(
1
p
− 1
q
) 2
l
2 ‖δs(f, ·)‖2 + nd2 =
=
(
2nnd−1
)1− q′
2p′
Ψ([n1])2
n1q′
(
1
p
− 1
q
) [n2]∑
l=[n1]
2
l
2
∑′
(s,1)=l
‖δs(f, ·)‖2 + nd2.
(13)
Оцiнимо окремо суму у правiй частинi спiввiдношення (13).
306 К.В. Пожарська
Застосовуючи лему 6, матимемо
I6 =
[n2]∑
l=[n1]
2
l
2
∑′
(s,1)=l
‖δs(f, ·)‖2 �
�
[n2]∑
l=[n1]
2
l
2
∑′
(s,1)=l
∥∥∥δs(fψβ , ·)∥∥∥
2
d∏
j=1
ψj(2
sj ) =
=
[n2]∑
l=[n1]
2
l
2
∑′
(s,1)=l
∥∥δs(fψβ , ·)∥∥2
d∏
j=1
ψj(2
sj )2
(s,1)( 1
p
− 1
2
)
2
(s,1)( 1
2
− 1
p
)
.
(14)
Згiдно з умовою теореми 3, послiдовнiсть ψj (|kj |) |kj |q
′
(
1
p
− 1
q
)
не
зростає. Тодi не зростає також послiдовнiсть ψj (|kj |) |kj |
1
p
− 1
2 .
Дiйсно, оскiльки 1
q + 1
q′ = 1, тобто q′ = q
q−1 , а 1 − 1
p = 1
p′ , то
можемо записати, що
q′
(
1
p
− 1
q
)
=
1
p
− q′
qp′
=
1
p
− 1
(q − 1)p′
. (15)
Звiдси бачимо, що при 2 ≤ q <∞ виконується нерiвнiсть q′
(
1
p−
1
q
)
≥ 1
p−
1
2 , i тому робимо висновок, що послiдовнiсть ψj (|kj |) |kj |
1
p
− 1
2
є незростаючою. Тому для оцiнки (14) одержимо
I6 �
[n2]∑
l=[n1]
2
l
2 Ψ(l)2
l
(
1
p
− 1
2
) ∑′
(s,1)=l
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥
2
2
(s,1)
(
1
2
− 1
p
)
.
Далi, застосовуючи нерiвнiсть Гельдера та враховуючи, що у
внутрiшнiй сумi мiститься не бiльше, нiж ml доданкiв, отримає-
мо
I6 �
[n2]∑
l=[n1]
2
l
pΨ(l)
∑′
(s,1)=l
1p
′
1
p′
×
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 307
×
∑′
(s,1)=l
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥p
2
2
(s,1)( 1
2
− 1
p
)p
1
p
�
�
[n2]∑
l=[n1]
Ψ(l)2
l
p
∑′
(s,1)=l
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥p
2
2
(s,1)( 1
2
− 1
p
)p
1
p
m
1
p′
l . (16)
Тепер, кожному l ∈ N, [n1] ≤ l < [n2], поставимо у вiдповiд-
нiсть числа
Sl =
∑
(s,1)=l
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥p
2
2
(s,1)
(
1
2
− 1
p
)
p
1
p
(17)
ml =
[
2
q′
2
nn(d−1) q
′
2 Spl 2
−lq′
q
]
. (18)
Пiдставляючи значення Sl та ml у (16), одержимо
I6 �
[n2]∑
l=[n1]
Ψ(l)2
l
pSl2
q′
2p′ nn
(d−1) q
′
2p′ S
p
p′
l 2
−lq′
qp′ =
=
(
2nnd−1
) q′
2p′
[n2]∑
l=[n1]
Ψ(l)2
l
pSpl 2
−lq′
qp′ .
Враховуючи, що згiдно з умовою теореми 9, послiдовнiсть
ψj (|kj |) |kj |
1
p
− q′
qp′ не зростає, матимемо
I6 � (2nnd−1)
q′
2p′Ψ([n1])2
n1
(
1
p
− q′
qp′
) [n2]∑
l=[n1]
Spl . (19)
Згiдно з лемою 7, можемо записати
[n2]∑
l=[n1]
Spl =
∑
(s,1)=l
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥p
2
2
(s,1)
(
1
2
− 1
p
)
p �
∥∥∥fψβ (·)
∥∥∥p
p
≤ 1. (20)
308 К.В. Пожарська
Тому, продовжимо оцiнку (19) величини I6
I6 =
[n2]∑
l=[n1]
2
l
2
∑′
(s,1)=l
‖δs(f, ·)‖2 �
�
(
2nnd−1
) q′
2p′
Ψ([n1])2
n1
(
1
p
− q′
qp′
)
. (21)
Пiдставляючи (21) у (13) та беручи до уваги (15), отримаємо
[n2]∑
l=[n1]
∑′
(s,1)=l
Ms �
� (2nnd−1)
1− q′
2p′
Ψ([n1])2
n1q′(
1
p
− 1
q
)
(2nnd−1)
q′
2p′Ψ([n1])2
n1( 1
p
− q′
qp′ ) + nd2 � 2nnd−1.
Отже, кiлькiсть гармонiк в об’єднаннi полiномiв P2(θMs ;x) не
перевищує за порядком 2nnd−1.
Оцiнимо тепер доданок I2. Пiдставляючи у (12) значення для
Ms та використовуючи оцiнку (21), матимемо
I2 �
[n2]∑
l=[n1]
2l
∑′
(s,1)=l
Ψ([n1])2
n1q′(
1
p
− 1
q
) ‖δs(f, ·)‖22
(2nnd−1)
1− q′
2p′ 2
l
2 ‖δs(f, ·)‖2
1
2
=
=
Ψ([n1])2
n1q′(
1
p
− 1
q
)
(2nnd−1)
1− q′
2p′ 2
l
2
[n2]∑
l=[n1]
2
l
2
∑′
(s,1)=l
‖δs(f, ·)‖2
1
2
�
�
Ψ([n1])2
n1q′(
1
p
− 1
q
)
(2nnd−1)
1− q′
2p′ 2
l
2
(2nnd−1)
q′
2p′Ψ([n1])2
n1( 1
p
− q′
qp′ )
1
2
=
= Ψ([n1])2
n1q′(
1
p
− 1
q
)
(2nnd−1)
q′
2p′−
1
2 . (22)
Далi, врахувавши, що n1 = q
2n −
( q
2 − 1
)
(d − 1) log n, а M �
2nnd−1, та виконавши елементарнi перетворення, продовжимо
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 309
оцiнку (22)
I2 � Ψ([n1])2
qq′
2
n
(
1
p
− 1
q
)
n
−
(
q
2
−1
)
(d−1)q′
(
1
p
− 1
q
) (
2nnd−1
) q′
2p′−
1
2
=
= Ψ([n1])2
q
2
n
(
1
p
− 1
q
)
n
− q
2
(d−1)
(
1
p
− 1
q
)
=
= Ψ([n1])
(
2nnd−1
) q
2
(
1
p
− 1
q
)
n
−(d−1)
(
1
p
− 1
q
)
q �
� Ψ([n1])M
q
2
(
1
p
− 1
q
)
(logM)
(d−1)
(
1− q
p
)
. (23)
Перейдемо тепер до оцiнки третього доданку iз правої частини
спiввiдношення (4):
I3 =
∥∥∥∥∥∥
[n2]∑
l=[n1]
∑′′
(s,1)=l
δs(f, ·)
∥∥∥∥∥∥
q
. (24)
Для цього занумеруємо ”блоки” δs(f,x), якi мiстяться в I3, в
порядку спадання норм
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥
2
i позначимо їх αi(f, l), i =
1, 2, . . . .
Тодi, згiдно з означенням (17) величин Sl, запишемо
Spl =
∑
(s,1)=l
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥p
2
2
(s,1)
(
1
2
− 1
p
)
p � 2
l
(
1
2
− 1
p
)
p
(αi(f, l)
p · i) .
Звiдси, отримаємо
Sl � 2
l
(
1
2
− 1
p
)
αi(f, l) · i
1
p ,
тобто
αi(f, l)� i
− 1
p 2
−l
(
1
2
− 1
p
)
Sl. (25)
Тепер, використовуючи послiдовно леми 8 та 6, iз (24) одержимо
310 К.В. Пожарська
I3 �
[n2]∑
l=[n1]
∑′′
(s,1)=l
‖δs(f, ·)‖q2 2
(s,1)
(
1
2
− 1
q
)
q
1
q
�
�
[n2]∑
l=[n1]
∑′′
(s,1)=l
∥∥∥δs(fψβ , ·)∥∥∥q
2
(
d∏
j=1
ψj(2
sj )
)q
2
(s,1)( 1
2
− 1
q
)q
1
q
�
�
[n2]∑
l=[n1]
∑′′
(s,1)=l
∥∥∥δs(fψβ , ·)∥∥∥p
2
∥∥∥δs(fψβ , ·)∥∥∥q−p
2
Ψ(l)q2
l( 1
2
− 1
q
)q
1
q
.
(26)
Враховуючи, що в I3 мiстяться норми
∥∥∥δs(fψβ , ·)∥∥∥
2
починаючи
з номера ml, i використовуючи спiввiдношення (25) та (17), iз
(26) отримаємо
I3 �
[n2]∑
l=[n1]
∑
i>mi
αi(f, l)
pαi(f, l)
q−pΨ(l)q2
l
(
1
2
− 1
q
)
q
1
q
�
(
[n2]∑
l=[n1]
m
− q−p
p
l 2
−l( 1
2
− 1
q
)q
2
l( 1
2
− 1
p
)p
Sq−pl Ψ(l)q2
l( 1
2
− 1
q
)q
∑
i>mi
αi(f, l)
p
) 1
q
�
(
[n2]∑
l=[n1]
m
− q−p
p
l 2
lq( 1
p
− 1
q
)
Ψ(l)qSq−pl
∑
(s,1)=l
∥∥∥δs (fψβ , ·)∥∥∥p
2
2
(s,1)( 1
2
− 1
p
)p
) 1
q
=
=
[n2]∑
l=[n1]
m
− q−p
p
l 2
lq
(
1
p
− 1
q
)
Ψ(l)qSq−pl Spl
1
q
=
=
[n2]∑
l=[n1]
m
− q−p
p
l 2
lq
(
1
p
− 1
q
)
Ψ(l)qSql
1
q
. (27)
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 311
Тепер, пiдставляючи в (27) значення величин ml iз (18) та
здiйснюючи елементарнi перетворення, будемо мати
I3 �
[n2]∑
l=[n1]
(
2
q′
2
nn(d−1) q
′
2 Spl 2
−lq′
q
) p−q
p
2
lq
(
1
p
− 1
q
)
Ψ(l)qSql
1
q
=
= 2
q′n(p−q)
2pq n
(d−1)(p−q)q′
2pq
[n2]∑
l=[n1]
Spl Ψ(l)q2
lqq′
(
1
p
− 1
q
) 1
q
. (28)
За умовою теореми 9, послiдовнiсть ψj (|kj |) |kj |q
′
(
1
p
− 1
q
)
не зро-
стає. Тому, враховуючи (20), iз (28) отримаємо
I3 � 2
q′n(p−q)
2pq n
(d−1)(p−q)q′
2pq Ψ([n1])2
n1q′
(
1
p
− 1
q
)
. (29)
Пiдставляючи в (29) значення n1 = q
2n −
( q
2 − 1
)
(d − 1) log n, та
виконуючи необхiднi перетворення, матимемо
I3 � 2
q′
2
n( 1
q
− 1
p
)
n
(d−1)q′
2
( 1
q
− 1
p
)
Ψ([n1])2
q
2
nq′( 1
p
− 1
q
)
n
−( q
2
−1)(d−1)q′( 1
p
− 1
q
)
=
= Ψ([n1])2
q
2
n
(
1
p
− 1
q
)
n
− q
2
(d−1)
(
1
p
− 1
q
)
.
Враховуючи, що M � 2nnd−1, запишемо оцiнку для доданку I3
I3 � Ψ([n1])
(
2nnd−1
) q
2
(
1
p
− 1
q
)
n
−(d−1)
(
1
p
− 1
q
)
q �
� Ψ([n1])M
q
2
(
1
p
− 1
q
)
(logM)
(d−1)
(
1− q
p
)
. (30)
Для завершення оцiнки зверху залишилося оцiнити доданок
I4 iз спiввiдношення (4). Скориставшись результатом теореми 1
(див. зауваження), можемо записати
I4 ≤ sup
f∈Lψβ,p
∥∥∥∥∥∥f(·)−
∑
(s,1)<[n2]
δs(f, ·)
∥∥∥∥∥∥
q
� Ψ([n2])2
n2
(
1
p
− 1
q
)
. (31)
312 К.В. Пожарська
Тодi, враховуючи, що, згiдно з умовою теореми 9, послiдовнiсть
ψj (|kj |) |kj |q
′
(
1
p
− 1
q
)
не зростає, а числа n1 та n2 вибранi так, що
n1 менше за n2, отримаємо
I4 � Ψ([n2])2
n2q′
(
1
p
− 1
q
)
2
−n2q′
(
1
p
− 1
q
)
2
n2
(
1
p
− 1
q
)
≤
≤ Ψ([n1])2
(n1−n2)q′
(
1
p
− 1
q
)
2
n2
(
1
p
− 1
q
)
. (32)
Пiдставляючи значення чисел n1 i n2 та здiйснюючи елемен-
тарнi перетворення, будемо мати
I4 � Ψ([n1])
(
2nnd−1
) q
2
(
1
p
− 1
q
)
n
(d−1)
(
1− q
p
)
�
� Ψ([n1])M
q
2
(
1
p
− 1
q
)
(logM)
(d−1)
(
1− q
p
)
. (33)
Об’єднуючи оцiнки (4), (11), (23), (30) та (33), отримаємо
‖f(·)− P (θM ; ·)‖q � Ψ([n1])M
q
2
(
1
p
− 1
q
)
(logM)
(d−1)
(
1− q
p
)
.
Оцiнку зверху доведено.
Для встановлення оцiнки знизу, пiдберемо функцiї f1 та P̃
вiдповiдно до умов теореми 3. Для цього розглянемо схiдчасто–
гiперболiчне ядро Дiрiхле
Dl(x) =
∑
(s,1)≤l
∑
k∈ρ(s)
ei(k,x),
де число l ∈ N задовольняє умову l ≥ q
2 logM − (d − 1)(q −
1) log logM .
Вiдомо [27], що
‖Dl(·)‖p � 2
l
(
1− 1
p
)
l
d−1
p , 1 < p <∞. (34)
Тому, скориставшись теоремою 4, знайдемо∥∥∥(Dl(·))ψβ
∥∥∥
p
� 1
Φ(l)
2
l
(
1− 1
p
)
l
d−1
p .
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 313
Таким чином, функцiя
f1(x) = C4Φ(l)2
l
(
1
p
−1
)
l
− d−1
p Dl(x).
з вiдповiдною сталою C4 > 0 належить класу Lψβ,p.
Далi, розглянемо полiном
P̃ (x) = C5
(
2
l
q l
d−1
q′ +M
1
2
)−1
Dl(x)−
∑
k∈θM
′
ei(k,x)
, C5 > 0,
де штрих означає, що пiдсумовування виконується тiльки за ти-
ми k ∈ θM , якi мiстяться в Dl. Покажемо, що полiном P̃ задо-
вольняє умови теореми 3.
Оскiльки q′ ≤ 2, то, беручи до уваги властивостi норми, спiв-
вiдношення (34), та рiвнiсть Парсеваля, одержимо
‖P (·)‖q′ ≤
(
2
l
q l
d−1
q′ +M
1
2
)−1
‖Dl(·)‖q′ +
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈θM
′
ei(k,·)
∥∥∥∥∥∥
2
�
�
(
2
l
q l
d−1
q′ +M
1
2
)−1
2
l
q l
d−1
q′ +
∑
k∈θM
′
1
1
2
�
�
(
2
l
q l
d−1
q′ +M
1
2
)−1 (
2
l
q l
d−1
q′ +M
1
2
)
= 1.
Отже, полiном P̃ з вiдповiдною сталою C5 > 0 задовольняє умо-
ви теореми 3, i таким чином, згiдно з цiєю теоремою, можемо
записати
eM
(
Lψβ,p
)
q
� Φ(l)2
l
(
1
p
−1
)
l
− d−1
p
(
2
l
q l
d−1
q′ +M
1
2
)−1
×
×
∣∣∣∣∣∣
∫
πd
Dl(x)−
∑
k∈θM
′
ei(k,x)
Dl(x) dx
∣∣∣∣∣∣�
314 К.В. Пожарська
� Φ(l)2
l
(
1
p
−1
)
l
− d−1
p
2
l
q l
d−1
q′ +M
1
2
‖Dl(·)‖
2
2 −
∥∥∥∥∥∥
∑
k∈θM
′
ei(k,x)
∥∥∥∥∥∥
2
2
�
� Φ(l)2
l
(
1
p
−1
)
l
− d−1
p
2
l
q l
d−1
q′ +M
1
2
(
2lld−1 −M
)
. (35)
Отже, враховуючи вибiр l, одержимо
2l ≥M
q
2 (logM)−(q−1)(d−1), 2
l
q l
d−1
q′ �M
1
2 ,
i, таким чином, iз (35) будемо мати
eM
(
Lψβ,p
)
q
� Φ(l)2
l
(
1
p
−1
)
l
− d−1
p
2
l
q l
d−1
q′
2lld−1 = Φ(l)2
l
(
1
p
− 1
q
)
l
−(d−1)
(
1
p
− 1
q
)
�
� Φ ([n1])M
q
2
(
1
p
− 1
q
)
(logM)
(d−1)
(
1− q
p
)
. (36)
Оцiнку знизу, а отже i теорему 9, доведено.
Зауваження 1. В одновимiрному випадку з результату тео-
реми 9 випливає точна за порядком оцiнка величини eM
(
Lψ1
β,p
)
q
[28], а саме:
Нехай 1 < p ≤ 2 ≤ q <∞, ψ1 ∈ D, β ∈ R, i, крiм цього, iснує
ε > 0 таке, що ψ1 (|k|) |k|
1
p
−ε не спадає, а ψ1 (|k|) |k|q
′
(
1
p
− 1
q
)
не
зростає. Тодi справедлива оцiнка
eM
(
Lψ1
β,p
)
q
� ψ1
(
M
q
2
)
M
q
2
(
1
p
− 1
q
)
.
Зауваження 2. У випадку, коли ψj(|kj |) = |kj |−r, kj ∈ Z\{0},
j = 1, d, з теореми 9 випливає точна за порядком оцiнка вели-
чини eM
(
W r
β,p
)
q
[8], а саме:
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 315
Для 1 < p ≤ 2 ≤ q < ∞, q′
(
1
p −
1
q
)
< r < 1
p , справедливе
спiввiдношення
eM
(
W r
β,p
)
q
�M−
q
2
(
r− 1
p
+ 1
q
)
(logM)
(d−1)(q−1)
(
r−q′
(
1
p
− 1
q
))
.
Зауваження 3. У випадку 1 < p ≤ 2 ≤ q < ∞, але при iн-
ших умовах на швидкiсть спадання послiдовностi ψj, j = 1, d,
(велика гладкiсть) для eM
(
Lψβ,p
)
q
справедлива оцiнка [22].
Нехай 1 < p ≤ 2 ≤ q < ∞, ψj ∈ D, βj ∈ R, j = 1, d, i, крiм
цього, iснує ε > 0 таке, що ψj (|kj |) |kj |
1
p
+ε не зростають. То-
дi для будь-яких натуральних M i n, що задовольняють умову
M � 2nnd−1, має мiсце спiввiдношення
Φ(n)M
1
p
− 1
2 (logM)
(d−1)
(
1− 2
p
)
� eM
(
Lψβ,p
)
q
�
�Ψ(n)M
1
p
− 1
2 (logM)
(d−1)
(
1− 2
p
)
.
Лiтература
[1] Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости ортогональных ря-
дов. — Докл. АН СССР, 1955. — Т. 102, N. 1. — С. 37–40.
[2] Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормирован-
ных пространствах и приближение функций тригонометрически-
ми многочленами. — Успехи мат. наук, 1974. — Т. 29, N. 3. — С.
161–178.
[3] Темляков В. Н. О приближении периодических функций многих
переменных. — Докл. АН СССР, 1984. — Т. 279, N. 2. — С. 301–305.
[4] Темляков В. Н. Приближение периодических функций несколь-
ких переменных тригонометрическими полиномами и поперечни-
ки некоторых классов функций. — Изв. АН СССР, Сер. мат.,
1985. — Т. 49, N. 5. — С. 986–1030.
[5] Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешан-
ной производной. — Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1986. — Т. 178. —
С. 1–112.
316 К.В. Пожарська
[6] Temlyakov V. N. Greedy Algorithms and M-Term Approximation wi-
th Regard to Redundant Dictionaries. — J. of Approx. Theory, 1999. —
Т. 98, N. 1. — С. 117–145.
[7] Белинский Э. С. Приближение периодических функций многих
переменных "плавающей"системой экспонент и тригонометриче-
ские поперечники. — Докл. АН СССР, 1985. — Т. 284, N. 6. — С.
1294–1297.
[8] Белинский Э. С. Приближение "плавающей"системой экспонент
на классах периодических функций с ограниченной смешанной
производной. Исследование по теории функций многих веще-
ственных переменных. — Ярославль : Яросл. ун–т, 1988. — С. 16–
33.
[9] Романюк А. С. О приближении классов периодических функций
многих переменных. — Укр. мат. журн., 1992. — Т. 44, N. 5. — С.
662–672.
[10] Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические и билинейные
приближения функций многих переменных из классов Brp,θ I. —
Укр. мат. журн., 1992. — Т. 44, N. 11. — С. 1535–1547.
[11] Романюк А. С. О наилучших тригонометрических приближениях
и колмогоровских поперечниках классов Бесова функций многих
переменных. — Укр. мат. журн., 1993. — Т. 45, N. 5. — С. 663–675.
[12] Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические и билинейные
приближения функций многих переменных из классов Brp,θ II. —
Укр. мат.журн., 1993. — Т. 45, N. 10. — С. 1411–1423.
[13] Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические при-
ближения классов Бесова периодических функций многих пере-
менных. — Изв. РАН. Сер. мат., 2003. — Т. 67, N. 2. — С. 61–100.
[14] Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближе-
ния классов Бесова Brp,θ периодических функций многих перемен-
ных. — Изв. РАН. Сер. мат., 2006. — Т. 70, N. 2. — С. 69–98.
[15] Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов пери-
одических функций многих переменных. — Працi Iн–ту матема-
тики НАН України, 2012. — Т. 93. — 352 с.
Оцiнки найкращих M -членних тригонометричних наближень... 317
[16] Nonlinear Approximation in Finite-Dimensional Spaces / R. A. De
Vore, V. N. Temlyakov // J. of Сomplexity — 1997. — Т. 13. — С.
489–508.
[17] Dung Dinh On Asymptotic Orders of n-Term Approximations and
Non-Linear n-Widths. — Vietnam J. of Mathematics, 1999. — Т. 27,
N. 4. — С. 363–367.
[18] Dung Dinh Continuons Algorithms in n-Term Approximation and
Non-Linear-Widths. — J. of Approximation Theory, 2000. — Т. 102. —
С. 217–242.
[19] Hyperbolic Cross Approximation / Dinh Dung, V. N. Temlyakov,
T. Ullrich // arXiv: 1601.03978v1 [math.NA] — 2016/01/15.
[20] Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. — Киев : Ин-т
математики НАН Украины, 2002. — T. 1. — 427 c. — T. 2. — 468 c.
[21] Романюк А. С. Неравенства для Lp-норм (ψ, β)-производных и
поперечников по Колмогорову классов функций многих перемен-
ных Lψβ,p. Исследования по теории аппроксимации функций : Сб.
науч. тр. — Киев : Ин-т математики АН УССР, 1987. — С. 92–105.
[22] Консевич Н. М. НайкращiM – членнi тригонометричнi наближен-
ня класiв Lψβ,p у просторi Lq. Крайовi задачi для диференцiальних
рiвнянь — К. : Iн-т математики НАН України, 1998. — Т. 3. — С.
204 – 219.
[23] Степанец А. И. Классификация и приближение периодических
функций. — Киев : Наук. думка, 1987. — 268 c.
[24] Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и
теоремы вложения. — М. : Наука, 1977. — 456 c.
[25] Романюк А. С. Приближение периодических функций в метрике
Lq. Приближение периодических функций в метрике пространс-
тва Lp. — Киев : Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 87.47,
1987. — 59 c.
[26] Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. —
М. : Наука, 1976. — 320 c.
[27] Галеев Э. М. Порядковые оценки производных периодического
многомерного α–ядра Дирихле в смешаной норме. — Мат. сб.,
1982. — Т. 117 (159), N. 1. — С. 32 – 43.
318 К.В. Пожарська
[28] Федоренко А. С. Наилучшие m–членные тригонометрические
приближение функций классов (ψ, β)-дифференцируемых фун-
кций одной переменной. — Укр. мат.журн., 2000. — Т. 52, N. 6. —
С. 850 – 855.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-324 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:40Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e6/733e180d0e0e6bf9a8024ebdb432eae6.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3242018-02-13T13:12:44Z Estimates for the best $M$-term trigonometric approximations of classes $L_{\beta,p}^\psi$ of periodic multivariable functions in the case of small smoothness in the space $L_q$ Оцінки найкращих $M$-членних тригонометричних наближень класів $L_{\beta,p}^\psi$ періодичних функцій багатьох змінних малої гладкості у просторі $L_q$ Pozharska, K. V. Пожарська, К. В. Order estimates are obtained for the best $M$-term trigonometric approximations of the classes $L_{{\boldsymbol{\beta}}, p}^\psi$ of periodic multivariate functions in the case of small smoothness in the space $L_q$, $1&lt;p\leq2\leq q&lt;\infty$. Отримано порядкові оцінки найкращих $M$-членних тригонометричних наближень класів $L_{{\boldsymbol{\beta}}, p}^\psi$ періодичних функцій багатьох змінних малої гладкості у просторі $L_q$, $1&lt;p\leq2\leq q&lt;\infty$. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/324 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 293-318 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 293-318 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 293-318 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/324/307 Авторське право (c) 2017 К. В. Пожарська |
| spellingShingle | Pozharska, K. V. Пожарська, К. В. Estimates for the best $M$-term trigonometric approximations of classes $L_{\beta,p}^\psi$ of periodic multivariable functions in the case of small smoothness in the space $L_q$ |
| title | Estimates for the best $M$-term trigonometric approximations of classes $L_{\beta,p}^\psi$ of periodic multivariable functions in the case of small smoothness in the space $L_q$ |
| title_alt | Оцінки найкращих $M$-членних тригонометричних наближень класів $L_{\beta,p}^\psi$ періодичних функцій багатьох змінних малої гладкості у просторі $L_q$ |
| title_full | Estimates for the best $M$-term trigonometric approximations of classes $L_{\beta,p}^\psi$ of periodic multivariable functions in the case of small smoothness in the space $L_q$ |
| title_fullStr | Estimates for the best $M$-term trigonometric approximations of classes $L_{\beta,p}^\psi$ of periodic multivariable functions in the case of small smoothness in the space $L_q$ |
| title_full_unstemmed | Estimates for the best $M$-term trigonometric approximations of classes $L_{\beta,p}^\psi$ of periodic multivariable functions in the case of small smoothness in the space $L_q$ |
| title_short | Estimates for the best $M$-term trigonometric approximations of classes $L_{\beta,p}^\psi$ of periodic multivariable functions in the case of small smoothness in the space $L_q$ |
| title_sort | estimates for the best $m$-term trigonometric approximations of classes $l_{\beta,p}^\psi$ of periodic multivariable functions in the case of small smoothness in the space $l_q$ |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/324 |
| work_keys_str_mv | AT pozharskakv estimatesforthebestmtermtrigonometricapproximationsofclasseslbetappsiofperiodicmultivariablefunctionsinthecaseofsmallsmoothnessinthespacelq AT požarsʹkakv estimatesforthebestmtermtrigonometricapproximationsofclasseslbetappsiofperiodicmultivariablefunctionsinthecaseofsmallsmoothnessinthespacelq AT pozharskakv ocínkinajkraŝihmčlennihtrigonometričnihnabliženʹklasívlbetappsiperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihmaloígladkostíuprostorílq AT požarsʹkakv ocínkinajkraŝihmčlennihtrigonometričnihnabliženʹklasívlbetappsiperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihmaloígladkostíuprostorílq |