Generalized moment images and approximations of the Padé type of some multidimensional analogues of the Humbert series
By means of the method of the generalized moment representations, weconstruct the multidimensional Pad´ e type approximants for some Humbertconfluent hypergeometric series.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/328 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552836376559616 |
|---|---|
| author | Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. |
| author_facet | Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. П. Голуб",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
},
{
"author": "Л. О. Лисенко",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Голуб, А. П. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | By means of the method of the generalized moment representations, weconstruct the multidimensional Pad´ e type approximants for some Humbertconfluent hypergeometric series. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, № 2, 7–14
УДК 517.53
Узагальненi моментнi зображення та
апроксимацiї типу Паде деяких
багатовимiрних аналогiв рядiв
Гумберта
А.П. Голуб, Л.О. Лисенко
Iнститут математики НАН України, Київ; golub@imath.kiev.ua
By means of the method of the generalized moment representations, we
construct the multidimensional Padé type approximants for some Humbert
confluent hypergeometric series.
За допомогою методу узагальнених моментних представлень побудо-
вано багатовимiрнi апроксиманти типу Паде для деяких вироджених
гiпергеометричних рядiв Гумберта.
С помощью метода обобщенных моментных представлений построены
многомерные аппроксиманты типа Паде для некоторых вырожденных
гипергеометрических рядов Гумберта.
Один з пiдходiв до побудови апроксимант типу Паде функцiй кiль-
кох змiнних було запропоновано в [1]. Цей пiдхiд ґрунтується на по-
ширеннi методу узагальнених моментних зображень В. К. Дзядика [2]
на випадок багатовимiрних числових послiдовностей.
У [3] побудовано та дослiджено апроксиманти типу Паде для де-
яких вироджених гiпергеометричних рядiв Гумберта двох змiнних. У
данiй статтi вказанi результати поширено на d–вимiрний випадок.
Наведемо вiдповiдне означення.
Означення 1. Узагальненим моментним зображенням d-вимiрної
числової послiдовностi {sk}k∈Zd
+
на добутку лiнiйних просторiв X та
Y за означеною на цьому добутку бiлiнiйною формою 〈·, ·〉 називає-
ться сукупнiсть рiвностей
sk+j = 〈xk, yj〉, k, j ∈ Z
d
+, (1)
де {xk}k∈Zd
+
⊂ X , {yj}j∈Zd
+
⊂ Y .
c© Голуб А. П., Лисенко Л. О., 2017
8 Голуб А. П., Лисенко Л. О.
Розглянемо формальний степеневий ряд за d змiнними
f(z) =
∑
k∈Zd
+
skz
k, (2)
де z = (z1, z2, . . . , zd) ∈ Cd,k = (k1, k2, . . . , kd) ∈ Zd+, z
k = zk11 zk22 . . . zkdd .
Введемо для зручностi ряд позначень.
Для p = 0, 1, . . . , d позначимо Ωp =
{
ω ⊆ {1, 2, . . . , d
}
: |ω| = p}.
Елементи кожної з множин ω ∈ Ωp : ω = {l1(ω), l2(ω), . . . , lp(ω)}
впорядкуємо так, що 1 6 l1(ω) < l2(ω) < . . . < lp(ω) 6 d.
Те ж саме зробимо з елементами доповнення ω = {1, 2, . . . , d} \
ω : ω = {m1(ω),m2(ω), . . . ,md−p(ω)} ∈ Ωd−p так, що 1 6 m1(ω) <
m2(ω) < . . . < md−p(ω) 6 d.
Для кожної множини ω ∈ Ωp, p = 1, . . . , d, введемо позначення
δ(ω) = (δ1(ω), δ2(ω), . . . , δd(ω)),
де
δi(ω) =
{
0 при i ∈ ω,
1 при i 6∈ ω;
ε(ω) = (ε1(ω), ε2(ω), . . . , εd(ω)),
εi(ω) =
{
−1 при i ∈ ω,
1 при i 6∈ ω,
так що
δi(ω) =
εi(ω) + 1
2
, i = 1, 2, . . . , d.
Позначимо також 0 = (0, 0, . . . , 0) ∈ Z
d
+,1 = (1, 1, . . . , 1) ∈ Z
d
+, так
що 1 = δ(∅),0 = δ
(
{1, 2, . . . , d}
)
.
Для векторiв a,b ∈ Zd+, a = (a1, a2, . . . , ad), b = (b1, b2, . . . , bd), че-
рез a ◦ b позначимо покоординатний добуток векторiв a та b : a◦b =
(a1b1, a2b2, . . . , adbd).
Для кожного вектора a ∈ Zd+ :
∆(a) =
{
j = (j1, j2, . . . , jd) ∈ Z
d
+ : ji ∈ {0, 1, . . . , ai}, i = 1, 2, . . . , d
}
.
З врахуванням цих позначень в [1] встановлено результат, що до-
зволяє для рядiв вигляду (2) з коефiцiєнтами, для яких справедливi
Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї типу Паде . . . 9
зображення вигляду (1), будувати їх d-вимiрнi апроксиманти типу
Паде.
Розглянемо деяку неперервно диференцiйовну функцiю Φ : Rd+ →
R, яка має такi властивостi:
1) множина DΦ = {x ∈ R
d
+|ΦN(x) 6 0} — обмежена в R
d
+;
2) потужнiсть множини DΦ
⋂{x ∈ Zd+|xi > Ni, i = 1, 2, . . . , d} до-
рiвнює
d∏
i=1
(Ni + 1)− 1;
3) для всiх i = 1, 2, . . . , d iснують однозначно визначенi функцiї
xi = ϕi(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd)
для (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) ∈ Di := {(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) ∈
R
d−1
+ |∃xi ∈ R+ : Φ(x) 6 0} такi, що
Φ(x1, x2, . . . , xi−1, ϕi(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd), xi+1, . . . , xd) ≡ 0;
4) при кожному i = 1, 2, . . . , d : ϕi(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) >
Ni, ∀(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) ∈ Di.
Теорема 1. Нехай для коефiцiєнтiв формального степеневого ря-
ду вигляду (2) справджується узагальнене моментне зображення
вигляду (1). Тодi якщо для деякого N ∈ N
d iснує узагальнений полi-
ном
YN =
∑
j∈∆(N)
c
(N)
j yj
такий, що c
(N)
N 6= 0,i при k ∈ {k ∈ Zd+ : k+N ∈ DΦ} виконуються
умови бiортогональностi 〈xk, YN〉 = 0. Тодi рацiональна функцiя
[M /N ]f (z) =
P (z)
∑
j∈∆(N)
c
(N)
N−jz
j
,
де
P (z) =
d−1∑
p=0
∑
ω∈Ωp
p∏
r=1
z
Nlr(ω)
lr(ω)
∑
06kmi(ω)6Nmi(ω)−1,i=1,2,...,d−p
Φ(k)60
zk×
×
∑
j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k)
cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsk+ε(ω)◦j,
10 Голуб А. П., Лисенко Л. О.
матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгати-
муться з коефiцiєнтами ряду (2) для всiх k ∈ DΦ∩Z
d
+, а, отже, ця
рацiональна функцiя є d-вимiрною апроксимантою типу Паде ря-
ду (2) порядку [M /N ], де M = DΦ ∩ Zd+ \ {x ∈ Zd+ : xi > Ni, i =
1, 2, . . . , d}, а N = ∆(N).
Сформулюємо задачу в операторному виглядi. Припустимо, що
лiнiйнi простори X та Y є нормованими, бiлiнiйна форма 〈·, ·〉 є на-
рiзно неперервною, i у просторi X задано такi попарно комутуючi
мiж собою обмеженi лiнiйнi оператори Ai : X → X , i = 1, 2, . . . , d,
що
Aixk = xk+ei,, i = 1, 2, . . . , d,
для кожного k ∈ Zd+, де ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) = 1 − δ({i}),
i = 1, 2, . . . , d, а у просторi Y iснують обмеженi лiнiйнi операто-
ри A⋆i : Y → Y , i = 1, 2, . . . , d, спряженi вiдповiдно до операторiв
Ai, i = 1, 2, . . . , d, вiдносно бiлiнiйної форми 〈·, ·〉.
Тодi зображення (1) можна записати у виглядi
sk =
〈
xk, y0
〉
=
〈 d∏
i=1
Akii x0, y0
〉
, k ∈ Z
d
+,
i ряд (2) буде збiжним в околi початку координат до аналiтичної
функцiї, що має зображення
f(z) =
〈 d∏
i=1
Rzi(Ai)x0, y0
〉
,
де резольвентна функцiя оператораA має вигляд Rz(A) = (I − zA)−1.
У випадку, коли всi оператори Ai, i = 1, 2, . . . , d спiвпадають мiж
собою, — A = A1 = A2 = . . . = Ad, має мiсце наступний результат.
Лема 1. Для функцiй f(z) =
〈
d∏
i=1
Rzi(A)x0, y0
〉
є справедливим
зображення
f(z) =
1∏
s<t
(zs − zt)
d∑
i=1
zd−1
i (−1)i+1
∏
s<t
s,t6=i
(zs − zt)g(zi), (3)
де
g(z) = 〈Rz(A)x0, y0〉 .
Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї типу Паде . . . 11
Для деяких фiксованих α, β ∈ [0, 1) розглянемо простори iнтегров-
них на [0, 1] функцiй
Xα =
{
x(t) : sup
t∈[0,1]
|x(t) tα| <∞
}
,
Yβ =
{
y(t) : sup
t∈[0,1]
|y(t)(1 − t)β | <∞
}
,
з нормами
||x||Xα
= sup
t∈[0,1]
|x(t) tα|, ||y||Yβ
= sup
t∈[0,1]
|y(t)(1− t)β |.
Очевидно, що на добутку цих просторiв можна задати бiлiнiйну фор-
му
〈x, y〉 =
1∫
0
x(τ)y(τ)dτ,
що буде нарiзно неперервною.
Розглянемо у просторi X оператор iнтегрування
(Aϕ)(t) =
t∫
0
ϕ(τ)dτ.
Нескладно встановити (див. [4, с. 36]), що резольвентна функцiя
цього оператора може бути зображена у виглядi
(
R̂z(A)ϕ
)
(t) = ϕ(t) + z
t∫
0
ϕ(τ)ez(t−τ)dτ.
Якщо покласти x0,0(t) = y0,0(t) ≡ 1, то отримаємо функцiю ви-
гляду (3) з g(z) = 1
z (e
z − 1).
Якщо ж
x0,0(t) =
tν
Γ(ν + 1)
, ν > −1, y0,0(t) =
(1− t)σ
Γ(σ + 1)
, σ > −1,
то отримаємо функцiю вигляду (3) з
g(z) =
Γ(σ + 1)Γ(ν + 1)
Γ(ν + σ + 2)
1F1(1; ν + σ + 2; z). (4)
12 Голуб А. П., Лисенко Л. О.
Нехай N = (N,N, . . . , N) ∈ Nd. Тодi для того, щоб побудувати за
теоремою 1 d-вимiрнi апроксиманти типу Паде функцiї f вигляду (3)
з g(z) вигляду (4), необхiдно побудувати полiноми
YN(t) =
∑
j∈∆(N)
c
(N)
j yj,
для яких при k ∈ ∆(N) \ {N} виконуються умови бiортогональностi
1∫
0
xkYN(t)dt = 0. (5)
У розглядуваному випадку
xk(t) =
t|k|+ν
Γ(|k|+ ν + 1)
, yj(t) =
(1− t)|j|+σ
Γ(|j|+ σ + 1)
,
де |k| = k1 + k2 + . . .+ kd, |j| = j1 + j2 + . . .+ jd.
Тому
YN(t) =
∑
j∈∆(N)
c
(N)
j
(1− t)|j|+σ
Γ(|j|+ σ + 1)
= γNP
(ν,σ)∗
dN (t)(1 − t)σ,
де P (ν,σ)∗
dN (t) — зсунутий ортонормований на [0, 1] з вагою tν(1 − t)σ
многочлен Якобi степеня dN (див. [5, с. 580]), а γN — деяка константа,
яку ми можемо, не обмежуючи загальностi, покласти рiвною 1.
Тодi
∑
j∈∆(N)
c
(N)
j
t|j|
Γ(|j|+ σ + 1)
= P
(ν,σ)∗
dN (1− t).
Враховуючи явний вираз для коефiцiєнтiв ортогональних много-
членiв Якобi (див. [5], с. 581), матимемо (константу для зручностi
знову покладемо рiвною 1)
P
(ν,σ)∗
dN (1−t) = P
(σ,ν)∗
dN (t) =
dN∑
m=0
(−1)m
(
dN
m
)
Γ(dN + σ + ν +m+ 1)
Γ(σ +m+ 1)
tm.
Отже, нам потрiбно вибрати коефiцiєнти c(N)
j так, щоб виконува-
лись рiвностi
∑
j∈∆(N)
c
(N)
j
t|j|
Γ(|j|+ σ + 1)
=
dN∑
m=0
(−1)m
(
dN
m
)
Γ(dN + σ + ν +m+ 1)
Γ(σ +m+ 1)
tm,
Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї типу Паде . . . 13
або ж
∑
0≤j1,...,jd≤N
|j|=m
c
(N)
j = (−1)m
(
dN
m
)
Γ(dN + σ + ν +m+ 1).
З цiєї рiвностi коефiцiєнти c(N)
j , j1, . . . , jd = 0, N можна визначити
багатьма способами. Розглянемо наступний: будемо вважати, що на
вiдрiзках
d∑
j=1
ji = p, що лежать у d-вимiрному кубi [0, N ]d коефiцiєнти
пропорцiйнi полiномiальним коефiцiєнтам так, що
c
(N)
j =
(−1)|j|Γ(dN + σ + ν + |j|+ 1)
2|j|
( |j|
j1, . . . , jd
)(
dN
|j|
)
при 0 6 |j| 6 dN
2 ,
(−1)|j|Γ(dN + σ + ν + |j|+ 1)
2dN−|j|
(
dN − |j|
N − j1 − . . .− jd
)(
dN
|j|
)
при dN
2 + 1 6 |j| 6 dN.
Зауважимо, що умова (5) буде виконуватися не лише для k ∈
∆(N) \ {N}, а i для k ∈ {k ∈ Zd+ : |k| 6 2dN − 1}, тому за фун-
кцiю Φ(x1, x2, . . . , xd), що фiгурує у формулюваннi теореми 1, потрi-
бно взяти функцiю Φ(x1, x2, . . . , xd) = |x|−2dN+1. При цьому функцiї
ϕi : R
d−1
+ → R матимуть вигляд:
ϕi(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xd) = 2dN−1−x1− . . .−xi−1−xi+1− . . .−xd.
Встановлено такий допомiжний результат.
Лема 2. Нехай N ∈ N, 0 6 j 6 dN . Тодi кiлькiсть векторiв
k ∈ Zd+ таких, що ki 6 N, i = 1, 2, . . . , d, та |k| = j, дорiвнює
γ
(N)
j =
[ j
N+1 ]∑
r=0
(
d
r
)
(−1)r
(d+ j − r(N + 1)− 1)!
(d− 1)!(j − r(N + 1))!
.
З леми 2 випливає, що коефiцiєнти c
(N)
j , j ∈ ∆(N), полiномiв YN
повиннi вибиратися таким чином, щоб
c
(N)
j =
p
(dN)
|j|
γ
(N)
|j|
=
p
(dN)
|j|
[ |j|
N+1 ]∑
r=0
(
d
r
)
(−1)r
(
d+|j|−r(N+1)−1
)
!
(d−1)!
(
|j|−r(N+1)
)
!
. (6)
14 Голуб А. П., Лисенко Л. О.
На основi наведених мiркувань з використанням теореми 1 отри-
маємо такий результат.
Теорема 2. При кожному N ∈ N рацiональна функцiя
[M /N ]f (z) =
P (z)
∑
j∈∆(N)
c
(N)
N−jz
j
,
де
P (z) =
d−1∑
p=0
∑
ω∈Ωp
p∏
r=1
z
Nlr(ω)
lr(ω)
∑
06kmi(ω)6N−1,i=1,2,...,d−p,
|k|62dN−1
zk×
×
∑
j∈∆(δ(ω)◦N+δ(ω)◦k)
cδ(ω)◦N+ε(ω)◦jsd−p∑
i=1
jmi
+|k|−
p∑
i=1
jli
,
N = (N,N, . . . , N), коефiцiєнти c
(N)
j обчислюються за формулами
(6), а sk =
1
Γ(|k|+ ν + σ + 2)
, матиме розвинення у степеневий ряд,
коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду Тейлора–
Маклорена для функцiї f вигляду (3) для всiх k ∈ {k ∈ Zd+ : |k| 6
2dN − 1}, а, отже, ця рацiональна функцiя є d-вимiрною апрокси-
мантою типу Паде функцiї (3) порядку [M /N ], де M = {k ∈ Zd+ :
|k| 6 2dN − 1}, а N = ∆(N).
[1] Голуб А.П., Чернецька Л.О. Багатовимiрнi узагальненi моментнi зо-
браження та апроксимацiї типу Паде для функцiй багатьох змiнних //
Укр. мат. журн. — 2014. — 66, 9. — С. 1166 – 1174.
[2] Дзядик В.К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН
УРСР. — 1981. — 6. — С. 8 – 12.
[3] Голуб А.П., Чернецька Л.О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зо-
браження та апроксимацiї Паде деяких рядiв Гумберта // Укр. мат.
журн. — 2013. — 65, 10. — С. 1315 – 1331.
[4] Голуб А.П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. —
К.: Iн-т математики НАН України, 2002. — 222 c.
[5] Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с
формулами, графиками и таблицами. — М.: Наука, 1979. — 832 c.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-328 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:46Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ac/da13aafe4507dae6283b05bb25a38bac.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3282018-02-13T11:53:50Z Generalized moment images and approximations of the Padé type of some multidimensional analogues of the Humbert series Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї типу Паде деяких багатовимiрних аналогiв рядiв Гумберта Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. By means of the method of the generalized moment representations, weconstruct the multidimensional Pad´ e type approximants for some Humbertconfluent hypergeometric series. За допомогою методу узагальнених моментних представлень побудо-вано багатовимiрнi апроксиманти типу Паде для деяких виродженихгiпергеометричних рядiв Гумберта. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/328 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 7-14 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 7-14 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 7-14 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/328/339 |
| spellingShingle | Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. Generalized moment images and approximations of the Padé type of some multidimensional analogues of the Humbert series |
| title | Generalized moment images and approximations of the Padé type of some multidimensional analogues of the Humbert series |
| title_alt | Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї типу Паде деяких багатовимiрних аналогiв рядiв Гумберта |
| title_full | Generalized moment images and approximations of the Padé type of some multidimensional analogues of the Humbert series |
| title_fullStr | Generalized moment images and approximations of the Padé type of some multidimensional analogues of the Humbert series |
| title_full_unstemmed | Generalized moment images and approximations of the Padé type of some multidimensional analogues of the Humbert series |
| title_short | Generalized moment images and approximations of the Padé type of some multidimensional analogues of the Humbert series |
| title_sort | generalized moment images and approximations of the padé type of some multidimensional analogues of the humbert series |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/328 |
| work_keys_str_mv | AT golubap generalizedmomentimagesandapproximationsofthepadetypeofsomemultidimensionalanaloguesofthehumbertseries AT lisenkolo generalizedmomentimagesandapproximationsofthepadetypeofsomemultidimensionalanaloguesofthehumbertseries AT golubap generalizedmomentimagesandapproximationsofthepadetypeofsomemultidimensionalanaloguesofthehumbertseries AT lisenkolo generalizedmomentimagesandapproximationsofthepadetypeofsomemultidimensionalanaloguesofthehumbertseries AT golubap uzagalʹnenimomentnizobražennâtaaproksimaciítipupadedeâkihbagatovimirnihanalogivrâdivgumberta AT lisenkolo uzagalʹnenimomentnizobražennâtaaproksimaciítipupadedeâkihbagatovimirnihanalogivrâdivgumberta AT golubap uzagalʹnenimomentnizobražennâtaaproksimaciítipupadedeâkihbagatovimirnihanalogivrâdivgumberta AT lisenkolo uzagalʹnenimomentnizobražennâtaaproksimaciítipupadedeâkihbagatovimirnihanalogivrâdivgumberta |