Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of multipoint boundary-value problems
We investigate a broad class of parameter-dependent multipoint linear boundary-value problems for systems of $r$-order ordinary differential equations whose solutions belong to the complex space $C^{(n)}$, with $1\leq r\leq n\in\mathbb{Z}$. The boundary conditions can contain derivatives $y^{(l)}$,...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/325 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552832430768128 |
|---|---|
| author | Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. |
| author_facet | Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. О. Солдатов",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Soldatov, V. O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We investigate a broad class of parameter-dependent multipoint linear boundary-value problems for systems of $r$-order ordinary differential equations whose solutions belong to the complex space $C^{(n)}$, with $1\leq r\leq n\in\mathbb{Z}$. The boundary conditions can contain derivatives $y^{(l)}$, with $1\leq l\leq n$, of the solution $y$ to the system. We obtain a constructive criterion under which the solution is continuous in the normed space $C^{(n)}$ with respect to the parameter. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 319–331
УДК 517.927
В. О. Солдатов
Iнститут математики НАН України, Київ;
soldatovvo@ukr.net, soldatov@imath.kiev.ua
Критерiй неперервностi за
параметром розв’язкiв
багатоточкових крайових задач
We investigate a broad class of parameter-dependent multipoint li-
near boundary-value problems for systems of r-order ordinary di-
fferential equations whose solutions belong to the complex space C(n),
with 1 ≤ r ≤ n ∈ Z. The boundary conditions can contain derivatives
y(l), with 1 ≤ l ≤ n, of the solution y to the system. We obtain a
constructive criterion under which the solution is continuous in the
normed space C(n) with respect to the parameter.
Дослiджено широкий клас залежних вiд параметра багатоточко-
вих лiнiйних крайових задач для систем звичайних диференцi-
альних рiвнянь довiльного порядку r, розв’язки яких належать
комплексному простору C(n), де 1 ≤ r ≤ n ∈ Z. Крайовi умови
можуть мiстити похiднi y(l), де 1 ≤ l ≤ n, розв’язку системи y.
Отримано конструктивний критерiй неперервностi за параметром
розв’язку в нормованому просторi C(n).
1. Вступ
У сучаснiй математицi важливу роль вiдiграє граничний перехiд
у системах диференцiальних рiвнянь. Найкраще його властиво-
стi були дослiдженi у випадку задач Кошi для систем звичайних
c© В. О. Солдатов, 2017
320 В. О. Солдатов
диференцiальних рiвнянь першого порядку. Так, для нелiнiйних
систем фундаментальнi результати стосовно неперервностi за па-
раметром розв’язкiв задачi Кошi були одержанi I. I. Гiхманом [1],
М. А. Красносельським i С. Г. Крейном [2], Я. Курцвейлєм i
З. Ворелом [3]. Для лiнiйних же систем цi результати були уто-
чненi i доповненi А. Ю. Левiним [4], З. Опялем [5], В. Т. Рей-
дом [6] та Нгуен Тхе Хоаном [7].
Крайовi задачi, залежнi вiд параметра, дослiджено значно
гiрше, нiж задачу Кошi. У недавнiх роботах [8 – 11] i [12 – 14]
було введено класи тотальних крайових задач щодо просторiв
Соболєва та просторiв C(n)[a, b] вiдповiдно, де була встановлена
їх фредгольмовiсть та були сформульованi достатнi умови [8 –
10, 12, 13], а пiзнiше i критерiї [11, 14] неперервної залежностi
їх розв’язкiв за параметром. На вiдмiну вiд звичайних крайо-
вих задач, клас тотальних крайових задач пов’язаний iз заданим
функцiональним простором. Крайовi умови розглядалися у фор-
мi By = q, де B — довiльний лiнiйний неперервний оператор, що
дiє з розглянутого функцiонального простору. Так, наприклад,
крайовi умови тотальних щодо просторiв C(n)[a, b] крайових за-
дач можуть бути некласичними, тобто мiстити похiднi y(l), де
1 ≤ l ≤ n, розв’язку системи y. Зауважимо, що зокрема i не-
класичнi багатоточковi задачi, якi вивчаються у данiй роботi,
належать до цього класу.
Згаданi результати були застосованi до дослiдження багато-
точкових крайових задач [15 – 18], матриць Грiна [19 – 21] та ви-
користанi у спектральнiй теорiї диференцiальних операторiв iз
сингулярними коефiцiєнтами [22 – 24]. Вiдмiтимо, що в роботi [18]
було дослiджено клас залежних вiд параметра багатоточкових
крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь високих по-
рядкiв у новiй бiльш загальнiй постановцi для серiй точок крайо-
вої умови. Для таких задач в [18] були встановленi достатнi умо-
ви неперервностi розв’язкiв за параметром у просторi C(n)[a, b].
У зв’язку з цим постає закономiрне питання про необхiднiсть
розглянутих умов. Можна показати, що необхiднiсть таких умов
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 321
у розглянутiй постановцi довести не можна, проте нiщо не зава-
жає дещо змiнити постановку крайової задачi так, щоб розгляну-
тi умови вже були б не лише достатнiми, а й необхiдними. Саме
втiленню цiєї iдеї i присвячена дана стаття.
У данiй роботi отримано конструктивний критерiй неперерв-
ностi за параметром розв’язкiв багатоточкових лiнiйних крайо-
вих задач на вiдрiзку [a, b] дiйсної осi для системи диференцiаль-
них рiвнянь довiльного 1 ≤ r ≤ n порядку у нормованому про-
сторi C(n). Для їх крайових умов припускається наступне: iсну-
ють околи δj ⊂ [a, b], j ∈ 1, p, точок tj(0), в яких розглядається
гранична багатоточкова крайова умова (при ε = 0) в топологiї
вiдрiзка [a, b] такi, що їх замикання попарно не перетинаються,
i при достатньо малих ε для кожного номера j ∈ 1, p точки (в
яких розглядається багатоточкова крайова умова) tj(ε) ∈ δj .
2. Постановка задачi
Нехай довiльним чином вибрано (скiнченний) вiдрiзок [a, b] ⊂ R,
цiлi числа m ≥ 1, n ≥ 1. Використовуємо комплекснi банаховi
простори
(C(l))m := C(l)([a, b],Cm), (C(l))m×m := C(l)([a, b],Cm×m), (1)
де 0 ≤ l ∈ Z. Вони складаються вiдповiдно з усiх вектор-функцiй
та матриць-функцiй порядку m, елементи яких належать до ба-
нахового простору C(l) := C(l)([a, b],C) усiх l разiв неперервно
диференцiйовних функцiй x : [a, b]→ C, який надiлений нормою
‖x‖l :=
l∑
j=0
max
{
|x(j)(t)| : t ∈ [a, b]
}
.
Простори (1) надiленi нормами, що є сумою норм у C(l) усiх
компонентiв цих функцiй. Вiдмiтимо, що кожен простiр C(l) є
банаховою алгеброю вiдносно деякої норми, еквiвалентної ‖ · ‖l.
322 В. О. Солдатов
Норми у просторах (1) також позначено як ‖·‖l. З контексту зав-
жди буде зрозумiло, у якому саме просторi (скалярних, вектор-
чи матриць-функцiй) розглядається ця норма.
Розглядаємо систему m ≥ 1 лiнiйних диференцiальних рiв-
нянь порядку r ≤ n, залежних вiд числового параметра ε ∈
[0, ε0):
y(r)(t, ε) +
r∑
l=1
Kr−j(t, ε)y
(r−j)(t, ε) = f(t, ε), a ≤ t ≤ b. (2)
Тут i далi число ε0 > 0 фiксоване, вектор-функцiя y(·, ε) ∈
(C(n))m є шуканою та довiльним чином задано матрицi-функцiї
Kr−j(·, ε) ∈ (C(n−r))m×m i вектор-функцiю f(·, ε) ∈ (C(n−r))m. У
роботi вектори i вектор-функцiї подано у виглядi стовпцiв.
Для кожного ε ∈ [0, ε0) пов’яжемо iз системою (2) багатото-
чкову крайову умову
B(ε)y(·, ε) ≡
p∑
j=1
n∑
l=0
βj,l(ε) y
(l)(tj(ε)) = q(ε). (3)
Тут число p ∈ N, усi числовi матрицi βj,l(ε) ∈ Cm×m, точки
tj(ε) ∈ [a, b] та вектор q(ε) ∈ Cm є заданими. Крiм того вима-
гатимемо: для кожного j ∈ 1, p iснують такi вiдкритi множини
δj ⊂ [a, b], що є околами точок tj(0) в топологiї вiдрiзка [a, b] та-
кi, що їх замикання попарно не перетинаються, i точки tj(ε) ∈ δj
при достатньо малих ε.
Зауважимо, що саме останнi обмеження на структуру точок
крайової умови є суттєвими для подальшого розгляду.
Звiсно, для кожного ε ∈ [0, ε0) лiнiйне вiдображення y(·, ε) 7→
B(ε)y(·, ε) є обмеженим оператором
B(ε) : (C(n))m → Cm. (4)
Зробленi нами припущення щодо системи (2) та обмеженiсть
оператора (4) означають згiдно з [14], що крайова задача (2), (3)
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 323
є тотальною щодо простору C(n) для кожного ε ∈ [0, ε0). Для
таких крайових задач у цитованiй роботi [13] обґрунтовано їх
фредгольмовiсть з iндексом нуль, а в [14] доведено критерiй не-
перервностi за параметром їх розв’язкiв.
3. Основний результат
Для крайової задачi (2), (3) розглянемо такi
Граничнi умови при ε→ 0+:
(I) Kr−j(·, ε)→ Kr−j(·, 0) для усiх j ∈ 1, r в (C(n−r))m×m;
(III) f(·, ε)→ f(·, 0) в (C(n−r))m;
(IV) q(ε)→ q(0) в Cm.
Тут i надалi всi границi розглядаються при умовi ε → 0, якщо
iнше не буде вказано окремо.
Розглянемо ще одну умову.
Умова (0). Гранична однорiдна крайова задача
L(0)y(t, 0) = 0, a ≤ t ≤ b, B(0)y(·, 0) = 0
має лише тривiальний розв’язок.
Звiдси випливає, що граничний оператор B(0) не є нуль-
оператором.
Базове означення. Говоримо, що розв’язок крайової задачi (2),
(3) неперервно залежить вiд параметра ε при ε = 0, якщо вико-
нуються такi двi умови:
(∗) Iснує додатне число ε1 < ε0 таке, що для кожного ε ∈ [0, ε1)
i будь-яких правих частин f(·, ε) ∈ (C(n−r))m i q(ε) ∈ Cm
ця задача має єдиний розв’язок y(·, ε) ∈ (C(n))m.
(∗∗) Граничнi умови (III) i (IV) тягнуть за собою збiжнiсть
y(·, ε)→ y(·, 0) в (C(n))m при ε→ 0 + . (5)
324 В. О. Солдатов
Для довiльного цiлого числа s ≥ 0 розглянемо всi неперервнi
оператори вигляду (3)
Bs(ε)y(·, ε) ≡
p∑
j=1
s∑
l=0
βj,l(ε) y
(l)(tj(ε)), (6)
що дiють
Bs(ε) : (C
(s))m → (C)m.
Для класу таких операторiв сформулюємо таку властивiсть
Теорема 1. Нехай оператор вигляду (6) не є нуль-оператором.
Тодi вiн задовольняє умову
(II)B(ε)y → B(0)y в Cm для кожного y ∈ C(s)
при ε = 0, тодi i тiльки тодi, коли вiн задовольняє граничнi
умови
(b1) tj(ε)→ tj(0) для усiх j ∈ 1, p;
(b2) βj,l(ε)→ βj,l(0) для усiх l ∈ 0, s, j ∈ 1, p.
Сформулюємо основний результат статтi.
Теорема 2. Розв’язок багатоточкової крайової задачi (2), (3)
неперервно залежить вiд параметра ε при ε = 0, тодi i тiльки
тодi, коли вона задовольняє умову (0), граничнi умови (I) i
(b1) tj(ε)→ tj(0) для усiх j ∈ 1, p;
(b2) βj,l(ε)→ βj,l(0) для усiх l ∈ 0, n+ r, j ∈ 1, n+ r.
4. Доведення основного результату
Доведення теореми 1. Достатнiсть розглянутих умов є на-
слiдком результату про сильну збiжнiсть багатоточкового опера-
тора в [18] (в цiй роботi була розглянута бiльш загальна поста-
новка задачi, але можна показати, що її можна звести до розгля-
нутої в данiй статтi, якщо вважати, що кожна серiя складається
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 325
лише з однiєї точки. В такому виглядi умови сильної збiжностi
крайового оператора в [18] значно спростяться i набудуть вигля-
ду (b1), (b2)).
Доведемо спочатку необхiднiсть розглянутих умов для випад-
ку одноточкової задачi.
Лема 3. Нехай для деякого фiксованого номера j0 i оператора
Bj0(ε)y(·) ≡
s∑
l=0
βj0,l(ε) y
(l)(tj0(ε)) (7)
виконується умова (0). Тодi iз умови (II)
Bj0(ε)y → Bj0(0)y в Cm для кожного y ∈ C(n)
при ε = 0 випливають умови
(b1j0) tj0(ε)→ tj0(0)
(b2j0) βj0,l(ε)→ βj0,l(0) для усiх l ∈ 0, n.
Проведемо доведення методом математичної по n.
Для n = 0 для кожного числа ε ∈ [0, ε0) i довiльної вектор-
функцiї y ∈ (C(0))m покладемо:
B0
j0(ε)y := βj0,0(ε)y(tj0(ε)). (8)
Розглянемо вектор-функцiю
y = col(y1, . . . , ym) ∈ (C(0))m (9)
таку, що для деякого номера k ∈ 1,m yk(t) ≡ 1 в δj0-околi точки
tj0(0) i yk(t) ≡ 0 поза його межами, а yl(t) ≡ 0 при l 6= k. Для
такої функцiї маємо на пiдставi граничної умови (II) спiввiдно-
шення
B0
j0(ε)y = βj0,0(ε)y(t(ε))→ βj0,0(ε)y(t(ε)) = B0
j0(0)y.
Отже, k-ий стовпець матрицi βj0,0(ε) збiгається до k-ого стовпця
матрицi βj0,0(0). Таким чином, βj0,0(ε) → βj0,0(0) з огляду на
довiльнiсть вибору номера k ∈ 1,m.
326 В. О. Солдатов
Доведемо, що крайовий оператор (8) задовольняє умову
(b1j0). Розглянемо окремо випадки, коли βj0,0(0) 6= Om i коли
βj0,0(0) = Om.
Припустимо спочатку, що βj0,0(0) 6= Om. Тодi числова матри-
ця βj0,0(0) мiстить принаймнi один елемент θ 6= 0; нехай вiн роз-
ташований у j-ому рядку i k-ому стовпцi цiєї матрицi. Доведемо,
що tj0(ε)→ tj0(0). Припустимо супротивне; тодi iснує нескiнчен-
но мала послiдовнiсть (εν)
∞
ν=1 ⊂ (0, ε0) i число τ 6= tj0(0) такi,
що tj0(εν)→ τ при ν →∞. Розглянемо вектор-функцiю (9) таку,
що yk(t) = 1 у достатньо малому околi точки tj0(0) i yk(t) = 0
у достатньо малому околi точки τ та yl(t) ≡ 0 при l 6= k. Для
цiєї функцiї B0
j0
(εν)y → B0
j0
(0)y при ν → ∞ згiдно з граничною
умовою (II), де
B0
j0(εν)y = βj0,0(εν)y(t(εν)) = 0 ∈ Cm при ν � 1.
Тому
0 = B0
j0(0)y = βj0,0(0)y(tj0(0)),
звiдки θ = 0, оскiльки j-ий елемент вектора βj0,0(0)y(t(0)) дорiв-
нює θ. Отримали протирiччя, яке i доводить збiжнiсть tj0(ε) →
tj0(0).
Випадок, коли βj0,0(0) = Om, суперечить умовi (0) при n = 0,
а отже не входить до розглянутої задачi.
Введемо позначення
Bn−1
j0
(ε)y ≡
n−1∑
l=0
βj0,ly
(l)(tj0(ε)). (10)
Тепер для довiльного цiлого n − 1 ≥ 0 припустимо, що для
всiх операторiв вигляду (10) з умов (II) i (0) випливають умови
(b1j0), (b2j0). Доведемо, що це так i для n.
Розглянемо оператор (7). Можна помiтити, що його дiю мо-
жна представити наступним чином:
Bj0(ε)y = B0
j0(ε)y + Pn−1j0
(ε)y′,
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 327
де оператор Pn−1j0
(ε) належить класу (10), а отже для нього
справджується наше iндуктивне припущення.
Для кожного числа ε ∈ [0, ε0) i довiльної вектор-функцiї y ∈
(C(n))m покладемо:
B0
j0(ε)y := βj0,0(ε)y(tj0(ε)). (11)
Розглянемо вектор-функцiю
y = col(y1, . . . , ym) ∈ (C(0))m (12)
таку, що для деякого номера k ∈ 1,m yk(t) ≡ 1 в δj0-околi точки
tj0(0) i yk(t) ≡ 0 поза його межами, а yl(t) ≡ 0 при l 6= k. Для
такої функцiї маємо на пiдставi граничної умови (II) спiввiдно-
шення
B(ε)y = βj0,0(ε)y(t(ε))→ βj0,0(ε)y(t(ε)) = B(0)y.
Отже, k-ий стовпець матрицi βj0,0(ε) збiгається до k-ого стовпця
матрицi βj0,0(0). Таким чином, βj0,0(ε) → βj0,0(0) з огляду на
довiльнiсть вибору номера k ∈ 1,m.
Доведемо, що крайовий оператор (11) задовольняє умову
(b1j0). Розглянемо окремо випадки, коли βj0,0(0) 6= Om i коли
βj0,0(0) = Om.
Припустимо спочатку, що βj0,0(0) 6= Om. Тодi числова матри-
ця βj0,0(0) мiстить принаймнi один елемент θ 6= 0; нехай вiн роз-
ташований у j-ому рядку i k-ому стовпцi цiєї матрицi. Доведемо,
що tj0(ε)→ tj0(0). Припустимо супротивне; тодi iснує нескiнчен-
но мала послiдовнiсть (εν)
∞
ν=1 ⊂ (0, ε0) i число τ 6= tj0(0) такi, що
tj0(εν) → τ при ν → ∞. Розглянемо вектор-функцiю (12) таку,
що yk(t) = 1 у достатньо малому околi точки tj0(0) i yk(t) = 0
у достатньо малому околi точки τ та yl(t) ≡ 0 при l 6= k. Для
цiєї функцiї Bj0(εν)y → Bj0(0)y при ν → ∞ згiдно з граничною
умовою (II), де
B0
j0(εν)y =
n∑
l=0
βj0,l(εν)y
(l)(t(εν)) = 0 ∈ Cm при ν � 1.
328 В. О. Солдатов
Тому
0 = B0
j0(0)y = βj0,0(0)y(tj0(0)),
звiдки θ = 0, оскiльки j-ий елемент вектора βj0,0(0)y(t(0)) дорiв-
нює θ. Отримали протирiччя, яке i доводить збiжнiсть tj0(ε) →
tj0(0).
Звiдси для довiльної вектор-функцiї y ∈ (C(n))m маємо збi-
жнiсть
B0
j0(ε)y → B0
j0(0)y.
Тому на пiдставi граничної умови (II) для довiльної вектор-
функцiї y ∈ (C(n))m маємо збiжнiсть
Pn−1j0
(ε)y′ = Bj0(ε)y −B0
j0(ε)y → Bj0(0)y −B0
j0(0)y = Pn−1j0
(0)y′.
Дослiдимо випадок, коли βj0,0(0) = Om. Оскiльки за доведе-
ним βj0,0(ε) → βj0,0(ε), то B0
j0
(0)y → 0 у цьому випадку. Тому
на пiдставi граничної умови (II) для довiльної вектор-функцiї
y ∈ (C(n))m маємо збiжнiсть
Pn−1j0
(ε)y′ = Bj0(ε)y −B0
j0(ε)y → Bj0(0)y = Pn−1j0
(0)y′.
Таким чином маємо сильну збiжнiсть
Необхiднiсть розглянутих умов теореми 1 випливає з леми 3.
Справдi, з огляду на довiльнiсть вибору номера j0 ∈ 1, p та вра-
ховуючи той факт, що замикання δj-околiв точок tj(0) попарно
не перетинаються, що було забезпечено при постановцi задачi,
для кожної точки tj(0) окремо можна провести мiркування, ана-
логiчнi представленим у доведеннi леми 3. Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Теорема 2 є прямим наслiдком те-
ореми 1 i основного результату роботи [14], який у застосуваннi
до розглянутої нами задачi набуде вигляду:
Твердження 4. Розв’язок крайової задачi (2), (3) неперервно
залежить вiд параметра ε при ε = 0, тодi i тiльки тодi, коли
вона задовольняє умову (0), граничнi умови (I) i (II).
Автор вдячний О. О. Мурачу за допомогу при постановцi задачi
i в обговореннi результатiв.
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 329
Лiтература
[1] Гихман И. И. По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова // Укр.
мат. журн. – 1952. – 4, № 2. – С. 215–219.
[2] Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в не-
линейной механике // Успехи мат. наук. – 1955. – 10, вып. 3. – С.
147–153.
[3] Курцвейль Я., Ворел З. О непрерывной зависимости решений
дифференциальных уравнений от параметра // Чех. мат. журн. –
1957. – 7, № 4. – С. 568–583.
[4] Левин А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем Ẋ =
An(t)X // Докл. АН СССР. – 1967. – 176, № 4. – С. 774–777.
[5] Opial Z. Continuous parameter dependence in linear systems of di-
fferential equations // J. Different. Equat. – 1967. – 3. – Р. 571–579.
[6] Reid W. T. Some limit theorems for ordinary differential systems //
J. Different. Equat. – 1967. – 3, № 3. – Р. 423–439.
[7] Nguyen The Hoan. On the dependence of a solution to a linear system
of differential equations on a parameter // Differ. Equa. – 29(1993). –
P. 830–835.
[8] Гнып Е. В., Кодлюк Т. И., Михайлец В. А. Фредгольмовые крае-
вые задачи с параметром на пространствах Соболева // Укр. мат.
журн. – 2015. – 67, № 5. – С. 584–591; англ. переклад в Ukrainian
Math. J. – 2015. – Vol. 67, № 5. – P. 658–667.
[9] Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельный переход в системах ли-
нейных дифференциальных уравнений // Доп. НАН України. –
2008. – № 8. – С. 28–30.
[10] Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional
boundary-value problems with a parameter in Sobolev spaces //
J. Math. Sciences. – 2013. – 190, № 4. – P. 589–599.
[11] Гнип Є. В., Михайлець В. А., Мурач О. О. Про критерiй непе-
рервної залежностi за параметром розв’язкiв тотальних крайових
задач щодо просторiв Соболєва // Диференцiальнi рiвняння i су-
мiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН Украї-
ни. – 2016. – 13, № 2. – С. 111–124.
330 В. О. Солдатов
[12] Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Фредгольмовые краевые задачи
с параметром на пространствах C(n)[a; b] // Доп. НАН України. –
2014. – № 7. – С. 24–28.
[13] Soldatov V. O. On the Continuity in a Parameter for the Soluti-
ons of Boundary-Value Problems Total with Respect to the Spaces
C(n+r)[a, b] // Ukr. Math. J. – 2015. – 67, No. 5. – P. 785-794.
[14] Mikhailets V. A., Murach A. A., Soldatov V. A criterion for continui-
ty in a parameter of solutions to generic boundary-value problems for
higher-order differential systems // Methods of Functional Analysis
and Topology. – Vol. 22 (2016), no. 4, pp. 375–386.
[15] Чеханова Г. Непрерывность по параметру решений многоточе-
чных краевых задач // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi пита-
ння аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. –
10, № 2. – С. 260–279.
[16] Кодлюк Т. И. Многоточечные краевые задачи с параметром в про-
странствах Соболева // Доп. НАН України. – 2012. — № 11. –
С. 15–19.
[17] Гнип Є. В., Кодлюк Т. I. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв
некласичних багатоточкових крайових на просторах Соболєва //
Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. – 2015. – 12, № 2. – С. 101–112.
[18] Солдатов В. О. Багатоточковi крайовi задачi для систем дифе-
ренцiальних рiвнянь вищих порядкiв // Диференцiальнi рiвнян-
ня i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2015. – 12, № 2. – С. 327–337.
[19] Чеханова Г. А. Непрерывность по параметру функций Грина мно-
готочечных краевых задач // Комплексний аналiз, теорiя потен-
цiалу i застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2013. – 10, № 4–5. – С. 532–541.
[20] Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-
dimensional boundary-value problems // Ukr. Math. J. – 2013. – 65,
№ 1. – P. 77–90.
[21] Mikhailets V. A., Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-
dimensional boundary-value problems // J. Math. Sciences. – 2015. –
204, № 3. – P. 333–342.
Критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв... 331
[22] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Resolvent convergence of
Sturm–Liouville operators with singular potentials // Math. Notes. –
2010. – 87, № 1–2. – P. 287–292.
[23] Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of two-term di-
fferential equations with singular coefficients by quasiderivatives //
Ukr. Math. J. – 2012. – 63, № 9. – P. 1361–1378.
[24] Goriunov A. S., Mikhailets V. A., Pankrashkin K. Formally self-ajoint
quasi-differential operators and boundary-value problems // Electron.
J. Differential Equations. – 2013, No. 101. – P. 1–16.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-325 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:42Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/62/bc98ff110ad8322eb175c4add560b162.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3252018-02-13T13:12:44Z Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of multipoint boundary-value problems Критерій неперервності за параметром розв'язків багатоточкових крайових задач Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. We investigate a broad class of parameter-dependent multipoint linear boundary-value problems for systems of $r$-order ordinary differential equations whose solutions belong to the complex space $C^{(n)}$, with $1\leq r\leq n\in\mathbb{Z}$. The boundary conditions can contain derivatives $y^{(l)}$, with $1\leq l\leq n$, of the solution $y$ to the system. We obtain a constructive criterion under which the solution is continuous in the normed space $C^{(n)}$ with respect to the parameter. Досліджено широкий клас залежних від параметра багатоточкових лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку $r$, розв'язки яких належать комплексному простору $C^{(n)}$, де $1\leq r\leq n\in\mathbb{Z}$. Крайові умови можуть містити похідні $y^{(l)}$, де $1\leq l\leq n$, розв'язку системи $y$. Отримано конструктивний критерій неперервності за параметром розв'язку в нормованому просторі $C^{(n)}$. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/325 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 319-331 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 319-331 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 319-331 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/325/308 Авторське право (c) 2017 В. О. Солдатов |
| spellingShingle | Soldatov, V. O. Солдатов, В. О. Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title | Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title_alt | Критерій неперервності за параметром розв'язків багатоточкових крайових задач |
| title_full | Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title_fullStr | Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title_full_unstemmed | Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title_short | Criterion of continuity with respect to parameter of solutions of multipoint boundary-value problems |
| title_sort | criterion of continuity with respect to parameter of solutions of multipoint boundary-value problems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/325 |
| work_keys_str_mv | AT soldatovvo criterionofcontinuitywithrespecttoparameterofsolutionsofmultipointboundaryvalueproblems AT soldatovvo criterionofcontinuitywithrespecttoparameterofsolutionsofmultipointboundaryvalueproblems AT soldatovvo kriteríjneperervnostízaparametromrozv039âzkívbagatotočkovihkrajovihzadač AT soldatovvo kriteríjneperervnostízaparametromrozv039âzkívbagatotočkovihkrajovihzadač |