Optimal elliptic maneuvering of a spacecraft with a solar engine
The analysis of the optimal controls ensuring the minimization of the con-sumption of the working fluid of an electric propulsion (EP) of a space-craft that makes a flight between close elliptical orbits is provided. Whenmodeling the thrust of the EP, features of its generation in the plasmaEPs and...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/329 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552836821155840 |
|---|---|
| author | Kiforenko, B. M. Ткаченко, Я. В. Васильєв, І. Ю. Кiфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. Васильєв, І. Ю. |
| author_facet | Kiforenko, B. M. Ткаченко, Я. В. Васильєв, І. Ю. Кiфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. Васильєв, І. Ю. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Б. М. Кiфоренко",
"institution": "Iнститут механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України"
},
{
"author": "Я. В. Ткаченко",
"institution": "Iнститут механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України"
},
{
"author": "І. Ю. Васильєв",
"institution": "Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка"
}
] |
| author_sort | Kiforenko, B. M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | The analysis of the optimal controls ensuring the minimization of the con-sumption of the working fluid of an electric propulsion (EP) of a space-craft that makes a flight between close elliptical orbits is provided. Whenmodeling the thrust of the EP, features of its generation in the plasmaEPs and the volt-ampere characteristics of a solar battery are accountedfor. In illustrative examples, the shadow effect on the efficiency of the EPoperation was studied. It is shown that there are such relations of locationand duration of the shadow arcs of the transfer trajectory, in which theshadow does not affect the quality of the optimal maneuver performance. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, №2, 15–24
УДК 629.7.076.6
Оптимальнi елiптичнi маневри
космiчного апарату з сонячною
електрореактивною рушiйною
системою
Б.М. Кiфоренко 1, Я. В. Ткаченко 2, I.Ю. Васильєв 3
1 Iнститут механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України, Київ;
bkifor@ukr.net
2 Iнститут механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України, Київ;
yaroslavvt@ukr.net
3 Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка,
Київ; igor_v@univ.kiev.ua
The analysis of the optimal controls ensuring the minimization of the con-
sumption of the working fluid of an electric propulsion (EP) of a space-
craft that makes a flight between close elliptical orbits is provided. When
modeling the thrust of the EP, features of its generation in the plasma
EPs and the volt-ampere characteristics of a solar battery are accounted
for. In illustrative examples, the shadow effect on the efficiency of the EP
operation was studied. It is shown that there are such relations of location
and duration of the shadow arcs of the transfer trajectory, in which the
shadow does not affect the quality of the optimal maneuver performance.
Проведено аналiз оптимальних керувань, якi забезпечують мiнiмiзацiю
витрати робочої речовини електрореактивного двигуна (ЕРД) космi-
чного апарату, що здiйснює перелiт мiж близькими елiптичними орбi-
тами. При моделюваннi тяги ЕРД врахованi особливостi її генерування
в плазмових ЕРД i вольт-амперна характеристика сонячної батареї. На
конкретних прикладах дослiджено вплив тiнi на ефективнiсть роботи
ЕРД. Показано, що iснують такi спiввiдношення розташування i три-
валостi тiньових дуг перехiдної траєкторiї, при яких тiнь не впливає
на якiсть виконання оптимального маневру.
c© Кiфоренко Б.М., Ткаченко Я. В., Васильєв I.Ю., 2017
16 Кiфоренко Б. М., Ткаченко Я. В., Васильєв I. Ю.
Вступ
В останнi роки при створеннi космiчних апаратiв (КА) для дослi-
дження Сонячної системи i навколоземного космiчного простору ви-
користовуються електричнi ракетнi двигуни (ЕРД) [1,2]. Особливiстю
цих двигунiв є можливiсть регулювання робочих процесiв генерацiї
тяги у широких межах. Ця особливiсть дозволила спецiалiстам з те-
орiї керування польотом дослiджувати задачi механiки польоту з ви-
користанням математичної моделi так званого iдеально керованого
двигуна, вважаючи величини тяги i потужностi двигуна незалежни-
ми функцiями керування [3]. Однак необхiднiсть врахування особли-
востей регулювання реальних ЕРД стимулювало розробку удоскона-
лених математичних моделей [4–6]. У цiй роботi оцiнка ефективностi
ЕРД з живленням вiд сонячної батареї буде проведена з урахуванням
вiдсутностi електропостачання при знаходженнi КА з тiнi. Рiвняння
руху центру мас апарату в навколопланетному просторi нелiнiйнi, що
суттєво ускладнює процедуру дослiдження оптимального керування.
Запропонований у роботах [6, 7] i використаний у цiй роботi пiдхiд
до застосування пiд час аналiзу спецiально розроблених математи-
чних моделей оптимально керованих рушiйних систем дає можли-
вiсть одержувати аналiтичнi розв‘язки рiвнянь обчислення функцiй
керування при використаннi принципу максимума Л. С. Понтрягiна,
що спрощує алгоритм iнтегрування рiвнянь оптимального руху цен-
тру мас КА.
1 Постановка задачi
Як вiдомо [8], тягу T реальних електрореактивних двигунiв (ЕРД) та
вiдповiдну витрату робочої речовини q розраховують за формулами
T = ηbµi
√
2Uη(U), q =
ηbµ
2
ηc
i, (1)
де U – величина електричної напруги, i – величина струму, ηb – вiдно-
шення iонного струму, що безпосередньо генерує тягу, до сумарного
струму (зазвичай приймається сталою), η(U) – втрати напруги у ре-
альних двигунах, µ =
√
ma/e – залежить вiд типу робочої речовини
(ma – маса атома, e – заряд електрона), ηb – вiдношення анодної
витрати до повної витрати робочої речовини ЕРД. Формули (1) ви-
користовують при формалiзацiї математичної моделi ЕРД обмеженої
Оптимальнi елiптичнi маневри космiчного апарату з . . . 17
потужностi N = iU ≤ Nmax та обмеженої тяги T ≤ Tmax. Макси-
мальнi знчення потужностi Nmax та тяги Tmax залежать вiд вольт-
амперної характеристики джерела енергiї. Рiвняння вольт-амперної
характеристики сонячної батареї має вигляд [8]:
i = ikz
{
1− U
Uxx
exp
[
U − Uxx
U∗ − Uxx
ln
(
Uxx
U∗
(
1− i∗
ikz
))]}
, (2)
де ikz – струм короткого замикання, Uxx – напруга холостого ходу,
U∗, i∗ – напруга та струм при максимальнiй потужностi сонячної ба-
тареї. У роботi [6] розроблена математична модель плазмового ЕРД
як об‘єкта керування i наведенi необхiднi для аналiзу характеристики
джерела потужностi. Сформульована варiацiйна задача про викона-
ння заданого мiжорбiтального переходу космiчним апаратом (КА)
з мiнiмальною витратою робочого тiла ЕРД. Рух КА представлено
у термiнах механiки матерiальної точки змiнної маси. Аналiз опти-
мального керування проведено з використанням принципу максиму-
му Л. С. Понтрягiна. Проведено звуження множини допустимих ке-
рувань до частини дуги вольт-амперної характеристики сонячної ба-
тареї вiд точки максимальної тяги до напруги холостого ходу. Однак,
через нелiнiйну залежнiсть тяги T вiд напруги U , або струму i (див.
формули (1)–(2)) оптимальнi програми T (t), U(t), i(t) отримано ви-
ключно чисельними методами.
Формули (1)–(2) являють собою параметричний запис функцiо-
нальної залежностi T (i). На множинi допустимих керувань ця зале-
жнiсть з достатнiм ступенем адекватностi може бути апроксимована
методом найменших квадратiв полiномом другого порядку
T = a2i
2 + a1i+ a0,
i ∈ [0; iTmax
],
(3)
де iTmax
— значення струму при максимальнiй тязi. Такий пiдхiд при
використаннi принципу максимуму Понтрягiна дає змогу отримати
аналiтичнi формули для обчислення оптимальних керувань.
Розглянемо клас оптимальних динамiчних маневрiв КА, мета яких
полягає у малiй змiнi оскулюючих параметрiв елiптичної орбiти за
час, що вiдповiдає одному оберту навколо гравiтацiйного центра, при-
чому вважатимемо, що деяка частина перехiдної траєкторiї знахо-
диться у тiнi. За критерiй оптимальностi виберемо мiнiмум витрати
робочої речовини ЕРД для виконання маневру. Рух КА моделюємо
18 Кiфоренко Б. М., Ткаченко Я. В., Васильєв I. Ю.
рухом матерiальної точки, на яку дiють гравiтацiйна сила та тяга
ЕРД. Для опису руху КА введемо вектор −→x = [ϑ, e, ω, I,Ω], компо-
нентами якого є п‘ять безрозмiрних оскулюючих орбiтальних параме-
трiв: ϑ = ln
√
a(1− e2) (тут a – велика пiввiсь) – логарифм кутового
моменту, e – ексцентриситет, ω – кутова вiдстань перицентра до ву-
зла, I – кут нахилу площини орбiти, Ω – довгота висхiдного вузла.
Положення КА на орбiтi визначатиметься величиною ексцентричної
аномалiї E. Тодi рiвняння руху КА матимуть вигляд [9]
dxj
dt
= expϑ
3∑
k=1
FjkWckδsh,
dE
dt
= F60 + expϑ
3∑
k=1
F6kWckδsh, j = 1, 5, k = 1, 3,
(4)
де W = T/m – вектор реактивного прискорення (m – поточна маса
КА), ck – направляючi косинуси вектора тяги, δsh – функцiя, яка
дорiвнює 1 на освiтлених частинах траєкторiї та 0 на тiньових, а Fjk
розраховуються за формулами
F11 = 0; F12 =
1− e cosE
1− e2
; F13 = 0;
F21 =
√
1− e2 sinE
1− e cosE
; F22 = cosE +
cosE − e
1− e cosE
; F23 = 0;
F31 = − cosE − e
e(1− e cosE)
; F32 =
2− e2 − e cosE
e
√
1− e2(1 − e cosE)
sinE;
F33 = − cot I
(
sinω
1− e2
(cosE − e) +
cosω√
1− e2
sinE
)
;
F41 = F42 = 0; F43 =
cosω
1− e2
(cosE − e)− sinω√
1− e2
sinE;
F51 = F52 = 0; F53 = F33/ cos I;
F60 =
(
1− e2
)3/2
exp(3ϑ)(1− e cosE)
;F61 =
(
cosE − e
e(1− e cosE)
− 1
)
1√
1− e2
;
F62 =
2− e cosE
e(1− e cosE)
; F63 = 0.
(5)
Спiввiдношення (4) – (5) та всi подальшi спiввiдношення записанi у
безрозмiрнiй формi: лiнiйний розмiр вiднесено до характерної вели-
чини r∗, час t вiднесено до t∗ – перiоду обертання КЛА по круговiй
Оптимальнi елiптичнi маневри космiчного апарату з . . . 19
орбiтi радiусом r∗, роздiленого на 2π, масу КА m – до початкової
маси M0, тягу T – до гравiтацiйної сили, що дiє на тiло масою M0
на вiдстанi r∗ вiд гравiтацiйного центру, струм i – до струму в точцi
максимальної тяги iTmax
.
Позначимо значення фазового вектора на початку маневру −→x 0 =
[ϑ0, e0, ω0, I0,Ω0]
T . Нехай протягом оберту фазовий вектор отримає
малий прирiст
−→
∆ = [∆ϑ,∆e,∆ω,∆I ,∆Ω]
T . Враховуючи малiсть ком-
понентiв вектора
−→
∆, малiсть реактивного прискорення W та малiсть
витрати робочої речовини ЕРД протягом одного оберту, проведемо
лiнеаризацiю рiвнянь руху (4) i перейдемо вiд незалежної змiнної t
до незалежної змiнної E. Тепер, приймаючи до уваги (1, 3–5), можемо
записати математичну постановку задачi про перелiт мiж близькими
елiптичними орбiтами за один оберт з мiнiмальною витратою робочої
речовини ЕРД
dm
dE
= −q0F̂E(E,−→x 0)iδsh, m(E0) = m0 = 1, mf → min,
dxj
dE
= FE(E,
−→x 0)
3∑
k=1
Fjk(E,
−→x 0)
T
m0
ckδsh,
−→x (E0) =
−→x 0,
−→x (E0 + 2π) = −→x 0 +
−→
∆,
T = a2i
2 + a1i+ a0,
i ∈ [0; 1],
c21 + c22 + c23 = 1,
(6)
де F (E) = exp(ϑ0)/F60(E,
−→x 0), F̂E = 1/F60(E,
−→x 0), E0 – початко-
ве значення ексцентричної аномалiї, а mf = m(E0) − m(E0 + 2π) –
витрата робочої речовини ЕРД при виконаннi маневру. У спiввiдно-
шеннях (6) q0 – це безрозмiрний коефiцiєнт, який обчислюється згi-
дно з формулою (1) та введеними вище характерними величинами за
формулою
q0 =
ηbµ
2
ηc
ikzt
∗
M0
.
2 Оптимальнi керування
Задача (6) являє собою задачу оптимального керування з обмеже-
ними керуваннями c1, c2, c3 та i. Для знаходження її розв‘язку вико-
ристаємо принцип максимуму Понтрягiна. Гамiльтонiан H задачi (6)
20 Кiфоренко Б. М., Ткаченко Я. В., Васильєв I. Ю.
має вигляд
H = −F̂Eq0iδsh + (a2i
2 + a1i+ a0)Feδsh[λ1F12c2 + λ2[F21c1
+F22c2] + λ3[F31c1 + F32c2 + F33c3] + λ4F43c3 + λ4F53c3],
(7)
де λi, i = 1, 5 — спряженi функцiї, якi задовольняють рiвняння
dλi
dE
= −∂H
∂xi
. (8)
Завдяки тому, що правi частини рiвнянь руху з (6) не залежать вiд
фазових змiнних, гамiльтонiан (7) також не залежить вiд них. Отже,
як випливає з (8), λi, i = 1, 5 являють собою константи, якi визна-
чатимуться з кiнцевих умов задачi (6). Оптимальнi керування ci, i =
1, 3 знаходимо з умови максимуму фунцiї H поверхнi c21 + c22 + c23 = 1
за допомогою методу множникiв Лагранжа
c1 =
A1
A
, c2 =
A2
A
, c3 =
A3
A
,
A1 = λ2F21 + λ3F31,
A2 = λ1F12 + λ2F22 + λ3F32,
A3 = λ3F33 + λ4F43 + λ5F53,
A =
√
A2
1 +A2
2 +A2
3.
(9)
Оптимальний струм i, що задовольняє умову максимуму гамiльтонi-
ана (7), з врахуванням спiввiдношень (9), обчислюється за формулою
i =
0, ĩ < 0,
ĩδsh, 0 ≤ ĩ ≤ 1,
δsh, ĩ > 1,
ĩ =
q0
2a2 exp(ϑ0)A
− a1
2a2
.
(10)
Формули (9 – 10) являють собою аналiтичнi вирази для оптимальних
керувань задачi (6), в якi входять невiдомi сталi λi, i = 1, 5. Цi сталi
визначаються чисельно для кожного конкретного маневру з вiдомим
розподiлом тiньових та освiтлених дуг перехiдної траєкторiї (заданою
функцiєю δsh) шляхом пiдстановки виразiв (9 – 10) у правi частини
фазових рiвняннь з (6), подальшого їх iнтегрування та задоволення
кiнцевих умов.
Оптимальнi елiптичнi маневри космiчного апарату з . . . 21
3 Результати розрахункiв
При розрахунках прийнято наступнi характеристики сонячної бата-
реї [5], [8]: ikz = 675A, Uxx = 900B, U∗ = 751.14A, i∗ = 643.21A.
Робочою речовиною ЕРД вважаємо ксенон µ = 3.6887× 10−4. Коефi-
цiєнти ηb та ηc дорiвнюють ηb = 0.75 та ηc = 0.9302 [5]. Функцiя втрат
η(U) обчислюється за формулою [6]:
η(U) = 1− αη exp
(
−βη
U
Uxx
)
,
де значення αη = 0.2479 та βη = 2.3427 отриманi методом наймен-
ших квадратiв з експериментальних даних, наведених у роботi [5].
Початкову масу КА прийнято рiвною 2000 кг, а характерний лiнiй-
ний розмiр r∗ дорiвнює 6678245 м (радiусу кругової орбiти висотою
300 км).
0 50 100 150 200 250 300 350
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.0012
T
Eo 0 50 100 150 200 250 300 350
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.0012
T
Eo
Рис. 1. Залежностi T (E) при змiнi
кута нахилу орбiти.
Рис. 2. Залежностi T (E) при змiнi
ексцентриситету орбiти.
На рис.1 суцiльна лiнiя iлюструє оптимальну програму тяги ЕРД
при виконаннi маневру змiни кута нахилу на величину ∆I = 0.2o по-
чаткової елiптичної орбiти з параметрами: a0 = 1.1, e0 = 0.2, ω0 = 0,
I0 = 49o, Ω0 = 0. На цьому ж рисунку штриховою лiнiєю представ-
лено програму оптимальної тяги, обчислену з використанням мате-
матичної моделi iдеально регульованого ЕРД. Як вiдомо [3], модель
iдеально регульованого двигуна забезпечує вибiр теоретично опти-
мального керування без пасивних дуг. Оптимальна ж програма тя-
ги плазмового двигуна з вказаними вище параметрами крiм дуг зi
22 Кiфоренко Б. М., Ткаченко Я. В., Васильєв I. Ю.
змiнною тягою включає також дуги сталої максимальної тяги та па-
сивнi дуги. Кривi на рис. 2 iлюструють оптимальнi програми тяги
при виконаннi маневру змiни ексцентриситету початкової орбiти на
величину ∆e = 0.007. Оптимальнi програми тяги на рис. 1 та рис. 2
побудованi за умови вiдсутностi затiнення.
0 50 100 150 200 250 300 350
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.0012
T
Eo 0 50 100 150 200 250 300 350
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.0012
T
Eo
Рис. 3. Вплив затiнення на опти-
мальну програму T (E) при змiнi ку-
та нахилу орбiти.
Рис. 4. Вплив затiнення на опти-
мальну програму T (E) при змiнi екс-
центриситету орбiти.
Кривi на рис. 3 та рис. 4 iлюструють вплив тiнi, розташованої
на дузi E ∈ [π − ∆sh/2; π + ∆sh/2], на оптимальнi програми тяги
при виконаннi наведених вище маневрiв (суцiльна лiнiя – для ∆sh =
30o, штрихова лiнiя – для ∆sh = 70o). У таблицi 1 наведено витрати
робочої речовини ЕРД, необхiдної для виконання вказаних маневрiв
для ряду значень ∆sh.
Кутова ширина тi-
нi ∆sh
Змiна кута нахилу
∆I = 0.2o
Змiна ексцентри-
ситету ∆I = 0.007
0o 1.5563 кг 1.8519 кг
15o 1.6673 кг 1.8834 кг
30o 1.8122 кг 1.9258 кг
50o 2.0676 кг 2.0028 кг
70o 2.4815 кг 2.1088 кг
Таблиця 1. Витрата маси робочої речовини ЕРД.
Як i слiд було очiкувати, зростання кутової ширини тiнi призво-
Оптимальнi елiптичнi маневри космiчного апарату з . . . 23
дить до збiльшення витрат робочого тiла ЕРД для виконання зада-
ного маневру. Мiра ж цього збiльшення залежить вiд конкретного
маневру i вiд розташування тiнi вздовж перехiдної траєкторiї. Ана-
лiз оптимальних програм керування тягою, наведених на рис. 1 та
2 вказує на можливi варiанти спiввiдношень розташування i куто-
вої ширини тiнi, коли вона буде повнiсттю розташована на пасив-
них дугах траєкторiї. У цьому випадку наявнiсть тiнi не впливати-
ме на ефективнiсть роботи ЕРД при виконаннi маневру. Зауважимо,
що використання моделi iдеально регульованого двигуна для аналiзу
оптимального керування не дозволяє виявити цю особливiсть через
вiдсутнiсть пасивних дуг (див. штриховi кривi на рис. 1 та 2).
Висновки
• Запропонована у данiй роботi апроксимацiя залежностi величи-
ни тяги ЕРД вiд пiдведеного струму полiномом другого порядку
дозволяє одержувати аналiтичнi вирази оптимального керува-
ння при використаннi принципу максимуму Л. С. Понтрягiна,
що суттєво спрощує процедуру iнтегрування рiвнянь оптималь-
ного руху. При необхiдностi пiдвищення точностi апроксимацiї
порядок полiному може бути збiльшений до трьох без втрати
можливостi отримання аналiтичних виразiв для оптимальних
керувань.
• Використання математичної моделi iдеально регульованого дви-
гуна не дозволяє виявляти та дослiджувати такi варiанти розта-
шування тiнi, при яких наявнiсть тiнi не погiршує ефективностi
використання ЕРД.
[1] Зайцев А.Ю. и др. Электрореактивный буксир для межорбитальной
транспортировки космических аппаратов // Космiчна наука i техно-
логiя. — 2015. — 5. — С. 25–27.
[2] Масленников А.А. О выборе мощности солнечных батарей геоста-
ционарных космических аппаратов связи с маршевой электроракет-
ной двигательной установкой // Известия Российской академии наук.
Энергетика. — 2007. — 3. — С. 96–101.
[3] Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В. В. Механика космическо-
го полета. Проблемы оптимизации. — М.: Наука, 1975. — 704 с.
24 Кiфоренко Б. М., Ткаченко Я. В., Васильєв I. Ю.
[4] Шиняков Ю.А., Галайко В.Н., Волков М.П. и др. Способы управле-
ния электрореактивными двигательными установками на базе стаци-
онарных плазменных двигателей, используемых в качестве маршевых
и тяговых двигателей КА // Известия Самарского научного центра
Российской академии наук. — 2002. — 4, 1. — С. 150–155.
[5] Hofer R. R. Development and Characterization of High-Efficiency,
High-Specific Impulse Xenon Hall Thrusters: P.H.D. thesis /
Richard Robert Hofer ; The University of Michigan. –– Ann Arbor, 2004. ––
358 p.
[6] Kiforenko B .N., Vasil‘ev I.Y., Tkachenko Ya.V. On the problem of opti-
mal control of the thrust value of the electric propulsion rocket with solar
energy source // Acta Astronautica. –– 2013. –– 89. –– P. 121–125.
[7] Кифоренко Б .Н. Проблемы математического описания ракетных дви-
гателей как объектов управления // Прикладная механика. — 2012. —
48, 5. — С. 138–145.
[8] Безручко K.В. и др. Солнечные энергосистемы космических аппара-
тов. Физическое и математическое моделирование. — ХАИ, Харьков,
2000. — 515 с.
[9] Кифоренко Б.Н., Пасечник З.В., Васильев И.Ю. Усреднение урав-
нений движения в задаче оптимизации по быстродействию межорби-
тального перехода с постоянной по величине тягой в сильном цен-
тральном гравитационном поле // Проблемы управления и информа-
тики. — 2001. — 6. — С. 62–76.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-329 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:46Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d6/0cd15318fbb544a713e5eb0b2d6e99d6.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3292018-02-13T11:53:50Z Optimal elliptic maneuvering of a spacecraft with a solar engine Оптимальнi елiптичнi маневри космiчного апарату з сонячною електрореактивною рушiйною системою Kiforenko, B. M. Ткаченко, Я. В. Васильєв, І. Ю. Кiфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. Васильєв, І. Ю. The analysis of the optimal controls ensuring the minimization of the con-sumption of the working fluid of an electric propulsion (EP) of a space-craft that makes a flight between close elliptical orbits is provided. Whenmodeling the thrust of the EP, features of its generation in the plasmaEPs and the volt-ampere characteristics of a solar battery are accountedfor. In illustrative examples, the shadow effect on the efficiency of the EPoperation was studied. It is shown that there are such relations of locationand duration of the shadow arcs of the transfer trajectory, in which theshadow does not affect the quality of the optimal maneuver performance. Проведено аналiз оптимальних керувань, якi забезпечують мiнiмiзацiювитрати робочої речовини електрореактивного двигуна (ЕРД) космi-чного апарату, що здiйснює перелiт мiж близькими елiптичними орбi-тами. При моделюваннi тяги ЕРД врахованi особливостi її генеруванняв плазмових ЕРД i вольт-амперна характеристика сонячної батареї. Наконкретних прикладах дослiджено вплив тiнi на ефективнiсть роботиЕРД. Показано, що iснують такi спiввiдношення розташування i три-валостi тiньових дуг перехiдної траєкторiї, при яких тiнь не впливаєна якiсть виконання оптимального маневру. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/329 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 15-24 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 15-24 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 15-24 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/329/340 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Kiforenko, B. M. Ткаченко, Я. В. Васильєв, І. Ю. Кiфоренко, Б. М. Ткаченко, Я. В. Васильєв, І. Ю. Optimal elliptic maneuvering of a spacecraft with a solar engine |
| title | Optimal elliptic maneuvering of a spacecraft with a solar engine |
| title_alt | Оптимальнi елiптичнi маневри космiчного апарату з сонячною електрореактивною рушiйною системою |
| title_full | Optimal elliptic maneuvering of a spacecraft with a solar engine |
| title_fullStr | Optimal elliptic maneuvering of a spacecraft with a solar engine |
| title_full_unstemmed | Optimal elliptic maneuvering of a spacecraft with a solar engine |
| title_short | Optimal elliptic maneuvering of a spacecraft with a solar engine |
| title_sort | optimal elliptic maneuvering of a spacecraft with a solar engine |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/329 |
| work_keys_str_mv | AT kiforenkobm optimalellipticmaneuveringofaspacecraftwithasolarengine AT tkačenkoâv optimalellipticmaneuveringofaspacecraftwithasolarengine AT vasilʹêvíû optimalellipticmaneuveringofaspacecraftwithasolarengine AT kiforenkobm optimalellipticmaneuveringofaspacecraftwithasolarengine AT tkačenkoâv optimalellipticmaneuveringofaspacecraftwithasolarengine AT vasilʹêvíû optimalellipticmaneuveringofaspacecraftwithasolarengine AT kiforenkobm optimalʹnieliptičnimanevrikosmičnogoaparatuzsonâčnoûelektroreaktivnoûrušijnoûsistemoû AT tkačenkoâv optimalʹnieliptičnimanevrikosmičnogoaparatuzsonâčnoûelektroreaktivnoûrušijnoûsistemoû AT vasilʹêvíû optimalʹnieliptičnimanevrikosmičnogoaparatuzsonâčnoûelektroreaktivnoûrušijnoûsistemoû AT kiforenkobm optimalʹnieliptičnimanevrikosmičnogoaparatuzsonâčnoûelektroreaktivnoûrušijnoûsistemoû AT tkačenkoâv optimalʹnieliptičnimanevrikosmičnogoaparatuzsonâčnoûelektroreaktivnoûrušijnoûsistemoû AT vasilʹêvíû optimalʹnieliptičnimanevrikosmičnogoaparatuzsonâčnoûelektroreaktivnoûrušijnoûsistemoû |