An estimation of decay for solutions of nonlinear systems with equal frequencies
This paper continues a series of studies on the stability and asymptotic behavior of solutions to systems of nonlinear differential equations whose matrix of linear approximation has purely imaginary eigenvalues and eigenvalues with negative real parts. In this paper, we consider the case of several...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/33 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552557573832704 |
|---|---|
| author | Grushkovskaya, V. V. Грушковская, В. В. Грушковська, В. В. |
| author_facet | Grushkovskaya, V. V. Грушковская, В. В. Грушковська, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. В. Грушковская",
"institution": "Institute of Applied Mathematics and Mechanics"
}
] |
| author_sort | Grushkovskaya, V. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | This paper continues a series of studies on the stability and asymptotic behavior of solutions to systems of nonlinear differential equations whose matrix of linear approximation has purely imaginary eigenvalues and eigenvalues with negative real parts. In this paper, we consider the case of several purely imaginary eigenvalues related via second-order resonances. For such a system, sufficient conditions for the asymptotic stability regardless of forms higher than the third order are obtained. The main result provides a power estimate for the norm of solutions in the case of a diagonalizable matrix of linear approximation. The results obtained are illustrated by an example of a 7-DOF pendulum system. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 69–84
УДК 531.36; 517.928.7
Оценка скорости убывания решений
нелинейной системы с
совпадающими частотами *
В.В. Грушковская 1,2
1 Институт прикладной математики и механики НАН Украины,
Славянск;
2 Institute for Systems Theory and Automatic Control, University of
Stuttgart, Stuttgart, Germany;
grushkovskaya@ist.uni-stuttgart.de
This paper continues a series of studies on the stability and asymptotic
behavior of solutions to systems of nonlinear differential equations whose
matrix of linear approximation has purely imaginary eigenvalues and eigen-
values with negative real parts. In this paper, we consider the case of seve-
ral purely imaginary eigenvalues related via second-order resonances. For
such a system, sufficient conditions for the asymptotic stability regardless
of forms higher than the third order are obtained. The main result provides
a power estimate for the norm of solutions in the case of a diagonalizable
matrix of linear approximation. The results obtained are illustrated by an
example of a 7-DOF pendulum system.
Дана стаття продовжує серiю робiт, присвячених дослiдженню стiйко-
стi та асимптотичної поведiнки розв’язкiв систем нелiнiйних диферен-
цiальних рiвнянь, матриця лiнiйного наближення яких має суто уявнi
власнi значення i власнi значення з вiд’ємними дiйсними частинами.
У цiй роботi розглядається випадок декiлькох суто уявних власних
значень, пов’язаних резонансними спiввiдношеннями другого порядку.
Для такої системи отримано достатнi умови асимптотичної стiйкостi за
формами третього порядку. Основним результатом є степенева оцiнка
норми рiшень для випадку дiагоналiзуємої матрицi лiнiйного набли-
ження системи. Отриманi результати проiлюстровано на прикладi ма-
ятникової системи з сiмома ступенями свободи.
*Работа выполнена при поддержке Фонда Александра фон Гумбольдта
c○ Грушковская В.В., 2016
70 Грушковская В.В.
1 Введение
Данная статья посвящена исследованию асимптотического поведения
решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида
𝑥̇ = 𝐴𝑥+𝑅 (𝑥) , (1)
где 𝑥 = (𝑥1, ..., 𝑥𝑛)
𝑇 ∈ ℝ𝑛 – фазовый вектор системы, 𝑅 (𝑥) = 𝑂(‖𝑥‖2)
при 𝑥 → 0 – вещественная функция, аналитическая в некоторой
окрестности нуля, 𝐴 – вещественная [𝑛× 𝑛] матрица, спектр которой
состоит из чисто мнимых собственных значений и собственных значе-
ний с отрицательными вещественными частями. Предполагается, что
нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво по фор-
мам третьего порядка, т.е. для любой гладкой функции Φ : 𝐷 → ℝ𝑛
такой, что ‖𝐴𝑥 + 𝑅(𝑥) − Φ(𝑥)‖ = 𝑂(‖𝑥‖4), решение 𝑥 = 0 системы
𝑥̇ = Φ(𝑥) асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Интерес к изучению скорости убывания решений системы (1) обу-
словлен тем, что, в отличие от линейных систем, для которых асимп-
тотическая устойчивость эквивалентна экспоненциальной, решения
систем в критических случаях имеют степенную асимптотику ви-
да ‖𝑥(𝑡)‖ = 𝑂(𝑡−
1
2 ) при 𝑡 → +∞, при условии, что нулевое ре-
шение системы асимптотически устойчиво по формам третьего по-
рядка. В предыдущих работах асимптотическое поведение решений
системы (1) было изучено для случая, когда собственные значения
матрицы 𝐴 не связаны никакими резонансными соотношениями до
четвертого порядка включительно [3, 7, 13, 15], а также при наличии
резонансов четвертого порядка [2, 12]. Отметим, что устойчивость
системы (1) в случае двух пар совпадающих собственных значений
исследовалась в таких работах, как [6, 8, 10, 14, 16]. Кроме того, в ра-
боте [11] было проведено исследование асимптотического поведения
системы в указанном частном случае. В отличие от перечисленных
работ, в данной статье получены условия асимптотической устойчи-
вости и построена степенная оценка для нормы решений системы (1)
в случае произвольного числа совпадающих чисто мнимых собствен-
ных значений матрицы 𝐴, то есть предполагается, что спектр мат-
рицы содержит множество {±𝑖𝜔1, . . . ,±𝑖𝜔𝐿}, где 𝜔1 = 𝜔2 = · · · = 𝜔𝐿,
𝐿 ≥ 2. Доказательство основного результата данной работы основа-
но на исследовании модельной системы и явном построении функции
Ляпунова, которое существенно отличается от указанных выше ра-
бот.
Скорость убывания решений системы с совпадающими часто . . . 71
Статья построена следующим образом. Раздел 2 кратко описы-
вает применение принципа сведения и метода нормальных форм для
преобразования системы (1). В разделе 3 исследуются условия устой-
чивости по формам третьего порядка системы с несколькими парами
совпадающих чисто мнимых собственных значений. Степенная оцен-
ка для нормы решений построена в разделе 4. В разделе 5 применение
полученных результатов проиллюстрировано на примере маятнико-
вой системы с частичной диссипацией. Некоторые технические дета-
ли приведены в приложениях.
2 Построение модельной системы
Предположим, что характеристическое уравнение матрицы 𝐴 имеет
𝑞 пар чисто мнимых собственных значений (±𝑖𝜔1, ...,±𝑖𝜔𝑞), первые 𝐿
пар которых совпадают:
𝜔1 = · · · = 𝜔𝑚𝐿
, 1 ≤ 𝐿 ≤ 𝑞,
и 𝑝 = 𝑛 − 2𝑞 корней с отрицательными вещественными частями
𝜆1, . . . , 𝜆𝑝. Предположим также, что другие резонансы до четвертого
порядка в системе отсутствуют, и матрица 𝐴 диагонализируема. То-
гда существует такая невырожденная 𝑛 × 𝑛 матрица 𝑃 , что замена
(𝜉𝑇 , 𝜂𝑇 , 𝑤𝑇 )𝑇 = 𝑃𝑥, 𝜉 ∈ ℝ𝑞, 𝜂 ∈ ℝ𝑞, 𝑤 ∈ ℝ𝑝, приводит (1) к виду
𝜉𝑠=− 𝜔𝑠𝜂𝑠+𝑋𝑠 (𝜉, 𝜂, 𝑤) ,
𝜂̇𝑠=𝜔𝑠𝜉𝑠+𝑌𝑠 (𝜉, 𝜂, 𝑤) ,
𝑤̇𝑗 =
𝑝∑︁
𝑖=1
𝑏𝑗𝑖𝑤𝑖 +𝑊𝑗 (𝜉, 𝜂, 𝑤) , 𝑠 = 1, 𝑞, 𝑗 = 1, 𝑝,
(2)
где матрица (𝑏𝑖𝑗)
𝑝
𝑖,𝑗=1 имеет только собственные значения с отрица-
тельными вещественными частями, а разложения в ряд Маклорена
функций 𝑋𝑠(𝜉, 𝜂, 𝑤), 𝑌𝑠(𝜉, 𝜂, 𝑤), 𝑊𝑗(𝜉, 𝜂, 𝑤) не содержат членов ниже
второго порядка. В соответствии с принципом сведения [5], введем
переменные
𝜁𝑗 = 𝑤𝑗 +Φ𝑗(𝜉, 𝜂), 𝑧𝑠 = 𝜉𝑠+𝑖𝜂𝑠+Ψ𝑠(𝜉, 𝜂, 𝜁), 𝑧𝑠 = 𝜉𝑠−𝑖𝜂𝑠+Ψ𝑠(𝜉, 𝜂, 𝜁),
где Φ𝑗 являются квадратичными формами, Ψ𝑠 – линейными по 𝜉, 𝜂
и квадратичными по 𝜁, с которыми система (2) может быть записана
72 Грушковская В.В.
в виде
𝑧̇𝑠=𝑖𝜔𝑠𝑧𝑠+
3∑︁
|𝑘1|+|𝑘2|=2
𝑌 (𝑘1,𝑘2)
𝑠 𝑧1
𝑘11 . . .𝑧𝑘1𝑞𝑞 𝑧𝑘211 . . .𝑧𝑘2𝑞𝑞
+
∑︁
|𝑘1|+|𝑘2|≥3
𝑃 (𝑘1,𝑘2)
𝑠 (𝜁)𝑧1
𝑘11 . . .𝑧𝑘1𝑞𝑞 𝑧𝑘211 . . .𝑧𝑘2𝑞𝑞 +𝐻𝑠(𝑧, 𝑧, 𝜁),
(3)
𝜁𝑗=
𝑝∑︁
𝑙=1
𝑏𝑗𝑙𝜁𝑙+
∑︁
|𝑘1|+|𝑘2|≥4
𝑄
(𝑘1,𝑘2)
𝑗 (𝜁)𝑧𝑘111 . . .𝑧𝑘1𝑞𝑞 𝑧𝑘211 . . .𝑧𝑘2𝑞𝑞 +𝐸𝑗(𝑧, 𝑧, 𝜁),
где 𝑌 (𝑘1,𝑘2)
𝑠 – постоянные коэффициенты, 𝑃 (𝑘1,𝑘2)
𝑠 (𝜁) и𝑄(𝑘1,𝑘2)
𝑗 (𝜁) – ли-
нейные формы, функции 𝐻𝑠(𝑧, 𝑧, 𝜁), 𝐸𝑗(𝑧, 𝑧, 𝜁) содержат члены как
минимум второго порядка по 𝜁, либо как минимум четвертого по-
рядка по 𝑧; 𝑘𝑖=(𝑘𝑖1, ..., 𝑘𝑖𝑞), |𝑘𝑖|=
𝑞∑︀
𝑠=1
𝑘𝑖𝑠, 𝑖=1, 2. Уравнения ˙̄𝑧 являют-
ся комплексно-сопряженными к уравнениям для 𝑧̇. Для системы (3)
функция Ляпунова может быть получена как сумма функций Ляпу-
нова для критической подсистемы
𝑧̇𝑠=𝑖𝜔𝑠𝑧𝑠+
3∑︁
|𝑘1|+|𝑘2|=2
𝑌 (𝑘1,𝑘2)
𝑠 𝑧1
𝑘11 ...𝑧𝑘1𝑞𝑞 𝑧𝑘211 . . .𝑧𝑘2𝑞𝑞 , (4)
и для линейной устойчивой подсистемы
𝜁𝑗 =
𝑝∑︁
𝑙=1
𝑝𝑗𝑙𝜁𝑙, 𝑗 = 1, 𝑝. (5)
Лемма 2.1. [5, 13] Пусть 𝑉1(𝑧) является положительно опреде-
ленной функцией с отрицательно определенной полной производной
𝑉
′
1 в силу системы (4), и пусть 𝑉2(𝜁) является положительно опре-
деленной квадратичной формой 𝑉2 (𝜁) = (𝑇𝜁, 𝜁), полная производная
которой в силу системы (5) равна 𝑉
′
2 = −𝐶2
𝑝∑︀
𝑗=1
𝜁2𝑗 , 𝐶 ̸= 0. Тогда
функция 𝑉 (𝑧, 𝜁) = 𝑉1(𝑧) + 𝑉2(𝜁) является функцией Ляпунова для
системы (3). Кроме того, для любого 𝛿1 ∈ (0, 1) существует такое
𝜀1 > 0, что
𝑉̇ ≤ − (1− 𝛿1)
(︁⃒⃒⃒
𝑉
′
1
⃒⃒⃒
+
⃒⃒⃒
𝑉
′
2
⃒⃒⃒)︁
, для всех (𝑧, 𝜁) ∈ 𝐵𝜀1(0) ⊆ ℂ𝑞 × ℝ𝑝, (6)
где 𝑉̇ – полная производная функции 𝑉 в силу системы (3).
Скорость убывания решений системы с совпадающими часто . . . 73
Для построения функции Ляпунова 𝑉1 перейдем к нормальной
форме системы (4) заменой переменных 𝑢𝑠 = 𝑧𝑠+
∑︀3
𝑗=2𝑄
(𝑗)
𝑠 (𝑧, 𝑧), где
𝑄
(𝑗)
𝑠 (𝑧, 𝑧) являются формами 𝑗-го порядка, определяемыми коэффи-
циентами правой части системы (4) (явные формулы приведены, на-
пример, в [9, 13]). Далее, перейдем к вещественным переменным 𝑟𝑠,
𝜃𝑠 по формулам 𝑢𝑠 = 𝑟𝑠𝑒
𝑖𝜃𝑠 . Получаем систему
𝑟̇𝑠 = 𝑟𝑠
𝑞∑︁
𝑘=1
𝐴𝑠𝑘𝑟
2
𝑘 + 𝐹1𝑠(𝑟, 𝜃) +𝑅𝑠(𝑟, 𝜃),
𝑟𝑠𝜃𝑠 = 𝑖𝜔𝑠𝑟𝑠+𝑟𝑠
𝑞∑︁
𝑘=1
𝐵𝑠𝑘𝑟
2
𝑘+𝐹2𝑠(𝑟, 𝜃)+Θ𝑠(𝑟, 𝜃),
(7)
где 𝑅𝑠(𝑟, 𝜃), Θ𝑠(𝑟, 𝜃) не содержат членов ниже четвертого порядка,
а 𝐹1𝑠(𝑟, 𝜃), 𝐹2𝑠(𝑟, 𝜃) являются формами третьей степени по 𝑟, явные
выражения приведены в приложении 1.
3 Условия устойчивости
Из результатов предыдущего раздела следует, что асимптотической
устойчивости инвариантного множества {(𝑟, 𝜃) : 𝑟 = 0} следующей
модельной системы достаточно для асимптотической устойчивости
по формам третьего порядка нулевого решения системы (1) [5, 13]:
𝑟̇𝑠 = 𝑟𝑠
𝑞∑︁
𝑗=1
𝐴𝑠𝑗𝑟
2
𝑗+𝐹1𝑠(𝑟, 𝜃), 𝑟𝑠𝜃𝑠 = 𝑟𝑠
𝑞∑︁
𝑗=1
𝐵𝑠𝑗𝑟
2
𝑗+𝐹2𝑠(𝑟, 𝜃)+𝑖𝜔𝑠𝑟𝑠. (8)
Отметим, что в нерезонансном случае, т. е. при 𝐹𝑠 ≡ 0, критерий
асимптотической устойчивости по формам третьего порядка был пред-
ложен, например, в [9]. В [10] показано, что для случая резонансов
четных порядков алгебраического критерия асимптотической устой-
чивости не существует. В данной работе приводятся достаточные
условия, обеспечивающие существование полиномиальных функций
Ляпунова для (8). В отличие от [6,10] и др., рассматривается случай
произвольного числа совпадающих частот.
Теорема 3.1. Инвариантное множество
{︀
(𝑟, 𝜃) : 𝑟 = 0
}︀
систе-
мы (8) асимптотически устойчиво, если существуют такие по-
стоянные 𝑐𝑗1𝑗2 , 𝑗1, 𝑗2 = 1, 𝑞, что матрица (𝑐𝑗1𝑗2)
𝑞
𝑗1,𝑗2=1 положитель-
но определенная и симметричная, и следующая квадратичная форма
𝑊1 является отрицательно определенной при всех 𝜌𝑠 ≥ 0, 𝑠 = 1, 𝑞:
74 Грушковская В.В.
𝑊1(𝜌)=
𝑞∑︁
𝑗=1
(︀
𝑐𝑗𝑗𝐴𝑗𝑗+𝑐𝑗𝑗
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2=1
𝑗1 ̸=𝑗2;𝑗1,𝑗2 ̸=𝑗
(︀
𝑑𝑗𝑗𝑗1𝑗2+
𝑞∑︁
𝑗3=1
|𝑐𝑗1𝑗2 |𝑑𝑗1𝑗2𝑗𝑗
)︀
+𝜎𝑗
)︀
𝜌2𝑗
+
𝑞∑︁
𝑗1,𝑗2=1
𝑗1 ̸=𝑗2
𝜌𝑗1𝜌𝑗2
(︀
2𝑐𝑗1𝑗1𝐴𝑗1𝑗2+
1
2
𝑞∑︁
𝑗3=1
𝑗3 ̸=𝑗2
(︀
|𝑐𝑗1𝑗3 |(|𝐴𝑗3𝑗2 |+|𝐴𝑗1𝑗2 |)
)︀
+|𝑐𝑗1𝑗2 |
𝐿∑︁
𝑗3,𝑗4=1
𝑗3 ̸=𝑗4;𝑗3,𝑗4 ̸=𝑗2
𝑑𝑗2𝑗2𝑗3𝑗4+𝜎
(1)
𝑗1𝑗2
+𝜎
(2)
𝑗1𝑗2
)︀
,
где 𝜎𝑗=
𝐿∑︁
𝑗1=1
𝑗1 ̸=𝑗
(︁
𝑐𝑗𝑗
𝐿∑︁
𝑗2=1
𝑗2 ̸=𝑗
𝑑𝑗𝑗1𝑗2+|𝑐𝑗𝑗1 |
𝑞∑︁
𝑗2=1
𝑗2 ̸=𝑗1
𝑑𝑗1𝑗𝑗2𝑗2+
𝑞∑︁
𝑗2=1
(︀
|𝑐𝑗𝑗2 |(𝑑𝑗𝑗1+𝑑𝑗𝑗1)
+|𝑐𝑗1𝑗2 |𝑑𝑗1𝑗𝑗
)︀)︁
при 𝑗=1, 𝐿, 𝜎𝑗=0, при 𝑗=𝐿+1, 𝑞;
𝜎
(1)
𝑗1𝑗2
=|𝑐𝑗1𝑗2 |
∑︁
𝑗3,𝑗4=1
𝑗3,𝑗4 ̸=𝑗2
𝐿
𝑑𝑗2𝑗3𝑗4+
∑︁
𝑗3=1
𝑗3 ̸=𝑗2
𝐿
|𝑐𝑗1𝑗3 |(𝑑𝑗3𝑗2+𝑑𝑗3𝑗2)
+
𝐿∑︁
𝑗3=1
𝑗3 ̸=𝑗1,𝑗2
∑︁
𝑗4 ̸=𝑗2
|𝑐𝑗1𝑗3 |𝑑𝑗3𝑗2𝑗4𝑗4 при 𝑗2=1, 𝐿, 𝜎
(1)
𝑗1𝑗2
=0 при 𝑗2=𝐿+1, 𝑞;
𝜎
(2)
𝑗1𝑗2
=
∑︁
𝑗3 ̸=𝑗1,𝑗2
𝐿∑︁
𝑗4=1
|𝑐𝑗3𝑗4 |𝑑𝑗4𝑗1𝑗2+
𝑞∑︁
𝑗3=1
(︁ 𝑞∑︁
𝑗4=1
𝑗4 ̸=𝑗1,𝑗2
|𝑐𝑗3𝑗4 |𝑑𝑗4𝑗4𝑗1𝑗3
+
𝐿∑︁
𝑗4,𝑗5=1
𝑗5 ̸=𝑗3,𝑗4
|𝑐𝑗4𝑗5 |𝑑𝑗4𝑗5𝑗1𝑗2
)︁
при 𝑗1, 𝑗2=1, 𝐿, 𝜎
(2)
𝑗1𝑗2
= 0 в ост. случаях;
𝑑𝛼 = (𝑎2𝛼 + 𝑏2𝛼)
1/2, 𝑑𝛼 =
(︀
(𝑎𝛼 + 𝑎̃𝛼)
2 + (𝑏𝛼 − 𝑏̃𝛼)
2
)︀1/2
,
𝑎𝛼, 𝑏𝛼 – коэффициенты 𝐹1𝑠, 𝛼 – соответствующий показатель.
Доказательство. Для доказательства используется функция Ляпу-
нова 𝑉1(𝑟)=
∑︀𝑞
𝑗1,𝑗2=1𝑐𝑗1𝑗2𝑟𝑗1𝑟𝑗2 . Можно показать, что полная произ-
водная функции 𝑉1 в силу системы (8) оценивается сверху выраже-
нием 𝑊1(𝜌) c 𝜌𝑠=𝑟2𝑠 , и, следовательно, является определенно отрица-
тельной по 𝑟𝑠. Таким образом, инвариантное множество {(𝑟, 𝜃):𝑟=0}
Скорость убывания решений системы с совпадающими часто . . . 75
системы (8) асимптотически устойчиво [1].
Очевидно, что для выполнения условий теоремы 3.1 необходима
отрицательность всех диагональных коэффициентов 𝐴𝑠𝑠. В нерезо-
нансном случае это условие действительно является необходимым
для асимптотической устойчивости по формам третьего порядка. От-
личительным свойством системы (8) с совпадающими частотами яв-
ляется то, что свойство асимптотической устойчивости может выпол-
няться даже при с неотрицательными диагональными коэффициен-
тами 𝐴𝑠𝑠, при условии, что соответствующие резонансные коэффи-
циенты достаточно велики по модулю. Однако, требование отрица-
тельности диагональных коэффициентов 𝐴𝑠𝑠 для 𝑠∈𝐿+1, 𝑞 остается
необходимым. В таких случаях, условия асимптотической устойчиво-
сти могут быть получены с помощью функций Ляпунова с периоди-
ческими по 𝜃 коэффициентами, как показывает следующая теорема.
Теорема 3.2. Инвариантное множество {(𝑟, 𝜃):𝑟=0} системы (8)
асимптотически устойчиво, если существуют константы 𝑐𝑗 > 0,
𝑐1𝑗1𝑗2 , 𝑐2𝑗1𝛼2 , (𝑐1𝑗1𝑗2=𝑐1𝑗2𝑗1 , 𝑐2𝑗1𝑗2=−𝑐2𝑗2𝑗1 , 𝑗=1, 𝑞, 𝑗1, 𝑗2 ∈ ℳ𝑙, 𝑙=1, 𝐿),
с которыми следующие условия выполнены для всех 𝜌𝑠 ≥ 0, 𝑠=1, 𝑞:
1.
𝑞∑︁
𝑗=1
𝑐𝑗𝜌
2
𝑠 −
𝐿∑︁
𝑠=1
∑︁
𝑗1,𝑗2∈ℳ𝑠
𝑗1 ̸=𝑗2
𝜌𝑗1𝜌𝑗2
(︀
𝑐21𝑗1𝑗2 + 𝑐22𝑗1𝑗2
)︀1/2 ≥ 0;
2. 𝑊2(𝜌) ≤ 0, где 𝑊2(𝜌) – следующая квадратичная форма:
𝑊2(𝜌)=2
𝑞∑︁
𝑗=𝐿+1
𝑐𝑗𝐴𝑗𝑗𝜌
2
𝑗+2
𝑞∑︁
𝑗1,𝑗2=1
𝑗1 ̸=𝑗2
𝑐𝑗𝐴𝑗1𝑗2𝜌𝑗1𝜌𝑗2+
𝐿∑︁
𝑗1=1
𝜌2𝑗1
(︁
2𝑐𝑗1𝐴𝑗1𝑗1𝑤1𝑗1𝑗2
+
𝐿∑︁
𝑗2=1
𝑗2 ̸=𝑗1
(︀
+2(𝑐1𝑗1𝑗2𝑎𝑗2𝑗1𝑗1𝑗1−𝑐2𝑗1𝑗2𝑏𝑗2𝑗1𝑗1𝑗1)
)︀)︁
+
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2=1
𝑗1 ̸=𝑗2
𝜌𝑗1𝜌𝑗2
(︀
2(𝑐1𝑗1𝑗2 𝑎̃𝑗1𝑗2
+𝑐2𝑗1𝑗2 𝑏̃𝑗1𝑗2)+𝑤2𝑗1𝑗2
)︀
+
𝑞∑︁
𝑗1=1
𝐿∑︁
𝑗2,𝑗3=1
𝑗2 ̸=𝑗3;𝑗2,𝑗3 ̸=𝑗1
𝜌𝑗1𝜌𝑗2
(︁
2(𝑐1𝑗2𝑗3𝑎𝑗3𝑗2𝑗1𝑗1
−𝑐2𝑗2𝑗3𝑏𝑗3𝑗2𝑗1𝑗1)+𝑤1𝑗1𝑗2𝑗3
)︁
+
1
2
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2,𝑗3∈1
𝑗2,𝑗3 ̸=𝑗1
𝜌𝑗1𝜌𝑗3𝑤2𝑗1𝑗2𝑗3 .
76 Грушковская В.В.
(9)
Коэффициенты 𝑤1𝑗1𝑗2 , 𝑤2𝑗1𝑗2 , 𝑤1𝑗1𝑗2𝑗3 , 𝑤2𝑗1𝑗2𝑗3 приведены в прило-
жении 2, 𝛿𝑗1𝑗2 обозначает символ Кронекера, 𝑑𝛼 = (𝑎2𝛼 + 𝑏2𝛼)
1/2,
𝑑𝛼 = (𝑎̃2𝛼 + 𝑏̃2𝛼)
1/2, для всех индексов 𝛼.
Доказательство. Можно показать, что при выполнении условий тео-
ремы функция
𝑉1(𝑟) =
𝑞∑︁
𝑗=1
𝑐𝑗𝑟
2
𝑗 +
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2=1
𝑗1 ̸=𝑗2
𝑟𝑗1𝑟𝑗2
(︀
𝑐1𝑗1𝑗2 cos 𝜃𝑗1𝑗2 + 𝑐2𝑗1𝑗2 sin 𝜃𝑗1𝑗2
)︀
(10)
является функцией Ляпунова для (8). Ее полная производная в силу
системы (8) ограничена сверху функцией (9) с 𝜌𝑗 = 𝑟2𝑗 .
Заметим, что теорема 3.1 может рассматриваться как частный
случай теоремы 3.2, поэтому в дальнейшем будем ссылаться на тео-
рему 3.2 как на достаточные условия асимптотической устойчивости
для системы (8).
4 Оценка скорости убывания решений
Пусть выполнены условия теоремы 3.2. Тогда можно показать, что
для функции (10) существует 𝜆1, 𝜆2 > 0, с которыми 𝑉1 ≤ 𝜆1‖𝑟‖2,
𝑉̇1 ≤ −𝜆2‖𝑟‖4. Отсюда, 𝑉̇1 ≤ −𝜆2
𝜆2
1
𝑉 2
1 . С учетом членов старше третье-
го порядка, полная производная функции 𝑉1 в силу системы (7) с на-
чальными условиями из некоторой 𝜀2-окрестности нуля может быть
оценена как 𝑉̇1 ≤ −𝜆2
𝜆2
1
(1 − 𝛿2)𝑉
2
1 , 𝛿2 ∈ (0, 1), ‖𝑟‖ ≤ 𝜀2, Аналогично
подходу, использовавшемуся в [13], вернемся к переменным (𝑧, 𝜁) и
запишем функцию Ляпунова для системы (3), используя лемму 2.1:
𝑉 (𝑧, 𝜁) = 𝑉1(𝑧) + 𝑉2(𝜁), (11)
где 𝑉1(𝑧) представляет собой функцию (10) в переменных 𝑧, и
|𝑉
′
1 | ≥
𝜆2
𝜆21
(1− 𝛿2)𝑉
2
1 при ‖𝑧‖ ≤ 𝜀2, (12)
а 𝑉2(𝜁) – положительно определенную квадратичную форму из лем-
мы 2.1, и ⃒⃒⃒
𝑉
′
2
⃒⃒⃒
≥ 𝐶2
𝜇𝑚𝑎𝑥
𝑉2, (13)
Скорость убывания решений системы с совпадающими часто . . . 77
Здесь 𝜇max > 0 является наибольшим собственным значением матри-
цы 𝑇 . Неравенства (6), (12) и (13) дают оценку полной производной
функции (11) в силу (3): 𝑉̇ ≤ −(1− 𝛿1)
(︁
𝜆2
𝜆2
1
(1− 𝛿2)𝑉
2
1 + 𝐶2
𝜇𝑚𝑎𝑥
𝑉2
)︁
, или
𝑉̇ ≤ −𝜆𝑉 2 при ‖(𝑧, 𝜁)‖ < 𝜀3, (14)
где 𝜆 =
𝜆2
𝜆21
(1− 𝛿1)(1− 𝛿2), 𝜀3 определяется так, что 2𝑉1+𝑉2 ≤ 𝜇max/𝜆
при ‖(𝑧, 𝜁)‖ < 𝜀3. Решая соответствующее дифференциальное урав-
нение сравнения 𝑉̇ = −𝜆𝑉 2, получаем
𝑉 ≤
(︀
𝜆 (𝑡− 𝑡0) + 𝑉 −1
0
)︀−1
, при 𝑡 ≥ 𝑡0. (15)
Переходя к переменной 𝑥 в (11), получаем функцию Ляпунова для
системы (1): 𝑉 = (𝐺𝑥, 𝑥)+ ̃︀𝑅(𝑥), где ̃︀𝑅(𝑥) = 𝑂
(︀
‖𝑥‖3
)︀
при 𝑥→ 0, 𝐺 яв-
ляется положительно определенной матрицей, и 𝑔min‖𝑥‖2 ≤ (𝐺𝑥, 𝑥) ≤
𝑔max‖𝑥‖2, где 𝑔min и 𝑔max – минимальное и максимальное собственные
значения 𝐺. Отсюда, для любого 𝛿∈(0, 1) существует такое 𝜀4>0, что
𝑉 (𝑥) ≥ 𝑔min(1−𝛿)‖𝑥‖2, 𝑉0 = 𝑉 (𝑥0) ≤ 𝑔max(1+𝛿)‖𝑥0‖2, при ‖𝑥0‖ ≤ 𝜀4.
Из этих неравенств и (15) следует следующее утверждение.
Теорема 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.2. Тогда суще-
ствует такое 𝜀 > 0, что для всех решений системы (1) с началь-
ными условиями ‖𝑥0‖ < 𝜀 справедлива оценка
‖𝑥(𝑡)‖ ≤
(︀
𝛾1(𝑡− 𝑡0)+𝛾2‖𝑥0‖−2)−1/2, 𝑡 ≥ 𝑡0, (16)
где 𝛾1 и 𝛾2 положительные постоянные.
Отметим, что, по построению, 𝛾1 = (1− 𝛿)𝜆𝑔min, 𝛾2 = 𝑔min(1−𝛿)
𝑔max(1+𝛿)
.
5 Пример: оценка скорости затухания колебаний
маятниковой системы с частичной диссипацией
В качестве примера рассмотрим механическую систему, представ-
ляющую собой два двойных маятника, соединенных горизонтальным
стержнем и подвешенных на пружине массы𝑚0 (рис. 1). Каждый ма-
ятник состоит из двух невесомых стержней, соединенных шарнирами
78 Грушковская В.В.
массой 𝑚1,1 и 𝑚1,2 каждый. Стержни могут колебаться в вертикаль-
ной плоскости, верхняя пружина может совершать только строго вер-
тикальные колебания, трение в шарнирах и сопротивление воздуха
не учитываются. К нижним стержням маятников с помощью пружин
прикреплены точечные массы 𝑚2,1 и 𝑚2,2, на которые действуют си-
лы вязкого трения, пропорциональные относительным скоростям их
движений. Пусть 𝜅, 𝜅1, 𝜅2 обозначают коэффициенты трения пру-
жин, 𝜙1, 𝜙2, 𝜓1, 𝜓2 – углы между стержнями и вертикалью, 𝑧, 𝑧1, 𝑧2
– длины пружин, 𝜈1, 𝜈2 – коэффициенты вязкого трения нижних пру-
жин, как отмечено на рисунке. Тогда уравнения Лагранжа второго
рода для рассматриваемой системы имеют вид:
𝑙𝑖𝜙𝑖−𝑧𝜙𝑖+
𝑚2,𝑖
𝑚1,𝑖+𝑚2,𝑖
(︁
𝑧𝑖𝜓𝑖 cos(𝜓𝑖−𝜙𝑖)+𝑧𝑖 sin(𝜓𝑖−𝜙𝑖)
+𝜓̇𝑖
(︀
2𝑧̇𝑖 cos(𝜓𝑖−𝜙𝑖)−𝑧𝑖𝜓̇𝑖 sin(𝜓𝑖−𝜙𝑖)
)︀)︁
+𝑔 sin𝜙𝑖 = 0,
𝑧𝑖𝜓𝑖+𝑙𝑖𝜙𝑖 cos(𝜓𝑖−𝜙𝑖)−𝑧 sin𝜙𝑖+2𝑧̇𝑖𝜓𝑖+𝑙𝑖𝜙̇
2
𝑖+𝑔 sin𝜓𝑖 = 0,
𝑀𝑧−
2∑︁
𝑖=1
(︁
(𝑚1,𝑖+𝑚2,𝑖)𝑙𝑖𝜙𝑖+𝑚2,𝑖
(︀
𝑧𝑖𝜓𝑖 sin𝜓𝑖−𝑧𝑖 cos𝜓𝑖+2𝑧̇𝑖𝜓̇𝑖 sin𝜓𝑖
)︀
+(𝑚1,𝑖+𝑚2,𝑖)𝑙𝑖𝜙̇
2
𝑖 cos𝜙𝑖+𝑚2,𝑖𝑧𝑖𝜓̇
2
𝑖 cos𝜓𝑖
)︁
+𝜘𝑧−𝑀𝑔 = 0,
𝑧𝑖+𝑙𝑖𝜙𝑖 sin(𝜓𝑖−𝜙𝑖)+𝑧 cos𝜓𝑖−𝑧𝑖𝜓̇2
𝑖−𝑧𝑖𝜙̇2
𝑖 cos(𝜓𝑖−𝜙𝑖)−𝑔 cos(𝜓𝑖−𝜙𝑖)
+
𝜘𝑖
𝑚2,𝑖
𝑧 = − 𝜈𝑖
𝑚2,𝑖
𝑧̇𝑖, 𝑖 = 1, 2,
где 𝑔 – ускорение свободного падения, 𝑀=𝑚0+
∑︀2
𝑖,𝑗=1𝑚𝑖,𝑗 . Разрешим
уравнения Лагранжа относительно старших производных и разло-
жим полученные выражения в ряд Тейлора в окрестности нижнего
положения равновесия системы, 𝜙1=𝜙2=𝜓1=𝜓2=0, 𝑧1=
𝑚2,1𝑔
𝜅1
, 𝑧2=
𝑚2,2𝑔
𝜅2
,
𝑧=𝑚0𝑔
𝜅 . Далее, вводя переменные 𝑥1=𝜙1, 𝑥2=𝜙2, 𝑥3=𝜓1, 𝑥4=𝜓2,
𝑥5=𝑧1−𝑚2,1𝑔
𝜅1
, 𝑥6=𝑧2−𝑚2,2𝑔
𝜅2
, 𝑥7=𝑧−𝑀𝑔
𝜅 , 𝑥8=𝜙̇1, 𝑥9=𝜙̇2, 𝑥10=𝜓̇1, 𝑥11=𝜓̇2,
𝑥12=𝑧̇, 𝑥13=𝑧̇1, 𝑥14=𝑧̇2 и полагая𝑚1,1=𝑚1,2=𝑚2,1=𝑚2,2=𝑚, 𝜅1=𝜅2=𝜘,
получим уравнения возмущенного движения вида
𝑥̇1=𝑥8, 𝑥̇2=𝑥9, 𝑥̇3=𝑥10, 𝑥̇4=𝑥11, 𝑥̇5=𝑥12, 𝑥̇6=𝑥13, 𝑥̇7=𝑥14,
𝑥̇8 = −𝑔(2𝑥1−𝑥3)/𝑙+𝑋1(𝑥), 𝑥̇9 = −𝑔(2𝑥2−𝑥4)/𝑙+𝑋2(𝑥),
𝑥̇10=2𝜘(𝑥1−𝑥3)/𝑚+𝑋3(𝑥), 𝑥̇11 = 2𝜘(𝑥2−𝑥4)/𝑚+𝑋4(𝑥),
𝑥̇12=− 1
𝑚0+2𝑚
(︀
𝜘(𝑥5−𝑥6+𝑥7)+𝜈1𝑥13+𝜈2𝑥14
)︀
+𝑋5(𝑥),
(17)
Скорость убывания решений системы с совпадающими часто . . . 79
Рис 1. Маятниковая система с частичной диссипацией
𝑥̇13=
1
𝑚0+2𝑚
(︀
𝜘(𝑥5−(𝑚0+4𝑚)𝑥6−𝑥7)−𝜈1(𝑚0+3𝑚)𝑥13−𝜈2𝑥14
)︀
+𝑋6(𝑥),
𝑥̇14=
1
𝑚0+2𝑚
(︀
𝜘(𝑥5−𝑥6−(𝑚0+4𝑚)𝑥7)−𝜈1𝑥13−𝜈2(𝑚0+3𝑚)𝑥14
)︀
+𝑋7(𝑥),
где𝑋𝑠(𝑥), 𝑠 = 1, 7, не содержат членов ниже второго порядка. Матри-
ца линейного приближения системы (17) имеет две пары совпадаю-
щих чисто мнимых собственных значений ±𝑖𝜔1 = ±𝑖𝜔2, ±𝑖𝜔3 = ±𝑖𝜔4,
𝜔1,3 =
√︁
𝜘𝑙+𝑚𝑔±
√
𝜘2𝑙2+𝑚2𝑔2
𝑚𝑙 , и три пары собственных значений с от-
рицательными вещественными частями. Отметим, что в данном при-
мере имеется два множества совпадающих частот, что иллюстриру-
ет возможность распространения полученных результатов на общие
классы систем с несколькими группами кратных частот. Применяя
принцип сведения и метод нормальных форм, как было описано ра-
нее, выделяем устойчивую линейную подсистему вида (5) и модель-
ную подсистему вида (8). Для простоты, запишем только уравнения
для 𝑟̇, используя упрощенные обозначения коэффициентов:
𝑟̇1=𝐴1𝑟
3
1+𝐴13𝑟1𝑟
2
3+𝑟1𝑟
2
2
(︀
𝑎12 cos 2𝜃12+𝑏12 sin 2𝜃12
)︀
+𝑟2𝑟3𝑟4
(︀
𝑎13 cos(𝜃12
−𝜃34)+𝑏13 sin(𝜃12−𝜃34)+𝑎14 cos(𝜃12+𝜃34)+𝑏14 sin(𝜃12+𝜃34)
)︀
,
𝑟̇2=𝐴2𝑟
3
2+𝐴24𝑟2𝑟
2
4+𝑟
2
1𝑟2
(︀
𝑎22 cos 2𝜃12−𝑏22 sin 2𝜃12
)︀
+𝑟1𝑟3𝑟4
(︀
𝑎23 cos(𝜃12
+𝜃34)−𝑏23 sin(𝜃12+𝜃34)+𝑎24 cos(𝜃12−𝜃34)−𝑏24 sin(𝜃12−𝜃34)
)︀
,
(18)
80 Грушковская В.В.
𝑟̇3=𝐴3𝑟
3
3+𝐴31𝑟
2
1𝑟3+𝑟3𝑟
2
4
(︀
𝑎32 cos 2𝜃34+𝑏32 sin 2𝜃34
)︀
+𝑟1𝑟2𝑟4
(︀
𝑎33 cos(𝜃12
−𝜃34)−𝑏33 sin(𝜃12−𝜃34)+𝑎34 cos(𝜃12+𝜃34)+𝑏34 sin(𝜃12+𝜃34)
)︀
,
𝑟̇4=𝐴4𝑟
3
4+𝐴42𝑟
2
2𝑟4+𝑟
2
3𝑟4
(︀
𝑎42 cos 2𝜃34−𝑏42 sin 2𝜃34
)︀
+𝑟1𝑟2𝑟3
(︀
𝑎43 cos(𝜃12
+𝜃34)−𝑏43 sin(𝜃12+𝜃34)+𝑎44 cos(𝜃12−𝜃34)+𝑏44 sin(𝜃12+𝜃44)
)︀
.
Примем следующие значения механических параметров системы:
𝑚=0.5 кг, 𝑚0=5 кг, 𝜘=2𝜅=2 Н/м, 𝑙=1 м, 𝜈1=𝜈2=1 кг/c. (19)
Вычислим коэффициенты системы (18):
𝐴1=𝐴2≈−0.0018, 𝐴3=𝐴4 ≈ −0.0115, 𝐴13=𝐴24≈0.0015,
𝐴31=𝐴42≈−0.0037, 𝑎12=𝑎22≈0.0006, 𝑏12=𝑏22≈0.0001,
𝑎32=𝑎42≈0.0007, 𝑏32=𝑏42≈−0.0026, 𝑎13=𝑎24≈0.0011,
𝑎23=𝑎14≈−0.00002, 𝑎33=𝑎44≈−0.0011, 𝑎43=𝑎34≈−0.0001,
𝑏13=𝑏24 ≈ 0.0007, 𝑏23=𝑏14≈−0.0001, 𝑏33=𝑏44≈0.0006, 𝑏43=𝑏34≈0.0001.
Инвариантное множество {(𝑟, 𝜃):𝑟=0} системы (18) при выбранных
значениях механических параметров асимптотически устойчиво, что
доказывается с использованием функции Ляпунова 𝑉1(𝑟) = 𝑟21 + 𝑟22,
для которой 𝑉̇1(𝑟) ≤ −𝜆2𝑉1, с 𝜆2 ≈ 0.0011. Функцию Ляпунова 𝑉2(𝜁)
берем в виде 𝑉2(𝜁)=(𝑇𝜁, 𝜁)=
∑︀6
𝑗,𝑘=1 𝜏𝑗𝑘𝜁𝑗𝜁𝑘, где 𝑇=(𝜏𝑗𝑘)
6
𝑗,𝑘=1 – поло-
жительно определенная матрица, и 𝑉
′
2=−
6∑︁
𝑗=1
𝜁2𝑗 . Тогда функция Ля-
пунова для (17) имеет 𝑉 (𝑥) = (𝐺𝑥, 𝑥) + ̃︀𝑅(𝑥), где
(𝐺𝑥, 𝑥)=
∑︁
𝑖=1,3
𝜔2
𝑖
∑︁
𝑗=1,2
(︁
𝑥2𝑗+
(2𝑚𝑔−𝜔2
𝑖𝑚𝑙)𝑥𝑗+2
2𝜘𝑙
)︁
+
∑︁
𝑖=1,3
∑︁
𝑗=8,9
(︁
𝑥2𝑗
+
(2𝑚𝑔−𝜔2
𝑖𝑚𝑙)𝑥𝑗+2
2𝜘𝑙
)︁
+
3∑︁
𝑗=1
𝑥𝑗+4
(︀ 3∑︁
𝑘=1
𝜏𝑗𝑘𝑥𝑘+2+
10∑︁
𝑘=8
𝜏𝑗𝑘𝑥𝑘+4
)︀
+
10∑︁
𝑗=8
𝑥𝑗+4
(︀ 3∑︁
𝑘=1
𝜏𝑗𝑘𝑥𝑘+4+
10∑︁
𝑘=8
𝜏𝑗𝑘𝑥𝑘+4
)︀
,
а ̃︀𝑅(𝜉, 𝜂, 𝑤) не содержит членов ниже третьего порядка. По теоре-
ме 4.1, существует такое 𝜀 > 0, что для всех решений 𝑥(𝑡) системы (17)
с начальными условиями ‖𝑥(0)‖ < 𝜀 справедлива степенная асимп-
тотика ‖𝑥(𝑡)‖ ∼ (𝛾1𝑡)
−1/2, 𝑡 ≥ 𝑡0. Используя значение 𝜆2 и оценивая
сверху ‖𝑥‖2 через 𝑉 (𝑥), получаем 𝛾1 ≈ 0.0016.
Скорость убывания решений системы с совпадающими часто . . . 81
6 Выводы
В данной работе рассмотрена нелинейная система, матрица линейно-
го приближения которой имеет чисто мнимые собственные значения,
связанные резонансным соотношением второго порядка. В отличие
от известных результатов в этой области, в статье рассмотрен более
общий случай нескольких равных между собой частот. Для такого
класса систем явно построены модельная система и функция Ляпуно-
ва, получены достаточные условия асимптотической устойчивости и
проведен анализ асимптотического поведения решений системы. По-
казано, что в случае диагонализируемой матрицы линейного прибли-
жения, решения системы убывают как 𝑂(𝑡−1/2). Отметим, что в ра-
боте сделано предположение о диагонализируемости матрицы линей-
ного приближения, и рассмотрен случай одной группы совпадающих
частот, что позволяет получить более тонкие условия асимптотиче-
ской устойчивости. Предполагается, что наличие жордановых клеток
приведет к более низкой скорости убывания решения, что является
одним из направления для дальнейших исследований асимптотиче-
ского поведения траекторий нелинейных систем в критических слу-
чаях. Другим возможным направлением является распространение
полученных результатов на более общий класс систем с несколькими
группами совпадающих частот. Для частного случая, такое исследо-
вание было проведено в этой статье на примере маятниковой системы
с частичной диссипацией.
Приложение 1. Функции 𝐹1𝑗, 𝐹2𝑗
𝐹1𝛼=𝑟
2
𝛼
𝐿∑︁
𝑗=1
𝑗 ̸=𝛼
𝑟𝑗
(︁
𝑎𝛼𝑗 cos 𝜃𝛼𝑗+𝑏𝛼𝑗 sin 𝜃𝛼𝑗
)︁
+𝑟𝛼
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2=1
𝑗1,𝑗2 ̸=𝛼
𝑟𝑗1𝑟𝑗2
(︁
𝑎𝛼𝑗1𝑗2 cos(𝜃𝛼𝑗1+𝜃𝛼𝑗2)
+𝑏𝛼𝑗1𝑗2 sin (𝜃𝛼𝑗1+𝜃𝛼𝑗2)
)︁
+𝑟𝛼
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2=1
𝑗1 ̸=𝑗2;𝑗1,𝑗2 ̸=𝛼
𝑟𝑗1𝑟𝑗2
(︁
𝑎𝛼𝛼𝑗1𝑗2 cos 𝜃𝑗1𝑗2−𝑏𝛼𝛼𝑗1𝑗2
× sin 𝜃𝑗1𝑗2
)︁
+
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2,𝑗3=1
𝑗1,𝑗2,𝑗3 ̸=𝛼;𝑗2 ̸=𝑗3
𝑟𝑗1𝑟𝑗2𝑟𝑗3
(︁
𝑎𝛼𝑗1𝑗2𝑗3 cos (𝜃𝛼𝑗1+𝜃𝑗3𝑗2)+𝑏𝛼𝑗1𝑗2𝑗3
82 Грушковская В.В.
× sin (𝜃𝛼𝑗1+𝜃𝑗3𝑗2)
)︁
+
𝐿∑︁
𝑗1=1
𝑗1 ̸=𝛼
∑︁
𝑗2 ̸=𝛼
𝑟𝑗1𝑟
2
𝑗2
(︁
𝑎𝛼𝑗1𝑗2𝑗2 cos 𝜃𝛼𝑗1+𝑏𝛼𝑗1𝑗2𝑗2 sin 𝜃𝛼𝑗1
)︁
,
𝐹2𝛼=𝑟
2
𝛼
𝐿∑︁
𝑗=1
𝑗 ̸=𝛼
𝑟𝑗
(︁
𝑏̃𝛼𝑗 cos 𝜃𝛼𝑗+𝑎̃𝛼𝑗 sin 𝜃𝛼𝑗
)︁
+𝑟𝛼
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2=1
𝑗1,𝑗2 ̸=𝛼
𝑟𝑗1𝑟𝑗2
(︁
𝑏𝛼𝑗1𝑗2 cos(𝜃𝛼𝑗1+𝜃𝛼𝑗2)
−𝑎𝛼𝑗1𝑗2 sin (𝜃𝛼𝑗1+𝜃𝛼𝑗2)
)︁
+𝑟𝛼
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2=1
𝑗1 ̸=𝑗2;𝑗1,𝑗2 ̸=𝛼
𝑟𝑗1𝑟𝑗2
(︁
𝑏𝛼𝛼𝑗1𝑗2 cos 𝜃𝑗1𝑗2+𝑎𝛼𝛼𝑗1𝑗2
× sin 𝜃𝑗1𝑗2
)︁
+
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2,𝑗3=1
𝑗1,𝑗2,𝑗3 ̸=𝛼;𝑗2 ̸=𝑗3
𝑟𝑗1𝑟𝑗2𝑟𝑗3
(︁
𝑏𝛼𝑗1𝑗2𝑗3 cos (𝜃𝛼𝑗1+𝜃𝑗3𝑗2)−𝑎𝛼𝑗1𝑗2𝑗3
× sin (𝜃𝛼𝑗1+𝜃𝑗3𝑗2)
)︁
+
𝐿∑︁
𝑗1=1
𝑗1 ̸=𝛼
∑︁
𝑗2 ̸=𝛼
𝑟𝑗1𝑟
2
𝑗2
(︁
𝑏𝛼𝑗1𝑗2𝑗2 cos 𝜃𝛼𝑗1−𝑎𝛼𝑗1𝑗2𝑗2 sin 𝜃𝛼𝑗1
)︁
,
𝛼=1, 𝐿,
𝐹1𝛽=𝑟𝛽
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2=1
𝑗1 ̸=𝑗2
𝑟𝑗1𝑟𝑗2
(︀
𝑎𝛽𝛽𝑗1𝑗2 cos 𝜃𝑗1𝑗2−𝑏𝛽𝛽𝑗1𝑗2 sin 𝜃𝑗1𝑗2
)︀
,
𝐹2𝛽=𝑟𝛽
𝐿∑︁
𝑗1,𝑗2=1
𝑗1 ̸=𝑗2
𝑟𝑗1𝑟𝑗2
(︀
𝑏𝛽𝛽𝑗1𝑗2 cos 𝜃𝑗1𝑗2+𝑎𝛽𝛽𝑗1𝑗2 sin 𝜃𝑗1𝑗2
)︀
, 𝛽=𝐿+1, 𝑞,
где 𝜃𝑗𝑘=𝜃𝑗−𝜃𝑘, коэффициенты функций 𝐹𝑠 являются вещественными
постоянными, определяемыми параметрами системы (1).
Приложение 2. Коэффициенты функции (9).
𝑤1𝑗1𝑗2 = 𝑐𝑗1(𝑑𝑗1𝑗2+𝑑𝑗1𝑗2)+𝑐𝑗2𝑑𝑗2𝑗1𝑗1𝑗1+
(︀
𝑐21𝑗1𝑗2+𝑐
2
2𝑗1𝑗2
)︀1/2(︁(︀
𝐴2
𝑗1𝑗1+𝐵
2
𝑗1𝑗1
)︀1/2
,
𝑤1𝑗1𝑗2 = 𝑐𝑗1(𝑑𝑗1𝑗2+𝑑𝑗1𝑗2)+𝑐𝑗2𝑑𝑗2𝑗1𝑗1𝑗1+
(︀
𝑐21𝑗1𝑗2+𝑐
2
2𝑗1𝑗2
)︀1/2(︁(︀
𝐴2
𝑗1𝑗1+𝐵
2
𝑗1𝑗1
)︀1/2
+
(︀
𝐴2
𝑗2𝑗1+𝐵
2
𝑗2𝑗1
)︀1/2
+
𝐿∑︁
𝑗3=1
𝑗3 ̸=𝑗2
𝑑𝑗2𝑗1𝑗3+𝑑𝑗2𝑗3𝑗1
2
)︁
+
𝐿∑︁
𝑗3=1
𝑗3 ̸=𝑗1,𝑗2
(︁𝑐𝑗2
2
(︀
𝑑𝑗2𝑗1𝑗1𝑗3+𝑑𝑗2𝑗1𝑗3𝑗1
)︀
+
(︀
𝑐21𝑗1𝑗2+𝑐
2
2𝑗1𝑗2
)︀1/2
𝑑𝑗1𝑗3𝑗2𝑗2+
(︀
𝑐21𝑗2𝑗3+𝑐
2
2𝑗2𝑗3
)︀1/2
𝑑𝑗2𝑗1𝑗1𝑗1+
𝐿∑︁
𝑗4=1
𝑗4 ̸=𝑗1,𝑗2
(︀
(𝑐21𝑗1𝑗2
Скорость убывания решений системы с совпадающими часто . . . 83
+𝑐22𝑗1𝑗2)
1/2(︀𝑑𝑗2𝑗3𝑗1𝑗4+𝑑𝑗2𝑗3𝑗4𝑗1)︀+(𝑐21𝑗2𝑗3+𝑐
2
2𝑗2𝑗3)
1/2(︀𝑑𝑗2𝑗1𝑗1𝑗4+𝑑𝑗2𝑗1𝑗4𝑗1)︀)︀)︁,
𝑤2𝑗1𝑗2 = 𝑐𝑗1(𝑑𝑗1𝑗2+𝑑𝑗1𝑗2+𝑑𝑗1𝑗2𝑗2𝑗2)+2
(︀
𝑐21𝑗1𝑗2+𝑐
2
2𝑗1𝑗2
)︀1/2
𝑑𝑗1𝑗2+
𝐿∑︁
𝑗3=1
𝑗3 ̸=𝑗1
(︀
𝑐𝑗1
+
1
2
(𝑐21𝑗1𝑗2+𝑐
2
2𝑗1𝑗2)
1/2)︀(𝑑𝑗1𝑗2𝑗3+𝑑𝑗1𝑗3𝑗2)+ 𝐿∑︁
𝑗3=1
𝑗3 ̸=𝑗1,𝑗2
(︁𝑐𝑗1
2
(︀
𝑑𝑗1𝑗2𝑗2𝑗3+𝑑𝑗1𝑗2𝑗3𝑗2
+𝑑𝑗1𝑗3𝑗2𝑗3+𝑑𝑗1𝑗3𝑗3𝑗2
)︀
+
(︀
𝑐21𝑗1𝑗2+𝑐
2
2𝑗1𝑗2
)︀1/2
(𝑑𝑗1𝑗3+𝑑𝑗1𝑗3)+
(︀
𝑐21𝑗1𝑗3+𝑐
2
2𝑗1𝑗3
)︀1/2
×(𝑑𝑗1𝑗2+𝑑𝑗1𝑗2)+
𝐿∑︁
𝑗4=1
𝑗4 ̸=𝑗1,𝑗3
(︀
𝑐21𝑗1𝑗3+𝑐
2
2𝑗1𝑗3
)︀1/2
2
(𝑑𝑗1𝑗2𝑗4+𝑑𝑗1𝑗4𝑗2+𝑑𝑗3𝑗2𝑗4+𝑑𝑗3𝑗4𝑗2)
)︁
,
𝑤1𝑗1𝑗2𝑗3 = 𝑐𝑗1
(︀
𝑑𝑗1𝑗1𝑗2𝑗3+𝑑𝑗1𝑗1𝑗3𝑗2
)︀
+
(︀
𝑐2𝑗2+𝑐
2
𝑗3
)︀1/2
(𝑑𝑗2𝑗3𝑗1𝑗1+𝑑𝑗3𝑗2𝑗1𝑗1)
+2
(︀
𝑐21𝑗2𝑗3+𝑐
2
2𝑗2𝑗3
)︀1/2(︀
𝐴2
𝑗3𝑗1+𝐵
2
𝑗3𝑗1
)︀1/2
+
𝐿∑︁
𝑗4=1
𝑗4 ̸=𝑗2,𝑗3
(︁(︀
𝑐21𝑗2𝑗3+𝑐
2
2𝑗2𝑗3
)︀1/2
𝑑𝑗3𝑗4𝑗1𝑗1
+
(︀
𝑐21𝑗3𝑗4+𝑐
2
2𝑗3𝑗4
)︀1/2
𝑑2𝑗3𝑗2𝑗1𝑗1
)︁
,
𝑤2𝑗1𝑗2𝑗3 =
∑︁
𝑗4=1
𝑗4 ̸=𝑗1
𝐿
(︁
(1− 𝛿𝑗2𝑗3)(1− 𝛿𝑗2𝑗4)
(︀
𝑐𝑗1(𝑑𝑗1𝑗2𝑗3𝑗4+𝑑𝑗1𝑗2𝑗4𝑗3+𝑑𝑗2𝑗1𝑗3𝑗4
+𝑑𝑗2𝑗1𝑗4𝑗3)
)︀
+
(︀
(𝑐21𝑗1𝑗2+𝑐
2
2𝑗1𝑗2)
1/2(𝑑𝑗1𝑗1𝑗3𝑗4+𝑑𝑗1𝑗1𝑗4𝑗3+𝑑𝑗2𝑗2𝑗3𝑗4+𝑑𝑗2𝑗2𝑗4𝑗2)+
𝑞∑︁
𝑗5=1
𝑗5 ̸=𝑗1,𝑗2
(︀
(𝑐21𝑗1𝑗2+𝑐
2
2𝑗1𝑗2)
1/2(𝑑𝑗2𝑗5𝑗3𝑗4+𝑑𝑗2𝑗5𝑗4𝑗3)+(𝑐21𝑗2𝑗5+𝑐
2
2𝑗2𝑗5)
1/2(𝑑𝑗2𝑗1𝑗3𝑗4
+𝑑𝑗2𝑗1𝑗4𝑗3)
)︀)︀)︁
.
[1] ВоротниковВ.И., РумянцевВ.В. Основы теории частичной устойчи-
вости и управления. – Нижний Тагил : НТИ (филиал) УрФУ, 2014. –
304 c.
[2] ГрушковскаяВ.В., ЗуевА.Л. Асимптотические свойства траекторий
нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка // Меха-
ника твердого тела. – 2013. – 43. – С. 109–123.
[3] ЗубовВ.И. Методы А.М. Ляпунова и их применение. – Л.: Изд-во
ЛГУ, 1957. – 263 c.
[4] ЖавнерчикВ.Э. О неустойчивости при наличии нескольких резонан-
сов // Прикладная математика и механика. – 1979. – 43. – С. 970–974.
84 Грушковская В.В.
[5] Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. – М.:
Наука, 1972. – 214 c.
[6] КуницынА.Л., Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях //
Достижения науки и техники. Общая механика. – 1979. – 4. – С. 58–
139.
[7] КрасовскийН.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. –
М.: Физматгиз, 1959. – 212 c.
[8] КрасильниковП.С. Об алгебраических критериях асимптотической
устойчивости при резонансе 1:1 // Прикладная математика и меха-
ника. – 1993. – 57. – С. 5–11.
[9] МолчановА.М. Разделение движений и асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний // Доклады АН СССР. – 1961. – 136,
5. – С. 1030–1033.
[10] ХазинЛ. Г., ШнольЭ.Э. Устойчивость критических положений рав-
новесия. – Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1985. – 218 c.
[11] GrushkovskayaV. Asymptotic behavior of solutions of nonlinear systems
with multiple imaginary eigenvalues // PAMM - Proceedings in Applied
Mathematics and Mechanics. – 2016. – 16, 1. – P. 271–272.
[12] GrushkovskayaV. Asymptotic decay of solutions to an essentially
nonlinear system with two-frequency resonances // Applicable Analisys.
– 2016. – 95, 11. – P. 2501–2516.
[13] GrushkovskayaV., ZuyevA. Asymptotic behavior of solutions of a
nonlinear system in the critical case of 𝑞 pairs of purely imaginary
eigenvalues// Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. –
2013. – 80. – P. 156–178.
[14] Fu J.-H. Liapunov functions and stability criteria for nonlinear systems
with multiple critical eigenvalues // Mathematics of Control, Signals and
Systems. – 1994. – 7, 3. – P. 255–278.
[15] PeifferK., SavchenkoA.Ya. On the asymptotic behavior of a passively
stabilized system with one critical variable. // Rend. Acc. Sc. fis. mat.
Napoli. – 2000. –67.– P. 157-168.
[16] VakakisA. F. Fundamental and subharmonic resonances in a system with
a ’1-1’ internal resonance // Nonlinear Dyn. – 1992. – 3, 2. – P. 123-143.
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-33 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:20Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/08/56d9f1eaf483674f14ee6eb945165e08.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-332018-02-13T11:57:10Z An estimation of decay for solutions of nonlinear systems with equal frequencies Оценка скорости убывания решений нелинейной системы с совпадающими частотами Оцінка швидкості затухання розв’язків нелінійних систем із співпадаючими частотами Grushkovskaya, V. V. Грушковская, В. В. Грушковська, В. В. This paper continues a series of studies on the stability and asymptotic behavior of solutions to systems of nonlinear differential equations whose matrix of linear approximation has purely imaginary eigenvalues and eigenvalues with negative real parts. In this paper, we consider the case of several purely imaginary eigenvalues related via second-order resonances. For such a system, sufficient conditions for the asymptotic stability regardless of forms higher than the third order are obtained. The main result provides a power estimate for the norm of solutions in the case of a diagonalizable matrix of linear approximation. The results obtained are illustrated by an example of a 7-DOF pendulum system. Данная статья продолжает серию работ, посвященных исследованию устойчивости и асимптотического поведения решений систем нелинейных дифференциальных уравнений, матрица линейного приближения которых имеет сугубо мнимые собственные значения и собственные значения с отрицательным действительными частями. В этой работе рассматривается случай нескольких чисто мнимых собственных значений, связанных резонансными соотношениями второго порядка. Для такой системы получено достаточные условия асимптотической устойчивости по формам третьего порядка. Основным результатом является степенная оценка нормы решений для случая диагонализируемой матрицы линейного приближения системы. Полученные результаты проиллюстрованы на примере маятниковой системы с семью степенями свободы. Дана стаття продовжує серiю робiт, присвячених дослiдженню стiйкостi та асимптотичної поведiнки розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiальних рiвнянь, матриця лiнiйного наближення яких має суто уявнi власнi значення i власнi значення з вiд’ємними дiйсними частинами. У цiй роботi розглядається випадок декiлькох суто уявних власних значень, пов’язаних резонансними спiввiдношеннями другого порядку. Для такої системи отримано достатнi умови асимптотичної стiйкостi за формами третього порядку. Основним результатом є степенева оцiнка норми рiшень для випадку дiагоналiзуємої матрицi лiнiйного наближення системи. Отриманi результати проiлюстровано на прикладi маятникової системи з сiмома ступенями свободи. Інститут математики НАН України 2016-11-29 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/33 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 69-84 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 69-84 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 69-84 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/33/39 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Grushkovskaya, V. V. Грушковская, В. В. Грушковська, В. В. An estimation of decay for solutions of nonlinear systems with equal frequencies |
| title | An estimation of decay for solutions of nonlinear systems with equal frequencies |
| title_alt | Оценка скорости убывания решений нелинейной системы с совпадающими частотами Оцінка швидкості затухання розв’язків нелінійних систем із співпадаючими частотами |
| title_full | An estimation of decay for solutions of nonlinear systems with equal frequencies |
| title_fullStr | An estimation of decay for solutions of nonlinear systems with equal frequencies |
| title_full_unstemmed | An estimation of decay for solutions of nonlinear systems with equal frequencies |
| title_short | An estimation of decay for solutions of nonlinear systems with equal frequencies |
| title_sort | estimation of decay for solutions of nonlinear systems with equal frequencies |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/33 |
| work_keys_str_mv | AT grushkovskayavv anestimationofdecayforsolutionsofnonlinearsystemswithequalfrequencies AT gruškovskaâvv anestimationofdecayforsolutionsofnonlinearsystemswithequalfrequencies AT gruškovsʹkavv anestimationofdecayforsolutionsofnonlinearsystemswithequalfrequencies AT grushkovskayavv ocenkaskorostiubyvaniârešenijnelinejnojsistemyssovpadaûŝimičastotami AT gruškovskaâvv ocenkaskorostiubyvaniârešenijnelinejnojsistemyssovpadaûŝimičastotami AT gruškovsʹkavv ocenkaskorostiubyvaniârešenijnelinejnojsistemyssovpadaûŝimičastotami AT grushkovskayavv ocínkašvidkostízatuhannârozvâzkívnelíníjnihsistemízspívpadaûčimičastotami AT gruškovskaâvv ocínkašvidkostízatuhannârozvâzkívnelíníjnihsistemízspívpadaûčimičastotami AT gruškovsʹkavv ocínkašvidkostízatuhannârozvâzkívnelíníjnihsistemízspívpadaûčimičastotami AT grushkovskayavv estimationofdecayforsolutionsofnonlinearsystemswithequalfrequencies AT gruškovskaâvv estimationofdecayforsolutionsofnonlinearsystemswithequalfrequencies AT gruškovsʹkavv estimationofdecayforsolutionsofnonlinearsystemswithequalfrequencies |