Bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ of periodic functions of many variables
We obtain exact-order estimates of the best bilinear approximations of classes $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ of periodic functions of many variables in the Lebesgue space.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/326 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552833003290624 |
|---|---|
| author | Solich, K. V. Fedunik-Yaremchuk, O. V. Соліч, К. В. Федуник-Яремчук, О. В. |
| author_facet | Solich, K. V. Fedunik-Yaremchuk, O. V. Соліч, К. В. Федуник-Яремчук, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "К. В. Соліч",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
},
{
"author": "О. В. Федуник-Яремчук",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Solich, K. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We obtain exact-order estimates of the best bilinear approximations of classes $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ of periodic functions of many variables in the Lebesgue space. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 332–353
УДК 517.983.27
К.В. Солiч, О.В Федуник-Яремчук
Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi Лесi
Українки, Луцьк; solichkatia@gmail.com, fedunyk@ukr.net
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB
перiодичних функцiй багатьох
змiнних
We obtain exact-order estimates of the best bilinear approximati-
ons of classes SΩ
p,θB of periodic functions of many variables in the
Lebesgue space.
Отримано оцiнки найкращих бiлiнiйних наближень класiв SΩ
p,θB
перiодичних функцiй у просторi Лебега.
Вступ
Робота присвячена дослiдженню найкращих бiлiнiйних набли-
жень перiодичних функцiй багатьох змiнних SΩ
p,θB у просторi
Лебега. Вона складається зi вступу та двох пунктiв. У вступi
наводяться необхiднi позначення i дається означення класiв, що
дослiджуються. Перший пункт має допомiжний характер. Тут
означено величину, оцiнки зверху якої будуть знайденi у друго-
му пунктi.
Наведемо необхiднi означення та позначення.
c© К.В. Солiч, О.В. Федуник-Яремчук, 2017
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB перiодичних функцiй... 333
Нехай R d, d ≥ 1, означає d-вимiрний евклiдiв простiр з еле-
ментами x = (x1, . . . , xd), i Lp(πd), πd =
d∏
j=1
[−π;π], — простiр
2π-перiодичних по кожнiй змiннiй i сумовних у степенi p, 1 ≤
p < ∞, (вiдповiдно суттєво обмежених при p = ∞) функцiй
f(x) = f(x1, . . . , xd). Норма в цьому просторi визначається на-
ступним чином:
||f ||p =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x) |pdx
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
||f ||∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Пiдмножину функцiй f ∈ Lp(πd), для яких виконується умова
π∫
−π
f(x)dxj = 0, j = 1, d,
позначимо через L◦p(πd).
Означимо простори SΩ
p,θB ⊂ Lp(πd), властивостi яких визна-
чаються за допомогою: Ω(t), t = (t1, ..., td) ∈ Rd+, — мажорантної
функцiї для мiшаного модуля неперервностi l–го порядку (l ∈ N)
функцiї f ∈ Lp(πd); числових параметрiв p i θ, 1 ≤ p, θ ≤ ∞.
Отже, для довiльної функцiї f ∈ Lp(πd) покладемо
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj
j=1,d
‖∆l
hf(·)‖p
мiшаний модуль неперервностi порядку l функцiї f , де
∆l
hf(x) = ∆l
hd
...∆l
h1
f(x) = ∆l
hd
(...(∆l
h1
f(x))),
334 К.В. Солiч, О.В. Федуник-Яремчук
h = (h1, ..., hd), - мiшана l-та рiзниця з кроком hj за змiнною xj ,
j = 1, d, i
∆l
hj
f(x) =
l∑
n=o
(−1)l−nCnl f(x1, ..., xj−1, xj + nhj , xj+1, ...xd).
Нехай далi Ω(t) = Ω(t1, ..., td) — задана функцiя типу мiша-
ного модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє наступнi
умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0,
d∏
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) неперервна на Rd+;
3) Ω(t) неспадає по кожнiй змiннiй tj ≥ 0, j = 1, d, при будь-
яких фiксованих значеннях iнших змiнних ti, i 6= j;
4) Ω(m1t1, ...,mdtd) ≤ C
(
d∏
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d, C > 0
— деяка стала.
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl,d. У випадку
d = 1 пишемо — Ψl. Зауважимо, що якщо f ∈ Lp(πd), то Ωl(f, ·) ∈
Ψl,d.
Пiдпорядкуємо функцiї Ω ∈ Ψl,d додатковим умовам, якi опи-
шемо в термiнах двох понять, запроваджених С.Н. Бернштей-
ном [1]:
а) невiд’ємна функцiя ϕ(τ), τ ∈ [0;∞) майже зростає, якщо
iснує стала C1 > 0 така, що ϕ(τ1) ≤ C1ϕ(τ2), для будь-яких τ1,
τ2, 0 ≤ τ1 < τ2;
б) додатна функцiя ϕ(τ), τ ∈ (0;∞) майже спадає, якщо iснує
стала C2 > 0 така, що ϕ(τ1) ≥ C2ϕ(τ2), для будь-яких τ1, τ2,
0 < τ1 < τ2.
Нехай d = 1 i Ω ∈ Ψ
(1,2)
l , тобто для Ω(t), t ≥ 0, виконуються,
принаймнi, умови 1) i 2).
Будемо писати:
i) Ω ∈ Sα (α > 0), якщо функцiя Ω(τ)
τα майже зростає при τ > 0;
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB перiодичних функцiй... 335
ii) Ω ∈ Sl, якщо iснує γ, 0 < γ < l, таке, що функцiя Ω(τ)
τγ
майже спадає при τ > 0.
Умови належностi функцiї Ω до множин Sα i Sl часто нази-
вають в лiтературi умовами Барi-Стєчкiна [2].
При d > 1 для функцiї Ω ∈ Ψ
(1,2)
l,d будемо вважати, що Ω ∈ Sα,
α = (α1, ..., αd), αj > 0, j = 1, d (вiдповiдно Ω ∈ Sl, l ∈ N),
якщо Ω(t1, ..., td) як функцiя змiнної tj , j = 1, d, при будь-яких
значеннях iнших змiнних ti, i 6= j, належить до множини Sαj
(вiдповiдно Sl).
Покладемо також Φd
α,l = Ψl,d ∩ Sα ∩ Sl.
Отже, нехай 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i Ω ∈ Φd
α,l. Тодi
SΩ
p,θB =
{
f ∈ Lp(πd) : |f |SΩ
p,θB
<∞
}
,
де напiвнорма |f |SΩ
p,θB
визначається спiввiдношенням
|f |SΩ
p,θB
=
( ∫
πd
(
Ωl(f,t)p
Ω(t)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
t≥0
Ωl(f,t)p
Ω(t) , θ =∞.
(1)
Визначимо норму в просторi SΩ
p,θB наступним чином
‖f‖SΩ
p,θB
:= ‖f‖p + |f |SΩ
p,θB
, 1 ≤ p, θ ≤ ∞.
Наведене означення просторiв SΩ
p,θB (з незначною модифiка-
цiєю) взяте iз роботи [3]. При θ =∞ простори SΩ
p,θB (з позначе-
нням SΩ
p H) запровадженi i вивчались в роботi [4].
Шкала просторiв SΩ
p,θB є природнiм узагальненням шкали
просторiв Нiкольського–Бєсова Br
p,θ, r = (r1, ..., rd), rj > 0,
j = 1, d, (див., наприклад, [5]) i SΩ
p,θB ≡ Br
p,θ при Ω(t) =
d∏
j=1
t
rj
j ,
rj < l, j = 1, d, (зазначимо, що при θ = ∞, Br
p,θ — це простори
Нiкольського Hr
p [6]).
336 К.В. Солiч, О.В. Федуник-Яремчук
В наступних мiркуваннях ми будемо використовувати поряд-
ковi спiввiдношення. Запис A � B означає двосторонню нерiв-
нiсть мiж виразами A i B, тобто C3B ≤ A ≤ C4B, де C3, C4 > 0—
сталi, значення яких можуть бути рiзними в рiзних мiсцях. Та-
кож, якщо A ≤ C5B, C5 > 0, та A ≥ C6B, C6 > 0, будемо писати
A� B i A� B вiдповiдно. Iз контексту буде зрозумiло, вiд яких
параметрiв цi сталi не залежать. Ми не будемо акцентувати на
цьому увагу щоразу при використаннi символiв ” � ”, ” � ”,
”� ”.
Сформулюємо необхiднi при доведеннi одержаних у роботi ре-
зультатiв вiдомi твердження, що стосуються еквiвалентного зо-
браження норми ‖f‖SΩ
p,θB
функцiй f ∈ SΩ
p,θB, 1 ≤ p, θ ≤ ∞,
Ω ∈ Φd
α,l. Цi зображення подаються в термiнах визначеного по-
рядку росту p -норм деяких тригонометричних полiномiв, якi
будуються на основi розкладу функцiї f ∈ Lp(πd) в ряд Фур’є
за тригонометричною системою.
Отже, нехай f ∈ Lp(πd) i
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x), (k, x) = k1x1 + ...+ kdxd,
де
f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt
— коефiцiєнти Фур’є функцiї f i для кожного вектора
s = (s1, ..., sd), sj ∈ N, j = 1, d,
ρ(s) := {k = (k1, ..., kd) ∈ Zd : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d}.
В роботi [3] встановлено, що для f ∈ SΩ
p,θ B ∩ L◦p(πd) при
1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω ∈ Φd
α,l мають мiсце спiввiдно-
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB перiодичних функцiй... 337
шення
‖f‖SBΩ
p,θ
�
(∑
s
Ω(2−s)−θ‖δs(f, ·)‖θp
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
s
‖δs(f,·)‖p
Ω(2−s) , θ =∞,
(2)
де Ω(2−s) = Ω(2−s1 , ..., 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.
Як бачимо, таке зображення норми не охоплює випадки
p = 1 i p =∞. Деяка модифiкацiя правої частини (2) дозво-
ляє встановити подiбне зображення i в цих випадках. Для цього
введемо необхiднi позначення.
Нехай
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt+ 2
2n−1∑
k=n+1
(
2n− k
n
)
cos kt
ядро Валле–Пуссена порядку 2n i в точцi x = (x1, ..., xd)
As(x) =
d∏
j=1
(V2sj (xj)− V2sj−1(xj)), s = (s1, ..., sd), sj ∈ N, j = 1, d.
(3)
Якщо f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, то покладемо
As(f, x) := (f ∗As)().
В роботi [7] встановлено, що при 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ < ∞ i
Ω ∈ Φd
α,l для f ∈ SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd) має мiсце спiввiдношення
‖f‖SΩ
p,θB
�
(∑
s
Ω(2−s)−θ‖As(f, ·)‖θp
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞, (4)
i вiдповiдно в [4] при θ =∞ —
‖f‖SΩ
p,∞B
� sup
s
‖As(f, ·)‖p
Ω(2−s)
. (5)
338 К.В. Солiч, О.В. Федуник-Яремчук
В подальшому, в формулюваннях тверджень задiянi простори
SΩ
p,θB, для яких функцiя Ω має спецiальний вигляд
Ω(t) = ω
( d∏
j=1
tj
)
, ω ∈ Φ1
α,l, α > 0. (6)
В такому випадку спiввiдношення (4) та (5) можна записати
у виглядi
‖f‖SΩ
p,θB
�
(∑
s
ω(2−|s|1)−θ‖As(f, ·)‖θp
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
i вiдповiдно
‖f‖SΩ
p,∞B
� sup
s
‖As(f, ·)‖p
ω(2−|s|1)
, θ =∞,
де |s|1 = s1 + ...+sd i далi замiсть Ω(2−s) будемо писати ω(2−|s|1).
Отже, тут ω(·) — довiльна функцiя (однiєї змiнної) типу моду-
ля неперервностi порядку l i ω ∈ Φ1
α,l. Згiдно попереднiх означень
зрозумiло, що
ω ∈ Φ1
α,l =⇒ Ω ∈ Φd
α,l, α = (α, ..., α︸ ︷︷ ︸
d
).
Зауважимо, що до множини Φ1
α,l, l ∈ N, належить, наприклад,
функцiя
ω(u) =
{
ur
(log+ 1
u
)β
, u > 0,
0, u = 0,
де log+ τ = max{1, log τ}, 0 < r < l, β ∈ R. Надалi, для одини-
чної кулi в просторi SΩ
p,θB ∩L◦p(πd) будемо використовувати те ж
позначення, що i для самого простору SΩ
p,θB, тобто
SΩ
p,θB := {f ∈ SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd) : ‖f‖SΩ
p,θB
≤ 1}.
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB перiодичних функцiй... 339
Для G ⊂ Zd, де Zd — цiлочислова решiтка в Rd, через T(G, d)
позначимо множину тригонометричних полiномiв d змiнних
T(G, d) =
{
t : t(x) =
∑
k∈G
cke
i(k,x)
}
,
i для G1, G2 ⊂ Zd через T (G1, G2, 2d) — множину тригономе-
тричних полiномiв 2d змiнних
T(G1, G2, 2d) =
{
t : t(x, y) =
∑
k1∈G1
k2∈G2
ck1,k2ei((k
1,x)+(k2,y))
}
.
У випадку коли G = Cd(n) := {k = (k1, ..., kd) ∈ Zd :
|kj | ≤ n, j = 1, d}, замiсть T(G, d) будемо писати T(Cd(n)),
а якщо G = P d(N) := {k = (k1, ..., kd) ∈ Zd : |kj | ≤ Nj , j = 1, d},
N = (N1, ..., N
d), Nj ∈ Zd+, то T(P d(N)).
Для натурального n позначимо Qn =
⋃
|s|1≤n
ρ+(s), де
s = (s1, ..., sd), sj ∈ Z+, j = 1, d, а ρ+(s) = ρ(s) ∩ Nd. Заува-
жимо, що |Qn| � 2nnd−1.
При доведеннi нашого результату будемо також застосовувати
таку теорему Лiттлвуда –Пелi (див., наприклад, [6, с. 65]):
Теорема 1. Нехай задано 1 < p < ∞. Iснують додатнi числа
C7, C8 такi, що для кожної функцiї f ∈ L◦p(πd) виконуються
спiввiдношення
C7‖f‖p ≤
∥∥∥∥{ ∑
s∈Nd
|δs(f ; ·)|2
}1/2∥∥∥∥
p
≤ C8‖f‖p. (7)
Ця теорема є узагальненням на багатовимiрний випадок вiдо-
мої теореми Лiттлвуда –Пелi (див. [8, т. 2, гл. 15]).
1. Найкращi бiлiнiйнi наближення.
Означимо величину, яка буде дослiджуватися в данiй роботi, а
також коротко наведемо вiдповiднi бiблiографiчнi данi.
340 К.В. Солiч, О.В. Федуник-Яремчук
Нехай Lq(π2d), q = (q1, q2) — множина функцiй f(x, y), x, y ∈
πd, зi скiнченною мiшаною нормою
‖f(x, y)‖q1,q2 = ‖ ‖f(·, y)‖q1‖q2 ,
де норма обчислюється спочатку у просторi Lq1(πd) по змiннiй
x ∈ πd, а потiм вiд результату — по змiннiй y ∈ πd у просторi
Lq2(πd). Для f ∈ Lq(π2d) oзначимо найкраще бiлiнiйне наближе-
ння порядку M :
τM (f)q1,q2 := inf
uj(x),vj(y)
‖f(x, y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y)‖q1,q2 ,
де uj ∈ Lq1(πd), vj ∈ Lq2(πd).
Якщо F ⊂ Lq1,q2(π2d) — клас функцiй, то покладемо
τM (F )q1,q2 := sup
f∈F
τM (f)q1,q2 . (8)
Дослiдженню величини (8), де в якостi F виступають класи
Wr
p,α i Hr
p присвяченi працi В.М. Темлякова [9 – 13], в яких мо-
жна знайти вiдповiдну бiблiографiю. Що стосується бiлiнiйних
наближень класiв Бєсова Br
p,θ, то вони дослiджувалися у роботах
А.С. Романюка, В.С. Романюка [14, 15] i А.С. Романюка [16].
Метою даної роботи є отримання оцiнок зверху величини
τM (SΩ
p,θB)q1,q2 = sup
f∈SΩ
p,θB
τM (f)q1,q2
при умовi q1 = q2 = q. Зауважимо, що в такому випадку, згi-
дно означення Lq1,q2(π2d) ≡ Lq(π2d) i ‖f‖q1,q2 ≡ ‖f‖q для
f ∈ Lq(π2d). Тому замiсть τM (SΩ
p,θB)q,q будемо писати τM (SΩ
p,θB)q.
Класичний результат стосовно бiлiнiйних наближень належить
Шмiдту [17]. В дещо бiльш загальному, нiж в [17], виглядi цей
результат сформульовано В.М. Темляковим в роботi [9, с. 10].
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB перiодичних функцiй... 341
2. Основнi результати.
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 2. Нехай 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω(
d∏
j=1
tj), де ω ∈ Φ1
α,l, α >
1
p−
1
q . Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mm)∞m=1 натураль-
них чисел такої, що виконується спiввiдношення M � 2mmd−1,
справедливi порядковi нерiвностi
τM (SΩ
p,θB)q �
{
ω(2−2m)m
2(d−1)
θ′ , p = q =∞ або p = q = 1,
ω(2−2m)2
m( 1
p
− 1
q
)
m
(d−1)( 1
p
− 1
q
+2( 1
q
− 1
θ
)+)
, 1 ≤ p ≤ q ≤ 2,
де 1
θ + 1
θ′ = 1.
Доведення. Нехай x = (x1, ..., xd) ∈ Rd, y = (y1, ..., yd) ∈ Rd,
s = (s1, ..., sd), t = (t1, ..., td), sj , tj ∈ Z+, j = 1, d. Покладемо
As,t(x, y) = 22d
d∏
j=1
V2sj (xj)− V2sj−1(xj))
d∏
j=1
(V2tj (y)− V
2tj−1(y)) =
= As(x)At(y)
i
As,tf(x, y) = (f ∗As,t)(x, y).
Для натуральних чисел n означимо наступнi трiйки функцiй:
fn1 (x, y) =
∑
t∈Zd+
∑
|s|1≤n
As,t(x, y),
fn2 (x, y) =
∑
|t|1≤n
∑
|s|1>n
As,t(x, y), (9)
fn3 (x, y) =
∑
|t|1>n
∑
|s|1>n
As,t(x, y),
342 К.В. Солiч, О.В. Федуник-Яремчук
|s|1 = |s1|+ ...+ |sd|, |t|1 = |t1|+ ...+ |td|. В такому випадку для
функцiї f справедлива рiвнiсть
f(x, y) =
3∑
j=1
fnj (x, y). (10)
Крiм того функцiї fnj (x, y), j = 1, 2 можуть бути представленi у
виглядi
fnj (x, y) =
2d|Qn|∑
i=1
uji (x)vji (y), (11)
де uji , v
j
i ∈ Lp(πd), j = 1, 2.
Нехай для заданого m ∈ N, m ≥ d, число M ∈ N таке, що
2d+1|Qm| ≤M < C|Qm|, (12)
де C — довiльна фiксована стала, C > 2d+1. Тому з врахуванням
(10) та (11) можемо записати
τ2M (f)q ≤ τM (fm3 )q, f ∈ Lq(π2d), 1 ≤ q ≤ ∞.
I, згiдно останньої нерiвностi, оцiнка зверху величини τM (f)q зво-
диться до оцiнки величини τM (fm3 )q, причому m i M пов’язанi
нерiвностями (12).
Тодi при p = q = 1 та p = q =∞ для f ∈ SΩ
p,θB, використову-
ючи нерiвнiсть Мiнковського, отримаємо
τ2M (f)q ≤ τM (fm3 )q ≤
∥∥∥∥ ∑
|s|1>m
|t|1>m
As,tf
∥∥∥∥
q
≤
∑
|s|1>m
|t|1>m
‖As,tf‖q =
=
∑
|s|1>m
|t|1>m
ω−1(2−|s|1−|t|1)‖As,tf‖qω(2−|s|1−|t|1) := I1.
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB перiодичних функцiй... 343
Доведення подальшої оцiнки величини I1 проведемо в три ета-
пи. Розглянемо спочатку випадок θ ∈ (1,∞). Користуючись не-
рiвнiстю Гельдера: для довiльних числових послiдовностей a =
(ak)k∈N i b = (bk)k∈N при 1 < γ <∞
∞∑
k=1
|akbk| ≤
( ∞∑
k=1
|ak|γ
) 1
γ
( ∞∑
k=1
|bk|γ
′
) 1
γ′
,
1
γ
+
1
γ′
= 1, (13)
та (4) запишемо
I1 �
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
ω−θ(2−|s|1−|t|1)‖As,tf‖θq
) 1
θ
×
×
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
ωθ
′
(2−|s|1−|t|1)
) 1
θ′
�‖f‖SΩ
p,θB
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
ω(2−|s|1−|t|1)
) 1
θ′
.
(14)
Для того, щоб продовжити оцiнку (14), зауважимо, що для до-
вiльного d-вимiрного вектора l = (l1, ..., ld) ∈ Nd i α > 0
∑
|l|1>m
2−α|l|1 �
∞∑
j=m+1
2−αjjd−1 � 2−αmmd−1. (15)
Тодi для I1, враховуючи (14), а також зв’язок мiж числами m та
M , маємо
I1 �
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
ωθ
′
(2−|s|1−|t|1)
2−αθ′(|s|1+|t|1)
· 2−αθ′(|s|1+|t|1)
) 1
θ′
�
�
(
ωθ
′
(2−2m)
2−2θ′αm
∑
|s|1>m
|t|1>m
2−αθ
′(|s|1+|t|1)
) 1
θ′
=
344 К.В. Солiч, О.В. Федуник-Яремчук
=
(
ωθ
′
(2−2m)
2−2θ′αm
∑
|s|1>m
∑
|t|1>m
2−αθ
′(|s|1+|t|1)
) 1
θ′
=
=
(
ωθ
′
(2−2m)
2−2θ′αm
∑
|s|1>m
2−αθ
′|s|1
∑
|t|1>m
2−αθ
′|t|1
) 1
θ′
�
�
(
ωθ
′
(2−2m)
2−2θ′αm
∞∑
i=m+1
2−αθ
′iid−1
∞∑
j=m+1
2−αθ
′jjd−1
) 1
θ′
�
�
(
ωθ
′
(2−2m)
2−2θ′αm
· 2−αθ′mmd−1 · 2−αθ′mmd−1
) 1
θ′
=
= ω(2−2m)m
2(d−1)
θ′ .
Отже, бачимо, що у випадку θ ∈ (1,∞)
τM (f)q � ω(2−2m)m
2(d−1)
θ′ .
Тепер знайдемо оцiнку зверху для величини I1 у випадку θ = 1.
Користуючись (4) запишемо
I1 =
∑
|s|1>m
|t|1>m
ω−1(2−|s|1−|t|1)‖As,tf‖q
ω(2−|s|1−|t|1)
2−α(|s|1+|t|1)
· 2−α(|s|1+|t|1) �
� ω(2−2m)
2−2αm
∑
|s|1>m
|t|1>m
ω−1(2−|s|1−|t|1)‖As,tf‖q2−α(|s|1+|t|1) �
� ω(2−2m)
2−2αm
2−2αm
∑
|s|1>m
|t|1>m
ω−1(2−|s|1−|t|1)‖As,tf‖q �
� ω(2−2m)‖f‖SΩ
p,1B
� ω(2−2m),
а тому
τM (f)q � ω(2−2m).
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB перiодичних функцiй... 345
Розглянемо далi вiдповiднi оцiнки зверху у випадку θ = ∞,
тобто для класiв SΩ
p,∞ := SΩ
p H. Враховуючи, що для f ∈ SΩ
p H
(див. [4])
‖As,tf‖p � ω(2−|s|1−|t|1)), (16)
можемо продовжити порядкову нерiвнiсть для I1.
I1 =
∑
|s|1>m
|t|1>m
‖As,tf‖q �
∑
|s|1>m
|t|1>m
ω(2−|s|1−|t|1)) =
=
∑
|s|1>m
|t|1>m
ω(2−|s|1−|t|1)
2−α(|s|1+|t|1)
· 2−α(|s|1+|t|1) � ω(2−2m)
2−2αm
∑
|s|1>m
|t|1>m
2−α(|s|1+|t|1)�
� ω(2−2m)
2−2αm
2−2αmm2(d−1) = ω(2−2m)m2(d−1).
Звiдси справедлива оцiнка
τM (f)q � ω(2−2m)m2(d−1).
A отже, для класiв SΩ
p H можемо записати
τM (SΩ
p H)q � ω(2−2m)m2(d−1).
Тепер перейдемо до оцiнки зверху для величини τM (SΩ
p,θB) у
випадку 1 ≤ p ≤ q ≤ 2, q 6= 1. Нехай
Ms,t = [C92m+κ(2m−|s|1−|t|1)m1−d],
де числа κ,C9 — додатнi сталi, вiльнi в подальшому виборi, а
[a] — цiла частина числа a ∈ R.
Користуючись (15) можемо записати∑
|s|1>m
|t|1>m
Ms,t ≤ C9
∑
|s|1>m
|t|1>m
2m+κ(2m−|s|1−|t|1)m1−d =
346 К.В. Солiч, О.В. Федуник-Яремчук
= C92m+2κmm1−d
∑
|s|1>m
|t|1>m
2−κ(|s|1+|t|1) �
� 2m+2κmm1−d · 2−2κmm2(d−1) = 2mmd−1 �M,
а при конкретному виборi сталої C9 > 0∑
|s|1>m
|t|1>m
Ms,t ≤M
Далi використаємо наслiдок з теореми Лiттлвуда-Пелi (див., на-
приклад, [18, c. 17])
‖f‖p �
{∑
s
‖δs(f ; ·)‖p0
p
}1/p0
, (17)
де p0 = min{2; p}, врахуємо зауваження з роботи [18, c.100] i
наступну лему.
Лема 1 (див. [11]). Нехай e1 та e2 - деякi множини d-вимiрних
векторiв, компоненти яких натуральнi числа, i Ej =
⋃
s∈ej
ρ(s).
Тодi при q ∈ (1,∞) для довiльної функцiї f(x, y) ∈ T (E1, E2, 2d)
i довiльного n ∈ N знайдуться такi функцiї ui ∈ T (E1, d),
vi ∈ T (E2, d), що
‖f(x, y)−
n∑
j=1
ui(x)vi(y)‖q � τn(f)q.
Будемо мати
τ qM (fm3 )q �
∑
|s|1>m
|t|1>m
τ qMs,t
(As,tf)q.
Для продовження встановлення оцiнки зверху нам потрiбна ще
одна лема, доведена в роботi [11].
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB перiодичних функцiй... 347
Лема 2 (див. [11]). Нехай 1 ≤ p ≤ q < ∞ i f ∈ T (P d(N)).
Тодi для всiх цiлих M таких, що 0 ≤ M ≤ V (N) :=
2d∏
j=1
Nj,
виконується нерiвнiсть
τM (f)q � V (N)β min{1,M−β‖f‖p}, (18)
де β = 1
p −
1
q .
Тодi згiдно (18) можемо записати
τMs,t(As,tf)q �M−βs,t 2β(|s|1+|t|1)‖As,tf‖p
i вiдповiдно
τ qM (fm3 )q �
∑
|s|1>m
|t|1>m
M−βqs,t 2βq(|s|1+|t|1)‖As,tf‖qp := Iq2 . (19)
Для оцiнки Iq2 розглянемо спочатку випадок θ ∈ [1, q]. Оскiль-
ки для довiльної послiдовностi (ak)k∈N (див., наприклад, [6])
виконується нерiвнiсть( ∞∑
k=1
|ak|ν2
) 1
ν2
≤
( ∞∑
k=1
|ak|ν1
) 1
ν1
, 1 ≤ ν1 < ν2 <∞,
то
I2 ≤
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
M−βθs,t 2βθ(|s|1+|t|1)‖As,tf‖θp
) 1
θ
�
�
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
ω(2−|s|1−|t|1)−θ‖As,tf‖θp ω(2−|s|1−|t|1)θ×
×2βθ(|s|1+|t|1)2−mβθ−βθκ(2m−|s|1−|t|1)mβθ(d−1)
) 1
θ
�
348 К.В. Солiч, О.В. Федуник-Яремчук
� 2−mβ−2mβκmβ(d−1)
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
ω(2−|s|1−|t|1)−θ‖As,tf‖θp×
×ω(2−|s|1−|t|1)θ2βθ(κ+1)(|s|1+|t|1)
) 1
θ
�
� 2−mβ(1+2κ)mβ(d−1)
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
ω(2−|s|1−|t|1)−θ‖As,tf‖θp×
×ω(2−|s|1−|t|1)θ
2−αθ(|s|1+|t|1)
2−θ(|s|1+|t|1)(α−β−βκ)
) 1
θ
.
Число κ > 0 в означеннi послiдовностi (Ms,t) |s|1>m
|t|1>m
виберемо та-
ким, що α − β − βκ > 0, де α з умови теореми. Продовжимо
оцiнку для I2.
I2 � 2−mβ(1+2κ)mβ(d−1)ω(2−2m)
2−2αm
×
×
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
ω(2−|s|1−|t|1)−θ‖As,tf‖θp 2−θ(|s|1+|t|1)(α−β−βκ)
) 1
θ
�
� 2−mβ(1+2κ)mβ(d−1)ω(2−2m)
2−2αm
2−2m(α−β−βκ)×
×
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
ω(2−|s|1−|t|1)−θ‖As,tf‖θp
) 1
θ
�
� 2−mβ(1+2κ)mβ(1−d)ω(2−2m)
2−2αm
2−2m(α−β−βκ)‖f‖SΩ
p,θB
�
� ω(2−2m)2mβmβ(d−1) = ω(2−2m)2
m( 1
p
− 1
q
)
m
(d−1)( 1
p
− 1
q
)
.
Таким чином
τ2M (f)q � ω(2−2m)2
m( 1
p
− 1
q
)
m
(d−1)( 1
p
− 1
q
)
. (20)
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB перiодичних функцiй... 349
Така ж оцiнка буде i для τM (f)q.
Розглянемо тепер випадок q < θ <∞. Користуючись нерiвнi-
стю Гельдера (13) з γ = θ
q отримаємо
I2 =
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
M−βqs,t 2βq(|s|1+|t|1)‖As,tf‖qp
) 1
q
=
=
(∑
|s|1>m
|t|1>m
ω(2−|s|1−|t|1)−q‖As,tf‖qp M
−βq
s,t 2βq(|s|1+|t|1)ω(2−|s|1−|t|1)q
) 1
q
≤
≤
(( ∑
|s|1>m
|t|1>m
(
ω(2−|s|1−|t|1)−q‖As,tf‖qp
) θ
q
) q
θ
×
×
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
(
M−βqs,t 2βq(|s|1+|t|1) ω(2−|s|1−|t|1)q
) θ
θ−q
) θ−q
θ
) 1
q
=
=
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
ω(2−|s|1−|t|1)−θ‖As,tf‖θp
) 1
θ
×
×
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
(
M−βqs,t 2βq(|s|1+|t|1) ω(2−|s|1−|t|1)q
) θ
θ−q
) 1
q
− 1
θ
�
� ‖f‖Sωp,θB
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
(
2−βmq−βqκ(2m−|s|1−|t|1)2βq(|s|1+|t|1)×
×mβq(d−1)ω(2−|s|1−|t|1)q
) θ
θ−q
) 1
q
− 1
θ
� 2
−βmq(1+2κ)· θ
θ−q ·
θ−q
qθ ×
×
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
2
(βκ+β)· qθ
θ−q ·(|s|1+|t|1)
m
β(d−1) qθ
θ−qω(2−|s|1−|t|1)
qθ
θ−q
) 1
q
− 1
θ
=
350 К.В. Солiч, О.В. Федуник-Яремчук
= 2−βm(1+2κ)mβ(d−1)
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
ω(2−|s|1−|t|1)
qθ
θ−q
2
−α(|s|1+|t|1) qθ
θ−q
×
×2
qθ
θ−q (|s|1+|t|1)(β+βκ−α)
) 1
q
− 1
θ
� 2−βm(1+2κ)mβ(d−1)ω(2−2m)
2−2αm
×
×
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
2
−(α−β−βκ)(|s|1+|t|1) qθ
θ−q
) 1
q
− 1
θ
.
Знову вiзьмемо κ > 0 в означеннi послiдовностi (Ms,t) |s|1>m
|t|1>m
таким, щоб виконувалась нерiвнiсть α− β − βκ > 0, тодi
I2 � 2−βm(1+2κ)mβ(d−1)ω(2−2m)
2−2αm
2−(α−β−βκ)2mm
2(d−1)( 1
q
− 1
θ
)
=
= ω(2−2m)2βmmβ(d−1)2
(d−1)( 2
q
− 2
θ
) �
� ω(2−2m)2
m( 1
p
− 1
q
)
m
(d−1)( 1
p
− 1
q
+2( 1
q
− 1
θ
))
.
З останнiх спiввiдношень можемо записати оцiнку
τ2M (f)q � ω(2−2m)2
m( 1
p
− 1
q
)
m
(d−1)( 1
p
− 1
q
+2( 1
q
− 1
θ
))
, (21)
яка буде справедливою i для τM (f)q.
Залишилося встановити оцiнку у випадку θ = ∞, тобто для
класiв SΩ
p H. Враховуючи (16) запишемо
I2 =
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
M−βqs,t 2βq(|s|1+|t|1)‖As,tf‖qp
) 1
q
�
�
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
2βq(|s|1+|t|1)2−mβq−βqκ(2m−|s|1−|t|1)m−βq(1−d)×
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB перiодичних функцiй... 351
×ω(2−|s|1−|t|1)q
) 1
q
= 2−mβ(1+2κ)mβ(d−1)
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
2βq(|s|1+|t|1)×
×2βqκ(|s|1+|t|1)ω(2−|s|1−|t|1)q
2−αq(|s|1+|t|1)
2−αq(|s|1+|t|1)
) 1
q
�
� 2−mβ(1+2κ)mβ(d−1)ω(2−2m)
2−2αm
( ∑
|s|1>m
|t|1>m
2−q(|s|1+|t|1)(α−β−βκ)
) 1
q
�
� 2−mβ(1+2κ)mβ(d−1)ω(2−2m)
2−2αm
2−2m(α−β−βκ)m
2(d−1)
q =
= ω(2−2m)2mβm
(d−1)(β+ 2
q
)
= ω(2−2m)2
m( 1
p
− 1
q
)
m
(d−1)( 1
p
− 1
q
+ 2
q
)
.
Тодi
τ2M (f)q � ω(2−2m)2
m( 1
p
− 1
q
)
m
(d−1)( 1
p
− 1
q
+ 2
q
)
, (22)
Спiвставляючи (20), (21) i (22), з урахуванням усiх зауважень,
отримаємо
τM (SΩ
p,θB)q � ω(2−2m)2
m( 1
p
− 1
q
)
m
(d−1)( 1
p
− 1
q
+2( 1
q
− 1
θ
)+)
при 1 ≤ p ≤ q ≤ 2, q 6= 1, 1 ≤ θ <∞.
Теорему доведено.
Наслiдок 1. Поклавши в теоремi θ =∞, отримаємо вiдповiднi
оцiнки для класiв SΩ
p H, якi є узагальненням класiв Нiкольського
Hr
p :
τM(SΩ
p H)q �
{
ω(2−2m)m2(d−1), p = q =∞ або p = q = 1,
ω(2−2m)2
m( 1
p
− 1
q
)
m
(d−1)( 1
p
− 1
q
+ 2
q
)
, 1 ≤ p ≤ q ≤ 2.
Зауваження 1. У випадку Ω(t) =
d∏
j=1
trj i певних обмеженнях на
параметр r вiдповiднi результати для класiв Br
p,θ встановленi
в роботi [15].
352 К.В. Солiч, О.В. Федуник-Яремчук
Зауваження 2. У випадку Ω(t) =
d∏
j=1
trj , θ = ∞ i певних обме-
женнях на параметр r вiдповiднi результати для класiв Hr
p
встановленi в роботi [11].
Лiтература
[1] Бернштейн С. Н. Конструктивная теория функций (1931–1953):
Собрание сочинений. — М.: Изд. АН СССР, 1954.— Т. 2 — 626 с.
[2] Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифферен-
циальные свойства двух сопряженных функций. — Тр. Моск. мат.
о-ва, 1956. — T. 5.— С. 483–522.
[3] Sun Youngsheng, Wang Heping. Representation and approximation
of multivariate periodic functions with bounded mixed moduli of
smoothness. — Тр. Мат. ин-та РАН, 1997. — T. 219. — C. 356–377.
[4] Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических
функций многих переменных с заданным смешанным модулем не-
прерывности. — Anal. math., 1994. — T. 20, N. 1. — P. 35–48.—
[5] Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций сме-
шанной гладкости с декомпозиционной точки зрения. Тр. Мат.
ин-та АН СССР, 1989. — T. 187.— C. 143–161.
[6] Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и
теоремы вложения. — М.: Наука, 1969. — 480 c.
[7] Стасюк С. А., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики
класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних. — Укр. мат.
журн., 2006. — T. 58, N. 5. — C. 692–704.
[8] Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2-х т. / А. Зигмунд. —
М.: Мир, 1965. — Т. 1.— 615 c; — Т. 2.— 537 c.
[9] Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешан-
ной производной. — Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1986. — T. 178. —
С. 1–112.
[10] Темляков В. Н. Билинейная аппроксимация и близкие вопросы. —
Тр. Мат. ин-та РАН, 1991. — T. 194. — C. 229–248.
Бiлiнiйнi наближення класiв SΩ
p,θB перiодичних функцiй... 353
[11] Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений пе-
риодических функций.— Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова АН СС-
СР, 1988.— T. 181.— С. 250–267.
[12] Темляков В. Н. Приближение периодических функций многих пе-
ременных комбинациями функций, зависящих от меньшего числа
переменных.— Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1986. — T. 173. — С. 243–
252.
[13] Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений
функций двух переменных и некоторые их приложения. — Мат.
сб., 1987. — T. 176, N. 1.— C. 16–33.
[14] Романюк А. С., Романюк В. С. Асимптотические оценки наи-
лучших тригонометрических и билинейных приближений клас-
сов функций нескольких переменных.— Укр. мат. журн., 2010. —
T. 62, N. 4.— C. 536 – 551.
[15] Романюк А. С., Романюк В. С. Наилучшие билинейные прибли-
жения классов функций многих переменных.— Укр. мат. журн.,
2013. — T. 65, N. 12.— C. 1681–1699.
[16] Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближе-
ния классов Бесова Brp,θ периодических функций многих перемен-
ных. — Изв. РАН. Сер. мат., 2006. — Т. 70, N. 2. — С. 69–98.
[17] Schmidt E. Zur Theoric der linearen und nichtlinearen Integralglei-
chungen. I. — Math. Ann., 1907. — T. 63. — P. 433–476.
[18] Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions.— New York:
Nova Sci. Publ. Inc., 1993. — 419 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-326 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:42Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/81/d5a87c02ffa2c327ce57b70efd6d1381.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3262018-02-13T13:12:44Z Bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ of periodic functions of many variables Білінійні наближення класів $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ періодичних функцій багатьох змінних Solich, K. V. Fedunik-Yaremchuk, O. V. Соліч, К. В. Федуник-Яремчук, О. В. We obtain exact-order estimates of the best bilinear approximations of classes $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ of periodic functions of many variables in the Lebesgue space. Отримано оцінки найкращих білінійних наближень класів $S ^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ періодичних функцій у просторі Лебега. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/326 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 332-353 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 332-353 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 332-353 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/326/309 Авторське право (c) 2017 К. В. Соліч, О. В. Федуник-Яремчук |
| spellingShingle | Solich, K. V. Fedunik-Yaremchuk, O. V. Соліч, К. В. Федуник-Яремчук, О. В. Bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ of periodic functions of many variables |
| title | Bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ of periodic functions of many variables |
| title_alt | Білінійні наближення класів $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ of periodic functions of many variables |
| title_fullStr | Bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ of periodic functions of many variables |
| title_full_unstemmed | Bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ of periodic functions of many variables |
| title_short | Bilinear approximations of the classes $S^{\Omega}_{p,{\theta}}B$ of periodic functions of many variables |
| title_sort | bilinear approximations of the classes $s^{\omega}_{p,{\theta}}b$ of periodic functions of many variables |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/326 |
| work_keys_str_mv | AT solichkv bilinearapproximationsoftheclassessomegapthetabofperiodicfunctionsofmanyvariables AT fedunikyaremchukov bilinearapproximationsoftheclassessomegapthetabofperiodicfunctionsofmanyvariables AT solíčkv bilinearapproximationsoftheclassessomegapthetabofperiodicfunctionsofmanyvariables AT fedunikâremčukov bilinearapproximationsoftheclassessomegapthetabofperiodicfunctionsofmanyvariables AT solichkv bílíníjnínabližennâklasívsomegapthetabperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT fedunikyaremchukov bílíníjnínabližennâklasívsomegapthetabperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT solíčkv bílíníjnínabližennâklasívsomegapthetabperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT fedunikâremčukov bílíníjnínabližennâklasívsomegapthetabperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |