Estimate for deviation of functions from their Fourier sums
We investigate problems of estimating the deviation of functions from their Fourier sums in terms of the best approximation.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/327 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552835336372224 |
|---|---|
| author | Tovkach, R. V. Товкач, Р. В. |
| author_facet | Tovkach, R. V. Товкач, Р. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Р. В. Товкач",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Tovkach, R. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:12:44Z |
| description | We investigate problems of estimating the deviation of functions from their Fourier sums in terms of the best approximation. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 3, 354–363
УДК 517.5
Р.В. Товкач
Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi Лесi
Українки, Луцьк; rtovkach@ukr.net
Оцiнка вiдхилення функцiй вiд їх
сум Фур’є
We investigate problems of estimating the deviation of functions from
their Fourier sums in terms of the best approximation.
Отримано оцiнку вiдхилення функцiй вiд їх сум Фур’є у термiнах
найкращих наближень.
1. Визначення
Нехай Rd − d-мiрний евклiдовий простiр з дiйсними елемен-
тами x = (x1, . . . , xd); (x, y) = x1y1 + · · ·+ xnyn; T d = [0, 2π)d, а
Lp(T
d), 1 ≤ p ≤ ∞ — простiр вимiрних 2π-перiодичних по ко-
жнiй змiннiй функцiй f(x), x ∈ T d, зi скiнченною нормою
‖f‖Lp(T d) = ‖f‖p =
1
(2π)d
∫
T d
|f(x)|pdx
1/p
,
1 ≤ p <∞ ,
‖f‖∞ = ‖f‖C(T d) = ‖f‖C = max
x∈T d
|f(x)|.
c© Р. В. Товкач, 2017
Оцiнка вiдхилення функцiй вiд їх сум Фур’є 355
Позначимо через 2n i �n множини векторiв:
2n = {k = (k1, . . . , kd) : |kj | ≤ n, kj ∈ Z,
j = 1, d},
�n = {k = (k1, . . . , kd) :
|k| = |k1|+ · · ·+ |kd| ≤ n, kj ∈ Z, j = 1, d},
а через Γ2
n i Γ�n позначимо множини тригонометричних полiномiв
з гармонiками з 2n i �n, тобто
Γ2
n = {t2n (x) : t2n (x) =
∑
k∈2n
ake
i(k,x), ak ∈ C},
Γ�n = {t�n(x) : t�n(x) =
∑
k∈�n
ake
i(k,x), ak ∈ C}.
Найкращим наближенням функцiй f ∈ Lp(T d) в метрицi
Lp(T
d) полiномами з Γ2
n або Γ�n називають величини
E2
n (f)p = inf
t2n∈Γ2
n
‖f(x)− t2n (x)‖p,
E�n(f)p = inf
t�n∈Γ�
n
‖f(x)− t�n(x)‖p.
Для d = 1
En(f)p = inf
tn∈Γn
‖f(x)− tn(x)‖p,
де Γn = {tn(x) : tn(x) =
n∑
k=−n
ake
ikx, k ∈ Z, ak ∈ C}.
Означимо для f ∈ Lp(T
d) частиннi суми ряду Фур’є насту-
пним чином:
S2
n (f ;x) =
∑
k∈2n
cke
i(k,x), (1)
356 Р.В. Товкач
S�n(f ;x) =
∑
k∈�n
cke
i(k,x), (2)
де ck = 1
(2π)d
∫
T d
f(t)e−i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f .
Через ρ2n (f)p i ρ�n(f)p будемо позначати вiдповiдно величини
ρ2n (f)p = ‖f(x)− S2
n (f ;x)‖p ,
ρ�n(f)p = ‖f(x)− S�n(f ;x)‖p .
При d = 1
ρn(f)p = ‖f(x)− Sn(f ;x)‖p ,
Sn(f ;x) =
n∑
k=−n
cke
ikx.
А. Лебег [1] встановив нерiвнiсть
ρn(f)p ≤ BEn(f)p lnn , p = 1,∞ .
К. I. Осколков [2] встановив оцiнку, яка бiльш точно враховує
властивостi послiдовностi {En(f)p} , p = 1,∞ , а саме:
ρn(f)p ≤ B
n∑
k=0
En+k(f)p
k + 1
, p = 1,∞ .
С. П. Байбородов [3] для функцiй f(·) ∈ Lp(T d), 1 ≤ p ≤ ∞,
показав, що
ρ2n (f)p ≤ B(d)
s∑
k=0
E2
n+k(f)p
lnd−1(k + 2)
k + 1
,
де
S = min(n, [eθ]) , θ =
{
1/(p− 1), 1 ≤ p ≤ 2,
p− 1, 2 ≤ p ≤ ∞.
Оцiнка вiдхилення функцiй вiд їх сум Фур’є 357
2. Основний результат
Теорема 1. Нехай f ∈ C(T d) i її частинна сума визначається
формулою (2).Тодi
ρ�n(f)p ≤ B
n∑
k=0
E�n+k(f)p
lnd−1(k + 2)
k + 1
,
p = 1,∞ . (3)
Доведення. При доведеннi цiєї теореми використаємо методику
з роботи [2]. Нехай µ = max{k : k ≤ 2n− 1, E�k(f)C > 0} i ви-
значимо натуральнi числа n0, n1, . . . , np наступним чином:
n0 = n; nν+1 = min{k : E�k(f)∞ ≤
1
2
E�nν (f)∞},
ν = 0, 1, . . . , p− 1 ,
де p = max{k : E�nk(f)∞ > E�µ(f)∞}, np+1 = µ+ 1.
Вiдмiтимо наступнi властивостi послiдовностi {nν}, ν =
0, p+ 1 (див. [2]), якi випливають з її означення:
n0 = n < n1 < · · · < np < np+1 = µ+ 1 ≤ 2n; (4)
E�nν+1
(f)∞ ≤
1
2
E�nν (f)∞, ν = 0, 1, . . . , p− 1; (5)
E�k(f)∞ ≥
1
2
E�nν (f)∞ , (6)
якщо k + 1 ≤ nν+1, ν = 0, 1, . . . , p.
Для сум
δk =
∑
ν: nν+1≥k+1
E�nν (f)∞ (7)
справедлива оцiнка
δk ≤ B(d)E�k(f)∞ , k = n, n+ 1, . . . , µ , (8)
358 Р.В. Товкач
яка випливає iз властивостей (4)-(6).
Позначимо через t̂�nν ∈ Γ�nν полiном найкращого наближення
функцiї f ∈ C(T d), а
V �n (f ;x) =
1
n+ 1
2n∑
k=n
S�k(f ;x)
— суми Валле–Пуссена [4]. В роботi [5] встановлено, що
‖f(x)− V �n (f ;x)‖C ≤ B(d)E�n(f)∞ . (9)
Для випадку d = 1 така нерiвнiсть була встановлена Валле–
Пуссеном [4].
Тепер, вiдповiдно до (9), будемо мати
δ�n(f)∞ ≤ ‖f(x)− V �n (f ;x)‖C+
+‖V �n (f ;x)− S�n(f ;x)‖C ≤
≤ B(d)E�n(f)∞ + ‖V �n (f ;x)− S�n(f ;x)‖C . (10)
Оскiльки
V �n (f ;x)− S�n(f ;x) =
=
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
∑
|l|=k
cle
i(l,x) =
1
(2π)d
×
×
∫
T d
f(x− u)
2n∑
k=n+1
2n− k + 1
n+ 1
∑
|l|=k
ei(l,u)du =
=
p∑
ν=0
1
(2π)d
×
Оцiнка вiдхилення функцiй вiд їх сум Фур’є 359
×
∫
T d
f(x− u)
nν+1∑
k=nν+1
2n− k + 1
n+ 1
∑
|l|=k
ei(l,u)du ,
то, позначивши через t�∗nν (u) полiном найкращого наближення з
гармонiками з �nν для функцiї f(x) та врахувавши ортогональ-
нiсть системи {ei(l,u)}, знайдемо
V �n (f ;x)− S�n(f ;x) =
=
p∑
ν=0
1
(2π)d
∫
T d
[
f(x− u)− t�∗nν (x− u)
]
×
×
nν+1∑
k=nν+1
2n− k + 1
n+ 1
∑
|l|=k
ei(l,u)du .
Далi, використовуючи узагальнену нерiвнiсть Мiнковського,
будемо мати
‖V �n (f ;x)− S�n(f ;x)‖C ≤
p∑
ν=0
E�nν (f)∞
1
(2π)d
Iν , (11)
де
Iν =
1
(2π)d
×
×
∫
T d
∣∣∣∣∣∣
nν+1−nν∑
s=1
2n− nν − s+ 1
n+ 1
∑
|l|=nν+s
ei(l,u)
∣∣∣∣∣∣ du .
Тепер оцiнимо iнтеграл Iν . Для спрощення викладення оцiнку
проведемо для випадку d = 2. При d > 2 мiркування аналогiчнi.
Таким чином
Iν ≤ I(0,0)
ν + I(1,0)
ν + I(0,1)
ν + I(1,1)
ν ,
360 Р.В. Товкач
де
I(α1,α2)
ν =
1
(2π)2
∫
T 2
|
nν+1−nν∑
s=1
2n− nν − s+ 1
n+ 1
×
×
∑
(−1)α1 l1+(−1)α2 l2=nν+s
ei(l,u)|du ,
αi = 0, 1 , i = 1, 2 .
Оцiнимо I(1,0)
ν :
I(1,0)
ν =
1
(2π)2
∫
T 2
|
nν+1−nν∑
s=1
2n− nν − s+ 1
n+ 1
×
×
∑
−l1+l2=nν+s
l1<0, l2>0
ei(l,u)ei
nν
2
u1ei
nν
2
u2 |du =
=
1
(2π)2
∫
T 2
|
nν+1−nν∑
s=1
2n− nν − s+ 1
n+ 1
×
×
∑
−j1+j2=s
j1≤
nν
2 , j2≥−nν
2
ei(j,u)|du .
Застосувавши перетворення Абеля, знайдемо
nν+1−nν∑
s=1
2n− nν − s+ 1
n+ 1
(Ds(u)−Ds−1(u)) =
=
nν+1−nν∑
s=1
2n− nν − s+ 1
n+ 1
Ds(u)−
−
nν+1−nν−1∑
s=0
2n− nν − s
n+ 1
Ds(u) =
Оцiнка вiдхилення функцiй вiд їх сум Фур’є 361
=
2n− nν+1 + 1
n+ 1
Dnν+1−nν (u)− 2n− nν
n+ 1
D0(u)+
+
1
n+ 1
nν+1−nν∑
s=1
Ds(u) ,
де
Ds(u) =
∑
−j1+j2=s
j1≤
nν
2 , j2≥−nν
2
ei(j,u) .
Таким чином
I(1,0)
ν ≤ B(2)(
∫
T 2
|Dnν+1−nν (u)|du+
+
1
n+ 1
∫
T 2
|
nν+1−nν∑
s=1
Ds(u)|du).
Далi, використовуючи результати робiт [6] або [7], матимемо
I(1,0)
ν ≤ B(2) ln2(nν+1 − nν) ≤ B(2) ln2(nν+1 − n).
Аналогiчно оцiнюються i решта iнтегралiв I(α1,α2)
ν . Тому в d-
мiрному випадку будемо мати
Iν ≤ B(d) lnd(nν+1 − n+ 1) =
= B(d)
nν+1∑
k=n+1
(lnd(k − n+ 1)− lnd(k − n)) ≤
≤ B(d)
nν+1∑
k=n+1
lnd−1(k − n+ 1)
k − n
. (12)
362 Р.В. Товкач
Пiдставляючи оцiнку (12) в (11), отримуємо
‖V �n (f ;x)− S�n(f ;x)‖C ≤
≤ B(d)
p∑
ν=0
E�nν (f)∞
nν+1∑
k=n+1
lnd−1(k − n+ 1)
k − n
. (13)
Змiнюючи в правiй частинi спiввiдношення (13) порядок су-
мування i використовуючи (8), знайдемо
‖V �n (f ;x)− S�n(f ;x)‖C ≤
≤ B(d)
n1∑
k=n+1
lnd−1(k − n+ 1)
k − n
×
×(E�n0
(f)∞ + · · ·+ E�np(f)∞)+
+B(d)
n2∑
k=n1+1
lnd−1(k − n+ 1)
k − n
×
×(E�n1
(f)∞ + · · ·+ E�np(f)∞) + · · ·+
+B(d)
np+1∑
k=np+1
lnd−1(k − n+ 1)
k − n
E�np(f)∞ ≤
≤ B(d)
µ+1∑
k=n+1
E�k(f)∞
lnd−1(k − n+ 1)
k − n
.
З останньої нерiвностi та спiввiдношення (10) випливає твер-
дження теореми.
Оцiнка вiдхилення функцiй вiд їх сум Фур’є 363
Лiтература
[1] Lebesque H. Sur la représentation trigonométrique approchée des
fonction satisfaisant è une condition de Lipshitz // Bull. Math.
France. –– 1910. –– 38. –– P. 184–210.
[2] Осколков К. И. К неравенству Лебега в равномерной метрике и на
множестве полной меры //Мат. заметки. — 1975. — 18. — С. 515–
526.
[3] Байбородов С. П. Константы Лебега и приближение функций пря-
моугольными суммами Фурье //Мат. заметки. — 1983. — 34. —
С. 77–90.
[4] Ch. J. de la Vallèe Poussin. Lecons sur l’approximation des functions
d’une variable réelle. –– Paris: Guathier–Villars, 1919.
[5] Задерей Н. М., Товкач Р. В. Наближення перiодичних функцiй
багатьох змiнних сумами Фейера //Теорiя наближень функцiй та
сумiжнi питання: Збiрник праць Iн-ту математики НАН України.
Київ: Iн-т математики НАН України, 2010. — Т. 7, №1. — С. 341-
347.
[6] Белинский Э. С. Поведение констант Лебега некоторых методов
суммирования кратных рядов Фурье //Сб. Метрические вопросы
теории функций и отображений. — Вып. 8. — К.: Наук. думка,
1977. — С. 19–40.
[7] Байбородов С. П. Константы Лебега многогранников //Мат. за-
метки. — 1982. — 32, №6. — С. 817–822.
[8] Теляковский С. А. Равномерная ограниченность некоторых триго-
нометрических полиномов многих переменных //Мат. заметки. —
1987. — 42, №1. — С. 33–39.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-327 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:45Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a3/458de287f5459393ce1f5b2cc30e45a3.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3272018-02-13T13:12:44Z Estimate for deviation of functions from their Fourier sums Оцінка відхилення функцій від їх сум Фур'є Tovkach, R. V. Товкач, Р. В. We investigate problems of estimating the deviation of functions from their Fourier sums in terms of the best approximation. Отримано оцінку відхилення функцій від їх сум Фур'є у термінах найкращих наближень. Інститут математики НАН України 2017-11-28 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/327 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 3 (2017): Differential equations and related problems of analysis; 354-363 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 354-363 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 3 (2017): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 354-363 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/327/310 Авторське право (c) 2017 Р. В. Товкач |
| spellingShingle | Tovkach, R. V. Товкач, Р. В. Estimate for deviation of functions from their Fourier sums |
| title | Estimate for deviation of functions from their Fourier sums |
| title_alt | Оцінка відхилення функцій від їх сум Фур'є |
| title_full | Estimate for deviation of functions from their Fourier sums |
| title_fullStr | Estimate for deviation of functions from their Fourier sums |
| title_full_unstemmed | Estimate for deviation of functions from their Fourier sums |
| title_short | Estimate for deviation of functions from their Fourier sums |
| title_sort | estimate for deviation of functions from their fourier sums |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/327 |
| work_keys_str_mv | AT tovkachrv estimatefordeviationoffunctionsfromtheirfouriersums AT tovkačrv estimatefordeviationoffunctionsfromtheirfouriersums AT tovkachrv ocínkavídhilennâfunkcíjvídíhsumfur039ê AT tovkačrv ocínkavídhilennâfunkcíjvídíhsumfur039ê |